text:
# Позитивизм
Позитиви́зм (фр. positivisme, от лат. positivus — положительный) — философское учение и направление в методологии науки, определяющее единственным источником истинного, действительного знания эмпирические исследования и отрицающее познавательную ценность философского исследования. Основной тезис позитивизма — «Всё подлинное (позитивное) знание есть совокупный результат специальных наук».

## Предыстория
Идеи, предвосхищавшие концепции позитивизма, развивали стоики. Во-первых, наряду с некоторыми другими школами направления античного скептицизма и задолго до появления научной методологии, стоики подняли вопрос критерия истины, понимая непригодность для этой роли очевидности и определив, что познание означает отказ от принятия чего-либо на веру. Во-вторых, и здесь именно они были новаторами, стоики признали внутренний мир каждого человека «утешительным» миром теории и интерсубъективной «истины», отделив его от внешней реальности. В-третьих, они сфокусировали главный вопрос познания на методе связывания наблюдений и теории, а не на полученной «истине».
Таким образом, стоики, как и Иммануил Кант две тысячи лет спустя, определили эмпирический характер научной истины и указали на эмпиризм как на естественное и непреодолимое ограничение теоретического мышления, но не исключали его полностью. Ранние позитивисты же довели эмпиризм Канта до предела, не просто обозначив границы применения, но исключив из науки теоретическое мышление как таковое.

## История позитивизма
Основоположником позитивизма является родоначальник социологии как науки Огюст Конт (1830-е годы). В программной книге «Дух позитивной философии» (Париж, 1844) Конт представляет человечество как растущий организм, проходящий в своём развитии три стадии: детства, юношества и зрелости. Идеи Конта вдохновили двух английских мыслителей: Милля и Спенсера. Этот позитивизм получил название первого, или классического. В России его последователями были Н. Михайловский, В. Лесевич.
На немецких землях позитивизм впитал некоторые элементы кантианства и приобрёл свою специфику. Поэтому его стали отличать от первого позитивизма и называть вторым позитивизмом, или эмпириокритицизмом. Его представителями были швейцарец Рихард Авенариус и австриец Эрнст Мах. Согласно Ленину, к взглядам второго позитивизма были близки взгляды Пуанкаре и Дюэма. В августе 1900 года Пуанкаре руководил секцией логики Первого Всемирного философского конгресса, проходившего в Париже. Там он выступил с программным докладом «О принципах механики», где изложил свою конвенционалистскую философию. В России ко второму позитивизму примыкает эмпириомонизм А. Богданова.
Со вторым «немецким» позитивизмом тесно связан неопозитивизм, или логический позитивизм Венского кружка, поскольку его лидер Мориц Шлик был непосредственным преемником Маха. Помимо Шлика, центральными фигурами кружка были Карнап и Нейрат. Принимал участие в работе кружка и Людвиг Витгенштейн. Этот кружок нашёл в Англии своего активного сторонника в лице Айера. С 1930 года Венский кружок издаёт совместно с берлинской группой Райхенбаха журнал «Erkenntnis» («Познание»), пропагандирующий идеи логического позитивизма. Неопозитивисты созвали ряд конгрессов: в Праге (1929, 1934), Кёнигсберге (1930), Париже (1935, 1937), Копенгагене (1936), Кембридже (1938). В результате Второй мировой войны Вена перестала существовать как центр неопозитивизма, а его представители эмигрировали в англоязычные страны.
После Второй мировой войны в англоязычных странах появился постпозитивизм. Представители: Карл Поппер, Томас Кун, Имре Лакатос, Пол Фейерабенд, Майкл Полани, Стивен Тулмин.
|                |                |                |                | Позитивизм Огюста Конта                                   |                |  |  |                         |                         |                         |                         |                         |                         |
|                |                |                |                |                                                           |                |  |  |                         |                         |                         |                         |                         |                         |
|                |                |                |                | Второй позитивизм: эмпириокритицизм + махизм              |                |  |  |                         |                         |                         |                         |                         |                         |
|                |                |                |                |                                                           |                |  |  |                         |                         |                         |                         |                         |                         |
|                |                |                |                | Неопозитивизм: Венский кружок + Львовско-варшавская школа |                |  |  |                         |                         |                         |                         |                         |                         |
|                |                |                |                |                                                           |                |  |  |                         |                         |                         |                         |                         |                         |
|                |                |                |                |                                                           |                |  |  |                         |                         |                         |                         |                         |                         |
| Постпозитивизм | Постпозитивизм | Постпозитивизм | Постпозитивизм | Постпозитивизм                                            | Постпозитивизм |  |  | Аналитическая философия | Аналитическая философия | Аналитическая философия | Аналитическая философия | Аналитическая философия | Аналитическая философия |

## Основные положения позитивизма
Позитивисты объединили логический и эмпирический методы в единый научный метод. Сущность единого для всех наук метода, обеспечивающего надёжным и достоверным знанием закономерностей природы, была выражена в манифесте «Венского кружка», опубликованном в 1929 году: «Мы охарактеризовали научное миропонимание, в основном, посредством двух определяющих моментов. Во-первых, оно является эмпиристским и позитивистским: существует только опытное познание, основанное на том, что нам непосредственно дано (нем. das unmittelbar Gegebene). Тем самым устанавливается граница для содержания легитимной науки. Во-вторых, для научного миропонимания характерно применение определённого метода, а именно — метода логического анализа».
Позитивизм оказал влияние на методологию естественных и общественных наук (особенно второй половины XIX века).
Позитивизм критиковал натурфилософские построения, которые навязывали науке неадекватные умозрительные образы изучаемых ею объектов и процессов. Однако эту критику позитивисты перенесли на всю философию в целом. Так возникла идея очищения науки от метафизики. Сущность позитивистской концепции соотношения философии и науки отражается во фразе О. Конта: «Наука — сама себе философия»[источник?]. Тем не менее, многие позитивисты верили в возможность построения «хорошей», научной философии. Такая философия должна была стать особой сферой конкретно-научного знания, не отличающийся от других наук по своему методу. В ходе развития позитивизма на роль научной философии выдвигались разные теории: методология науки (Конт, Милль), научная картина мира (Спенсер), психология научного творчества и научного мышления (Мах, Дюэм), логический анализ языка науки (Шлик, Рассел, Карнап), лингвистический анализ языка (Райл, Остин, поздний Витгенштейн), логико-эмпирическая реконструкция динамики науки (Поппер, Лакатос). Однако все указанные выше варианты позитивной философии были раскритикованы, прежде всего, самими позитивистами, так как, во-первых, как оказалось, они не удовлетворяли провозглашённым самими позитивистами критериям научности, а, во-вторых, опирались на явно (а чаще — неявно) определённые «метафизические» предпосылки.

### Стадии истории человечества с позиции позитивизма (согласно Огюсту Конту)
- Теологическая — в качестве объяснительной гипотезы используют понятие Бога, которому предписывают первопричины явлений и которого облекают в человекоподобный образ. Сама теологическая стадия распадается на три ступени: фетишизм, политеизм и монотеизм.
  - Фетишизм вызван тем, что фантазия человека ещё слишком слаба, чтобы выйти за пределы явлений, поэтому человек поклоняется фетишам — вещам, наделённым человеческим статусом.
  - Политеизм — люди начинают облекать первопричины в человеческие образы и измышлять богов.
  - Монотеизм характеризуется тем, что первопричины структурируются, среди них выделяются главные и второстепенные, пока, наконец, не открывается главная первопричина — Единый Бог. Эта ступень получает имя монотеизма.
- Метафизическая — люди по-прежнему стремятся постичь начало и назначение вещей, но место богов занимают абстрактные сущности. Место Единого Бога занимает природа, которую Конт определяет как «смутный эквивалент универсальной связи». Именно в языке позитивистов метафизика приобретает негативный оттенок, поскольку сущности и пресловутая природа вещей оказываются плодом беспочвенной фантазии, пусть даже она и выражена в строгой логической форме.
- Позитивная — единственной формой знания по Конту становится научное знание. Человечество становится достаточно взрослым, чтобы смело признать относительность (релятивность) нашего познания. В этом аспекте позитивизм преодолевает характерный для научной революции эпохи барокко оптимизм. Второй важной чертой научного знания является эмпиризм — строгое подчинение воображения наблюдению. Здесь Конт повторяет идею Бэкона о том, что фундаментом знания должен стать проверенный опыт. Учёные должны искать не сущность явлений, а их отношение, выражаемое с помощью законов — постоянных отношений, существующих между фактами. Ещё одной чертой научного знания является прагматизм. Учёные перестают быть эрудитами и энциклопедистами. Одним словом, знание становится позитивным: полезным, точным, достоверным и утвердительным.

## Идея эволюции с позиции позитивизма
Из эпохи барокко позитивисты заимствуют идею Кондорсе (1743—1794) о прогрессе — поступательном движении к одной определённой цели. Развитие человечества как прогресс, главную роль в котором играет наука. Прогресс связан с эволюцией, но не сводится к ней. Идея эволюции появляется в 1850-е годы. Одни считают, что идею эволюции раскрыл Чарлз Дарвин (1809—1882), другие полагают, что автором этой идеи был английский философ-позитивист Герберт Спенсер (1820—1903). Как бы то ни было, именно Спенсер раскрывает концепцию космической эволюции. Эволюция — это предельно общий закон развития природы и общества; то есть собственно, предмет философии. Суть этого закона в том, что развитие идёт путём ветвления, от однообразия к многообразию. За иллюстрациями Спенсер обращался к различным наукам — к астрономии, биологии и социологии. Однообразная космическая туманность порождает многообразие небесных тел Солнечной системы; однообразная протоплазма — многообразие мира живых существ; однообразная первобытная орда — многообразие форм государства. Кроме того, эволюция характеризуется переходом от хаоса к порядку и постепенным замедлением в результате рассеяния энергии. Идея эволюции оказалась чрезвычайно плодотворной. Её заимствовали как материалисты, так и идеалисты и мистики.

## Взаимосвязь позитивизма с другими философскими течениями
Основной внешний конфликт позитивизма — борьба с метафизикой, которая манипулирует терминами, которым ничего не соответствовало в реальности, например, энтелехия, эфир и т. п. Поиск научного метода преследовал цель найти свободные от метафизических предрассудков достоверные основания знания. Позитивисты считали надёжным знание, которое должно опираться на нейтральный опыт, а единственной познавательно ценной формой знаний, по их мнению, является эмпирическое описание фактов. Для выражения результатов наблюдения должны использоваться особые «протокольные предложения», Мориц Шлик писал: «первоначально под „протокольными предложениями“ понимались — как это видно из самого наименования — те предложения, которые выражают факты абсолютно просто, без какого-либо их переделывания, изменения или добавления к ним чего-либо ещё, — факты, поиском которых занимается всякая наука и которые предшествуют всякому познанию и всякому суждению о мире. Бессмысленно говорить о недостоверных фактах. Только утверждения, только наше знание могут быть недостоверными. Поэтому если нам удаётся выразить факты в „протокольных предложениях“, без какого-либо искажения, то они станут несомненными отправными точками знания».
Позитивизм в философии в целом шире, чем позитивистский подход в философии науки. Общий принцип — избавление от «излишеств», которые не могут быть обоснованы эмпирически и поэтому заявляются бесполезными. Этот подход наглядно демонстрируют эпикурейцы как в области познания, так и в этике: мы не можем выйти за рамки эмпирики, и поэтому должны отбросить «расширение самих себя» за рамки фактов. При этом эпикурейцы использовали наработки скептиков как минимум в плане изостении.

title: Позитивизм

wikitext:
{{другие значения|Позитивизм (значения)}}
'''Позитиви́зм''' ({{lang-fr|positivisme}}, от {{lang-la|positivus}} — положительный) — философское учение и направление в [[Методология науки|методологии науки]], определяющее единственным источником истинного, действительного знания [[Эмпиризм|эмпирические]] исследования и отрицающее познавательную ценность философского исследования. Основной тезис позитивизма — «Всё подлинное (позитивное) знание есть совокупный результат специальных наук».

== Предыстория ==
Идеи, предвосхищавшие концепции позитивизма, развивали [[Стоицизм|стоики]]. Во-первых, наряду с ''некоторыми другими'' школами направления античного скептицизма и задолго до появления научной методологии, стоики подняли вопрос критерия истины, понимая непригодность для этой роли очевидности и определив, что познание означает отказ от принятия чего-либо на веру<ref>''Кутырев В. А.'' Когнитизация мира и её философско-исторические основания // Философская мысль. — 2012. — № 1. — С. 1—45.</ref>. Во-вторых, и здесь именно они были новаторами, стоики признали внутренний мир каждого человека «утешительным» миром теории и интерсубъективной «истины», отделив его от внешней реальности. В-третьих, они сфокусировали главный вопрос познания на методе связывания наблюдений и теории, а не на полученной «истине»<ref>''Гусев Д. А.'' Античный скептицизм и современная философия науки // Преподаватель. XXI век. — 2014. — № 3. Часть 2. — С. 219—225.</ref>.

Таким образом, стоики, как и [[Кант, Иммануил|Иммануил Кант]] две тысячи лет спустя, определили эмпирический характер научной истины и указали на эмпиризм как на естественное и непреодолимое ограничение теоретического мышления, но не исключали его полностью. Ранние позитивисты же довели эмпиризм Канта до предела, не просто обозначив границы применения, но исключив из науки теоретическое мышление как таковое<ref>''Гусев Д. А.'' — Социальные предпосылки зарождения античного скептицизма и специфика стоической теории познания // Философская мысль. — 2015. — № 1. — С. 148—191.</ref>.

== История позитивизма ==
Основоположником позитивизма является родоначальник [[Социология|социологии]] как науки [[Конт, Огюст|Огюст Конт]] ([[1830-е годы]]). В программной книге «Дух позитивной философии» ([[Париж]], [[1844]]) Конт представляет человечество как растущий организм, проходящий в своём развитии три стадии: детства, юношества и зрелости. Идеи Конта вдохновили двух английских мыслителей: [[Милль, Джон Стюарт|Милля]]<ref>{{Cite web |url=http://filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z0000007/st017.shtml |title=Индуктивистский позитивизм Джона Стюарта Милля |access-date=2012-06-09 |archive-date=2013-04-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130413194155/http://filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z0000007/st017.shtml |url-status=live }}</ref> и [[Спенсер, Герберт|Спенсера]]<ref>{{Cite web |url=http://filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z0000007/st018.shtml |title=Эволюционный позитивизм Герберта Спенсера |access-date=2012-06-09 |archive-date=2012-04-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120405121831/http://filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z0000007/st018.shtml |url-status=live }}</ref>. Этот позитивизм получил название ''первого'', или классического. В России его последователями были [[Михайловский, Николай Константинович|Н. Михайловский]], [[Лесевич, Владимир Викторович|В. Лесевич]].

На немецких землях позитивизм впитал некоторые элементы [[Кантианство|кантианства]] и приобрёл свою специфику. Поэтому его стали отличать от первого позитивизма и называть ''вторым позитивизмом''<ref>{{Cite web |url=http://filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z0000007/st031.shtml |title=Второй позитивизм |access-date=2012-06-09 |archive-date=2010-12-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20101216074602/http://filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z0000007/st031.shtml |url-status=live }}</ref>, или [[эмпириокритицизм]]ом. Его представителями были швейцарец [[Авенариус, Рихард|Рихард Авенариус]] и австриец [[Мах, Эрнст|Эрнст Мах]]. Согласно Ленину, к взглядам второго позитивизма были близки взгляды [[Анри Пуанкаре|Пуанкаре]] и [[Пьер Дюэм|Дюэма]]<ref>[[Материализм и эмпириокритицизм]].</ref>. В августе [[1900 год]]а Пуанкаре руководил секцией логики Первого [[Всемирный философский конгресс|Всемирного философского конгресса]], проходившего в [[Париж]]е. Там он выступил с программным докладом «О принципах механики», где изложил свою [[Конвенционализм|конвенционалистскую философию]]. В России ко второму позитивизму примыкает эмпириомонизм [[Богданов, Александр Александрович|А. Богданова]].

Со вторым «немецким» позитивизмом тесно связан неопозитивизм, или [[логический позитивизм]] [[Венский кружок|Венского кружка]], поскольку его лидер [[Мориц Шлик]] был непосредственным преемником Маха<ref>{{Cite web |url=http://filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z0000197/st097.shtml |title=Логический позитивизм («Третий позитивизм») |access-date=2012-06-09 |archive-date=2012-03-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120305025112/http://filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z0000197/st097.shtml |url-status=live }}</ref>. Помимо Шлика, центральными фигурами кружка были [[Рудольф Карнап|Карнап]] и [[Отто Нейрат|Нейрат]]. Принимал участие в работе кружка и [[Людвиг Витгенштейн]]. Этот кружок нашёл в Англии своего активного сторонника в лице [[Альфред Айер|Айера]]. С 1930 года Венский кружок издаёт совместно с [[берлин]]ской группой [[Райхенбах, Ханс|Райхенбаха]] журнал «{{lang-de2|Erkenntnis}}» («Познание»), пропагандирующий идеи логического позитивизма. Неопозитивисты созвали ряд конгрессов: в [[Прага|Праге]] (1929, 1934), [[Кёнигсберг]]е (1930), [[Париж]]е (1935, 1937), [[Копенгаген]]е (1936), Кембридже (1938). В результате Второй мировой войны Вена перестала существовать как центр неопозитивизма, а его представители эмигрировали в англоязычные страны.

После Второй мировой войны в англоязычных странах появился [[постпозитивизм]]. Представители: [[Поппер, Карл Рэймонд|Карл Поппер]], [[Кун, Томас Сэмюэл|Томас Кун]], [[Лакатос, Имре|Имре Лакатос]], [[Фейерабенд, Пол Карл|Пол Фейерабенд]], [[Полани, Майкл|Майкл Полани]], [[Тулмин, Стивен Эделстон|Стивен Тулмин]].

{{chart/start}}
{{chart| | |ПОК  | | |ПОК=Позитивизм Огюста Конта}}
{{chart| | | |!| | | }}
{{chart| | |ВП   | | |ВП=Второй позитивизм: [[эмпириокритицизм]] + [[махизм]]}}
{{chart| | | |!| | | }}
{{chart| | |НП   | | |НП=[[Неопозитивизм]]: [[Венский кружок]] + [[Львовско-варшавская школа]]}}
{{chart| |,|-|^|-|.| }}
{{chart|ПП   | |АФ   |ПП=[[Постпозитивизм]] |АФ=[[Аналитическая философия]]}}
{{chart/end}}

== Основные положения позитивизма ==
Позитивисты объединили логический и эмпирический методы в единый [[научный метод]]. Сущность единого для всех наук метода, обеспечивающего надёжным и достоверным знанием закономерностей природы, была выражена в манифесте «[[Венский кружок|Венского кружка]]», опубликованном в 1929 году: «Мы охарактеризовали научное миропонимание, в основном, посредством двух определяющих моментов. Во-первых, оно является эмпиристским и позитивистским: существует только опытное познание, основанное на том, что нам непосредственно дано ({{lang-de|das unmittelbar Gegebene}}). Тем самым устанавливается граница для содержания легитимной науки. Во-вторых, для научного миропонимания характерно применение определённого метода, а именно — метода логического анализа»<ref>''Карнап Р., Хан Х., Нейрат О.'' Научное миропонимание — венский кружок // Логос, 2005, № 2 (47). — С. 20.</ref>.

Позитивизм оказал влияние на методологию естественных и общественных наук (особенно второй половины [[XIX век]]а).

Позитивизм критиковал [[Натурфилософия|натурфилософские]] построения, которые навязывали науке неадекватные умозрительные образы изучаемых ею объектов и процессов. Однако эту критику позитивисты перенесли на всю философию в целом. Так возникла идея очищения науки от [[Метафизика|метафизики]]<ref>''Степин В. С.'' Философия науки. Общие проблемы. — М.: Гардарики, 2007. — С. 15.</ref>. Сущность позитивистской концепции соотношения философии и науки отражается во фразе О. Конта: «Наука — сама себе философия»[источник?]. Тем не менее, многие позитивисты верили в возможность построения «хорошей», научной философии. Такая философия должна была стать особой сферой конкретно-научного знания, не отличающийся от других наук по своему методу. В ходе развития позитивизма на роль научной философии выдвигались разные теории: методология науки ([[Конт, Огюст|Конт]], [[Милль, Джон Стюарт|Милль]]), научная картина мира ([[Спенсер, Герберт|Спенсер]]), психология научного творчества и научного мышления ([[Мах, Эрнст|Мах]], [[Дюэм, Пьер|Дюэм]]), логический анализ языка науки ([[Шлик, Мориц|Шлик]], [[Рассел, Бертран|Рассел]], [[Карнап, Рудольф|Карнап]]), [[Философия обыденного языка|лингвистический анализ языка]] ([[Райл, Гилберт|Райл]], [[Остин, Джон (юрист)|Остин]], поздний [[Витгенштейн, Людвиг|Витгенштейн]]), логико-эмпирическая реконструкция динамики науки ([[Поппер, Карл Раймунд|Поппер]], [[Лакатос, Имре|Лакатос]]). Однако все указанные выше варианты позитивной философии были раскритикованы, прежде всего, самими позитивистами, так как, во-первых, как оказалось, они не удовлетворяли провозглашённым самими позитивистами критериям научности, а, во-вторых, опирались на явно (а чаще — неявно) определённые «метафизические» предпосылки<ref>''Лебедев С. А.'' Философия науки: краткая энциклопедия (основные направления, концепции, категории) — М.: Академический проект, 2008. — С. 88.</ref>.

=== Стадии истории человечества с позиции позитивизма (согласно Огюсту Конту) ===
* ''Теологическая'' — в качестве объяснительной гипотезы используют понятие Бога, которому предписывают первопричины явлений и которого облекают в человекоподобный образ. Сама теологическая стадия распадается на три ступени: фетишизм, политеизм и монотеизм.
** [[Религиозный фетишизм|Фетишизм]] вызван тем, что фантазия человека ещё слишком слаба, чтобы выйти за пределы явлений, поэтому человек поклоняется [[Религиозный фетишизм|фетишам]] — вещам, наделённым человеческим статусом.
** [[Политеизм]] — люди начинают облекать первопричины в человеческие образы и измышлять богов.
** [[Монотеизм]] характеризуется тем, что первопричины структурируются, среди них выделяются главные и второстепенные, пока, наконец, не открывается главная первопричина — Единый [[Бог]]. Эта ступень получает имя монотеизма.
* ''Метафизическая'' — люди по-прежнему стремятся постичь начало и назначение вещей, но место богов занимают абстрактные сущности. Место Единого Бога занимает [[природа]], которую Конт определяет как «смутный эквивалент универсальной связи». Именно в языке позитивистов метафизика приобретает негативный оттенок, поскольку сущности и пресловутая природа вещей оказываются плодом беспочвенной фантазии, пусть даже она и выражена в строгой логической форме.
* ''Позитивная'' — единственной формой знания по Конту становится научное знание. Человечество становится достаточно взрослым, чтобы смело признать относительность ([[релятивизм|релятивность]]) нашего познания. В этом аспекте позитивизм преодолевает характерный для [[Научная революция|научной революции]] эпохи [[барокко]] [[оптимизм]]. Второй важной чертой научного знания является [[эмпиризм]] — строгое подчинение воображения наблюдению. Здесь [[Конт, Огюст|Конт]] повторяет идею [[Бэкон, Фрэнсис|Бэкона]] о том, что фундаментом знания должен стать проверенный [[Опытное знание|опыт]]. Учёные должны искать не сущность явлений, а их отношение, выражаемое с помощью [[Закон (наука)|законов]] — постоянных отношений, существующих между фактами. Ещё одной чертой научного знания является прагматизм. Учёные перестают быть эрудитами и энциклопедистами. Одним словом, знание становится позитивным: полезным, точным, достоверным и утвердительным.

== Идея эволюции с позиции позитивизма ==
Из эпохи [[барокко]] позитивисты заимствуют идею [[Кондорсе, Мари Жан Антуан Никола|Кондорсе]] (1743—1794) о [[прогресс]]е — поступательном движении к одной определённой цели. Развитие человечества как прогресс, главную роль в котором играет [[наука]]. Прогресс связан с [[эволюция|эволюцией]], но не сводится к ней. Идея эволюции появляется в 1850-е годы. Одни считают, что идею эволюции раскрыл [[Дарвин, Чарлз|Чарлз Дарвин]] (1809—1882), другие полагают, что автором этой идеи был английский философ-позитивист [[Герберт Спенсер]] (1820—1903). Как бы то ни было, именно Спенсер раскрывает концепцию космической эволюции. Эволюция — это предельно общий закон развития природы и общества; то есть собственно, предмет философии. Суть этого закона в том, что развитие идёт путём ветвления, от однообразия к многообразию. За иллюстрациями Спенсер обращался к различным наукам — к астрономии, биологии и социологии. Однообразная космическая туманность порождает многообразие небесных тел Солнечной системы; однообразная протоплазма — многообразие мира живых существ; однообразная первобытная орда — многообразие форм государства. Кроме того, эволюция характеризуется переходом от хаоса к порядку и постепенным замедлением в результате рассеяния энергии. Идея эволюции оказалась чрезвычайно плодотворной. Её заимствовали как материалисты, так и идеалисты и мистики.

== Взаимосвязь позитивизма с другими философскими течениями ==
Основной внешний конфликт позитивизма — борьба с метафизикой, которая манипулирует терминами, которым ничего не соответствовало в реальности, например, [[энтелехия]], [[Эфир (физика)|эфир]] и т. п. Поиск научного метода преследовал цель найти свободные от метафизических предрассудков достоверные основания знания. Позитивисты считали надёжным знание, которое должно опираться на нейтральный опыт, а единственной познавательно ценной формой знаний, по их мнению, является эмпирическое описание фактов. Для выражения результатов наблюдения должны использоваться особые «протокольные предложения», Мориц Шлик писал: «первоначально под „протокольными предложениями“ понимались — как это видно из самого наименования — те предложения, которые выражают факты абсолютно просто, без какого-либо их переделывания, изменения или добавления к ним чего-либо ещё, — факты, поиском которых занимается всякая наука и которые предшествуют всякому познанию и всякому суждению о мире. Бессмысленно говорить о недостоверных фактах. Только утверждения, только наше знание могут быть недостоверными. Поэтому если нам удаётся выразить факты в „протокольных предложениях“, без какого-либо искажения, то они станут несомненными отправными точками знания»<ref>''Шлик М.'' О фундаменте познания // Аналитическая философия: Избр. тексты. — М., 1993. — С. 34.</ref>.

Позитивизм в философии в целом шире, чем позитивистский подход в философии науки. Общий принцип — избавление от «излишеств», которые не могут быть обоснованы эмпирически и поэтому заявляются бесполезными. Этот подход наглядно демонстрируют [[эпикурейцы]] как в области познания, так и в этике: мы не можем выйти за рамки эмпирики, и поэтому должны отбросить «расширение самих себя» за рамки фактов. При этом эпикурейцы использовали наработки [[Скептицизм|скептиков]] как минимум в плане изостении<ref>''Гусев Д. А.'' Античный скептицизм и современная философия науки // Преподаватель, XXI век. — 2014. — № 3. — С. 219—225.</ref>.

== См. также ==
* [[Позитивистская церковь]]
* [[Логический позитивизм]]
* [[Философия науки]]
* [[Органицизм]]
* [[Школы и направления в западной макросоциологии]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{НФЭ|2350|Позитивизм|А. Ф. Зотов }}
* {{Книга|ссылка=https://dspace.hnpu.edu.ua/server/api/core/bitstreams/0ec010b0-3196-4737-b8de-8027f3ab66e7/content|автор=Богдашина Е. Н.|заглавие=Позитивизм в исторической науке на Украине (60-е гг. XIX — 20-е гг. XX вв.)|год=2013|место=Харьков|издательство=[[Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина|ХНУ имени В. Н. Каразина]]|страниц=588|archive-url=https://web.archive.org/web/20230731170030/https://dspace.hnpu.edu.ua/server/api/core/bitstreams/0ec010b0-3196-4737-b8de-8027f3ab66e7/content|archive-date=2023-07-31}}
* {{статья
| автор         = Васильев Ю. А.
| заглавие      = Немецкие школы историков XVIII—XIX вв. Статья 2. Поворот к науке. Историческая школа позитивизма
| оригинал      =
| ссылка        = http://www.zpu-journal.ru/e-zpu/2016/3/Vasiliev_German-Schools-2/
| автор издания =
| издание       = Информационный гуманитарный портал «[[Знание. Понимание. Умение]]»
| тип           =
| место         =
| год           = 2016
| номер         = 3
<!--(WebCite практически мёртв с 2021 года) | archive-url    = http://www.webcitation.org/6mGRXwIWu -->
| страницы      =
}}
* ''Михаленко Ю. П.'' Философия Давида Юма — теоретическая основа английского позитивизма XX века. — М., 1962.
* ''Шкуринов П. С.'' Позитивизм в России XIX века. — М., 1980. — 416 с.
* Русский позитивизм. / В. В. Лесевич, П. С. Юшкевич, А. А. Богданов. Составитель, автор предисловия, обзорной статьи и указателей С. С. Гусев. — СПб., 1995. — 362 с.
* ''Ян Гожун'' Позитивизм и современная китайская философия: испр. изд-е. Пер с кит. Ван Юе и др. М.; СПб.: Нестор-История, 2021.-320 с.
* ''Schlick, M.'' Positivismus und Realismus. In: Erkenntnis 3, 1932, S. 1—31.
* ''Woodward, Ralph Lee'', ed. 1971. Positivism in Latin America, 1850—1900. Lexington: Heath.
* ''[[Сеа, Леопольдо|Zea, Leopoldo]]''. 1974. Positivism in Mexico. Austin: University of Texas Press.

== Ссылки ==
* {{Из БСЭ|заглавие=Позитивизм}}
* [http://www.grandars.ru/college/filosofiya/pozitivizm.html Позитивизм, неопозитивизм и постпозитивизм]
{{ВС}}

{{Позитивизм}}
{{Атеизм}}

[[Категория:Позитивизм| ]]
[[Категория:Направления социологии]]


text:
# Обобщённые числа Фибоначчи
Числа Фибоначчи образуют определённую с помощью рекурсии последовательность
{\displaystyle F_{0}=0,}
{\displaystyle F_{1}=1,}
{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} для целого числа {\displaystyle n>1}.
То есть, начиная с двух начальных значений, каждое число равно сумме двух предшествующих.
Последовательность Фибоначчи интенсивно изучена и обобщена многими способами, например, начиная последовательность с других чисел, отличных от 0 или 1, или путём сложения более двух предшествующих чисел для образования следующего числа. Данная статья описывает различные расширения и обобщения чисел Фибоначчи.

## Расширение на отрицательные числа
Если использовать рекурсию {\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}}, можно расширить числа Фибоначчи на отрицательные числа. Мы получаем:
… −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
с формулой общего члена {\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}}.
См. также Негафибоначчиевы числа.

## Расширение на вещественные и комплексные числа
Существует много возможных обобщений, которые расширяют числа Фибоначчи на вещественные числа (а иногда и на комплексные числа). Они используют золотое сечение φ и базируются на формуле Бине
{\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.}
Аналитическая функция
{\displaystyle \operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}
имеет свойство, что {\displaystyle \operatorname {Fe} (n)=F_{n}} для чётных целых чисел n. Аналогично, для аналитической функции
{\displaystyle \operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}
выполняется {\displaystyle \operatorname {Fo} (n)=F_{n}} для всех нечётных целых чисел n.
Собирая всё вместе, получим аналитическую функцию
{\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}},}
для которой выполняется {\displaystyle \operatorname {Fib} (n)=F_{n}} для всех целых чисел n.
Поскольку {\displaystyle \operatorname {Fib} (z+2)=\operatorname {Fib} (z+1)+\operatorname {Fib} (z)} для всех комплексных чисел z, эта функция даёт также расширение последовательности Фибоначчи для всей комплексной плоскости. Таким образом, мы можем вычислить обобщённую функцию Фибоначчи для комплексной переменной, например,
{\displaystyle \operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248{,}5-14195{,}9i.}

## Векторное пространство
Термин последовательности Фибоначи может быть применен для любой функции g, отображающей целочисленную переменную в некоторое поле, для которой {\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)}. Эти функции в точности являются функциями вида {\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)}, так что последовательности Фибоначчи образуют векторное пространство, базисом которого являются функции {\displaystyle F(n)} и {\displaystyle F(n-1)}.
В качестве области определения функции g может быть взята любая абелева группа (рассматриваемая как Z-модуль). Тогда последовательности Фибоначчи образуют 2-мерный Z-модуль.

## Похожие целые последовательности

### Целые последовательности Фибоначчи
2-мерный Z-модуль последовательностей целых чисел Фибоначчи состоит из всех целых последовательностей, удовлетворяющих соотношению {\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)}. Если выразить в терминах двух первых начальных значений, получим
{\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}},}
где φ — золотое сечение.
Отношение между двумя последовательными элементами сходится к золотому сечению, за исключением случая последовательности, которая состоит из нулей и последовательностей, в которых отношение двух первых членов равно {\displaystyle (-\varphi )^{-1}}.
Последовательность можно записать в виде
{\displaystyle a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},}
в которой {\displaystyle a=0} тогда и только тогда, когда {\displaystyle b=0}. В таком виде простейшим нетривиальным примером является {\displaystyle a=b=1} и эта последовательность состоит из чисел Люка:
{\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}.}
Мы имеем {\displaystyle L_{1}=1} и {\displaystyle L_{2}=3}. Выполняется:
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}={\frac {L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned}}}
Любая нетривиальная последовательность целых чисел Фибоначчи (возможно, после сдвига на конечное число позиций) является одной из строк таблицы Витхоффа. Сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а сдвинутая последовательность Люка является второй строкой.
См. также Последовательности чисел Фибоначчи по модулю n.

### Последовательности Люка
Другое обобщение последовательностей Фибоначчи — последовательности Люка, определённые следующим образом:
{\displaystyle U(0)=0},
{\displaystyle U(1)=1},
{\displaystyle U(n+2)=PU(n+1)-QU(n)},
где обычная последовательность Фибоначчи является частным случаем с {\displaystyle P=1} и {\displaystyle Q=-1}. Другая последовательность Люка начинается с {\displaystyle V(0)=2}, {\displaystyle V(1)=P}. Такие последовательности имеют приложение в теории чисел и проверке простоты.
В случае, когда {\displaystyle Q=-1}, эта последовательность называется P-последовательностью Фибоначчи. Например, последовательность Пелля называется также 2-последовательностью Фибоначчи.
3-последовательность Фибоначчи
0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, … последовательность A006190 в OEIS
4-последовательность Фибоначчи
0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, … последовательность A001076 в OEIS
5-последовательность Фибоначчи
0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, … последовательность A052918 в OEIS
6-последовательность Фибоначчи
0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, … последовательность A005668 в OEIS
n-константа Фибоначчи — значение, к которому стремится отношение смежных чисел n-последовательности Фибоначчи. Она называется также n-м отношением ценного металла и является единственным положительным корнем уравнения {\displaystyle x^{2}-nx-1=0}. Например, в случае {\displaystyle n=1} константа равна {\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}, или золотому сечению, а в случае {\displaystyle n=2} константа равна 1 + √2, или серебряному сечению. Для общего случая n-константа равна {\displaystyle {\tfrac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}.
В общем случае {\displaystyle U(n)} можно называть {\displaystyle (P,-Q)}- последовательностью Фибоначчи, а {\displaystyle V(n)} можно назвать {\displaystyle (P,-Q)}-последовательностью Люка.
(1,2)-последовательность Фибоначчи
0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, … последовательность A001045 в OEIS
(1,3)-последовательность Фибоначчи
1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, … последовательность A006130 в OEIS
(2,2)-последовательность Фибоначчи
0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, … последовательность A002605 в OEIS
(3,3)-последовательность Фибоначчи
0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, … последовательность A030195 в OEIS

### Числа Фибоначчи высокого порядка
Последовательность Фибоначчи порядка n — это последовательность целых чисел, в которой каждый элемент является суммой предыдущих n элементов (за исключением первых n элементов последовательности). Обычные числа Фибоначчи имеют порядок 2. Случаи {\displaystyle n=3} и {\displaystyle n=4} тщательно исследованы. Число разложений неотрицательных целых чисел на части, не превосходящие n, является последовательностью Фибоначчи порядка n. Последователь количеств строк из 0 и 1 длины m, содержащих не более n последовательных нулей, также является последовательностью Фибоначчи порядка n.
Эти последовательности, их границы отношений членов и их пределы отношений членов исследовал Марк Барр в 1913.

#### Числа трибоначчи
Числа трибоначчи похожи на числа Фибоначчи, но вместо двух предопределённых чисел последовательность начинается с трёх чисел и каждый следующий член является суммой предыдущих трёх:
0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … (последовательность A000073 в OEIS)
Постоянная трибоначчи
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}\approx 1,839286755214161,} последовательность A058265 в OEIS
является значением, к которому стремится отношение двух соседних чисел трибоначчи. Число является корнем многочлена {\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0}, а также удовлетворяет уравнению {\displaystyle x+x^{-3}=2}. Постоянная трибоначчи важна для изучения плосконосого куба.
Величина, обратная постоянной трибоначчи, выраженная отношением {\displaystyle \xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1}, может быть записана как:
{\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33}}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\approx 0,543689012.}
Числа трибоначчи задаются также формулой
{\displaystyle T(n)=\left\lfloor 3b{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil },
где ⌊ • ⌉ означает ближайшее целое и
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}}.

#### Числа тетраначчи
Числа тетраначчи начинаются с четырёх предопределённых членов, а каждый следующий член вычисляется как сумма предыдущих четырёх членов последовательности. Первые несколько чисел тетраначчи:
0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (последовательность A000078 в OEIS)
Постоянная тетраначчи — это значение, к которому стремится отношение соседних членов последовательности тетраначчи. Эта постоянная является корнем многочлена {\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}, примерно равна 1,927561975482925 A086088 и удовлетворяет уравнению {\displaystyle x+x^{-4}=2}.
Константа тетраначчи выражается в терминах радикалов
{\displaystyle \left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\sqrt {\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)^{2}-{\frac {2\lambda _{1}}{p_{1}}}\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\frac {7}{24p_{1}}}+{\tfrac {1}{6}}}}}
где
{\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&={\sqrt {\lambda _{1}+{\tfrac {11}{48}}}}\\\lambda _{1}&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}-65}}-{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}+65}}}{12{\sqrt[{3}]{2}}}}.\end{aligned}}}

#### Более высокие порядки
Были вычислены числа пентаначчи (5 порядка), гексаначчи (6 порядка) и гептаначчи (7 порядка).
Числа пентаначчи (5 порядка):
0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … последовательность A001591 в OEIS
Числа гексаначчи (6 порядка):
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … последовательность A001592 в OEIS
Числа гептаначчи (7 порядка):
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … последовательность A122189 в OEIS
Числа октаначчи (8 порядка):
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, … последовательность A079262 в OEIS
Числа ноначчи (9 порядка):
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, … последовательность A104144 в OEIS
Предел отношения последовательных членов последовательности n-наччи стремится к корню уравнения {\displaystyle x+x^{-n}=2}(A103814, A118427, A118428).
Альтернативная рекурсивная формула предела отношения r двух последовательных чисел n-наччи
{\displaystyle r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k}}.
Частный случай {\displaystyle n=2} является традиционной последовательностью Фибоначчи и даёт золотое сечение {\displaystyle \varphi =1+{\tfrac {1}{\varphi }}}.
Вышеприведённые формулы для отношения выполняются для последовательностей n-наччи, сгенерированных из произвольных чисел. Предел этого отношения равен 2 при n, стремящемся к бесконечности. Последовательность чисел «бесконечно-наччи», если её попытаться описать, должна начинаться с бесконечного числа нулей, после чего должна идти последовательность
[…, 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …,
то есть просто степени двойки.
Предел последовательности для любого {\displaystyle n>0} является положительным корнем r характеристического уравнения
{\displaystyle x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.}
Корень r находится в интервале {\displaystyle 2(1-2^{-n})<r<2}. Отрицательный корень характеристического уравнения находится в интервале (−1, 0), если n чётно. Этот корень и каждый комплексный корень характеристического уравнения имеет модуль {\displaystyle 3^{-n}<\vert r\vert <1}.
Последовательность для положительного корня r для любого {\displaystyle n>0}
{\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(n+1)i}}}.}
Не существует решения характеристического уравнения в терминах радикалов, если {\displaystyle 5\leqslant n\leqslant 11}.
k-й элемент последовательности n-наччи задаётся формулой
{\displaystyle F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n}}\right\rceil ,}
где ⌊ • ⌉ означает ближайшее целое, а r — константа n-наччи, которая является корнем {\displaystyle x+x^{-n}=2}, ближайшим к 2.
Задача подбрасования монеты связана с последовательностью n-наччи. Вероятность, что не выпадет n раз последовательно решка в m бросаниях идеальной монеты, равна {\displaystyle {\tfrac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(n)}}.

## Слово Фибоначчи
По аналогии числовому аналогу слово Фибоначчи определяется как
{\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&,n=0;\\{\text{a}}&,n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&,n>1.\\\end{cases}}}
где + означает конкатенацию двух строк. Последовательность строк Фибоначчи начинается с
b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, … последовательность A106750 в OEIS
Длина каждой строки Фибоначчи равна числу Фибоначчи и для каждого числа Фибоначчи существует строка Фибоначчи.
Строки Фибоначчи оказываются для некоторых алгоритмов входными данными наихудшего случая.
Если «a» и «b» представляют два различных материала или длины атомных связей, структура, соответствующая строке Фибоначчи, является квазикристаллом Фибоначчи, непериодической квазикристаллической структурой с необычными спектральными свойствами.

## Свёрнутые последовательности Фибоначчи
Свёрнутая последовательность Фибоначчи получается путём применения операции свёртки к последовательности Фибоначчи один и более раз. Определим:
{\displaystyle F_{n}^{(0)}=F_{n}}
и
{\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{n-i}^{(r)}}
Первые несколько последовательностей
r = 1: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, … A001629.
r = 2: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, … A001628.
r = 3: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, … A001872.
Последовательности можно вычислить с помощью рекуррентной формулы
{\displaystyle F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}}
Производящая функция r-ой свёртки равна
{\displaystyle s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac {x}{1-x-x^{2}}}\right)^{r+1}.}
Последовательности связаны с последовательностью многочленов Фибоначчи отношением
{\displaystyle F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)}
где {\displaystyle F_{n}^{(r)}(x)} является r-ой производной {\displaystyle F_{n}(x)}. Эквивалентно, {\displaystyle F_{n}^{(r)}} является коэффициентом {\displaystyle (x-1)^{r}}, если {\displaystyle F_{n}(x)} развернуть как сумму степеней {\displaystyle (x-1)}.
Первая свёртка {\displaystyle F_{n}^{(1)}} может быть записана в терминах чисел Фибоначчи и Люка
{\displaystyle F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}}
и удовлетворяет рекуррентному соотношению
{\displaystyle F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1)}-F_{n-3}^{(1)}.}
Аналогичное выражение можно найти для r > 1 с возрастающей сложностью по мере роста r. Числа {\displaystyle F_{n}{(1)}} являются суммами по строкам треугольника Хосоя.
Как и для чисел Фибоначчи, существуют некоторые комбинаторные интерпретации этих последовательностей. Например, {\displaystyle F_{n}^{(1)}} является количеством способов записать n − 2 в виде упорядоченной суммы чисел 0, 1 и 2, при этом 0 используется ровно один раз. В частности, {\displaystyle F_{4}^{(1)}=5} и, соответственно, 4 — 2 = 2 можно записать как 0 + 1 + 1, 0 + 2, 1 + 0 + 1, 1 + 1 + 0, 2 + 0.

## Другие обобщения
Многочлены Фибоначчи являются другим обобщением чисел Фибоначчи.
Последовательность Падована образована рекуррентным соотношением {\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}.
Случайная последовательность Фибоначчи может быть определена как бросание монеты для каждой позиции n последовательности и выбора {\displaystyle F(n)=F(n-1)+F(n-2)} в случае выпадения орла и {\displaystyle F(n)=F(n-1)-F(n-2)} в случае решки. Согласно работе Фурстенберга и Кестена эта последовательность почти достоверно растёт экспоненциально с постоянной скоростью. Константа скорости роста была вычислена в 1999 Дивакаром Висванатом и известна как «константа Висваната».
Репфигит, или число Кита, это целое число, которое получается в результате последовательности Фибоначчи, начинающейся с последовательности чисел, представляющей последовательность цифр числа. Например, для числа 47, последовательность Фибоначчи начинается с 4 и 7 и содержит 47 в качестве шестого члена ((4, 7, 11, 18, 29, 47)). Число Кита может быть получено как последовательность трибоначчи, если оно содержит 3 знака, как последовательность тетраначчи, если число содержит 4 знака и т. д.. Несколько первых чисел Кита:
14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, … последовательность A007629 в OEIS
Поскольку множество последовательностей, удовлетворяющих соотношению {\displaystyle S(n)=S(n-1)+S(n-2)}, замкнуто относительно поэлементного сложения и умножения на константу, его можно рассматривать как векторное пространство. Любая такая последовательность однозначно определяется выбором двух элементов, так что векторное пространство является двумерным. Если обозначить такую последовательность через {\displaystyle (S(0),S(1))} (первые два члена последовательности), числа Фибоначчи {\displaystyle F(n)=(0,1)} и сдвинутые числа Фибоначчи {\displaystyle F(n-1)=(1,0)}, будут каноническим базисом этого пространства
{\displaystyle S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)}
для всех таких последовательностей S. Например, если S — это последовательность Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, ..., мы имеем
{\displaystyle L(n)=2F(n-1)+F(n)}.

### N-генерированная последовательность Фибоначчи
Мы можем определить N-генерированную последовательность Фибоначчи (где N — положительное рациональное число).
Если
{\displaystyle N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot ...\cdot P_{r}^{a_{r}},}
где Pr — это r-ое простое число, мы определяем
{\displaystyle F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n-3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...}
Если {\displaystyle n=r-1}, полагаем {\displaystyle F_{N}(n)=1}, а в случае {\displaystyle n<r-1}, полагаем {\displaystyle F_{N}(n)=0}.
| Последовательность            | N   | Последовательность OEIS |
| ----------------------------- | --- | ----------------------- |
| Последовательность Фибоначчи  | 6   | A000045                 |
| Последовательность Пелля      | 12  | A000129                 |
| Последовательность Якобсталя  | 18  | A001045                 |
| Последовательность трибоначчи | 30  | A000073                 |
| Последовательность тетраначчи | 210 | A000288                 |
| Последовательность Падована   | 15  | A000931                 |

### Полуфибоначчиева последовательность
Полуфиббоначиева последовательность (A030067) определяется посредством той же рекуррентной формулы для членов с нечётными индексами {\displaystyle a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)} и {\displaystyle a(1)=1}, но для чётных индексов берётся {\displaystyle a(2n)=a(n)}, {\displaystyle n\geqslant 1}. Выделенные нечётные члены (A030068) {\displaystyle s(n)=a(2n-1)} удовлетворяют уравнению {\displaystyle s(n+1)=s(n)+a(n)} и строго возрастают. Они дают множество полуфибоначчиевых чисел
1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, … последовательность A030068 в OEIS,
для которых верна формула {\displaystyle s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,...}.

wikiname: ruwiki

title: Обобщённые числа Фибоначчи

in_language: ru

wikitext:
{{нет определения|дата=2024-06-09}}
[[Числа Фибоначчи]] образуют определённую с помощью [[Рекурсия|рекурсии]] [[последовательность]]
: <math>F_0 = 0,</math>
: <math>F_1 = 1,</math>
: <math>F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}</math> для [[Целое число|целого числа]] <math>n > 1</math>.

То есть, начиная с двух начальных значений, каждое число равно сумме двух предшествующих.

Последовательность Фибоначчи интенсивно изучена и обобщена многими способами, например, начиная последовательность с других чисел, отличных от 0 или 1, или путём сложения более двух предшествующих чисел для образования следующего числа. Данная статья описывает различные расширения и обобщения чисел Фибоначчи.

== Расширение на отрицательные числа ==
Если использовать рекурсию <math>F_{n - 2} = F_n - F_{n - 1}</math>, можно расширить числа Фибоначчи на отрицательные числа. Мы получаем:
: … −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
с формулой общего члена <math>F_{-n} = (-1)^{n + 1}F_n</math>.

См. также [[Негафибоначчиевы числа]].

== Расширение на вещественные и комплексные числа ==
Существует много возможных обобщений, которые расширяют числа Фибоначчи на [[Вещественное число|вещественные числа]] (а иногда и на [[Комплексное число|комплексные числа]]). Они используют [[золотое сечение]] {{mvar|φ}} и базируются на формуле Бине
: <math>F_n = \frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt 5}.</math>

Аналитическая функция

: <math>\operatorname{Fe}(x) = \frac{\varphi^x - \varphi^{-x}}{\sqrt{5}}</math>

имеет свойство, что <math>\operatorname{Fe}(n) = F_n</math> для чётных целых чисел {{mvar|n}}<ref>[https://web.archive.org/web/20091027103713/http://geocities.com/hjsmithh/Fibonacc/FibWhat.html What is a Fibonacci Number?]</ref>. Аналогично, для аналитической функции
: <math>\operatorname{Fo}(x) = \frac{\varphi^x + \varphi^{-x}}{\sqrt{5}}</math>
выполняется <math>\operatorname{Fo}(n) = F_n</math> для всех нечётных целых чисел {{mvar|n}}.

Собирая всё вместе, получим аналитическую функцию

: <math>\operatorname{Fib}(x) = \frac{\varphi^x - \cos(x \pi)\varphi^{-x}}{\sqrt{5}},</math>

для которой выполняется <math>\operatorname{Fib}(n) = F_n</math> для всех целых чисел {{mvar|n}}<ref>{{MathWorld |title=Fibonacci Number |urlname=FibonacciNumber |author=Pravin Chandra, {{не переведено 5|Вайсшрайн, Эрик В.|Eric W. Weisstein||Eric W. Weisstein}}}}</ref>.

Поскольку <math>\operatorname{Fib}(z + 2) = \operatorname{Fib}(z + 1) + \operatorname{Fib}(z)</math> для всех комплексных чисел {{mvar|z}}, эта функция даёт также расширение последовательности Фибоначчи для всей комплексной плоскости. Таким образом, мы можем вычислить обобщённую функцию Фибоначчи для комплексной переменной, например,
: <math>\operatorname{Fib}(3+4i) \approx -5248{,}5 - 14195{,}9 i.</math>

== Векторное пространство ==
Термин ''последовательности Фибоначи'' может быть применен для любой [[Функция (математика)|функции]] {{mvar|g}}, отображающей целочисленную переменную в некоторое поле, для которой <math>g(n + 2) = g(n) + g(n + 1)</math>. Эти функции в точности являются функциями вида <math>g(n) = F(n)g(1) + F(n - 1)g(0) </math>, так что последовательности Фибоначчи образуют [[векторное пространство]], базисом которого являются функции <math>F(n)</math> и <math>F(n - 1) </math>.

В качестве области определения функции {{mvar|g}} может быть взята любая [[абелева группа]] (рассматриваемая как [[Модуль над кольцом|{{mvar|Z}}-модуль]]). Тогда последовательности Фибоначчи образуют 2-мерный {{mvar|Z}}-модуль.

== Похожие целые последовательности ==

=== Целые последовательности Фибоначчи ===
2-мерный {{mvar|Z}}-модуль последовательностей целых чисел Фибоначчи состоит из всех целых последовательностей, удовлетворяющих соотношению <math>g(n + 2) = g(n) + g(n + 1)</math>. Если выразить в терминах двух первых начальных значений, получим
: <math>g(n) = F(n)g(1) + F(n-1)g(0) = g(1)\frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt 5}+g(0)\frac{\varphi^{n-1}-(-\varphi)^{1-n}}{\sqrt 5},</math>
где {{mvar|φ}} — золотое сечение.

Отношение между двумя последовательными элементами сходится к золотому сечению, за исключением случая последовательности, которая состоит из нулей и последовательностей, в которых отношение двух первых членов равно <math>(-\varphi)^{-1}</math>.

Последовательность можно записать в виде
: <math>a\varphi^n+b(-\varphi)^{-n},</math>
в которой <math>a = 0</math> тогда и только тогда, когда <math>b = 0</math>. В таком виде простейшим нетривиальным примером является <math>a = b = 1</math> и эта последовательность состоит из [[Числа Люка|чисел Люка]]:
: <math>L_n = \varphi^n + (- \varphi)^{- n}.</math>
Мы имеем <math>L_1 = 1</math> и <math>L_2 = 3</math>. Выполняется:
: <math>\begin{align} \varphi^n &= \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n = \frac{L(n)+F(n)\sqrt{5}}{2}, \\ L(n) &= F(n-1) + F(n+1).\end{align}</math>

Любая нетривиальная последовательность целых чисел Фибоначчи (возможно, после сдвига на конечное число позиций) является одной из строк [[Таблица Витхоффа|таблицы Витхоффа]]. Сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а сдвинутая последовательность Люка является второй строкой{{sfn|Morrison|1980|с=134–136}}.

См. также [[Период Пизано|Последовательности чисел Фибоначчи по модулю {{mvar|n}}]].

=== Последовательности Люка ===
Другое обобщение последовательностей Фибоначчи — [[Последовательность Люка|последовательности Люка]], определённые следующим образом:
: <math>U(0) = 0</math>,
: <math>U(1) = 1</math>,
: <math>U(n + 2) = PU(n + 1) - QU(n)</math>,
где обычная последовательность Фибоначчи является частным случаем с <math>P = 1</math> и <math>Q = -1</math>. Другая последовательность Люка начинается с <math>V(0) = 2</math>, <math>V(1) = P</math>. Такие последовательности имеют приложение в теории чисел и проверке [[Простое число|простоты]].

В случае, когда <math>Q = -1</math>, эта последовательность называется '''{{mvar|P}}-последовательностью Фибоначчи'''. Например, [[Число Пелля|последовательность Пелля]] называется также '''2-последовательностью Фибоначчи'''.

'''3-последовательность Фибоначчи'''
: 0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, … {{OEIS|id=A006190}}

'''4-последовательность Фибоначчи'''
: 0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, … {{OEIS|id=A001076}}

'''5-последовательность Фибоначчи'''
: 0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, … {{OEIS|id=A052918}}

'''6-последовательность Фибоначчи'''
: 0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, … {{OEIS|id=A005668}}

'''{{mvar|n}}-константа Фибоначчи''' — значение, к которому стремится отношение смежных чисел {{mvar|n}}-последовательности Фибоначчи. Она называется также '''{{mvar|n}}-м отношением ценного металла''' и является единственным положительным корнем уравнения <math>x^2 - nx - 1 = 0</math>. Например, в случае <math>n = 1</math> константа равна <math>\tfrac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>, или [[Золотое сечение|золотому сечению]], а в случае <math>n = 2</math> константа равна 1 + {{sqrt|2}}, или [[Серебряное сечение|серебряному сечению]]. Для общего случая {{mvar|n}}-константа равна <math>\tfrac{n + \sqrt{n^2 +4}}{2}</math>.

В общем случае <math>U(n) </math> можно называть <math>(P,-Q)</math>- '''последовательностью Фибоначчи''', а <math>V(n)</math> можно назвать <math>(P,-Q) </math>'''-последовательностью Люка'''.

'''(1,2)-последовательность Фибоначчи'''
: 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, … {{OEIS|id=A001045}}

'''(1,3)-последовательность Фибоначчи'''
: 1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, … {{OEIS|id=A006130}}

'''(2,2)-последовательность Фибоначчи'''
: 0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, … {{OEIS|id=A002605}}

'''(3,3)-последовательность Фибоначчи'''
: 0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, … {{OEIS|id=A030195}}

=== Числа Фибоначчи высокого порядка ===
'''Последовательность Фибоначчи порядка {{mvar|n}}''' — это последовательность целых чисел, в которой каждый элемент является суммой предыдущих {{mvar|n}} элементов (за исключением первых {{mvar|n}} элементов последовательности). Обычные числа Фибоначчи имеют порядок 2. Случаи <math>n = 3</math> и <math>n = 4</math> тщательно исследованы. Число [[Композиция числа|разложений]] неотрицательных целых чисел на части, не превосходящие {{mvar|n}}, является последовательностью Фибоначчи порядка {{mvar|n}}. Последователь количеств строк из 0 и 1 длины {{mvar|m}}, содержащих не более {{mvar|n}} последовательных нулей, также является последовательностью Фибоначчи порядка {{mvar|n}}.

Эти последовательности, их границы отношений членов и их пределы отношений членов исследовал {{не переведено 5|Барр, Марк|Марк Барр||Mark Barr}} в 1913{{sfn|Gardner|1961|с=101}}.

==== Числа трибоначчи ====
'''Числа трибоначчи''' похожи на числа Фибоначчи, но вместо двух предопределённых чисел последовательность начинается с трёх чисел и каждый следующий член является суммой предыдущих трёх:
: [[0 (число)|0]], [[0 (число)|0]], [[1 (число)|1]], [[1 (число)|1]], [[2 (число)|2]], [[4 (число)|4]], [[7 (число)|7]], [[13 (число)|13]], [[24 (число)|24]], [[44 (число)|44]], [[81 (число)|81]], [[149 (число)|149]], 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … ({{OEIS|A000073}})

'''Постоянная трибоначчи'''
: <math> \frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}{3} \approx 1,839286755214161,</math> {{OEIS|A058265}}
является значением, к которому стремится отношение двух соседних чисел трибоначчи. Число является корнем многочлена <math>x^3 - x^2 - x - 1 = 0</math>, а также удовлетворяет уравнению <math>x + x^{-3} = 2</math>. Постоянная трибоначчи важна для изучения [[Курносый куб|плосконосого куба]].

Величина, '''обратная постоянной трибоначчи''', выраженная отношением <math>\xi^3 + \xi^2 + \xi = 1</math>, может быть записана как:
: <math>\xi = \frac{\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}} - \sqrt[3]{-17+3\sqrt{33}} - 1}{3} = \frac{3}{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}} \approx 0,543689012.</math>

Числа трибоначчи задаются также формулой<ref>{{Cite web |url=http://www.plouffe.fr/ |title=Simon Plouffe, 1993 |access-date=2022-07-20 |archive-date=2022-07-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220711113000/http://www.plouffe.fr/ |url-status=live }}</ref>

: <math>T(n) = \left\lfloor 3 b \frac{\left(\frac{1}{3} \left( a_{+} + a_{-} + 1\right)\right)^n}{b^2-2b+4} \right\rceil</math>,

где {{math|⌊ • ⌉}} означает {{не переведено 5|функция ближайшего целого|ближайшее целое||nearest integer function}} и

: <math>\begin{align} a_{\pm} &= \sqrt[3]{19 \pm 3 \sqrt{33}} \\ b &= \sqrt[3]{586 + 102 \sqrt{33}} \end{align}</math>.

==== Числа тетраначчи ====
'''Числа тетраначчи''' начинаются с четырёх предопределённых членов, а каждый следующий член вычисляется как сумма предыдущих четырёх членов последовательности. Первые несколько чисел тетраначчи:
: 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, [[15 (число)|15]], [[29 (число)|29]], [[56 (число)|56]], [[108 (число)|108]], 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … ({{OEIS|A000078}})

'''Постоянная тетраначчи''' — это значение, к которому стремится отношение соседних членов последовательности тетраначчи. Эта постоянная является корнем многочлена <math>x^4 - x^3 - x^2 - x - 1 = 0</math>, примерно равна 1,927561975482925 {{OEIS2C|A086088}} и удовлетворяет уравнению <math>x + x^{-4} = 2</math>.

Константа тетраначчи выражается в терминах радикалов{{sfn|Wolfram|1998}}
: <math>\left(p_1 + \tfrac{1}{4}\right) + \sqrt{\left(p_1 + \tfrac{1}{4}\right)^2 - \frac{2 \lambda_1}{p_1}\left(p_1 + \tfrac{1}{4}\right) + \frac{7}{24p_1} + \tfrac{1}{6}}</math>
где
: <math>\begin{align} p_1 &= \sqrt{\lambda_1 + \tfrac{11}{48}} \\ \lambda_1 &= \frac{\sqrt[3]{3\sqrt{1689} - 65}- \sqrt[3]{3\sqrt{1689} + 65}}{12 \sqrt[3]{2}}. \end{align}</math>

==== Более высокие порядки ====
Были вычислены числа пентаначчи (5 порядка), гексаначчи (6 порядка) и гептаначчи (7 порядка).

Числа пентаначчи (5 порядка):
: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … {{OEIS|A001591}}
Числа гексаначчи (6 порядка):
: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … {{OEIS|A001592}}
Числа гептаначчи (7 порядка):
: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … {{OEIS|A122189}}
Числа октаначчи (8 порядка):
: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, … {{OEIS|A079262}}
Числа ноначчи (9 порядка):
: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, … {{OEIS|A104144}}

Предел отношения последовательных членов последовательности {{mvar|n}}-наччи стремится к корню уравнения <math>x + x^{-n} = 2</math>({{OEIS2C|A103814}}, {{OEIS2C|A118427}}, {{OEIS2C|A118428}}).

Альтернативная рекурсивная формула предела отношения {{mvar|r}} двух последовательных чисел {{mvar|n}}-наччи
: <math> r=\sum_{k=0}^{n-1}r^{-k}</math>.

Частный случай <math>n = 2</math> является традиционной последовательностью Фибоначчи и даёт золотое сечение <math>\varphi = 1 + \tfrac{1}{\varphi}</math>.

Вышеприведённые формулы для отношения выполняются для последовательностей {{mvar|n}}-наччи, сгенерированных из произвольных чисел. Предел этого отношения равен 2 при {{mvar|n}}, стремящемся к бесконечности. Последовательность чисел «бесконечно-наччи», если её попытаться описать, должна начинаться с бесконечного числа нулей, после чего должна идти последовательность
: […, 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …,
то есть просто степени двойки.

Предел последовательности для любого <math>n > 0</math> является положительным корнем {{mvar|r}} характеристического уравнения{{sfn|Wolfram|1998}}
: <math>x^n - \sum_{i = 0}^{n-1} x^i = 0.</math>
Корень {{mvar|r}} находится в интервале <math>2(1 - 2^{-n}) < r < 2</math>. Отрицательный корень характеристического уравнения находится в интервале (−1, 0), если {{mvar|n}} чётно. Этот корень и каждый комплексный корень характеристического уравнения имеет модуль <math>3^{-n} < \vert r \vert < 1</math>{{sfn|Wolfram|1998}}.

Последовательность для положительного корня {{mvar|r}} для любого <math>n > 0</math>{{sfn|Wolfram|1998}}
: <math>2 - 2\sum_{i > 0} \frac{1}{i}\binom{(n+1)i -2}{i-1}\frac{1}{2^{(n+1)i}}.</math>

Не существует решения характеристического уравнения в терминах радикалов, если <math>5 \leqslant n \leqslant 11</math>{{sfn|Wolfram|1998}}.

{{mvar|k}}-й элемент последовательности {{mvar|n}}-наччи задаётся формулой
: <math>F_k^{(n)}=\left\lfloor \frac{r^{k-1} (r-1)}{(n+1)r-2n}\right\rceil,</math>
где {{math|⌊ • ⌉}} означает ближайшее целое, а {{mvar|r}} — константа {{mvar|n}}-наччи, которая является корнем <math>x + x^{-n} = 2</math>, ближайшим к 2<ref>[http://bbs.emath.ac.cn/viewthread.php?tid=667&page=4#pid9145 Du, Zhao Hui, 2008]{{Недоступная ссылка}}</ref>.

[[Подбрасывание монеты|Задача подбрасования монеты]] связана с последовательностью {{mvar|n}}-наччи. Вероятность, что ''не'' выпадет {{mvar|n}} раз последовательно решка в {{mvar|m}} бросаниях идеальной монеты, равна <math>\tfrac{1}{2^m}F_{m + 2}^{(n)}</math><ref>{{MathWorld|title=Coin Tossing|urlname=CoinTossing|author={{не переведено 5|Вайсшрайн, Эрик В.|Eric W. Weisstein||Eric W. Weisstein}}}}</ref>.

== Слово Фибоначчи ==
{{main|Слово Фибоначчи}}
По аналогии числовому аналогу [[слово Фибоначчи]] определяется как
: <math> F_n := F(n):= \begin{cases}
\text{b}      & , n = 0; \\
\text{a}      & , n = 1; \\
F(n-1)+F(n-2) & , n > 1. \\
\end{cases}</math>
где + означает конкатенацию двух строк. Последовательность строк Фибоначчи начинается с

: b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, … {{OEIS|id=A106750}}

Длина каждой строки Фибоначчи равна числу Фибоначчи и для каждого числа Фибоначчи существует строка Фибоначчи.

Строки Фибоначчи оказываются для некоторых [[алгоритм]]ов входными данными наихудшего случая.

Если «a» и «b» представляют два различных материала или длины атомных связей, структура, соответствующая строке Фибоначчи, является {{не переведено 5|Квазикристалл Фибоначчи|квазикристаллом Фибоначчи||Fibonacci quasicrystal}}, непериодической [[квазикристалл]]ической структурой с необычными [[Спектр оператора|спектральными]] свойствами.

== Свёрнутые последовательности Фибоначчи ==
'''Свёрнутая последовательность Фибоначчи''' получается путём применения операции [[Свёртка (математический анализ)|свёртки]] к последовательности Фибоначчи один и более раз. Определим{{sfn|Hoggatt, Bicknell-Johnson|1977|с=117—122}}:

: <math>F_n^{(0)}=F_n</math>
и
: <math>F_n^{(r+1)}=\sum_{i=0}^n F_i F_{n-i}^{(r)}</math>

Первые несколько последовательностей
: ''r'' = 1: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, … {{OEIS2C|A001629}}.
: ''r'' = 2: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, … {{OEIS2C |A001628}}.
: ''r'' = 3: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, … {{OEIS2C |A001872}}.

Последовательности можно вычислить с помощью рекуррентной формулы
: <math>F_{n+1}^{(r+1)}=F_n^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_n^{(r)}</math>

[[Метод производящих функций|Производящая функция]] {{mvar|r}}-ой свёртки равна
: <math>s^{(r)}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F^{(r)}_n x^n=\left(\frac{x}{1-x-x^2}\right)^{r+1}.</math>

Последовательности связаны с последовательностью {{не переведено 5|Многочлены Фибоначчи|многочленов Фибоначчи||Fibonacci polynomials}} отношением
: <math>F_n^{(r)}=r! F_n^{(r)}(1)</math>
где <math>F_n^{(r)}(x) </math> является {{mvar|r}}-ой производной <math>F_n(x) </math>. Эквивалентно, <math>F_n^{(r)}</math> является коэффициентом <math>(x - 1)^r</math>, если <math>F_n(x)</math> развернуть как сумму степеней <math>(x - 1)</math>.

Первая свёртка <math>F_n^{(1)}</math> может быть записана в терминах чисел Фибоначчи и Люка
: <math>F_n^{(1)}=\frac{nL_n-F_n}{5}</math>
и удовлетворяет рекуррентному соотношению
: <math>F_{n+1}^{(1)}=2F_n^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1)}-F_{n-3}^{(1)}.</math>
Аналогичное выражение можно найти для {{math|''r'' > 1}} с возрастающей сложностью по мере роста {{mvar|r}}. Числа <math>F_n{(1)}</math> являются суммами по строкам [[Треугольник Хосоя|треугольника Хосоя]].

Как и для чисел Фибоначчи, существуют некоторые комбинаторные интерпретации этих последовательностей. Например, <math>F_n^{(1)}</math> является количеством способов записать {{math|''n'' − 2}} в виде упорядоченной суммы чисел 0, 1 и 2, при этом 0 используется ровно один раз. В частности, <math>F_4^{(1)} = 5</math> и, соответственно, 4 — 2 = 2 можно записать как {{nowrap|0 + 1 + 1}}, {{nowrap|0 + 2}}, {{nowrap|1 + 0 + 1}}, {{nowrap|1 + 1 + 0}}, {{nowrap|2 + 0}}.<ref>[http://oeis.org/A001629 Sloane’s A001629] {{Wayback|url=http://oeis.org/A001629 |date=20171012095222 }}. The [[Энциклопедия целочисленных последовательностей|On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]. OEIS Foundation.</ref>

== Другие обобщения ==
{{не переведено 5|Многочлены Фибоначчи|||Fibonacci polynomials}} являются другим обобщением чисел Фибоначчи.

[[Последовательность Падована]] образована рекуррентным соотношением <math>P(n) = P(n - 2) + P(n - 3)</math>.

'''[[Случайная последовательность Фибоначчи]]''' может быть определена как бросание монеты для каждой позиции ''n'' последовательности и выбора <math>F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)</math> в случае выпадения орла и <math>F(n) = F(n - 1) - F(n - 2)</math> в случае решки. Согласно работе Фурстенберга и Кестена эта последовательность [[Почти достоверное событие|почти достоверно]] растёт экспоненциально с постоянной скоростью. Константа скорости роста была вычислена в 1999 Дивакаром Висванатом и известна как «{{не переведено 5|константа Висваната|||Viswanath's constant}}».

'''Репфигит''', или '''[[число Кита]]''', это целое число, которое получается в результате последовательности Фибоначчи, начинающейся с последовательности чисел, представляющей последовательность цифр числа. Например, для числа 47, последовательность Фибоначчи начинается с 4 и 7 и содержит 47 в качестве шестого члена ({{nowrap|(4, 7, 11, 18, 29, 47)}}). Число Кита может быть получено как последовательность трибоначчи, если оно содержит 3 знака, как последовательность тетраначчи, если число содержит 4 знака и т. д.. Несколько первых чисел Кита:
: 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, … {{OEIS|A007629}}

Поскольку множество последовательностей, удовлетворяющих соотношению <math>S(n) = S(n - 1) + S(n - 2)</math>, замкнуто относительно поэлементного сложения и умножения на константу, его можно рассматривать как [[векторное пространство]]. Любая такая последовательность однозначно определяется выбором двух элементов, так что векторное пространство является двумерным. Если обозначить такую последовательность через <math>(S(0), S(1))</math> (первые два члена последовательности), числа Фибоначчи <math>F(n) = (0, 1)</math> и сдвинутые числа Фибоначчи <math>F(n-1) = (1, 0)</math>, будут каноническим базисом этого пространства

: <math>S(n) = S(0)F(n - 1) + S(1)F(n)</math>

для всех таких последовательностей {{mvar|S}}. Например, если {{mvar|S}} — это последовательность Люка {{nowrap|2, 1, 3, 4, 7, 11, ...}}, мы имеем
: <math>L(n) = 2F(n - 1) + F(n)</math>.

=== {{mvar|N}}-генерированная последовательность Фибоначчи ===
Мы можем определить '''{{mvar|N}}-генерированную последовательность Фибоначчи''' (где {{mvar|N}} — положительное рациональное число).

Если
: <math>N = 2^{a_1}\cdot 3^{a_2}\cdot 5^{a_3}\cdot 7^{a_4}\cdot 11^{a_5}\cdot 13^{a_6}\cdot ...\cdot P_r^{a_r},</math>
где {{mvar|P<sub>r</sub>}} — это {{mvar|r}}-ое простое число, мы определяем
: <math>F_N(n) = a_1F_N(n-1) + a_2F_N(n-2) + a_3F_N(n-3) + a_4F_N(n-4) + a_5F_N(n-5) + ...</math>
Если <math>n = r - 1</math>, полагаем <math>F_N(n) = 1</math>, а в случае <math>n < r - 1</math>, полагаем <math>F_N(n) = 0</math>.
: {|class="wikitable"
!Последовательность
!{{mvar|N}}
!Последовательность [[OEIS]]
|-
|Последовательность Фибоначчи
|6
|{{OEIS2C|id=A000045}}
|-
| Последовательность Пелля
|12
|{{ OEIS2C|id=A000129}}
|-
|[[Числа Якобсталя|Последовательность Якобсталя]]
|18
|{{OEIS2C|id=A001045}}
|-
|Последовательность трибоначчи
|30
|{{OEIS2C|id=A000073}}
|-
| Последовательность тетраначчи
|210
|{{OEIS2C|id=A000288}}
|-
| Последовательность Падована
|15
|{{OEIS2C|id=A000931}}
|}

=== Полуфибоначчиева последовательность ===
'''Полуфиббоначиева последовательность''' ({{OEIS2C|A030067}}) определяется посредством той же рекуррентной формулы для членов с нечётными индексами <math> a(2n+1) = a(2n) + a(2n-1)</math> и <math>a(1) = 1</math>, но для чётных индексов берётся <math> a(2n) = a(n)</math>, <math>n \geqslant 1</math>. Выделенные нечётные члены ({{OEIS2C|id=A030068}}) <math>s(n) = a(2n-1)</math> удовлетворяют уравнению <math>s(n+1) = s(n) + a(n)</math> и строго возрастают. Они дают множество ''полуфибоначчиевых чисел''
: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, … {{OEIS|A030068}},
для которых верна формула <math>s(n) = a(2^k(2n-1)), k=0,1,...</math>.

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{книга
|автор=Morrison D. R.
|ref=Morrison
|часть=A Stolarsky array of Wythoff pairs
|место=Santa Clara, CA
|страницы=134–136
|издательство=The Fibonacci Association
|заглавие=A Collection of Manuscripts Related to the Fibonacci Sequence
|ссылка=http://www.math.ucsb.edu/~drm/papers/stolarsky.pdf
|год=1980
|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304024024/http://www.math.ucsb.edu/~drm/papers/stolarsky.pdf|archive-date=2016-03-04}}
* {{книга
|автор=Martin Gardner
|ref=Gardner
|страницы=101
|заглавие=The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, Vol. II
|издательство=Simon and Schuster
|год=1961
}}
* {{статья
|автор=Wolfram D.A.
|ref=Wolfram
|год=1998
|заглавие=Solving Generalized Fibonacci Recurrences
|ссылка=http://www.fq.math.ca/Scanned/36-2/wolfram.pdf
|издание=Fib. Quart.
|том=36
|выпуск=2
}}
* {{статья
|автор=Hoggatt V. E. Jr., Bicknell-Johnson M.
|ref=Hoggatt, Bicknell-Johnson
|ссылка=http://www.fq.math.ca/Scanned/15-2/hoggatt1.pdf
|заглавие=Fibonacci Convolution Sequences
|издание=Fib. Quart
|выпуск=
|том=15
|год=1977
}}
{{refend}}

== Ссылки ==
* {{springer|title=Tribonacci number|id=p/t130190}}
{{Фибоначчи}}

{{rq|
{{плохой перевод|дата=2017-10-11}}
{{стиль статьи|дата=2017-10-11}}
}}

[[Категория:Числа Фибоначчи]]


text:
# Компфнер, Рудольф
Рудольф Компфнер (англ. Rudolf Kompfner; 16 мая 1909 — 3 декабря 1977) — английский и американский физик и инженер-электротехник австрийского происхождения. Наиболее известен как создатель лампы бегущей волны.
Член Национальной академии наук США (1968).

## Биография
Рудольф Компфнер родился в Австрии, в Вене в еврейской семье. В Вене учился на архитектора в Высшей технической школе (ныне Венский технический университет). По окончании обучения на волне подъёма антисемитизма в Австрии в 1933 году Компфнер при помощи Роя Франи (англ. Roy Franey), мужа двоюродной сестры, перебрался в Великобританию.
С 1936 по 1941 год работал архитектором и управляющим директором в строительной фирме Франи.
В начале 1940-х гг. Компфнер как вражеский иностранец был интернирован на остров Мэн, где некоторое время делил комнату в общежитии с математиком Вольфгангом Фуксом. С этого времени молодой инженер начал глубоко интересоваться физикой и электротехникой, и в начале Второй мировой войны Компфнера привлекли в Бирмингемский университет для секретной работы над микроволновыми электронными лампами в группе учёных под руководством Марка Олифанта. Компфнеру передали разработку низкошумных клистронов. Два года работы над клистронами не принесли успеха, однако в 1943 году результатом его работ стало изобретение лампы бегущего огня — электронного устройства для усиления микроволновых сигналов. По окончании войны Компфнер работал исследователем в Британском Адмиралтействе, параллельно обучаясь в Оксфордском университете, где в 1951 году получил степень доктора философии. В это же время Компфнер был приглашён Джоном Пирсом в США для совместной работы в Bell Labs. Результатом их работы стало дальнейшее развитие технологий ламп бегущей волны, ламп обратной волны и участие в разработке первых спутников связи, что послужило важной вехой в становлении новой эпохи телерадиокоммуникаций.
Компфнер был обаятельным дружелюбным человеком, энтузиастом своего дела и нетерпимым к некомпетентности и непрофессионализму. После переезда в США семья Компфнера (жена — Пегги, двое детей — Пол и Хелен) жила в штате Нью-Джерси.
Рудольф Компфнер ушёл из жизни в Станфорде (Калифорния) 3 декабря 1977 года.

## Награды
- 1955 год — Медаль и премия Дадделла английского Института физики[3][4];
- 1960 год — Премия Дэвида Сарноффа[англ.] американского Института инженеров электротехники и электроники (IEEE)[5];
- 1960 год — Медаль Стюарта Баллантайна американского Института Франклина[6];
- 1973 год — Медаль почёта IEEE[7];
- 1974 год — Национальная научная медаль США
- 1974 год — Медаль Джона Скотта

title: Компфнер, Рудольф

wikitext:
{{Учёный
 |Имя                  = Рудольф Компфнер
 |Оригинал имени       = {{lang-en|Rudolf Kompfner}}
 |Изображение          = Rudolf Kompfner.webp
 |Ширина               =
 |Описание изображения =
 |Дата рождения        = 16.5.1909
 |Место рождения       = {{МестоРождения|Вена}}, [[Австрия]]
 |Дата смерти          = 3.12.1977
 |Место смерти         = {{МС|Станфорд||Станфорд (Калифорния)}}, [[Калифорния]], [[США]]
 |Гражданство          = {{Флагификация|Австрия}}
{{Флагификация|Великобритания}}
{{Флагификация|США}}
 |Род деятельности 	   = {{физик|США}}, {{инженер|США}}, [[архитектор]], [[изобретатель]]
 |Научная сфера        = [[электротехника]]
 |Место работы         = [[Бирмингемский университет]],
[[Британское Адмиралтейство]],
[[Bell Labs]]
 |Учёная степень       = [[доктор философии]]
 |Учёное звание        =
 |Альма-матер          = [[Венский технический университет|Венская высшая техническая школа]],
[[Оксфордский университет]]
 |Научный руководитель =
 |Знаменитые ученики   =
 |Известен как         = создатель [[Лампа бегущей волны|лампы бегущей волны]]
 |Награды и премии     = [[Медаль Стюарта Баллантайна]]

----[[Файл:National Medal of Technology and Innovation.jpg|20px]] [[Национальная научная медаль США]] (1974)

----[[Файл:IEEE_Medal_of_Honor.png|20px]] [[Медаль почёта IEEE]]
 |Роспись              =
 |Ширина росписи       =
 |Сайт                 =
}}
'''Рудольф Компфнер''' ({{lang-en|Rudolf Kompfner}}; {{Дата рождения|16|5|1909}} — {{Дата смерти|3|12|1977}}) — английский и американский физик и инженер-электротехник австрийского происхождения. Наиболее известен как создатель [[Лампа бегущей волны|лампы бегущей волны]].

Член [[Национальная академия наук США|Национальной академии наук США]] (1968)<ref>{{us nas id}}</ref>.

== Биография ==
Рудольф Компфнер родился в Австрии, в [[Вена|Вене]] в еврейской семье. В Вене учился на архитектора в Высшей технической школе (ныне [[Венский технический университет]]). По окончании обучения на волне подъёма антисемитизма в Австрии в 1933 году Компфнер при помощи Роя Франи ({{lang-en|Roy Franey}}), мужа двоюродной сестры, перебрался в Великобританию.

С 1936 по 1941 год работал архитектором и управляющим директором в строительной фирме Франи.

В начале 1940-х гг. Компфнер как вражеский иностранец был интернирован на остров Мэн, где некоторое время делил комнату в общежитии с математиком {{не переведено 3|Фукс, Вольфганг|Вольфгангом Фуксом|en|Wolfgang Heinrich Johannes Fuchs}}. С этого времени молодой инженер начал глубоко интересоваться физикой и электротехникой, и в начале [[Вторая мировая война|Второй мировой войны]] Компфнера привлекли в [[Бирмингемский университет]] для секретной работы над [[Микроволновое излучение|микроволновыми]] [[Электронная лампа|электронными лампами]] в группе учёных под руководством [[Олифант, Марк|Марка Олифанта]]<ref name=autogenerated1>{{Cite web |url=https://ethw.org/Rudolf_Kompfner|lang=en|title=Rudolf Kompfner. Biography |access-date=2023-07-28 |archive-date=2023-03-31 |archive-url=http://web.archive.org/web/20230331072437/https://ethw.org/Rudolf_Kompfner|url-status=live}}</ref>. Компфнеру передали разработку низкошумных [[клистрон]]ов. Два года работы над клистронами не принесли успеха, однако в 1943 году результатом его работ стало изобретение [[Лампа бегущей волны|лампы бегущего огня]] — электронного устройства для усиления микроволновых сигналов. По окончании войны Компфнер работал исследователем в [[Британское Адмиралтейство|Британском Адмиралтействе]], параллельно обучаясь в [[Оксфордский университет|Оксфордском университете]], где в 1951 году получил степень [[Доктор философии|доктора философии]]. В это же время Компфнер был приглашён [[Пирс, Джон Робинсон|Джоном Пирсом]] в США для совместной работы в [[Bell Labs]]. Результатом их работы стало дальнейшее развитие технологий ламп бегущей волны, [[Лампа обратной волны|ламп обратной волны]] и участие в разработке первых спутников связи, что послужило важной вехой в становлении новой эпохи телерадиокоммуникаций.

Компфнер был обаятельным дружелюбным человеком, энтузиастом своего дела и нетерпимым к некомпетентности и непрофессионализму. После переезда в США семья Компфнера (жена — Пегги, двое детей — Пол и Хелен) жила в штате [[Нью-Джерси]].

Рудольф Компфнер ушёл из жизни в Станфорде (Калифорния) 3 декабря 1977 года<ref name=autogenerated1 />.

== Награды ==
* 1955 год — [[Медаль и премия Дадделла]] английского [[Институт физики|Института физики]]<ref>{{Cite web |url=https://www.iop.org/about/awards/silver-subject-medals/dennis-gabor-medal-and-prize-recipients |lang=en|title=Dennis Gabor Medal and Prize recipients|access-date=2023-07-28 |archive-date=2023-01-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230113125756/https://www.iop.org/about/awards/silver-subject-medals/dennis-gabor-medal-and-prize-recipients|url-status=live }}</ref><ref>C 2008 года премия и медаль Дадделла объединены с премией и [[Медаль Габора|медалью Габора]] [[Лондонское королевское общество|Лондонского королевского общества]].</ref>;
* 1960 год — {{не переведено 3|Премия Дэвида Сарноффа||en|IEEE David Sarnoff Award}} американского [[Институт инженеров электротехники и электроники|Института инженеров электротехники и электроники]] (IEEE)<ref>{{Cite web |url=https://www.ieee.org/content/dam/ieee-org/ieee/web/org/about/awards/sarnoff_rl.pdf|lang=en|title=IEEE David Sarnoff Award Recipients |access-date=2023-07-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230424052337/https://www.ieee.org/content/dam/ieee-org/ieee/web/org/about/awards/sarnoff_rl.pdf|archive-date=2023-04-24 |url-status=live }}</ref>;
* 1960 год — [[Медаль Стюарта Баллантайна]] американского [[Институт Франклина|Института Франклина]]<ref>{{Cite web |url=https://www.fi.edu/en/laureates/rudolf-kompfner|lang=en|title=Rudolf Kompfner|access-date=2023-07-28 |archive-date=2023-03-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230331072450/https://www.fi.edu/en/laureates/rudolf-kompfner|url-status=live}}</ref>;
* 1973 год — [[Медаль почёта IEEE]]<ref>{{Cite web |url=http://www.ieee.org/documents/moh_rl.pdf |lang=en|title=IEEE Medal Of Honor Recipients |access-date=2023-07-28 |archive-date=2023-02-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230206054616/https://www.ieee.org/content/dam/ieee-org/ieee/web/org/about/awards/recipients/complete-past-and-present-recipient-list.pdf|url-status=live }}</ref>;
* 1974 год — [[Национальная научная медаль США]]
* 1974 год — [[Медаль Джона Скотта]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Библиоинформация}}

[[Категория:Выпускники Оксфордского университета]]
[[Категория:Награждённые Национальной медалью науки США]]
[[Категория:Награждённые медалью почёта IEEE]]
[[Категория:Члены Национальной академии наук США]]
[[Категория:Иммигрировавшие в Великобританию из Австрии]]
[[Категория:Иммигрировавшие в США из Великобритании]]
[[Категория:Еврейские беженцы от нацизма:Персоналии]]
[[Категория:Лауреаты премии Давида Сарнова]]
[[Категория:Почётные доктора Венского технического университета]]

title: Рудольф Компфнер

Место рождения: Вена, Австрия

Дата смерти: 3 декабря 1977 (68 лет)

Место смерти: Станфорд, Калифорния, США

Страна: Австрия · Великобритания · США

Род деятельности: физик, инженер, архитектор, изобретатель

Научная сфера: электротехника

Место работы: Бирмингемский университет, · Британское Адмиралтейство, · Bell Labs

Альма-матер: Венская высшая техническая школа, · Оксфордский университет

Учёная степень: доктор философии

Известен как: создатель лампы бегущей волны

Награды и премии: Медаль Стюарта Баллантайна · Национальная научная медаль США (1974) · Медаль почёта IEEE

Автограф: Изображение автографа


text:
# Фонтанези, Антонио
Антонио Фонтанези (итал. Antonio Fontanesi; 23 февраля 1818, Реджо-нель-Эмилия — 17 апреля 1882, Турин) — итальянский живописец, рисовальщик, литограф и офортист. Был близок итальянской школе маккьяйоли, оказал влияние на художников барбизонской школы и французских преимпрессионистов. Между 1876 и 1878 годами Фонтанези жил и преподавал в Японии периода Мэйдзи. Он познакомил японских художников с европейской техникой масляной живописи и сыграл значительную роль в развитии современной японской живописи «ёга».

## Биография
Антонио Фонтанези родился в Реджо-Эмилии, область Эмилия-Романья, и обучался у пейзажистов Просперо Мингетти и Винченцо Карневали. В 1841—1846 годах он создавал театральные декорации и начал писать пейзажи.
В 1848 году он присоединился к группе гарибальдийских добровольцев, которые отправились в Милан, чтобы сражаться с легионом Манара против австрийцев. В 1859 году он снова ненадолго присоединился к вооруженным силам Кавура в Болонье.
В 1850 году Антонио Фонтанези укрылся от войны в Женеве, Швейцария, и в Лугано (Тичино), где оставался до 1865 года. В Париже (в 1855 и 1861 годах), он встречался с Камилем Коро и Констаном Тройоном. В этот же период Фонтанези познакомился с Франсуа-Огюстом Равье, Шарлем-Франсуа Добиньи и швейцарцем Александром Каламом, которые направили его внимание к пейзажной живописи.
Он расширил свои представления о современном искусстве после посещения Всемирной выставки 1855 года в Париже. В 1863 году он попытался обосноваться в Лондоне, где мог увидеть картины Уильяма Тёрнера и Джона Констебла, но не нашёл там ни заказов, ни постоянной работы. Фонтанези вернулся во Флоренцию.
Антонио Фонтанези выставлял свои работы в Лионе, Турине, Милане, Флоренции, Генуе и на Триеннале изящных искусств в Болонье. Он получил должность профессора в Академии города Лукка, но переехал в Турин, где специально для него была создана кафедра пейзажа в Академии Альбертина (1869—1876). Оскорблённым враждебным отношением, с которым он столкнулся в Турине, в 1875 году Фонтанези согласился поехать преподавать в Токийскую академию в Японии; нo вернулся через три года больным и возобновил свою работу в Турине. Его офорты и литографии, технически совершенные, входят в число лучших, созданных в Италии в девятнадцатом веке.
Среди учеников Антонио Фонтанези был Карло Фоллини.
В родном Реджо-Эмилии Фонтанези установлено несколько памятников, в том числе памятник в Парко-дель-Пополо.

## Работа в Японии
В 1876 году в Токио была основана Техническая школа изящных искусств (Kobu Bijutsu Gakko) (позже часть Технологического университета, а затем Токийского технологического института) — школа живописи и скульптуры в ведении Министерства промышленности. Это была первая государственная художественная школа, основанная в Японии.
По рекомендации итальянского министра в Токио, графа Алессандро Фе д’Остиани, правительство Мэйдзи заключило контракт с тремя итальянскими художниками в качестве иностранных консультантов: Винченцо Рагуза (1841—1927) для скульптуры, Антонио Фонтанези для рисунка и Джованни Каппеллетти (умер в 1885 году) для подготовительного курса. Эти художники оказали значительное влияние на развитие японского искусства и архитектуры в течение следующих нескольких десятилетий. Принятие преподавателей искусства только из Италии основывалось на неофициальной правительственной политике «разделения влияний»: принятия военных советов из Франции, промышленных советов из Великобритании, сельскохозяйственных из США и юридических и медицинских рекомендаций из Германии.
Фонтанези познакомил своих японских учеников, среди которых были Асаи Тю и Ямамото Хосуи, с техникой работы с углем, карандашом и масляными красками. Он также преподавал западные концепции перспективы, анатомии и рисования с натуры. Его карьера в Японии была прервана серьёзной болезнью, которая заставила его вернуться в Италию в 1878 году.

## Галерея
- На берегу реки По в Турине. Галерея современного искусства Риччи Одди, Пьченца
- Морской пейзаж в бурю. Ок. 1878. Холст, масло. Палаццо музеев, Реджо-нель-Эмилия
- Водопой. Ок. 1867. Холст, масло. Национальная пинакотека, Болонья
- Дорога на пастбище. Холст, масло. Галерея Сабауда, Турин
- Рыбак на берегу озера. Ок. 1864. Офорт

title: Фонтанези, Антонио

wikitext:
{{Художник}}
{{однофамильцы}}
'''Антонио Фонтанези''' ({{lang-it|Antonio Fontanesi}}; 23 февраля 1818, [[Реджо-нель-Эмилия]] — 17 апреля 1882, [[Турин]]) — [[Италия|итальянский]] [[Живопись|живописец]], [[Рисунок|рисовальщик]], [[Литография|литограф]] и [[офорт]]ист<ref>Thieme / Becker. Allgemeines Lexikon der bildenden Künstler von der Antike bis zur Gegenwart. — E.A. Leipzig, 1899</ref>. Был близок итальянской школе [[маккьяйоли]], оказал влияние на художников [[Барбизонская школа|барбизонской школы]] и французских [[Импрессионизм|преимпрессионистов]]. Между 1876 и 1878 годами Фонтанези жил и преподавал в Японии периода [[Мэйдзи]]. Он познакомил японских художников с европейской техникой масляной живописи и сыграл значительную роль в развитии современной японской живописи «[[Ёга (живопись)|ёга]]».

== Биография ==
Антонио Фонтанези родился в [[Реджо-нель-Эмилия|Реджо-Эмилии]], область [[Эмилия-Романья]], и обучался у пейзажистов Просперо Мингетти и Винченцо Карневали. В 1841—1846 годах он создавал [[театр]]альные [[декор]]ации и начал писать [[пейзаж]]и.

В 1848 году он присоединился к группе гарибальдийских добровольцев, которые отправились в [[Милан]], чтобы сражаться с легионом Манара против австрийцев. В 1859 году он снова ненадолго присоединился к вооруженным силам [[Кавур, Камилло Бенсо|Кавура]] в [[Болонья|Болонье]]<ref>Antonio Fontanesi // Bénézit Dictionary [https://www.oxfordartonline.com/benezit/display/10.1093/benz/9780199773787.001.0001/acref-9780199773787-e-00149460]</ref>.

В 1850 году Антонио Фонтанези укрылся от войны в [[Женева|Женеве]], [[Швейцария]], и в [[Лугано]] ([[Тичино]]), где оставался до 1865 года. В [[Париж]]е (в 1855 и 1861 годах), он встречался с [[Коро, Камиль|Камилем Коро]] и [[Тройон, Констан|Констаном Тройоном]]. В этот же период Фонтанези познакомился с [[Равье, Франсуа-Огюст|Франсуа-Огюстом Равье]], [[Добиньи, Шарль-Франсуа|Шарлем-Франсуа Добиньи]] и швейцарцем [[Калам, Александр|Александром Каламом]], которые направили его внимание к пейзажной живописи.

Он расширил свои представления о современном искусстве после посещения [[Всемирная выставка (1855)|Всемирной выставки 1855 года]] в [[Париж]]е. В 1863 году он попытался обосноваться в [[Лондон]]е, где мог увидеть картины [[Тёрнер, Уильям|Уильяма Тёрнера]] и [[Констебл, Джон|Джона Констебла]], но не нашёл там ни заказов, ни постоянной работы. Фонтанези вернулся во Флоренцию<ref>Fontanési, Antonio Enciclopedia Тreccani on line [https://www.treccani.it/enciclopedia/antonio-fontanesi/]</ref>.

Антонио Фонтанези выставлял свои работы в Лионе, Турине, Милане, Флоренции, Генуе и на Триеннале изящных искусств в Болонье. Он получил должность профессора в Академии города [[Лукка]], но переехал в [[Турин]], где специально для него была создана кафедра пейзажа в Академии Альбертина (1869—1876). Оскорблённым враждебным отношением, с которым он столкнулся в Турине, в 1875 году Фонтанези согласился поехать преподавать в Токийскую академию в Японии; нo вернулся через три года больным и возобновил свою работу в Турине<ref>Тreccani on line https://www.treccani.it/enciclopedia/antonio-fontanesi/]</ref>. Его офорты и литографии, технически совершенные, входят в число лучших, созданных в Италии в девятнадцатом веке.

Среди учеников Антонио Фонтанези был Карло Фоллини.

В родном Реджо-Эмилии Фонтанези установлено несколько памятников, в том числе памятник в Парко-дель-Пополо.

== Работа в Японии ==
В 1876 году в Токио была основана Техническая школа изящных искусств (Kobu Bijutsu Gakko) (позже часть Технологического университета, а затем Токийского технологического института) — школа живописи и скульптуры в ведении Министерства промышленности. Это была первая государственная художественная школа, основанная в Японии.

По рекомендации итальянского министра в Токио, графа Алессандро Фе д’Остиани, правительство [[Мэйдзи]] заключило контракт с тремя итальянскими художниками в качестве иностранных консультантов: Винченцо Рагуза (1841—1927) для скульптуры, Антонио Фонтанези для рисунка и Джованни Каппеллетти (умер в 1885 году) для подготовительного курса. Эти художники оказали значительное влияние на развитие японского искусства и архитектуры в течение следующих нескольких десятилетий. Принятие преподавателей искусства только из Италии основывалось на неофициальной правительственной политике «разделения влияний»: принятия военных советов из Франции, промышленных советов из Великобритании, сельскохозяйственных из США и юридических и медицинских рекомендаций из Германии.

Фонтанези познакомил своих японских учеников, среди которых были Асаи Тю и Ямамото Хосуи, с техникой работы с углем, карандашом и масляными красками. Он также преподавал западные концепции [[Перспектива|перспективы]], [[Анатомия|анатомии]] и рисования с натуры. Его карьера в Японии была прервана серьёзной болезнью, которая заставила его вернуться в Италию в 1878 году.

== Галерея ==
<gallery class="center" widths="180px" heights="160px">
Fontanesi Sulle rive del Po.jpg|На берегу реки По в Турине. Галерея современного искусства Риччи Одди, Пьченца
Antonio Fontanesi - Marina in burrasca.jpg|Морской пейзаж в бурю. Ок. 1878. Холст, масло. Палаццо музеев, Реджо-нель-Эмилия
The trough (c.1867), by Antonio Fontanesi.jpg|Водопой. Ок. 1867. Холст, масло. Национальная пинакотека, Болонья
Antonio Fontanesi 001.jpg|Дорога на пастбище. Холст, масло. Галерея Сабауда, Турин
Antonio Fontanesi, Fisherman on the Lakeshore (Pescatore sulla riva del lago), c. 1864, NGA 160883.jpg|Рыбак на берегу озера. Ок. 1864. Офорт
</gallery>

== Примечания ==
{{примечания}}

{{ВС}}
[[Категория:Художники Италии XIX века]]
[[Категория:Художники-пейзажисты Италии]]
[[Категория:Литографы]]

title: Антонио Фонтанези

Дата рождения: 23 февраля 1818[…]

Место рождения: - Реджо-Эмилия, Эмилия-Романья

Место смерти: - Турин, Италия

Страна: - Королевство Италия

Род деятельности: художник, художник-гравёр, преподаватель университета, фотограф