text:
# Kazuro Watanabe
| 3867 Shiretoko         | 16 aprile 1988    |
| 3915 Fukushima         | 15 agosto 1988    |
| 4042 Okhotsk           | 15 gennaio 1989   |
| 4126 Mashu             | 19 gennaio 1988   |
| 4263 Abashiri          | 7 settembre 1989  |
| 4459 Nusamaibashi      | 30 gennaio 1990   |
| 4460 Bihoro            | 28 febbraio 1990  |
| 4491 Otaru             | 7 settembre 1988  |
| 4497 Taguchi           | 4 gennaio 1989    |
| 4508 Takatsuki         | 27 marzo 1990     |
| 4547 Massachusetts     | 16 maggio 1990    |
| 4557 Mika              | 14 dicembre 1987  |
| 4584 Akan              | 16 marzo 1990     |
| 4585 Ainonai           | 16 maggio 1990    |
| 4607 Seilandfarm       | 25 novembre 1987  |
| 4613 Mamoru            | 22 luglio 1990    |
| 4641 Ayako             | 30 agosto 1990    |
| 4644 Oumu              | 16 settembre 1990 |
| 4645 Tentaikojo        | 16 settembre 1990 |
| 4676 Uedaseiji         | 16 settembre 1990 |
| 4677 Hiroshi           | 26 settembre 1990 |
| 4712 Iwaizumi          | 25 agosto 1989    |
| 4714 Toyohiro          | 29 settembre 1989 |
| 4718 Araki             | 13 novembre 1990  |
| 4743 Kikuchi           | 16 febbraio 1988  |
| 4746 Doi               | 9 ottobre 1989    |
| 4750 Mukai             | 15 dicembre 1990  |
| 4771 Hayashi           | 7 settembre 1989  |
| 4773 Hayakawa          | 17 novembre 1989  |
| 4795 Kihara            | 7 febbraio 1989   |
| 4839 Daisetsuzan       | 25 agosto 1989    |
| 4845 Tsubetsu          | 5 marzo 1991      |
| 4905 Hiromi            | 15 maggio 1991    |
| 4971 Hoshinohiroba     | 30 gennaio 1989   |
| 4973 Showa             | 18 marzo 1990     |
| 4975 Dohmoto           | 16 settembre 1990 |
| 4976 Choukyongchol     | 9 agosto 1991     |
| 5059 Saroma            | 11 gennaio 1988   |
| 5064 Tanchozuru        | 16 marzo 1990     |
| 5069 Tokeidai          | 16 agosto 1991    |
| 5117 Mokotoyama        | 8 aprile 1988     |
| 5121 Numazawa          | 15 gennaio 1989   |
| 5174 Okugi             | 16 aprile 1988    |
| 5180 Ohno              | 6 aprile 1989     |
| 5187 Domon             | 15 ottobre 1990   |
| 5192 Yabuki            | 4 febbraio 1991   |
| 5213 Takahashi         | 18 marzo 1990     |
| 5214 Oozora            | 13 novembre 1990  |
| 5215 Tsurui            | 9 gennaio 1991    |
| 5291 Yuuko             | 20 dicembre 1990  |
| 5293 Bentengahama      | 23 gennaio 1991   |
| 5294 Onnetoh           | 3 febbraio 1991   |
| 5331 Erimomisaki       | 27 gennaio 1990   |
| 5356 Neagari           | 21 marzo 1991     |
| 5357 Sekiguchi         | 2 marzo 1992      |
| 5372 Bikki             | 29 novembre 1987  |
| 5374 Hokutosei         | 4 gennaio 1989    |
| 5404 Uemura            | 15 marzo 1991     |
| 5474 Gingasen          | 3 dicembre 1988   |
| 5481 Kiuchi            | 15 febbraio 1990  |
| 5557 Chimikeppuko      | 7 febbraio 1989   |
| 5580 Sharidake         | 10 settembre 1988 |
| 5603 Rausudake         | 5 febbraio 1992   |
| 5631 Sekihokutouge     | 20 marzo 1993     |
| 5648 Axius             | 11 novembre 1990  |
| 5679 Akkado            | 2 novembre 1989   |
| 5686 Chiyonoura        | 20 dicembre 1990  |
| 5692 Shirao            | 23 marzo 1992     |
| 5734 Noguchi           | 15 gennaio 1989   |
| 5750 Kandatai          | 11 aprile 1991    |
| 5753 Yoshidatadahiko   | 4 marzo 1992      |
| 5847 Wakiya            | 18 dicembre 1989  |
| 5848 Harutoriko        | 30 gennaio 1990   |
| 5850 Masaharu          | 8 dicembre 1990   |
| 5868 Ohta              | 13 ottobre 1988   |
| 5875 Kuga              | 5 dicembre 1989   |
| 5970 Ohdohrikouen      | 13 maggio 1991    |
| 5975 Otakemayumi       | 21 settembre 1992 |
| 5978 Kaminokuni        | 16 novembre 1992  |
| 6020 Miyamoto          | 30 settembre 1991 |
| 6022 Jyuro             | 26 ottobre 1992   |
| 6023 Tsuyashima        | 26 ottobre 1992   |
| 6049 Toda              | 2 novembre 1991   |
| 6052 Junichi           | 9 febbraio 1992   |
| 6091 Mitsuru           | 28 febbraio 1990  |
| 6093 Makoto            | 30 agosto 1990    |
| 6097 Koishikawa        | 29 ottobre 1991   |
| 6098 Mutojunkyu        | 31 ottobre 1991   |
| 6104 Takao             | 16 aprile 1993    |
| 6140 Kubokawa          | 6 gennaio 1992    |
| 6144 Kondojiro         | 14 marzo 1994     |
| 6193 Manabe            | 18 agosto 1990    |
| 6195 Nukariya          | 13 novembre 1990  |
| 6200 Hachinohe         | 16 aprile 1993    |
| 6201 Ichiroshimizu     | 16 aprile 1993    |
| 6208 Wakata            | 3 dicembre 1988   |
| 6210 Hyunseop          | 14 gennaio 1991   |
| 6246 Komurotoru        | 13 novembre 1990  |
| 6247 Amanogawa         | 21 novembre 1990  |
| 6274 Taizaburo         | 23 marzo 1992     |
| 6323 Karoji            | 14 febbraio 1991  |
| 6330 Koen              | 23 marzo 1992     |
| 6337 Shiota            | 26 ottobre 1992   |
| 6338 Isaosato          | 26 ottobre 1992   |
| 6340 Kathmandu         | 15 ottobre 1993   |
| 6345 Hideo             | 5 gennaio 1994    |
| 6381 Toyama            | 21 febbraio 1988  |
| 6389 Ogawa             | 21 gennaio 1990   |
| 6390 Hirabayashi       | 26 gennaio 1990   |
| 6408 Saijo             | 28 ottobre 1992   |
| 6412 Kaifu             | 15 ottobre 1993   |
| 6413 Iye               | 15 ottobre 1993   |
| 6424 Ando              | 14 marzo 1994     |
| 6459 Hidesan           | 28 ottobre 1992   |
| 6463 Isoda             | 13 gennaio 1994   |
| 6496 Kazuko            | 19 ottobre 1992   |
| 6498 Ko                | 26 ottobre 1992   |
| 6500 Kodaira           | 15 marzo 1993     |
| 6526 Matogawa          | 1º ottobre 1992   |
| 6558 Norizuki          | 14 aprile 1991    |
| 6562 Takoyaki          | 9 novembre 1991   |
| 6565 Reiji             | 23 marzo 1992     |
| 6567 Shigemasa         | 16 novembre 1992  |
| 6570 Tomohiro          | 6 maggio 1994     |
| 6599 Tsuko             | 8 agosto 1988     |
| 6607 Matsushima        | 29 ottobre 1991   |
| 6637 Inoue             | 3 dicembre 1988   |
| 6644 Jugaku            | 5 gennaio 1991    |
| 6650 Morimoto          | 7 settembre 1991  |
| 6656 Yokota            | 23 marzo 1992     |
| 6658 Akiraabe          | 18 novembre 1992  |
| 6669 Obi               | 5 maggio 1994     |
| 6707 Shigeru           | 13 novembre 1988  |
| 6722 Bunichi           | 23 gennaio 1991   |
| 6737 Okabayashi        | 15 marzo 1993     |
| 6738 Tanabe            | 20 marzo 1993     |
| 6741 Liyuan            | 31 marzo 1994     |
| 6742 Biandepei         | 8 aprile 1994     |
| 6743 Liu               | 8 aprile 1994     |
| 6744 Komoda            | 6 maggio 1994     |
| 6745 Nishiyama         | 7 maggio 1994     |
| 6778 Tosamakoto        | 4 ottobre 1989    |
| 6832 Kawabata          | 23 marzo 1992     |
| 6867 Kuwano            | 28 marzo 1992     |
| 6869 Funada            | 2 maggio 1992     |
| 6873 Tasaka            | 21 aprile 1993    |
| 6878 Isamu             | 2 ottobre 1994    |
| 6905 Miyazaki          | 15 ottobre 1990   |
| 6908 Kunimoto          | 24 novembre 1990  |
| 6913 Yukawa            | 31 ottobre 1991   |
| 6919 Tomonaga          | 16 aprile 1993    |
| 6920 Esaki             | 14 maggio 1993    |
| 6924 Fukui             | 8 ottobre 1993    |
| 6927 Tonegawa          | 2 ottobre 1994    |
| 6931 Kenzaburo         | 4 novembre 1994   |
| 6964 Kunihiko          | 15 ottobre 1990   |
| 6978 Hironaka          | 12 settembre 1993 |
| 6979 Shigefumi         | 12 settembre 1993 |
| 6980 Kyusakamoto       | 16 settembre 1993 |
| 7035 Gomi              | 28 gennaio 1995   |
| 7122 Iwasaki           | 12 marzo 1989     |
| 7128 Misawa            | 30 settembre 1991 |
| 7133 Kasahara          | 15 ottobre 1993   |
| 7176 Kuniji            | 1º dicembre 1989  |
| 7186 Tomioka           | 26 dicembre 1991  |
| 7188 Yoshii            | 23 settembre 1992 |
| 7189 Kuniko            | 28 settembre 1992 |
| 7192 Cieletespace      | 12 settembre 1993 |
| 7193 Yamaoka           | 19 settembre 1993 |
| 7241 Kuroda            | 11 novembre 1990  |
| 7242 Okyudo            | 11 novembre 1990  |
| 7250 Kinoshita         | 23 settembre 1992 |
| 7251 Kuwabara          | 30 settembre 1992 |
| 7254 Kuratani          | 15 ottobre 1993   |
| 7293 Kazuyuki          | 23 marzo 1992     |
| 7305 Ossakajusto       | 8 febbraio 1994   |
| 7342 Uchinoura         | 23 marzo 1992     |
| 7365 Sejong            | 18 agosto 1996    |
| 7418 Akasegawa         | 11 marzo 1991     |
| 7430 Kogure            | 23 gennaio 1993   |
| 7435 Sagamihara        | 8 febbraio 1994   |
| 7436 Kuroiwa           | 8 febbraio 1994   |
| 7442 Inouehideo        | 20 settembre 1995 |
| 7475 Kaizuka           | 28 ottobre 1992   |
| 7483 Sekitakakazu      | 1º novembre 1994  |
| 7530 Mizusawa          | 15 aprile 1994    |
| 7572 Znokai            | 23 settembre 1989 |
| 7590 Aterui            | 26 ottobre 1992   |
| 7596 Yumi              | 10 aprile 1993    |
| 7664 Namahage          | 2 ottobre 1994    |
| 7674 Kasuga            | 15 novembre 1995  |
| 7766 Jododaira         | 23 gennaio 1991   |
| 7773 Kyokuchiken       | 23 marzo 1992     |
| 7826 Kinugasa          | 2 novembre 1991   |
| 7828 Noriyositosi      | 28 settembre 1992 |
| 7842 Ishitsuka         | 1º dicembre 1994  |
| 7890 Yasuofukui        | 2 ottobre 1994    |
| 7954 Kitao             | 19 settembre 1993 |
| 7965 Katsuhiko         | 17 gennaio 1996   |
| 8011 Saijokeiichi      | 29 novembre 1989  |
| 8036 Maehara           | 26 ottobre 1992   |
| 8040 Utsumikazuhiko    | 16 settembre 1993 |
| 8087 Kazutaka          | 29 novembre 1989  |
| 8097 Yamanishi         | 12 settembre 1993 |
| 8098 Miyamotoatsushi   | 19 settembre 1993 |
| 8156 Tsukada           | 13 ottobre 1988   |
| 8159 Fukuoka           | 24 gennaio 1990   |
| 8167 Ishii             | 14 febbraio 1991  |
| 8182 Akita             | 1º ottobre 1992   |
| 8194 Satake            | 16 settembre 1993 |
| 8202 Gooley            | 11 febbraio 1994  |
| 8204 Takabatake        | 8 aprile 1994     |
| 8231 Tetsujiyamada     | 6 ottobre 1997    |
| 8274 Soejima           | 15 ottobre 1990   |
| 8286 Kouji             | 8 marzo 1992      |
| 8294 Takayuki          | 26 ottobre 1992   |
| 8295 Toshifukushima    | 26 ottobre 1992   |
| 8296 Miyama            | 13 gennaio 1993   |
| 8314 Tsuji             | 25 ottobre 1997   |
| 8377 Elmerreese        | 23 settembre 1992 |
| 8393 Tetsumasakamoto   | 15 ottobre 1993   |
| 8406 Iwaokusano        | 20 aprile 1995    |
| 8417 Lancetaylor       | 7 novembre 1996   |
| 8493 Yachibozu         | 30 gennaio 1990   |
| 8500 Hori              | 10 ottobre 1990   |
| 8503 Masakatsu         | 21 novembre 1990  |
| 8526 Takeuchiyukou     | 23 settembre 1992 |
| 8527 Katayama          | 28 settembre 1992 |
| 8529 Sinzi             | 19 ottobre 1992   |
| 8531 Mineosaito        | 16 novembre 1992  |
| 8546 Kenmotsu          | 13 gennaio 1994   |
| 8548 Sumizihara        | 14 marzo 1994     |
| 8553 Bradsmith         | 20 aprile 1995    |
| 8560 Tsubaki           | 20 settembre 1995 |
| 8575 Seishitakeuchi    | 7 novembre 1996   |
| 8577 Choseikomori      | 7 novembre 1996   |
| 8660 Sano              | 15 ottobre 1990   |
| 8693 Matsuki           | 16 novembre 1992  |
| 8712 Suzuko            | 2 ottobre 1994    |
| 8713 Azusa             | 26 gennaio 1995   |
| 8728 Mimatsu           | 7 novembre 1996   |
| 8824 Genta             | 18 gennaio 1988   |
| 8874 Showashinzan      | 26 ottobre 1992   |
| 8882 Sakaetamura       | 10 gennaio 1994   |
| 8891 Irokawa           | 1º settembre 1994 |
| 8895 Nha               | 21 agosto 1995    |
| 9067 Katsuno           | 16 aprile 1993    |
| 9074 Yosukeyoshida     | 31 marzo 1994     |
| 9080 Takayanagi        | 2 ottobre 1994    |
| 9088 Maki              | 20 settembre 1995 |
| 9090 Chirotenmondai    | 28 ottobre 1995   |
| 9206 Yanaikeizo        | 1º settembre 1994 |
| 9208 Takanotoshi       | 2 ottobre 1994    |
| 9215 Taiyonoto         | 28 ottobre 1995   |
| 9229 Matsuda           | 20 febbraio 1996  |
| 9333 Hiraimasa         | 15 ottobre 1990   |
| 9362 Miyajima          | 23 marzo 1992     |
| 9375 Omodaka           | 16 aprile 1993    |
| 9382 Mihonoseki        | 11 ottobre 1993   |
| 9573 Matsumotomas      | 16 ottobre 1988   |
| 9599 Onotomoko         | 29 ottobre 1991   |
| 9602 Oya               | 31 ottobre 1991   |
| 9632 Sudo              | 15 ottobre 1993   |
| 9642 Takatahiro        | 1º settembre 1994 |
| 9842 Funakoshi         | 15 gennaio 1989   |
| 9845 Okamuraosamu      | 27 marzo 1990     |
| 9851 Sakamoto          | 24 ottobre 1990   |
| 9869 Yadoumaru         | 9 febbraio 1992   |
| 9871 Jeon              | 28 febbraio 1992  |
| 9967 Awanoyumi         | 31 marzo 1992     |
| 9971 Ishihara          | 16 aprile 1993    |
| 9975 Takimotokoso      | 12 settembre 1993 |
| 10092 Sasaki           | 15 novembre 1990  |
| 10117 Tanikawa         | 1º ottobre 1992   |
| 10138 Ohtanihiroshi    | 16 settembre 1993 |
| 10146 Mukaitadashi     | 8 febbraio 1994   |
| 10155 Numaguti         | 4 novembre 1994   |
| 10182 Junkobiwaki      | 20 marzo 1996     |
| 10301 Kataoka          | 30 marzo 1989     |
| 10304 Iwaki            | 30 settembre 1989 |
| 10319 Toshiharu        | 11 ottobre 1990   |
| 10322 Mayuminarita     | 11 novembre 1990  |
| 10326 Kuragano         | 21 novembre 1990  |
| 10351 Seiichisato      | 23 settembre 1992 |
| 10352 Kawamura         | 26 ottobre 1992   |
| 10355 Kojiroharada     | 15 marzo 1993     |
| 10366 Shozosato        | 24 novembre 1994  |
| 10546 Nakanomakoto     | 28 marzo 1992     |
| 10555 Tagaharue        | 16 aprile 1993    |
| 10559 Yukihisa         | 16 settembre 1993 |
| 10560 Michinari        | 8 ottobre 1993    |
| 10561 Shimizumasahiro  | 15 ottobre 1993   |
| 10569 Kinoshitamasao   | 8 aprile 1994     |
| 10570 Shibayasuo       | 8 aprile 1994     |
| 10608 Mameta           | 7 novembre 1996   |
| 10616 Inouetakeshi     | 25 ottobre 1997   |
| 10760 Ozeki            | 15 ottobre 1990   |
| 10767 Toyomasu         | 22 ottobre 1990   |
| 10802 Masamifuruya     | 28 ottobre 1992   |
| 10805 Iwano            | 18 novembre 1992  |
| 10821 Kimuratakeshi    | 16 settembre 1993 |
| 10822 Yasunori         | 16 settembre 1993 |
| 10823 Sakaguchi        | 16 settembre 1993 |
| 10827 Doikazunori      | 11 ottobre 1993   |
| 10882 Shinonaga        | 3 novembre 1996   |
| 10884 Tsuboimasaki     | 7 novembre 1996   |
| 10885 Horimasato       | 7 novembre 1996   |
| 11072 Hiraoka          | 3 aprile 1992     |
| 11074 Kuniwake         | 23 settembre 1992 |
| 11079 Mitsunori        | 13 gennaio 1993   |
| 11086 Nagatayuji       | 11 ottobre 1993   |
| 11087 Yamasakimakoto   | 15 ottobre 1993   |
| 11099 Sonodamasaki     | 20 aprile 1995    |
| 11280 Sakurai          | 9 ottobre 1989    |
| 11282 Hanakusa         | 30 ottobre 1989   |
| 11316 Fuchitatsuo      | 5 ottobre 1994    |
| 11323 Nasu             | 21 agosto 1995    |
| 11324 Hayamizu         | 30 agosto 1995    |
| 11492 Shimose          | 13 novembre 1988  |
| 11494 Hibiki           | 2 novembre 1988   |
| 11495 Fukunaga         | 3 dicembre 1988   |
| 11545 Hashimoto        | 26 ottobre 1992   |
| 11546 Miyoshimachi     | 28 ottobre 1992   |
| 11579 Tsujitsuka       | 6 maggio 1994     |
| 11593 Uchikawa         | 20 aprile 1995    |
| 11615 Naoya            | 13 gennaio 1996   |
| 11664 Kashiwagi        | 4 aprile 1997     |
| 11860 Uedasatoshi      | 16 ottobre 1988   |
| 11873 Kokuseibi        | 30 novembre 1989  |
| 11915 Nishiinoue       | 23 settembre 1992 |
| 11921 Mitamasahiro     | 26 ottobre 1992   |
| 11928 Akimotohiro      | 23 gennaio 1993   |
| 11929 Uchino           | 23 gennaio 1993   |
| 11933 Himuka           | 15 marzo 1993     |
| 11949 Kagayayutaka     | 19 settembre 1993 |
| 11959 Okunokeno        | 13 aprile 1994    |
| 11978 Makotomasako     | 20 settembre 1995 |
| 11987 Yonematsu        | 15 novembre 1995  |
| 12012 Kitahiroshima    | 7 novembre 1996   |
| 12013 Sibatahosimi     | 7 novembre 1996   |
| 12047 Hideomitani      | 3 aprile 1997     |
| 12127 Mamiya           | 9 settembre 1999  |
| 12262 Nishio           | 21 ottobre 1989   |
| 12278 Kisohinoki       | 21 novembre 1990  |
| 12326 Shirasaki        | 21 settembre 1992 |
| 12357 Toyako           | 16 settembre 1993 |
| 12362 Mumuryk          | 15 ottobre 1993   |
| 12383 Eboshi           | 2 ottobre 1994    |
| 12387 Tomokofujiwara   | 28 ottobre 1994   |
| 12388 Kikunokai        | 1º novembre 1994  |
| 12391 Ecoadachi        | 26 novembre 1994  |
| 12411 Tannokayo        | 20 settembre 1995 |
| 12412 Muchisachie      | 20 settembre 1995 |
| 12415 Wakatatakayo     | 22 settembre 1995 |
| 12435 Sudachi          | 17 gennaio 1996   |
| 12440 Koshigayaboshi   | 11 febbraio 1996  |
| 12734 Haruna           | 29 ottobre 1991   |
| 12746 Yumeginga        | 16 novembre 1992  |
| 12751 Kamihayashi      | 15 marzo 1993     |
| 12769 Kandakurenai     | 18 marzo 1994     |
| 12771 Kimshin          | 5 aprile 1994     |
| 12787 Abetadashi       | 20 settembre 1995 |
| 12810 Okumiomote       | 17 gennaio 1996   |
| 13039 Awashima         | 27 marzo 1990     |
| 13094 Shinshuueda      | 19 ottobre 1992   |
| 13140 Shinchukai       | 4 novembre 1994   |
| 13156 Mannoucyo        | 20 settembre 1995 |
| 13163 Koyamachuya      | 28 ottobre 1995   |
| 13198 Banpeiyu         | 27 febbraio 1997  |
| 13407 Ikukomakino      | 4 ottobre 1999    |
| 13540 Kazukitakahashi  | 29 ottobre 1991   |
| 13561 Kudogou          | 23 settembre 1992 |
| 13564 Kodomomiraikan   | 19 ottobre 1992   |
| 13565 Yotakanashi      | 28 ottobre 1992   |
| 13567 Urabe            | 16 novembre 1992  |
| 13576 Gotoyoshi        | 16 aprile 1993    |
| 13577 Ukawa            | 16 aprile 1993    |
| 13582 Tominari         | 15 ottobre 1993   |
| 13605 Nakamuraminoru   | 1º settembre 1994 |
| 13608 Andosatoru       | 2 ottobre 1994    |
| 13627 Yukitamayo       | 15 novembre 1995  |
| 13640 Ohtateruaki      | 12 aprile 1996    |
| 13942 Shiratakihime    | 2 novembre 1989   |
| 14004 Chikama          | 19 settembre 1993 |
| 14006 Sakamotofumio    | 18 settembre 1993 |
| 14010 Jomonaomori      | 16 ottobre 1993   |
| 14027 Ichimoto         | 2 ottobre 1994    |
| 14028 Nakamurahiroshi  | 5 ottobre 1994    |
| 14031 Rozyo            | 26 novembre 1994  |
| 14047 Kohichiro        | 18 novembre 1995  |
| 14105 Nakadai          | 6 ottobre 1997    |
| 14401 Reikoyukawa      | 15 dicembre 1990  |
| 14426 Katotsuyoshi     | 29 ottobre 1991   |
| 14436 Morishita        | 23 marzo 1992     |
| 14441 Atakanoseki      | 21 settembre 1992 |
| 14443 Sekinenomatsu    | 1º ottobre 1992   |
| 14445 Koichi           | 26 ottobre 1992   |
| 14447 Hosakakanai      | 2 novembre 1992   |
| 14449 Myogizinzya      | 16 novembre 1992  |
| 14469 Komatsuataka     | 12 settembre 1993 |
| 14487 Sakaisakae       | 2 ottobre 1994    |
| 14491 Hitachiomiya     | 4 novembre 1994   |
| 14492 Bistar           | 4 novembre 1994   |
| 14499 Satotoshio       | 15 novembre 1995  |
| 14555 Shinohara        | 1º novembre 1997  |
| 14850 Nagashimacho     | 29 agosto 1989    |
| 14853 Shimokawa        | 30 settembre 1989 |
| 14888 Kanazawashi      | 30 settembre 1991 |
| 14901 Hidatakayama     | 21 settembre 1992 |
| 14911 Fukamatsu        | 15 settembre 1993 |
| 14922 Ohyama           | 2 ottobre 1994    |
| 14925 Naoko            | 4 novembre 1994   |
| 14926 Hoshide          | 4 novembre 1994   |
| 14927 Satoshi          | 1º novembre 1994  |
| 14981 Uenoiwakura      | 6 ottobre 1997    |
| 14998 Ogosemachi       | 1º novembre 1997  |
| 15246 Kumeta           | 2 novembre 1989   |
| 15248 Hidekazu         | 29 novembre 1989  |
| 15250 Nishiyamahiro    | 28 febbraio 1990  |
| 15303 Hatoyamamachi    | 19 ottobre 1992   |
| 15316 Okagakimachi     | 20 aprile 1993    |
| 15330 de Almeida       | 8 ottobre 1993    |
| 15351 Yamaguchimamoru  | 4 novembre 1994   |
| 15716 Narahara         | 29 novembre 1989  |
| 15718 Imokawa          | 30 gennaio 1990   |
| 15729 Yumikoitahana    | 16 ottobre 1990   |
| 15736 Hamanasu         | 8 dicembre 1990   |
| 15740 Hyakumangoku     | 15 marzo 1991     |
| 15763 Nagakubo         | 26 ottobre 1992   |
| 15786 Hoshioka         | 15 settembre 1993 |
| 15791 Yoshiewatanabe   | 15 ottobre 1993   |
| 15805 Murakamitakehiko | 8 aprile 1994     |
| 15806 Kohei            | 15 aprile 1994    |
| 15821 Iijimatatsushi   | 2 ottobre 1994    |
| 15843 Comcom           | 20 settembre 1995 |
| 15856 Yanokoji         | 10 marzo 1996     |
| 15857 Touji            | 10 marzo 1996     |
| 15910 Shinkamigoto     | 6 ottobre 1997    |
| 15922 Masajisaito      | 1º novembre 1997  |
| 16439 Yamehoshinokawa  | 30 gennaio 1989   |
| 16449 Kigoyama         | 29 settembre 1989 |
| 16463 Nayoro           | 2 marzo 1990      |
| 16466 Piyashiriyama    | 29 marzo 1990     |
| 16507 Fuuren           | 24 ottobre 1990   |
| 16525 Shumarinaiko     | 14 febbraio 1991  |
| 16528 Terakado         | 2 aprile 1991     |
| 16552 Sawamura         | 16 settembre 1991 |
| 16555 Nagaomasami      | 31 ottobre 1991   |
| 16587 Nagamori         | 21 settembre 1992 |
| 16594 Sorachi          | 26 ottobre 1992   |
| 16624 Hoshizawa        | 16 aprile 1993    |
| 16625 Kunitsugu        | 20 aprile 1993    |
| 16644 Otemaedaigaku    | 16 settembre 1993 |
| 16649 Masayasu         | 15 ottobre 1993   |
| 16650 Sakushingakuin   | 11 ottobre 1993   |
| 16671 Tago             | 13 gennaio 1994   |
| 16675 Torii            | 8 febbraio 1994   |
| 16680 Minamitanemachi  | 14 marzo 1994     |
| 16713 Airashi          | 20 settembre 1995 |
| 16718 Morikawa         | 30 ottobre 1995   |
| 16719 Mizokami         | 28 ottobre 1995   |
| 17462 Takahisa         | 22 ottobre 1990   |
| 17470 Mitsuhashi       | 19 gennaio 1991   |
| 17501 Tetsuro          | 23 marzo 1992     |
| 17502 Manabeseiji      | 23 marzo 1992     |
| 17516 Kogayukihito     | 28 ottobre 1992   |
| 17520 Hisayukiyoshio   | 23 gennaio 1993   |
| 17544 Kojiroishikawa   | 15 settembre 1993 |
| 17546 Osadakentaro     | 19 settembre 1993 |
| 17567 Hoshinoyakata    | 5 aprile 1994     |
| 17603 Qoyllurwasi      | 20 settembre 1995 |
| 17615 Takeomasaru      | 30 ottobre 1995   |
| 17617 Takimotoikuo     | 28 ottobre 1995   |
| 18399 Tentoumushi      | 17 novembre 1992  |
| 18403 Atsuhirotaisei   | 13 gennaio 1993   |
| 18404 Kenichi          | 20 marzo 1993     |
| 18418 Ujibe            | 15 ottobre 1993   |
| 18453 Nishiyamayukio   | 2 ottobre 1994    |
| 18467 Nagatatsu        | 22 settembre 1995 |
| 18472 Hatada           | 12 novembre 1995  |
| 18473 Kikuchijun       | 15 novembre 1995  |
| 18524 Tagatoshihiro    | 6 novembre 1996   |
| 18903 Matsuura         | 10 luglio 2000    |
| 18996 Torasan          | 4 settembre 2000  |
| 19135 Takashionaka     | 3 dicembre 1988   |
| 19159 Taenakano        | 10 ottobre 1990   |
| 19160 Chikayoshitomi   | 15 ottobre 1990   |
| 19165 Nariyuki         | 4 febbraio 1991   |
| 19228 Uemuraikuo       | 16 settembre 1993 |
| 19230 Sugazi           | 11 ottobre 1993   |
| 19288 Egami            | 20 marzo 1996     |
| 19303 Chinacyo         | 5 ottobre 1996    |
| 19304 Yoshidaseiko     | 5 ottobre 1996    |
| 19307 Hanayama         | 14 ottobre 1996   |
| 19313 Shibatakazunari  | 6 novembre 1996   |
| 19314 Nakamuratetsu    | 7 novembre 1996   |
| 19315 Aizunisshinkan   | 7 novembre 1996   |
| 19983 Inagekiyokazu    | 18 febbraio 1990  |
| 20019 Yukiotanaka      | 2 novembre 1991   |
| 20038 Arasaki          | 26 ottobre 1992   |
| 20080 Maeharatorakichi | 7 marzo 1994      |
| 20096 Shiraishiakihiko | 2 ottobre 1994    |
| 20098 Shibatagenji     | 24 novembre 1994  |
| 20117 Tannoakira       | 15 novembre 1995  |
| 21015 Shigenari        | 16 ottobre 1988   |
| 21033 Akahirakiyozo    | 21 ottobre 1989   |
| 21035 Iwabu            | 1º gennaio 1990   |
| 21036 Nakamurayoshi    | 30 gennaio 1990   |
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Watanabe Kazuro (渡辺和郎?, Watanabe Kazuro; Hokkaidō, 1º maggio 1955) è un astronomo amatoriale giapponese.
È membro della Società astronomica del Giappone e autore, o coautore, di diverse pubblicazioni giapponesi.
Il Minor Planet Center gli accredita le scoperte di seicentosettantuno asteroidi, effettuate tra il 1987 e il 2000, di cui la maggior parte in cooperazione con altri astronomi: Kin Endate, Tetsuya Fujii, Masanori Matsuyama, Atsushi Takahashi e Masayuki Yanai.
Gli è stato dedicato l'asteroide 4155 Watanabe.

title: Kazuro Watanabe

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| [[15718 Imokawa]]<ref name=mM/> || 30 gennaio 1990
|-
| [[15729 Yumikoitahana]]<ref name=aT/> || 16 ottobre 1990
|-
| [[15736 Hamanasu]]<ref name=kE/> || 8 dicembre 1990
|-
| [[15740 Hyakumangoku]]<ref name=kE/> || 15 marzo 1991
|-
| [[15763 Nagakubo]]<ref name=kE/> || 26 ottobre 1992
|-
| [[15786 Hoshioka]]<ref name=kE/> || 15 settembre 1993
|-
| [[15791 Yoshiewatanabe]]<ref name=kE/> || 15 ottobre 1993
|-
| [[15805 Murakamitakehiko]]<ref name=kE/> || 8 aprile 1994
|-
| [[15806 Kohei]]<ref name=kE/> || 15 aprile 1994
|-
| [[15821 Iijimatatsushi]]<ref name=kE/> || 2 ottobre 1994
|-
| [[15843 Comcom]]<ref name=kE/> || 20 settembre 1995
|-
| [[15856 Yanokoji]]<ref name=kE/> || 10 marzo 1996
|-
| [[15857 Touji]]<ref name=kE/> || 10 marzo 1996
|-
| [[15910 Shinkamigoto]]<ref name=kE/> || 6 ottobre 1997
|-
| [[15922 Masajisaito]]<ref name=kE/> || 1º novembre 1997
|-
| [[16439 Yamehoshinokawa]]<ref name=tF/> || 30 gennaio 1989
|-
| [[16449 Kigoyama]]<ref name=tF/> || 29 settembre 1989
|-
| [[16463 Nayoro]]<ref name=kE/> || 2 marzo 1990
|-
| [[16466 Piyashiriyama]]<ref name=kE/> || 29 marzo 1990
|-
| [[16507 Fuuren]]<ref name=kE/> || 24 ottobre 1990
|-
| [[16525 Shumarinaiko]]<ref name=kE/> || 14 febbraio 1991
|-
| [[16528 Terakado]]<ref name=kE/> || 2 aprile 1991
|-
| [[16552 Sawamura]]<ref name=kE/> || 16 settembre 1991
|-
| [[16555 Nagaomasami]]<ref name=kE/> || 31 ottobre 1991
|-
| [[16587 Nagamori]]<ref name=kE/> || 21 settembre 1992
|-
| [[16594 Sorachi]]<ref name=kE/> || 26 ottobre 1992
|-
| [[16624 Hoshizawa]]<ref name=kE/> || 16 aprile 1993
|-
| [[16625 Kunitsugu]]<ref name=kE/> || 20 aprile 1993
|-
| [[16644 Otemaedaigaku]]<ref name=kE/> || 16 settembre 1993
|-
| [[16649 Masayasu]]<ref name=kE/> || 15 ottobre 1993
|-
| [[16650 Sakushingakuin]]<ref name=kE/> || 11 ottobre 1993
|-
| [[16671 Tago]]<ref name=kE/> || 13 gennaio 1994
|-
| [[16675 Torii]]<ref name=kE/> || 8 febbraio 1994
|-
| [[16680 Minamitanemachi]]<ref name=kE/> || 14 marzo 1994
|-
| [[16713 Airashi]]<ref name=kE/> || 20 settembre 1995
|-
| [[16718 Morikawa]]<ref name=kE/> || 30 ottobre 1995
|-
| [[16719 Mizokami]]<ref name=kE/> || 28 ottobre 1995
|-
| [[17462 Takahisa]]<ref name=kE/> || 22 ottobre 1990
|-
| [[17470 Mitsuhashi]]<ref name=kE/> || 19 gennaio 1991
|-
| [[17501 Tetsuro]]<ref name=kE/> || 23 marzo 1992
|-
| [[17502 Manabeseiji]]<ref name=kE/> || 23 marzo 1992
|-
| [[17516 Kogayukihito]]<ref name=mY/> || 28 ottobre 1992
|-
| [[17520 Hisayukiyoshio]]<ref name=kE/> || 23 gennaio 1993
|-
| [[17544 Kojiroishikawa]]<ref name=kE/> || 15 settembre 1993
|-
| [[17546 Osadakentaro]]<ref name=kE/> || 19 settembre 1993
|-
| [[17567 Hoshinoyakata]]<ref name=kE/> || 5 aprile 1994
|-
| [[17603 Qoyllurwasi]]<ref name=kE/> || 20 settembre 1995
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| [[17615 Takeomasaru]]<ref name=kE/> || 30 ottobre 1995
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| [[17617 Takimotoikuo]]<ref name=kE/> || 28 ottobre 1995
|-
| [[18399 Tentoumushi]]<ref name=kE/> || 17 novembre 1992
|-
| [[18403 Atsuhirotaisei]]<ref name=kE/> || 13 gennaio 1993
|-
| [[18404 Kenichi]]<ref name=kE/> || 20 marzo 1993
|-
| [[18418 Ujibe]]<ref name=kE/> || 15 ottobre 1993
|-
| [[18453 Nishiyamayukio]]<ref name=kE/> || 2 ottobre 1994
|-
| [[18467 Nagatatsu]]<ref name=kE/> || 22 settembre 1995
|-
| [[18472 Hatada]]<ref name=kE/> || 12 novembre 1995
|-
| [[18473 Kikuchijun]]<ref name=kE/> || 15 novembre 1995
|-
| [[18524 Tagatoshihiro]]<ref name=kE/> || 6 novembre 1996
|-
| [[18903 Matsuura]] || 10 luglio 2000
|-
| [[18996 Torasan]] || 4 settembre 2000
|-
| [[19135 Takashionaka]]<ref name=kE/> || 3 dicembre 1988
|-
| [[19159 Taenakano]]<ref name=kE/> || 10 ottobre 1990
|-
| [[19160 Chikayoshitomi]]<ref name=kE/> || 15 ottobre 1990
|-
| [[19165 Nariyuki]]<ref name=kE/> || 4 febbraio 1991
|-
| [[19228 Uemuraikuo]]<ref name=kE/> || 16 settembre 1993
|-
| [[19230 Sugazi]]<ref name=kE/> || 11 ottobre 1993
|-
| [[19288 Egami]]<ref name=kE/> || 20 marzo 1996
|-
| [[19303 Chinacyo]]<ref name=kE/> || 5 ottobre 1996
|-
| [[19304 Yoshidaseiko]]<ref name=kE/> || 5 ottobre 1996
|-
| [[19307 Hanayama]]<ref name=kE/> || 14 ottobre 1996
|-
| [[19313 Shibatakazunari]]<ref name=kE/> || 6 novembre 1996
|-
| [[19314 Nakamuratetsu]]<ref name=kE/> || 7 novembre 1996
|-
| [[19315 Aizunisshinkan]]<ref name=kE/> ||7 novembre 1996
|-
| [[19983 Inagekiyokazu]]<ref name=mM/> || 18 febbraio 1990
|-
| [[20019 Yukiotanaka]]<ref name=aT/> || 2 novembre 1991
|-
| [[20038 Arasaki]]<ref name=kE/> || 26 ottobre 1992
|-
| [[20080 Maeharatorakichi]]<ref name=kE/> || 7 marzo 1994
|-
| [[20096 Shiraishiakihiko]]<ref name=kE/> || 2 ottobre 1994
|-
| [[20098 Shibatagenji]]<ref name=kE/> || 24 novembre 1994
|-
| [[20117 Tannoakira]]<ref name=kE/> || 15 novembre 1995
|-
| [[21015 Shigenari]]<ref name=tF/> || 16 ottobre 1988
|-
| [[21033 Akahirakiyozo]]<ref name=kE/> || 21 ottobre 1989
|-
| [[21035 Iwabu]]<ref name=kE/> || 1º gennaio 1990
|-
| [[21036 Nakamurayoshi]]<ref name=mM/> || 30 gennaio 1990
|-
| [[21117 Tashimaseizo]]<ref name=kE/> || 30 settembre 1992
|-
| [[21120 Naritaatsushi]]<ref name="kE"/> || 16 novembre 1992
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| [[22346 Katsumatatakashi]]<ref name=mY/> || 28 settembre 1992
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|-
| [[22351 Yamashitatoshiki]]<ref name=kE/> || 19 ottobre 1992
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| [[22352 Fujiwarakenjiro]]<ref name=kE/> || 26 ottobre 1992
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| [[22355 Yahabananshozan]]<ref name=kE/> || 16 novembre 1992
|-
| [[22394 Kondouakira]]<ref name=kE/> || 2 ottobre 1994
|-
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|-
| [[22397 Minobe]]<ref name=kE/> || 4 novembre 1994
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| [[22409 Nagatohideaki]]<ref name=kE/> || 20 settembre 1995
|-
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| [[22453 Shibusawaeiichi]]<ref name=kE/> || 7 novembre 1996
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|-
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| [[26213 Ayani]]<ref name=kE/> || 25 ottobre 1997
|-
| [[26828 Narusawa]]<ref name=kE/> || 29 novembre 1989
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| [[26852 Miyamototakashi]]<ref name=kE/> || 19 ottobre 1992
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| [[26855 Yasukohasegawa]]<ref name=kE/> || 17 novembre 1992
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| [[26886 Takahara]]<ref name=kE/> || 2 ottobre 1994
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| [[27749 Tsukadaken]]<ref name=kE/> || 23 gennaio 1991
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| [[27816 Naitohiroyuki]]<ref name=kE/> || 15 ottobre 1993
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| [[27920 Noguchiujo]]<ref name=kE/> || 7 novembre 1996
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| [[29159 Asakawa]]<ref name=tF/>  || 2 aprile 1989
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| [[46610 Bésixdouze]]<ref name=kE/> || 15 ottobre 1993
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{{Bio
|Nome = Watanabe
|Cognome = Kazuro
|PreData = {{Nihongo2|渡辺和郎|''[[Watanabe]] Kazuro''}}
|Sesso = M
|LuogoNascita = Hokkaidō
|GiornoMeseNascita = 1º maggio
|AnnoNascita = 1955
|LuogoMorte =
|GiornoMeseMorte =
|AnnoMorte =
|Epoca = 1900
|Epoca2 = 2000
|Attività = astronomo
|AttivitàAltre = amatoriale
|Nazionalità = giapponese
}}

È membro della [[Società astronomica del Giappone]] e autore, o coautore, di diverse pubblicazioni giapponesi.

Il [[Minor Planet Center]] gli accredita le scoperte di seicentosettantuno asteroidi, effettuate tra il 1987 e il 2000, di cui la maggior parte in cooperazione con altri astronomi: [[Kin Endate]], [[Tetsuya Fujii]], [[Masanori Matsuyama]], [[Atsushi Takahashi]] e [[Masayuki Yanai]].

Gli è stato dedicato l'asteroide [[4155 Watanabe]].<ref>{{en}} [http://www.minorplanetcenter.net/iau/ECS/MPCArchive/1990/MPC_19900708.pdf M.P.C. 16593 dell'8 luglio 1990]</ref>

==Note==
<references />

{{Controllo di autorità}}
{{Portale|astronomia|biografie}}

[[Categoria:Scopritori di asteroidi]]


text:
# Baikiaea
Baikiaea Benth., 1865 è un genere di piante della famiglia delle Fabacee (sottofamiglia Detarioideae), originario dell'Africa subsahariana.

## Tassonomia
Il genere comprende le seguenti specie:
- Baikiaea ghesquiereana J.Léonard
- Baikiaea insignis Benth. - specie tipo
- Baikiaea plurijuga Harms
- Baikiaea robynsii Ghesq. ex Laing
- Baikiaea suzannae Ghesq.
- Baikiaea zenkeri Harms

wikiname: itwiki

title: Baikiaea

in_language: it

wikitext:
{{Tassobox
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[[#Tassonomia|vedi testo]]

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'''''Baikiaea''''' [[George Bentham|Benth.]], 1865 è un [[Genere (tassonomia)|genere]] di piante della [[famiglia (tassonomia)|famiglia]] delle [[Fabaceae|Fabacee]] ([[sottofamiglia]] [[Detarioideae]]<ref name=LPWG2017>{{cita pubblicazione |lingua=en |autore=The Legume Phylogeny Working Group (LPWG) |titolo=A new subfamily classification of the Leguminosae based on a taxonomically comprehensive phylogeny |rivista=Taxon |anno=2017 |volume=66 (1)|pp= 44-77 |url=https://doi.org/10.12705/661.3 }}</ref>), originario dell'[[Africa subsahariana]].<ref name=POWO>{{cita web |lingua=en |titolo=Baikiaea |sito=Plants of the World Online |editore=Royal Botanic Gardens, Kew |url=https://powo.science.kew.org/taxon/urn:lsid:ipni.org:names:21767-1 |accesso=13 aprile 2023}}</ref><ref name=JBG>{{cita web |lingua=en|url=https://africanplantdatabase.ch/en/nomen/188502|titolo=Baikiaea |sito=African Plant Database |accesso=13 aprile 2023}}</ref>

== Tassonomia ==
Il genere comprende le seguenti [[specie]]<ref name=POWO/>:

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* ''[[Baikiaea suzannae]]'' Ghesq.
* ''[[Baikiaea zenkeri]]'' Harms

== Note ==
<references />

== Bibliografia ==
* Bailey, L.H. & E.Z. Bailey. 1976. Hortus Third i–xiv, 1–1290. MacMillan, New York.

== Voci correlate ==
* [[Boschi di Baikiaea dello Zambesi]]
* [[Boschi di Acacia-Baikiaea del Kalahari]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}
{{Portale|botanica}}

[[Categoria:Detarioideae]]

title: Classificazione APG IV

Dominio: Eukaryota

Regno: Plantae

(clade):
Angiosperme
Mesangiosperme
Eudicotiledoni
Eudicotiledoni centrali
Superrosidi
Rosidi
Eurosidi
Fabidi

Ordine: Fabales

Famiglia: Fabaceae

Sottofamiglia: Detarioideae

Tribù: Detarieae s.s.

Genere: Baikiaea · Benth., 1865

title: Classificazione Cronquist

Divisione: Magnoliophyta

Classe: Magnoliopsida

Sottofamiglia: Caesalpinioideae

Tribù: Detarieae s.l.

Genere: Baikiaea

title: Specie

Specie: vedi testo


text:
# Tramont-Lassus
Tramont-Lassus è un comune francese di 82 abitanti situato nel dipartimento della Meurthe e Mosella nella regione del Grand Est.

## Società

### Evoluzione demografica
Abitanti censiti

title: Tramont-Lassus

wikitext:
{{Divisione amministrativa
|Nome = Tramont-Lassus
|Nome ufficiale =
|Panorama =
|Didascalia =
|Bandiera =
|Stemma =
|Voce stemma =
|Stato = FRA
|Grado amministrativo = 5
|Divisione amm grado 1 = Grand Est
|Divisione amm grado 2 = Meurthe e Mosella
|Divisione amm grado 3 = Toul
|Divisione amm grado 4 = Meine au Saintois
|Amministratore locale =
|Partito =
|Data elezione =
|Data istituzione =
|Latitudine decimale = 48.4
|Longitudine decimale = 5.966667
|Altitudine =
|Superficie = 5.8
|Abitanti = 82
|Note abitanti = [http://www.insee.fr/fr/ppp/bases-de-donnees/recensement/populations-legales/commune.asp?annee=2009&depcom=54530 INSEE popolazione legale totale 2009]
|Aggiornamento abitanti = 2009
|Divisioni confinanti =
|Prefisso =
|Codice catastale =
|Targa =
|Nome abitanti =
|Patrono =
|Festivo =
|Mappa =
|Didascalia mappa =
|Sito =
}}

'''Tramont-Lassus''' è un [[comuni della Francia|comune francese]] di 82 abitanti situato nel dipartimento della [[Meurthe e Mosella]] nella regione del [[Grand Est]].

==Società==
===Evoluzione demografica===
{{Demografia/Tramont-Lassus}}

== Note ==
<references/>

== Altri progetti ==
{{interprogetto}}

{{Dipartimento Meurthe-et-Moselle}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|Francia}}

[[Categoria:Comuni della Meurthe e Mosella|Tramont-Lassus]]

title: Localizzazione

Stato: Francia

Regione: Grand Est

Dipartimento: Meurthe e Mosella

Arrondissement: Toul

Cantone: Meine au Saintois

title: Territorio

Superficie: 5,8 km²

title: Altre informazioni

title: Cartografia

Cartografia: Tramont-Lassus


text:
# Teorema di LaSalle
In matematica ed ingegneria, il teorema di LaSalle, anche detto principio di invarianza di LaSalle, teorema dell'insieme invariante o teorema di Krasovskii-LaSalle, è un criterio per la stabilità asintotica di un sistema dinamico che estende il criterio di Ljapunov. Consente di provare la stabilità asintotica di un punto di equilibrio in casi in cui il criterio di Ljapunov garantisce soltanto la stabilità semplice, e consiste nel trovare una funzione che definisce una regione dello spazio delle fasi contenente gli insiemi limite delle traiettorie percorse dal sistema.

## Enunciato
Dato il sistema autonomo definito dalla funzione {\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},f_{2},\dots ,f_{n})\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}:
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {f} \left(\mathbf {x} (t)\right),\qquad \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n},}
e parametrizzato dal tempo {\displaystyle t}, si ponga che l'origine sia un punto di equilibrio:
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {0} )=\mathbf {0} .}
Sia {\displaystyle \Omega \subset D\subset \mathbb {R} ^{n}}, con {\displaystyle D} un intorno dell'origine {\displaystyle \mathbf {0} }, un insieme compatto invariante, cioè tale che se una soluzione {\displaystyle \mathbf {x} (t)} è in {\displaystyle \Omega } per {\displaystyle t=0}, ossia {\displaystyle \mathbf {x} (0)\in \Omega }, allora la soluzione rimane in {\displaystyle \Omega } per ogni tempo {\displaystyle t}:
{\displaystyle \mathbf {x} (t)\in \Omega ,\qquad \forall t\in \mathbb {R} .}
Sia inoltre {\displaystyle V(\mathbf {x} (t)):D\to \mathbb {R} } una funzione differenziabile con continuità tale che la derivata orbitale soddisfa:
{\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} (t))\leq 0,\qquad \forall \mathbf {x} \in \Omega ,}
dove la derivata orbitale di {\displaystyle V(\mathbf {x} (t))} in {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots x_{n})} è:
{\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )=\nabla V(\mathbf {x} )\cdot {\dot {\mathbf {x} }}=\nabla V(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {f} (\mathbf {x} )={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}V(\mathbf {x} )f_{1}(\mathbf {x} )+\dots +{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}V(\mathbf {x} )f_{n}(\mathbf {x} ),}
con {\displaystyle \nabla } il gradiente.
Detto {\displaystyle E\subset \Omega } l'insieme dei punti di {\displaystyle \Omega } tali per cui {\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} (t))=0}, sia {\displaystyle M\subset E} il più grande insieme invariante contenuto in {\displaystyle E}. Allora ogni soluzione che parte da {\displaystyle \Omega } si avvicina a {\displaystyle M} per {\displaystyle t\to \infty }, cioè:
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }\left(\inf _{\mathbf {z} \in M}\|\mathbf {x} (t)-\mathbf {z} \|\right)=0.}
Si nota che {\displaystyle M\subset E\subset \Omega \subset D\subset \mathbb {R} ^{n}}.

## Corollario di Krasowskii
Supponendo {\displaystyle \mathbf {f} } una funzione continua e {\displaystyle V(\mathbf {x} )} una funzione scalare con derivate parziali prime continue, se in un intorno {\displaystyle \Omega } dell'origine si ha che:
- {\displaystyle V(\mathbf {x} (t))>0} (è localmente definita positiva in {\displaystyle \Omega }).
- {\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} (t))\leq 0} (è semi-definita negativa in {\displaystyle \Omega }).
- L'insieme definito da {\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} (t))=0} non contiene traiettorie del sistema ad eccezione della soluzione {\displaystyle \mathbf {x} (t)\equiv \mathbf {0} .}

Allora il punto di equilibrio {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} } è asintoticamente stabile. Inoltre la più ampia regione connessa {\displaystyle \Omega _{l}} definita da {\displaystyle V(\mathbf {x} (t))<l} contenuta in {\displaystyle \Omega } è il dominio di attrazione del punto di equilibrio.

title: Teorema di LaSalle

wikitext:
In [[matematica]] ed [[ingegneria]], il '''teorema di LaSalle''', anche detto '''principio di invarianza di LaSalle''', '''teorema dell'insieme invariante''' o '''teorema di Krasovskii-LaSalle''', è un criterio per la [[Stabilità interna|stabilità asintotica]] di un [[sistema dinamico]] che estende il [[Funzione di Ljapunov|criterio di Ljapunov]]. Consente di provare la stabilità asintotica di un [[punto di equilibrio]] in casi in cui il criterio di Ljapunov garantisce soltanto la stabilità semplice, e consiste nel trovare una funzione che definisce una regione dello [[spazio delle fasi]] contenente gli [[insieme limite|insiemi limite]] delle traiettorie percorse dal sistema.

== Enunciato ==
Dato il [[Sistema autonomo (matematica)|sistema autonomo]] definito dalla funzione <math>\mathbf f =(f_1,f_2,\dots,f_n) \colon \R^n \to \R^n</math>:

:<math>\dot \mathbf{x}(t) = \mathbf f \left(\mathbf x (t)\right), \qquad \mathbf{x} \in \R^n,</math>

e parametrizzato dal tempo <math>t</math>, si ponga che l'origine sia un [[punto di equilibrio]]:

:<math>\mathbf f (\mathbf 0) = \mathbf 0.</math>

Sia <math>\Omega \subset D \subset \R^n</math>, con <math>D</math> un [[intorno]] dell'origine <math>\mathbf 0</math>, un [[spazio compatto|insieme compatto]] [[Varietà invariante|invariante]], cioè tale che se una soluzione <math>\mathbf{x}(t)</math> è in <math>\Omega</math> per <math>t=0</math>, ossia <math>\mathbf{x}(0) \in \Omega</math>, allora la soluzione rimane in <math>\Omega</math> per ogni tempo <math>t</math>:

:<math>\mathbf{x}(t) \in \Omega, \qquad \forall t \in \R.</math>

Sia inoltre <math>V(\mathbf x(t)) : D \to \R</math> una [[funzione differenziabile]] [[funzione liscia|con continuità]] tale che la derivata orbitale soddisfa:

:<math>\dot V(\mathbf{x}(t)) \le 0,\qquad \forall \mathbf x \in \Omega,</math>

dove la derivata orbitale di <math>V(\mathbf{x}(t)) </math> in <math>\mathbf x =(x_1,x_2,\dots x_n )</math> è:<ref>[http://www.math.colostate.edu/~shipman/47/volume2b2010/EHanson.pdf Eric Hanson - On using numerical algebraic geometry to find Lyapunov functions of polynomial dynamical systems]</ref>

:<math> \dot V(\mathbf{x}) = \nabla V(\mathbf{x}) \cdot \dot{\mathbf{x}} = \nabla V(\mathbf{x}) \cdot \mathbf  f (\mathbf x) = \frac{\partial}{\partial x_1}V(\mathbf{x}) f_1(\mathbf{x}) + \dots + \frac{\partial}{\partial x_n}V(\mathbf{x}) f_n(\mathbf{x}),</math>

con <math>\nabla </math> il [[gradiente]].

Detto <math>E \subset \Omega</math> l'insieme dei punti di <math>\Omega</math> tali per cui <math> \dot V(\mathbf{x}(t)) =0</math>, sia <math>M \subset E</math> il più grande insieme invariante contenuto in <math>E</math>. Allora ogni soluzione che parte da <math>\Omega</math> si avvicina a <math>M</math> per <math>t \to \infty</math>, cioè:<ref>[http://www.cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/237/Lecture2_notes_CDS270.pdf California Institute of Technology - Lecture 2: 4. LaSalle's Invariance Principle]</ref>

:<math>\lim_{t \to \infty} \left( \inf_{\mathbf z \in M}  \| \mathbf{x}(t) - \mathbf z \| \right) =0.</math>

Si nota che <math>M \subset E \subset \Omega \subset D \subset \R^n</math>.

==Corollario di Krasowskii==
Supponendo <math>\mathbf f</math> una [[funzione continua]] e <math>V(\mathbf  x)</math> una funzione scalare con derivate parziali prime continue, se in un intorno <math>\Omega</math> dell'origine si ha che:
* <math>V(\mathbf{x}(t)) > 0</math> (è localmente definita positiva in <math>\Omega</math>).
* <math> \dot V(\mathbf{x}(t)) \le 0</math> (è semi-definita negativa in <math>\Omega</math>).
* L'insieme definito da <math>\dot V(\mathbf{x}(t)) =0</math> non contiene traiettorie del sistema ad eccezione della soluzione <math>\mathbf{x}(t) \equiv \mathbf{0}.</math>
Allora il [[punto di equilibrio]] <math>\mathbf x = \mathbf 0</math> è [[stabilità interna|asintoticamente stabile]]. Inoltre la più ampia regione connessa <math>\Omega_l</math> definita da <math>V(\mathbf{x}(t)) < l</math> contenuta in <math>\Omega</math> è il [[insieme limite|dominio di attrazione]] del punto di equilibrio.<ref>{{Cita web |url=http://www-3.unipv.it/electric/azionamenti/Puerari/Cap_3.pdf |titolo=Università degli Studi di Pavia - Fondamenti di analisi della stabilità di sistemi non lineari |accesso=9 agosto 2015 |dataarchivio=25 marzo 2016 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20160325064312/http://www-3.unipv.it/electric/azionamenti/Puerari/Cap_3.pdf |urlmorto=sì }}</ref>

==Note==
<references/>

==Bibliografia==
* {{Cita libro|cognome= Teschl|nome= G.|titolo= Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems|editore=American Mathematical Society|città= Providence, Rhode Island |anno= 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0|url= http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/|lingua= en}}
* {{Cita libro|cognome= Wiggins|nome= S.|titolo= Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos|url= https://archive.org/details/springer_10.1007-b97481|edizione=2|editore=Springer Verlag|città= New York|anno= 2003| isbn= 0-387-00177-8|lingua= en}}
* {{en}} Krasovskii, N. N. ''Problems of the Theory of Stability of Motion,'' (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.
* {{en}} LaSalle, J.P. ''Some extensions of Liapunov's second method,'' IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960.
* {{Cita pubblicazione|cognome=Barbashin |nome=E. A. |anno=1952 | titolo=Об устойчивости движения в целом |titolotradotto=On the stability of motion as a whole |rivista=Doklady Akademii Nauk SSSR |volume=86 |pp=453-456|lingua=ru }}

==Voci correlate==
* [[Funzione di Ljapunov]]
* [[Insieme limite]]
* [[Orbita (matematica)]]
* [[Sistema dinamico]]
* [[Stabilità interna]]
* [[Varietà invariante]]

{{portale|ingegneria|matematica}}

[[Categoria:Teoria della stabilità]]
[[Categoria:Teoremi di matematica|LaSalle]]
[[Categoria:Equazioni differenziali ordinarie]]