tactic stringlengths 1 5.59k | name stringlengths 1 937 | haveDraft stringlengths 1 44.5k | goal stringlengths 7 61k |
|---|---|---|---|
rw [Set.eq_univ_iff_forall] | [anonymous] | ∀ (x : ↥X), x ∈ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
⊢ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X) = Set.univ |
Set.eq_univ_iff_forall | [anonymous] | ∀ (x : ↥X), x ∈ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
⊢ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X) = Set.univ |
intro x | [anonymous] | x ∈ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
⊢ ∀ (x : ↥X), x ∈ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X) |
rw [Set.mem_iUnion] | [anonymous] | ∃ i, x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
x : ↥X
⊢ x ∈ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X) |
Set.mem_iUnion | [anonymous] | ∃ i, x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
x : ↥X
⊢ x ∈ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X) |
let y := (𝒰.covers x).choose | [anonymous] | x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) →
↥X) |
have hy : (𝒰.map (𝒰.f x)).base y = x := (𝒰.covers x).choose_spec | [anonymous] | x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) →
↥X) |
rcases (f (𝒰.f x)).covers y with ⟨z, hz⟩ | intro | x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
hy : (ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) →
↥X) |
change x ∈ Set.range ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y) ≫ 𝒰.map (𝒰.f x)).base | intro | x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y) ≫ 𝒰.map (𝒰.f x)).base) :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
hy : (ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
z : ↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y))
hz :
(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z =
y
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) →
↥X) |
use z | h | (ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y) ≫ 𝒰.map (𝒰.f x)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥X)
z =
x | P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
hy : (ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
z : ↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y))
hz :
(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z =
y
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y) ≫ 𝒰.map (𝒰.f x)).base) :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥X) |
simp only [comp_coeBase, TopCat.hom_comp, ContinuousMap.comp_apply] | h | (TopCat.Hom.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X)
((TopCat.Hom.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base : ↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z) =
x | P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
hy : (ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
z : ↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y))
hz :
(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z =
y
⊢ (ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y) ≫ 𝒰.map (𝒰.f x)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥X)
z =
x |
hz, | h | (TopCat.Hom.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x | P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
hy : (ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
z : ↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y))
hz :
(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z =
y
⊢ (TopCat.Hom.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X)
((TopCat.Hom.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z) =
x |
hy | h | x = x | P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
hy : (ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
z : ↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y))
hz :
(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z =
y
⊢ (TopCat.Hom.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x |
rw [Set.range_eq_univ.mpr] | [anonymous] | x ∈ Set.univ | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.ContainsIdentities
inst✝¹ : P.RespectsIso
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↥Y
⊢ x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y) |
rw [Set.range_eq_univ.mpr] | [anonymous] | Function.Surjective (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y) | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.ContainsIdentities
inst✝¹ : P.RespectsIso
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↥Y
[anonymous] : x ∈ Set.univ
⊢ x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y) |
Set.range_eq_univ.mpr | [anonymous] | x ∈ Set.univ | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.ContainsIdentities
inst✝¹ : P.RespectsIso
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↥Y
⊢ x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y) |
Set.range_eq_univ.mpr | [anonymous] | Function.Surjective (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y) | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.ContainsIdentities
inst✝¹ : P.RespectsIso
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↥Y
[anonymous] : x ∈ Set.univ
⊢ x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y) |
rw [← TopCat.epi_iff_surjective] | [anonymous] | Epi f.base | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.ContainsIdentities
inst✝¹ : P.RespectsIso
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↥Y
⊢ Function.Surjective (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y) |
← TopCat.epi_iff_surjective | [anonymous] | Epi f.base | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.ContainsIdentities
inst✝¹ : P.RespectsIso
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↥Y
⊢ Function.Surjective (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y) |
rw [h, Scheme.comp_base, TopCat.coe_comp, Set.range_comp, Set.range_eq_univ.mpr,
Set.image_univ, e₁.rightInverse_symm] | [anonymous] | x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (map ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).base) : ↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X) |
rw [h, Scheme.comp_base, TopCat.coe_comp, Set.range_comp, Set.range_eq_univ.mpr,
Set.image_univ, e₁.rightInverse_symm] | [anonymous] | Function.Surjective
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))))) | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
[anonymous] : x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X)
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (map ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).base) : ↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X) |
h, | [anonymous] | x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (map ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).base) : ↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X) |
Scheme.comp_base, | [anonymous] | x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base ≫ (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base)) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X) |
TopCat.coe_comp, | [anonymous] | x ∈
Set.range
((⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ∘
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))))) | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base ≫
(𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base)) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X) |
Set.range_comp, | [anonymous] | x ∈
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ''
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))))) | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
((⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ∘
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))))) |
Set.range_eq_univ.mpr, | [anonymous] | x ∈
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ''
Set.univ | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ x ∈
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ''
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))))) |
Set.range_eq_univ.mpr, | [anonymous] | Function.Surjective
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))))) | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
[anonymous] : x ∈
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ''
Set.univ
⊢ x ∈
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ''
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))))) |
rw [← TopCat.epi_iff_surjective] | [anonymous] | Epi (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ Function.Surjective
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))))) |
← TopCat.epi_iff_surjective | [anonymous] | Epi (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ Function.Surjective
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))))) |
obtain ⟨_ | _⟩ := j | none | P (Option.rec (motive := fun x ↦ Option.rec (motive := fun x ↦ Scheme) Y 𝒰.obj x ⟶ X) f 𝒰.map none) | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
𝒰 : Cover P X
f : Y ⟶ X
hf : autoParam (P f) _auto✝
j : Option 𝒰.J
⊢ P (Option.rec (motive := fun x ↦ Option.rec (motive := fun x ↦ Scheme) Y 𝒰.obj x ⟶ X) f 𝒰.map j) |
obtain ⟨_ | _⟩ := j | some | P (Option.rec (motive := fun x ↦ Option.rec (motive := fun x ↦ Scheme) Y 𝒰.obj x ⟶ X) f 𝒰.map (some val✝)) | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
𝒰 : Cover P X
f : Y ⟶ X
hf : autoParam (P f) _auto✝
j : Option 𝒰.J
none : P (Option.rec (motive := fun x ↦ Option.rec (motive := fun x ↦ Scheme) Y 𝒰.obj x ⟶ X) f 𝒰.map none)
⊢ P (Option.rec (motive := fun x ↦ Option.rec (motive := fun x ↦ Scheme) Y 𝒰.obj x ⟶ X) f 𝒰.map j) |
let iso := pullbackSymmetry f g | [anonymous] | ∃ a, (ConcreteCategory.hom (pullback.snd f g).base : ↥(pullback f g) → ↥Y) a = y | P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : HasPullback f g
hf : P f
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
⊢ ∃ a, (ConcreteCategory.hom (pullback.snd f g).base : ↥(pullback f g) → ↥Y) a = y |
use (pullbackSymmetry f g).inv.base a | h | (ConcreteCategory.hom (pullback.snd f g).base : ↥(pullback f g) → ↥Y)
((ConcreteCategory.hom (pullbackSymmetry f g).inv.base : ↥(pullback g f) → ↥(pullback f g)) a) =
y | P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : HasPullback f g
hf : P f
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
iso : pullback f g ≅ pullback g f := pullbackSymmetry f g
this : HasPullback g f
a : ↥(pullback g f)
ha : (ConcreteCategory.hom (pullback.fst g f).base : ↥(pullback g f) → ↥Y) a = y
⊢ ∃ a, (ConcreteCategory.hom (pullback.snd f g).base : ↥(pullback f g) → ↥Y) a = y |
← Scheme.comp_base_apply, | h | (ConcreteCategory.hom ((pullbackSymmetry f g).inv ≫ pullback.snd f g).base : ↥(pullback g f) → ↥Y) a = y | P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : HasPullback f g
hf : P f
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
iso : pullback f g ≅ pullback g f := pullbackSymmetry f g
this : HasPullback g f
a : ↥(pullback g f)
ha : (ConcreteCategory.hom (pullback.fst g f).base : ↥(pullback g f) → ↥Y) a = y
⊢ (ConcreteCategory.hom (pullback.snd f g).base : ↥(pullback f g) → ↥Y)
((ConcreteCategory.hom (pullbackSymmetry f g).inv.base : ↥(pullback g f) → ↥(pullback f g)) a) =
y |
pullbackSymmetry_inv_comp_snd | h | (ConcreteCategory.hom (pullback.fst g f).base : ↥(pullback g f) → ↥Y) a = y | P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : HasPullback f g
hf : P f
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
iso : pullback f g ≅ pullback g f := pullbackSymmetry f g
this : HasPullback g f
a : ↥(pullback g f)
ha : (ConcreteCategory.hom (pullback.fst g f).base : ↥(pullback g f) → ↥Y) a = y
⊢ (ConcreteCategory.hom ((pullbackSymmetry f g).inv ≫ pullback.snd f g).base : ↥(pullback g f) → ↥Y) a = y |
rw [← show _ = (pullback.fst _ _ : pullback f g ⟶ _).base from
PreservesPullback.iso_hom_fst Scheme.forgetToTop f g] | [anonymous] | ∃ a,
(ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
a =
x | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
⊢ ∃ a, (ConcreteCategory.hom (pullback.fst f g).base : ↥(pullback f g) → ↥X) a = x |
← show _ = (pullback.fst _ _ : pullback f g ⟶ _).base from
PreservesPullback.iso_hom_fst Scheme.forgetToTop f g | [anonymous] | ∃ a,
(ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
a =
x | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
⊢ ∃ a, (ConcreteCategory.hom (pullback.fst f g).base : ↥(pullback f g) → ↥X) a = x |
have : x ∈ Set.range (pullback.fst f.base g.base) := by
rw [TopCat.pullback_fst_range f.base g.base]
use y | [anonymous] | ∃ a,
(ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
a =
x | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
⊢ ∃ a,
(ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
a =
x |
rw [TopCat.pullback_fst_range f.base g.base] | [anonymous] | x ∈ {x | ∃ y, (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y} | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
⊢ x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (pullback.fst f.base g.base)) : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1) → ↥X) |
TopCat.pullback_fst_range f.base g.base | [anonymous] | x ∈ {x | ∃ y, (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y} | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
⊢ x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (pullback.fst f.base g.base)) : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1) → ↥X) |
use (PreservesPullback.iso forgetToTop f g).inv a | h | (ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
((ConcreteCategory.hom (PreservesPullback.iso forgetToTop f g).inv :
(↑(pullback (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) : Type u_1) →
(↑(forgetToTop.obj (pullback f g)) : Type u_1))
a) =
x | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
a : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1)
ha : (ConcreteCategory.hom (pullback.fst f.base g.base) : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1) → ↥X) a = x
⊢ ∃ a,
(ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
a =
x |
← TopCat.comp_app, | h | (ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).inv ≫
(PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
(↑(pullback (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) : Type u_1) → ↥X)
a =
x | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
a : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1)
ha : (ConcreteCategory.hom (pullback.fst f.base g.base) : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1) → ↥X) a = x
⊢ (ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
((ConcreteCategory.hom (PreservesPullback.iso forgetToTop f g).inv :
(↑(pullback (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) : Type u_1) →
(↑(forgetToTop.obj (pullback f g)) : Type u_1))
a) =
x |
Iso.inv_hom_id_assoc | h | (ConcreteCategory.hom (pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
(↑(pullback (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) : Type u_1) → ↥X)
a =
x | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
a : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1)
ha : (ConcreteCategory.hom (pullback.fst f.base g.base) : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1) → ↥X) a = x
⊢ (ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).inv ≫
(PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
(↑(pullback (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) : Type u_1) → ↥X)
a =
x |
obtain ⟨y, hy⟩ := 𝒰.covers (f.base x) | intro | x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (pullback.fst f (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x)))).base) :
↥(pullback f (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x)))) → ↥W) | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X W : Scheme
𝒰 : Cover P X
f : W ⟶ X
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback f (𝒰.map x)
x : ↥W
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (pullback.fst f (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x)))).base) :
↥(pullback f (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x)))) → ↥W) |
obtain ⟨y, hy⟩ := 𝒰.covers (f.base x) | intro | x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (pullback.snd (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x))) f).base) :
↥(pullback (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x))) f) → ↥W) | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X W : Scheme
𝒰 : Cover P X
f : W ⟶ X
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x) f
x : ↥W
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (pullback.snd (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x))) f).base) :
↥(pullback (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x))) f) → ↥W) |
simp only [comp_coeBase, TopCat.coe_comp, Set.mem_range, Function.comp_apply] | [anonymous] | ∃ y,
(ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X)
((ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
y) =
x | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝⁴ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
inst✝³ : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝² : P.IsStableUnderComposition
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X : Scheme
𝒰₁ : Cover P X
𝒰₂ : Cover P X
inst✝ : ∀ (i : 𝒰₁.J) (j : 𝒰₂.J), HasPullback (𝒰₁.map i) (𝒰₂.map j)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
(pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x, 𝒰₂.f x).1) (𝒰₂.map (𝒰₁.f x, 𝒰₂.f x).2) ≫ 𝒰₁.map (𝒰₁.f x, 𝒰₂.f x).1).base) :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x, 𝒰₂.f x).1) (𝒰₂.map (𝒰₁.f x, 𝒰₂.f x).2)) → ↥X) |
hy₁, | [anonymous] | x = (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂ | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝⁴ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
inst✝³ : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝² : P.IsStableUnderComposition
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X : Scheme
𝒰₁ : Cover P X
𝒰₂ : Cover P X
inst✝ : ∀ (i : 𝒰₁.J) (j : 𝒰₂.J), HasPullback (𝒰₁.map i) (𝒰₂.map j)
x : ↥X
y₁ : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x))
hy₁ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x
y₂ : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x))
hy₂ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂ = x
⊢ (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ =
(ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂ |
hy₂ | [anonymous] | x = x | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝⁴ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
inst✝³ : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝² : P.IsStableUnderComposition
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X : Scheme
𝒰₁ : Cover P X
𝒰₂ : Cover P X
inst✝ : ∀ (i : 𝒰₁.J) (j : 𝒰₂.J), HasPullback (𝒰₁.map i) (𝒰₂.map j)
x : ↥X
y₁ : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x))
hy₁ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x
y₂ : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x))
hy₂ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂ = x
⊢ x = (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂ |
use z | h | (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X)
((ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
z) =
x | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝⁴ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
inst✝³ : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝² : P.IsStableUnderComposition
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X : Scheme
𝒰₁ : Cover P X
𝒰₂ : Cover P X
inst✝ : ∀ (i : 𝒰₁.J) (j : 𝒰₂.J), HasPullback (𝒰₁.map i) (𝒰₂.map j)
x : ↥X
y₁ : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x))
hy₁ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x
y₂ : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x))
hy₂ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂ = x
z : ↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)))
hz :
(ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
z =
y₁
⊢ ∃ y,
(ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X)
((ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
y) =
x |
hz, | h | (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝⁴ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
inst✝³ : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝² : P.IsStableUnderComposition
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X : Scheme
𝒰₁ : Cover P X
𝒰₂ : Cover P X
inst✝ : ∀ (i : 𝒰₁.J) (j : 𝒰₂.J), HasPullback (𝒰₁.map i) (𝒰₂.map j)
x : ↥X
y₁ : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x))
hy₁ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x
y₂ : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x))
hy₂ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂ = x
z : ↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)))
hz :
(ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
z =
y₁
⊢ (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X)
((ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
z) =
x |
hy₁ | h | x = x | P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝⁴ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
inst✝³ : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝² : P.IsStableUnderComposition
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X : Scheme
𝒰₁ : Cover P X
𝒰₂ : Cover P X
inst✝ : ∀ (i : 𝒰₁.J) (j : 𝒰₂.J), HasPullback (𝒰₁.map i) (𝒰₂.map j)
x : ↥X
y₁ : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x))
hy₁ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x
y₂ : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x))
hy₂ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂ = x
z : ↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)))
hz :
(ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
z =
y₁
⊢ (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x |
convert 𝒰.covers _ | h.e'_4 | Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e : ι → 𝒰.J) (((⇑e.symm : 𝒰.J → ι) ∘ 𝒰.f) x))).base) :
↥((𝒰.obj ∘ (⇑e : ι → 𝒰.J)) (((⇑e.symm : 𝒰.J → ι) ∘ 𝒰.f) x)) → ↥X) =
Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
𝒰 : Cover P X
ι : Type u_1
e : ι ≃ 𝒰.J
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e : ι → 𝒰.J) (((⇑e.symm : 𝒰.J → ι) ∘ 𝒰.f) x))).base) :
↥((𝒰.obj ∘ (⇑e : ι → 𝒰.J)) (((⇑e.symm : 𝒰.J → ι) ∘ 𝒰.f) x)) → ↥X) |
dsimp only [Function.comp_apply] | h.e'_4 | Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e : ι → 𝒰.J) ((e.symm : 𝒰.J → ι) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e : ι → 𝒰.J) ((e.symm : 𝒰.J → ι) (𝒰.f x)))) → ↥X) =
Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
𝒰 : Cover P X
ι : Type u_1
e : ι ≃ 𝒰.J
x : ↥X
⊢ Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e : ι → 𝒰.J) (((⇑e.symm : 𝒰.J → ι) ∘ 𝒰.f) x))).base) :
↥((𝒰.obj ∘ (⇑e : ι → 𝒰.J)) (((⇑e.symm : 𝒰.J → ι) ∘ 𝒰.f) x)) → ↥X) =
Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) |
Equiv.apply_symm_apply | h.e'_4 | Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) =
Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) | P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
𝒰 : Cover P X
ι : Type u_1
e : ι ≃ 𝒰.J
x : ↥X
⊢ Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e : ι → 𝒰.J) ((e.symm : 𝒰.J → ι) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e : ι → 𝒰.J) ((e.symm : 𝒰.J → ι) (𝒰.f x)))) → ↥X) =
Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) |
induction x | bot | y ≤ y + ⊥ | α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
x : WithBot α
hx : x ≠ ⊥
y : WithBot α
⊢ y ≤ y + x |
induction x | coe | y ≤ y + (↑a✝ : WithBot α) | α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
x : WithBot α
hx : x ≠ ⊥
y : WithBot α
bot : y ≤ y + ⊥
⊢ y ≤ y + x |
induction y | coe.bot | ⊥ ≤ ⊥ + (↑a✝ : WithBot α) | α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
y : WithBot α
a✝ : α
hx : (↑a✝ : WithBot α) ≠ ⊥
⊢ y ≤ y + (↑a✝ : WithBot α) |
induction y | coe.coe | (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑a✝ : WithBot α) + (↑a✝¹ : WithBot α) | α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
y : WithBot α
a✝ : α
hx : (↑a✝ : WithBot α) ≠ ⊥
coe.bot : ⊥ ≤ ⊥ + (↑a✝ : WithBot α)
⊢ y ≤ y + (↑a✝ : WithBot α) |
rw [← WithBot.coe_add, WithBot.coe_le_coe] | coe.coe | a✝ ≤ a✝ + a✝¹ | α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
a✝¹ : α
hx : (↑a✝¹ : WithBot α) ≠ ⊥
a✝ : α
⊢ (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑a✝ : WithBot α) + (↑a✝¹ : WithBot α) |
← WithBot.coe_add, | coe.coe | (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑(a✝ + a✝¹) : WithBot α) | α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
a✝¹ : α
hx : (↑a✝¹ : WithBot α) ≠ ⊥
a✝ : α
⊢ (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑a✝ : WithBot α) + (↑a✝¹ : WithBot α) |
WithBot.coe_le_coe | coe.coe | a✝ ≤ a✝ + a✝¹ | α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
a✝¹ : α
hx : (↑a✝¹ : WithBot α) ≠ ⊥
a✝ : α
⊢ (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑(a✝ + a✝¹) : WithBot α) |
induction x | bot | y ≤ ⊥ + y | α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
x : WithBot α
hx : x ≠ ⊥
y : WithBot α
⊢ y ≤ x + y |
induction x | coe | y ≤ (↑a✝ : WithBot α) + y | α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
x : WithBot α
hx : x ≠ ⊥
y : WithBot α
bot : y ≤ ⊥ + y
⊢ y ≤ x + y |
induction y | coe.bot | ⊥ ≤ (↑a✝ : WithBot α) + ⊥ | α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
y : WithBot α
a✝ : α
hx : (↑a✝ : WithBot α) ≠ ⊥
⊢ y ≤ (↑a✝ : WithBot α) + y |
induction y | coe.coe | (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑a✝¹ : WithBot α) + (↑a✝ : WithBot α) | α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
y : WithBot α
a✝ : α
hx : (↑a✝ : WithBot α) ≠ ⊥
coe.bot : ⊥ ≤ (↑a✝ : WithBot α) + ⊥
⊢ y ≤ (↑a✝ : WithBot α) + y |
rw [← WithBot.coe_add, WithBot.coe_le_coe] | coe.coe | a✝ ≤ a✝¹ + a✝ | α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
a✝¹ : α
hx : (↑a✝¹ : WithBot α) ≠ ⊥
a✝ : α
⊢ (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑a✝¹ : WithBot α) + (↑a✝ : WithBot α) |
← WithBot.coe_add, | coe.coe | (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑(a✝¹ + a✝) : WithBot α) | α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
a✝¹ : α
hx : (↑a✝¹ : WithBot α) ≠ ⊥
a✝ : α
⊢ (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑a✝¹ : WithBot α) + (↑a✝ : WithBot α) |
WithBot.coe_le_coe | coe.coe | a✝ ≤ a✝¹ + a✝ | α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
a✝¹ : α
hx : (↑a✝¹ : WithBot α) ≠ ⊥
a✝ : α
⊢ (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑(a✝¹ + a✝) : WithBot α) |
intro c | h | b = a * c ∧ a ≠ b ↔ c > 1 ∧ b = a * c | α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a b : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
⊢ ∀ (a_1 : α), b = a * a_1 ∧ a ≠ b ↔ a_1 > 1 ∧ b = a * a_1 |
rw [and_comm, and_congr_left_iff, gt_iff_lt] | h | b = a * c → (a ≠ b ↔ 1 < c) | α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a b : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ b = a * c ∧ a ≠ b ↔ c > 1 ∧ b = a * c |
and_comm, | h | a ≠ b ∧ b = a * c ↔ c > 1 ∧ b = a * c | α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a b : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ b = a * c ∧ a ≠ b ↔ c > 1 ∧ b = a * c |
and_congr_left_iff, | h | b = a * c → (a ≠ b ↔ c > 1) | α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a b : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ a ≠ b ∧ b = a * c ↔ c > 1 ∧ b = a * c |
gt_iff_lt | h | b = a * c → (a ≠ b ↔ 1 < c) | α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a b : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ b = a * c → (a ≠ b ↔ c > 1) |
rintro rfl | h | a ≠ a * c ↔ 1 < c | α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a b : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ b = a * c → (a ≠ b ↔ 1 < c) |
constructor | h.mp | a ≠ a * c → 1 < c | α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ a ≠ a * c ↔ 1 < c |
constructor | h.mpr | 1 < c → a ≠ a * c | α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
h.mp : a ≠ a * c → 1 < c
⊢ a ≠ a * c ↔ 1 < c |
rw [one_lt_iff_ne_one] | h.mp | a ≠ a * c → c ≠ 1 | α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ a ≠ a * c → 1 < c |
one_lt_iff_ne_one | h.mp | a ≠ a * c → c ≠ 1 | α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ a ≠ a * c → 1 < c |
apply mt | h.mp.h₁ | c = 1 → a = a * c | α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ a ≠ a * c → c ≠ 1 |
rw [← (self_le_mul_right a c).lt_iff_ne] | h.mpr | 1 < c → a < a * c | α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ 1 < c → a ≠ a * c |
← (self_le_mul_right a c).lt_iff_ne | h.mpr | 1 < c → a < a * c | α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ 1 < c → a ≠ a * c |
simp only [Injective, Prod.mk.injEq, and_imp] | [anonymous] | ∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, a₁⁺ᵐ = a₂⁺ᵐ → a₁⁻ᵐ = a₂⁻ᵐ → a₁ = a₂ | α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulLeftMono α
⊢ Injective fun a ↦ (a⁺ᵐ , a⁻ᵐ) |
rw [HomotopyCategory.quasiIso_eq_subcategoryAcyclic_W] | [anonymous] | (HomotopyCategory.subcategoryAcyclic C).W.HasLeftCalculusOfFractions | C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
⊢ (HomotopyCategory.quasiIso C (ComplexShape.up ℤ)).HasLeftCalculusOfFractions |
HomotopyCategory.quasiIso_eq_subcategoryAcyclic_W | [anonymous] | (HomotopyCategory.subcategoryAcyclic C).W.HasLeftCalculusOfFractions | C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
⊢ (HomotopyCategory.quasiIso C (ComplexShape.up ℤ)).HasLeftCalculusOfFractions |
rw [HomotopyCategory.quasiIso_eq_subcategoryAcyclic_W] | [anonymous] | (HomotopyCategory.subcategoryAcyclic C).W.HasRightCalculusOfFractions | C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
⊢ (HomotopyCategory.quasiIso C (ComplexShape.up ℤ)).HasRightCalculusOfFractions |
HomotopyCategory.quasiIso_eq_subcategoryAcyclic_W | [anonymous] | (HomotopyCategory.subcategoryAcyclic C).W.HasRightCalculusOfFractions | C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
⊢ (HomotopyCategory.quasiIso C (ComplexShape.up ℤ)).HasRightCalculusOfFractions |
have ⟨φ, hφ⟩ := Localization.exists_rightFraction Qh (HomotopyCategory.quasiIso C _) f | [anonymous] | ∃ X' s, ∃ (_ : IsIso (Q.map s)), ∃ g, f = inv (Q.map s) ≫ Q.map g | C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
f : Q.obj X ⟶ Q.obj Y
⊢ ∃ X' s, ∃ (_ : IsIso (Q.map s)), ∃ g, f = inv (Q.map s) ≫ Q.map g |
have ⟨φ, hφ⟩ := Localization.exists_leftFraction Qh (HomotopyCategory.quasiIso C _) f | [anonymous] | ∃ Y' g s, ∃ (_ : IsIso (Q.map s)), f = Q.map g ≫ inv (Q.map s) | C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
f : Q.obj X ⟶ Q.obj Y
⊢ ∃ Y' g s, ∃ (_ : IsIso (Q.map s)), f = Q.map g ≫ inv (Q.map s) |
obtain ⟨X', s, hs, g, rfl⟩ := right_fac f | intro.intro.intro.intro | ∃ X'_1,
∃ (_ : X'_1.IsStrictlyLE n),
∃ s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), ∃ g_1, inv (Q.map s) ≫ Q.map g = inv (Q.map s_1) ≫ Q.map g_1 | C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
f : Q.obj X ⟶ Q.obj Y
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
⊢ ∃ X', ∃ (_ : X'.IsStrictlyLE n), ∃ s, ∃ (_ : IsIso (Q.map s)), ∃ g, f = inv (Q.map s) ≫ Q.map g |
have : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n)) := by
rw [isIso_Q_map_iff_quasiIso, CochainComplex.quasiIso_truncLEMap_iff]
rw [isIso_Q_map_iff_quasiIso] at hs
infer_instance | intro.intro.intro.intro | ∃ X'_1,
∃ (_ : X'_1.IsStrictlyLE n),
∃ s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), ∃ g_1, inv (Q.map s) ≫ Q.map g = inv (Q.map s_1) ≫ Q.map g_1 | C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
⊢ ∃ X'_1,
∃ (_ : X'_1.IsStrictlyLE n),
∃ s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), ∃ g_1, inv (Q.map s) ≫ Q.map g = inv (Q.map s_1) ≫ Q.map g_1 |
rw [isIso_Q_map_iff_quasiIso, CochainComplex.quasiIso_truncLEMap_iff] | [anonymous] | ∀ i ≤ n, QuasiIsoAt s i | C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
⊢ IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n)) |
isIso_Q_map_iff_quasiIso, | [anonymous] | QuasiIso (CochainComplex.truncLEMap s n) | C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
⊢ IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n)) |
CochainComplex.quasiIso_truncLEMap_iff | [anonymous] | ∀ i ≤ n, QuasiIsoAt s i | C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
⊢ QuasiIso (CochainComplex.truncLEMap s n) |
refine ⟨X'.truncLE n, inferInstance, CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n, ?_,
CochainComplex.truncLEMap g n ≫ Y.ιTruncLE n, ?_⟩ | intro.intro.intro.intro.refine_1 | IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n)) | C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
this : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n))
⊢ ∃ X'_1,
∃ (_ : X'_1.IsStrictlyLE n),
∃ s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), ∃ g_1, inv (Q.map s) ≫ Q.map g = inv (Q.map s_1) ≫ Q.map g_1 |
refine ⟨X'.truncLE n, inferInstance, CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n, ?_,
CochainComplex.truncLEMap g n ≫ Y.ιTruncLE n, ?_⟩ | intro.intro.intro.intro.refine_2 | inv (Q.map s) ≫ Q.map g =
inv (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n)) ≫ Q.map (CochainComplex.truncLEMap g n ≫ Y.ιTruncLE n) | C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
this : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n))
intro.intro.intro.intro.refine_1 : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n))
⊢ ∃ X'_1,
∃ (_ : X'_1.IsStrictlyLE n),
∃ s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), ∃ g_1, inv (Q.map s) ≫ Q.map g = inv (Q.map s_1) ≫ Q.map g_1 |
rw [Q.map_comp] | intro.intro.intro.intro.refine_1 | IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n) ≫ Q.map (X.ιTruncLE n)) | C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
this : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n))
⊢ IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n)) |
Q.map_comp | intro.intro.intro.intro.refine_1 | IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n) ≫ Q.map (X.ιTruncLE n)) | C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
this : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n))
⊢ IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n)) |
have eq := Q.congr_map (CochainComplex.ιTruncLE_naturality s n) | intro.intro.intro.intro.refine_2 | inv (Q.map s) ≫ Q.map g =
inv (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n)) ≫ Q.map (CochainComplex.truncLEMap g n ≫ Y.ιTruncLE n) | C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
this : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n))
⊢ inv (Q.map s) ≫ Q.map g =
inv (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n)) ≫ Q.map (CochainComplex.truncLEMap g n ≫ Y.ιTruncLE n) |
obtain ⟨Y', g, s, hs, rfl⟩ := left_fac f | intro.intro.intro.intro | ∃ Y'_1,
∃ (_ : Y'_1.IsStrictlyGE n),
∃ g_1 s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), Q.map g ≫ inv (Q.map s) = Q.map g_1 ≫ inv (Q.map s_1) | C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
f : Q.obj X ⟶ Q.obj Y
n : ℤ
inst✝ : Y.IsStrictlyGE n
⊢ ∃ Y', ∃ (_ : Y'.IsStrictlyGE n), ∃ g s, ∃ (_ : IsIso (Q.map s)), f = Q.map g ≫ inv (Q.map s) |
have : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncGEMap s n)) := by
rw [isIso_Q_map_iff_quasiIso, CochainComplex.quasiIso_truncGEMap_iff]
rw [isIso_Q_map_iff_quasiIso] at hs
infer_instance | intro.intro.intro.intro | ∃ Y'_1,
∃ (_ : Y'_1.IsStrictlyGE n),
∃ g_1 s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), Q.map g ≫ inv (Q.map s) = Q.map g_1 ≫ inv (Q.map s_1) | C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : Y.IsStrictlyGE n
Y' : CochainComplex C ℤ
g : X ⟶ Y'
s : Y ⟶ Y'
hs : IsIso (Q.map s)
⊢ ∃ Y'_1,
∃ (_ : Y'_1.IsStrictlyGE n),
∃ g_1 s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), Q.map g ≫ inv (Q.map s) = Q.map g_1 ≫ inv (Q.map s_1) |
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