text:
# Samsung Securities Cup 2012
La Samsung Securities Cup 2012 è stato un torneo professionistico di tennis giocato sul cemento. È stata la 13ª edizione del torneo che faceva parte dell'ATP Challenger Tour nell'ambito dell'ATP Challenger Tour 2012 e dell'ITF Women's Circuit nell'ambito dell'ITF Women's Circuit 2012. Il torneo maschile e quello femminile si sono giocati a Seul in Corea del Sud dal 22 al 28 ottobre 2012.

## Partecipanti ATP

### Teste di serie
| Nazionalità   | Giocatore         | Ranking* | Testa di serie |
| ------------- | ----------------- | -------- | -------------- |
| Taipei cinese | Lu Yen-hsun       | 58       | 1              |
| Giappone      | Tatsuma Itō       | 63       | 2              |
| Russia        | Dmitrij Tursunov  | 105      | 3              |
| Tunisia       | Malek Jaziri      | 112      | 4              |
| Francia       | Kenny de Schepper | 123      | 5              |
| Giappone      | Yūichi Sugita     | 141      | 6              |
| Taipei cinese | Wang Yeu-tzuoo    | 146      | 7              |
| Bielorussia   | Uladzimir Ihnacik | 149      | 8              |

- Ranking al 15 ottobre 2012.

### Altri partecipanti
Giocatori che hanno ricevuto una wild card:
- Chung Hy-Eon
- Jeong Suk-Young
- Nam Ji-Sung
- Nam Hyun-Woo

Giocatori passati dalle qualificazioni:
- Lim Yong-Kyu
- Matwé Middelkoop
- Na Jung-Woong
- Divij Sharan

## Partecipanti WTA

### Teste di serie
| Nazionalità   | Giocatrice         | Ranking* | Testa di serie |
| ------------- | ------------------ | -------- | -------------- |
| Croazia       | Donna Vekić        | 108      | 1              |
| Giappone      | Erika Sema         | 183      | 2              |
| Corea del Sud | Han Sung-Hee       | 273      | 3              |
| Hong Kong     | Chan Wing-yau      | 340      | 4              |
| Giappone      | Mai Minokoshi      | 343      | 5              |
| Uzbekistan    | Nigina Abduraimova | 344      | 6              |
| Giappone      | Chiaki Okadaue     | 369      | 7              |
| Corea del Sud | Lee So-Ra          | 392      | 8              |

- Ranking al 15 ottobre 2012.

### Altre partecipanti
Giocatrici che hanno ricevuto una wild card:
- Han Na-Lae
- Kang Seo-Kyung
- Lee Jin-a
- Song Ah

Giocatrici passate dalle qualificazioni:
- Choi Ji-Hee
- Kim Hae-Sung
- Kim Na-Ri
- Lee Ye-Rin
- Napatsakorn Sankaew
- Trang Huynh Phuong Dai
- Varunya Wongteanchai
- Yea Hyo-Jung

## Campioni

### Singolare maschile
- Lu Yen-hsun ha battuto in finale  Yūichi Sugita con il punteggio di 6–3, 7–6(4)

### Singolare femminile
- Erika Sema ha battuto in finale  Mai Minokoshi con il punteggio di 6–1, 7–5

### Doppio maschile
- Lee Hsin-han /  Peng Hsien-yin hanno battuto in finale  Lim Yong-Kyu /  Nam Ji-Sung con il punteggio di 7–6(3), 7–5

### Doppio femminile
- Nigina Abduraimova /  Chan Wing-yau hanno battuto in finale  Kim Ji-Young /  Yoo Mi con il punteggio di 6–4, 2–6, [12-10]

title: Samsung Securities Cup 2012

wikitext:
{{TennisEventInfo|2012|Samsung Securities Cup|
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| località=[[Seul]], [[Corea del Sud]]
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}}
La '''[[Seoul Cup|Samsung Securities Cup]] 2012''' è stato un torneo professionistico di [[tennis]] giocato sul cemento. È stata la 13ª edizione del torneo che faceva parte dell'[[ATP Challenger Tour]] nell'ambito dell'[[ATP Challenger Tour 2012]] e dell'[[ITF Women's Circuit]] nell'ambito dell'[[ITF Women's Circuit 2012]]. Il torneo maschile e quello femminile si sono giocati a [[Seul]] in [[Corea del Sud]] dal 22 al 28 ottobre 2012.

==Partecipanti ATP==
===Teste di serie===
{| class="wikitable" border="1"
|-
! Nazionalità
! Giocatore
! Ranking*
! Testa di serie
|-
|{{TPE}}
|[[Lu Yen-hsun]]
|58
|1
|-
|{{JPN}}
|[[Tatsuma Itō]]
|63
|2
|-
|{{RUS}}
|[[Dmitrij Tursunov]]
|105
|3
|-
|{{TUN}}
|[[Malek Jaziri]]
|112
|4
|-
|{{FRA}}
|[[Kenny de Schepper]]
|123
|5
|-
|{{JPN}}
|[[Yūichi Sugita]]
|141
|6
|-
|{{TPE}}
|[[Wang Yeu-tzuoo]]
|146
|7
|-
|{{BLR}}
|[[Uladzimir Ihnacik]]
|149
|8
|}
*Ranking al 15 ottobre 2012.

===Altri partecipanti===
Giocatori che hanno ricevuto una [[Wild card (sport)|wild card]]:
* {{Bandiera|KOR}} [[Chung Hy-Eon]]
* {{Bandiera|KOR}} [[Jeong Suk-Young]]
* {{Bandiera|KOR}} [[Nam Ji-Sung]]
* {{Bandiera|KOR}} [[Nam Hyun-Woo]]

Giocatori passati dalle qualificazioni:
* {{Bandiera|KOR}} [[Lim Yong-Kyu]]
* {{Bandiera|NLD}} [[Matwé Middelkoop]]
* {{Bandiera|KOR}} [[Na Jung-Woong]]
* {{Bandiera|IND}} [[Divij Sharan]]

==Partecipanti WTA==
===Teste di serie===
{| class="wikitable" border="1"
|-
! Nazionalità
! Giocatrice
! Ranking*
! Testa di serie
|-
|{{HRV}}
|[[Donna Vekić]]
|108
|1
|-
|{{JPN}}
|[[Erika Sema]]
|183
|2
|-
|{{KOR}}
|[[Han Sung-Hee]]
|273
|3
|-
|{{HKG}}
|[[Chan Wing-yau]]
|340
|4
|-
|{{JPN}}
|[[Mai Minokoshi]]
|343
|5
|-
|{{UZB}}
|[[Nigina Abduraimova]]
|344
|6
|-
|{{JPN}}
|[[Chiaki Okadaue]]
|369
|7
|-
|{{KOR}}
|[[Lee So-Ra]]
|392
|8
|}
*Ranking al 15 ottobre 2012.

===Altre partecipanti===
Giocatrici che hanno ricevuto una [[Wild card (sport)|wild card]]:
* {{Bandiera|KOR}} [[Han Na-Lae]]
* {{Bandiera|KOR}} [[Kang Seo-Kyung]]
* {{Bandiera|KOR}} [[Lee Jin-a]]
* {{Bandiera|KOR}} [[Song Ah]]

Giocatrici passate dalle qualificazioni:
* {{Bandiera|KOR}} [[Choi Ji-Hee]]
* {{Bandiera|KOR}} [[Kim Hae-Sung]]
* {{Bandiera|KOR}} [[Kim Na-Ri]]
* {{Bandiera|KOR}} [[Lee Ye-Rin]]
* {{Bandiera|THA}} [[Napatsakorn Sankaew]]
* {{Bandiera|VNM}} [[Trang Huynh Phuong Dai]]
* {{Bandiera|THA}} [[Varunya Wongteanchai]]
* {{Bandiera|KOR}} [[Yea Hyo-Jung]]

== Campioni ==
=== Singolare maschile ===
{{Vedi anche|Samsung Securities Cup 2012 - Singolare maschile}}
*{{Bandiera|TPE}} '''[[Lu Yen-hsun]]''' ha battuto in finale {{Bandiera|JPN}} [[Yūichi Sugita]] con il punteggio di 6–3, 7–6(4)

=== Singolare femminile ===
{{Vedi anche|Samsung Securities Cup 2012 - Singolare femminile}}
*{{Bandiera|JPN}} '''[[Erika Sema]]''' ha battuto in finale {{Bandiera|JPN}} [[Mai Minokoshi]] con il punteggio di 6–1, 7–5

=== Doppio maschile ===
{{Vedi anche|Samsung Securities Cup 2012 - Doppio maschile}}
*{{Bandiera|TPE}} '''[[Lee Hsin-han]]''' / {{Bandiera|TPE}} '''[[Peng Hsien-yin]]''' hanno battuto in finale {{Bandiera|KOR}} [[Lim Yong-Kyu]] / {{Bandiera|KOR}} [[Nam Ji-Sung]] con il punteggio di 7–6(3), 7–5

=== Doppio femminile ===
{{Vedi anche|Samsung Securities Cup 2012 - Doppio femminile}}
*{{Bandiera|UZB}} '''[[Nigina Abduraimova]]''' / {{Bandiera|HKG}} '''[[Chan Wing-yau]]''' hanno battuto in finale {{Bandiera|KOR}} [[Kim Ji-Young]] / {{Bandiera|KOR}} [[Yoo Mi]] con il punteggio di 6–4, 2–6, [12-10]

== Collegamenti esterni ==
*{{cita web |1=http://www.kortennis.co.kr/main/main.html |2=Sito ufficiale |accesso=7 dicembre 2012 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20101021094237/http://www.kortennis.co.kr/main/main.html# |dataarchivio=21 ottobre 2010 |urlmorto=sì |lingua= ko}}
*{{cita web | url = https://www.atptour.com/en/scores/archive/seoul/545/2012/results?matchType=singles | titolo = Il torneo maschile sul sito ATP |lingua= en }}
*{{cita web | url = https://www.itftennis.com/en/tournament/$25000-seoul/kor/2012/w-witf-kor-07a-2012/draws-and-results/ | titolo = Il torneo femminile sul sito ITF |lingua= en }}

{{Samsung Securities Cup}}
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{{TennisATPChallengerTour2012}}
{{portale|tennis}}

[[Categoria:Samsung Securities Cup 2012| ]]

title: Samsung Securities Cup 2012

Sport: Tennis

Data: 22 ottobre - 28 ottobre

Superficie: Cemento

Località: Seul, Corea del Sud

title: Campioni

Campioni: Doppio maschile · Lee Hsin-han / Peng Hsien-yin

Campioni: Doppio femminile · Nigina Abduraimova / Chan Wing-yau


text:
# Polinomi di Zernike
In matematica e fisica, i polinomi di Zernike sono una sequenza polinomiale di polinomi ortogonali sul disco unitario. Devono il loro nome al fisico Frits Zernike, vincitore nel 1953 del Premio Nobel in fisica per lo sviluppo della microscopia a contrasto di fase. Sono molto utilizzati nell'ottica per lo studio delle aberrazioni.

## Definizioni
Ci sono polinomi di Zernike pari e dispari. Quelli pari sono definiti come:
{\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )\!}
e quelli dispari come:
{\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi )\!}
dove m e n sono numeri interi non negativi con n ≥ m, φ è l'angolo azimutale, ρ è la distanza radiale {\displaystyle 0\leq \rho \leq 1} e Rmn sono i polinomi radiali definiti di seguito. I polinomi di Zernike hanno la proprietà di essere limitati a un intervallo da -1 a +1, cioè {\displaystyle |Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1}. I polinomi radiali Rmn sono definiti come:
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\left({\tfrac {n+m}{2}}-k\right)!\left({\tfrac {n-m}{2}}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2\,k}}
per n − m pari e sono identicamente zero per n − m dispari.

### Altre rappresentazioni
Riscrivendo i rapporti di fattoriali nella parte radiale come prodotti dei coefficienti binomiali si può dimostrare che i coefficienti sono numeri interi:
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}}.
Una notazione come terminazione di funzioni ipergeometriche gaussiane è utile per rivelare le recidive, per dimostrare che sono casi particolari di polinomi di Jacobi, per scrivere le equazioni differenziali, ecc.:
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}
per n − m pari.
Il fattore {\displaystyle \rho ^{n-2k}} nel polinomio radiale {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}può essere espanso in base a Bernstein di {\displaystyle b_{s,n/2}(\rho ^{2})} per  {\displaystyle n} pari e di {\displaystyle b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})} per {\displaystyle n}dispari nell'intervallo {\displaystyle \lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor }. Il polinomio radiale può quindi essere espresso da un numero finito di polinomi di Bernstein con coefficienti razionali :
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).}

### Indici sequenziali di Noll
Le applicazioni spesso coinvolgono l'algebra lineare, dove gli integrali rispetto ai prodotti dei polinomi di Zernike e altri fattori costruiscono gli elementi della matrice. Per enumerare le righe e le colonne di queste matrici con un singolo indice, Noll ha introdotto una mappatura convenzionale dei due indici n e m su un indice singolo j. La tabella di questa trasformazione {\displaystyle Z_{n}^{m}\rightarrow Z_{j}} inizia in questo modo:
{\displaystyle j={\frac {n(n+1)}{2}}+|m|+\left\{{\begin{array}{ll}0,&m>0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}};\\0,&m<0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&m\geq 0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&m\leq 0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}}.\end{array}}\right.}
| n,m | 0,0 | 1,1 | 1,−1 | 2,0 | 2,−2 | 2,2 | 3,−1 | 3,1 | 3,−3 | 3,3 |
| j   | 1   | 2   | 3    | 4   | 5    | 6   | 7    | 8   | 9    | 10  |
| n,m | 4,0 | 4,2 | 4,−2 | 4,4 | 4,−4 | 5,1 | 5,−1 | 5,3 | 5,−3 | 5,5 |
| j   | 11  | 12  | 13   | 14  | 15   | 16  | 17   | 18  | 19   | 20  |

La regola è che la Z pari (con anche la parte azimutale m, {\displaystyle \cos(m\varphi )}) ottiene gli indici j  pari, mentre la Z dispari ottiene gli indici j dispari. All'interno di un dato n, i valori più bassi di | m | ottengono j più bassi.

### Indici standard OSA/ANSI
I polinomi di Zernike a singolo indice OSA e ANSI utilizzano:
{\displaystyle j={\frac {n(n+2)+m}{2}}}
| n,m | 0,0  | 1,-1 | 1,1 | 2,-2 | 2,0 | 2,2  | 3,-3 | 3,-1 | 3,1 | 3,3 |
| j   | 0    | 1    | 2   | 3    | 4   | 5    | 6    | 7    | 8   | 9   |
| n,m | 4,-4 | 4,-2 | 4,0 | 4,2  | 4,4 | 5,-5 | 5,-3 | 5,-1 | 5,1 | 5,3 |
| j   | 10   | 11   | 12  | 13   | 14  | 15   | 16   | 17   | 18  | 19  |

### Indici di Fringe/Università dell'Arizona
Lo schema di indicizzazione di Fringe è utilizzato nei software commerciali di progettazione ottica e nei test ottici.
{\displaystyle j=\left(1+{\frac {n+|m|}{2}}\right)^{2}-2|m|+{\frac {1-\operatorname {sgn} m}{2}}}
I primi 20 numeri di Fringe sono elencati di seguito.
| n,m | 0,0  | 1,1 | 1,−1 | 2,0 | 2,2  | 2,-2 | 3,1 | 3,-1 | 4,0 | 3,3  |
| j   | 1    | 2   | 3    | 4   | 5    | 6    | 7   | 8    | 9   | 10   |
| n,m | 3,-3 | 4,2 | 4,−2 | 5,1 | 5,−1 | 6,0  | 4,4 | 4,-4 | 5,3 | 5,-3 |
| j   | 11   | 12  | 13   | 14  | 15   | 16   | 17  | 18   | 19  | 20   |

## Proprietà

### Ortogonalità
L'ortogonalità nella componente radiale si legge come:
{\displaystyle \int _{0}^{1}\rho {\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,d\rho =\delta _{n,n'}.}
L'ortogonalità nella componente angolare è rappresentata dall'elementare:
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \delta _{|m|,|m'|},}
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =(-1)^{m+m'}\pi \delta _{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,}
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,}
dove {\displaystyle \epsilon _{m}} a volte chiamato fattore Neumann perché compare spesso in combinazione con le funzioni di Bessel) è definito come 2 se {\displaystyle m=0} e 1 se {\displaystyle m\neq 0}. Il prodotto delle componenti angolari e radiali stabilisce l'ortogonalità delle funzioni di Zernike rispetto a entrambi gli indici se integrati sul disco unitario,
{\displaystyle \int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{m}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'},}
dove {\displaystyle d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi } è lo Jacobiano del sistema di coordinate circolari e dove {\displaystyle n-m} e {\displaystyle n'-m'} sono entrambi pari.
Un valore speciale è:
{\displaystyle R_{n}^{m}(1)=1,\,}

### Trasformata di Zernike
Qualsiasi campo di fase a valore reale sufficientemente regolare sul disco unitario {\displaystyle G(\rho ,\varphi )} può essere rappresentato in termini di coefficienti di Zernike (pari e dispari), proprio come per le funzioni periodiche si può trovare una rappresentazione ortogonale con le serie di Fourier. Abbiamo:
{\displaystyle G(\rho ,\varphi )=\sum _{m,n}\left[a_{m,n}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )+b_{m,n}Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right],}
dove i coefficienti possono essere calcolati usando prodotti interni. Nello spazio di {\displaystyle L^{2}} funzioni sul disco unitario, c'è un prodotto interno definito da:
{\displaystyle \langle F,G\rangle :=\int F(\rho ,\varphi )G(\rho ,\varphi )\rho d\rho d\varphi .}
I coefficienti di Zernike possono quindi essere espressi come segue:
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )\right\rangle ,\\b_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right\rangle .\end{aligned}}}
In alternativa, è possibile utilizzare i valori noti della funzione di fase G sulla griglia circolare per formare un sistema di equazioni. La funzione di fase viene recuperata dal prodotto ponderato a coefficiente sconosciuto con i valori noti del polinomio di Zernike attraverso la griglia dell'unità. Quindi, i coefficienti possono anche essere trovati risolvendo un sistema lineare, ad esempio mediante l'inversione della matrice. Gli algoritmi veloci per calcolare la trasformata di Zernike diretta e inversa usano le proprietà di simmetria delle funzioni trigonometriche, la separabilità delle parti radiali e azimutali dei polinomi di Zernike e le loro simmetrie rotazionali.

### Simmetrie
La parità rispetto alla riflessione lungo l'asse x è:
{\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,-\varphi ).}
La parità rispetto al punto di riflessione al centro delle coordinate è:
{\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi +\pi ),}
dove {\displaystyle (-1)^{m}} potrebbe anche essere scritto {\displaystyle (-1)^{n}} poiché {\displaystyle n-m} è pari per i valori rilevanti. Anche i polinomi radiali sono pari o dispari, a seconda dell'ordine n o m:
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-\rho ).}
La periodicità delle funzioni trigonometriche implica l'invarianza se ruotata di multipli di {\displaystyle 2\pi /m} radianti intorno al centro:
{\displaystyle Z_{n}^{m}\left(\rho ,\varphi +{\tfrac {2\pi k}{m}}\right)=Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots .}

### Relazioni di ricorrenza
I polinomi di Zernike soddisfano la seguente relazione di ricorrenza che non dipende né dal grado né dall'ordine azimutale dei polinomi radiali:
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}}
Dalla definizione di {\displaystyle R_{n}^{m}}si può notare che {\displaystyle R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m}} e {\displaystyle R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}}. La seguente relazione di ricorrenza a tre termini consente quindi di calcolare tutti gli altri {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}:
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}}
La relazione di cui sopra è particolarmente utile poiché la derivata di {\displaystyle R_{n}^{m}} può essere calcolata da due polinomi di Zernike radiali di grado adiacente:
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\rho }}R_{n}^{m}(\rho )={\frac {(2nm(\rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2\rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho (\rho ^{2}-1)}}{\text{ .}}}

## Esempi

### Polinomi radiali
I primi polinomi radiali sono:
{\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1\,}
{\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho \,}
{\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,}
{\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,}
{\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,}
{\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,}
{\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,}
{\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,}
{\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,}
{\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,}
{\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,}
{\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,}
{\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,}
{\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,}
{\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,}
{\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.\,}

### Polinomi di Zernike
Di seguito sono elencati alcuni Zernike, con gli indici singoli di OSA / ANSI e Noll. Sono normalizzati in questo modo:
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}Z_{j}^{2}\,\rho \,d\rho \,d\theta =\pi .}
|                            | Indice OSA/ANSI ({\displaystyle j}) | Indice di Noll ({\displaystyle j}) | Grado radiale ({\displaystyle n}) | Grado azimutale ({\displaystyle m}) | {\displaystyle Z_{j}}                                            | Denominazione                          |
| -------------------------- | ----------------------------------- | ---------------------------------- | --------------------------------- | ----------------------------------- | ---------------------------------------------------------------- | -------------------------------------- |
| {\displaystyle Z_{0}^{0}}  | 0                                   | 01                                 | 0                                 | 0                                   | {\displaystyle 1}                                                | Pistone (vedi distribuzione di Wigner) |
| {\displaystyle Z_{1}^{-1}} | 01                                  | 03                                 | 1                                 | −1                                  | {\displaystyle 2\rho \sin \theta }                               | Tilt (Y-Tilt, tilt verticale)          |
| {\displaystyle Z_{1}^{1}}  | 02                                  | 02                                 | 1                                 | +1                                  | {\displaystyle 2\rho \cos \theta }                               | Tip (X-Tilt, tilt orizzontale)         |
| {\displaystyle Z_{2}^{-2}} | 03                                  | 05                                 | 2                                 | −2                                  | {\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\sin 2\theta }                | Astigmatismo obliquo                   |
| {\displaystyle Z_{2}^{0}}  | 04                                  | 04                                 | 2                                 | 0                                   | {\displaystyle {\sqrt {3}}(2\rho ^{2}-1)}                        | Defocus (posizione longitudinale)      |
| {\displaystyle Z_{2}^{2}}  | 05                                  | 06                                 | 2                                 | +2                                  | {\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\cos 2\theta }                | Astigmatismo verticale                 |
| {\displaystyle Z_{3}^{-3}} | 06                                  | 09                                 | 3                                 | −3                                  | {\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\sin 3\theta }                | Trifoglio verticale                    |
| {\displaystyle Z_{3}^{-1}} | 07                                  | 07                                 | 3                                 | −1                                  | {\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\sin \theta }       | Coma verticale                         |
| {\displaystyle Z_{3}^{1}}  | 08                                  | 08                                 | 3                                 | +1                                  | {\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\cos \theta }       | Coma orizzontale                       |
| {\displaystyle Z_{3}^{3}}  | 09                                  | 10                                 | 3                                 | +3                                  | {\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\cos 3\theta }                | Trifoglio obliquo                      |
| {\displaystyle Z_{4}^{-4}} | 10                                  | 15                                 | 4                                 | −4                                  | {\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\sin 4\theta }               | Quadrifoglio obliquo                   |
| {\displaystyle Z_{4}^{-2}} | 11                                  | 13                                 | 4                                 | −2                                  | {\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\sin 2\theta } | Astigmatismo obliquo secondario        |
| {\displaystyle Z_{4}^{0}}  | 12                                  | 11                                 | 4                                 | 0                                   | {\displaystyle {\sqrt {5}}(6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}             | Sferica primaria                       |
| {\displaystyle Z_{4}^{2}}  | 13                                  | 12                                 | 4                                 | +2                                  | {\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\cos 2\theta } | Astigmatismo verticale secondario      |
| {\displaystyle Z_{4}^{4}}  | 14                                  | 14                                 | 4                                 | +4                                  | {\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\cos 4\theta }               | Quadrifoglio verticale                 |

## Applicazioni
Le funzioni sono una base definita sopra l'area di supporto circolare, tipicamente i piani della pupilla nella classica immagine ottica a lunghezze d'onda nel visibile e nell'infrarosso attraverso sistemi di lenti e specchi di diametro finito. I loro vantaggi sono le semplici proprietà analitiche ereditate dalla semplicità delle funzioni radiali e la fattorizzazione delle funzioni radiali e azimutali. Questo porta, ad esempio, alle espressioni di forma chiusa della trasformata di Fourier bidimensionale in termini di funzioni di Bessel. Il loro svantaggio, in particolare se sono coinvolti alti n, è la distribuzione ineguale delle linee nodali sul disco unitario, che introduce oscillazioni vicino al perimetro {\displaystyle \rho \approx 1}, che spesso conducono a tentativi di definire altre funzioni ortogonali sul disco.
Nella produzione ottica di precisione, i polinomi di Zernike sono utilizzati per caratterizzare gli errori di ordine superiore osservati nelle analisi interferometriche. In optometria e oftalmologia, i polinomi di Zernike sono usati per descrivere le aberrazioni della cornea o della lente rispetto ad una forma sferica ideale, che causano errori di rifrazione.
Sono comunemente utilizzati nell'ottica adattiva, dove possono essere usati per caratterizzare la distorsione atmosferica. Applicazioni ovvie per questo sono l'IR o l'astronomia visiva e le immagini satellitari.
Un'altra applicazione dei polinomi di Zernike si trova nella teoria estesa di diffrazione e aberrazioni di Nijboer-Zernike.
I polinomi di Zernike sono ampiamente usati come funzioni base dei momenti dell'immagine. Poiché i polinomi di Zernike sono ortogonali tra loro, i momenti di Zernike possono rappresentare le proprietà di un'immagine senza ridondanza o sovrapposizione di informazioni tra i momenti. Sebbene i momenti di Zernike dipendano in modo significativo dal ridimensionamento e dalla traduzione dell'oggetto in una regione di interesse (ROI), le loro grandezze sono indipendenti dall'angolo di rotazione dell'oggetto. Pertanto, possono essere utilizzati per estrarre le caratteristiche dalle immagini che descrivono le caratteristiche della forma di un oggetto. Per esempio, i momenti di Zernike sono utilizzati come descrittori di forma per classificare le masse mammarie benigne e maligne o la superficie di dischi vibranti . I momenti di Zernike sono stati anche utilizzati per quantificare la forma delle cellule dell'osteosarcoma a livello di singola cellula.

## Dimensioni superiori
Il concetto si traduce in dimensioni superiori D se si convertono i multinomiali {\displaystyle x_{1}^{i}x_{2}^{j}\cdots x_{D}^{k}} da coordinate cartesiane in coordinate ipersferiche, {\displaystyle \rho ^{s},s\leq D}, moltiplicato per un prodotto di polinomi di Jacobi delle variabili angolari. In {\displaystyle D=3} dimensioni, le variabili angolari sono armoniche sferiche, per esempio. Combinazioni lineari dei poteri {\displaystyle \rho ^{s}} definiscono una base ortogonale {\displaystyle R_{n}^{(l)}(\rho )} soddisfacente:
{\displaystyle \int _{0}^{1}\rho ^{D-1}R_{n}^{(l)}(\rho )R_{n'}^{(l)}(\rho )d\rho =\delta _{n,n'}}.
(Si noti che un fattore {\displaystyle {\sqrt {2n+D}}} è assorbito nella definizione di R qui, mentre in {\displaystyle D=2} la normalizzazione è scelta in modo leggermente diverso. Questo è in gran parte una questione di gusti, a seconda che si desideri mantenere un intero insieme di coefficienti o si preferiscano formule più compatte introducendo l'ortogonalizzazione). La rappresentazione esplicita è:
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{(l)}(\rho )&={\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{n-s-1+{\tfrac {D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{n-2s}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{s-1+{\tfrac {n+l+D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{2s+l}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}{{\tfrac {n+l+D}{2}}-1 \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{l}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n-l}{2}},{\tfrac {n+l+D}{2}};l+{\tfrac {D}{2}};\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}
per {\displaystyle n-l\geq 0} pari, altrimenti uguale a zero.

wikiname: itwiki

title: Polinomi di Zernike

in_language: it

wikitext:
[[File:Zernike polynomials2.png|upright=1.6|thumb|I primi 21 polinomi di Zernike, ordinati verticalmente secondo il grado radiale e orizzontalmente secondo il grado azimutale]]
In [[matematica]] e [[fisica]], i '''polinomi di Zernike''' sono una [[sequenza polinomiale]] di [[polinomi ortogonali]] sul [[disco unitario]]. Devono il loro nome al fisico [[Frits Zernike]], vincitore nel 1953 del [[Premio Nobel]] in fisica per lo sviluppo della [[microscopia a contrasto di fase]]. Sono molto utilizzati nell'[[ottica]] per lo studio delle [[Aberrazione (ottica)|aberrazioni]]<ref>
{{Cita pubblicazione|cognome= Zernike|nome=F.|anno= 1934|titolo= Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode|rivista= Physica|volume=1|numero= 8|doi=10.1016/S0031-8914(34)80259-5|bibcode=1934Phy.....1..689Z|pp= 689-704}}</ref><ref>
{{Cita libro|autore=[[Max Born|Born, Max]], and [[Emil Wolf|Wolf, Emil]]|titolo=Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light|anno=1999|editore=Cambridge University Press|città=Cambridge, UK|isbn=978-0-521-64222-4|p=986|url=https://books.google.com/books/about/Principles_of_Optics.html?id=aoX0gYLuENoC|edizione=7th}}</ref><ref>{{cita web|url=http://www.mat.uniroma3.it/users/betta/MMO/lezione_zernike.pdf|titolo=Polinomi di Zernike |lingua= |data= |accesso= }}</ref>.

==Definizioni==
Ci sono polinomi di Zernike [[Funzioni pari e dispari|pari e dispari]]. Quelli pari sono definiti come:

:<math>Z^{m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\varphi) \!</math>

e quelli dispari come:

:<math>Z^{-m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\varphi) \!</math>

dove ''m'' e ''n'' sono [[Numero intero|numeri interi]] non [[Numero intero|negativi]] con ''n'' ≥ ''m'', ''φ'' è l'[[angolo]] [[azimut]]ale, ''ρ'' è la distanza radiale  <math>0\le\rho\le 1</math> e ''R''''m''''n'' sono i polinomi radiali definiti di seguito. I polinomi di Zernike hanno la proprietà di essere limitati a un intervallo da -1 a +1, cioè <math>|Z^{m}_n(\rho,\varphi)| \le 1</math>. I polinomi radiali ''R''''m''''n'' sono definiti come:

:<math>R^m_n(\rho) = \sum_{k=0}^{\tfrac{n-m}{2}} \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\left (\tfrac{n+m}{2}-k \right )! \left (\tfrac{n-m}{2}-k \right)!} \;\rho^{n-2\,k}</math>

per ''n'' − ''m'' pari e sono identicamente zero per ''n'' − ''m'' dispari.

===Altre rappresentazioni===
Riscrivendo i rapporti di fattoriali nella parte radiale come prodotti dei [[Coefficiente binomiale|coefficienti binomiali]] si può dimostrare che i coefficienti sono numeri interi:

:<math>R_n^m(\rho)=\sum_{k=0}^{\tfrac{n-m}{2}}(-1)^k \binom{n-k}{k} \binom{n-2k}{\tfrac{n-m}{2}-k} \rho^{n-2k}</math>.

Una notazione come terminazione di [[Funzione ipergeometrica|funzioni ipergeometriche gaussiane]] è utile per rivelare le recidive, per dimostrare che sono casi particolari di [[polinomi di Jacobi]], per scrivere le equazioni differenziali, ecc.:

:<math>\begin{align}
R_n^m(\rho) &= \binom{n}{\tfrac{n+m}{2}}\rho^n \ {}_2F_{1}\left(-\tfrac{n+m}{2},-\tfrac{n-m}{2};-n;\rho^{-2}\right) \\
&= (-1)^{\tfrac{n-m}{2}}\binom{\tfrac{n+m}{2}}{m}\rho^m \ {}_2F_{1}\left(1+\tfrac{n+m}{2},-\tfrac{n-m}{2};1+m;\rho^2\right)
\end{align}</math>

per ''n'' − ''m'' pari.

Il fattore <math>\rho^{n-2k}</math> nel [[polinomio]] radiale <math>R_n^m(\rho)</math>può essere espanso in base a [[Polinomio di Bernstein|Bernstein]] di  <math>b_{s,n/2}(\rho^2)</math> per  <math>n</math> pari e di  <math>b_{s,(n-1)/2}(\rho^2)</math> per <math>n</math>dispari nell'intervallo <math>\lfloor n/2\rfloor-k \le s \le \lfloor n/2\rfloor</math>. Il polinomio radiale può quindi essere espresso da un numero finito di polinomi di Bernstein con coefficienti razionali :

:<math>R_n^m(\rho) = \frac{1}{\binom{\lfloor n/2\rfloor}{\lfloor m/2\rfloor}} \rho^{n\mod 2} \sum_{s=\lfloor m/2\rfloor}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s} \binom{s}{\lfloor m/2\rfloor}\binom{(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil} b_{s,\lfloor n/2\rfloor}(\rho^2).</math>

=== Indici sequenziali di Noll ===
Le applicazioni spesso coinvolgono l'[[algebra lineare]], dove gli integrali rispetto ai prodotti dei polinomi di Zernike e altri fattori costruiscono gli elementi della [[matrice]]. Per enumerare le righe e le colonne di queste matrici con un singolo indice, [[Walter Noll|Noll]] ha introdotto una mappatura convenzionale dei due indici ''n'' e ''m'' su un indice singolo ''j''.<ref name=noll1976>{{Cita pubblicazione|nome1=R. J.|cognome1=Noll|titolo=Zernike polynomials and atmospheric turbulence|rivista=J. Opt. Soc. Am.|volume=66|anno=1976|url=ftp://ftp.bioeng.auckland.ac.nz/pub/pub/jtur044/references/fitting/NOLL1976.pdf|doi=10.1364/JOSA.66.000207|p=207|bibcode=1976JOSA...66..207N|numero=3|urlmorto=sì}}</ref> La tabella di questa trasformazione <math>Z_n^m \rightarrow Z_j</math> inizia in questo modo:

<math>
j = \frac{n(n+1)}{2}+|m|+\left\{\begin{array}{ll}
0, & m>0 \land n \equiv \{0,1\} \pmod 4;\\
0,  & m<0 \land n \equiv \{2,3\} \pmod 4;\\
1,  & m \ge 0 \land n \equiv \{2,3\} \pmod 4;\\
1, & m \le 0 \land n \equiv \{0,1\} \pmod 4.
\end{array}\right.
</math>
{|class="wikitable"
!n,m
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! j
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|}
La regola è che la ''Z'' pari (con anche la parte azimutale m, <math>\cos(m\varphi)</math>) ottiene gli indici ''j''  pari, mentre la ''Z'' dispari ottiene gli indici ''j'' dispari. All'interno di un dato ''n'', i valori più bassi di | ''m'' | ottengono ''j'' più bassi.

=== Indici standard OSA/ANSI ===
I polinomi di Zernike a singolo indice [[Optical Society of America|OSA]] e [[American National Standards Institute|ANSI]] utilizzano:

:<math>j =\frac{n(n+2)+m}{2}</math>

{|class="wikitable"
!n,m
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! j
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|}

===Indici di Fringe/Università dell'Arizona===

Lo schema di indicizzazione di Fringe è utilizzato nei software commerciali di progettazione ottica e nei test ottici.<ref>Loomis, J., "A Computer Program for Analysis of Interferometric Data," Optical Interferograms, Reduction and Interpretation, ASTM STP 666, A. H. Guenther and D. H. Liebenberg, Eds., American Society for Testing and Materials, 1978, pp. 71-86.</ref><ref>{{Cita conferenza|conferenza=Proc SPIE |volume=4771|pp=276-286|anno=2002|doi=10.1117/12.482169|titolo=Orthogonality of Zernike polynomials |nome1=V. L. |cognome1=Genberg |nome2=G. J. |cognome2=Michels|nome3=K. B. |cognome3=Doyle|opera=Optomechanical design and Engineering 2002}}</ref>

<math>
j = \left(1+\frac{n+|m|}{2}\right)^2-2|m|+\frac{1-\sgn m}{2}
</math>

I primi 20 numeri di Fringe sono elencati di seguito.

{|class="wikitable"
!n,m
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|}

==Proprietà==

===Ortogonalità===
L'ortogonalità nella componente radiale si legge come:

:<math>\int_0^1 \rho \sqrt{2n+2}R_n^m(\rho)\,\sqrt{2n'+2}R_{n'}^{m}(\rho)\,d\rho = \delta_{n,n'}.</math>

L'ortogonalità nella componente angolare è rappresentata dall'[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche|elementare]]:

:<math>\int_0^{2\pi} \cos(m\varphi)\cos(m'\varphi)\,d\varphi=\epsilon_m\pi\delta_{|m|,|m'|},</math>
:<math>\int_0^{2\pi} \sin(m\varphi)\sin(m'\varphi)\,d\varphi=(-1)^{m+m'}\pi\delta_{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,</math>
:<math>\int_0^{2\pi} \cos(m\varphi)\sin(m'\varphi)\,d\varphi=0,</math>

dove  <math>\epsilon_m</math> a volte chiamato [[Carl Gottfried Neumann|fattore Neumann]] perché compare spesso in combinazione con le funzioni di Bessel) è definito come ''2'' se  <math>m=0</math> e ''1'' se <math>m\neq 0</math>. Il prodotto delle componenti angolari e radiali stabilisce l'ortogonalità delle funzioni di Zernike rispetto a entrambi gli indici se integrati sul disco unitario,

:<math>\int Z_n^m(\rho,\varphi)Z_{n'}^{m'}(\rho,\varphi) \, d^2r =\frac{\epsilon_m\pi}{2n+2}\delta_{n,n'}\delta_{m,m'},</math>

dove <math>d^2r=\rho\,d\rho\,d\varphi</math> è lo [[Matrice jacobiana|Jacobiano]] del sistema di coordinate circolari e dove  <math>n-m</math> e <math>n'-m'</math> sono entrambi pari.

Un valore speciale è:

:<math>R_n^m(1)=1, \, </math>

===Trasformata di Zernike===
Qualsiasi campo di fase a valore reale sufficientemente regolare sul disco unitario <math>G(\rho,\varphi)</math> può essere rappresentato in termini di coefficienti di Zernike (pari e dispari), proprio come per le [[Funzione periodica|funzioni periodiche]] si può trovare una rappresentazione ortogonale con le [[serie di Fourier]]. Abbiamo:

:<math>G(\rho,\varphi) = \sum_{m,n}\left[ a_{m,n} Z^{m}_n(\rho,\varphi) + b_{m,n} Z^{-m}_n(\rho,\varphi) \right],</math>

dove i coefficienti possono essere calcolati usando [[Spazio prehilbertiano|prodotti interni]]. Nello spazio di <math>L^2</math> funzioni sul disco unitario, c'è un prodotto interno definito da:

:<math>\langle F, G \rangle := \int F(\rho,\varphi)G(\rho,\varphi)\rho d\rho d\varphi.</math>

I coefficienti di Zernike possono quindi essere espressi come segue:

:<math>\begin{align}
a_{m,n} &= \frac{2n+2}{\epsilon_m\pi} \left \langle G(\rho,\varphi),Z^{m}_n(\rho,\varphi) \right \rangle, \\
b_{m,n} &= \frac{2n+2}{\epsilon_m\pi} \left \langle G(\rho,\varphi),Z^{-m}_n(\rho,\varphi) \right \rangle.
\end{align}</math>

In alternativa, è possibile utilizzare i valori noti della funzione di fase ''G'' sulla griglia circolare per formare un sistema di equazioni. La funzione di fase viene recuperata dal prodotto ponderato a coefficiente sconosciuto con i valori noti del polinomio di Zernike attraverso la griglia dell'unità. Quindi, i coefficienti possono anche essere trovati risolvendo un sistema lineare, ad esempio mediante l'inversione della matrice. Gli algoritmi veloci per calcolare la trasformata di Zernike diretta e inversa usano le proprietà di simmetria delle funzioni [[Trigonometria|trigonometriche]], la separabilità delle parti radiali e azimutali dei polinomi di Zernike e le loro simmetrie rotazionali.

===Simmetrie===
La parità rispetto alla riflessione lungo l'asse ''x'' è:

:<math>Z_n^{m}(\rho,\varphi)=(-1)^m Z_n^{m}(\rho,-\varphi).</math>

La parità rispetto al punto di riflessione al centro delle coordinate è:

:<math>Z_n^m(\rho,\varphi) = (-1)^m Z_n^m(\rho,\varphi+\pi),</math>

dove <math>(-1)^m</math> potrebbe anche essere scritto  <math>(-1)^n</math> poiché <math>n-m</math> è pari per i valori rilevanti. Anche i polinomi radiali sono pari o dispari, a seconda dell'ordine ''n'' o ''m'':

:<math>R_n^m(\rho)=(-1)^n R_n^m(-\rho)=(-1)^m R_n^m(-\rho).</math>

La periodicità delle funzioni trigonometriche implica l'invarianza se ruotata di multipli di <math>2\pi/m</math> radianti intorno al centro:

:<math>Z_n^m \left (\rho, \varphi+ \tfrac{2\pi k}{m} \right )=Z_n^m(\rho,\varphi),\qquad k= 0, \pm 1,\pm 2,\cdots.</math>

===Relazioni di ricorrenza===

I polinomi di Zernike soddisfano la seguente [[relazione di ricorrenza]] che non dipende né dal grado né dall'ordine azimutale dei polinomi radiali:<ref name="barmak">Honarvar Shakibaei Asli, Barmak; Raveendran, Paramesran (July 2013). "Recursive formula to compute Zernike radial polynomials" Opt. Lett. (OSA) 38 (14): 2487–2489. {{DOI|10.1364/OL.38.002487}}</ref>

:<math>\begin{align}
R_n^m(\rho)+R_{n-2}^m(\rho)=\rho\left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho)+R_{n-1}^{m+1}(\rho)\right] \text{ .}
\end{align}</math>

Dalla definizione di <math>R_n^m</math>si può notare che <math>R_m^m(\rho) = \rho^m</math> e <math>R_{m+2}^m(\rho) = ((m+2)\rho^{2} - (m+1))\rho^m</math>. La seguente relazione di ricorrenza a tre termini<ref name="kintner1976">
{{Cita pubblicazione|nome1=E. C.|cognome1=Kintner|doi=10.1080/713819334|titolo=On the mathematical properties of the Zernike Polynomials|rivista=Opt. Acta|volume=23|anno=1976|pp=679-680|bibcode=1976AcOpt..23..679K|numero=8}}</ref> consente quindi di calcolare tutti gli altri <math>R_n^m(\rho)</math>:

:<math>
R_n^m(\rho) = \frac{2(n-1)(2n(n-2)\rho^2-m^2-n(n-2))R_{n-2}^m(\rho) - n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^m(\rho)}{(n+m)(n-m)(n-2)} \text{ .}
</math>

La relazione di cui sopra è particolarmente utile poiché la derivata di <math>R_n^m</math> può essere calcolata da due polinomi di Zernike radiali di grado adiacente:<ref name=kintner1976 />

:<math>
\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\! \rho} R_n^m(\rho) = \frac{(2 n m (\rho^2 - 1) + (n-m)(m + n(2\rho^2 - 1))) R_n^m(\rho) - (n+m)(n-m) R_{n-2}^m(\rho)}{2 n \rho (\rho^2 - 1)} \text{ .}
</math>

==Esempi==

=== Polinomi radiali ===
I primi polinomi radiali sono:

:<math> R^0_0(\rho) = 1 \,</math>

:<math> R^1_1(\rho) = \rho \,</math>

:<math> R^0_2(\rho) = 2\rho^2 - 1 \,</math>

:<math> R^2_2(\rho) = \rho^2 \,</math>

:<math> R^1_3(\rho) = 3\rho^3 - 2\rho \, </math>

:<math> R^3_3(\rho) = \rho^3 \,</math>

:<math> R^0_4(\rho) = 6\rho^4 - 6\rho^2 + 1 \,</math>

:<math> R^2_4(\rho) = 4\rho^4 - 3\rho^2 \,</math>

:<math> R^4_4(\rho) = \rho^4 \,</math>

:<math> R^1_5(\rho) = 10\rho^5 - 12\rho^3 + 3\rho \,</math>

:<math> R^3_5(\rho) = 5\rho^5 - 4\rho^3 \,</math>

:<math> R^5_5(\rho) = \rho^5 \,</math>

:<math> R^0_6(\rho) = 20\rho^6 - 30\rho^4 + 12\rho^2 - 1 \,</math>

:<math> R^2_6(\rho) = 15\rho^6 - 20\rho^4 + 6\rho^2 \,</math>

:<math> R^4_6(\rho) = 6\rho^6 - 5\rho^4 \,</math>

:<math> R^6_6(\rho) = \rho^6. \,</math>

=== Polinomi di Zernike ===
Di seguito sono elencati alcuni Zernike, con gli indici singoli di ''OSA / ANSI'' e ''Noll''. Sono normalizzati in questo modo:

:<math>\int_0^{2\pi} \int_0^1 Z_j^2\,\rho\,d\rho\,d\theta = \pi.</math>
{| class="wikitable sortable"
|-
!   || Indice
OSA/ANSI
(<math>j</math>)
! Indice
di Noll
 (<math>j</math>)
! Grado
radiale
(<math>n</math>)
! Grado
azimutale
(<math>m</math>)
!<math>Z_j</math> !! Denominazione
|-
| <math>Z_0^0</math> || {{0}}0 || {{0}}1 || 0 || {{0}}0 || <math>1</math> || Pistone (vedi [[distribuzione di Wigner]])
|-
| <math>Z_1^{-1}</math> || {{0}}1 || {{0}}3 || 1 || −1 || <math>2 \rho \sin \theta</math> || Tilt (Y-Tilt, tilt verticale)
|-
| <math>Z_1^1</math> || {{0}}2 || {{0}}2 || 1 || +1 || <math>2 \rho \cos \theta</math> || Tip (X-Tilt, tilt orizzontale)
|-
| <math>Z_2^{-2}</math> || {{0}}3 || {{0}}5 || 2 || −2 || <math>\sqrt{6} \rho^2 \sin 2 \theta</math> ||[[Astigmatismo (ottica)|Astigmatismo obliquo]]
|-
| <math>Z_2^0</math> || {{0}}4 || {{0}}4 || 2 || {{0}}0 || <math>\sqrt{3} (2 \rho^2 - 1)</math> || Defocus (posizione longitudinale)
|-
| <math>Z_2^2</math> || {{0}}5 || {{0}}6 || 2 || +2 || <math>\sqrt{6} \rho^2 \cos 2 \theta</math> || Astigmatismo verticale
|-
| <math>Z_3^{-3}</math> || {{0}}6 || {{0}}9 || 3 || −3 || <math>\sqrt{8} \rho^3 \sin 3 \theta</math> || Trifoglio verticale
|-
| <math>Z_3^{-1}</math> || {{0}}7 || {{0}}7 || 3 || −1 || <math>\sqrt{8} (3 \rho^3 - 2\rho) \sin \theta</math> ||[[Coma (ottica)|Coma verticale]]
|-
| <math>Z_3^1</math> || {{0}}8 || {{0}}8 || 3 || +1 || <math>\sqrt{8} (3 \rho^3 - 2\rho) \cos \theta</math> || Coma orizzontale
|-
| <math>Z_3^3</math> || {{0}}9 || 10 || 3 || +3 || <math>\sqrt{8} \rho^3 \cos 3 \theta</math> || Trifoglio obliquo
|-
| <math>Z_4^{-4}</math> || 10 || 15 || 4 || −4 || <math>\sqrt{10} \rho^4 \sin 4 \theta</math> || Quadrifoglio obliquo
|-
| <math>Z_4^{-2}</math> || 11 || 13 || 4 || −2 || <math>\sqrt{10} (4 \rho^4 - 3\rho^2) \sin 2 \theta</math> || Astigmatismo obliquo secondario
|-
| <math>Z_4^0</math> || 12 || 11 || 4 || {{0}}0 || <math>\sqrt{5} (6 \rho^4 - 6 \rho^2 +1)</math> ||[[Aberrazione sferica|Sferica primaria]]
|-
| <math>Z_4^2</math> || 13 || 12 || 4 || +2 || <math>\sqrt{10} (4 \rho^4 - 3\rho^2) \cos 2 \theta</math> || Astigmatismo verticale secondario
|-
| <math>Z_4^4</math> || 14 || 14 || 4 || +4 || <math>\sqrt{10} \rho^4 \cos 4 \theta</math> || Quadrifoglio verticale

|}

==Applicazioni==
Le funzioni sono una base definita sopra l'area di supporto circolare, tipicamente i piani della [[Papilla ottica|pupilla]] nella classica immagine ottica a [[Lunghezza d'onda|lunghezze d'onda]] nel [[Spettro visibile|visibile]] e nell'[[Radiazione infrarossa|infrarosso]] attraverso sistemi di lenti e specchi di diametro finito. I loro vantaggi sono le semplici proprietà analitiche ereditate dalla semplicità delle funzioni radiali e la fattorizzazione delle funzioni radiali e azimutali. Questo porta, ad esempio, alle espressioni di forma chiusa della [[trasformata di Fourier]] bidimensionale in termini di [[Funzioni di Bessel sferiche|funzioni di Bessel]].<ref>{{Cita pubblicazione|nome1=E. |cognome1=Tatulli|doi=10.1364/JOSAA.30.000726 |pmid=23595334|anno=2013|titolo=Transformation of Zernike coefficients: a Fourier-based method for scaled, translated, and rotated wavefront apertures|url=https://archive.org/details/arxiv-1302.7106 |bibcode=2013JOSAA..30..726T|rivista=J. Opt. Soc. Am. A|volume=30|numero=4|pp=726-32|arxiv=1302.7106}}</ref><ref>
{{Cita pubblicazione|nome1=A. J. E. M.|cognome1=Janssen|titolo=New analytic results for the Zernike Circle Polynomials from a basic result in the Nijboer-Zernike diffraction theory|doi=10.2971/jeos.2011.11028|anno=2011|rivista=Journal of the European Optical Society: Rapid Publications|volume=6|p=11028|bibcode=2011JEOS....6E1028J}}
</ref> Il loro svantaggio, in particolare se sono coinvolti alti ''n'', è la distribuzione ineguale delle linee nodali sul disco unitario, che introduce oscillazioni vicino al perimetro <math>\rho\approx 1</math>, che spesso conducono a tentativi di definire altre funzioni ortogonali sul disco.<ref>{{Cita pubblicazione|nome1=Richard|cognome1=Barakat|titolo=Optimum balanced wave-front aberrations for radially symmetric amplitude distributions: Generalizations of Zernike polynomials|doi=10.1364/JOSA.70.000739|anno=1980|rivista=J. Opt. Soc. Am.|volume=70|numero=6|pp=739-742|bibcode=1980JOSA...70..739B}}</ref>

Nella produzione ottica di precisione, i polinomi di Zernike sono utilizzati per caratterizzare gli errori di ordine superiore osservati nelle analisi interferometriche. In [[optometria]] e [[oftalmologia]], i polinomi di Zernike sono usati per descrivere le [[Aberrazione (ottica)|aberrazioni]] della [[cornea]] o della [[Cristallino|lente]] rispetto ad una forma sferica ideale, che causano [[Ametropia|errori di rifrazione]].

Sono comunemente utilizzati nell'[[ottica adattiva]], dove possono essere usati per caratterizzare [[Regime turbolento|la distorsione atmosferica]]. Applicazioni ovvie per questo sono l'IR o l'astronomia visiva e [[Immagine satellitare|le immagini satellitari]].

Un'altra applicazione dei polinomi di Zernike si trova nella teoria estesa di [[diffrazione]] e aberrazioni di Nijboer-Zernike.

I polinomi di Zernike sono ampiamente usati come funzioni base dei [[Momento (elaborazione delle immagini)|momenti dell'immagine]]. Poiché i polinomi di Zernike sono [[Polinomi ortogonali|ortogonali]] tra loro, i momenti di Zernike possono rappresentare le proprietà di un'immagine senza ridondanza o sovrapposizione di informazioni tra i momenti. Sebbene i momenti di Zernike dipendano in modo significativo dal [[Ridimensionamento (geometria)|ridimensionamento]] e dalla [[Traslazione (geometria)|traduzione]] dell'oggetto in una [[regione di interesse]] (ROI), le loro [[Grandezza fisica|grandezze]] sono indipendenti dall'angolo di rotazione dell'oggetto.<ref>{{Cita conferenza|nome= A.
|cognome= Tahmasbi
|anno= 2010
|titolo= An Effective Breast Mass Diagnosis System using Zernike Moments
|conferenza= 17th Iranian Conf. on Biomedical Engineering (ICBME'2010)
|editore= [[IEEE]]
|città= [[Isfahan]], [[Iran]]
|pp= 1-4
| doi = 10.1109/ICBME.2010.5704941
}}</ref> Pertanto, possono essere utilizzati per estrarre le [[Caratteristica (computer vision)|caratteristiche]] dalle immagini che descrivono le caratteristiche della forma di un oggetto. Per esempio, i momenti di Zernike sono utilizzati come descrittori di forma per classificare le [[Tumore alla mammella|masse mammarie]] benigne e maligne<ref>
{{Cita pubblicazione|cognome=Tahmasbi  |nome=A.|cognome2=Saki     |nome2=F.|cognome3=Shokouhi |nome3=S.B.|anno=2011|titolo=Classification of Benign and Malignant Masses Based on Zernike Moments|rivista=[[Computers in Biology and Medicine]]|volume=41 |numero=8|pp=726-735|doi=10.1016/j.compbiomed.2011.06.009|pmid=21722886}}</ref> o la superficie di dischi vibranti .<ref>{{Cita pubblicazione|nome1=W. P. |cognome1=Rdzanek|doi=10.1016/j.jsv.2018.07.035|titolo=Sound radiation of a vibrating elastically supported circular plate embedded into a flat screen revisited using the Zernike circle polynomials|anno=2018|volume=434|pp=91-125|rivista=J. Sound Vibr.|bibcode=2018JSV...434...92R}}</ref> I momenti di Zernike sono stati anche utilizzati per quantificare la forma delle cellule dell'[[osteosarcoma]] a livello di singola cellula.<ref>{{Cita pubblicazione|cognome1=Alizadeh|nome1=Elaheh|cognome2=Lyons|nome2=Samanthe M|cognome3=Castle|nome3=Jordan M|cognome4=Prasad|nome4=Ashok|titolo=Measuring systematic changes in invasive cancer cell shape using Zernike moments|rivista=Integrative Biology|data=2016|volume=8|numero=11|pp=1183-1193|doi=10.1039/C6IB00100A|pmid=27735002}}</ref>

== Dimensioni superiori ==
Il concetto si traduce in dimensioni superiori ''D'' se si convertono i multinomiali  <math>x_1^ix_2^j\cdots x_D^k</math> da coordinate cartesiane in [[Ipersfera|coordinate ipersferiche]], <math>\rho^s, s\le D</math>, moltiplicato per un prodotto di [[polinomi di Jacobi]] delle variabili angolari. In <math>D=3</math> dimensioni, le variabili angolari sono [[armoniche sferiche]], per esempio. Combinazioni lineari dei poteri  <math>\rho^s</math> definiscono una base ortogonale <math>R_n^{(l)}(\rho)</math> soddisfacente:

:<math>\int_0^1 \rho^{D-1}R_n^{(l)}(\rho)R_{n'}^{(l)}(\rho)d\rho = \delta_{n,n'}</math>.

(Si noti che un fattore  <math>\sqrt{2n+D}</math> è assorbito nella definizione di ''R'' qui, mentre in <math>D=2</math> la normalizzazione è scelta in modo leggermente diverso.  Questo è in gran parte una questione di gusti, a seconda che si desideri mantenere un intero insieme di coefficienti o si preferiscano formule più compatte introducendo l'ortogonalizzazione). La rappresentazione esplicita è:

:<math>\begin{align}
R_n^{(l)}(\rho) &= \sqrt{2n+D}\sum_{s=0}^{\tfrac{n-l}{2}} (-1)^s {\tfrac{n-l}{2} \choose s}{n-s-1+\tfrac{D}{2} \choose \tfrac{n-l}{2}}\rho^{n-2s} \\
&=(-1)^{\tfrac{n-l}{2}} \sqrt{2n+D} \sum_{s=0}^{\tfrac{n-l}{2}} (-1)^s {\tfrac{n-l}{2} \choose s} {s-1+\tfrac{n+l+D}{2} \choose \tfrac{n-l}{2}} \rho^{2s+l} \\
&=(-1)^{\tfrac{n-l}{2}} \sqrt{2n+D} {\tfrac{n+l+D}{2}-1 \choose \tfrac{n-l}{2}} \rho^l \ {}_2F_1 \left ( -\tfrac{n-l}{2},\tfrac{n+l+D}{2}; l+\tfrac{D}{2}; \rho^2 \right )
\end{align}</math>

per <math>n-l\ge 0</math> pari, altrimenti uguale a zero.

== Note ==
<references />

== Voci correlate ==

* [[Polinomi di Jacobi]]
* [[Teoria Nijboer-Zernike]]
* [[Polinomi di Pseudo-Zernike]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Polinomi]]


text:
# Terra Mítica
Terra Mítica è un parco di divertimento tematico, situato a Benidorm, in Spagna. Il parco è composto da 5 zone: Egitto, Grecia, Roma, Iberia e Le Isole (greche). Nel 2000, anno in cui venne inaugurato, la Paramount acquistò gran parte delle quote di partecipazione, cosicché il parco venne rinominato commercialmente Paramount Parks Terra Mítica. A partire dal 2004, in seguito al rilascio delle quote detenute dalla Paramount, la gestione del parco è a carico della Comunità Valenciana, che sta sviluppando attualmente nuove attrazioni da aggiungere a quelle già esistenti.
Il parco è aperto al pubblico dal 24 marzo al 5 novembre. L'orario di apertura va dalle 10:00 alle 22:00 da marzo fino a metà giugno e da metà settembre fino a novembre, mentre nel periodo estivo (da metà giugno fino a metà settembre) il parco chiude alle 01:00 del giorno successivo.
Aggiornamento apertura 2016: dal 31 maggio al 28 agosto.

## Strutturazione del parco
L'area su cui sorge Terra Mítica è divisa in 5 zone. Ogni zona ha per tema un popolo delle antiche civiltà del Mediterraneo ed è caratterizzato da attrazioni e spettacoli che li rievocano. Qui di seguito viene fornito l'elenco completo.

### Egitto - I misteri geometrici dei faraoni

#### Attrazioni
- Porto di Alessandria
- Cataratte del Nilo
- Akuatiti
- Piramide del Terrore
- Area di tiro di Cheope

#### Spettacoli
- Danze di Karnak
- Mitic e Fakir
- Animaciones Terroríficas

### Grecia - Emozioni olimpiche e valore ateniese

#### Attrazioni
- Il Labirinto del Minotauro
- Il Tempio Perduto
- La Furia di Tritone
- Gli Icari
- Alucinakis
- Arriarrix
- Synkope

#### Spettacoli
- Il Fuggitivo
- Il Venditore Magico
- Il Sogno delle Naiadi

### Roma - L'impero più spettacolare

#### Attrazioni
- Magnus Colossus: è una montagna russa di legno, lunga 1149,7 metri ed alta 36,3 metri, dove si viaggia per 2 minuti a 100 km/h; è l'unica al mondo che possiede il double drop (discesa doppia).
- Il Volo della Fenice: torre di caduta libera alta 60 metri; impiega circa 3 secondi ad effettuare la discesa.
- Inferno
- Vertigum
- Torbellinus
- Tentaculus
- Ayquesustus
- Serpentinus
- Rotundus

#### Spettacoli
- Secutor Vindicatir
- Arriva una Principessa
- Il corteo di Cesare
- Mac Nificus, il Gladiatore
- Teatro di Titeres
- Marionette Reali
- Mitic

### Iberia - Velocità nella spiaggia più vicina

#### Attrazioni
- Il Treno Bravo
- Arieti
- Tizona
- El Moll
- Jabato

#### Spettacoli
- Le Visioni di Colombo
- Il Torneo
- Radici. Il Cavallo Spagnolo

### Le Isole - Il centro rinfrescante del divertimento

#### Attrazioni
- Il Salvataggio di Ulisse
- Mithos
- Le Rapide di Argo
- Nintendo Polis

#### Spettacoli
- Il Cuore di Samo
- Gocce del Mar Egeo
- Teleskopikos

## Curiosità
- Le mascotte ufficiali del parco sono tre: Mitic (un ippopotamo), La Rana (una rana) e Babà (un dromedario).
- Nei primissimi anni di vita, Terra Mítica è stato lo sponsor ufficiale del Valencia.

title: Terra Mítica

wikitext:
{{Parco divertimenti
|nome = Terra Mítica
|logo =
|logo_dimensione =
|immagine =
|didascalia =
|slogan = Più divertimento (''Más diversión'')
|nazione = ESP
|località = [[Benidorm]], [[Alicante]]
|tema = antiche civiltà del Mediterraneo
|proprietario = Grupo Aqualandia España, S.A.
|direttore =
|inaugurazione = 27 luglio 2000
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|nomi_precedenti =
|stagione_operativa = marzo - novembre
|visitatori_annui =
|estensione =
|sito = https://www.terramiticapark.com/
|numero_attrazioni = 33
|numero_montagne_russe = 4
|numero_attrazioni_acquatiche = 4
}}

[[File:27-05-06 165.jpg|thumb|upright=1.4|Logo di Terra Mítica]]
'''Terra Mítica''' è un [[parco di divertimento]] tematico, situato a [[Benidorm]], in [[Spagna]]. Il parco è composto da 5 zone: Egitto, Grecia, Roma, Iberia e Le Isole (greche). Nel [[2000]], anno in cui venne inaugurato, la [[Paramount Pictures|Paramount]] acquistò gran parte delle quote di partecipazione, cosicché il parco venne rinominato commercialmente ''Paramount Parks Terra Mítica''. A partire dal [[2004]], in seguito al rilascio delle quote detenute dalla Paramount, la gestione del parco è a carico della [[Comunità Valenciana]], che sta sviluppando attualmente nuove attrazioni da aggiungere a quelle già esistenti.

Il parco è aperto al pubblico dal 24 marzo al 5 novembre. L'orario di apertura va dalle 10:00 alle 22:00 da marzo fino a metà giugno e da metà settembre fino a novembre, mentre nel periodo estivo (da metà giugno fino a metà settembre) il parco chiude alle 01:00 del giorno successivo.
Aggiornamento apertura 2016: dal 31 maggio al 28 agosto.

== Strutturazione del parco ==

L'area su cui sorge Terra Mítica è divisa in 5 zone. Ogni zona ha per tema un popolo delle antiche civiltà del Mediterraneo ed è caratterizzato da attrazioni e spettacoli che li rievocano. Qui di seguito viene fornito l'elenco completo.

=== Egitto - I misteri geometrici dei faraoni ===

==== Attrazioni ====
[[File:Egipte.nit.jpg|thumb|La zona Egitto di notte]]
* Porto di Alessandria
* Cataratte del Nilo
* Akuatiti
* Piramide del Terrore
* Area di tiro di Cheope

==== Spettacoli ====

* Danze di Karnak
* Mitic e Fakir
* Animaciones Terroríficas

=== Grecia - Emozioni olimpiche e valore ateniese ===
[[File:Synkope.màxima.jpg|thumb|SynKope]]
==== Attrazioni ====

* Il Labirinto del Minotauro
* Il Tempio Perduto
* La Furia di Tritone
* Gli Icari
* Alucinakis
* Arriarrix
* Synkope

==== Spettacoli ====

* Il Fuggitivo
* Il Venditore Magico
* Il Sogno delle Naiadi

=== Roma - L'impero più spettacolare ===

==== Attrazioni ====

* Magnus Colossus: è una montagna russa di legno, lunga 1149,7 metri ed alta 36,3 metri, dove si viaggia per 2 minuti a 100 km/h; è l'unica al mondo che possiede il ''double drop'' (discesa doppia).
* Il Volo della Fenice: torre di caduta libera alta 60 metri; impiega circa 3 secondi ad effettuare la discesa.
* Inferno
* Vertigum
* Torbellinus
* Tentaculus
* Ayquesustus
* Serpentinus
* Rotundus

==== Spettacoli ====

* Secutor Vindicatir
* Arriva una Principessa
* Il corteo di Cesare
* Mac Nificus, il Gladiatore
* Teatro di Titeres
* Marionette Reali
* Mitic

=== Iberia - Velocità nella spiaggia più vicina ===
[[File:Tizona.maranya.jpg|thumb|Tizona]]
==== Attrazioni ====

* Il Treno Bravo
* Arieti
* Tizona
* El Moll
* Jabato

==== Spettacoli ====

* Le Visioni di Colombo
* Il Torneo
* Radici. Il Cavallo Spagnolo

=== Le Isole - Il centro rinfrescante del divertimento ===

==== Attrazioni ====

* Il Salvataggio di Ulisse
* Mithos
* Le Rapide di Argo
* Nintendo Polis

==== Spettacoli ====

* Il Cuore di Samo
* Gocce del Mar Egeo
* Teleskopikos

== Curiosità ==
* Le mascotte ufficiali del parco sono tre: Mitic (un [[ippopotamo]]), La Rana (una [[rana]]) e Babà (un [[dromedario]]).
* Nei primissimi anni di vita, Terra Mítica è stato lo sponsor ufficiale del [[Valencia CF|Valencia]].

== Altri progetti ==
{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==
* {{cita web|http://www.terramiticapark.com|Sito ufficiale di Terra Mítica|lingua=en, es, ca}}

{{Portale|Spagna}}
[[Categoria:Parchi di divertimento in Spagna]]
[[Categoria:Benidorm]]

title: Terra Mítica

Slogan: Più divertimento (Más diversión)

Stato: Spagna

Località: Benidorm, Alicante

Temi: antiche civiltà del Mediterraneo

Proprietario: Grupo Aqualandia España, S.A.

Inaugurazione: 27 luglio 2000

Stagione operativa: marzo - novembre

title: Attrazioni


text:
# Victor Torp
Victor Torp (Lemvig, 30 luglio 1999) è un calciatore danese, centrocampista del Coventry City.

## Caratteristiche tecniche
È un centrocampista centrale.

## Carriera

### Club
Cresciuto nelle giovanili del Lemvig, è successivamente entrato a far parte di quelle del Midtjylland. Aggregato in prima squadra a partire dalla stagione 2016-2017, si è accomodato in panchina per la prima volta in Superligaen in data 12 maggio 2017, in occasione della sconfitta per 5-2 subita sul campo del SønderjyskE.
Dopo un biennio con il Midtjylland, per la stagione 2018-2019 è stato ceduto al Fredericia con la formula del prestito. Il 29 luglio 2018 ha esordito quindi in 1. Division, trovando anche una rete nella sconfitta per 3-2 subita sul campo del Næstved. Al termine dell'annata, ha fatto ritorno al Midtjylland. Rimasto in squadra fino al mese di gennaio 2020, è stato poi prestato ancora al Fredericia, per cui ha totalizzato 15 presenze e 5 reti in campionato.
Il 18 settembre 2020, Torp ha rinnovato il contratto che lo legava al Midtjylland fino al 2025 e, contestualmente, è stato ceduto al Lyngby con la formula del prestito. Ha debuttato quindi in Superligaen in data 28 settembre, sostituendo Kasper Enghardt nella sconfitta per 4-1 in casa del Nordsjælland. Il 1º novembre 2020 ha siglato la prima rete nella massima divisione locale, nella partita persa per 4-2 sul campo del Copenaghen.
Rientrato nuovamente al Midtjylland per fine prestito, il 16 luglio 2021 ha trovato l'esordio con questa maglia: ha sostituito Anders Dreyer nella partita persa per 1-2 contro l'Odense.
Il 31 agosto 2021, Torp è passato ai belgi del Kortrijk, sempre in prestito. Ha giocato la prima partita in Pro League il successivo 19 settembre, sostituendo Mathias Fixelles nella vittoria per 1-0 sul Gent.
L'8 giugno 2022 è stato ufficializzato il suo passaggio a titolo definitivo ai norvegesi del Sarpsborg 08: ha firmato un contratto valido fino al 31 luglio 2025. Il trasferimento sarebbe stato ratificato a partire dal 1º agosto, data di riapertura del calciomercato locale. Ha scelto di vestire la maglia numero 29.
L'11 gennaio 2024 è stato tesserato dagli inglesi del Coventry City, firmando un contratto quadriennale.

### Nazionale
Ha giocato nelle nazionali giovanili danesi Under-17, Under-18, Under-19 ed Under-20.

## Statistiche

### Presenze e reti nei club
Statistiche aggiornate al 1º agosto 2022.
| Stagione            | Club                | Campionato          | Campionato | Campionato | Coppe nazionali | Coppe nazionali | Coppe nazionali | Coppe continentali | Coppe continentali | Coppe continentali | Supercoppe | Supercoppe | Supercoppe | Totale | Totale |
| Stagione            | Club                | Comp                | Pres       | Reti       | Comp            | Pres            | Reti            | Comp               | Pres               | Reti               | Comp       | Pres       | Reti       | Pres   | Reti   |
| ------------------- | ------------------- | ------------------- | ---------- | ---------- | --------------- | --------------- | --------------- | ------------------ | ------------------ | ------------------ | ---------- | ---------- | ---------- | ------ | ------ |
| 2016-2017           | Midtjylland         | SL                  | 0          | 0          | CD              | 0               | 0               | UEL                | 0                  | 0                  | -          | -          | -          | 0      | 0      |
| 2017-2018           | Midtjylland         | SL                  | 0          | 0          | CD              | 0               | 0               | UEL                | 0                  | 0                  | -          | -          | -          | 0      | 0      |
| 2018-2019           | Fredericia          | 1D                  | 19         | 4          | CD              | 3               | 0               | -                  | -                  | -                  | -          | -          | -          | 22     | 4      |
| 2019-gen. 2020      | Midtjylland         | SL                  | 0          | 0          | CD              | 0               | 0               | -                  | -                  | -                  | -          | -          | -          | 0      | 0      |
| gen.-giu. 2020      | Fredericia          | 1D                  | 15         | 5          | CD              | -               | -               | -                  | -                  | -                  | -          | -          | -          | 15     | 5      |
| Totale Fredericia   | Totale Fredericia   | Totale Fredericia   | 34         | 9          |                 | 3               | 0               |                    | -                  | -                  |            | -          | -          | 37     | 9      |
| 2020-2021           | Lyngby              | SL                  | 30         | 4          | CD              | 3               | 5               | -                  | -                  | -                  | -          | -          | -          | 33     | 9      |
| lug.-ago. 2021      | Midtjylland         | SL                  | 1          | 0          | CD              | 0               | 0               | UCL+UEL            | 0                  | 0                  | -          | -          | -          | 1      | 0      |
| Totale Midtjylland  | Totale Midtjylland  | Totale Midtjylland  | 1          | 0          |                 | 0               | 0               |                    | 0                  | 0                  |            | -          | -          | 1      | 0      |
| ago. 2021-2022      | Kortrijk            | D1                  | 9          | 0          | CB              | 2               | 0               | -                  | -                  | -                  | -          | -          | -          | 11     | 0      |
| ago.-dic. 2022      | Sarpsborg 08        | ES                  | 13         | 2          | CN              | -               | -               | -                  | -                  | -                  | -          | -          | -          | 13     | 2      |
| 2023                | Sarpsborg 08        | ES                  | 30         | 6          | CN              | 3               | 1               | -                  | -                  | -                  | -          | -          | -          | 33     | 7      |
| Totale Sarpsborg 08 | Totale Sarpsborg 08 | Totale Sarpsborg 08 | 43         | 8          |                 | 3               | 1               |                    | -                  | -                  |            | -          | -          | 46     | 9      |
| gen.-giu. 2024      | Coventry City       | FLC                 | 0          | 0          | FACup+CdL       | 0               | 0               | -                  | -                  | -                  | -          | -          | -          | 0      | 0      |
| Totale              | Totale              | Totale              | 117        | 21         |                 | 11              | 6               |                    | 0                  | 0                  |            | -          | -          | 128    | 27     |

title: Victor Torp

wikitext:
{{Sportivo
|Nome = Victor Torp
|Immagine =
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|CodiceNazione = {{DNK}}
|Altezza = 176
|Peso = 70
|Disciplina = Calcio
|Ruolo = [[Centrocampista]]
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{{Carriera sportivo|sport=calcio|pos=G
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|Squadre =
{{Carriera sportivo|sport=calcio|pos=G
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|2019-2020|Midtjylland|0 (0)
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|SquadreNazionali=
{{Carriera sportivo
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|Vittorie=
|Aggiornato = 11 gennaio 2024
}}
{{Bio
|Nome = Victor
|Cognome = Torp
|Sesso = M
|LuogoNascita = Lemvig
|GiornoMeseNascita = 30 luglio
|AnnoNascita = 1999
|LuogoMorte =
|GiornoMeseMorte =
|AnnoMorte =
|Epoca = 2000
|Attività = calciatore
|Nazionalità = danese
|PostNazionalità = , [[centrocampista]] del [[Coventry City Football Club|Coventry City]]
}}

==Caratteristiche tecniche==
È un [[Centrocampista|centrocampista centrale]].

==Carriera==
===Club===
Cresciuto nelle giovanili del Lemvig, è successivamente entrato a far parte di quelle del [[Football Club Midtjylland|Midtjylland]]. Aggregato in prima squadra a partire dalla stagione 2016-2017, si è accomodato in panchina per la prima volta in [[Superligaen]] in data 12 maggio 2017, in occasione della sconfitta per 5-2 subita sul campo del [[Sønderjysk Elitesport|SønderjyskE]].<ref>{{cita web|url=https://it.soccerway.com/matches/2017/05/12/denmark/superliga/sonderjyske/fc-midtjylland/2429736/|editore=soccerway.com|accesso=8 agosto 2022|titolo=SønderjyskE vs. Midtjylland}}</ref>

Dopo un biennio con il Midtjylland, per la stagione 2018-2019 è stato ceduto al [[Fodbold Club Fredericia af 1991|Fredericia]] con la formula del prestito. Il 29 luglio 2018 ha esordito quindi in [[1. Division]], trovando anche una rete nella sconfitta per 3-2 subita sul campo del [[Næstved Boldklub|Næstved]].<ref>{{cita web|url=https://it.soccerway.com/matches/2018/07/29/denmark/1st-division/nastved-boldklub-as/fc-fredericia/2793341/|editore=soccerway.com|accesso=8 agosto 2022|titolo=Næstved vs. Fredericia}}</ref> Al termine dell'annata, ha fatto ritorno al Midtjylland. Rimasto in squadra fino al mese di gennaio 2020, è stato poi prestato ancora al Fredericia, per cui ha totalizzato 15 presenze e 5 reti in campionato.

Il 18 settembre 2020, Torp ha rinnovato il contratto che lo legava al Midtjylland fino al 2025 e, contestualmente, è stato ceduto al [[Lyngby Boldklub|Lyngby]] con la formula del prestito.<ref>{{cita web|url=https://www.fcm.dk/nyheder/midtbanetalent-forlaenger-med-fcm-og-udlejes-til-lyngby/|editore=fcm.dk|accesso=8 agosto 2022|titolo=MIDTBANETALENT FORLÆNGER MED FCM OG UDLEJES TIL LYNGBY|lingua=da}}</ref> Ha debuttato quindi in Superligaen in data 28 settembre, sostituendo [[Kasper Enghardt]] nella sconfitta per 4-1 in casa del [[Football Club Nordsjælland|Nordsjælland]].<ref>{{cita web|url=https://it.soccerway.com/matches/2020/09/28/denmark/superliga/fc-nordsjalland/lyngby-boldklub/3322147/|editore=soccerway.com|accesso=8 agosto 2022|titolo=Nordsjælland vs. Lyngby}}</ref> Il 1º novembre 2020 ha siglato la prima rete nella massima divisione locale, nella partita persa per 4-2 sul campo del [[Football Club København|Copenaghen]].<ref>{{cita web|url=https://it.soccerway.com/matches/2020/11/01/denmark/superliga/fc-kobenhavn/lyngby-boldklub/3322166/|editore=soccerway.com|accesso=8 agosto 2022|titolo=Copenaghen vs. Lyngby}}</ref>

Rientrato nuovamente al Midtjylland per fine prestito, il 16 luglio 2021 ha trovato l'esordio con questa maglia: ha sostituito [[Anders Dreyer]] nella partita persa per 1-2 contro l'[[Odense Boldklub|Odense]].<ref>{{cita web|url=https://it.soccerway.com/matches/2021/07/16/denmark/superliga/fc-midtjylland/odense-boldklub/3510668/|editore=soccerway.com|accesso=8 agosto 2022|titolo=Midtjylland vs. Odense}}</ref>

Il 31 agosto 2021, Torp è passato ai [[Belgio|belgi]] del [[Koninklijke Voetbalclub Kortrijk|Kortrijk]], sempre in prestito.<ref>{{cita web|url=https://www.kvk.be/nieuws/deens-talent-voor-kvk/|editore=kvk.be|accesso=8 agosto 2022|titolo=DEENS TALENT VOOR KVK|lingua=nl}}</ref> Ha giocato la prima partita in [[Pro League]] il successivo 19 settembre, sostituendo [[Mathias Fixelles]] nella vittoria per 1-0 sul [[Koninklijke Atletiek Associatie Gent|Gent]].<ref>{{cita web|url=https://it.soccerway.com/matches/2021/09/19/belgium/pro-league/kv-kortrijk/koninklijke-atletiek-associatie-gent/3512119/|editore=soccerway.com|accesso=8 agosto 2022|titolo=Kortrijk vs. Gent}}</ref>

L'8 giugno 2022 è stato ufficializzato il suo passaggio a titolo definitivo ai [[Norvegia|norvegesi]] del [[Sarpsborg 08 Fotballforening|Sarpsborg 08]]: ha firmato un contratto valido fino al 31 luglio 2025.<ref name=S08>{{cita web|url=https://www.sarpsborg08.no/nyheter/sarpsborg-08-signerer-victor-torp-fra-fc-midtjylland|editore=sarpsborg08.no|accesso=8 agosto 2022|titolo=SARPSBORG 08 SIGNERER VICTOR TORP FRA FC MIDTJYLLAND|lingua=no}}</ref> Il trasferimento sarebbe stato ratificato a partire dal 1º agosto, data di riapertura del calciomercato locale.<ref name=S08 /> Ha scelto di vestire la maglia numero 29.<ref>{{cita web|url=https://www.sarpsborg08.no/nyheter/dette-er-de-nye-spillernes-draktnummer|editore=sarpsborg08.no|accesso=9 agosto 2022|titolo=DETTE ER DE NYE SPILLERNES DRAKTNUMMER|lingua=no}}</ref>

L'11 gennaio 2024 è stato tesserato dagli inglesi del [[Coventry City Football Club|Coventry City]], firmando un contratto quadriennale.<ref>{{cita web|url=https://www.ccfc.co.uk/news/2024/january/transfer-victor-torp-joins-coventry-city/|editore=ccfc.co.uk|accesso=11 gennaio 2024|titolo=TRANSFER: Victor Torp joins Coventry City|lingua=en}}</ref>

===Nazionale===
Ha giocato nelle nazionali giovanili danesi Under-17, Under-18, Under-19 ed Under-20.

==Statistiche==
===Presenze e reti nei club===
''Statistiche aggiornate al 1º agosto 2022.''
{| class="wikitable" style="font-size:90%;width:99%;text-align:center;"
|-
!rowspan="2"|Stagione
!rowspan="2"|Club
!colspan="3"|Campionato
!colspan="3"|Coppe nazionali
!colspan="3"|Coppe continentali
!colspan="3"|Supercoppe
!colspan="2"|Totale
|-
!Comp
!Pres
!Reti
!Comp
!Pres
!Reti
!Comp
!Pres
!Reti
!Comp
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!Reti
!Pres
!Reti

|-
| [[Football Club Midtjylland 2016-2017|2016-2017]] || rowspan=2| {{Bandiera|DNK}} [[Football Club Midtjylland|Midtjylland]] || [[Superligaen 2016-2017|SL]] || 0 || 0 || [[DBUs Landspokalturnering 2016-2017|CD]] || 0 || 0 || [[UEFA Europa League 2016-2017|UEL]] || 0 || 0 || - || - || - || 0 || 0

|-
| [[Football Club Midtjylland 2017-2018|2017-2018]] || [[Superligaen 2017-2018|SL]] || 0 || 0 || [[DBUs Landspokalturnering 2017-2018|CD]] || 0 || 0 || [[UEFA Europa League 2017-2018|UEL]] || 0 || 0 || - || - || - || 0 || 0

|-
| 2018-2019 || rowspan=1| {{Bandiera|DNK}} [[Fodbold Club Fredericia af 1991|Fredericia]] || [[1. Division 2018-2019|1D]] || 19 || 4 || [[DBUs Landspokalturnering 2018-2019|CD]] || 3 || 0 || - || - || - || - || - || - || 22 || 4

|-
| 2019-gen. 2020 || rowspan=1| {{Bandiera|DNK}} [[Football Club Midtjylland|Midtjylland]] || [[Superligaen 2019-2020|SL]] || 0 || 0 || [[DBUs Landspokalturnering 2019-2020|CD]] || 0 || 0 || - || - || - || - || - || - || 0 || 0

|-
| gen.-giu. 2020 || rowspan=1| {{Bandiera|DNK}} [[Fodbold Club Fredericia af 1991|Fredericia]] || [[1. Division 2019-2020|1D]] || 15 || 5 || [[DBUs Landspokalturnering 2019-2020|CD]] || - || - || - || - || - || - || - || - || 15 || 5

|-
!colspan="3"| Totale Fredericia || 34 || 9 || || 3 || 0 || || - || - || || - || - || 37 || 9

|-
| 2020-2021 || rowspan=1| {{Bandiera|DNK}} [[Lyngby Boldklub|Lyngby]] || [[Superligaen 2020-2021|SL]] || 30 || 4 || [[DBUs Landspokalturnering 2020-2021|CD]] || 3 || 5 || - || - || - || - || - || - || 33 || 9

|-
| lug.-ago. 2021 || rowspan=1| {{Bandiera|DNK}} [[Football Club Midtjylland|Midtjylland]] || [[Superligaen 2021-2022|SL]] || 1 || 0 || [[DBUs Landspokalturnering 2021-2022|CD]] || 0 || 0 || [[UEFA Champions League 2021-2022|UCL]]+[[UEFA Europa League 2021-2022|UEL]] || 0 || 0 || - || - || - || 1 || 0

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!colspan="3"| Totale Midtjylland || 1 || 0 || || 0 || 0 || || 0 || 0 || || - || - || 1 || 0

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| ago. 2021-2022 || rowspan=1| {{Bandiera|BEL}} [[Koninklijke Voetbalclub Kortrijk|Kortrijk]] || [[Pro League 2021-2022|D1]] || 9 || 0 || [[Coppa del Belgio 2021-2022|CB]] || 2 || 0 || - || - || - || - || - || - || 11 || 0

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| [[Sarpsborg 08 Fotballforening 2022|ago.-dic. 2022]] || rowspan=2| {{Bandiera|NOR}} [[Sarpsborg 08 Fotballforening|Sarpsborg 08]] || [[Eliteserien 2022|ES]] || 13 || 2 || [[Norgesmesterskapet 2022|CN]] || - || - || - || - || - || - || - || - || 13 || 2

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| [[Sarpsborg 08 Fotballforening 2023|2023]] || [[Eliteserien 2023|ES]] || 30 || 6 || [[Norgesmesterskapet 2023|CN]] || 3 || 1 || - || - || - || - || - || - || 33 || 7

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!colspan="3"| Totale Sarpsborg 08 || 43 || 8 || || 3 || 1 || || - || - || || - || - || 46 || 9

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| gen.-giu. 2024 || rowspan=1| {{Bandiera|ENG}} [[Coventry City Football Club|Coventry City]] || [[Football League Championship 2023-2024|FLC]] || 0 || 0 || [[FA Cup 2023-2024|FACup]]+[[English Football League Cup 2023-2024|CdL]] || 0 || 0 || - || - || - || - || - || - || 0 || 0

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!colspan="3"| Totale || 117 || 21 || || 11 || 6 || || 0 || 0 || || - || - || 128 || 27

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|}

==Note==
<references />

==Collegamenti esterni==
*{{Collegamenti esterni}}
*{{Altomfotball|334353}}

{{Calcio Coventry City rosa}}
{{Portale|biografie|calcio}}

title: Victor Torp

Nazionalità: Danimarca

Peso: 70 kg

title: Calcio

Ruolo: Centrocampista

Squadra: Coventry City

title: Squadre di club1

Midtjylland · 0 (0)

→ Fredericia · 19 (4)

Midtjylland · 0 (0)

→ Fredericia · 15 (5)

→ Lyngby · 30 (4)

Midtjylland · 1 (0)

→ Kortrijk · 9 (0)

Sarpsborg 08 · 43 (8)

Coventry City · 26 (1)

title: Nazionale

Danimarca U-17 · 8 (1)

Danimarca U-18 · 5 (0)

Danimarca U-19 · 12 (2)

Danimarca U-20 · 2 (0)

Nazionale: 1 I due numeri indicano le presenze e le reti segnate, per le sole partite di campionato. · Il simbolo → indica un trasferimento in prestito.

Nazionale: Statistiche aggiornate all'11 gennaio 2024


text:
# Habanita
Habanita è un profumo femminile creato nel 1921 dalla casa Molinard di Grasse. È considerato uno dei profumi che hanno rivoluzionato l'industria della profumeria moderna, ed è sicuramente il prodotto più celebre della maison Molinard.

## Il profumo
Creato appositamente da un farmacista di Grasse per ridurre il fastidioso odore delle sigarette, Habanita non fu messo in commercio sino al 1924. Si tratta di un profumo piuttosto inusuale e riconoscibile, classificato F1 (Ambrata Floreale Legnosa). Habanita fu lanciato con lo slogan Le Parfum pour cigarettes, che successivamente divenne il Profumo più tenace del mondo.
Nel corso degli anni, Habanita è stato commercializzato in vari flaconi differenti. I più famosi sono sicuramente Beauty di René Lalique, che realizzò una bottiglia di cristallo nero con un fregio di cariatidi e Diamond, realizzata da Cristalleries de Baccarat nel 1934. Il flacone di Habanita doveva necessariamente essere di colore scuro, dato che alcuni dei componenti che costituiscono la fragranza, come il gelsomino e la vaniglia, sono sensibili alla luce.
Nel 1988 il profumo fu riorchestrato da Roure e rilanciato sul mercato. Nuovamente nel 2005 Habanita (nella nuova versione del 1988) è stato oggetto di un nuovo rilancio da parte di Molinard.

title: Habanita

wikitext:
{{Profumo
|Immagine = Ancien flacon de parfum Molinard.jpg
|Dimensione immagine = 200px
|Nome = Habanita
|Categoria = Profumo
|Casa= [[Parfums Molinard]]
|Genere = Donna
|Profumiere =
|Anno di creazione = [[1921]]
|Famiglia = Orientale-legnoso
|Testa = Bergamotto, Pesca, Fragola, Fiori d'Arancio
|Cuore = Rose orientale, Ylang-Ylang, Orris, lilla
|Fondo = Cuoio, Vaniglia, Legno di Cedro, Benzoino
}}
'''Habanita''' è un [[profumo]] femminile creato nel [[1921]] dalla casa [[Parfums Molinard|Molinard]] di [[Grasse]]. È considerato uno dei profumi che hanno rivoluzionato l'industria della profumeria moderna, ed è sicuramente il prodotto più celebre della maison Molinard.<ref name=aqua/>

== Il profumo ==
Creato appositamente da un [[farmacia|farmacista]] di [[Grasse]] per ridurre il fastidioso odore delle [[sigarette]], ''Habanita'' non fu messo in commercio sino al [[1924]]<ref>[http://www.fragrantica.com/perfume/Molinard/Habanita-3934.html Fragrantica]</ref>. Si tratta di un profumo piuttosto inusuale e riconoscibile<ref>[http://www.osmoz.com/fragrances/Perfumers-Brands/Molinard/Habanita Osmoz] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100307154026/http://www.osmoz.com/fragrances/Perfumers-Brands/Molinard/Habanita |data=7 marzo 2010 }}</ref>, classificato F1 (Ambrata Floreale Legnosa)<ref name=PI>[http://www.perfumeintelligence.co.uk/library/perfume/h/h1/h1p1.htm Perfume Intelligence]</ref>. ''Habanita'' fu lanciato con lo slogan ''Le Parfum pour cigarettes'', che successivamente divenne ''il Profumo più tenace del mondo''.<ref name=aqua>[http://www.aquacosmetics.com/it/molinard/habanita.html Molinard - Habanita] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130111085814/http://www.aquacosmetics.com/it/molinard/habanita.html |data=11 gennaio 2013 }}</ref>

Nel corso degli anni, ''Habanita'' è stato commercializzato in vari flaconi differenti. I più famosi sono sicuramente ''Beauty'' di [[René Lalique]], che realizzò una bottiglia di [[cristallo]] nero con un fregio di [[Cariatide|cariatidi]] e ''Diamond'', realizzata da [[Cristalleries de Baccarat]] nel [[1934]]<ref name=PI/>. Il flacone di ''Habanita'' doveva necessariamente essere di colore scuro, dato che alcuni dei componenti che costituiscono la fragranza, come il [[gelsomino]] e la [[vaniglia]], sono sensibili alla luce.<ref name=aqua/>

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== Note ==
<references/>

== Bibliografia ==
*''[http://books.google.it/books?id=8a-Q0uZU9o8C&pg=PA191&dq=Perfumes+Habanita&hl=it&sa=X&ei=3-vpTqjEHNPR4QSGzZT7CA&ved=0CD0Q6AEwAQ#v=onepage&q=Perfumes%20Habanita&f=false Perfumes]'' di Luca Turin e Tania Sanchez. Profile Books Ltd, 2009, ISBN 1846681278

== Collegamenti esterni ==
* [http://www.molinard.com/ Sito ufficiale] di [[Parfums Molinard]]

{{portale|moda}}

[[Categoria:Fragranze]]

title: Habanita

Categoria: Profumo

Casa: Parfums Molinard

Genere: Donna

Famiglia: Orientale-legnoso

title: Note olfattive