text:
# Số nguyên tố chính quy
Trong lý thuyết số, số nguyên tố chính quy là một loại đặc biệt của số nguyên tố, được định nghĩa bởi Ernst Kummer trong 1850 để chứng minh một số trường hợp của định lý lớn Fermat. Số nguyên tố chính quy có thể định nghĩa qua tính chia hết của số lớp hoặc của số Bernoulli.
Các số nguyên tố chính quy đầu tiên là:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... (dãy số A007703 trong bảng OEIS).

## Lịch sử và động lực
Trong 1850, Kummer đã chứng minh rằng định lý lớn Fermat đúng với số mũ là lũy thừa của p nếu p chính quy. Do đó đưa sự chú ý vào các số nguyên tố chính quy. Trong 1852, Genocchi chứng minh được thêm rằng trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat đúng cho số nguyên tố p, khi (p, p − 3) không phải cặp số phi chính quy. Kummer cải tiến thêm vào 1857 rằng đối với "trường hợp đầu" của định lý lớn Fermat (xem định lý Sophie Germain), ta đủ để chứng minh rằng hoặc (p, p − 3) hoặc (p, p − 5) không phải cặp phi chính quy.
Kummer tìm được các số nguyên tố phi chính quy cho tới 165. Trong 1963, Lehmer tăng giới hạn lên 10000 , sau đó Selfridge và Pollack báo cáo trong 1964 đã hoàn thành bảng các số nguyên tố phi chính quy lên tới 25000. Mặc dù hai bản sau không được in ra giấy, Johnson tìm ra rằng (p, p − 3) là cặp số phi chính quy với p = 16843 và đây là trường hợp duy nhất cho p < 30000. Ta tìm được thêm một số khác vào năm 1993 với p = 2124679; xem thêm số nguyên tố Wolstenholme.

## Định nghĩa

### Định nghĩa bằng số lớp
Số nguyên tố lẻ p là số nguyên tố chính quy nếu nó không phải là ước của số lớp của trường cyclotomic thứ p :Q(ζp), với ζp là căn đơn vị nguyên thủy thứ p, danh sách các số được liệt kê trong  A000927. Số 2 cũng được coi là số nguyên tố chính quy
Số lớp của trường cyclotomic là số các ideal của vành số nguyên
Z(ζp) xê xích tương đương. Hai ideal I, J được gọi là tương đương nhau nếu tồn tại u khác không thuộc Q(ζp) sao cho I = uJ.

### Định nghĩa theo Kummer
Ernst Kummer (Kummer 1850) đưa ra một định nghĩa tương đương khác rằng p chính quy khi và chỉ khi p không phải là ước của bất kỳ số Bernoulli Bk với k = 2, 4, 6, ..., p − 3.
Bài chứng minh của Kummer rằng định nghĩa này tương đương với định nghĩa bằng số lớp được gia cố thêm bằng định lý Herbrand–Ribet

## Giả thuyết Siegel
Hiện đang có giả thuyết rằng có vô hạn số nguyên tố chính quy. Và chính xác hơn thì Carl Ludwig Siegel (1964) giả thuyết thêm rằng khoảng e−1/2, hay khoảng 60.65% của tất cả các số nguyên tố là số nguyên tố chính quy theo ngôn ngữ tiệm cận với mật độ tự nhiên. Hiện giờ chưa có giả thuyết nào được chứng minh.

## Số nguyên tố phi chính quy
Số nguyên tố lẻ không chính quy được gọi là số nguyên tố phi chính quy (hay B-phi chính quy để phân biệt với các dạng phi chính quy bên dưới). Một số số nguyên tố phi chính quy đầu tiên là:
37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, ... (dãy số A000928 trong bảng OEIS)

### Tính vô hạn
K. L. Jensen (một học trò của Nielsen) trong 1915 đã chứng minh được rằng có vô số số nguyên tố phi chính quy dưới dạng 4n + 3.

Trong 1954 Carlitz đưa ra kết quả yếu hơn rằng nhìn chung có vô số nguyên tố phi chính quy.
Metsänkylä chứng minh rằng với bất kỳ số nguyên T > 6, có vô số số nguyên tố phi chính quy không nằm dưới dạng mT + 1 hay mT − 1, sau này tổng quát thêm.

### Cặp số phi chính quy
Nếu p là số nguyên tố phi chính quy và p là ước của số Bernoulli B2k cho 0 < 2k < p − 1, thì (p, 2k) được gọi là cặp phi chính quy.  Nói cách khác, cặp số này được dùng để kiểm tra xem với số nguyên tố p, xem chỉ số của số Bernoulli mà tại đó mất tính chính quy. Các cặp đầu tiên (xếp thứ tự bởi k) là:
(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), (2294797, 24), (657931, 26), (9349, 28), (362903, 28), ... (dãy số A189683 trong bảng OEIS).
Các số k chẵn nhỏ sao cho số nguyên tố phi chính quy thứ n là ước của Bk là
32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, 126, 240, 366, 196, 130, 94, 292, 400, 86, 270, 222, 52, 90, 22, ... (dãy số A035112 trong bảng OEIS)
Đối với số nguyên tố p, số các cặp chứa p được gọi là chỉ số phi chính quy của p.  Do đó, số nguyên tố được gọi là chính quy khi chỉ số phi chính quy của nó bằng không. Tương tự như vậy, số nguyên tố phi chính quy khi chỉ số phi chính quy của nó dương.
Ta phát hiện ra rằng (p, p − 3) là cặp phi chính quy cho p = 16843 và p = 2124679. Không có p nào khác cho p < 109.

### Chỉ số phi chính quy
Số nguyên tố p có chỉ số phi chính quy n khi và chỉ khi có n giá trị k thỏa mãn p là ước của B2k và các giả trị k này đều nhỏ hơn (p − 1)/2. Số nguyên tố lẻ đầu tiên có chỉ số phi chính quy lớn hơn 1 là số 157, là ước của B62 và B110, nên nó có chỉ số bằng 2. Chỉ số của số nguyên tố chính quy bằng 0.
Dãy chỉ số phi chính quy của số nguyên tố thứ n là
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... (Bắt đầu với n = 2, hoặc p = 3) (dãy số A091888 trong bảng OEIS)
Dãy chỉ số phi chính quy của số nguyên tố phi chính quy thứ n là
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, ... (dãy số A091887 trong bảng OEIS)
Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 1 là
37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 971, ... (dãy số A073276 trong bảng OEIS)
Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 2 là
157, 353, 379, 467, 547, 587, 631, 673, 691, 809, 929, 1291, 1297, 1307, 1663, 1669, 1733, 1789, 1933, 1997, 2003, 2087, 2273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957, ... (dãy số A073277 trong bảng OEIS)
Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 3 là
491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 14533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869, ... (dãy số A060975 trong bảng OEIS)

## Các dạng tổng quát

### Số nguyên tố phi chính quy Euler
Tương tự đối với các số Euler, ta định nghĩa số nguyên tố phi chính quy Euler (hay E-phi chính quy) là số nguyên tố p là ước của ít nhất một số Euler E2n với 0 < 2n ≤ p − 3. Các số nguyên tố phi chính quy Euler đầu tiên là
19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587, ... (dãy số A120337 trong bảng OEIS)
Dãy các cặp phi chính quy Euler là
(61, 6), (277, 8), (19, 10), (2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437, 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28), ...
Vandiver chứng minh rằng định lý lớn Fermat (xp + yp = zp) không có nghiệm nguyên x, y, z với gcd(xyz, p) = 1 nếu p là số nguyên tố chính quy Euler. Gut chứng minh rằng x2p + y2p = z2p không có nghiệm nguyên nếu p có chỉ số phi chính quy Euler nhỏ hơn 5.
Hiện đã chứng minh được rằng có vô hạn số nguyên tố phi chính quy Euler. Một kết quả mạnh hơn thu được như sau: có vô hạn số nguyên tố phi chính quy Euler đồng dư với 1 khi mô đun 8. Giống với trường hợp B-chính quy của Kummer, hiện vẫn chưa biết được liệu có vô số số nguyên tố chính quy Euler.

### Số nguyên tố phi chính quy mạnh
Số nguyên tố p được gọi là phi chính quy mạnh nếu nó vừa B-phi chính quy và E-phi chính quy (chỉ số của số Bernoulli và số Euler chia hết cho p có thể bằng nhau hoặc khác nhau). Các số nguyên tố phi chính quy mạnh đầu tiên là
67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, 887, 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, ... (dãy số A128197 trong bảng OEIS)
Chứng minh định lý lớn Fermat cho số nguyên tố phi chính quy mạnh p khó hơn nhiều (bởi Kummer đã chứng minh trước trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat cho các số nguyên tố B-chính quy, và Vandiver chứng minh định lý lờn Fermat cho các số nguyên tố E-chính quy), điểm khó nhất gặp phải là không chỉ p là số nguyên tố phi chính quy mạnh, mà các số 2p + 1, 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1, và 16p + 1 còn đều là hợp số (Legendre chứng minh định lý lờn Fermat cho các số nguyên tố p thoả mãn ít nhất một trong các số 2p + 1, 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1, và 16p + 1 là số nguyên tố), các số nguyên tố p thoả mãn tính chất đó nằm trong dãy
263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283, ...

### Số nguyên tố phi chính quy yếu
Số nguyên tố p được gọi là phi chính quy yếu nếu nó không B-phi chính quy hoặc E-phi chính quy (hoặc không cả hai). Các số nguyên tố phi chính quy yếu đầu tiên là
19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 571, 577, 587, 593, ... (dãy số A250216 trong bảng OEIS)
Giống với tính phi chính quy Bernoulli, phi chính quy yếu có quan hệ với tính chia hết của số lớp của trường cyclotomic. Cụ thể, số nguyên tố p phi chính quy yếu khi và chỉ khi p là ước của trường cyclotomic thứ 4p (tức trường Q(ζ4p).

#### Cặp phi chính quy yếu
Trong đoạn dưới đây, lưu ý rằng "an" là tử số của số Bernoulli thứ n nếu n chẵn, và là số Euler thứ (n − 1) nếu n lẻ (dãy số A246006 trong bảng OEIS).
Bởi với mọi số nguyên tố lẻ p, p là ước của ap khi và chỉ khi p đồng dư với 1 mô đun 4, và bởi vì p là ước của mẫu số của số Bernoulli thứ (p − 1) với mọi số nguyên tố lẻ p, nên cho bất kỳ số nguyên tố lẻ p, p không thể là ước của ap−1. Bên cạnh đó, p là ước của an (và 2p không là ước của n) khi và chỉ khi p cũng là ước của an+k(p−1) (nếu 2p là ước của n, thì câu này phải đổi thành "p cũng là ước của an+2kp". Hơn nữa, nếu 2p là ước của n và p(p − 1) không phải là ước của n, thì p là ước của an.) cho mọi số nguyên k (cần điều kiện n + k(p − 1) > 1). Ví dụ chẳng hạn, bởi 19 là ước của a11 và 2 × 19 = 38 không phải là ước của 11, nên 19 là ước của a18k+11 với mọi k. Do đó, trong định nghĩa của cặp phi chính quy (p, n), giá trị n nên không quá p − 2.
Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy thoả mãn số nguyên tố lẻ p ≤ 661:
| p  | các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an | p   | các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an | p   | các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an | p   | các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an | p   | các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an | p   | các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an |
| 3  |                                                     | 79  | 19                                                  | 181 |                                                     | 293 | 156                                                 | 421 | 240                                                 | 557 | 222                                                 |
| 5  |                                                     | 83  |                                                     | 191 |                                                     | 307 | 88, 91, 137                                         | 431 |                                                     | 563 | 175, 261                                            |
| 7  |                                                     | 89  |                                                     | 193 | 75                                                  | 311 | 87, 193, 292                                        | 433 | 215, 366                                            | 569 |                                                     |
| 11 |                                                     | 97  |                                                     | 197 |                                                     | 313 |                                                     | 439 |                                                     | 571 | 389                                                 |
| 13 |                                                     | 101 | 63, 68                                              | 199 |                                                     | 317 |                                                     | 443 |                                                     | 577 | 52, 209, 427                                        |
| 17 |                                                     | 103 | 24                                                  | 211 |                                                     | 331 |                                                     | 449 |                                                     | 587 | 45, 90, 92                                          |
| 19 | 11                                                  | 107 |                                                     | 223 | 133                                                 | 337 |                                                     | 457 |                                                     | 593 | 22                                                  |
| 23 |                                                     | 109 |                                                     | 227 |                                                     | 347 | 280                                                 | 461 | 196, 427                                            | 599 |                                                     |
| 29 |                                                     | 113 |                                                     | 229 |                                                     | 349 | 19, 257                                             | 463 | 130, 229                                            | 601 |                                                     |
| 31 | 23                                                  | 127 |                                                     | 233 | 84                                                  | 353 | 71, 186, 300                                        | 467 | 94, 194                                             | 607 | 592                                                 |
| 37 | 32                                                  | 131 | 22                                                  | 239 |                                                     | 359 | 125                                                 | 479 |                                                     | 613 | 522                                                 |
| 41 |                                                     | 137 | 43                                                  | 241 | 211, 239                                            | 367 |                                                     | 487 |                                                     | 617 | 20, 174, 338                                        |
| 43 | 13                                                  | 139 | 129                                                 | 251 | 127                                                 | 373 | 163                                                 | 491 | 292, 336, 338, 429                                  | 619 | 371, 428, 543                                       |
| 47 | 15                                                  | 149 | 130, 147                                            | 257 | 164                                                 | 379 | 100, 174, 317                                       | 499 |                                                     | 631 | 80, 226                                             |
| 53 |                                                     | 151 |                                                     | 263 | 100, 213                                            | 383 |                                                     | 503 |                                                     | 641 |                                                     |
| 59 | 44                                                  | 157 | 62, 110                                             | 269 |                                                     | 389 | 200                                                 | 509 | 141                                                 | 643 |                                                     |
| 61 | 7                                                   | 163 |                                                     | 271 | 84                                                  | 397 |                                                     | 521 |                                                     | 647 | 236, 242, 554                                       |
| 67 | 27, 58                                              | 167 |                                                     | 277 | 9                                                   | 401 | 382                                                 | 523 | 400                                                 | 653 | 48                                                  |
| 71 | 29                                                  | 173 |                                                     | 281 |                                                     | 409 | 126                                                 | 541 | 86, 465                                             | 659 | 224                                                 |
| 73 |                                                     | 179 |                                                     | 283 | 20                                                  | 419 | 159                                                 | 547 | 270, 486                                            | 661 |                                                     |

Các số nguyên tố dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 3 là 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751, và 929. Bên cạnh đó, 491 là số nguyên tố duy nhất dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 4, và các số nguyên tố lẻ còn lại dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 0, 1, hoặc 2. (Chỉ số phi chính yếu được định nghĩa là số các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 thoả mãn p là ước của an.)
Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy với n ≤ 63. (Để tìm ra các cặp này, ta chỉ cần phân tích thừa số
của an. Lấy ví dụ, a34 = 17 × 151628697551, nhưng 17 < 34 + 2, nên cặp phi chính quy duy nhất với n = 34 là (151628697551, 34)) (đối với các  n chẵn lên tới 300 và các n lẻ lên tới 201, xem ).
| n  | các số nguyên tố p ≥ n + 2 sao cho p là ước của an | n  | các số nguyên tố p ≥ n + 2 sao cho p là ước của an                                   |
| 0  |                                                    | 32 | 37, 683, 305065927                                                                   |
| 1  |                                                    | 33 | 930157, 42737921, 52536026741617                                                     |
| 2  |                                                    | 34 | 151628697551                                                                         |
| 3  |                                                    | 35 | 4153, 8429689, 2305820097576334676593                                                |
| 4  |                                                    | 36 | 26315271553053477373                                                                 |
| 5  |                                                    | 37 | 9257, 73026287, 25355088490684770871                                                 |
| 6  |                                                    | 38 | 154210205991661                                                                      |
| 7  | 61                                                 | 39 | 23489580527043108252017828576198947741                                               |
| 8  |                                                    | 40 | 137616929, 1897170067619                                                             |
| 9  | 277                                                | 41 | 763601, 52778129, 359513962188687126618793                                           |
| 10 |                                                    | 42 | 1520097643918070802691                                                               |
| 11 | 19, 2659                                           | 43 | 137, 5563, 13599529127564174819549339030619651971                                    |
| 12 | 691                                                | 44 | 59, 8089, 2947939, 1798482437                                                        |
| 13 | 43, 967                                            | 45 | 587, 32027, 9728167327, 36408069989737, 238716161191111                              |
| 14 |                                                    | 46 | 383799511, 67568238839737                                                            |
| 15 | 47, 4241723                                        | 47 | 285528427091, 1229030085617829967076190070873124909                                  |
| 16 | 3617                                               | 48 | 653, 56039, 153289748932447906241                                                    |
| 17 | 228135437                                          | 49 | 5516994249383296071214195242422482492286460673697                                    |
| 18 | 43867                                              | 50 | 417202699, 47464429777438199                                                         |
| 19 | 79, 349, 87224971                                  | 51 | 5639, 1508047, 10546435076057211497, 67494515552598479622918721                      |
| 20 | 283, 617                                           | 52 | 577, 58741, 401029177, 4534045619429                                                 |
| 21 | 41737, 354957173                                   | 53 | 1601, 2144617, 537569557577904730817, 429083282746263743638619                       |
| 22 | 131, 593                                           | 54 | 39409, 660183281, 1120412849144121779                                                |
| 23 | 31, 1567103, 1427513357                            | 55 | 2749, 3886651, 78383747632327, 209560784826737564385795230911608079                  |
| 24 | 103, 2294797                                       | 56 | 113161, 163979, 19088082706840550550313                                              |
| 25 | 2137, 111691689741601                              | 57 | 5303, 7256152441, 52327916441, 2551319957161, 12646529075062293075738167             |
| 26 | 657931                                             | 58 | 67, 186707, 6235242049, 37349583369104129                                            |
| 27 | 67, 61001082228255580483                           | 59 | 1459879476771247347961031445001033, 8645932388694028255845384768828577               |
| 28 | 9349, 362903                                       | 60 | 2003, 5549927, 109317926249509865753025015237911                                     |
| 29 | 71, 30211, 2717447, 77980901                       | 61 | 6821509, 14922423647156041, 190924415797997235233811858285255904935247               |
| 30 | 1721, 1001259881                                   | 62 | 157, 266689, 329447317, 28765594733083851481                                         |
| 31 | 15669721, 28178159218598921101                     | 63 | 101, 6863, 418739, 1042901, 91696392173931715546458327937225591842756597414460291393 |

Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy (p, p − n) (n ≥ 2), hiện ta đang phỏng đoán rằng có vô hạn cặp phi chính quy (p, p − n) với mọi số tự nhiên n ≥ 2, nhưng mới chỉ một ít được tìm thấy khi cố định n và thậm chí còn có một số giá trị của n vẫn chưa tìm thấy số nguyên tố p đi kèm.
| n  | Số nguyên tố p sao cho p là ước của ap−n (các giá trị p được kiểm tra lên tới 20000) | Dãy OEIS |
| 2  | 149, 241, 2946901, 16467631, 17613227, 327784727, 426369739, 1062232319, ...         | A198245  |
| 3  | 16843, 2124679, ...                                                                  | A088164  |
| 4  | ...                                                                                |          |
| 5  | 37, ...                                                                              |          |
| 6  | ...                                                                                |          |
| 7  | ...                                                                                |          |
| 8  | 19, 31, 3701, ...                                                                    |          |
| 9  | 67, 877, ...                                                                         | A212557  |
| 10 | 139, ...                                                                             |          |
| 11 | 9311, ...                                                                            |          |
| 12 | ...                                                                                |          |
| 13 | ...                                                                                |          |
| 14 | ...                                                                                |          |
| 15 | 59, 607, ...                                                                         |          |
| 16 | 1427, 6473, ...                                                                      |          |
| 17 | 2591, ...                                                                            |          |
| 18 | ...                                                                                |          |
| 19 | 149, 311, 401, 10133, ...                                                            |          |
| 20 | 9643, ...                                                                            |          |
| 21 | 8369, ...                                                                            |          |
| 22 | ...                                                                                |          |
| 23 | ...                                                                                |          |
| 24 | 17011, ...                                                                           |          |
| 25 | ...                                                                                |          |
| 26 | ...                                                                                |          |
| 27 | ...                                                                                |          |
| 28 | ...                                                                                |          |
| 29 | 4219, 9133, ...                                                                      |          |
| 30 | 43, 241, ...                                                                         |          |
| 31 | 3323, ...                                                                            |          |
| 32 | 47, ...                                                                              |          |
| 33 | 101, 2267, ...                                                                       |          |
| 34 | 461, ...                                                                             |          |
| 35 | ...                                                                                |          |
| 36 | 1663, ...                                                                            |          |
| 37 | ...                                                                                |          |
| 38 | 101, 5147, ...                                                                       |          |
| 39 | 3181, 3529, ...                                                                      |          |
| 40 | 67, 751, 16007, ...                                                                  |          |
| 41 | 773, ...                                                                             |          |

title: Số nguyên tố chính quy

wikitext:
{{Vấn đề mở|toán học|Liệu có vô số số nguyên tố chính quy? Và nếu đúng thì có phải mật độ của nó bằng với <math>e^{-1/2}</math>?}}

Trong [[lý thuyết số]], '''số nguyên tố chính quy''' là một loại đặc biệt của [[số nguyên tố]], được định nghĩa bởi [[Ernst Kummer]] trong 1850 để chứng minh một số trường hợp của [[định lý lớn Fermat]]. Số nguyên tố chính quy có thể định nghĩa qua [[tính chia hết]] của [[số lớp (lý thuyết số)|số lớp]] hoặc của [[số Bernoulli]].

Các số nguyên tố chính quy đầu tiên là:
: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... {{OEIS|id=A007703}}.

==Lịch sử và động lực==
Trong 1850, Kummer đã chứng minh rằng [[định lý lớn Fermat]] đúng với số mũ là lũy thừa của ''p'' nếu ''p'' chính quy. Do đó đưa sự chú ý vào các số nguyên tố chính quy.<ref name="Gardiner1988">{{Citation | last1=Gardiner | first1=A. | title=Four Problems on Prime Power Divisibility | year=1988 | journal=American Mathematical Monthly | volume=95 | issue=10 | pages=926–931 | doi=10.2307/2322386| jstor=2322386 }}</ref> Trong 1852, Genocchi chứng minh được thêm rằng [[trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat]] đúng cho số nguyên tố ''p'', khi {{nowrap|(''p'', ''p'' − 3)}} không phải cặp số phi chính quy. Kummer cải tiến thêm vào 1857 rằng đối với "trường hợp đầu" của định lý lớn Fermat (xem [[định lý Sophie Germain]]), ta đủ để chứng minh rằng hoặc {{nowrap|(''p'', ''p'' − 3)}} hoặc {{nowrap|(''p'', ''p'' − 5)}} không phải cặp phi chính quy.

Kummer tìm được các số nguyên tố phi chính quy cho tới 165. Trong 1963, Lehmer tăng giới hạn lên 10000 , sau đó Selfridge và Pollack báo cáo trong 1964 đã hoàn thành bảng các số nguyên tố phi chính quy lên tới 25000. Mặc dù hai bản sau không được in ra giấy, Johnson tìm ra rằng {{nowrap|(''p'', ''p'' − 3)}} là cặp số phi chính quy với {{nowrap|''p'' {{=}} 16843}} và đây là trường hợp duy nhất cho {{nowrap|''p'' < 30000}}.<ref>{{Citation | last1=Johnson | first1=W. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants | year=1975 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=29 | issue=129 | pages=113–120 | url=https://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/ | doi=10.2307/2005468 | jstor=2005468 | doi-access=free }}</ref> Ta tìm được thêm một số khác vào năm 1993 với {{nowrap|''p'' {{=}} 2124679}}; xem thêm [[số nguyên tố Wolstenholme]].<ref>{{cite journal | last1 = Buhler | first1 = J. | last2 = Crandall | first2 = R. | last3 = Ernvall | first3 = R. | last4 = Metsänkylä | first4 = T. | year = 1993 | title = Irregular primes and cyclotomic invariants to four million | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1993-07_61_203/page/151 | journal = Math. Comp. | volume = 61 | issue = 203 | pages = 151–153 | doi=10.1090/s0025-5718-1993-1197511-5| bibcode = 1993MaCom..61..151B | doi-access = free }}</ref>

==Định nghĩa==

===Định nghĩa bằng số lớp ===
Số nguyên tố lẻ ''p'' là số nguyên tố chính quy nếu nó không phải là ước của [[số lớp (lý thuyết số)|số lớp]] của [[trường cyclotomic]] thứ p :'''Q'''(''ζ''''p''), với ''ζ''''p'' là căn đơn vị nguyên thủy thứ ''p'', danh sách các số được liệt kê trong {{oeis|id=A000927}}. Số 2 cũng được coi là số nguyên tố chính quy

[[số lớp (lý thuyết số)|Số lớp]] của trường cyclotomic là số các [[ideal (lý thuyết vành)|ideal]] của [[vành số nguyên]]
'''Z'''(ζ''p'') xê xích tương đương. Hai ideal ''I'', ''J'' được gọi là tương đương nhau nếu tồn tại ''u'' khác không thuộc '''Q'''(''ζ''''p'') sao cho {{nowrap|1=''I'' = ''uJ''}}.

===Định nghĩa theo Kummer===
[[Ernst Kummer]] {{harv|Kummer|1850}} đưa ra một định nghĩa tương đương khác rằng ''p'' chính quy khi và chỉ khi ''p'' không phải là ước của bất kỳ [[số Bernoulli]]  ''B''''k'' với {{nowrap|''k'' {{=}} 2, 4, 6, ..., ''p'' − 3}}.

Bài chứng minh của Kummer rằng định nghĩa này tương đương với định nghĩa bằng số lớp được gia cố thêm bằng [[định lý Herbrand–Ribet]]

==Giả thuyết Siegel==
Hiện đang có [[giả thuyết]] rằng có vô hạn số nguyên tố chính quy. Và chính xác hơn thì {{harvs|first=Carl Ludwig|last=Siegel|authorlink=Carl Ludwig Siegel|year=1964|txt}} giả thuyết thêm rằng khoảng ''[[e (mathematical constant)|e]]''−1/2, hay khoảng 60.65% của tất cả các số nguyên tố là số nguyên tố chính quy theo ngôn ngữ [[tiệm cận (giải tích)|tiệm cận]] với mật độ tự nhiên. Hiện giờ chưa có giả thuyết nào được chứng minh.

== Số nguyên tố phi chính quy ==
Số nguyên tố lẻ không chính quy được gọi là '''số nguyên tố phi chính quy''' (hay '''B-phi chính quy''' để phân biệt với các dạng phi chính quy bên dưới). Một số số nguyên tố phi chính quy đầu tiên là:

: 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, ... {{OEIS|id=A000928}}

===Tính vô hạn===
[[Kaj Løchte Jensen|K. L. Jensen]] (một học trò của [[Niels Nielsen|Nielsen]]<ref>[http://tau.ac.il/~corry/publications/articles/pdf/Computers%20and%20FLT.pdf Leo Corry: Number Crunching vs. Number Theory: Computers and FLT, from Kummer to SWAC (1850–1960), and beyond]</ref>) trong 1915 đã chứng minh được rằng có vô số số nguyên tố phi chính quy dưới dạng {{nowrap|4''n'' + 3}}.
<ref>{{cite journal | last = Jensen | first = K. L. | title = Om talteoretiske Egenskaber ved de Bernoulliske Tal | jstor=24532219 | journal = NYT Tidsskr. Mat. | volume = B 26 | pages = 73–83 | year = 1915}}</ref>
Trong 1954 [[Leonard Carlitz|Carlitz]] đưa ra kết quả yếu hơn rằng nhìn chung có vô số nguyên tố phi chính quy.<ref>{{cite journal | last = Carlitz | first = L. | title = Note on irregular primes | journal = Proceedings of the American Mathematical Society | volume = 5 | issue = 2 | pages = 329–331 | publisher = [[American Mathematical Society|AMS]] | year = 1954 | url = https://www.ams.org/journals/proc/1954-005-02/S0002-9939-1954-0061124-6/S0002-9939-1954-0061124-6.pdf  | issn = 1088-6826 | doi = 10.1090/S0002-9939-1954-0061124-6 | mr = 61124| doi-access = free }}</ref>

Metsänkylä chứng minh rằng với bất kỳ số nguyên {{nowrap|''T'' > 6}}, có vô số số nguyên tố phi chính quy không nằm dưới dạng {{nowrap|''mT'' + 1}} hay {{nowrap|''mT'' − 1}},<ref>{{cite journal |author=Tauno Metsänkylä |title=Note on the distribution of irregular primes |journal=Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I |volume=492 |year=1971 |mr=0274403}}</ref> sau này tổng quát thêm.<ref>{{cite journal |author=Tauno Metsänkylä |title=Distribution of irregular prime numbers |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=1976 |issue=282 |doi=10.1515/crll.1976.282.126 |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002191873 |year=1976|pages=126–130 |s2cid=201061944 }}</ref>

===Cặp số phi chính quy===

Nếu ''p'' là số nguyên tố phi chính quy và ''p'' là ước của số Bernoulli ''B''2''k'' cho {{nowrap|0 < 2''k'' < ''p'' − 1}}, thì {{nowrap|(''p'', 2''k'')}} được gọi là '''cặp phi chính quy'''.  Nói cách khác, cặp số này được dùng để kiểm tra xem với số nguyên tố ''p'', xem chỉ số của số Bernoulli mà tại đó mất tính chính quy. Các cặp đầu tiên (xếp thứ tự bởi k) là:

: (691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), (2294797, 24), (657931, 26), (9349, 28), (362903, 28), ... {{OEIS|id=A189683}}.

Các số ''k'' chẵn nhỏ sao cho số nguyên tố phi chính quy thứ ''n'' là ước của ''Bk là
:32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, 126, 240, 366, 196, 130, 94, 292, 400, 86, 270, 222, 52, 90, 22, ... {{OEIS|id=A035112}}

Đối với số nguyên tố ''p'', số các cặp chứa ''p'' được gọi là '''chỉ số phi chính quy''' của ''p''.<ref name=Nark475>{{citation | last=Narkiewicz | first=Władysław | title=Elementary and analytic theory of algebraic numbers | edition=2nd, substantially revised and extended | publisher=[[Springer-Verlag]]; [[Polish Scientific Publishers PWN|PWN-Polish Scientific Publishers]] | year=1990 | isbn=3-540-51250-0 | zbl=0717.11045 | page=[https://archive.org/details/elementaryanalyt0000nark/page/475 475] | url=https://archive.org/details/elementaryanalyt0000nark/page/475 }}</ref>  Do đó, số nguyên tố được gọi là chính quy khi chỉ số phi chính quy của nó bằng không. Tương tự như vậy, số nguyên tố phi chính quy khi chỉ số phi chính quy của nó dương.

Ta phát hiện ra rằng {{nowrap|(''p'', ''p'' − 3)}} là cặp phi chính quy cho {{nowrap|''p'' {{=}} 16843}} và {{nowrap|''p'' {{=}} 2124679}}. Không có ''p'' nào khác cho {{nowrap|''p'' < 109}}.

===Chỉ số phi chính quy===
Số nguyên tố ''p'' có '''chỉ số phi chính quy''' ''n'' [[khi và chỉ khi]] có ''n'' giá trị ''k'' thỏa mãn ''p'' là ước của ''B2k'' và các giả trị ''k'' này đều nhỏ hơn {{nowrap|(''p'' − 1)/2}}. Số nguyên tố lẻ đầu tiên có chỉ số phi chính quy lớn hơn 1 là số [[157 (số)|157]], là ước của ''B''62 và ''B''110, nên nó có chỉ số bằng 2. Chỉ số của số nguyên tố chính quy bằng 0.

Dãy chỉ số phi chính quy của số nguyên tố thứ ''n'' là
:0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... (Bắt đầu với ''n'' = 2, hoặc ''p'' = 3) {{OEIS|id=A091888}}

Dãy chỉ số phi chính quy của số nguyên tố phi chính quy thứ ''n'' là
:1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, ... {{OEIS|id=A091887}}

Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 1 là
:37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 971, ... {{OEIS|id=A073276}}

Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 2 là
:157, 353, 379, 467, 547, 587, 631, 673, 691, 809, 929, 1291, 1297, 1307, 1663, 1669, 1733, 1789, 1933, 1997, 2003, 2087, 2273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957, ... {{OEIS|id=A073277}}

Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 3 là
:491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 14533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869, ... {{OEIS|id=A060975}}

==Các dạng tổng quát==

===Số nguyên tố phi chính quy Euler ===
Tương tự đối với các số Euler, ta định nghĩa '''số nguyên tố phi chính quy Euler''' (hay '''E-phi chính quy''') là số nguyên tố ''p'' là ước của ít nhất một [[số Euler]] ''E2n'' với {{nowrap|0 < 2''n'' ≤ ''p'' − 3}}. Các số nguyên tố phi chính quy Euler đầu tiên là
:19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587, ... {{OEIS|id=A120337}}

Dãy các cặp phi chính quy Euler là
:(61, 6), (277, 8), (19, 10), (2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437, 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28), ...

Vandiver chứng minh rằng [[định lý lớn Fermat]] ({{nowrap|1=''x''''p'' + ''y''''p'' = ''z''''p''}}) không có nghiệm nguyên ''x'', ''y'', ''z'' với {{nowrap|1=gcd(''xyz'', ''p'') = 1}} nếu ''p'' là số nguyên tố chính quy Euler. Gut chứng minh rằng {{nowrap|1=''x''2''p'' + ''y''2''p'' = ''z''2''p''}} không có nghiệm nguyên nếu ''p'' có chỉ số phi chính quy Euler nhỏ hơn 5.<ref>{{Cite web|title=The Top Twenty: Euler Irregular primes|url=https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=25|access-date=2021-07-21|website=primes.utm.edu}}</ref>

Hiện đã chứng minh được rằng có vô hạn số nguyên tố phi chính quy Euler. Một kết quả mạnh hơn thu được như sau: có vô hạn số nguyên tố phi chính quy Euler [[số học mô đun|đồng dư]] với 1 khi mô đun 8. Giống với trường hợp B-chính quy của Kummer, hiện vẫn chưa biết được liệu có vô số số nguyên tố chính quy Euler.

===Số nguyên tố phi chính quy mạnh===
Số nguyên tố ''p'' được gọi là '''phi chính quy mạnh''' nếu nó vừa B-phi chính quy và E-phi chính quy (chỉ số của số Bernoulli và số Euler chia hết cho ''p'' có thể bằng nhau hoặc khác nhau). Các số nguyên tố phi chính quy mạnh đầu tiên là
:67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, 887, 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, ... {{OEIS|A128197}}

Chứng minh [[định lý lớn Fermat]] cho số nguyên tố phi chính quy mạnh ''p'' khó hơn nhiều (bởi [[Ernst Kummer|Kummer]] đã chứng minh trước trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat cho các số nguyên tố B-chính quy, và [[Harry Vandiver|Vandiver]] chứng minh định lý lờn Fermat cho các số nguyên tố E-chính quy), điểm khó nhất gặp phải là không chỉ ''p'' là số nguyên tố phi chính quy mạnh, mà các số {{nowrap|2''p'' + 1}}, {{nowrap|4''p'' + 1}}, {{nowrap|8''p'' + 1}}, {{nowrap|10''p'' + 1}}, {{nowrap|14''p'' + 1}}, và {{nowrap|16''p'' + 1}} còn đều là hợp số ([[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] chứng minh định lý lờn Fermat cho các số nguyên tố ''p'' thoả mãn ít nhất một trong các số {{nowrap|2''p'' + 1}}, {{nowrap|4''p'' + 1}}, {{nowrap|8''p'' + 1}}, {{nowrap|10''p'' + 1}}, {{nowrap|14''p'' + 1}}, và {{nowrap|16''p'' + 1}} là số nguyên tố), các số nguyên tố ''p'' thoả mãn tính chất đó nằm trong dãy
:263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283, ...

===Số nguyên tố phi chính quy yếu===
Số nguyên tố ''p'' được gọi là '''phi chính quy yếu''' nếu nó không B-phi chính quy hoặc E-phi chính quy (hoặc không cả hai). Các số nguyên tố phi chính quy yếu đầu tiên là
:19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 571, 577, 587, 593, ... {{OEIS|id=A250216}}

Giống với tính phi chính quy Bernoulli, phi chính quy yếu có quan hệ với tính chia hết của số lớp của [[trường cyclotomic]]. Cụ thể, số nguyên tố ''p'' phi chính quy yếu khi và chỉ khi ''p'' là ước của trường cyclotomic thứ 4''p'' (tức trường '''Q'''(''ζ''''4p'').

==== Cặp phi chính quy yếu ====

Trong đoạn dưới đây, lưu ý rằng "''an''" là tử số của số Bernoulli thứ ''n'' nếu ''n'' chẵn, và là số Euler thứ {{nowrap|(''n'' − 1)}} nếu ''n'' lẻ {{OEIS|id=A246006}}.

Bởi với mọi số nguyên tố lẻ ''p'', ''p'' là ước của ''ap'' khi và chỉ khi ''p'' đồng dư với 1 mô đun 4, và bởi vì ''p'' là ước của mẫu số của số Bernoulli thứ {{nowrap|(''p'' − 1)}} với mọi số nguyên tố lẻ ''p'', nên cho bất kỳ số nguyên tố lẻ ''p'', ''p'' không thể là ước của ''a''''p''−1. Bên cạnh đó, ''p'' là ước của ''an'' (và 2''p'' không là ước của ''n'') khi và chỉ khi ''p'' cũng là ước của ''a''''n''+''k''(''p''−1) (nếu 2''p'' là ước của ''n'', thì câu này phải đổi thành "''p'' cũng là ước của ''a''''n''+2''kp''". Hơn nữa, nếu 2''p'' là ước của ''n'' và {{nowrap|''p''(''p'' − 1)}} không phải là ước của ''n'', thì ''p'' là ước của ''a''''n''.) cho mọi số nguyên ''k'' (cần điều kiện {{nowrap|''n'' + ''k''(''p'' − 1)}} > 1). Ví dụ chẳng hạn, bởi 19 là ước của ''a''11 và {{nowrap|1=2 × 19 = 38}} không phải là ước của 11, nên 19 là ước của ''a''18''k''+11 với mọi ''k''. Do đó, trong định nghĩa của cặp phi chính quy {{nowrap|(''p'', ''n'')}}, giá trị ''n'' nên không quá {{nowrap|''p'' − 2}}.

Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy thoả mãn số nguyên tố lẻ {{nowrap|''p'' ≤ 661}}:

{|class="wikitable"
|''p''
|các số nguyên
0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2
sao cho ''p'' là ước của ''an''
|''p''
|các số nguyên
0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2
sao cho ''p'' là ước của ''an''
|''p''
|các số nguyên
0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2
sao cho ''p'' là ước của ''an''
|''p''
|các số nguyên
0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2
sao cho ''p'' là ước của ''an''
|''p''
|các số nguyên
0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2
sao cho ''p'' là ước của ''an''
|''p''
|các số nguyên
0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2
sao cho ''p'' là ước của ''an''
|-
|3
|
|79
|19
|181
|
|293
|156
|421
|240
|557
|222
|-
|5
|
|83
|
|191
|
|307
|88, 91, 137
|431
|
|563
|175, 261
|-
|7
|
|89
|
|193
|75
|311
|87, 193, 292
|433
|215, 366
|569
|
|-
|11
|
|97
|
|197
|
|313
|
|439
|
|571
|389
|-
|13
|
|101
|63, 68
|199
|
|317
|
|443
|
|577
|52, 209, 427
|-
|17
|
|103
|24
|211
|
|331
|
|449
|
|587
|45, 90, 92
|-
|19
|11
|107
|
|223
|133
|337
|
|457
|
|593
|22
|-
|23
|
|109
|
|227
|
|347
|280
|461
|196, 427
|599
|
|-
|29
|
|113
|
|229
|
|349
|19, 257
|463
|130, 229
|601
|
|-
|31
|23
|127
|
|233
|84
|353
|71, 186, 300
|467
|94, 194
|607
|592
|-
|37
|32
|131
|22
|239
|
|359
|125
|479
|
|613
|522
|-
|41
|
|137
|43
|241
|211, 239
|367
|
|487
|
|617
|20, 174, 338
|-
|43
|13
|139
|129
|251
|127
|373
|163
|491
|292, 336, 338, 429
|619
|371, 428, 543
|-
|47
|15
|149
|130, 147
|257
|164
|379
|100, 174, 317
|499
|
|631
|80, 226
|-
|53
|
|151
|
|263
|100, 213
|383
|
|503
|
|641
|
|-
|59
|44
|157
|62, 110
|269
|
|389
|200
|509
|141
|643
|
|-
|61
|7
|163
|
|271
|84
|397
|
|521
|
|647
|236, 242, 554
|-
|67
|27, 58
|167
|
|277
|9
|401
|382
|523
|400
|653
|48
|-
|71
|29
|173
|
|281
|
|409
|126
|541
|86, 465
|659
|224
|-
|73
|
|179
|
|283
|20
|419
|159
|547
|270, 486
|661
|
|}

Các số nguyên tố dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 3 là 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751, và 929. Bên cạnh đó, 491 là số nguyên tố duy nhất dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 4, và các số nguyên tố lẻ còn lại dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 0, 1, hoặc 2. ('''Chỉ số phi chính yếu''' được định nghĩa là số các số nguyên {{nowrap|0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2}} thoả mãn ''p'' là ước của ''an''.)

Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy với ''n'' ≤ 63. (Để tìm ra các cặp này, ta chỉ cần phân tích thừa số
của ''an''. Lấy ví dụ, {{nowrap|1=''a''34 = 17 × 151628697551}}, nhưng {{nowrap|17 < 34 + 2}}, nên cặp phi chính quy duy nhất với {{nowrap|1=''n'' = 34}} là {{nowrap|(151628697551, 34)}}) (đối với các  ''n'' chẵn lên tới 300 và các ''n'' lẻ lên tới 201, xem <ref>{{Cite web|title=Bernoulli and Euler numbers|url=https://homes.cerias.purdue.edu/~ssw/bernoulli/index.html|access-date=2021-07-21|website=homes.cerias.purdue.edu}}</ref>).

{|class="wikitable"
|''n''
|các số nguyên tố ''p'' ≥ ''n'' + 2 sao cho ''p'' là ước của ''an''
|''n''
|các số nguyên tố ''p'' ≥ ''n'' + 2 sao cho ''p'' là ước của ''an''
|-
|0
|
|32
|37, 683, 305065927
|-
|1
|
|33
|930157, 42737921, 52536026741617
|-
|2
|
|34
|151628697551
|-
|3
|
|35
|4153, 8429689, 2305820097576334676593
|-
|4
|
|36
|26315271553053477373
|-
|5
|
|37
|9257, 73026287, 25355088490684770871
|-
|6
|
|38
|154210205991661
|-
|7
|61
|39
|23489580527043108252017828576198947741
|-
|8
|
|40
|137616929, 1897170067619
|-
|9
|277
|41
|763601, 52778129, 359513962188687126618793
|-
|10
|
|42
|1520097643918070802691
|-
|11
|19, 2659
|43
|137, 5563, 13599529127564174819549339030619651971
|-
|12
|691
|44
|59, 8089, 2947939, 1798482437
|-
|13
|43, 967
|45
|587, 32027, 9728167327, 36408069989737, 238716161191111
|-
|14
|
|46
|383799511, 67568238839737
|-
|15
|47, 4241723
|47
|285528427091, 1229030085617829967076190070873124909
|-
|16
|3617
|48
|653, 56039, 153289748932447906241
|-
|17
|228135437
|49
|5516994249383296071214195242422482492286460673697
|-
|18
|43867
|50
|417202699, 47464429777438199
|-
|19
|79, 349, 87224971
|51
|5639, 1508047, 10546435076057211497, 67494515552598479622918721
|-
|20
|283, 617
|52
|577, 58741, 401029177, 4534045619429
|-
|21
|41737, 354957173
|53
|1601, 2144617, 537569557577904730817, 429083282746263743638619
|-
|22
|131, 593
|54
|39409, 660183281, 1120412849144121779
|-
|23
|31, 1567103, 1427513357
|55
|2749, 3886651, 78383747632327, 209560784826737564385795230911608079
|-
|24
|103, 2294797
|56
|113161, 163979, 19088082706840550550313
|-
|25
|2137, 111691689741601
|57
|5303, 7256152441, 52327916441, 2551319957161, 12646529075062293075738167
|-
|26
|657931
|58
|67, 186707, 6235242049, 37349583369104129
|-
|27
|67, 61001082228255580483
|59
|1459879476771247347961031445001033, 8645932388694028255845384768828577
|-
|28
|9349, 362903
|60
|2003, 5549927, 109317926249509865753025015237911
|-
|29
|71, 30211, 2717447, 77980901
|61
|6821509, 14922423647156041, 190924415797997235233811858285255904935247
|-
|30
|1721, 1001259881
|62
|157, 266689, 329447317, 28765594733083851481
|-
|31
|15669721, 28178159218598921101
|63
|101, 6863, 418739, 1042901, 91696392173931715546458327937225591842756597414460291393
|}

Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy {{nowrap|(''p'', ''p'' − ''n'')}} ({{nowrap|''n'' ≥ 2}}), hiện ta đang phỏng đoán rằng có vô hạn cặp phi chính quy {{nowrap|(''p'', ''p'' − ''n'')}} với mọi số tự nhiên {{nowrap|''n'' ≥ 2}}, nhưng mới chỉ một ít được tìm thấy khi cố định ''n'' và thậm chí còn có một số giá trị của ''n'' vẫn chưa tìm thấy số nguyên tố ''p'' đi kèm.

{|class="wikitable"
|''n''
|Số nguyên tố ''p'' sao cho ''p'' là ước của ''a''''p''−''n'' (các giá trị ''p'' được kiểm tra lên tới 20000)
|Dãy [[OEIS]]
|-
|2
|149, 241, 2946901, 16467631, 17613227, 327784727, 426369739, 1062232319, ...
|{{OEIS link|id=A198245}}
|-
|3
|16843, 2124679, ...
|{{OEIS link|id=A088164}}
|-
|4
|...
|
|-
|5
|37, ...
|
|-
|6
|...
|
|-
|7
|...
|
|-
|8
|19, 31, 3701, ...
|
|-
|9
|67, 877, ...
|{{OEIS link|id=A212557}}
|-
|10
|139, ...
|
|-
|11
|9311, ...
|
|-
|12
|...
|
|-
|13
|...
|
|-
|14
|...
|
|-
|15
|59, 607, ...
|
|-
|16
|1427, 6473, ...
|
|-
|17
|2591, ...
|
|-
|18
|...
|
|-
|19
|149, 311, 401, 10133, ...
|
|-
|20
|9643, ...
|
|-
|21
|8369, ...
|
|-
|22
|...
|
|-
|23
|...
|
|-
|24
|17011, ...
|
|-
|25
|...
|
|-
|26
|...
|
|-
|27
|...
|
|-
|28
|...
|
|-
|29
|4219, 9133, ...
|
|-
|30
|43, 241, ...
|
|-
|31
|3323, ...
|
|-
|32
|47, ...
|
|-
|33
|101, 2267, ...
|
|-
|34
|461, ...
|
|-
|35
|...
|
|-
|36
|1663, ...
|
|-
|37
|...
|
|-
|38
|101, 5147, ...
|
|-
|39
|3181, 3529, ...
|
|-
|40
|67, 751, 16007, ...
|
|-
|41
|773, ...
|
|}

==Xem thêm==
*[[Số nguyên tố Wolstenholme]]

==Tham khảo==
{{reflist}}

==Đọc thêm==
*{{citation|first=E. E.|last=Kummer|author-link=Ernst Kummer| title=Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung ''x''''λ'' + ''y''''λ'' = ''z''''λ'' durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten ''λ'', welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (''λ''−3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen |journal=J. Reine Angew. Math. |volume=40 |year=1850 |pages=131–138 |url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002146738}}
* {{citation
 | last = Siegel | first = Carl Ludwig | author-link = Carl Ludwig Siegel
 | journal = Nachrichten der Akademie der Wissenschaften in Göttingen
 | mr = 0163899
 | pages = 51–57
 | title = Zu zwei Bemerkungen Kummers
 | volume = 1964
 | year = 1964}}
* {{Citation | last1=Iwasawa | first1=K. | last2=Sims | first2=C. C. | title=Computation of invariants in the theory of cyclotomic fields | year=1966 | journal=Journal of the Mathematical Society of Japan | volume=18 | issue=1 | pages=86–96 | url=https://projecteuclid.org/euclid.jmsj/1260541355 | doi=10.2969/jmsj/01810086 | doi-access=free }}
* {{Citation | last1=Wagstaff, Jr. | first1=S. S. | title=The Irregular Primes to 125000 | year=1978 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=32 | issue=142 | pages=583–591 | url=https://www.ams.org/journals/mcom/1978-32-142/S0025-5718-1978-0491465-4/| doi=10.2307/2006167 | jstor=2006167 }}
* {{Citation | last1=Granville | first1=A. | last2=Monagan | first2=M. B. | title=The First Case of Fermat's Last Theorem is True for All Prime Exponents up to 714,591,416,091,389 | year=1988 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | volume=306 | issue=1 | pages=329–359 | doi=10.1090/S0002-9947-1988-0927694-5 | mr = 0927694| doi-access=free }}
* {{Citation | last1=Gardiner | first1=A. | title=Four Problems on Prime Power Divisibility | year=1988 | journal=American Mathematical Monthly | volume=95 | issue=10 | pages=926–931 | doi=10.2307/2322386| jstor=2322386 }}
* {{Citation | last1=Ernvall | first1=R. | last2=Metsänkylä | first2=T. | title=Cyclotomic Invariants for Primes Between 125000 and 150000 | year=1991 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=56 | issue=194 | pages=851–858 | url=https://www.ams.org/journals/mcom/1991-56-194/S0025-5718-1991-1068819-7/ | doi=10.2307/2008413 | jstor=2008413 }}
* {{Citation | last1=Ernvall | first1=R. | last2=Metsänkylä | first2=T. | title=Cyclotomic Invariants for Primes to One Million | year=1992 | journal=Mathematics of Computation | volume=59 | issue=199 | pages=249–250 | url=https://www.ams.org/journals/mcom/1992-59-199/S0025-5718-1992-1134727-7/S0025-5718-1992-1134727-7.pdf | doi=10.2307/2152994| jstor=2152994 | doi-access=free }}
* {{Citation | last1=Buhler | first1=J. P. | last2=Crandall | first2=R. E. | last3=Sompolski | first3=R. W. | title=Irregular Primes to One Million | year=1992 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=59 | issue=200 | pages=717–722 | url=https://www.ams.org/journals/mcom/1992-59-200/S0025-5718-1992-1134717-4/ | doi=10.2307/2153086  | jstor=2153086 | doi-access=free }}
* {{Citation | last1 = Boyd | first1 = D. W.| title = A ''p''-adic Study of the Partial Sums of the Harmonic Series | url = http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515811| doi = 10.1080/10586458.1994.10504298 | journal = [[Experimental Mathematics (journal)|Experimental Mathematics]]| volume = 3 | issue = 4 | pages = 287–302 | year = 1994| zbl = 0838.11015}}
* {{Citation | last1=Shokrollahi | first1=M. A. | title=Computation of Irregular Primes up to Eight Million (Preliminary Report) | year=1996 | series=ICSI Technical Report | volume=TR-96-002 | url=http://www.icsi.berkeley.edu/ftp/global/global/pub/techreports/1996/tr-96-002.ps.gz | access-date=2022-07-26 | archive-date=2007-06-14 | archive-url=https://web.archive.org/web/20070614000759/http://www.icsi.berkeley.edu/ftp/global/global/pub/techreports/1996/tr-96-002.ps.gz }}
* {{Citation | last1=Buhler | first1=J. | last2=Crandall | first2=R. | last3=Ernvall | first3=R. | last4=Metsänkylä | first4=T. | last5=Shokrollahi | first5=M.A. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to 12 Million | year=2001 | journal=Journal of Symbolic Computation | volume=31 | issue=1–2 | pages=89–96 | doi=10.1006/jsco.1999.1011| doi-access=free }}
* {{Citation |author=Richard K. Guy |author-link=Richard K. Guy |title=Unsolved Problems in Number Theory |edition=3rd |publisher=[[Springer Verlag]] |year=2004 |isbn=0-387-20860-7 |chapter=Section D2. The Fermat Problem}}
* {{Citation | last=Villegas | first=F. R. | title=Experimental Number Theory | publisher=Oxford University Press | year=2007 | location=New York | pages=166–167 | url=https://books.google.com/books?id=xXNFmoEaD9QC&pg=PA166 | isbn=978-0-19-852822-7}}

== Liên kết ngoài ==
* {{mathworld|urlname=IrregularPrime|title=Irregular prime}}
* Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Regular The Prime Glossary: regular prime] at The [[Prime Pages]].
* Keith Conrad, [http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/fltreg.pdf Fermat's last theorem for regular primes].
* [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=26 Bernoulli irregular prime]
* [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=25 Euler irregular prime]
* [http://www.luschny.de/math/primes/irregular.html Bernoulli and Euler irregular primes].
* [http://homes.cerias.purdue.edu/~ssw/bernoulli/index.html Factorization of Bernoulli and Euler numbers]
* [http://homes.cerias.purdue.edu/~ssw/bernoulli/full.pdf Factorization of Bernoulli and Euler numbers]

{{Phân loại các số nguyên tố}}
[[Thể loại:Số nguyên tố]]
[[Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số]]


text:
# Titanio sultanalis
Titanio sultanalis là một loài bướm đêm trong họ Crambidae.

wikiname: viwiki

title: Titanio sultanalis

in_language: vi

wikitext:
{{nhan đề nghiêng}}
{{Bảng phân loại
| name = ''Titanio sultanalis''
| image =
| image_caption =
| status =
| status_system =
| status_ref =
| regnum = [[Động vật|Animalia]]
| phylum = [[Động vật Chân khớp|Arthropoda]]
| classis = [[Côn trùng|Insecta]]
| ordo = [[Bộ Cánh vảy|Lepidoptera]]
| familia = [[Crambidae]]
| genus = ''[[Titanio]]''
| species = '''''T. sultanalis'''''
| binomial = ''Titanio sultanalis''
| binomial_authority =
| synonyms =
}}
'''''Titanio sultanalis''''' là một loài [[bướm đêm]] trong họ [[Crambidae]].<ref name = "COL">{{chú thích web |url= http://www.catalogueoflife.org/annual-checklist/2011/search/all/key/Titanio+sultanalis/match/1|title= Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist.|access-date = ngày 19 tháng 6 năm 2014 |author= Bisby |first = F.A. |last2 = Roskov |first2 = Y.R. |last3 = Orrell |first3 = T.M. |last4 = Nicolson |first4 = D. |last5 = Paglinawan |first5 = L.E. |last6 = Bailly |first6 = N. |last7 = Kirk |first7 = P.M. |last8 = Bourgoin |first8 = T. |last9 = Baillargeon |first9= G. |last10 = Ouvrard |first10 = D.|year= 2011|publisher=Species 2000: Reading, UK.}}</ref><ref>{{Brontabel|9999-Lepindex}}</ref>

==Chú thích==
{{Tham khảo}}

==Liên kết ngoài==
*{{Wikispecies nội dòng|Titanio sultanalis|''Titanio sultanalis''}}
*{{Thể loại Commons nội dòng|Titanio sultanalis|''Titanio sultanalis''}}

[[Thể loại:Titanio]]
[[Thể loại:Odontiini]]

{{Odontiinae-stub}}

title: Phân loại khoa học

Giới (regnum): Animalia

Ngành (phylum): Arthropoda

Lớp (class): Insecta

Bộ (ordo): Lepidoptera

Họ (familia): Crambidae

Chi (genus): Titanio

Loài (species): T. sultanalis

title: Danh pháp hai phần

Danh pháp hai phần: Titanio sultanalis


text:
# Giải vô địch bóng đá trẻ châu Á 1990
Giải vô địch bóng đá trẻ châu Á 1990 diễn ra tại Jakarta, Indonesia.  Hàn Quốc vô địch giải đấu lần thứ 7 sau khi đánh bại  CHDCND Triều Tiên.

## Vòng bảng

### Bảng A
| Đội               | ST | T | H | B | BT | BB | HS | Đ |
| ----------------- | -- | - | - | - | -- | -- | -- | - |
| Qatar             | 3  | 3 | 0 | 0 | 5  | 1  | +4 | 6 |
| CHDCND Triều Tiên | 3  | 2 | 0 | 1 | 9  | 3  | +6 | 4 |
| Ấn Độ             | 3  | 1 | 0 | 2 | 3  | 7  | −4 | 2 |
| Indonesia         | 3  | 0 | 0 | 3 | 3  | 9  | −6 | 0 |

| Ấn Độ | 1–4 | CHDCND Triều Tiên |
| ----- | --- | ----------------- |
|       |     |                   |

| Indonesia | 1–2 | Qatar |
| --------- | --- | ----- |
|           |     |       |

| CHDCND Triều Tiên | 5–1 | Indonesia |
| ----------------- | --- | --------- |
|                   |     |           |

| Qatar | 2–0 | Ấn Độ |
| ----- | --- | ----- |
|       |     |       |

| Ấn Độ | 2–1 | Indonesia |
| ----- | --- | --------- |
|       |     |           |

| CHDCND Triều Tiên | 0–1 | Qatar |
| ----------------- | --- | ----- |
|                   |     |       |

### Bảng B
| Đội      | ST | T | H | B | BT | BB | HS | Đ |
| -------- | -- | - | - | - | -- | -- | -- | - |
| Syria    | 3  | 1 | 2 | 0 | 7  | 3  | +4 | 4 |
| Hàn Quốc | 3  | 1 | 2 | 0 | 2  | 1  | +1 | 4 |
| Nhật Bản | 3  | 1 | 1 | 1 | 5  | 4  | +1 | 3 |
| Bahrain  | 3  | 0 | 1 | 2 | 1  | 7  | −6 | 1 |

| Bahrain | 0–4 | Syria |
| ------- | --- | ----- |
|         |     |       |

| Hàn Quốc | 1–0 | Nhật Bản |
| -------- | --- | -------- |
|          |     |          |

| Nhật Bản | 3–1 | Bahrain |
| -------- | --- | ------- |
|          |     |         |

| Syria | 1–1 | Hàn Quốc |
| ----- | --- | -------- |
|       |     |          |

| Nhật Bản | 2–2 | Syria |
| -------- | --- | ----- |
|          |     |       |

| Hàn Quốc | 0–0 | Bahrain |
| -------- | --- | ------- |
|          |     |         |

## Vòng loại trực tiếp
|  | Bán kết           | Bán kết           |                |       | Chung kết | Chung kết |
|  |                   |                   |                |       |           |           |
|  |                   |                   |                |       |           |           |
|  |                   |                   |                |       |           |           |
|  | Qatar             | 0                 |                |       |           |           |
|  | Qatar             | 0                 |                |       |           |           |
|  | Hàn Quốc          | 1                 |                |       |           |           |
|  | Hàn Quốc          | 1                 | Hàn Quốc (pen) | 0 (4) |           |           |
|  |                   |                   | Hàn Quốc (pen) | 0 (4) |           |           |
|  |                   | CHDCND Triều Tiên | 0 (3)          |       |           |           |
|  | Syria             | CHDCND Triều Tiên | 0 (3)          | 1     |           |           |
|  | Syria             |                   |                | 1     |           |           |
|  | CHDCND Triều Tiên | 2                 |                |       |           |           |
|  | CHDCND Triều Tiên | 2                 | Tranh hạng ba  |       |           |           |
|  |                   |                   |                |       |           |           |
|  |                   |                   |                |       |           |           |
|  |                   |                   |                |       |           |           |
|  | Syria             | 1                 |                |       |           |           |
|  | Syria             | 1                 |                |       |           |           |
|  | Qatar             | 0                 |                |       |           |           |

### Bán kết
| Qatar | 0–1 | Hàn Quốc |
| ----- | --- | -------- |
|       |     |          |

| Syria | 1–2 | CHDCND Triều Tiên |
| ----- | --- | ----------------- |
|       |     |                   |

### Tranh hạng ba
| Syria | 1–0 | Qatar |
| ----- | --- | ----- |
|       |     |       |

### Chung kết
| Hàn Quốc          | 0–0 | CHDCND Triều Tiên |
| ----------------- | --- | ----------------- |
|                   |     |                   |
| Loạt sút luân lưu |     |                   |
|                   | 4–3 |                   |

## Vô địch
| Giải vô địch bóng đá trẻ châu Á 1990 |
| ------------------------------------ |
| · Hàn Quốc · Lần thứ 7               |

- Hàn Quốc,  CHDCND Triều Tiên,  Syria tham dự Giải vô địch bóng đá trẻ thế giới 1991.  Hàn Quốc và  CHDCND Triều Tiên tham dự Cúp thế giới với tư cách là một đội thống nhất.

title: Giải vô địch bóng đá trẻ châu Á 1990

wikitext:
{{Infobox international football competition
| tourney_name = Giải vô địch bóng đá trẻ châu Á
| year = 1990
| other_titles =
| image =
| size =
| caption =
| country = َ{{flagicon|Indonesia}} [[Indonesia]]
| dates = 3 – 15 tháng 11
| num_teams = 8
| confederations = 1
| venues = 1
| cities = 1
| champion_other = {{fbu|19|KOR}}
| count = 7
| second_other = {{fbu|19|PRK}}
| third_other = {{fbu|19|SYR}}
| fourth_other = {{fbu|19|QAT}}
| matches = 16
| goals = 40
| attendance =
| top_scorer =
| player =
| prevseason = [[Giải vô địch bóng đá trẻ châu Á 1988|1988]]
| nextseason = [[Giải vô địch bóng đá trẻ châu Á 1992|1992]]
}}

'''Giải vô địch bóng đá trẻ châu Á 1990''' diễn ra tại [[Jakarta]], [[Indonesia]]. {{fbu|19|KOR}} vô địch giải đấu lần thứ 7 sau khi đánh bại {{fbu|19|PRK}}.<ref>{{chú thích web|url=https://www.fifa.com/mm/document/afdeveloping/technicaldevp/50/06/18/wyc_91_tr_part1_194.pdf|title=Technical Report|publisher=FIFA|format=pdf|year=1991|ngày truy cập=2020-07-11|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304130124/https://www.fifa.com/mm/document/afdeveloping/technicaldevp/50/06/18/wyc_91_tr_part1_194.pdf|url-status=dead}}</ref>

==Vòng bảng==
===Bảng A===
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
!width="175"|Đội
!width="30"|ST
!width="25"|T
!width="25"|H
!width="25"|B
!width="30"|BT
!width="30"|BB
!width="30"|HS
!width="30"|Đ
|- bgcolor="#ccffcc"
|align=left|{{fbu|20|QAT}}
|3||3||0||0||5||1||+4||'''6'''
|- bgcolor="#ccffcc"
|align=left|{{fbu|20|PRK}}
|3||2||0||1||9||3||+6||'''4'''
|-
|align=left|{{fbu|20|IND}}
|3||1||0||2||3||7||−4||'''2'''
|-
|align=left|{{fbu|20|IDN}}
|3||0||0||3||3||9||−6||'''0'''
|}

{{Football box
|date = {{Start date|1990|11|3|df=y}}
|time =
|event =
|round =
|team1 = {{fbu-rt|20|IND}}
|team2 = {{fbu|20|PRK}}
|score = 1–4
|aet =
|goals1 =
|goals2 =
|stadium =
|attendance =
|referee =
|report =
}}
{{Football box
|date = {{Start date|1990|11|3|df=y}}
|time =
|event =
|round =
|team1 = {{fbu-rt|20|IDN}}
|team2 = {{fbu|20|QAT}}
|score = 1–2
|aet =
|goals1 =
|goals2 =
|stadium =
|attendance =
|referee =
|report =
}}
{{Football box
|date = {{Start date|1990|11|6|df=y}}
|time =
|event =
|round =
|team1 = {{fbu-rt|20|PRK}}
|team2 = {{fbu|20|IDN}}
|score = 5–1
|aet =
|goals1 =
|goals2 =
|stadium =
|attendance =
|referee =
|report =
}}
{{Football box
|date = {{Start date|1990|11|6|df=y}}
|time =
|event =
|round =
|team1 = {{fbu-rt|20|QAT}}
|team2 = {{fbu|20|IND}}
|score = 2–0
|aet =
|goals1 =
|goals2 =
|stadium =
|attendance =
|referee =
|report =
}}
{{Football box
|date = {{Start date|1990|11|9|df=y}}
|time =
|event =
|round =
|team1 = {{fbu-rt|20|IND}}
|team2 = {{fbu|20|IDN}}
|score = 2–1
|aet =
|goals1 =
|goals2 =
|stadium =
|attendance =
|referee =
|report =
}}
{{Football box
|date = {{Start date|1990|11|9|df=y}}
|time =
|event =
|round =
|team1 = {{fbu-rt|20|PRK}}
|team2 = {{fbu|20|QAT}}
|score = 0–1
|aet =
|goals1 =
|goals2 =
|stadium =
|attendance =
|referee =
|report =
}}

===Bảng B===
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
!width="175"|Đội
!width="30"|ST
!width="25"|T
!width="25"|H
!width="25"|B
!width="30"|BT
!width="30"|BB
!width="30"|HS
!width="30"|Đ
|- bgcolor="#ccffcc"
|align=left|{{fbu|20|SYR}}
|3||1||2||0||7||3||+4||'''4'''
|- bgcolor="#ccffcc"
|align=left|{{fbu|20|KOR}}
|3||1||2||0||2||1||+1||'''4'''
|-
|align=left|{{fbu|20|JPN}}
|3||1||1||1||5||4||+1||'''3'''
|-
|align=left|{{fbu|20|BHR}}
|3||0||1||2||1||7||−6||'''1'''
|}

{{Football box
|date = {{Start date|1990|11|4|df=y}}
|time =
|event =
|round =
|team1 = {{fbu-rt|20|BHR}}
|team2 = {{fbu|20|SYR}}
|score = 0–4
|aet =
|goals1 =
|goals2 =
|stadium =
|attendance =
|referee =
|report =
}}
{{Football box
|date = {{Start date|1990|11|4|df=y}}
|time =
|event =
|round =
|team1 = {{fbu-rt|20|KOR}}
|team2 = {{fbu|20|JPN}}
|score = 1–0
|aet =
|goals1 =
|goals2 =
|stadium =
|attendance =
|referee =
|report =
}}
{{Football box
|date = {{Start date|1990|11|7|df=y}}
|time =
|event =
|round =
|team1 = {{fbu-rt|20|JPN}}
|team2 = {{fbu|20|BHR}}
|score = 3–1
|aet =
|goals1 =
|goals2 =
|stadium =
|attendance =
|referee =
|report =
}}
{{Football box
|date = {{Start date|1990|11|7|df=y}}
|time =
|event =
|round =
|team1 = {{fbu-rt|20|SYR}}
|team2 = {{fbu|20|KOR}}
|score = 1–1
|aet =
|goals1 =
|goals2 =
|stadium =
|attendance =
|referee =
|report =
}}
{{Football box
|date = {{Start date|1990|11|10|df=y}}
|time =
|event =
|round =
|team1 = {{fbu-rt|20|JPN}}
|team2 = {{fbu|20|SYR}}
|score = 2–2
|aet =
|goals1 =
|goals2 =
|stadium =
|attendance =
|referee =
|report =
}}
{{Football box
|date = {{Start date|1990|11|10|df=y}}
|time =
|event =
|round =
|team1 = {{fbu-rt|20|KOR}}
|team2 = {{fbu|20|BHR}}
|score = 0–0
|aet =
|goals1 =
|goals2 =
|stadium =
|attendance =
|referee =
|report =
}}

==Vòng loại trực tiếp==
{{Round4-with third
<!--Date-Place|Team 1|Score 1|Team 2|Score 2 -->
<!--semi finals -->
||{{fb|QAT}}|0|'''{{fbu|20|KOR}}'''|'''1'''
||{{fb|SYR}}|1|'''{{fbu|20|PRK}}'''|'''2'''
<!--final -->
||'''{{fbu|20|KOR}}''' (pen)|'''0 (4)'''|{{fbu|20|PRK}}|0 (3)
<!--Third Place Match -->
||'''{{fb|SYR}}'''|'''1'''|{{fb|QAT}}|0}}

===Bán kết===
{{football box
| date = {{Start date|1990|11|12|df=y}}
|team1 = {{fb-rt|QAT}}
|score = 0–1
|report=
|team2 = {{fbu|20|KOR}}
|goals1 =
|goals2 =
|stadium = [[Jakarta]], [[Indonesia]]
|attendance=
|referee=}}
----
{{football box
| date = {{Start date|1990|11|12|df=y}}
|team1 = {{fb-rt|SYR}}
|score = 1–2
|report=
|team2 = {{fbu|20|PRK}}
|goals1 =
|goals2 =
|stadium = [[Jakarta]], [[Indonesia]]
|attendance=
|referee=}}

===Tranh hạng ba===
{{football box
| date = {{Start date|1990|11|14|df=y}}
|team1 = {{fb-rt|SYR}}
|score = 1–0
|report=
|team2 = {{fb|QAT}}
|goals1 =
|goals2 =
|stadium = [[Jakarta]], [[Indonesia]]
|attendance=
|referee=}}

===Chung kết===
{{football box
| date = {{Start date|1990|11|15|df=y}}
|team1 = {{fbu-rt|20|KOR}}
|score = 0–0
|report=
|team2 = {{fbu|20|PRK}}
|goals1 =
|goals2 =
|stadium = [[Jakarta]], [[Indonesia]]
|attendance=
|referee=
|penaltyscore = 4–3
|penalties1=
|penalties2=
}}

==Vô địch==
{{winners|fbu|19|Giải vô địch bóng đá trẻ châu Á 1990|KOR|thứ 7}}

* {{fbu|19|KOR}}, {{fbu|19|PRK}}, {{fbu|19|SYR}} tham dự [[Giải vô địch bóng đá trẻ thế giới 1991]]. {{fbu|19|KOR}} và {{fbu|19|PRK}} tham dự Cúp thế giới với tư cách là một đội thống nhất.

==Tham khảo==

{{tham khảo}}

{{AFC Youth Championship}}

{{DEFAULTSORT:1990 Afc Youth Championship}}
[[Thể loại:Giải vô địch bóng đá U-19 châu Á]]
[[Thể loại:Giải đấu bóng đá quốc tế tổ chức bởi Indonesia]]
[[Thể loại:Bóng đá châu Á năm 1990]]

title: Giải vô địch bóng đá trẻ châu Á 1990

Nước chủ nhà: َ Indonesia

Thời gian: 3 – 15 tháng 11

Số đội: 8 (từ 1 liên đoàn)

Địa điểm thi đấu: 1 (tại 1 thành phố chủ nhà)

title: Vị trí chung cuộc

Vô địch: Hàn Quốc (lần thứ 7)

Á quân: CHDCND Triều Tiên

Hạng ba: Syria

Hạng tư: Qatar

title: Thống kê giải đấu


text:
# Primula boreiocalliantha
Primula boreiocalliantha là một loài thực vật có hoa trong họ Anh thảo. Loài này được Balf. f. & Forrest miêu tả khoa học đầu tiên năm 1920.

title: Primula boreiocalliantha

wikitext:
{{nhan đề nghiêng}}
{{Bảng phân loại
| name = ''Primula boreiocalliantha''
| status =
| status_system =
| status_ref =
| image =
| image_caption =
| regnum = [[Thực vật|Plantae]]
| unranked_divisio = [[Thực vật có hoa|Angiospermae]]
| unranked_classis = [[Thực vật hai lá mầm thật sự|Eudicots]]
| unranked_ordo = [[Nhánh Cúc|Asterids]]
| ordo = [[Bộ Thạch nam|Ericales]]
| familia = [[Họ Anh thảo|Primulaceae]]
| genus = ''[[Primula]]''
| species = '''''P. boreiocalliantha'''''
| binomial = ''Primula boreiocalliantha''
| binomial_authority = [[Isaac Bayley Balfour|Balf. f.]] & Forrest
}}
'''''Primula boreiocalliantha''''' là một loài [[thực vật có hoa]] trong [[họ Anh thảo]]. Loài này được Balf. f. & Forrest miêu tả khoa học đầu tiên năm 1920.<ref>{{chú thích web|url=http://www.theplantlist.org/tpl1.1/record/tro-26401547| title=''Primula boreiocalliantha''|access-date = ngày 25 tháng 8 năm 2013 | author=The Plant List | year =2010}}</ref>

==Chú thích==
{{tham khảo|30em}}
==Liên kết ngoài==
*{{Thể loại Commons nội dòng|Primula boreiocalliantha}}
*{{Wikispecies nội dòng|Primula boreiocalliantha}}

[[Thể loại:Chi Anh thảo]]
[[Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1920]]

{{Primuloideae-stub}}

title: Phân loại khoa học

Giới (regnum): Plantae

(không phân hạng): Angiospermae Eudicots Asterids

Bộ (ordo): Ericales

Họ (familia): Primulaceae

Chi (genus): Primula

Loài (species): P. boreiocalliantha

title: Danh pháp hai phần

Danh pháp hai phần: Primula boreiocalliantha · Balf. f. & Forrest


text:
# Macarostola phoenicaula
Macarostola phoenicaula là một loài bướm đêm thuộc họ Gracillariidae. Nó được tìm thấy ở Fiji.
Ấu trùng ăn Eugenia cumini. Chúng có thể ăn lá nơi chúng làm tổ.

title: Macarostola phoenicaula

wikitext:
{{nhan đề nghiêng}}
{{Bảng phân loại
| name = Macarostola phoenicaula
| image =
| image_width = 200px
| image_caption =
| regnum = [[Động vật|Animalia]]
| phylum = [[Động vật Chân khớp|Arthropoda]]
| classis = [[Côn trùng|Insecta]]
| ordo = [[Bộ Cánh vẩy|Lepidoptera]]
| subordo = [[Glossata]]
| infraordo [[Heteroneura]]
| unranked_familia = [[Ditrysia]]
| superfamilia = [[Gracillarioidea]]
| familia = [[Gracillariidae]]
| genus = ''[[Macarostola]]''
| species = '''''M. phoenicaula'''''
| binomial = ''Macarostola phoenicaula''
| binomial_authority = ([[Edward Meyrick|Meyrick]], 1934)
| synonyms =
}}
'''''Macarostola phoenicaula''''' là một loài [[bướm đêm]] thuộc họ [[Gracillariidae]]. Nó được tìm thấy ở [[Fiji]].<ref>[http://gc.bebif.be/species/show/1763 Global Taxonomic Database of Gracillariidae (Lepidoptera)]{{Liên kết hỏng|date = ngày 10 tháng 5 năm 2021 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>

[[Ấu trùng]] ăn ''[[Eugenia cumini]]''. Chúng có thể [[sâu ăn lá|ăn lá]] nơi chúng làm tổ.

==Chú thích==
{{Tham khảo|30em}}

==Tham khảo==
* {{wikispecies nội dòng}}

[[Thể loại:Macarostola]]

{{Gracillariinae-stub}}

title: Phân loại khoa học

Phân bộ (subordo): Glossata

Liên họ (superfamilia): Gracillarioidea

(không phân hạng): Ditrysia

Họ (familia): Gracillariidae

Chi (genus): Macarostola

Loài (species): M. phoenicaula

title: Danh pháp hai phần

Danh pháp hai phần: Macarostola phoenicaula · (Meyrick, 1934)


text:
# Vriesea paupera
Vriesea paupera là một loài thực vật có hoa trong họ Bromeliaceae. Loài này được (Mez & Sodiro) L.B.Sm. & Pittendr. miêu tả khoa học đầu tiên năm 1954.

title: Vriesea paupera

wikitext:
{{tiêu đề nghiêng}}
{{Bảng phân loại
| name = ''Vriesea paupera''
| status =
| status_system =
| status_ref =
| image =
| image_caption =
| regnum = [[Thực vật|Plantae]]
| unranked_divisio = [[Thực vật có hoa|Angiospermae]]
| unranked_classis = [[Thực vật một lá mầm|Monocots]]
| unranked_ordo = [[Nhánh Thài lài|Commelinids]]
| ordo = [[Poales]]
| familia = [[Bromeliaceae]]
| genus = ''[[Vriesea]]''
| species = '''''V. paupera'''''
| binomial = ''Vriesea paupera''
| binomial_authority = ([[Carl Christian Mez|Mez]] & [[Luis Aloysius, Luigi Sodiro|Sodiro]]) [[Lyman Bradford Smith|L.B.Sm.]] & [[Colin Stephenson Pittendrigh|Pittendr.]]
| range_map =
| range_map_caption =
| synonyms =
}}
'''''Vriesea paupera''''' là một loài [[thực vật có hoa]] trong họ [[Bromeliaceae]]. Loài này được (Mez & Sodiro) L.B.Sm. & Pittendr. miêu tả khoa học đầu tiên năm 1954.<ref>{{chú thích web|url=http://www.theplantlist.org/tpl1.1/record/kew-272014| title=''Vriesea paupera''|access-date = ngày 16 tháng 7 năm 2013 | author=The Plant List | year =2010}}</ref>

==Chú thích==
{{tham khảo|30em}}

==Liên kết ngoài==
*{{Thể loại Commons nội dòng|Vriesea paupera}}
*{{Wikispecies nội dòng|Vriesea paupera}}
*{{IPNI2|Vriesea paupera|267451-2|access-date = ngày 16 tháng 7 năm 2013}}

[[Thể loại:Vriesea]]
[[Thể loại:Thực vật được mô tả năm 1954]]

{{Tillandsioideae-stub}}

title: Phân loại khoa học

(không phân hạng): Angiospermae Monocots Commelinids

Bộ (ordo): Poales

Họ (familia): Bromeliaceae

Chi (genus): Vriesea

Loài (species): V. paupera

title: Danh pháp hai phần

Danh pháp hai phần: Vriesea paupera · (Mez & Sodiro) L.B.Sm. & Pittendr.


text:
# Hình thù côn trùng
Hình thù côn trùng hoặc Bộ dạng côn trùng (tiếng Anh: Insectoid) là từ dùng để chỉ bất kỳ sinh vật hoặc vật thể nào có hình thù cơ thể hoặc đặc điểm tương tự với côn trùng (gồm cả loài nhện) phổ biến trên Trái Đất. Thuật ngữ này còn được sử dụng trong công nghệ, UFO học và truyền thông khác.

## Định nghĩa

### Công nghệ
Trong công nghệ, robot côn trùng như hexapod được thiết kế dành cho mục đích khoa học hoặc quân sự. Nghiên cứu tiếp tục thu nhỏ những robot này để dùng làm loại thiết bị bay gián điệp hoặc trinh sát. Các tính năng của loại hình côn trùng cũng có thể làm tăng hiệu quả của robot trong việc vượt qua các dạng địa hình khác nhau.

### Nghiên cứu UFO
Trong lĩnh vực nghiên cứu UFO, người ngoài hành tinh hình côn trùng được cho là sinh vật ngoài Trái Đất có cơ thể tương tự với côn trùng hoặc loài nhện Trái Đất. Những sinh vật này có liên quan đến những lần gặp gỡ người ngoài hành tinh và kịch bản người ngoài hành tinh bắt cóc nhưng sự hiện diện của họ không được báo cáo rộng rãi như chủng Bắc Âu và chủng Xám.
Trước năm 1990, các báo cáo về UFO liên quan đến hình thể côn trùng chỉ bao gồm người bướm và vụ bắt cóc Allagash. Năm 1992, nhà nghiên cứu về người ngoài hành tinh bắt cóc Brian Thompson tuyên bố rằng một y tá quen biết với ông đã kể lại rằng vào năm 1957 ở Cincinnati đích thân bà đã bắt gặp một thực thể giống bọ ngựa cao 3 foot  (0,91 m) hai ngày sau khi nhìn thấy UFO hình chữ V. Sinh vật giống bọ ngựa này gợi nhớ đến thực thể hình côn trùng được báo cáo trong một số tài liệu viết về người ngoài hành tinh bắt cóc. Ông bèn thuật lại báo cáo này cho nhà nghiên cứu đồng nghiệp Leonard H. Stringfield. Stringfield liền nói với Thompson về hai trường hợp mà ông có trong đống hồ sơ của mình khi các nhân chứng riêng biệt đã trình báo những trường hợp giống hệt nhau ở cùng một nơi và cùng năm. Nhà nghiên cứu về người ngoài hành tinh bắt cóc Karla Turner trong cuốn sách Into the Fringe kể rằng một người đàn ông tên là David đã nhớ lại cuộc chạm trán với một con bọ ngựa khổng lồ trong phiên thôi miên. Linda Moulton Howe trong cuốn sách Glimpses of Other Realities mô tả một số câu chuyện về loài bọ ngựa ngoài hành tinh. Cuốn sách này còn bao gồm trường hợp của Linda Porter và David Huggins. Năm 1988, Linda Porter nhớ lại một vụ người ngoài hành tinh bọ ngựa bắt cóc mà bà nói đã xảy ra lúc còn nhỏ tuổi. Cùng năm 1988, David Huggins nhớ lại cuộc gặp gỡ với người ngoài hành tinh bọ ngựa mà ông kể lại diễn ra vào thập niên 1950 thuở ấu thơ. Cuốn sách cũng tường thuật trường hợp của Jeanne Robinson lúc mà bà nhận được thông điệp của một người ngoài hành tinh tương tự như loài bọ ngựa. Theo Robinson, những người ngoài hành tinh này là một nhánh của chủng Xám. Sau đó, một số nhà nghiên cứu UFO nghiệp dư liên quan đến người ngoài hành tinh hình côn trùng trong các thuyết âm mưu về UFO. Nhà UFO học hoài nghi Martin Kottmeyer cho rằng hiện tượng người ngoài hành tinh bọ ngựa có thể được giải thích do tác động của các yếu tố văn hóa như phim khoa học viễn tưởng mà những sinh vật này vào vai nhân vật chính.

### Truyền thông khác
Sinh vật giống côn trùng từng là một phần của truyền thống khoa học viễn tưởng và giả tưởng. Trong bộ phim A Trip to the Moon công chiếu năm 1902, Georges Méliès đã miêu tả chủng tộc Selenites trên Mặt Trăng dưới dạng côn trùng. Olaf Stapledon kết hợp hình côn trùng trong cuốn tiểu thuyết Star Maker năm 1937 của ông. Trong tiểu thuyết giả tưởng giật gân, sinh vật hình côn trùng thường được sử dụng làm nhân vật phản diện đe dọa thiếu nữ gặp nạn. Những mô tả sau này về người ngoài hành tinh côn trùng thù địch bao gồm kẻ phản diện trong tiểu thuyết  Starship Troopers của Robert A. Heinlein và "buggers" trong loạt truyện Ender's Game của Orson Scott Card.
Nữ hoàng tổ ong là chủ đề của các cuốn tiểu thuyết bao gồm Serpent's Reach của C. J. Cherryh và loạt phim Alien. Tình dục đã được đề cập đến trong các cuốn tiểu thuyết "The Lovers" của Philip Jose Farmer, Xenogenesis của Octavia Butler và Perdido Street Station của China Miéville.

title: Hình thù côn trùng

wikitext:
[[File:HEX BUG DELTA 03.jpg|thumb|Một robot nhỏ được thiết kế để tái tạo chức năng của côn trùng. Thường được dùng làm đồ chơi.]]
'''Hình thù côn trùng''' hoặc '''Bộ dạng côn trùng''' ([[tiếng Anh]]: ''Insectoid'') là từ dùng để chỉ bất kỳ sinh vật hoặc vật thể nào có hình thù cơ thể hoặc đặc điểm tương tự với [[côn trùng]] (gồm cả loài [[nhện]]) phổ biến trên [[Trái Đất]]. Thuật ngữ này còn được sử dụng trong [[công nghệ]], [[UFO học]] và [[truyền thông]] khác.

==Định nghĩa==
===Công nghệ===
Trong công nghệ, [[robot]] côn trùng như [[hexapod (robot học)|hexapod]] được thiết kế dành cho mục đích [[khoa học]] hoặc [[quân sự]]. Nghiên cứu tiếp tục thu nhỏ những robot này để dùng làm loại thiết bị bay gián điệp hoặc trinh sát.<ref>{{Chú thích web|url=http://www.physorg.com/news140850742.html|title=Scientists developing small robotic drones to become part of Air Force's arsenal|publisher=[[PhysOrg]]|date=2008-09-17|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20080920201213/http://www.physorg.com/news140850742.html|archive-date=2008-09-20}}</ref> Các tính năng của loại hình côn trùng cũng có thể làm tăng hiệu quả của robot trong việc vượt qua các dạng địa hình khác nhau.<ref>{{Chú thích web|url=http://www.techradar.com/news/world-of-tech/future-tech/insectoid-robot-mimics-animal-walking-styles-153143|title=Insectoid robot mimics animal walking styles|publisher=[[TechRadar]]|date=2007-07-25}}</ref>

===Nghiên cứu UFO===
Trong lĩnh vực [[UFO học|nghiên cứu UFO]], [[người ngoài hành tinh]] hình côn trùng được cho là [[Sự sống ngoài Trái Đất|sinh vật ngoài Trái Đất]] có cơ thể tương tự với côn trùng hoặc loài nhện Trái Đất. Những sinh vật này có liên quan đến những [[Tiếp xúc cự ly gần|lần gặp gỡ người ngoài hành tinh]] và kịch bản [[người ngoài hành tinh bắt cóc]] nhưng sự hiện diện của họ không được báo cáo rộng rãi như [[Người ngoài hành tinh Bắc Âu|chủng Bắc Âu]] và [[Người ngoài hành tinh Xám|chủng Xám]].

Trước năm 1990, các báo cáo về UFO liên quan đến hình thể côn trùng chỉ bao gồm [[người bướm]] và [[vụ bắt cóc Allagash]]. Năm 1992, nhà nghiên cứu về người ngoài hành tinh bắt cóc Brian Thompson tuyên bố rằng một y tá quen biết với ông đã kể lại rằng vào năm 1957 ở Cincinnati đích thân bà đã bắt gặp một thực thể giống [[bọ ngựa]] cao {{convert|3|ft|m|adj=mid|}} hai ngày sau khi nhìn thấy [[UFO]] hình chữ V. Sinh vật giống bọ ngựa này gợi nhớ đến thực thể hình côn trùng được báo cáo trong một số tài liệu viết về người ngoài hành tinh bắt cóc. Ông bèn thuật lại báo cáo này cho nhà nghiên cứu đồng nghiệp [[Leonard H. Stringfield]]. Stringfield liền nói với Thompson về hai trường hợp mà ông có trong đống hồ sơ của mình khi các nhân chứng riêng biệt đã trình báo những trường hợp giống hệt nhau ở cùng một nơi và cùng năm.<ref>Andrea Pritchard, David E. Pritchard, John E. Mack, Pam Kasey, Claudia Yapp. ''Alien Discussion: Proceeding  of the Abduction Study Conference Held at M.I.T. Cambridge'', North Cambridge Press, Cambridge, Massachusetts, 1995</ref> Nhà nghiên cứu về người ngoài hành tinh bắt cóc Karla Turner trong cuốn sách ''Into the Fringe'' kể rằng một người đàn ông tên là David đã nhớ lại cuộc chạm trán với một con bọ ngựa khổng lồ trong phiên thôi miên.<ref>Karla Turner, ''Into the Fringe'', Berkley Books, New York, 1992</ref> [[Linda Moulton Howe]] trong cuốn sách ''Glimpses of Other Realities'' mô tả một số câu chuyện về loài bọ ngựa ngoài hành tinh. Cuốn sách này còn bao gồm trường hợp của Linda Porter và David Huggins. Năm 1988, Linda Porter nhớ lại một vụ người ngoài hành tinh bọ ngựa bắt cóc mà bà nói đã xảy ra lúc còn nhỏ tuổi. Cùng năm 1988, David Huggins nhớ lại cuộc gặp gỡ với người ngoài hành tinh bọ ngựa mà ông kể lại diễn ra vào thập niên 1950 thuở ấu thơ. Cuốn sách cũng tường thuật trường hợp của Jeanne Robinson lúc mà bà nhận được thông điệp của một người ngoài hành tinh tương tự như loài bọ ngựa. Theo Robinson, những người ngoài hành tinh này là một nhánh của [[Người ngoài hành tinh Xám|chủng Xám]].<ref>Linda Howe, ''Glimpses of Other Realities'', ''Vol. I: Fact and Eyewitness'', LMH, 1993</ref><ref>Linda Howe, ''Glimpses of Other Realities'', ''Vol. II: High Strangeness'', Paper Chase press, New Orleans, 1998</ref> Sau đó, một số nhà nghiên cứu UFO nghiệp dư liên quan đến người ngoài hành tinh hình côn trùng trong [[Thuyết âm mưu UFO|các thuyết âm mưu về UFO]].<ref>Arthur Goldwag, ''Cults, Conpiracies & Secret Societies'', First Vintage Books Editions, 2009, p. 136</ref> Nhà UFO học hoài nghi Martin Kottmeyer cho rằng hiện tượng người ngoài hành tinh bọ ngựa có thể được giải thích do tác động của các yếu tố văn hóa như phim khoa học viễn tưởng mà những sinh vật này vào vai nhân vật chính.<ref>Martin S. Kottmeyer, "Bugs Baroque'", ''UFO Magazine'', July/August 1997</ref>

===Truyền thông khác===
Sinh vật giống côn trùng từng là một phần của truyền thống [[khoa học viễn tưởng]] và giả tưởng. Trong bộ phim ''[[A Trip to the Moon]]'' công chiếu năm 1902, [[Georges Méliès]] đã miêu tả chủng tộc Selenites trên [[Mặt Trăng]] dưới dạng côn trùng.<ref name="Creed2009">{{Chú thích sách|last=Creed|first=Barbara|title=Darwin's Screens: Evolutionary Aesthetics, Time and Sexual Display in the Cinema|url=https://books.google.com/books?id=gTV9jLGsOFQC&pg=PA47|access-date=31 March 2014|date=2009|publisher=Academic Monographs|isbn=9780522852585|pages=47–}}</ref> [[Olaf Stapledon]] kết hợp hình côn trùng trong cuốn tiểu thuyết ''[[Star Maker]]'' năm 1937 của ông.<ref name="Prucher2007">{{Chú thích sách|last=Prucher|first=Jeff|title=Brave New Words: The Oxford Dictionary of Science Fiction|url=https://books.google.com/books?id=lJCS0reqmFUC&pg=PA99|access-date=31 March 2014|date=2007-03-21|publisher=[[Oxford University Press]]|isbn=9780199885527|pages=99–}}</ref> Trong tiểu thuyết giả tưởng giật gân, sinh vật hình côn trùng thường được sử dụng làm nhân vật phản diện đe dọa [[thiếu nữ gặp nạn]].<ref name="Caroti2011">{{Chú thích sách|last=Caroti|first=Simone|title=The Generation Starship in Science Fiction: A Critical History, 1934-2001|url=https://books.google.com/books?id=lKRN9pFu5lwC&pg=PA63|access-date=31 March 2014|date=2011-04-14|publisher=McFarland|isbn=9780786485765|pages=63–}}</ref> Những mô tả sau này về người ngoài hành tinh côn trùng thù địch bao gồm kẻ phản diện trong tiểu thuyết  ''[[Starship Troopers]]'' của [[Robert A. Heinlein]]<ref name="Roberts2006">{{Chú thích sách|last=Roberts|first=Adam|title=Science Fiction|url=https://books.google.com/books?id=RAaAAgAAQBAJ&pg=PT72|access-date=31 March 2014|date=2006-06-19|publisher=[[Routledge]]|isbn=9781134211784|pages=72–}}</ref> và "buggers" trong [[Ender's Game (tiểu thuyết dài tập)|loạt truyện ''Ender's Game'']] của [[Orson Scott Card]].<ref name="Spinrad1990">{{Chú thích sách|last=Spinrad|first=Norman|title=Science Fiction in the Real World|url=https://books.google.com/books?id=EvCsY3IEJ14C&pg=PA26|access-date=31 March 2014|date=1990|publisher=[[SIU Press]]|isbn=9780809316717|pages=26–}}</ref>

''Nữ hoàng tổ ong'' là chủ đề của các cuốn tiểu thuyết bao gồm ''[[Serpent's Reach]]'' của [[C. J. Cherryh]]<ref name="Westfahl2005(1)">{{Chú thích sách|last=Westfahl|first=Gary|title=The Greenwood Encyclopedia of Science Fiction and Fantasy: Themes, Works, and Wonders|url=https://books.google.com/books?id=3JXnz9x9sO4C&pg=PA538|access-date=31 March 2014|date=2005|publisher=[[Greenwood Publishing Group]]|isbn=9780313329524|pages=538–}}</ref> và loạt phim ''[[Alien (nhượng quyền sản phẩm)|Alien]]''.<ref name="Jr.2008">{{Chú thích sách|last=Jr.|first=Istvan Csicsery-Ronay|title=The Seven Beauties of Science Fiction|url=https://books.google.com/books?id=ZVYxl5ued-oC&pg=PA210|access-date=31 March 2014|date=2008|publisher=[[Wesleyan University Press]]|isbn=9780819568892|pages=210–}}</ref> Tình dục đã được đề cập đến trong các cuốn tiểu thuyết "The Lovers" của [[Philip Jose Farmer]],<ref name="Mann2012">{{Chú thích sách|last=Mann|first=George|title=The Mammoth Encyclopedia of Science Fiction|url=https://books.google.com/books?id=lb5BwtDeXwwC&pg=PA1915|access-date=31 March 2014|date=2012-03-01|publisher=Constable & Robinson Limited|isbn=9781780337043|pages=1915–}}</ref> ''Xenogenesis'' của [[Octavia Butler]]<ref name="BouldButler2009">{{Chú thích sách|editor-last=Bould|editor-first=Mark|editor2-last=Butler|editor2-first=Andrew|editor3-last=Roberts|editor3-first=Adam|editor4-first=Sherryl |editor4-last=Vint|title=Fifty Key Figures in Science Fiction|url=https://books.google.com/books?id=V-CNAgAAQBAJ&pg=PA44|access-date=31 March 2014|date=2009-09-10|publisher=Routledge|isbn=9781135285340|pages=44–}}</ref> và ''[[Perdido Street Station]]'' của [[China Miéville]].<ref name="Westfahl2005(2)">{{Chú thích sách|last=Westfahl|first=Gary|title=The Greenwood Encyclopedia of Science Fiction and Fantasy: Themes, Works, and Wonders|url=https://books.google.com/books?id=M_3kNDKhxIcC&pg=PA1201|access-date=31 March 2014|date=2005-01-01|publisher=Greenwood Publishing Group|isbn=9780313329531|pages=1201–}}</ref>

==Tham khảo==
{{tham khảo|30em}}

{{UFO}}

[[Thể loại:UFO]]
[[Thể loại:Nghiên cứu về UFO]]
[[Thể loại:Thực thể liên quan đến UFO]]