text:
# Brasão do Rio Grande do Sul
O brasão do Rio Grande do Sul é o emblema heráldico e um dos símbolos oficiais do estado.

## Descrição heráldica
Possui uma elipse vertical em pano branco, onde está inserido o brasão. Circundado por um lenço nas cores do Estado. Sob o brasão, Lê-se o lema "Liberdade, Igualdade, Humanidade". Lema esse que tem origem na Maçonaria e na Revolução Francesa. No centro está um barrete frígio, um símbolo republicano desde a Queda da Bastilha.

## História
O brasão rio-grandense é o mesmo da época dos farrapos com algumas pequenas modificações. Por isso possui a inscrição "República Rio-Grandense", junto com a data do início da Revolução Farroupilha, 20 de setembro de 1835, data amplamente comemorada no estado.
Acredita-se que foi desenhado originalmente pelo padre Hidelbrando e em arte final pelo Major Bernardo Pires.
O Brasão foi adotado pela mesma Lei que instituiu o Hino e a Bandeira do Estado.
A Lei estadual nº 5.213 é de 5 de Janeiro de 1966.

title: Brasão do Rio Grande do Sul

wikitext:
{{Info/Brasão
 |nome               = Brasão do Rio Grande do Sul
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 |escudo             = Escudo oval. Em campo de prata: um quadrilátero de prata com um sabre de ouro, em pala, sustentando na ponta um barrete frígio, de vermelho, entre dois ramos floridos de fumo e erva-mate, de sua cor, que se cruzam sobre o punho do sabre; inscrito num losango, com duas estrelas de cinco pontas de ouro colocadas nos ângulos superior e inferior; ladeado por duas colunas jônicas compostas com capitel e três anéis no terço inferior de fuste liso de ouro, encimadas por uma bala de canhão antigo, de preto assentes sobre um campo ondulado de verde em ponta. Uma bordadura de azul, perfurada de preto, carregada com a inscrição REPÚBLICA RIO-GRANDENSE e a data 20 DE SETEMBRO DE 1835, de ouro, separadas por duas estrelas de cinco pontas, também de ouro.
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 |listel             = Um listel de prata com a legenda "LIBERDADE IGUALDADE HUMANIDADE", de negro.
 |lema               =
 |outros_elementos   = O escudo fica sobreposto sobre quatro bandeiras tricolores (verde, vermelho e amarelo) entre-cruzadas duas a duas com hastes rematadas de Flor-de-lis invertida, de outro. As duas bandeiras dos extremos estão decoradas com uma faixa vermelha com bordas de ouro, atada junto à ponta flor-de-lisada; uma lança de cavalaria, de vermelho, rematada por uma flor-de-lis invertida, de ouro, entre quatro fuzis armados de baionetas de ouro, e na base do conjunto dois tubos-canhão, de negro, entrecruzados, semi-encobertos pelas bandeiras.
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}}
O '''brasão do [[Rio Grande do Sul]]''' é o emblema heráldico e um dos símbolos oficiais do estado.

==Descrição heráldica==
Possui uma elipse vertical em pano branco, onde está inserido o brasão. Circundado por um lenço nas cores do Estado. Sob o brasão, Lê-se o lema "''Liberdade, Igualdade, Humanidade''". Lema esse que tem origem na [[Maçonaria]] e na [[Revolução Francesa]]. No centro está um [[barrete frígio]], um símbolo republicano desde a Queda da Bastilha.

==História==
O brasão rio-grandense é o mesmo da época dos farrapos com algumas pequenas modificações. Por isso possui a inscrição "''República Rio-Grandense''", junto com a data do início da [[Revolução Farroupilha]], [[20 de setembro]] de [[1835]], data amplamente comemorada no estado.<ref>https://estado.rs.gov.br/simbolos Símbolos - Portal do Estado do Rio Grande do Sul</ref>

Acredita-se que foi desenhado originalmente pelo padre Hidelbrando e em arte final pelo Major Bernardo Pires.

O Brasão foi adotado pela mesma Lei que instituiu o Hino e a [[Bandeira do Rio Grande do Sul|Bandeira do Estado]].

A Lei estadual nº 5.213 é de [[5 de Janeiro]] de [[1966]].

== Ver também ==
* [[Bandeira do Rio Grande do Sul]]

{{referências}}

{{wikisource|Lei Estadual do Rio Grande do Sul 5213 de 1966}}

{{esboço-heráldica}}
{{Brasões dos estados do Brasil}}
{{Tópicos sobre o Rio Grande do Sul}}
{{Portal3|Rio Grande do Sul|Heráldica}}

{{DEFAULTSORT:Brasao Rio Grande Sul}}
[[Categoria:Brasões do Rio Grande do Sul| ]]

title: Detalhes


text:
# Copa das Confederações FIFA de 2017 – Fase final
A fase final da Copa das Confederações FIFA de 2017, décima edição desta competição organizada quadrienalmente pela Federação Internacional de Futebol (FIFA), reunirá equipes que terminarem a fase de grupos na primeira ou segunda posição de seu grupo. Os jogos serão realizados em quatro cidades russas. Em caso de empate no término do tempo regulamentar, será aplicada uma prorrogação de 30 minutos. Caso persista o empate, a decisão será através da disputa por pênaltis.

## Equipes
| #       | Primeiros colocados | Segundos colocados |
| ------- | ------------------- | ------------------ |
| Grupo A | Portugal            | México             |
| Grupo B | Alemanha            | Chile              |

## Chaveamento
|  | Semifinais          | Semifinais |                              |   | Final | Final |
|  |                     |            |                              |   |       |       |
|  | 28 de junho – Cazã  |            |                              |   |       |       |
|  |                     |            |                              |   |       |       |
|  | Portugal (p)        | 0 (0)      |                              |   |       |       |
|  | Portugal (p)        | 0 (0)      | 2 de julho – São Petersburgo |   |       |       |
|  | Chile               | 0 (3)      |                              |   |       |       |
|  | Chile               | 0 (3)      | Chile                        | 0 |       |       |
|  | 28 de junho – Sóchi |            | Chile                        | 0 |       |       |
|  |                     | Alemanha   | 1                            |   |       |       |
|  | Alemanha            | Alemanha   | 1                            | 4 |       |       |
|  | Alemanha            |            |                              | 4 |       |       |
|  | México              | 1          |                              |   |       |       |
|  | México              | 1          | Disputa pelo terceiro lugar  |   |       |       |
|  |                     |            |                              |   |       |       |
|  | 2 de julho – Moscou |            |                              |   |       |       |
|  |                     |            |                              |   |       |       |
|  | Portugal (pro)      | 2          |                              |   |       |       |
|  | Portugal (pro)      | 2          |                              |   |       |       |
|  | México              | 1          |                              |   |       |       |

## Jogos

### Semifinais

#### Portugal vs Chile
| 28 de junho | Portugal | 0 – 0 (pro) | Chile | Arena Kazan, Cazã                            |
| 21:00       |          | Relatório   |       | Público: 40 855 Árbitro: IRN Alireza Faghani |

|                             |       | Penalidades            |  |
| Quaresma João Moutinho Nani | 0 – 3 | Vidal Aránguiz Sánchez |  |

| Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time | Portugal | Chile | Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time |

| Melhor em campo: Claudio Bravo Bandeirinhas: IRN Reza Sokhandan IRN Mohammadreza Mansouri Quarto árbitro: KSA Fahad Al-Mirdasi Árbitros de vídeo: UZB Ravshan Irmatov USA Jair Marrufo KSA Abdullah Al-Shalawi |

#### Alemanha vs México
| 29 de junho | Alemanha                                    | 4 – 1     | México     | Estádio Olímpico de Fisht, Sóchi           |
| 21:00       | Goretzka 6', 8' · Werner 59' · Younes 90+1' | Relatório | Fabián 89' | Público: 37 923 Árbitro: ARG Néstor Pitana |

| Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time | Alemanha | Mexico | Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time |

| Melhor em campo: Leon Goretzka Bandeirinhas: ARG Hernan Maidana ARG Juan Pablo Belatti Quarto árbitro: ITA Gianluca Rocchi Árbitros de vídeo: BRA Sandro Ricci POR Artur Soares Dias ITA Elenito Di Liberatore |

### Disputa pelo terceiro lugar
| 2 de julho | Portugal                             | 2 – 1 (pro) | México               | Arena Otkrytie, Moscou                        |
| 15:00      | Pepe 90+1' · Adrien Silva 104' (pen) |             | 54' (g.c.) Luís Neto | Público: 42 659 Árbitro: KSA Fahad Al-Mirdasi |

| Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time | Portugal | México | Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time |

| Melhor em campo: Guillermo Ochoa Bandeirinhas: KSA Abdulah Alshalwai KSA Mohammed Al Abakry Quarto árbitro: GAM Bakary Gassama Árbitros de vídeo: BRA Sandro Ricci PAR Enrique Cáceres BDI Jean Claude Birumushahu |

### Final
| 2 de julho | Chile | 0 – 1     | Alemanha   | Estádio Krestovsky, São Petersburgo        |
| 21:00      |       | Relatório | Stindl 20' | Público: 57 268 Árbitro: SRB Milorad Mažić |

| Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time | Chile | Alemanha | Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time · Cores do Time |

| Melhor em campo: Marc-André ter Stegen Bandeirinhas: SRB Milovan Ristic SRB Dalibor Djurdjevic Quarto árbitro: SVN Damir Skomina Árbitros de vídeo: FRA Clément Turpin POR Artur Soares Dias SVN Jure Praprotnik |

wikiname: ptwiki

in_language: pt

wikitext:
A '''fase final da [[Copa das Confederações FIFA de 2017]]''', décima edição desta competição organizada quadrienalmente pela [[Federação Internacional de Futebol]] (FIFA), reunirá equipes que terminarem a [[Copa das Confederações FIFA de 2017#Fase de grupos|fase de grupos]] na primeira ou segunda posição de seu grupo. Os jogos serão realizados em quatro cidades russas. Em caso de empate no término do tempo regulamentar, será aplicada uma [[prorrogação]] de 30 minutos. Caso persista o empate, a decisão será através da [[disputa por pênaltis]].<ref name="regulations">{{citar web|url=http://resources.fifa.com/mm/document/tournament/competition/02/85/41/57/fcc2017regulationsen_neutral.pdf|título=Regulations – 2017 FIFA Confederations Cup Russia|publicado=FIFA.com}}</ref>

== Equipes ==
{| class="wikitable" width="30%"
|-
!#
!Primeiros colocados
!Segundos colocados
|-
![[Copa das Confederações FIFA de 2017 – Grupo A|Grupo A]]
|{{PORf}}
|{{MEXf}}
|-
![[Copa das Confederações FIFA de 2017 – Grupo B|Grupo B]]
|{{GERf}}
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|}

== Chaveamento ==
{{#invoke:RoundN|N4|columns = 2
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|28 de junho – [[Ak Bars Arena|Cazã]]|{{PORf}} ([[Pênalti|p]])|0 (0)|{{CHIf}}|0 (3)
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|2 de julho – [[Estádio Krestovsky|São Petersburgo]]|{{CHIf}}|0|{{GERf}}|1

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== Jogos ==
=== Semifinais ===
==== Portugal vs Chile ====
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'''Melhor em campo:'''
 {{CHIb}} [[Claudio Bravo]]<ref>{{citar web|título=FIFA Confederations Cup Russia 2017 - Matches - Portugal- - Man Of The Match|url=http://www.fifa.com/confederationscup/matches/round=274641/match=300334882/man-of-the-match.html|acessodata=28 de junho de 2017|autor=FIFA.com|língua=en}}</ref>

'''[[Bandeirinha]]s:'''

{{Arbitro|IRN|IRN|Reza Sokhandan}}

{{Arbitro|IRN|IRN|Mohammadreza Mansouri}}

'''Quarto árbitro:'''

{{Arbitro|KSA|KSA|[[Fahad Al-Mirdasi]]}}

'''Árbitros de vídeo:'''

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==== Alemanha vs México ====
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'''Melhor em campo:'''
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'''[[Bandeirinha]]s:'''

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'''Quarto árbitro:'''

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'''Árbitros de vídeo:'''

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=== Disputa pelo terceiro lugar ===
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 |title      = Portugal<ref name="porxmex1">{{citar web |url=http://resources.fifa.com/mm/document/tournament/competition/02/89/97/72/eng_15_0702_por-mex_start.pdf |título=Tactical Line-up - Portugal vs México|publicado=[[Federação Internacional de Futebol]] |data=2 de julho de 2017 |acessodata=2 de julho de 2017}}</ref>
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'''Melhor em campo:''' {{MEXb}} [[Guillermo Ochoa]]

'''[[Bandeirinha]]s:'''

{{Arbitro|KSA|KSA|Abdulah Alshalwai}}

{{Arbitro|KSA|KSA|Mohammed Al Abakry}}

'''Quarto árbitro:'''

{{Arbitro|GAM|GAM|[[Bakary Gassama]]}}

'''Árbitros de vídeo:'''

{{Arbitro|BRA|BRA|[[Sandro Ricci]]}}

{{Arbitro|PAR|PAR|[[Enrique Cáceres]]}}

{{Arbitro|BDI|BDI|Jean Claude Birumushahu}}
|}

=== Final ===
{{AP|Final da Copa das Confederações FIFA de 2017}}
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'''Melhor em campo:''' {{GERb}} [[Marc-André ter Stegen]]

'''[[Bandeirinha]]s:'''

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'''Quarto árbitro:'''

{{Arbitro|SVN|SVN|[[Damir Skomina]]}}

'''Árbitros de vídeo:'''

{{Arbitro|FRA|FRA|[[Clément Turpin]]}}

{{Arbitro|POR|POR|[[Artur Soares Dias]]}}

{{Arbitro|SVN|SVN|Jure Praprotnik}}
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== Ver também ==
* [[Copa das Confederações FIFA de 2017 – Grupo A]]
* [[Copa das Confederações FIFA de 2017 – Grupo B]]
{{referências|col=2}}

{{Copa das Confederações FIFA de 2017}}
[[Categoria:Copa das Confederações de 2017]]


text:
# Tangente (geometria)
Na geometria, a reta tangente (ou simplesmente tangente) a uma curva plana em um dado ponto é, intuitivamente, a reta que "apenas toca" a curva naquele ponto. Leibniz a definiu como a reta que passa por um par de pontos infinitamente próximos na curva. Mais precisamente, uma reta é tangente à curva y = f(x) em um ponto x = c se a reta passa pelo ponto (c, f(c)) na curva e tem declive f'(c), onde f' é a derivada de f. Uma definição semelhante se aplica a curvas espaciais e curvas no espaço euclidiano n-dimensional.
O ponto onde a reta tangente e a curva se encontram ou se cruzam é chamado de ponto de tangência. Diz-se que a reta tangente está "indo na mesma direção" que a curva e, portanto, é a melhor aproximação em linha reta para a curva naquele ponto. A reta tangente a um ponto em uma curva diferenciável também pode ser considerada uma aproximação de reta tangente, o gráfico da função afim que melhor se aproxima da função original no ponto dado.
Similarmente, o plano tangente a uma superfície em um dado ponto é o plano que "apenas toca" a superfície naquele ponto. O conceito de tangente é uma das noções mais fundamentais em geometria diferencial e foi amplamente generalizado; veja Espaço tangente.
A palavra "tangente" vem do latim tangere, "tocar".

## Reta tangente a uma curva plana
A noção intuitiva de que uma reta tangente "toca" uma curva pode ser tornada mais explícita ao considerar a sequência de retas (retas secantes) passando por dois pontos, A e B, aqueles que estão na curva da função. A tangente em A é o limite quando o ponto B se aproxima ou tende a A. A existência e a unicidade da reta tangente dependem de um certo tipo de suavidade matemática, conhecida como "diferenciabilidade". Por exemplo, se dois arcos circulares se encontram em um ponto agudo (um vértice), então não há tangente definida exclusivamente no vértice porque o limite da progressão das retas secantes depende da direção em que o "ponto B" se aproxima do vértice.
Na maioria dos pontos, a tangente toca a curva sem cruzá-la (embora possa, quando continuada, cruzar a curva em outros lugares longe do ponto de tangente). Um ponto onde a tangente (neste ponto) cruza a curva é chamado de ponto de inflexão. Círculos, parábolas, hipérboles e elipses não têm nenhum ponto de inflexão, mas curvas mais complicadas têm, como o grafo de uma função cúbica, que tem exatamente um ponto de inflexão, ou uma sinusoide, que tem dois pontos de inflexão para cada período do seno.
Por outro lado, pode acontecer que a curva esteja inteiramente em um lado de uma linha reta que passa por um ponto nela, e ainda assim essa linha reta não seja uma linha tangente. Esse é o caso, por exemplo, de uma linha que passa pelo vértice de um triângulo e não o intercepta de outra forma — onde a linha tangente não existe pelas razões explicadas acima. Na geometria convexa, essas linhas são chamadas de linhas de suporte.

### Abordagem analítica
A ideia geométrica da reta tangente como o limite das retas secantes serve como motivação para métodos analíticos que são usados para encontrar retas tangentes explicitamente. A questão de encontrar a reta tangente a um grafo, ou o problema da reta tangente, foi uma das questões centrais que levaram ao desenvolvimento do cálculo no século XVII. No segundo livro de sua Geometria, René Descartes disse sobre o problema de construir a tangente a uma curva: "E ouso dizer que este não é apenas o problema mais útil e mais geral em geometria que conheço, mas até mesmo aquele que sempre desejei conhecer".

#### Descrição intuitiva
Suponha que uma curva seja dada como o grafo de uma função, y = f(x). Para encontrar a reta tangente no ponto p = (a, f(a)), considere outro ponto próximo q = (a + h, f(a + h)) na curva. A inclinação da reta secante que passa por p e q é igual ao quociente de diferença
{\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}
À medida que o ponto q se aproxima de p, o que corresponde a tornar h cada vez menor, o quociente de diferença deve se aproximar de um certo valor limite k, que é a inclinação da reta tangente no ponto p. Se k for conhecido, a equação da reta tangente pode ser encontrada na forma ponto-inclinação:
{\displaystyle y-f(a)=k(x-a)}

#### Descrição mais rigorosa
Para tornar o raciocínio anterior rigoroso, é preciso explicar o que significa o quociente de diferença se aproximando de um certo valor limite k. A formulação matemática precisa foi dada por Cauchy no século XIX e é baseada na noção de limite. Suponha que o grafo não tenha uma quebra ou uma borda afiada em p e não seja nem vertical nem muito sinuoso perto de p. Então, há um valor único de k tal que, à medida que h se aproxima de 0, o quociente de diferença se aproxima cada vez mais de k, e a distância entre eles se torna insignificante em comparação com o tamanho de h, se h for pequeno o suficiente. Isso leva à definição da inclinação da reta tangente ao grafo como o limite dos quocientes de diferença para a função f. Este limite é a derivada da função f em x = a, denotada f ′(a). Usando derivadas, a equação da reta tangente pode ser declarada da seguinte forma:
{\displaystyle y=f(a)+f'(a)(x-a)}
O cálculo fornece regras para calcular as derivadas de funções que são dadas por fórmulas, como a função de potência, funções trigonométricas, função exponencial, logaritmo e suas várias combinações. Assim, equações das tangentes aos grafos de todas essas funções, assim como muitas outras, podem ser encontradas pelos métodos de cálculo.

#### Como o método pode falhar
O cálculo também demonstra que há funções e pontos em seus grafos para os quais o limite que determina a inclinação da reta tangente não existe. Para esses pontos, a função f não é diferenciável. Há duas razões possíveis para o método de encontrar as tangentes com base nos limites e derivadas falhar: ou a tangente geométrica existe, mas é uma reta vertical, que não pode ser dada na forma ponto-inclinação, pois não tem inclinação, ou o gráfico exibe um dos três comportamentos que impedem uma tangente geométrica.
O gráfico y = x1/3 ilustra a primeira possibilidade: aqui o quociente de diferença em a = 0 é igual a h1/3/h = h−2/3, que se torna muito grande quando h se aproxima de 0. Esta curva tem uma linha tangente na origem que é vertical.
O grafo y = x2/3 ilustra outra possibilidade: este grafo tem uma cúspide na origem. Isto significa que, quando h se aproxima de 0, o quociente de diferença em a = 0 se aproxima de mais ou menos infinito dependendo do sinal de x. Assim, ambas as ramificações da curva estão próximas da meia linha vertical para a qual y=0, mas nenhuma está próxima da parte negativa desta linha. Basicamente, não há tangente na origem neste caso, mas em algum contexto pode-se considerar esta linha como uma tangente, e até mesmo, em geometria algébrica, como uma tangente dupla.
O grafo y = |x| da função do valor absoluto consiste em duas retas com inclinações diferentes unidas na origem. Conforme um ponto q se aproxima da origem pela direita, a reta secante sempre tem inclinação 1. Conforme um ponto q se aproxima da origem pela esquerda, a reta secante sempre tem inclinação −1. Portanto, não há uma tangente única ao grafo na origem. Ter duas inclinações diferentes (mas finitas) é chamado de canto.
Finalmente, uma vez que a diferenciabilidade implica continuidade, a descontinuidade dos estados contrapositivos implica não diferenciabilidade. Qualquer descontinuidade de salto ou ponto não terá uma reta tangente. Isso inclui casos em que uma inclinação se aproxima do infinito positivo enquanto a outra se aproxima do infinito negativo, levando a uma descontinuidade de salto infinita

### Equações
Quando a curva é dada por y = f(x), então a inclinação da tangente é {\displaystyle dy/dx}, então pela fórmula ponto-inclinação a equação da reta tangente em (X, Y) é:
{\displaystyle y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)}
onde (x, y) são as coordenadas de qualquer ponto na reta tangente, e onde a derivada é avaliada em {\displaystyle x=X}.
Quando a curva é dada por y = f(x), a equação da reta tangente também pode ser encontrada usando a divisão polinomial para dividir {\displaystyle f\,(x)} por {\displaystyle (x-X)^{2}}; se o resto for denotado por {\displaystyle g(x)}, então a equação da reta tangente é dada por:
{\displaystyle y=g(x)}
Quando a equação da curva é dada na forma f(x, y) = 0 então o valor da inclinação pode ser encontrado por diferenciação implícita, dando:
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial y}}}
A equação da reta tangente em um ponto (X,Y) tal que f(X,Y) = 0 é então:
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0}
Esta equação permanece verdadeira se:
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0}
Nesse caso a inclinação da tangente é infinita. Se, no entanto,
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0}
a reta tangente não é definida e o ponto (X,Y) é dito ser singular.
Para curvas algébricas, os cálculos podem ser simplificados um pouco convertendo para coordenadas homogêneas. Especificamente, deixe a equação homogênea da curva ser g(x, y, z) = 0 onde g é uma função homogênea de grau n. Então, se (X, Y, Z) estiver na curva, o Teorema de Euler implica:
{\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0}
Segue-se que a equação homogênea da reta tangente é:
{\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0}
A equação da reta tangente em coordenadas cartesianas pode ser encontrada definindo z=1 nesta equação.
Para aplicar isso a curvas algébricas, escreva f(x, y) como:
{\displaystyle f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}}
onde cada ur é a soma de todos os termos de grau r. A equação homogênea da curva é então:
{\displaystyle g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0}
A aplicação da equação acima e a definição de z=1 produzem:
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0}
como a equação da reta tangente. A equação nesta forma é frequentemente mais simples de usar na prática, uma vez que nenhuma simplificação adicional é necessária após sua aplicação.
Se a curva for dada parametricamente por:
{\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}
então a inclinação da tangente é:
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg /}{\frac {dx}{dt}}}
dando a equação para a reta tangente em {\displaystyle \,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)} como
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X)}
Se
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0}
a reta tangente não está definida. Entretanto, pode ocorrer que a reta tangente exista e possa ser computada a partir de uma equação implícita da curva.

### Reta normal para uma curva
A reta perpendicular à reta tangente a uma curva no ponto de tangência é chamada de reta normal à curva naquele ponto. As inclinações das retas perpendiculares têm produto −1, então se a equação da curva é y = f(x) então a inclinação da reta normal é:
{\displaystyle -1{\bigg /}{\frac {dy}{dx}}}
e segue-se que a equação da reta normal em (X, Y) é:
{\displaystyle (x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0}
Da mesma forma, se a equação da curva tem a forma f(x, y) = 0  então a equação da reta normal é dada por:
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0}
Se a curva for dada parametricamente por:
{\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}
então a equação da reta normal é:
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0}

### Ângulo entre curvas
O ângulo entre duas curvas em um ponto onde elas se cruzam é definido como o ângulo entre suas linhas tangentes naquele ponto. Mais especificamente, duas curvas são ditas tangentes em um ponto se elas têm a mesma tangente em um ponto, e ortogonais se suas linhas tangentes são ortogonais.

### Múltiplas tangentes em um ponto
As fórmulas acima falham quando o ponto é um ponto singular. Neste caso, pode haver duas ou mais ramificações da curva que passam pelo ponto, cada ramificação tendo sua própria reta tangente. Quando o ponto é a origem, as equações dessas retas podem ser encontradas para curvas algébricas fatorando a equação formada pela eliminação de todos, exceto os termos de menor grau da equação original. Como qualquer ponto pode ser transformado em origem por uma mudança de variáveis (ou pela translação da curva), isso fornece um método para encontrar as retas tangentes em qualquer ponto singular.
Por exemplo, a equação da trissetriz de limaçon mostrada à direita é:
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})}
Expandir isso e eliminar todos os termos, exceto os de grau 2, dá:
{\displaystyle a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0}
que, quando fatorado, torna-se:
{\displaystyle y=\pm {\sqrt {3}}x}
Então, essas são as equações das duas retas tangentes através da origem.
Quando a curva não é autocruzante, a tangente em um ponto de referência pode ainda não ser definida de forma única porque a curva não é diferenciável naquele ponto, embora seja diferenciável em outro lugar. Neste caso, as derivadas esquerda e direita são definidas como os limites da derivada, pois o ponto em que ela é avaliada se aproxima do ponto de referência, respectivamente, da esquerda (valores mais baixos) ou da direita (valores mais altos). Por exemplo, a curva y = |x | não é diferenciável em x = 0: suas derivadas esquerda e direita têm respectivas inclinações −1 e 1; as tangentes naquele ponto com essas inclinações são chamadas de tangentes esquerda e direita.
Às vezes, as inclinações das retas tangentes esquerda e direita são iguais, então as retas tangentes coincidem. Isso é verdade, por exemplo, para a curva y = x 2/3, para a qual ambas as derivadas esquerda e direita em x = 0 são infinitas; ambas as retas tangentes esquerda e direita têm equação x = 0.

## Círculos tangentes
Dois círculos distintos no mesmo plano são ditos tangentes um ao outro se eles se encontram exatamente em um ponto.
Se pontos no plano são descritos usando coordenadas cartesianas, então dois círculos, com raios {\displaystyle r_{1},r_{2}} e centros {\displaystyle (x_{1},y_{1})} e ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} são tangentes um ao outro sempre que
{\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}}
Os dois círculos são chamados externamente tangentes se a distância entre seus centros for igual à soma de seus raios,
{\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}}
ou internamente tangentes se a distância entre seus centros for igual à diferença entre seus raios:
{\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}

## Plano tangente a uma superfície
O plano tangente a uma superfície em um dado ponto p é definido de forma análoga à reta tangente no caso de curvas. É a melhor aproximação da superfície por um plano em p, e pode ser obtido como a posição limite dos planos que passam por 3 pontos distintos na superfície próximos a p, pois esses pontos convergem para p. Matematicamente, se a superfície é dada por uma função {\displaystyle z=f(x,y)}, a equação do plano tangente no ponto {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} pode ser expressa como:
{\displaystyle z-z_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}
Aqui, {\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} e {\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}} são as derivadas parciais da função {\displaystyle f} em relação a {\displaystyle x} e {\displaystyle y} respectivamente, avaliadas no ponto {\displaystyle (x_{0},y_{0})}. Em essência, o plano tangente captura o comportamento local da superfície no ponto específico p. É um conceito fundamental usado em cálculo e geometria diferencial, crucial para entender como as funções mudam localmente em superfícies.

## Variedades de dimensões superiores
De forma mais geral, há um espaço tangente k-dimensional em cada ponto de uma variedade k-dimensional no espaço euclidiano n-dimensional.

title: Tangente (geometria)

wikitext:
{{Descrição curta|Em matemática, linha reta tocando uma curva plana sem cruzá-la}}

[[Image:Tangent to a curve.svg|220px|right|thumb|Tangente a uma curva. A linha vermelha é tangente à curva no ponto marcado por um ponto vermelho.]]
[[Image:Image Tangent-plane.svg|220px|right|thumb|Plano tangente a uma esfera]]
Na [[geometria]], a '''reta tangente''' (ou simplesmente '''tangente''') a uma [[curva plana]] em um dado [[Ponto (geometria)|ponto]] é, intuitivamente, a [[reta]] que "apenas toca" a curva naquele ponto. [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] a definiu como a reta que passa por um par de pontos [[Infinitesimal|infinitamente próximos]] na curva.<ref>Em "''Nova Methodus pro Maximis et Minimis''" (''[[Acta Eruditorum]]'', Outubro de 1684) (em latim), Leibniz parece ter uma noção de linhas tangentes desde o início, mas posteriormente afirma: "''modo teneatur in genere, tangentem invenire esse rectam ducere, quae duo curvae puncta distanteiam infinite parvam habentia jungat, seu latus productum polygoni infinitanguli, quod nobis curvae aequivalet ''", ou seja. define o método para desenhar tangentes através de pontos infinitamente próximos uns dos outros.</ref><ref>{{Cite book |page=23 |title=Science and the Enlightenment |author=Thomas L. Hankins |isbn=9780521286190 |year=1985 |publisher=''Cambridge University Press'' |language=en}}</ref> Mais precisamente, uma reta é tangente à curva {{Nowrap|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} em um ponto {{Nowrap|''x'' {{=}} ''c''}} se a reta passa pelo ponto {{Nowrap|(''c'', ''f''(''c''))}} na curva e tem [[declive]] {{Nowrap|''f''{{'}}(''c'')}}, onde ''f''{{'}} é a derivada de ''f''. Uma definição semelhante se aplica a [[Curva#Curva espacial|curvas espaciais e curvas]] no [[espaço euclidiano]] ''n''-dimensional.

O ponto onde a reta tangente e a curva se encontram ou se cruzam é chamado de '''''ponto de tangência'''''. Diz-se que a reta tangente está "indo na mesma direção" que a curva e, portanto, é a melhor aproximação em linha reta para a curva naquele ponto. A reta tangente a um ponto em uma curva diferenciável também pode ser considerada uma [[Aproximação linear|''aproximação de reta tangente'']], o gráfico da [[função afim]] que melhor se aproxima da função original no ponto dado.<ref>Dan Sloughter (2000) . "[https://math.dartmouth.edu/opencalc2/dcsbook/c3pdf/sec31.pdf ''Best Affine Approximations'']" (em inglês)</ref>

Similarmente, o '''plano tangente''' a uma [[superfície]] em um dado ponto é o [[Espaço bidimensional|plano]] que "apenas toca" a superfície naquele ponto. O conceito de tangente é uma das noções mais fundamentais em [[geometria diferencial]] e foi amplamente generalizado; veja ''[[Espaço tangente]]''.

A palavra "tangente" vem do latim {{lang|la|[[wikt:tangere#Latim|''tangere'']]}}, "tocar".

==Reta tangente a uma curva plana==
{{Mais informações|Curva diferenciável#Vetor tangente|Triedro de Frenet{{!}}Fórmulas de Frenet e Serret}}
[[Imagem:CIRCLE LINES-pt-br.svg|thumb|220px|Uma tangente, uma [[Corda (geometria)|corda]], e uma [[Reta secante|secante]] para um círculo]]
A noção intuitiva de que uma reta tangente "toca" uma curva pode ser tornada mais explícita ao considerar a sequência de retas ([[Reta secante|retas secantes]]) passando por dois pontos, ''A'' e ''B'', aqueles que estão na curva da função. A tangente em ''A'' é o limite quando o ponto ''B'' se aproxima ou tende a ''A''. A existência e a unicidade da reta tangente dependem de um certo tipo de suavidade matemática, conhecida como "diferenciabilidade". Por exemplo, se dois arcos circulares se encontram em um ponto agudo (um vértice), então não há tangente definida exclusivamente no vértice porque o limite da progressão das retas secantes depende da direção em que o "ponto ''B''" se aproxima do vértice.

Na maioria dos pontos, a tangente toca a curva sem cruzá-la (embora possa, quando continuada, cruzar a curva em outros lugares longe do ponto de tangente). Um ponto onde a tangente (neste ponto) cruza a curva é chamado de ''[[ponto de inflexão]]''. [[Circunferência|Círculos]], [[parábola]]s, [[hipérbole]]s e [[elipses]] não têm nenhum ponto de inflexão, mas curvas mais complicadas têm, como o grafo de uma função cúbica, que tem exatamente um ponto de inflexão, ou uma sinusoide, que tem dois pontos de inflexão para cada período do [[seno]].

Por outro lado, pode acontecer que a curva esteja inteiramente em um lado de uma linha reta que passa por um ponto nela, e ainda assim essa linha reta não seja uma linha tangente. Esse é o caso, por exemplo, de uma linha que passa pelo vértice de um [[triângulo]] e não o intercepta de outra forma — onde a linha tangente não existe pelas razões explicadas acima. Na [[geometria convexa]], essas linhas são chamadas de linhas de suporte.

===Abordagem analítica===

A ideia geométrica da reta tangente como o limite das retas secantes serve como motivação para métodos analíticos que são usados para encontrar retas tangentes explicitamente. A questão de encontrar a reta tangente a um grafo, ou o '''problema da reta tangente''', foi uma das questões centrais que levaram ao desenvolvimento do [[Cálculo infinitesimal|cálculo]] no século XVII. No segundo livro de sua [[La Géométrie|''Geometria'']], [[René Descartes]]<ref>{{Cite book |publisher='Open Court'' |page=95 |last=Descartes |first=René |title=The Geometry of René Descartes |year=1954 |orig-year=1637 |url=https://archive.org/details/geometryofrene00desc/page/95/ |translator1-last= Smith |translator1-first=David Eugene |translator1-link=David Eugene Smith |translator2-last=Latham |translator2-first=Marcia L. |language=en}}</ref> disse sobre o problema de construir a tangente a uma curva: "E ouso dizer que este não é apenas o problema mais útil e mais geral em geometria que conheço, mas até mesmo aquele que sempre desejei conhecer".<ref>{{Cite journal |author=R. E. Langer |date=10-1937 |title=Rene Descartes |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=44 |issue=8 |pages=495–512 |publisher=''Mathematical Association of America'' |doi=10.2307/2301226 |jstor=2301226 |language=en}}</ref>

====Descrição intuitiva====
Suponha que uma curva seja dada como o grafo de uma [[Função (matemática)|função]], ''y'' = ''f''(''x''). Para encontrar a reta tangente no ponto ''p'' = (''a'', ''f''(''a'')), considere outro ponto próximo ''q'' = (''a'' + ''h'', ''f''(''a'' + ''h'')) na curva. A [[inclinação]] da [[reta secante]] que passa por ''p'' e ''q'' é igual ao [[Coeficiente diferencial|quociente de diferença]]

<math display="block">\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>

À medida que o ponto ''q'' se aproxima de ''p'', o que corresponde a tornar ''h'' cada vez menor, o quociente de diferença deve se aproximar de um certo valor limite ''k'', que é a inclinação da reta tangente no ponto ''p''. Se ''k'' for conhecido, a equação da reta tangente pode ser encontrada na forma ponto-inclinação:

<math display="block"> y-f(a) = k(x-a)</math>

====Descrição mais rigorosa====
Para tornar o raciocínio anterior rigoroso, é preciso explicar o que significa o quociente de diferença se aproximando de um certo valor limite ''k''. A formulação matemática precisa foi dada por [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]] no século XIX e é baseada na noção de [[Limite de uma função|limite]]. Suponha que o grafo não tenha uma quebra ou uma borda afiada em ''p'' e não seja nem vertical nem muito sinuoso perto de ''p''. Então, há um valor único de ''k'' tal que, à medida que ''h'' se aproxima de 0, o quociente de diferença se aproxima cada vez mais de ''k'', e a distância entre eles se torna insignificante em comparação com o tamanho de ''h'', se ''h'' for pequeno o suficiente. Isso leva à definição da inclinação da reta tangente ao grafo como o limite dos quocientes de diferença para a função ''f''. Este limite é a [[derivada]] da função ''f'' em ''x'' = ''a'', denotada ''f'' ′(''a''). Usando derivadas, a equação da reta tangente pode ser declarada da seguinte forma:

: <math> y=f(a)+f'(a)(x-a)</math>

O cálculo fornece regras para calcular as derivadas de funções que são dadas por fórmulas, como a função de potência, [[Função trigonométrica|funções trigonométricas]], [[função exponencial]], [[logaritmo]] e suas várias combinações. Assim, equações das tangentes aos grafos de todas essas funções, assim como muitas outras, podem ser encontradas pelos métodos de cálculo.

====Como o método pode falhar====
O cálculo também demonstra que há funções e pontos em seus grafos para os quais o limite que determina a inclinação da reta tangente não existe. Para esses pontos, a função ''f'' ''não é diferenciável''. Há duas razões possíveis para o método de encontrar as tangentes com base nos limites e derivadas falhar: ou a tangente geométrica existe, mas é uma reta vertical, que não pode ser dada na forma ponto-inclinação, pois não tem inclinação, ou o gráfico exibe um dos três comportamentos que impedem uma tangente geométrica.

O gráfico ''y'' = ''x''1/3 ilustra a primeira possibilidade: aqui o quociente de diferença em ''a'' = 0 é igual a ''h''1/3/''h'' = ''h''−2/3, que se torna muito grande quando ''h'' se aproxima de 0. Esta curva tem uma linha tangente na origem que é vertical.

O grafo ''y'' = ''x''2/3 ilustra outra possibilidade: este grafo tem uma ''cúspide'' na origem. Isto significa que, quando ''h'' se aproxima de 0, o quociente de diferença em ''a'' = 0 se aproxima de mais ou menos infinito dependendo do sinal de ''x''. Assim, ambas as ramificações da curva estão próximas da meia linha vertical para a qual ''y''=0, mas nenhuma está próxima da parte negativa desta linha. Basicamente, não há tangente na origem neste caso, mas em algum contexto pode-se considerar esta linha como uma tangente, e até mesmo, em [[geometria algébrica]], como uma ''tangente dupla''.

O grafo ''y'' = |''x''| da função do [[Função modular|valor absoluto]] consiste em duas retas com inclinações diferentes unidas na origem. Conforme um ponto ''q'' se aproxima da origem pela direita, a reta secante sempre tem inclinação 1. Conforme um ponto ''q'' se aproxima da origem pela esquerda, a reta secante sempre tem inclinação −1. Portanto, não há uma tangente única ao grafo na origem. Ter duas inclinações diferentes (mas finitas) é chamado de ''canto''.

Finalmente, uma vez que a diferenciabilidade implica continuidade, a ''descontinuidade'' dos estados [[Contraposição|contrapositivos]] implica não diferenciabilidade. Qualquer descontinuidade de salto ou ponto não terá uma reta tangente. Isso inclui casos em que uma inclinação se aproxima do infinito positivo enquanto a outra se aproxima do infinito negativo, levando a uma descontinuidade de salto infinita

===Equações===
Quando a curva é dada por ''y'' = ''f''(''x''), então a inclinação da tangente é <math>dy/dx</math>, então pela fórmula ponto-inclinação a equação da reta tangente em (''X'', ''Y'') é:

:<math>y-Y=\frac{dy}{dx}(X) \cdot (x-X)</math>

onde (''x'', ''y'') são as coordenadas de qualquer ponto na reta tangente, e onde a derivada é avaliada em <math>x=X</math>.<ref name=E191>''Edwards Art.'' (em inglês) 191</ref>

Quando a curva é dada por ''y'' = ''f''(''x''), a equação da reta tangente também pode ser encontrada<ref>Strickland-Constable, Charles, "''A simple method for finding tangents to polynomial graphs''", ''The Mathematical Gazette'' (em inglês), novembro de 2005, páginas 466–467.</ref> usando a [[divisão polinomial]] para dividir <math>f \, (x)</math> por <math>(x-X)^2</math>; se o resto for denotado por <math>g(x)</math>, então a equação da reta tangente é dada por:

:<math>y=g(x)</math>

Quando a equação da curva é dada na forma ''f''(''x'', ''y'') = 0 então o valor da inclinação pode ser encontrado por [[diferenciação implícita]], dando:

:<math>
\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial f}{\partial x} \bigg/
\frac{\partial f}{\partial y}
</math>

A equação da reta tangente em um ponto (''X'',''Y'') tal que ''f''(''X'',''Y'') = 0 é então:<ref name=E191/>

:<math>
\frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \cdot (x-X) +
\frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) \cdot (y-Y) = 0
</math>

Esta equação permanece verdadeira se:

:<math>\frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \neq 0</math>

Nesse caso a inclinação da tangente é infinita. Se, no entanto,

:<math>
\frac{\partial f}{\partial y}(X,Y)
= \frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) = 0
</math>

a reta tangente não é definida e o ponto (''X'',''Y'') é dito ser singular.

{{Limpar}}
Para [[Curva algébrica|curvas algébricas]], os cálculos podem ser simplificados um pouco convertendo para [[coordenadas homogêneas]]. Especificamente, deixe a equação homogênea da curva ser ''g''(''x'', ''y'', ''z'') = 0 onde ''g'' é uma função homogênea de grau ''n''. Então, se (''X'', ''Y'', ''Z'') estiver na curva, o [[Função homogênea|Teorema de Euler]] implica:
<math display=block>\frac{\partial g}{\partial x} \cdot X +\frac{\partial g}{\partial y} \cdot Y+\frac{\partial g}{\partial z} \cdot Z=ng(X, Y, Z)=0</math>
Segue-se que a equação homogênea da reta tangente é:

:<math>
\frac{\partial g}{\partial x}(X,Y,Z) \cdot x +
\frac{\partial g}{\partial y}(X,Y,Z) \cdot y +
\frac{\partial g}{\partial z}(X,Y,Z) \cdot z = 0
</math>

A equação da reta tangente em coordenadas cartesianas pode ser encontrada definindo ''z''=1 nesta equação.<ref name=E192>''Edwards Art.'' (em inglês) 192</ref>

Para aplicar isso a curvas algébricas, escreva ''f''(''x'', ''y'') como:

:<math>f=u_n+u_{n-1}+\dots+u_1+u_0</math>

onde cada ''u''''r'' é a soma de todos os termos de grau ''r''. A equação homogênea da curva é então:

:<math>g=u_n+u_{n-1}z+\dots+u_1 z^{n-1}+u_0 z^n=0</math>

A aplicação da equação acima e a definição de ''z''=1 produzem:

:<math>\frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \cdot x + \frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) \cdot y + \frac{\partial g}{\partial z}(X,Y,1) =0</math>

como a equação da reta tangente.<ref name=E193>''Edwards Art.'' (em inglês) 193</ref> A equação nesta forma é frequentemente mais simples de usar na prática, uma vez que nenhuma simplificação adicional é necessária após sua aplicação.<ref name=E192 />

Se a curva for dada [[Equação paramétrica|parametricamente]] por:

:<math>x=x(t),\quad y=y(t)</math>

então a inclinação da tangente é:

:<math>
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \bigg/ \frac{dx}{dt}
</math>

dando a equação para a reta tangente em <math>\, t=T, \, X=x(T), \, Y=y(T)</math> como<ref name=E196>''Edwards Art.'' (em inglês) 196</ref>

:<math>\frac{dx}{dt}(T) \cdot (y-Y)=\frac{dy}{dt}(T) \cdot (x-X)</math>

Se

:<math>\frac{dx}{dt}(T)= \frac{dy}{dt}(T) =0</math>

a reta tangente não está definida. Entretanto, pode ocorrer que a reta tangente exista e possa ser computada a partir de uma equação implícita da curva.

===Reta normal para uma curva===
{{Mais informações|Normal (geometria)}}
A reta perpendicular à reta tangente a uma curva no ponto de tangência é chamada de ''reta normal'' à curva naquele ponto. As inclinações das retas perpendiculares têm produto −1, então se a equação da curva é ''y'' = ''f''(''x'') então a inclinação da reta normal é:

:<math>-1 \bigg/ \frac{dy}{dx}</math>

e segue-se que a equação da reta normal em (X, Y) é:

:<math>(x-X)+\frac{dy}{dx}(y-Y)=0</math>

Da mesma forma, se a equação da curva tem a forma ''f''(''x'', ''y'') = 0  então a equação da reta normal é dada por:<ref name=E194>''Edwards Art.'' (em inglês) 194</ref>

:<math>\frac{\partial f}{\partial y}(x-X)-\frac{\partial f}{\partial x}(y-Y)=0</math>

Se a curva for dada parametricamente por:

:<math>x=x(t),\quad y=y(t)</math>

então a equação da reta normal é:<ref name=E196 />

:<math>\frac{dx}{dt}(x-X)+\frac{dy}{dt}(y-Y)=0</math>

===Ângulo entre curvas===

O ângulo entre duas curvas em um ponto onde elas se cruzam é definido como o ângulo entre suas linhas tangentes naquele ponto. Mais especificamente, duas curvas são ditas tangentes em um ponto se elas têm a mesma tangente em um ponto, e ortogonais se suas linhas tangentes são ortogonais.<ref name=E195>''Edwards Art.'' (em inglês) 195</ref>

===Múltiplas tangentes em um ponto===
[[Imagem:LimaçonTrisectrix.svg|right|thumb|300px|A trissetriz de limaçon: uma curva com duas tangentes na origem.]]
As fórmulas acima falham quando o ponto é um ponto singular. Neste caso, pode haver duas ou mais ramificações da curva que passam pelo ponto, cada ramificação tendo sua própria reta tangente. Quando o ponto é a origem, as equações dessas retas podem ser encontradas para curvas algébricas fatorando a equação formada pela eliminação de todos, exceto os termos de menor grau da equação original. Como qualquer ponto pode ser transformado em origem por uma mudança de variáveis (ou pela [[Translação (geometria)|translação]] da curva), isso fornece um método para encontrar as retas tangentes em qualquer ponto singular.

Por exemplo, a equação da trissetriz de limaçon mostrada à direita é:

:<math>(x^2+y^2-2ax)^2=a^2(x^2+y^2)</math>

Expandir isso e eliminar todos os termos, exceto os de grau 2, dá:

:<math>a^2(3x^2-y^2)=0</math>

que, quando fatorado, torna-se:

:<math>y=\pm\sqrt{3}x</math>

Então, essas são as equações das duas retas tangentes através da origem.<ref name=E197>''Edwards Art.'' (em inglês) 197</ref>

Quando a curva não é autocruzante, a tangente em um ponto de referência pode ainda não ser definida de forma única porque a curva não é diferenciável naquele ponto, embora seja diferenciável em outro lugar. Neste caso, as derivadas esquerda e direita são definidas como os limites da derivada, pois o ponto em que ela é avaliada se aproxima do ponto de referência, respectivamente, da esquerda (valores mais baixos) ou da direita (valores mais altos). Por exemplo, a curva ''y'' = |''x'' | não é diferenciável em ''x'' = 0: suas derivadas esquerda e direita têm respectivas inclinações −1 e 1; as tangentes naquele ponto com essas inclinações são chamadas de tangentes esquerda e direita.<ref>Thomas, George B. Jr., & Finney, Ross L. (1979), ''Calculus and Analytic Geometry'' (em inglês), ''Addison Wesley Publ. Co.'': página 140.</ref>

Às vezes, as inclinações das retas tangentes esquerda e direita são iguais, então as retas tangentes coincidem. Isso é verdade, por exemplo, para a curva ''y'' = ''x'' 2/3, para a qual ambas as derivadas esquerda e direita em ''x'' = 0 são infinitas; ambas as retas tangentes esquerda e direita têm equação ''x'' = 0.

==Linha tangente a uma curva espacial==
{{Excerto|Vetor tangente}}

==Círculos tangentes==

[[Imagem:Tangent circles.svg|thumb|200px|Dois pares de círculos tangentes. Acima internamente e abaixo externamente tangente]]
Dois círculos distintos no mesmo plano são ditos tangentes um ao outro se eles se encontram exatamente em um ponto.

Se pontos no plano são descritos usando [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas cartesianas]], então dois [[Circunferência|círculos]], com [[Raio (geometria)|raios]] <math>r_1, r_2</math> e centros <math>(x_1, y_1)</math> e ( x 2 , y 2 ) <math>(x_2, y_2)</math> são tangentes um ao outro sempre que
:<math>\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1\pm r_2\right)^2</math>
Os dois círculos são chamados ''externamente tangentes'' se a [[distância]] entre seus centros for igual à soma de seus raios,
:<math>\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1 + r_2\right)^2</math>
ou ''internamente tangentes'' se a distância entre seus centros for igual à diferença entre seus raios:<ref>{{Cite web |url=http://homepage.eircom.net/~phabfys/circles.html |title=''Circles For Leaving Certificate Honours Mathematics by Thomas O'Sullivan 1997'' |language=en}}</ref>
:<math>\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1 - r_2\right)^2</math>

==Plano tangente a uma superfície==
{{Mais informações|Superfície paramétrica#Plano tangente e vetor normal}}
O '''plano tangente''' a uma superfície em um dado ponto ''p'' é definido de forma análoga à reta tangente no caso de curvas. É a melhor aproximação da superfície por um plano em ''p'', e pode ser obtido como a posição limite dos planos que passam por 3 pontos distintos na superfície próximos a ''p'', pois esses pontos convergem para ''p''. Matematicamente, se a superfície é dada por uma função <math>z = f(x, y)</math>, a equação do plano tangente no ponto <math>(x_0, y_0, z_0)</math> pode ser expressa como:

<math>z-z_0 = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)</math>

Aqui, <math display="inline">\frac{\partial f}{\partial x}</math> e <math display="inline">\frac{\partial f}{\partial y}</math> são as derivadas parciais da função <math>f</math> em relação a <math>x</math> e <math>y</math> respectivamente, avaliadas no ponto <math>(x_0, y_0)</math>. Em essência, o plano tangente captura o comportamento local da superfície no ponto específico ''p''. É um conceito fundamental usado em cálculo e geometria diferencial, crucial para entender como as funções mudam localmente em superfícies.

==Variedades de dimensões superiores==
{{Artigo principal|Espaço tangente}}
De forma mais geral, há um [[espaço tangente]] ''k''-dimensional em cada ponto de uma [[Variedade (matemática)|variedade]] ''k''-dimensional no [[espaço euclidiano]] ''n''-dimensional.

==Ver também==
* [[Circulo de Curvatura|Círculo osculante]]
* [[Método de Newton–Raphson|Método de Newton e Raphson]]
* [[Normal (geometria)|Normal]]
* [[Perpendicularidade]]
* [[Plano osculador|Plano osculante]]
* [[Vetor tangente]]

{{Referências}}

===Fontes===
* {{Cite book |author=J. Edwards |title=Differential Calculus|publisher=''MacMillan and Co.'' |location=''London'' |pages=[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.109607/page/n161 143] ff |year=1892 |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.109607 |language=en}}

==Ligação externa==
{{Commonscat|Tangency|Tangência}}

{{Controle de autoridade}}
[[Categoria:Geometria algébrica]]
[[Categoria:Geometria diferencial]]
[[Categoria:Geometria elementar]]
[[Categoria:Topologia diferencial]]


text:
# Stahlmann
Stahlmann é uma banda alemã de Neue Deutsche Härte formada em 2008 em Göttingen, Alemanha.

## História
Martin Soer, o vocalista da banda conheceu o guitarrista Alexander Scharfe, e eles descobriram que gostavam do mesmo estilo musical, no caso o NDH. Mais tarde naquele ano, eles formaram o Stahlmann e começou a escrever suas próprias músicas.
Após isso, conheceram Tobias "Tobi" Berkefeld, que também é guitarrista. Para tocar ao vivo eles convidaram um terceiro guitarrista e um baterista. Depois de ter todos os membros na banda, eles pensaram em fazer sua primeira apresentação ao vivo.
Até este momento, a banda ainda não tinha nome. A ideia surgiu quando eles estavam em um churrasco. "Na verdade, estavamos sentados de frente para o Alex e assando carne e eu apenas pensava: 'Ok, o nome deve ser algo que nos represente' e então surgiu." Disse Martin, o vocalista, em uma entrevista.
O conceito da banda se formou e pra representar, todos os membros se pintavam de prata, usavam roupas pretas e usavam luzes pesadas.
Em 2009, seu lançamento de estreia foi o EP "Herzschlag", que ficou entre os vinte melhores nas paradas alternativas da Alemanha e permaneceu lá por quatro semanas. Graças a isso, eles chamaram a atenção de outros grupos que convidaram para suas turnês, como o In Extremo, Doro e Saltatio Mortis. Eles também abriram os shows para o Eisbrecher e encontrou sua maior audiência na sua cidade natal, Göttingen.
Em 2010, o Stahlmann saiu em turnê que foi organizada pela revista Zillo. Especializada na cobertura da cena musical alternativa alemã.
No estado de euforia pelos eventos que estavam acontecendo, o grupo começou a trabalhar em seu álbum de estréia, que foi produzido no estilo do Metal Industrial. Mais tarde naquele ano, o baterista O-Lee (ex-Die Schröders) e o baixista Dirk Fire-Abend (ex-Engelhai) se juntaram à banda.
Em 3 de setembro de 2010, eles lançaram seu primeiro single, Hass Mich..Lieb Mich. E em 17 de setembro, seu primeiro álbum "Stahlmann", foi lançado. Nele existe riffs pesados, um estilo eletrônico juntamente com a voz explosiva do Martin. Este álbum atraiu a atenção que a banda necessitava para iniciar sua carreira.
Por ser um grupo jovem, o Stahlmann se apresentou com muito sucesso e confiança na Alemanha e atraiu inúmeros fãs rapidamente.
Por razões pessoais, Alex deixou a banda em 2011, porém ele ocasionalmente se apresenta ao vivo com a banda. Mais tarde ainda em 2011, o baixista Ablation (AblaZ) entra para o grupo. Também se apresentam ao vivo os guitarristas Sid Armageddon, Mathis Müller, Nicklas Kaalam (Niklas Kahl) e Dimitrios Gatsios.
Mesmo com sua agenda lotada, em 2011 a banda lança dois singles, Tanzmaschine e Stahlwittchen. O primeiro era material preparado para o segundo álbum "Quecksilber", que foi lançado em 20 de janeiro de 2012.
Alguns críticos dizem que o segundo álbum é mais melódico com uma larga presença de sons eletrônicos e que não foi original. Mas isso não desanimaram os membros da banda. Martin diz não se importar com o que as pessoas acham sobre a sua música e que isso não irá mudar apenas por que algumas pessoas acham que eles são "parecidos" com Rammstein ou Megaherz.
No início de 2012 eles lançaram outro single, "Spring nicht", e na metade de 2012 foi anunciado que a banda estava no estúdio gravando seu novo álbum. "Adamant", foi lançado em 19 de abril de 2013, o primeiro single deste álbum foi Süchtig, lançado em 1 de março de 2013 e em 5 de abril o segundo single Schwarz foi lançado. O videoclipe de Schwarz conta com a participação de Teufel do Tanzwut.
Depois de canções mais calmas sobraram das produções anteriores e que não se encaixam na ao estilo da banda, Martin decidiu iniciar um projeto paralelo chamado Sündenklang juntamente com Neill Freiwald. AblaZ e Kahl também se juntaram à banda eletro-gótica, que lançou o álbum Tränenreich no início de 2014. Quando Berkefeld deixou o Stahlmann no outono de 2013 por motivos profissionais, seu cargo foi assumido por Freiwald, de modo que ambas as bandas foram a partir de então na mesma formação.
Em 18 de novembro de 2014, Freiwald anunciou que estava encerrando sua cooperação com as bandas Stahlmann e Sündenklang devido a limitações de tempo.
Em 07 de fevereiro de 2015, o baterista Niklas Kahl deixou a banda, ele disse que poderia estar "cada vez menos se identificando com a banda". Juntamente com Freiwald, fundaram em um novo projeto chamado Erdling.
Em 28 de agosto de 2015, o quarto álbum da banda, "CO2", foi lançado. Desse álbum, apenas o single "Plasma" foi lançado.
No Festival Rockharz de 2015, Johannes (Duese) Thon, da banda Das Ich, fez sua estréia como tecladista ao vivo e acompanhou o Stahlmann em vários shows. No início de 2016, a banda aparecia novamente sem tecladista ao vivo. Em novembro de 2017, Max e Frank anunciaram que desistiriam do projeto devido a restrições de tempo. Enquanto Frank trabalha com seu novo projeto, Schattenmann desde 2016, Max cria seu próprio projeto.
Em 16 de junho de 2017 a banda lança o quinto álbum, "Bastard". O single "Bastard/Nichts Spricht Wahre Liebe Frei" é o único a ser lançado deste álbum.
E em 29 de março de 2019 a banda lança o sexto álbum, "Kinder der Sehnsucht". Os singles "Kinder der Sehnsucht", "Die Besten" e "Wahrheit oder Pflicht" são lançados anteriormente para promover o álbum. A canção "Die Besten" é em comemoração aos 10 anos da banda.

## Discografia
Álbuns
| Ano  | Título               | Data de Lançamento     | Formatos             |
| ---- | -------------------- | ---------------------- | -------------------- |
| 2010 | Stahlmann            | 17 de setembro de 2010 | CD, Download Digital |
| 2012 | Quecksilber          | 20 de janeiro de 2012  | CD, Download Digital |
| 2013 | Adamant              | 19 de abril de 2013    | CD, Download Digital |
| 2015 | CO2                  | 28 de agosto de 2015   | CD, Download Digital |
| 2017 | Bastard              | 16 de junho de 2017    | CD, Download Digital |
| 2019 | Kinder der Sehnsucht | 22 de março de 2019    | CD, Download Digital |
| 2021 | Quarz                | 10 de dezembro de 2021 | CD, Download Digital |

EP's
| Ano  | Título     | Formatos |
| ---- | ---------- | -------- |
| 2009 | Herzschlag | CD       |

Singles
| Ano  | Título                                  | Formatos             | Álbum                |
| ---- | --------------------------------------- | -------------------- | -------------------- |
| 2010 | Hass Mich..Lieb Mich                    | CD, Download Digital | Stahlmann            |
| 2011 | Stahlwittchen                           | CD, Download Digital | Stahlmann            |
| 2011 | Tanzmaschine                            | CD, Download Digital | Quecksilber          |
| 2011 | Spring nicht                            | CD, Download Digital | Quecksilber          |
| 2012 | Die Welt verbrennt                      | Download Digital     | Adamant              |
| 2013 | Süchtig                                 | CD                   | Adamant              |
| 2013 | Schwarz                                 | CD                   | Adamant              |
| 2015 | Plasma                                  | CD                   | CO²                  |
| 2017 | Bastard/Nichts spricht wahre Liebe frei | CD                   | Bastard              |
| 2019 | Kinder der Sehnsucht                    | Download Digital     | Kinder der Sehnsucht |
| 2019 | Die Besten                              | Download Digital     | Kinder der Sehnsucht |
| 2019 | Wahrheit oder Pflicht                   | Download Digital     | Kinder der Sehnsucht |
| 2020 | Sünder                                  | Download Digital     | Quarz                |
| 2021 | Gottmaschine                            | Download Digital     | Quarz                |
| 2021 | Krähen der Nacht                        | Download Digital     | Quarz                |
| 2021 | Wollust                                 | Download Digital     | Quarz                |

## Videografia
- 2010: Hass mich..Lieb mich
- 2011: Stahlwittchen
- 2011: Tanzmaschine
- 2012: Spring nicht (Direção: Christian Beer, Martin Soer)
- 2013: Schwarz (Part. Teufel do Tanzwut) (Direção: Rainer "Zipp" Fränzen)
- 2015: Plasma (Direção: Rainer "Zipp" Fränzen)
- 2017: Nichts spricht wahre Liebe frei (Direção: Patric Ullaeus)
- 2017: Bastard (Direção: Tim Gralke/Vest Film)
- 2019: Kinder der Sehnsucht (Direção: Martin Müller)
- 2019: Die Besten (Direção: Martin Müller)
- 2020: Sünder (Direção: Hard Media)

title: Stahlmann

wikitext:
{{Info/Música/artista
 | nome          = Stahlmann
 | imagem      = Hexentanz2015_stahlmann_wp.png
 | imagem_legenda   = O vocalista Martin Soer no Hexentanz Festival de 2015
 | imagem_tamanho  = 300px
 | fundo         = grupo_ou_banda
 | origem        = [[Göttingen]]
 | país          = [[Alemanha]]
 | período       = [[2008]] - atualmente
 | gênero        = [[Neue Deutsche Härte]]
 | gravadora     = Roughtone Records
[[AFM Records]]
 | integrantes   = Martin Soer
Eugen "Gene" Getman (desde 2019)
Mario Sobotka (desde 2018)
Dimitrios "Tacki" Gatsios (2011-2013, 2018-atualmente)

 | exintegrantes   = Alexander "Alex" Scharfe (2008-2012)
Tobias "Tobi" Berkefeld (2008-2013)
Oliver "O-Lee" Schmidt (2008-2011)
Dirk "Fire-Abend" Feierabend (2009-2011)
Niklas Kahl (2011-2015)
AblaZ (2011-2019)
Neill Freiwald (2013-2014)
Frank Herzig (2014-2017)
Johannes "Duese" Thon (2015-2016)
Maximilian Thiele (2015-2017)

 | site          = [http://www.stahlmann-band.de/ www.stahlmann-band.de]
 | afiliações    = Sündenklang
Erdling
Schattenmann
}}

'''Stahlmann''' é uma banda alemã de [[Neue Deutsche Härte]] formada em 2008 em [[Göttingen]], [[Alemanha]].

==História==

Martin Soer, o vocalista da banda conheceu o guitarrista Alexander Scharfe, e eles descobriram que gostavam do mesmo estilo musical, no caso o NDH. Mais tarde naquele ano, eles formaram o Stahlmann e começou a escrever suas próprias músicas.
Após isso, conheceram Tobias "Tobi" Berkefeld, que também é guitarrista. Para tocar ao vivo eles convidaram um terceiro guitarrista e um baterista. Depois de ter todos os membros na banda, eles pensaram em fazer sua primeira apresentação ao vivo.
Até este momento, a banda ainda não tinha nome. A ideia surgiu quando eles estavam em um churrasco. "Na verdade, estavamos sentados de frente para o Alex e assando carne e eu apenas pensava: 'Ok, o nome deve ser algo que nos represente' e então surgiu." Disse Martin, o vocalista, em uma entrevista.

O conceito da banda se formou e pra representar, todos os membros se pintavam de prata, usavam roupas pretas e usavam luzes pesadas.
Em 2009, seu lançamento de estreia foi o EP "''Herzschlag''", que ficou entre os vinte melhores nas paradas alternativas da Alemanha e permaneceu lá por quatro semanas. Graças a isso, eles chamaram a atenção de outros grupos que convidaram para suas turnês, como o [[In Extremo]], [[Doro]] e [[Saltatio Mortis]]. Eles também abriram os shows para o [[Eisbrecher]] e encontrou sua maior audiência na sua cidade natal, Göttingen.

Em 2010, o Stahlmann saiu em turnê que foi organizada pela revista Zillo. Especializada na cobertura da cena musical alternativa alemã.
No estado de euforia pelos eventos que estavam acontecendo, o grupo começou a trabalhar em seu álbum de estréia, que foi produzido no estilo do Metal Industrial. Mais tarde naquele ano, o baterista O-Lee (ex-Die Schröders) e o baixista Dirk Fire-Abend (ex-Engelhai) se juntaram à banda.
Em 3 de setembro de 2010, eles lançaram seu primeiro single, ''Hass Mich..Lieb Mich''. E em 17 de setembro, seu primeiro álbum "[[Stahlmann (álbum)|Stahlmann]]", foi lançado. Nele existe riffs pesados, um estilo eletrônico juntamente com a voz explosiva do Martin. Este álbum atraiu a atenção que a banda necessitava para iniciar sua carreira.

Por ser um grupo jovem, o Stahlmann se apresentou com muito sucesso e confiança na Alemanha e atraiu inúmeros fãs rapidamente.
Por razões pessoais, Alex deixou a banda em 2011, porém ele ocasionalmente se apresenta ao vivo com a banda. Mais tarde ainda em 2011, o baixista Ablation (AblaZ) entra para o grupo. Também se apresentam ao vivo os guitarristas Sid Armageddon, Mathis Müller, Nicklas Kaalam (Niklas Kahl) e Dimitrios Gatsios.

Mesmo com sua agenda lotada, em 2011 a banda lança dois singles, ''Tanzmaschine'' e ''Stahlwittchen''. O primeiro era material preparado para o segundo álbum "[[Quecksilber]]", que foi lançado em 20 de janeiro de 2012.
Alguns críticos dizem que o segundo álbum é mais melódico com uma larga presença de sons eletrônicos e que não foi original. Mas isso não desanimaram os membros da banda. Martin diz não se importar com o que as pessoas acham sobre a sua música e que isso não irá mudar apenas por que algumas pessoas acham que eles são "parecidos" com [[Rammstein]] ou [[Megaherz]].

No início de 2012 eles lançaram outro single, "Spring nicht", e na metade de 2012 foi anunciado que a banda estava no estúdio gravando seu novo álbum. "[[Adamant (álbum)|Adamant]]", foi lançado em 19 de abril de 2013, o primeiro single deste álbum foi ''Süchtig'', lançado em 1 de março de 2013 e em 5 de abril o segundo single ''Schwarz'' foi lançado. O videoclipe de ''Schwarz'' conta com a participação de Teufel do [[Tanzwut]].

Depois de canções mais calmas sobraram das produções anteriores e que não se encaixam na ao estilo da banda, Martin decidiu iniciar um projeto paralelo chamado ''Sündenklang'' juntamente com Neill Freiwald. AblaZ e Kahl também se juntaram à banda eletro-gótica, que lançou o álbum ''Tränenreich'' no início de 2014. Quando Berkefeld deixou o Stahlmann no outono de 2013 por motivos profissionais, seu cargo foi assumido por Freiwald, de modo que ambas as bandas foram a partir de então na mesma formação.<ref>[https://www.allmusic.com/artist/stahlmann-mn0002034339/biography]</ref>

Em 18 de novembro de 2014, Freiwald anunciou que estava encerrando sua cooperação com as bandas Stahlmann e Sündenklang devido a limitações de tempo.<ref>[http://www.sonic-seducer.de/index.php/1487-abschied-gitarrist-neill-verl%C3%A4sst-stahlmann-s%C3%BCndenklang.html]</ref>

Em 07 de fevereiro de 2015, o baterista Niklas Kahl deixou a banda, ele disse que poderia estar "cada vez menos se identificando com a banda". Juntamente com Freiwald, fundaram em um novo projeto chamado Erdling.

Em 28 de agosto de 2015, o quarto álbum da banda, "''[[CO2 (álbum)|CO2]]''", foi lançado. Desse álbum, apenas o single ''"Plasma"'' foi lançado.

No Festival Rockharz de 2015, Johannes (Duese) Thon, da banda Das Ich, fez sua estréia como tecladista ao vivo e acompanhou o Stahlmann em vários shows. No início de 2016, a banda aparecia novamente sem tecladista ao vivo. Em novembro de 2017, Max e Frank anunciaram que desistiriam do projeto devido a restrições de tempo. Enquanto Frank trabalha com seu novo projeto, Schattenmann desde 2016, Max cria seu próprio projeto.<ref>[http://www.rock-fanatics.de/aktuelles/niklas-kahl-verlaesst-stahlmann/]</ref>

Em 16 de junho de 2017 a banda lança o quinto álbum, ''"[[Bastard (álbum de Stahlmann)|Bastard]]"''. O single ''"Bastard/Nichts Spricht Wahre Liebe Frei"'' é o único a ser lançado deste álbum.

E em 29 de março de 2019 a banda lança o sexto álbum, ''"[[Kinder der Sehnsucht]]"''. Os singles ''"Kinder der Sehnsucht"'', ''"Die Besten"'' e ''"Wahrheit oder Pflicht"'' são lançados anteriormente para promover o álbum. A canção ''"Die Besten"'' é em comemoração aos 10 anos da banda.

==Discografia==
; Álbuns

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|2010
| ''[[Stahlmann (álbum)|Stahlmann]]''
| 17 de setembro de 2010
| CD, Download Digital
|-
|2012
| ''[[Quecksilber]]''
| 20 de janeiro de 2012
| CD, Download Digital
|-
|2013
|  ''[[Adamant (álbum)|Adamant]]''
| 19 de abril de 2013
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|-
|2015
| ''[[CO2 (álbum)|CO2]]''
| 28 de agosto de 2015
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|-
|2017
| ''[[Bastard (álbum de Stahlmann)|Bastard]]''
| 16 de junho de 2017
| CD, Download Digital
|-
|2019
| ''[[Kinder der Sehnsucht]]''
| 22 de março de 2019
| CD, Download Digital
|-
|2021
| ''[[Quarz]]''
| 10 de dezembro de 2021
| CD, Download Digital
|-
|}

; EP's

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
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! style="width:200px;"| Título
! style="width:200px;"| Formatos
|-
| 2009
| ''Herzschlag''
| CD
|-
|}

; Singles

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
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! style="width:200px;"| Título
! style="width:200px;"| Formatos
! style="width:200px;"| Álbum
|-
| 2010
| ''Hass Mich..Lieb Mich''
| CD, Download Digital
| rowspan="2"| Stahlmann
|-
| 2011
| ''Stahlwittchen''
| CD, Download Digital
|-
| 2011
| ''Tanzmaschine''
| CD, Download Digital
| rowspan="2"| Quecksilber
|-
| 2011
| ''Spring nicht''
| CD, Download Digital
|-
| 2012
| ''Die Welt verbrennt''
| Download Digital
| rowspan="3"| Adamant
|-
| 2013
| ''Süchtig''
| CD
|-
| 2013
| ''Schwarz''
| CD
|-
| 2015
| ''Plasma''
| CD
| CO²
|-
| 2017
| ''Bastard/Nichts spricht wahre Liebe frei''
| CD
| Bastard
|-
| 2019
| ''Kinder der Sehnsucht''
| Download Digital
| rowspan="3"| Kinder der Sehnsucht
|-
| 2019
| ''Die Besten''
| Download Digital
|-
| 2019
| ''Wahrheit oder Pflicht''
| Download Digital
|-
| 2020
| ''Sünder''
| Download Digital
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|-
| rowspan="3"| 2021
| ''Gottmaschine''
| Download Digital
|-
| ''Krähen der Nacht''
| Download Digital
|-
| ''Wollust''
| Download Digital
|-
|}

==Videografia==

* 2010: ''Hass mich..Lieb mich''
* 2011: ''Stahlwittchen''
* 2011: ''Tanzmaschine''
* 2012: ''Spring nicht'' (Direção: Christian Beer, Martin Soer)
* 2013: ''Schwarz'' (Part. Teufel do [[Tanzwut]]) (Direção: Rainer "Zipp" Fränzen)
* 2015: ''Plasma'' (Direção: Rainer "Zipp" Fränzen)
* 2017: ''Nichts spricht wahre Liebe frei'' (Direção: Patric Ullaeus)
* 2017: ''Bastard'' (Direção: Tim Gralke/Vest Film)
* 2019: ''Kinder der Sehnsucht'' (Direção: Martin Müller)
* 2019: ''Die Besten'' (Direção: Martin Müller)
* 2020: ''Sünder'' (Direção: Hard Media)

{{referências}}

==Ligações externas==
*[http://www.stahlmann-band.de].

{{Stahlmann}}

{{Portal3|Alemanha|Música}}
[[Categoria:Bandas de Neue Deutsche Härte]]
[[Categoria:Stahlmann| ]]

title: Informações gerais

Origem: Göttingen

País: Alemanha

Gênero(s): Neue Deutsche Härte

Período em atividade: 2008 - atualmente

Gravadora(s): Roughtone Records · AFM Records

Afiliação(ões): Sündenklang · Erdling · Schattenmann

title: Stahlmann

Integrantes: Martin Soer · Eugen "Gene" Getman (desde 2019) · Mario Sobotka (desde 2018) · Dimitrios "Tacki" Gatsios (2011-2013, 2018-atualmente)


text:
# Seleção das Ilhas Virgens Americanas de Futebol Feminino
A Seleção das Ilhas Virgens Americanas de Futebol Feminino representa as Ilhas Virgens Americanas no futebol feminino internacional.

wikitext:
{{Info/Futebol/seleção
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A '''Seleção das Ilhas Virgens Americanas de Futebol Feminino''' representa as [[Ilhas Virgens Americanas]] no futebol feminino internacional.

{{Referências}}

{{esboço-futebol}}

{{Seleções Femininas da CONCACAF}}

[[Categoria:Seleções nacionais de futebol feminino da América do Norte, Central e Caribe|Ilhas Virgens Americanas]]
[[Categoria:Futebol das Ilhas Virgens Americanas]]

Confederação: CONCACAF

Código: VIR

Ranking: Não ranqueada

Pior colocação: 144 (dezembro de 2007)


text:
# Luis Ubiña
Luis Ignacio Ubiña Olivera (7 de junho de 1940 – 17 de julho de 2013) foi um futebolista uruguaio que atuava como defensor.

## Carreira
Luis Ubiña fez parte do elenco da Seleção Uruguaia na Copa do Mundo de 1966 e 1970.

title: Luis Ubiña

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'''Luis Ignacio Ubiña Olivera''' ([[7 de junho]] de [[1940]] – [[17 de julho]] de [[2013]]) foi um [[futebolista]] [[uruguaio]] que atuava como defensor.

== Carreira ==
Luis Ubiña fez parte do elenco da [[Seleção Uruguaia de Futebol|Seleção Uruguaia]] na [[Copa do Mundo de 1966]] e [[Copa do Mundo FIFA de 1970|1970]]. <ref>{{citar web|URL=http://www.planetworldcup.com/CUPS/1966/squad_uru66.html|título=Elenco na Copa de 66 na fifa.com|autor=|data=|publicado=|acessodata=13 de fevereiro de 2016}}</ref>

{{Referências}}

== Ligações externas ==
*[https://www.national-football-teams.com/player/33673.html Perfil]  {{en}}

{{Capitães campeões da Copa Libertadores da América}}
{{Seleção Uruguaia de Futebol de 1966}}
{{Seleção Uruguaia de Futebol de 1970}}
{{Portal3|Futebol|Uruguai}}
{{DEFAULTSORT:Ubiña, Luis}}
[[Categoria:Futebolistas do Uruguai]]
[[Categoria:Jogadores da Copa do Mundo FIFA de 1966]]
[[Categoria:Jogadores da Copa do Mundo FIFA de 1970]]
[[Categoria:Jogadores da Seleção Uruguaia de Futebol]]

title: Informações pessoais

Nome completo: Luis Ignacio Ubiña Olivera

Data de nascimento: 7 de junho de 1940

Local de nascimento: Montevidéu , Uruguai

Data da morte: 17 de julho de 2013 (73 anos)

Local da morte: Montevidéu , Uruguai

title: Informações profissionais

Posição: Defensor

title: Clubes profissionais

Anos: Clubes · Jogos e gol(o)s

Rampla Juniors · Nacional

title: Seleção nacional


text:
# Francavilla al Mare
Francavilla al Mare é uma comuna italiana da região dos Abruzos, província de Chieti, com cerca de 23.733 habitantes. Estende-se por uma área de 22 km², tendo uma densidade populacional de 1079 hab/km². Faz fronteira com Chieti, Miglianico, Ortona, Pescara (PE), Ripa Teatina, San Giovanni Teatino, Torrevecchia Teatina.
Pertence à rede das Cidades Cittaslow.

## Demografia
| Variação demográfica do município entre 1861 e 2011                               |
|                                                                                |
| Fonte: Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) - Elaboração gráfica da Wikipedia |

title: Francavilla al Mare

wikitext:
{{Info/Comuna da Itália
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'''Francavilla al Mare''' é uma [[comuna italiana]] da [[Abruzos|região dos Abruzos]], [[província de Chieti]], com cerca de 23.733 habitantes. Estende-se por uma área de 22 km², tendo uma [[densidade populacional]] de 1079 hab/km². Faz fronteira com [[Chieti]], [[Miglianico]], [[Ortona]], [[Pescara]] (PE), [[Ripa Teatina]], [[San Giovanni Teatino]], [[Torrevecchia Teatina]].<ref>{{citar web|url=http://demo.istat.it/pop2011/index.html|título=Statistiche demografiche ISTAT|autor=|data=|publicado=Dato istat|acessodata=|língua=it}}</ref><ref>{{citar web|url=http://demo.istat.it/bil2010/index.html|título=Popolazione residente al 31 dicembre 2010|autor=|data=|publicado=Dato istat|acessodata=|língua=it}}</ref><ref name=¨ISTAT¨>{{citar web|url=http://dati.istat.it/Index.aspx|título=[[Istituto Nazionale di Statistica]]|autor=|data=|publicado=Statistiche I.Stat|acessodata=|língua=it}}</ref>

Pertence à rede das [[Cittaslow|Cidades Cittaslow]].

==Demografia==
{{Gráfico de evolução|1861|4379|1871|4719|1881|4777|1901|5683|1911|6165|1921|6980|1931|8232|1936|8741|1951|9974|1961|11168|1971|12501|1981|16919|1991|21675|2001|22883|2011|23816|
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{{referências}}

{{esboço-geoit}}

{{Comunas da província de Chieti}}
{{Portal3|Itália}}

[[Categoria:Comunas de Chieti (província)]]

title: Comuna

Comuna: Brasão de armas

title: Localização

Localização: · Francavilla al MareLocalização de Francavilla al Mare na Itália

País: Itália

Região: Abruzos

Província: Chieti

title: Características geográficas

title: Outros dados

Sítio: Francavilla al Mare


text:
# Iklehra
Iklehra é uma vila no distrito de Chhindwara, no estado indiano de Madhya Pradesh.

## Geografia
Iklehra está localizada a 23° 09′ N, 76° 23′ L. Tem uma altitude média de 457 metros (1 499 pés).

## Demografia
Segundo o censo de 2001, Iklehra tinha uma população de 9 206 habitantes. Os indivíduos do sexo masculino constituem 52% da população e os do sexo feminino 48%. Iklehra tem uma taxa de literacia de 67%, superior à média nacional de 59,5%: a literacia no sexo masculino é de 76% e no sexo feminino é de 58%. Em Iklehra, 12% da população está abaixo dos 6 anos de idade.

title: Iklehra

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'''Iklehra''' é uma vila no [[distrito de Chhindwara]], no estado [[Índia|indiano]] de [[Madhya Pradesh]].

== Geografia ==
Iklehra está localizada a {{coor d|23.15|N|76.38|E|}}.<ref>[http://www.fallingrain.com/world/IN/35/Iklehra.html Falling Rain Genomics, Inc - Iklehra]</ref> Tem uma altitude média de 457 [[metro]]s (1 499 [[Pé (unidade)|pés]]).

== Demografia ==
Segundo o censo de 2001, Iklehra tinha uma [[população]] de 9 206 habitantes. Os indivíduos do sexo masculino constituem 52% da população e os do sexo feminino 48%. Iklehra tem uma taxa de [[literacia]] de 67%, superior à média nacional de 59,5%: a literacia no sexo masculino é de 76% e no sexo feminino é de 58%. Em Iklehra, 12% da população está abaixo dos 6 anos de idade.

{{referências}}

{{esboço-geoin}}

{{Portal3|Índia}}

{{Controle de autoridade}}
[[Categoria:Localidades de Madia Pradexe]]

Estado · - Distrito(s): Madhya Pradesh · - Chhindwara

Área · - Elevação: km² · - 457 m


text:
# Cantautor
Cantautor é um neologismo proveniente da união das palavras cantor e autor. O termo é utilizado no português europeu para designar os artistas musicais que escrevem, compõem e cantam seu próprio material, incluindo letra e melodia. Eles geralmente fornecem o acompanhamento musical de todas suas composições, tipicamente com o uso de um violão ou piano. Vários músicos renomados também escrevem apenas a letra ou a melodia (como Elton John) de suas próprias canções, mas são chamados apenas de cantores.
Geralmente o termo cantautor indica artistas de caráter popular e é comum que as letras das canções dos cantautores tratem de temas sociais, políticos ou cotidianos.
No Brasil, o termo não é difundido e não pode ser encontrado no vocabulário do site da Academia Brasileira de Letras, sendo utilizado em seu lugar o termo "cantor-compositor".
A tradição dos cantautores é forte em países como Itália[carece de fontes?] (terra de Fabrizio De André, Lucio Dalla, Mango), França (Georges Brassens, Léo Ferré), Estados Unidos (Woody Guthrie, Pete Seeger, Bob Dylan e Bruce Springsteen), Canadá (Leonard Cohen, Joni Mitchell, Lara Fabian), Brasil (Marina Sena, Roberto Carlos, Erasmo Carlos, Caetano Veloso, Chico Buarque, Tom Jobim, Cartola e Nelson Ned), Portugal (José Afonso, José Mário Branco, Sérgio Godinho, Fausto Bordalo Dias, António Manuel Ribeiro, B Fachada), entre outros.

title: Cantautor

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[[Ficheiro:Joan Baez Bob Dylan crop.jpg|thumb|O [[Estados Unidos da América|estadunidense]] [[Bob Dylan]] é um dos cantautores mais famosos de todo mundo.]]

'''Cantautor''' é um [[neologismo]] proveniente da união das palavras ''[[cantor]]'' e ''[[autor]]''. O termo é utilizado no [[português europeu]]<ref>{{Citar web |ultimo=S.A |primeiro=Priberam Informática |url=https://dicionario.priberam.org/cantautor |titulo=cantautor |acessodata=2021-03-29 |website=Dicionário Priberam |lingua=pt-br}}</ref> para designar os artistas musicais que escrevem, compõem e cantam seu próprio material, incluindo [[letra (música)|letra]] e [[melodia]]. Eles geralmente fornecem o acompanhamento musical de todas suas composições, tipicamente com o uso de um [[violão]] ou [[piano]]. Vários músicos renomados também escrevem apenas a letra ou a melodia (como [[Elton John]]) de suas próprias [[Canção|canções]], mas são chamados apenas de cantores.

Geralmente o termo ''cantautor'' indica artistas de caráter popular e é comum que as letras das canções dos cantautores tratem de temas sociais, políticos ou cotidianos.

No [[Brasil]], o termo não é difundido e não pode ser encontrado no vocabulário do ''site'' da [[Academia Brasileira de Letras]],<ref>[http://www.academia.org.br/abl/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?sid=23 academia.org.br]</ref> sendo utilizado em seu lugar o termo "cantor-compositor".

A tradição dos cantautores é forte em países como [[Itália]]{{carece de fontes|data=abril de 2017}} (terra de [[Fabrizio De André]], [[Lucio Dalla]], [[Mango (cantor)|Mango]]), [[França]] ([[Georges Brassens]], [[Léo Ferré]]), [[Estados Unidos]] ([[Woody Guthrie]], [[Pete Seeger]], [[Bob Dylan]] e [[Bruce Springsteen]]), [[Canadá]] ([[Leonard Cohen]], [[Joni Mitchell]], [[Lara Fabian]]), [[Brasil]] ([[Marina Sena]], [[Roberto Carlos]], [[Erasmo Carlos]], [[Caetano Veloso]], [[Chico Buarque]], [[Tom Jobim]], [[Cartola (compositor)|Cartola]] e [[Nelson Ned]]), [[Portugal]] ([[José Afonso]], [[José Mário Branco]], [[Sérgio Godinho]], [[Fausto Bordalo Dias]], [[António Manuel Ribeiro]], [[B Fachada]]), entre outros.

{{referencias}}
{{Portal3|Música}}{{Controle de autoridade}}
[[Categoria:Neologismos]]
[[Categoria:Cantautores| ]]


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# Nueve de Julio (departamento de San Juan)
Nueve de Julio é um departamento da Argentina, localizado na província de San Juan.

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'''Nueve de Julio''' é um [[Departamentos da Argentina|departamento]] da [[Argentina]], localizado na [[Subdivisões da Argentina|província]] de [[San Juan (província)|San Juan]].<ref>{{Citar web |url=http://www.sanjuanalmundo.org/articulo.php?id=16268 |título=Los 19 Departamentos |publicado=San Juan al Mundo |data= |acessodata=3 de setembro de 2019}}</ref>

{{Referências}}

{{esboço-geoar}}

{{DEFAULTSORT:Nueve Julio (Departamento San Juan)}}
[[Categoria:Departamentos de San Juan (província da Argentina)]]