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# FIBA World Cup All-Tournament Teams (femminile)
Il FIBA World Cup All-Tournament Teams è il riconoscimento che la FIBA conferisce a ogni edizione dei Mondiali di pallacanestro alle migliori giocatrici che si sono distinte nel corso del torneo.

## Vincitori
| Grassetto | MVP del torneo |

| Edizione | Giocatore           | Nazionale   | Ref.  |
| -------- | ------------------- | ----------- | ----- |
| 1994     | Hortencia Marcari   | Brasile     | [ 1 ] |
| 1994     | Janeth Arcain       | Brasile     | [ 1 ] |
| 1994     | Katrina McClain     | Stati Uniti | [ 1 ] |
| 1994     | Teresa Edwards      | Stati Uniti | [ 1 ] |
| 1994     | Zheng Haixia        | Cina        | [ 1 ] |
| 2002     | Shannon Johnson     | Stati Uniti | [ 2 ] |
| 2002     | Amaya Valdemoro     | Spagna      | [ 2 ] |
| 2002     | Elena Baranova      | Russia      | [ 2 ] |
| 2002     | Lauren Jackson      | Australia   | [ 2 ] |
| 2002     | Lisa Leslie         | Stati Uniti | [ 2 ] |
| 2006     | Sue Bird            | Stati Uniti |       |
| 2006     | Diana Taurasi       | Stati Uniti |       |
| 2006     | Penny Taylor        | Australia   |       |
| 2006     | Lauren Jackson (2)  | Australia   |       |
| 2006     | Marija Stepanova    | Russia      |       |
| 2010     | Hana Machová        | Rep. Ceca   | [ 3 ] |
| 2010     | Diana Taurasi (2)   | Stati Uniti | [ 3 ] |
| 2010     | Eva Vítečková       | Rep. Ceca   | [ 3 ] |
| 2010     | Sancho Lyttle       | Spagna      | [ 3 ] |
| 2010     | Alena Leŭčanka      | Bielorussia | [ 3 ] |
| 2014     | Alba Torrens        | Spagna      | [ 4 ] |
| 2014     | Penny Taylor (2)    | Australia   | [ 4 ] |
| 2014     | Maya Moore          | Stati Uniti | [ 4 ] |
| 2014     | Sancho Lyttle (2)   | Spagna      | [ 4 ] |
| 2014     | Brittney Griner     | Stati Uniti | [ 4 ] |
| 2018     | Diana Taurasi (3)   | Stati Uniti | [ 5 ] |
| 2018     | Breanna Stewart     | Stati Uniti | [ 5 ] |
| 2018     | Emma Meesseman      | Belgio      | [ 5 ] |
| 2018     | Astou Ndour         | Spagna      | [ 5 ] |
| 2018     | Liz Cambage         | Australia   | [ 5 ] |
| 2022     | A'ja Wilson         | Stati Uniti | [ 6 ] |
| 2022     | Breanna Stewart (2) | Stati Uniti | [ 6 ] |
| 2022     | Stephanie Talbot    | Australia   | [ 6 ] |
| 2022     | Bridget Carleton    | Canada      | [ 6 ] |
| 2022     | Han Xu              | Cina        | [ 6 ] |

## Giocatori inseriti più volte nel quintetto ideale
| Inclusioni | Giocatore                        |
| ---------- | -------------------------------- |
| 3          | Diana Taurasi (2006, 2010, 2018) |
| 2          | Sancho Lyttle (2010, 2014)       |
| 2          | Penny Taylor (2006, 2014)        |
| 2          | Lauren Jackson (2002, 2006)      |
| 2          | Breanna Stewart (2018, 2022)     |

wikitext:
{{Aggiornare|anno=2026|mese=09|argomento=pallacanestro}}
Il '''FIBA World Cup All-Tournament Teams''' è il riconoscimento che la [[Federazione Internazionale Pallacanestro|FIBA]] conferisce a ogni edizione dei [[Campionati mondiali femminili di pallacanestro|Mondiali di pallacanestro]] alle migliori giocatrici che si sono distinte nel corso del torneo.

== Vincitori ==
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|-
|}

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|-
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|-
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| [[Hortência de Fátima Marcari|Hortencia Marcari]] || {{Naz|PC|BRA|F}}
|rowspan=5| <ref>{{cita news|lingua=es|url=http://hemeroteca-paginas.mundodeportivo.com/EMD01/HEM/1994/06/13/MD19940613-054.pdf|titolo=Brasil, serprendente campeón del mundo|data=13 giugno 1994|editore=mundodeportivo.com}}</ref>
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| [[Janeth dos Santos Arcain|Janeth Arcain]] || {{Naz|PC|BRA|F}}
|-
| [[Katrina McClain]] || {{Naz|PC|USA|F}}
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| [[Teresa Edwards]] || {{Naz|PC|USA|F}}
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| '''[[Zheng Haixia]]''' || {{Naz|PC|CHN|F}}
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| [[Shannon Johnson]] || {{Naz|PC|USA|F}}
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| [[Amaya Valdemoro]] || {{Naz|PC|ESP|F}}
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| [[Penny Taylor]] (2) || {{Naz|PC|AUS|F}}
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| '''[[Maya Moore]]''' || {{Naz|PC|USA|F}}
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| [[Sancho Lyttle]] (2) || {{Naz|PC|ESP|F}}
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| [[Brittney Griner]] || {{Naz|PC|USA|F}}
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| [[Diana Taurasi]] (3) || {{Naz|PC|USA|F}}
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| '''[[Breanna Stewart]]''' || {{Naz|PC|USA|F}}
|-
| [[Emma Meesseman]] || {{Naz|PC|BEL|F}}
|-
| [[Astou Ndour]] || {{Naz|PC|ESP|F}}
|-
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|-style = "border-top:2px solid black;"
|rowspan=5| [[Campionato mondiale femminile di pallacanestro 2022|2022]]
| '''[[A'ja Wilson]]''' || {{Naz|PC|USA|F}}
|rowspan=5| <ref>{{cita news|lingua=en|url=https://www.fiba.basketball/womensbasketballworldcup/2022/news/a-ja-wilson-crowned-tissot-mvp-to-lead-all-star-five-presented-by-google|titolo=A'Ja Wilson crowned TISSOT MVP to lead All-Star Five presented by Google|editore=fiba.basketball|data=1º ottobre 2022}}</ref>
|-
| [[Breanna Stewart]] (2) || {{Naz|PC|USA|F}}
|-
| [[Stephanie Talbot]] || {{Naz|PC|AUS|F}}
|-
| [[Bridget Carleton]] || {{Naz|PC|CAN|F}}
|-
| [[Han Xu (cestista)|Han Xu]] || {{Naz|PC|CHN|F}}
|}

== Giocatori inseriti più volte nel quintetto ideale ==
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|-
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|-
| 3
| align="left"|{{Bandiera|USA}} [[Diana Taurasi]] (2006, 2010, 2018)
|-
| rowspan="4" |2
| align="left"|{{Bandiera|ESP}} [[Sancho Lyttle]] (2010, 2014)
|-
| align="left"|{{Bandiera|AUS}} [[Penny Taylor]] (2006, 2014)
|-
| align="left"|{{Bandiera|AUS}} [[Lauren Jackson]] (2002, 2006)
|-
| align="left"|{{Bandiera|USA}} [[Breanna Stewart]] (2018, 2022)
|}

== Note ==
<references />

== Voci correlate ==
* [[Federazione Internazionale Pallacanestro]]
* [[Campionati mondiali maschili di pallacanestro]]

== Collegamenti esterni ==
* {{cita web|url=http://www.fiba.com/|titolo=Sito ufficiale FIBA|accesso=15 aprile 2019|dataarchivio=4 novembre 1996|urlarchivio=https://web.archive.org/web/19961104154421/http://www.fiba.com/|urlmorto=sì}}

{{Campionati mondiali di pallacanestro}}
{{Portale|pallacanestro}}

[[Categoria:Campionato mondiale femminile di pallacanestro]]
[[Categoria:Premi cestistici|Mondiali]]


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# Tempo medio di uscita di una stringa

## Definizione
Nella teoria delle probabilità il tempo medio di uscita di una stringa è il calcolo della previsione di uscita di una stringa prefissata di {\displaystyle k} caratteri estraendo casualmente le lettere da un insieme finito di caratteri, dato dalla formula {\displaystyle \mathbf {E} [U]=\sum _{h\in H}m^{h}}, dove:
- {\displaystyle m} è il numero totale di caratteri dell'alfabeto di riferimento
- {\displaystyle H} è un insieme di indici che contiene i valori
  - la posizione del primo carattere, pari a {\displaystyle {\text{1}}}
  - la posizione dell'ultimo carattere, pari alla lunghezza {\displaystyle k} della stringa
  - le posizioni di ogni sotto-stringa ripetuta all'interno della stringa
- {\displaystyle U} è una variabile aleatoria che definisce il tempo di uscita della stringa

Per calcolare la previsione è necessario anche conoscere la probabilità di uscita di un carattere dall'insieme totale dei caratteri, dato da {\displaystyle P\{X_{n}=i\}}, dove {\displaystyle X_{n}} è una variabile aleatoria che può assumere i valori di un carattere dell'alfabeto, mentre l'evento {\displaystyle \{X_{n}=i\}} definisce l'uscita del carattere {\displaystyle i} alla {\displaystyle n}-esima estrazione.

### Esempio
Si calcola la previsione del tempo medio di uscita della parola ABRACADABRA utilizzando l'alfabeto inglese composto da ventisei lettere.
Utilizzando la definizione si ha che {\displaystyle {\begin{cases}m=26\\k=11\\H=\{1,4,11\}\\P\{X_{n}=i\}={\frac {1}{26}}\end{cases}}}
Si osserva che {\displaystyle H} contiene le posizioni del primo e dell'ultimo carattere, oltre alla posizione dell'ultimo carattere della sotto-stringa ABRA ripetuta.
Da ciò ne deriva che {\displaystyle \mathbf {E} [U]=26^{1}+26^{4}+26^{11}\simeq 3.67\times 10^{15}}, ossia il tempo medio di uscita della parola ABRACADABRA è dopo aver effettuato circa {\displaystyle 3670} miliardi di digitazioni casuali su una tastiera di {\displaystyle 26} caratteri.

### Passaggio al limite
Si può facilmente vedere che la previsione del tempo medio di uscita di una stringa è una funzione divergente all'aumentare del numero di caratteri da estrarre. Pertanto, il limite della previsione per un numero di caratteri che tende all'infinito è pari a infinito, ossia {\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }(\sum _{h\in H}m^{h})=\infty ,\forall {m>1}}.
Intuitivamente si può calcolare il limite, considerando l'ipotesi che non esistano sotto-stringhe ripetute. Se questo limite tende a infinito a maggior ragione il limite nel caso di ripetizioni tende ad infinito. Si può non tenere conto dell'indice iniziale, pari sempre a uno, in quanto nel calcolo del limite sarebbe una costante. In base a queste considerazioni si osserva che {\displaystyle m^{k}\leqslant \sum _{h\in H}m^{h},\forall {m>1}} e se il limite di {\displaystyle m^{k}} per {\displaystyle k} che tende a infinito è pari a infinito, allora anche il limite {\displaystyle \sum _{h\in H}m^{h}} sarà pari a infinito. Per ogni {\displaystyle m>1\in \mathbb {N} } la funzione {\displaystyle m^{k}} è divergente, quindi {\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }m^{k}=\infty }.

## Enunciato
Sia {\displaystyle C=\{1,2,\ldots ,m\}} un insieme di {\displaystyle m} caratteri, con {\displaystyle m\in \mathbb {N} \smallsetminus \{0\}}. Si può definire una stringa prefissata {\displaystyle (a_{j})_{1\leqslant j\leqslant k}} di lunghezza {\displaystyle k} caratteri tale che {\displaystyle a_{j}\in C,\forall {j=1,\ldots ,k}}.
Sia {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} uno spazio di probabilità, tale che {\displaystyle \Omega =\{1,\ldots ,m\}}, {\displaystyle {\mathcal {A}}} è una {\displaystyle \sigma }-algebra di {\displaystyle \Omega } e {\displaystyle P} una misura di probabilità sullo spazio {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}. Su questo spazio si può costruire una successione di variabili aleatorie {\displaystyle (X_{n})_{n>0}} tali che {\displaystyle P\{X_{n}=i\}={\frac {1}{m}}=p,\forall {n>0,i\in C}}.
Sia {\displaystyle T=\inf\{n:X_{n+j}=a_{j},\forall {j=1,\ldots ,k}\}} il tempo più piccolo entro il quale al tempo {\displaystyle n+j+k} la successione {\displaystyle (X_{n})_{n}} realizza la stringa {\displaystyle (a_{j})_{j}}. Si definisce {\displaystyle U=T+k} il tempo di uscita della stringa.
Si prova che {\displaystyle \mathbf {E} [U]=\sum _{h\in H}m^{h}}, con {\displaystyle H=\{h:1\leqslant h\leqslant k,a_{k-h+j}=a_{j},\forall {j=1,\ldots ,k}\}}.

### Dimostrazione
Sia {\displaystyle F=(F_{n})_{n}} una filtrazione tale che {\displaystyle F_{0}=\{\varnothing ,\Omega \}} e {\displaystyle F_{n}=\sigma (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}, ossia la {\displaystyle \sigma }-algebra generata dalla successione di variabili aleatorie al tempo {\displaystyle n}.

#### Osservazione 1
{\displaystyle T} e {\displaystyle U} sono dei tempi di arresto rispetto a {\displaystyle F}
Per il paradosso di Borel {\displaystyle P\{X_{n+1}=a_{1},X_{n+2}=a_{2},\ldots ,X_{n+k}=a_{k}\}=1}, ossia la probabilità di ottenere la sequenza {\displaystyle (a_{j})_{j}} digitando casualmente le lettere di una tastiera è quasi certa. Da ciò deriva che {\displaystyle P\{T<\infty \}=1}. Anche {\displaystyle U} è un tempo di arresto rispetto a {\displaystyle F} in quanto, essendo {\displaystyle k} una costante,{\displaystyle P\{T+k<\infty \}=P\{U<\infty \}=1}

#### Osservazione 2
{\displaystyle P\{T+k>n\}=\sum _{h\in H}{\Bigl (}\prod _{j=1}^{h}{\frac {1}{p}}{\Bigr )}P\{T+k=n+h\}}
Si definisce una successione di variabili aleatorie indipendenti, per ogni {\displaystyle n} fissato, {\displaystyle (Y_{j}^{(n)})_{j>0}} tale che {\displaystyle Y_{j}^{(n)}={\frac {1}{p}}\mathrm {I} _{\{X_{n+j}=a_{j}\}},\forall {j=1,\ldots ,k}}. La successione è indipendente in quanto è funzione della successione {\displaystyle (X_{n})_{n}}, anch'essa indipendente.
Per ogni {\displaystyle j} si osserva che la previsione di {\displaystyle Y_{j}^{(n)}} è pari a uno. Infatti {\displaystyle \mathbf {E} [Y_{j}^{(n)}]={\frac {1}{p}}p=1}
Si pone {\displaystyle M_{j}^{(n)}={\begin{cases}1{\text{ se }}0\leqslant j\leqslant n\\\prod _{j=1}^{h}Y_{j}^{(n)}{\text{ se }}j=n+h,{\text{ con }}1\leqslant h\leqslant k\\M_{n+k}^{(n)}{\text{ se }}j>n+h\end{cases}}}
La successione {\displaystyle (M_{j}^{(n)})_{j}} è una {\displaystyle F}-martingala.

##### Osservazione 2.1
{\displaystyle T=\inf\{n:M_{n+k}^{(n)}\neq 0\}}

##### Osservazione 2.2
{\displaystyle \mathrm {I} _{\{T>n\}}M_{n+k}^{(n)}=0}
Si pone {\displaystyle L^{(n)}=M^{(n)|U}=(M_{U\land j})_{j}}, che per la trasformazione secondo Burkholder è anch'essa una {\displaystyle F}-martingala.
Si trova il valore di {\displaystyle L_{n+k}^{(n)}}quando {\displaystyle T>n}.
{\displaystyle \mathrm {I} _{\{T>n\}}L_{n+k}^{(n)}=\mathrm {I} _{\{T>n\}}M_{U\land n+k}^{(n)}=\mathrm {I} _{\{T>n\}}M_{T+k\land n+k}^{(n)}}
Dato che stiamo considerando il caso che {\displaystyle T>n}, il valore più piccolo tra {\displaystyle T+k} e {\displaystyle n+k} è proprio {\displaystyle n+k}
{\displaystyle \mathrm {I} _{\{T>n\}}M_{T+k\land n+k}^{(n)}=\mathrm {I} _{\{T>n\}}M_{n+k}^{(n)}=\mathrm {I} _{\{T>n\}}\prod _{j=1}^{k}Y_{j}=\mathrm {I} _{\{T>n\}}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{p}}\mathrm {I} _{\{X_{j}=a_{j}\}}}
Per definizione di {\displaystyle T}, ossia il più piccolo {\displaystyle n} tale che la stringa si realizzi, si ha {\displaystyle M_{n+k}^{(n)}=0} in quanto esiste almeno un carattere {\displaystyle j} compreso tra {\displaystyle 1} e {\displaystyle k} dove {\displaystyle X_{j}\neq a_{j}}. Come conseguenza si ha che {\displaystyle \mathrm {I} _{\{X_{n+j}=a_{j}\}}=0} e quindi {\displaystyle \mathrm {I} _{\{T>n\}}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{p}}\mathrm {I} _{\{X_{j}=a_{j}\}}=0}

##### Osservazione 2.3
{\displaystyle \mathrm {I} _{\{T+k=n+h\}}M_{n+h}^{(n)}={\begin{cases}\mathrm {I} _{\{T+k=n+h\}}{\Bigl (}{\frac {1}{p}}{\Bigr )}^{h},{\text{ se }}h\in H\\0{\text{ se }}h\not \in H\end{cases}}}
Si trova il valore di {\displaystyle M_{n+h}^{(n)}} quando {\displaystyle T+k=n+h}.
{\displaystyle \mathrm {I} _{\{T+k=n+h\}}M_{n+h}^{(n)}=\mathrm {I} _{\{T+k=n+h\}}\prod _{j=1}^{h}Y_{j}^{(n)}}
{\displaystyle \mathrm {I} _{\{T+k=n+h\}}\prod _{j=1}^{h}Y_{j}^{(n)}=\mathrm {I} _{\{T+k=n+h\}}\prod _{j=1}^{h}{\frac {1}{p}}\mathrm {I} _{\{X_{n+j}=a_{j}\}}}
{\displaystyle \mathrm {I} _{\{T+k=n+h\}}\prod _{j=1}^{h}{\frac {1}{p}}\mathrm {I} _{\{X_{n+j}=a_{j}\}}=\mathrm {I} _{\{T+k=n+h\}}\prod _{j=1}^{h}{\frac {1}{p}}\mathrm {I} _{\{X_{T+k-h+j}=a_{j}\}}}
Ne segue che
{\displaystyle \mathrm {I} _{\{T+k=n+h\}}M_{n+h}^{(n)}={\begin{cases}\mathrm {I} _{\{T+k=n+h\}}\prod _{j=1}^{h}{\frac {1}{p}}=\mathrm {I} _{\{T+k=n+h\}}{\Bigl (}{\frac {1}{p}}{\Bigr )}^{h},{\text{ se }}h\in H\\0{\text{ se }}h\not \in H\end{cases}}}
In base all'osservazione 2.3 si ha che {\displaystyle \mathrm {I} _{\{T+k>n\}}M_{n}^{(n)}=\sum _{h\in H}\mathrm {I} _{\{T+k=n+h\}}{\Bigl (}{\frac {1}{p}}{\Bigr )}^{h}}
Considerando che {\displaystyle M_{n}^{(n)}=1} per definizione si ha che {\displaystyle P\{\mathrm {I} _{\{T+k>n\}}1\}=P\{{\begin{matrix}\sum _{h\in H}\mathrm {I} _{\{T+k=n+h\}}{\Bigl (}{\frac {1}{p}}{\Bigr )}^{h}\end{matrix}}\}}
Dato che la probabilità di una funzione indicatrice corrisponde all'evento stesso si ha che {\displaystyle P\{T+k>n\}=\sum _{h\in H}{\Bigl (}{\frac {1}{p}}{\Bigr )}^{h}P\{T+k=n+h\}}

#### Conclusione
{\displaystyle \mathbf {E} [U]=\sum _{n}P\{U>n\}=\sum _{n}P\{T+k>n\}}
Per l'osservazione 2 si ha che {\displaystyle \sum _{n}P\{T+k>n\}=\sum _{n}\sum _{h\in H}{\Bigl (}{\frac {1}{p}}{\Bigr )}^{h}P\{T+k=n+h\}}
Fissando {\displaystyle h}  e facendo variare {\displaystyle n} si ottiene che{\displaystyle \sum _{n}\sum _{h\in H}{\Bigl (}{\frac {1}{p}}{\Bigr )}^{h}P\{T+k=n+h\}=\sum _{h\in H}{\Bigl (}{\frac {1}{p}}{\Bigr )}^{h}\sum _{n}P\{T+k=n+h\}}
La somma per ogni {\displaystyle n} della probabilità che il tempo di arresto {\displaystyle T} sia uguale a {\displaystyle n+h-k} equivale a calcolare la probabilità che {\displaystyle T} sia finito, pari a {\displaystyle 1} per l'osservazione 1.
Pertanto si dimostra la tesi ottenendo che  {\displaystyle \mathbf {E} [U]=\sum _{h\in H}{\Bigl (}{\frac {1}{p}}{\Bigr )}^{h}\sum _{n}P\{T+k=n+h\}=\sum _{h\in H}{\Bigl (}{\frac {1}{p}}{\Bigr )}^{h}}

## Verifiche sperimentali
Si può dimostrare sperimentalmente il tempo medio di uscita di una stringa implementando un algoritmo che simula l'estrazione casuale dei caratteri e campionando il numero di estrazioni necessarie a comporre una determinata parola. L'algoritmo può essere implementato attraverso un simulatore, oppure utilizzando un linguaggio di programmazione fornito di una libreria che implementi un generatore di numeri pseudo casuale. Di seguito si descrive un semplice algoritmo di esempio, scritto con il linguaggio ANSI C, che permette di campionare i tempi di uscita di una stringa. Successivamente si descrive come avviene il campionamento dei dati e si fa vedere che i dati tendono alla previsione matematica.

### Algoritmo di campionamento
Per effettuare un campionamento del tempo di uscita di una stringa è necessario implementare un algoritmo che effettui la stessa estrazione un certo numero di volte, solitamente maggiore di trenta. L'alfabeto di riferimento è quello inglese composto da ventisei lettere.
```
#include

<stdio.h>

#include

<stdlib.h>

#include

<limits.h>

#include

<string.h>

#include

<time.h>

#define MIN_CAR 97

#define MAX_CAR 122

#define DELTA_CAR 26

#define MARKER_STR "-s"

#define MARKER_GIRI "-n"

#define MARKER_SID "-r"

#define MARKER_SAVE "-f"

#define MARKER_VERBOSE "-v"

#define VERBOSE_OFF "off"

int

verbose
;

unsigned

long

long

estrai_stringa
(
int

l
,

char

*

s
){

unsigned

long

long

n
;

int

k
,

maxk
;

char

c
;

n

=

0
;

k

=

0
;

maxk

=

0
;

while

(
k

<

l
){

if

(
n

==

ULLONG_MAX
){

if

(
verbose

==

1
){

printf
(
"raggiunto limite massimo di estrazioni: %llu
\n
"
,

n
);

printf
(
"numero massimo di caratteri estratti: %d su %d
\n
"
,

maxk
,

l
);

fflush
(
stdout
);

}

return

0
;

}

c

=

(
char
)

(
MIN_CAR

+

(
rand
()

%

DELTA_CAR
));

if

(
c

==

s
[
k
]){

k
++
;

if

(
maxk

<

k
){

maxk

=

k
;

}

}
else
{

k

=

0
;

}

n
++
;

}

if

(
verbose

==

1
){

printf
(
"stringa estratta dopo %llu step
\n
"
,

n
);

fflush
(
stdout
);

}

return

n
;

}

int

main
(
int

argc
,

char

*

argv
[]){

int

i
,

l

=

-1
,

n

=

-1
;

time_t

t
;

unsigned

int

sid

=

0
;

unsigned

long

long

ret
;

char

*

s
;

FILE

*

f

=

NULL
;

verbose

=

1
;

for

(
i

=

0
;

i

<

argc
;

i
++
){

if

(
strcmp
(
argv
[
i
],

MARKER_STR
)

==

0
){

s

=

argv
[
i

+

1
];

l

=

strlen
(
s
);

}
else

if

(
strcmp
(
argv
[
i
],

MARKER_GIRI
)

==

0
){

n

=

atoi
(
argv
[
i

+

1
]);

}
else

if

(
strcmp
(
argv
[
i
],

MARKER_SID
)

==

0
){

sid

=

atoi
(
argv
[
i

+

1
]);

}
else

if

(
strcmp
(
argv
[
i
],

MARKER_VERBOSE
)

==

0
){

if

(
strcmp
(
argv
[
i

+

1
],

VERBOSE_OFF
)

==

0
){

verbose

=

0
;

}

}
else

if

(
strcmp
(
argv
[
i
],

MARKER_SAVE
)

==

0
){

f

=

fopen
(
argv
[
i

+

1
],

"a"
);

if

(
f

==

NULL
){

printf
(
"errore nella creazione del file
\n
"
);

fflush
(
stdout
);

return

-1
;

}

}

}

if

(
l

==

-1
){

if

(
verbose

==

1
){

printf
(
"specificare la stringa da estrarre: -s [stringa]
\n
"
);

fflush
(
stdout
);

}

return

-1
;

}

if

(
n

==

-1
){

if

(
verbose

==

1
){

printf
(
"specificare il numero di iterazioni: -n [numero iterazioni]
\n
"
);

fflush
(
stdout
);

}

return

-1
;

}

if

(
sid

==

0
){

if

(
verbose

==

1
){

printf
(
"nessun sid specificato (opzione -r [sid]), uso sid generato automaticamente
\n
"
);

fflush
(
stdout
);

}

sid

=

(
unsigned

int
)

time
(
&
t
);

}

if

(
verbose

==

1
){

printf
(
"**** start estrazione ****
\n
"
);

printf
(
"sid = %du
\n
"
,

sid
);

printf
(
"stringa = %s
\n
"
,

s
);

printf
(
"lunghezza = %d
\n
"
,

l
);

printf
(
"iterazioni = %d
\n\n
"
,

n
);

fflush
(
stdout
);

}

srand
(
sid
);

for

(
i

=

0
;

i

<

n
;

i
++
){

ret

=

estrai_stringa
(
l
,

s
);

if

(
ret

==

0
){

printf
(
"errore nell'estrazione della stringa
\n
"
);

fflush
(
stdout
);

return

-1
;

}

if

(
f

!=

NULL
){

fprintf
(
f
,

"%llu
\n
"
,

ret
);

}

}

if

(
f

!=

NULL
){

fclose
(
f
);

}

return

0
;

}

```

Per compilare il codice è necessario salvarlo in un file (es. gen.c) e creare l'eseguibile attraverso un compilatore C. Di seguito si riporta il comando per compilare il sorgente con il compilatore gcc per il sistema operativo linux.
```
gcc

gen.c

-o

gen

```

### Verifica ipotesi mediante test di Student
Il test di verifica ipotesi di Student permette di stabilire se la media campionaria {\displaystyle {\bar {x}}} si discosti in modo significativo alla media matematica {\displaystyle \mathbf {E} [U]}. Per effettuare il test si formulano le ipotesi {\displaystyle H_{0}:{\bar {x}}=E[U]} e {\displaystyle H_{1}:{\bar {x}}\neq E[U]}. Nel caso in cui viene verificata l'ipotesi {\displaystyle H_{0}} si stabilisce che le due previsioni sono attinenti con una certa probabilità di errore. Nel caso in cui viene verificata l'ipotesi {\displaystyle H_{1}} si stabilisce che le due previsioni non sono attinenti con una certa probabilità di errore. Per effettuare il test di verifica è necessario ottenere i seguenti dati:
- {\displaystyle n\in \mathbb {N_{+}} } è la numerosità del campione, ossia il numero di volte in cui si è registrato il tempo di uscita della parola "ciao"
- {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {N} ^{n}} è il campione da verificare, dove {\displaystyle \forall {i=1,\ldots ,n},x_{i}} rappresenta il numero di estrazioni occorse prima di comporre la parola "ciao"
- {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}} è la media campionaria
- {\displaystyle {\bar {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}} è la varianza campionaria
- {\displaystyle \mathbf {E} [U]=\sum _{h\in H}m^{h}} è la media matematica
- {\displaystyle Z={\frac {({\bar {x}}-\mathbf {E[U]} )}{\sqrt {\sigma ^{2}}}}{\sqrt {n}}}  è la statistica che ha legge di Student con  {\displaystyle (n-1)} gradi di libertà
- {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ,{\text{ t.c. }}0<\alpha <1} è l'errore tollerabile nella conferma dell'ipotesi
- {\displaystyle q_{(n-1,\alpha )}\in \mathbb {R_{+}} } è il quantile della legge di Student con {\displaystyle (n-1)} gradi di libertà associato alla tolleranza {\displaystyle \alpha }

Il test si esegue comparando il valore della statistica con il relativo quantile. Nel caso in cui {\displaystyle Z<q_{(n-1,\alpha )}} si verifica l'ipotesi {\displaystyle H_{0}} con una probabilità pari a {\displaystyle 1-\alpha }. Nel caso in cui, invece, {\displaystyle Z\geq q_{(n-1,\alpha )}} si respinge l'ipotesi {\displaystyle H_{0}} e si conferma l'ipotesi {\displaystyle H_{1}} con una probabilità di errore pari ad {\displaystyle \alpha }.

### Esempio
Si procede ad un esempio concreto per verificare mediante il test di Student le ipotesi {\displaystyle H_{0}} e {\displaystyle H_{1}}.

Per prima cosa si procede al campionamento dei dati utilizzando l'algoritmo descritto nella sezione precedente con il comando
```
./gen

-s

ciao

-n

100

-f

campionamento

-r

1492875030

```

dove:
- ciao è la stringa da estrarre
- 100 è la numerosità del campionamento
- campionamento è il nome del file dove verranno salvati i risultati delle estrazioni
- 1492875030 è il seme per inizializzare il generatore pseudo casuale

Non appena il programma termina l'esecuzione è possibile procedere con il test di Student per stabilire se il numero di estrazioni necessarie per ottenere la stringa "ciao" è attinente alla previsione matematica. Si calcolano i parametri necessari a fare il test:
- {\displaystyle n=100} è la numerosità del campione
- {\displaystyle {\bar {x}}=493329,65} è la media campionaria
- {\displaystyle {\bar {\sigma }}^{2}=253288754254,291} è la varianza campionaria
- {\displaystyle \mathbf {E[U]} =456976} è la media matematica
- {\displaystyle Z=0,7224} è la statistica con legge di Student
- si pone {\displaystyle \alpha =0,05} come errore tollerabile nel caso di verifica di {\displaystyle H_{1}}
- il quantile associato è {\displaystyle q_{(n-1,\alpha )}=1,660}

Essendo {\displaystyle Z<q_{(n-1,\alpha )}} si conferma l'ipotesi {\displaystyle H_{0}} e pertanto la media campionaria conferma la media matematica. Analizzando il grafico sottostante con l'andamento delle previsioni parziali al variare della numerosità si vede chiaramente come {\displaystyle {\bar {x}}{\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{}}\mathbf {E[U]} }.

wikiname: itwiki

title: Tempo medio di uscita di una stringa

in_language: it

wikitext:
{{F|statistica|luglio 2017}}
== Definizione ==
Nella [[Teoria della probabilità|teoria delle probabilità]] il '''tempo medio di uscita di una stringa''' è il calcolo della [[Speranza matematica|previsione]] di uscita di una stringa prefissata di <math>k</math> caratteri estraendo casualmente le lettere da un [[insieme]] finito di caratteri, dato dalla formula <math>\mathbf{E}[U] = \sum_{h \in H} m^h</math>, dove:
* <math>m</math> è il numero totale di caratteri dell'alfabeto di riferimento
* <math>H</math> è un [[insieme]] di indici che contiene i valori
** la posizione del primo carattere, pari a <math>\text{1}</math>
** la posizione dell'ultimo carattere, pari alla lunghezza <math>k</math> della stringa
** le posizioni di ogni sotto-stringa ripetuta all'interno della stringa
* <math>U</math> è una [[Variabile casuale|variabile aleatoria]] che definisce il tempo di uscita della stringa

Per calcolare la [[Valore atteso|previsione]] è necessario anche conoscere la [[probabilità]] di uscita di un carattere dall'insieme totale dei caratteri, dato da <math>P\{X_n = i\}</math>, dove <math>X_n</math> è una [[Variabile casuale|variabile aleatoria]] che può assumere i valori di un carattere dell'alfabeto, mentre l'evento <math>\{X_n = i\}</math> definisce l'uscita del carattere <math>i</math> alla <math>n</math>-esima estrazione.

=== Esempio ===
Si calcola la [[Valore atteso|previsione]] del tempo medio di uscita della parola ''ABRACADABRA'' utilizzando l'alfabeto inglese composto da ventisei lettere.

Utilizzando la definizione si ha che <math>\begin{cases} m = 26 \\ k = 11 \\ H = \{1, 4, 11\} \\ P\{X_n = i\} = \frac{1}{26} \end{cases}</math>

Si osserva che <math>H</math> contiene le posizioni del primo e dell'ultimo carattere, oltre alla posizione dell'ultimo carattere della sotto-stringa ''ABRA'' ripetuta.

Da ciò ne deriva che <math>\mathbf{E}[U] = 26^1+26^4+26^{11} \simeq 3.67 \times 10^{15}</math>, ossia il tempo medio di uscita della parola ''ABRACADABRA'' è dopo aver effettuato circa <math>3670</math> miliardi di digitazioni casuali su una tastiera di <math>26</math> caratteri.

=== Passaggio al limite ===
Si può facilmente vedere che la previsione del tempo medio di uscita di una stringa è una funzione divergente all'aumentare del numero di caratteri da estrarre. Pertanto, il limite della previsione per un numero di caratteri che tende all'infinito è pari a infinito, ossia <math>\lim_{k \rightarrow \infty}(\sum_{h \in H}m^h) = \infty, \forall{m > 1}</math>.

Intuitivamente si può calcolare il limite, considerando l'ipotesi che non esistano sotto-stringhe ripetute. Se questo limite tende a [[Infinito (matematica)|infinito]] a maggior ragione il [[Limite di una funzione|limite]] nel caso di ripetizioni tende ad infinito. Si può non tenere conto dell'indice iniziale, pari sempre a uno, in quanto nel calcolo del [[Limite di una funzione|limite]] sarebbe una [[Costante matematica|costante]]. In base a queste considerazioni si osserva che <math>m^k \leqslant \sum_{h \in H} m^h, \forall{m > 1}</math> e se il limite di <math>m^k</math> per <math>k</math> che tende a [[Infinito (matematica)|infinito]] è pari a [[Infinito (matematica)|infinito]], allora anche il [[Limite di una funzione|limite]] <math>\sum_{h \in H} m^h</math> sarà pari a [[Infinito (matematica)|infinito]]. Per ogni <math>m > 1 \in \mathbb{N}</math> la [[Funzione (matematica)|funzione]] <math>m^k</math> è divergente, quindi <math>\lim_{k \rightarrow \infty}m^k = \infty</math>.

== Enunciato ==
Sia <math>C = \{1,2,\ldots,m\}</math> un [[insieme]] di <math>m</math> caratteri, con <math>m \in \mathbb{N} \smallsetminus \{0\}</math>. Si può definire una stringa prefissata <math>(a_j)_{1 \leqslant j \leqslant k}</math> di lunghezza <math>k</math> caratteri tale che <math>a_j \in C, \forall{j = 1, \ldots, k}</math>.

Sia <math>(\Omega, \mathcal{A}, P)</math> uno [[Spazio di misura|spazio di probabilità]], tale che <math>\Omega = \{1,\ldots,m\}</math>, <math>\mathcal{A}</math> è una <math>\sigma</math>-[[Sigma-algebra|algebra]] di <math>\Omega</math> e <math>P</math> una [[misura di probabilità]] sullo spazio <math>(\Omega, \mathcal{A})</math>. Su questo spazio si può costruire una [[Successione (matematica)|successione]] di [[Variabile casuale|variabili aleatorie]] <math>(X_n)_{n>0}</math> tali che <math>P\{X_n = i\} = \frac{1}{m} = p, \forall{n>0,i \in C}</math>.

Sia <math>T = \inf\{n : X_{n+j} = a_j, \forall{j = 1, \ldots, k}\}</math> il tempo più piccolo entro il quale al tempo <math>n+j+k</math> la [[Successione (matematica)|successione]] <math>(X_n)_n</math> realizza la stringa <math>(a_j)_j</math>. Si definisce <math>U = T+k</math> il tempo di uscita della stringa.

Si prova che <math>\mathbf{E}[U] = \sum_{h \in H} m^h</math>, con <math>H = \{h : 1 \leqslant h \leqslant k, a_{k-h+j} = a_j, \forall{j=1, \ldots, k}\}</math>.

=== Dimostrazione ===
Sia <math>F = (F_n)_n</math> una [[Filtrazione (matematica)|filtrazione]] tale che <math>F_0 = \{\varnothing, \Omega\}</math> e <math>F_n = \sigma(X_1, X_2, \ldots, X_n)</math>, ossia la <math>\sigma</math>-algebra generata dalla successione di [[Variabile casuale|variabili aleatorie]] al tempo <math>n</math>.

==== Osservazione 1 ====
<math>T</math> e <math>U</math> sono dei tempi di arresto rispetto a <math>F</math>

Per il [[paradosso di Borel]] <math>P\{X_{n+1} = a_1, X_{n+2} = a_2, \ldots, X_{n+k} = a_k\} = 1</math>, ossia la probabilità di ottenere la sequenza <math>(a_j)_j</math> digitando casualmente le lettere di una tastiera è [[Quasi certamente|quasi certa]]. Da ciò deriva che <math>P\{T < \infty\} = 1</math>. Anche <math>U</math> è un [[tempo di arresto]] rispetto a <math>F</math> in quanto, essendo <math>k</math> una [[costante]],<math>P\{T+k < \infty\} = P\{U < \infty\} = 1</math>

==== Osservazione 2 ====
<math>P\{T+k>n\} = \sum_{h \in H} \Bigl(\prod_{j=1}^h\frac{1}{p}\Bigr)P\{T+k=n+h\}</math>

Si definisce una [[Successione (matematica)|successione]] di [[Variabile casuale|variabili aleatorie]] [[Indipendenza stocastica|indipendenti]], per ogni <math>n</math> fissato, <math>(Y_j^{(n)})_{j>0}</math> tale che <math>Y_j^{(n)} = \frac{1}{p}\Iota_{\{X_{n+j}=a_j\}}, \forall{j=1, \ldots, k}</math>. La [[Successione (matematica)|successione]] è [[Indipendenza stocastica|indipendente]] in quanto è funzione della successione <math>(X_n)_n</math>, anch'essa [[Indipendenza stocastica|indipendente]].

Per ogni <math>j</math> si osserva che la [[Valore atteso|previsione]] di <math>Y_j^{(n)}</math> è pari a uno. Infatti <math>\mathbf{E}[Y_j^{(n)}] = \frac{1}{p}p=1</math>

Si pone <math>M_j^{(n)} = \begin{cases} 1 \text{ se } 0 \leqslant j \leqslant n  \\ \prod_{j=1}^h Y_j^{(n)} \text{ se } j=n+h, \text{ con } 1 \leqslant h \leqslant k \\ M_{n+k}^{(n)} \text{ se } j>n+h \end{cases}</math>

La [[Successione (matematica)|successione]] <math>(M_j^{(n)})_j</math> è una <math>F</math>-[[Martingala (matematica)|martingala]].

===== Osservazione 2.1 =====
<math>T = \inf\{n : M_{n+k}^{(n)} \neq 0\}</math>

===== Osservazione 2.2 =====
<math>\Iota_{\{T>n\}} M_{n+k}^{(n)} = 0</math>

Si pone <math>L^{(n)} = M^{(n)|U} = (M_{U \land j})_{j}</math>, che per la [[Trasformato secondo Burkholder|trasformazione secondo Burkholder]] è anch'essa una <math>F</math>-[[Martingala (matematica)|martingala]].

Si trova il valore di <math>L_{n+k}^{(n)}</math>quando <math>T>n</math>.

<math>\Iota_{\{T>n\}} L_{n+k}^{(n)} = \Iota_{\{T>n\}} M_{U \land n+k}^{(n)} = \Iota_{\{T>n\}} M_{T+k \land n+k}^{(n)}</math>

Dato che stiamo considerando il caso che <math>T > n</math>, il valore più piccolo tra <math>T+k</math> e <math>n+k</math> è proprio <math>n+k</math>

<math>\Iota_{\{T>n\}} M_{T+k \land n+k}^{(n)} = \Iota_{\{T>n\}} M_{n+k}^{(n)} = \Iota_{\{T>n\}} \prod_{j=1}^k Y_j = \Iota_{\{T>n\}} \prod_{j=1}^k \frac{1}{p} \Iota_{\{X_j = a_j\}}</math>

Per definizione di <math>T</math>, ossia il più piccolo <math>n</math> tale che la stringa si realizzi, si ha <math>M_{n+k}^{(n)} = 0</math> in quanto esiste almeno un carattere <math>j</math> compreso tra <math> 1</math> e <math>k</math> dove <math>X_j \neq a_j</math>. Come conseguenza si ha che <math>\Iota_{\{X_{n+j} = a_j\}} = 0</math> e quindi <math>\Iota_{\{T>n\}} \prod_{j=1}^k \frac{1}{p} \Iota_{\{X_j = a_j\}} = 0</math>

===== Osservazione 2.3 =====
<math>\Iota_{\{T+k = n+h\}} M_{n+h}^{(n)} = \begin{cases} \Iota_{\{T+k = n+h\}} \Bigl( \frac{1}{p} \Bigr)^h, \text{ se } h \in H \\ 0 \text{ se } h \not\in H \end{cases}</math>

Si trova il valore di <math>M_{n+h}^{(n)}</math> quando <math>T+k = n+h</math>.

<math>\Iota_{\{T+k = n+h\}} M_{n+h}^{(n)} = \Iota_{\{T+k = n+h\}} \prod_{j=1}^h Y_j^{(n)}</math>

<math>\Iota_{\{T+k = n+h\}} \prod_{j=1}^h Y_j^{(n)} = \Iota_{\{T+k = n+h\}} \prod_{j=1}^h \frac{1}{p} \Iota_{\{X_{n+j} = a_j\}}</math>

<math>\Iota_{\{T+k = n+h\}} \prod_{j=1}^h \frac{1}{p} \Iota_{\{X_{n+j} = a_j\}} = \Iota_{\{T+k = n+h\}} \prod_{j=1}^h \frac{1}{p} \Iota_{\{X_{T+k-h+j} = a_j\}}</math>

Ne segue che

<math>\Iota_{\{T+k = n+h\}} M_{n+h}^{(n)} = \begin{cases} \Iota_{\{T+k = n+h\}} \prod_{j=1}^h \frac{1}{p} = \Iota_{\{T+k = n+h\}} \Bigl( \frac{1}{p} \Bigr)^h, \text{ se } h \in H \\ 0 \text{ se } h \not\in H \end{cases}</math>

In base all'<nowiki/>''osservazione 2.3'' si ha che <math>\Iota_{\{T+k > n\}} M_{n}^{(n)} = \sum_{h \in H} \Iota_{\{T+k = n+h\}} \Bigl( \frac{1}{p} \Bigr)^h</math>

Considerando che <math>M_n^{(n)} = 1</math> per definizione si ha che <math>P\{\Iota_{\{T+k > n\}} 1\} = P\{\begin{matrix}\sum_{h \in H} \Iota_{\{T+k = n+h\}} \Bigl( \frac{1}{p} \Bigr)^h\end{matrix}\}</math>

Dato che la [[probabilità]] di una [[funzione indicatrice]] corrisponde all'[[Evento (teoria della probabilità)|evento]] stesso si ha che <math>P\{T+k > n\} = \sum_{h \in H} \Bigl( \frac{1}{p} \Bigr)^h P\{T+k = n+h\}</math>

==== Conclusione ====
<math>\mathbf{E}[U] = \sum_n P\{U > n\} = \sum_n P\{T+k > n\}</math>

Per l'''osservazione 2'' si ha che <math>\sum_n P\{T+k > n\} = \sum_n \sum_{h \in H} \Bigl(\frac{1}{p}\Bigr)^h P\{T+k = n+h\}</math>

Fissando <math>h</math>  e facendo variare <math>n</math> si ottiene che<math>\sum_n \sum_{h \in H} \Bigl(\frac{1}{p}\Bigr)^h P\{T+k = n+h\} = \sum_{h \in H} \Bigl(\frac{1}{p}\Bigr)^h  \sum_n P\{T+k = n+h\}</math>

La somma per ogni <math>n</math> della [[probabilità]] che il [[tempo di arresto]] <math>T</math> sia uguale a <math>n+h-k</math> equivale a calcolare la [[probabilità]] che <math>T</math> sia finito, pari a <math> 1</math> per l'''osservazione 1''.

Pertanto si dimostra la tesi ottenendo che  <math>\mathbf{E}[U] = \sum_{h \in H} \Bigl(\frac{1}{p}\Bigr)^h  \sum_n P\{T+k = n+h\} = \sum_{h \in H} \Bigl(\frac{1}{p}\Bigr)^h</math>

== Verifiche sperimentali ==
Si può dimostrare sperimentalmente il tempo medio di uscita di una stringa implementando un algoritmo che simula l'estrazione casuale dei caratteri e campionando il numero di estrazioni necessarie a comporre una determinata parola. L'[[algoritmo]] può essere implementato attraverso un [[Simulazione|simulatore]], oppure utilizzando un [[linguaggio di programmazione]] fornito di una libreria che implementi un [[Numeri pseudo-casuali|generatore di numeri pseudo casuale]]. Di seguito si descrive un semplice [[algoritmo]] di esempio, scritto con il [[C (linguaggio)|linguaggio ANSI C]], che permette di [[Campionamento statistico|campionare]] i tempi di uscita di una stringa. Successivamente si descrive come avviene il [[Campionamento statistico|campionamento]] dei dati e si fa vedere che i dati tendono alla [[Valore atteso|previsione matematica]].

=== Algoritmo di campionamento ===
Per effettuare un [[Campionamento statistico|campionamento]] del tempo di uscita di una stringa è necessario implementare un [[algoritmo]] che effettui la stessa estrazione un certo numero di volte, solitamente maggiore di trenta. L'alfabeto di riferimento è quello inglese composto da ventisei lettere.<syntaxhighlight lang="c">
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>
#include <string.h>
#include <time.h>

#define MIN_CAR 97
#define MAX_CAR 122
#define DELTA_CAR 26

#define MARKER_STR "-s"
#define MARKER_GIRI "-n"
#define MARKER_SID "-r"
#define MARKER_SAVE "-f"
#define MARKER_VERBOSE "-v"
#define VERBOSE_OFF "off"

int verbose;

unsigned long long estrai_stringa(int l, char * s){

	unsigned long long n;
	int k, maxk;
	char c;

	n = 0;
	k = 0;
	maxk = 0;

	while (k < l){

		if (n == ULLONG_MAX){

			if (verbose == 1){
				printf("raggiunto limite massimo di estrazioni: %llu\n", n);
				printf("numero massimo di caratteri estratti: %d su %d\n", maxk, l);
				fflush(stdout);
			}

			return 0;
		}

		c = (char) (MIN_CAR + (rand() % DELTA_CAR));

		if (c == s[k]){
			k++;

			if (maxk < k){
				maxk = k;
			}

		}else{
			k = 0;
		}

		n++;

	}

	if (verbose == 1){
		printf("stringa estratta dopo %llu step\n", n);
		fflush(stdout);
	}

	return n;

}

int main(int argc, char * argv[]){

	int i, l = -1, n = -1;
	time_t t;
	unsigned int sid = 0;
	unsigned long long ret;
	char * s;
	FILE * f = NULL;

	verbose = 1;

	for (i = 0; i < argc; i++){

		if (strcmp(argv[i], MARKER_STR) == 0){
			s = argv[i + 1];
			l = strlen(s);
		}else if (strcmp(argv[i], MARKER_GIRI) == 0){
			n = atoi(argv[i + 1]);
		}else if (strcmp(argv[i], MARKER_SID) == 0){
			sid = atoi(argv[i + 1]);
		}else if (strcmp(argv[i], MARKER_VERBOSE) == 0){
			if (strcmp(argv[i + 1], VERBOSE_OFF) == 0){
				verbose = 0;
			}
		}else if (strcmp(argv[i], MARKER_SAVE) == 0){

			f = fopen(argv[i + 1], "a");

			if (f == NULL){

				printf("errore nella creazione del file\n");
				fflush(stdout);

				return -1;

			}

		}

	}

	if (l == -1){
		if (verbose == 1){
			printf("specificare la stringa da estrarre: -s [stringa]\n");
			fflush(stdout);
		}
		return -1;
	}

	if (n == -1){
		if (verbose == 1){
			printf("specificare il numero di iterazioni: -n [numero iterazioni]\n");
			fflush(stdout);
		}
		return -1;
	}

	if (sid == 0){
		if (verbose == 1){
			printf("nessun sid specificato (opzione -r [sid]), uso sid generato automaticamente\n");
			fflush(stdout);
		}
		sid = (unsigned int) time(&t);
	}

	if (verbose == 1){
		printf("**** start estrazione ****\n");
		printf("sid = %du\n", sid);
		printf("stringa = %s\n", s);
		printf("lunghezza = %d\n", l);
		printf("iterazioni = %d\n\n", n);
		fflush(stdout);
	}

	srand(sid);

	for (i = 0; i < n; i++){

		ret = estrai_stringa(l, s);

		if (ret == 0){
			printf("errore nell'estrazione della stringa\n");
			fflush(stdout);
			return -1;
		}

		if (f != NULL){
			fprintf(f, "%llu\n", ret);
		}

	}

	if (f != NULL){
		fclose(f);
	}

	return 0;

}

</syntaxhighlight>Per [[Compilatore|compilare]] il codice è necessario salvarlo in un file (es. gen.c) e creare l'[[File eseguibile|eseguibile]] attraverso un [[GNU Compiler Collection|compilatore C]]. Di seguito si riporta il comando per compilare il sorgente con il compilatore [[GNU Compiler Collection|gcc]] per il sistema operativo [[linux]].<syntaxhighlight lang="bash">
gcc gen.c -o gen
</syntaxhighlight>
=== Verifica ipotesi mediante test di Student ===
Il test di verifica ipotesi di Student permette di stabilire se la media campionaria <math>\bar{x}</math> si discosti in modo significativo alla media matematica <math>\mathbf{E}[U]</math>. Per effettuare il test si formulano le ipotesi <math>H_0 : \bar{x} = E[U]</math> e <math>H_1 : \bar{x} \neq E[U]</math>. Nel caso in cui viene verificata l'ipotesi <math>H_0</math> si stabilisce che le due previsioni sono attinenti con una certa probabilità di errore. Nel caso in cui viene verificata l'ipotesi <math>H_1</math> si stabilisce che le due previsioni non sono attinenti con una certa probabilità di errore. Per effettuare il test di verifica è necessario ottenere i seguenti dati:
* <math>n \in \mathbb{N_+}</math> è la numerosità del campione, ossia il numero di volte in cui si è registrato il tempo di uscita della parola "ciao"
* <math>(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}^n</math> è il campione da verificare, dove <math>\forall{i = 1, \ldots, n}, x_i</math> rappresenta il numero di estrazioni occorse prima di comporre la parola "ciao"
* <math>\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n{x_i}</math> è la media campionaria
* <math>\bar{\sigma}^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^n (x_i - \bar{x})^2</math> è la varianza campionaria
* <math>\mathbf{E}[U] = \sum_{h \in H} m^h</math> è la media matematica
* <math>Z = \frac{(\bar{x} - \mathbf{E[U]})}{\sqrt{\sigma^2}} \sqrt{n}</math>  è la statistica che ha legge di Student con  <math>(n-1)</math> gradi di libertà
* <math>\alpha \in \mathbb{R}, \text{ t.c. } 0 < \alpha < 1</math> è l'errore tollerabile nella conferma dell'ipotesi
* <math>q_{(n-1, \alpha)} \in \mathbb{R_+}</math> è il quantile della legge di Student con <math>(n-1)</math> gradi di libertà associato alla tolleranza <math>\alpha</math>
Il test si esegue comparando il valore della statistica con il relativo quantile. Nel caso in cui <math>Z < q_{(n-1, \alpha)}</math> si verifica l'ipotesi <math>H_0</math> con una probabilità pari a <math>1-\alpha</math>. Nel caso in cui, invece, <math>Z \geq q_{(n-1, \alpha)}</math> si respinge l'ipotesi <math>H_0</math> e si conferma l'ipotesi <math>H_1</math> con una probabilità di errore pari ad <math>\alpha</math>.

=== Esempio ===
Si procede ad un esempio concreto per verificare mediante il test di Student le ipotesi <math>H_0</math> e <math>H_1</math>.

Per prima cosa si procede al campionamento dei dati utilizzando l'algoritmo descritto nella sezione precedente con il comando<syntaxhighlight lang="bash">
./gen -s ciao -n 100 -f campionamento -r 1492875030
</syntaxhighlight>dove:
* ''ciao'' è la stringa da estrarre
* ''100'' è la numerosità del campionamento
* ''campionamento'' è il nome del file dove verranno salvati i risultati delle estrazioni
* ''1492875030'' è il seme per inizializzare il [[Numeri pseudo-casuali|generatore pseudo casuale]]
Non appena il programma termina l'esecuzione è possibile procedere con il test di Student per stabilire se il numero di estrazioni necessarie per ottenere la stringa "ciao" è attinente alla [[Valore atteso|previsione matematica]]. Si calcolano i parametri necessari a fare il test:
* <math>n = 100</math> è la numerosità del campione
* <math>\bar{x} = 493329,65</math> è la media campionaria
* <math>\bar{\sigma}^2 = 253288754254,291</math> è la varianza campionaria
* <math>\mathbf{E[U]} = 456976</math> è la media matematica
* <math>Z = 0,7224</math> è la statistica con legge di Student
* si pone <math>\alpha = 0,05</math> come errore tollerabile nel caso di verifica di <math>H_1</math>
* il quantile associato è <math>q_{(n-1, \alpha)} = 1,660 </math>
Essendo <math>Z < q_{(n-1, \alpha)}</math> si conferma l'ipotesi <math>H_0</math> e pertanto la media campionaria conferma la media matematica. Analizzando il grafico sottostante con l'andamento delle previsioni parziali al variare della numerosità si vede chiaramente come <math>\bar{x} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{ } \mathbf{E[U]}</math>.
[[File:Media campionaria uscita stringa.png|bordo|centro|senza_cornice|640x640px]]

== Bibliografia ==

{{cita libro| autore=Paolo Baldi | titolo=Calcolo delle Probabilità e Statistica - Seconda Edizione | città=Milano | editore=McGraw-Hill | anno=1998 | ISBN=88-386-0737-0}}

{{cita libro| autore=Paolo Baldi | titolo=Calcolo delle Probabilità | città=Milano | editore=McGraw-Hill | anno=2007 | ISBN=978-88-386-6365-9}}

{{cita libro| autore=Francesca Biagini, Massimo Campanino | titolo=Elementi di Probabilità e Statistica | città=Milano | editore=Springer | anno=2006 | ISBN=88-470-0330-X}}

{{portale|matematica|statistica}}

[[Categoria:Teoria della probabilità]]


text:
# Angelo (Vale Lambo)
| Recensione | Giudizio |
| ---------- | -------- |
| Rockol     | 6/10     |

Angelo è il primo album in studio del rapper italiano Vale Lambo, pubblicato il 16 marzo 2018 dalla Dogozilla Empire e dalla Universal.

## Descrizione
L'album è cantato prevalentemente in lingua napoletana, fatta eccezione per i brani Io e Medusa, completamente in italiano.
Nel disco appare inoltre Un altro giorno, un altro euro con Guè, brano che quest'ultimo aveva già inserito nella versione bonus del suo album Gentleman del 2017. Lo stesso brano è un remix ad opera di Don Joe di una vecchia traccia di Vale Lambo intitolata Dubai, in principio prodotta da Yung Snapp, brano che fino al momento del remix vantava anche di un proprio videoclip, rimosso dal canale YouTube di Vale Lambo.

## Tracce
Testi di Valerio Apice, eccetto dove indicato.
1. Intro – 2:58 (musica: Luigi Lanzo)
2. Angelo – 4:45 (musica: Vincenzo Pezzella)
3. Over fai – 3:28 (musica: Antonio Lago)
4. Io (feat. CoCo) – 4:21 (testo: Valerio Apice, Corrado Migliaro – musica: Vincenzo Pezzella)
5. Africa – 3:20 (musica: Federico Vaccari, Pietro Miano)
6. Numero 1 – 2:50 (musica: George Tsulaia)
7. Senza e té – 3:25 (musica: Vincenzo Pezzella)
8. Nemici miei (feat. MV Killa) – 3:56 (testo: Valerio Apice, Marcello Valerio – musica: Nicola Vignola)
9. Aro stat 'e cas – 5:08 (musica: Antonio Lago)
10. Perché – 3:43 (musica: George Tsulaia)
11. Wuah – 2:49 (musica: Vincenzo Pezzella)
12. Medusa – 4:05 (musica: Mattia Piras)
13. È meglio pe loro – 3:30 (musica: Alex808)
14. Un altro giorno, un altro euro (feat. Gué Pequeno) – 3:26 (testo: Valerio Apice, Cosimo Fini – musica: Luigi Florio, Antonio Lago)

## Formazione
Musicisti
- Vale Lambo – voce
- CoCo – voce aggiuntiva (traccia 4)
- MV Killa – voce aggiuntiva (traccia 8)
- Gué Pequeno – voce aggiuntiva (traccia 14)

Produzione
- Vinz Turner – produzione (tracce 2, 4, 7 e 11)
- Yung Snapp – produzione (tracce 3, 9 e 14)
- Boston George – produzione (tracce 6 e 10)
- 2nd Roof – produzione (traccia 5)
- Niko Beatz – produzione (traccia 8)
- Luigi Beats – produzione (traccia 1)
- Mattbeatz – produzione (traccia 12)
- Alex808 – produzione (traccia 13)
- Don Joe – produzione (traccia 14)

## Classifiche
| Classifica (2018) | Posizione massima |
| ----------------- | ----------------- |
| Italia            | 31                |

title: Angelo (Vale Lambo)

wikitext:
{{Album
|titolo = Angelo
|artista = Vale Lambo
|tipo = Studio
|giornomese = 16 marzo
|anno = 2018
|debutto = sì
|durata = 51:47
|numero di dischi = 1
|numero di tracce = 14
|genere = Cloud rap
|nota genere = <ref>{{Cita web|url = https://www.ilmattino.it/spettacoli/musica/federico_vacalebre_si_spara_e_si_muore_nell_incipit_di_nfaccia-5479349.html|titolo = Vale Lambo: «Il mio rap è crudo e romantico»|autore = Federico Vacalebre|editore = [[Il Mattino]]|data = 26 settembre 2020|accesso = 8 ottobre 2020}}</ref>
|etichetta = [[Universal Music Group|Universal]], [[Dogozilla Empire|Dogozilla]]
|produttore = 2nd Roof, Alex808, Boston George, [[Don Joe]], Luigi Beats, Mattbeatz, Niko Beatz, Vinz Turner, [[Yung Snapp]]
|registrato =
|formati = [[Compact disc|CD]], [[Musica digitale|download digitale]], [[streaming]]
|numero dischi d'oro =
|successivo = [[Come il mare (Vale Lambo)|Come il mare]]
|anno successivo = 2020
|singolo1 = [[Medusa (Vale Lambo)|Medusa]]
|data singolo1 = 19 dicembre 2017
|singolo2 = [[Over fai]]
|data singolo2 = 13 febbraio 2018
}}
{{Recensioni album
|recensione1 = ''Rockol''<ref>{{Cita web|url = https://www.rockol.it/recensioni-musicali/album/7867/vale-lambo-angelo|titolo = La recensione di "Angelo" di Vale Lambo|sito = Rockol|data = 6 aprile 2018|accesso = 26 febbraio 2021}}</ref>
|giudizio1 = 6/10
}}
'''''Angelo''''' è il primo [[album in studio]] del [[rapper]] [[italia]]no [[Vale Lambo]], pubblicato il 16 marzo 2018 dalla [[Dogozilla Empire]] e dalla [[Universal Music Group|Universal]].<ref>{{Cita web|url = https://www.lacasadelrap.com/2018/03/17/vale-lambo-angelo-album/|titolo = Vale Lambo pubblica l'album Angelo per Universal e Dogozilla|autore = Carlo Piantoni|data = 17 marzo 2018|accesso = 20 novembre 2020}}</ref>

== Descrizione ==
L'album è cantato prevalentemente in [[lingua napoletana]], fatta eccezione per i brani ''Io'' e ''Medusa'', completamente in italiano.<ref>{{Cita web|url = https://hotmc.com/angelo-di-vale-lambo-racconta-una-napoli-che-pochi-conoscono/|titolo = Angelo di Vale Lambo racconta una Napoli che pochi conoscono|autore = Riccardo Primavera|data = 7 maggio 2018|accesso = 26 febbraio 2021|urlarchivio = https://web.archive.org/web/20210303061348/https://hotmc.com/angelo-di-vale-lambo-racconta-una-napoli-che-pochi-conoscono/|urlmorto = sì}}</ref>

Nel disco appare inoltre ''Un altro giorno, un altro euro'' con [[Guè]], brano che quest'ultimo aveva già inserito nella versione bonus del suo album ''[[Gentleman (Guè)|Gentleman]]'' del 2017. Lo stesso brano è un [[remix]] ad opera di [[Don Joe]] di una vecchia traccia di Vale Lambo intitolata ''Dubai'', in principio prodotta da [[Yung Snapp]], brano che fino al momento del remix vantava anche di un proprio [[videoclip]], rimosso dal canale [[YouTube]] di Vale Lambo.

== Tracce ==
{{Tracce
|Autore testi = [[Vale Lambo|Valerio Apice]], eccetto dove indicato
|Titolo1 = Intro
|Durata1 = 2:58
|Autore musica1 = Luigi Lanzo
|Titolo2 = Angelo
|Durata2 = 4:45
|Autore musica2 = Vincenzo Pezzella
|Titolo3 = [[Over fai]]
|Durata3 = 3:28
|Autore musica3 = [[Yung Snapp|Antonio Lago]]
|Titolo4 = Io
|Note4 = feat. [[CoCo (cantante)|CoCo]]
|Durata4 = 4:21
|Autore testo4 = Valerio Apice, [[CoCo (cantante)|Corrado Migliaro]]
|Autore musica4 = Vincenzo Pezzella
|Titolo5 = Africa
|Durata5 = 3:20
|Autore musica5 = Federico Vaccari, Pietro Miano
|Titolo6 = Numero 1
|Durata6 = 2:50
|Autore musica6 = George Tsulaia
|Titolo7 = Senza e té
|Durata7 = 3:25
|Autore musica7 = Vincenzo Pezzella
|Titolo8 = Nemici miei
|Note8 = feat. [[MV Killa]]
|Durata8 = 3:56
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|Autore musica8 = Nicola Vignola
|Titolo9 = Aro stat 'e cas
|Durata9 = 5:08
|Autore musica9 = Antonio Lago
|Titolo10 = Perché
|Durata10 = 3:43
|Autore musica10 = George Tsulaia
|Titolo11 = Wuah
|Durata11 = 2:49
|Autore musica11 = Vincenzo Pezzella
|Titolo12 = [[Medusa (Vale Lambo)|Medusa]]
|Durata12 = 4:05
|Autore musica12 = Mattia Piras
|Titolo13 = È meglio pe loro
|Durata13 = 3:30
|Autore musica13 = Alex808
|Titolo14 = Un altro giorno, un altro euro
|Note14 = feat. [[Guè|Gué Pequeno]]
|Durata14 = 3:26
|Autore testo14 = Valerio Apice, [[Guè|Cosimo Fini]]
|Autore musica14 = [[Don Joe|Luigi Florio]], Antonio Lago
}}

== Formazione ==
;Musicisti
* [[Vale Lambo]] – [[Canto|voce]]
* [[CoCo (cantante)|CoCo]] – voce aggiuntiva (traccia 4)
* [[MV Killa]] – voce aggiuntiva (traccia 8)
* [[Guè|Gué Pequeno]] – voce aggiuntiva (traccia 14)

;Produzione
* Vinz Turner – produzione (tracce 2, 4, 7 e 11)
* [[Yung Snapp]] – produzione (tracce 3, 9 e 14)
* Boston George – produzione (tracce 6 e 10)
* 2nd Roof – produzione (traccia 5)
* Niko Beatz – produzione (traccia 8)
* Luigi Beats – produzione (traccia 1)
* Mattbeatz – produzione (traccia 12)
* Alex808 – produzione (traccia 13)
* [[Don Joe]] – produzione (traccia 14)

== Classifiche ==
{|class="wikitable"
!Classifica (2018)
!Posizione<br />massima
|-
|[[Classifica FIMI Album|Italia]]<ref>{{Cita web|url = https://www.fimi.it/top-of-the-music/classifiche.kl#/charts/1/2018/12|titolo = Classifica settimanale WK 12 (dal 16.03.2018 al 22.03.2018)|editore = [[Federazione Industria Musicale Italiana]]|accesso = 26 febbraio 2021}}</ref>
|align="center"|31
|}

== Note ==
<references/>

== Collegamenti esterni ==
* {{collegamenti esterni}}

{{Vale Lambo}}
{{Portale|hip hop|musica}}

title: Angelo · album in studio

Artista: Vale Lambo

Genere: Cloud rap

Etichetta: Universal, Dogozilla

Produttore: 2nd Roof, Alex808, Boston George, Don Joe, Luigi Beats, Mattbeatz, Niko Beatz, Vinz Turner, Yung Snapp

Formati: CD, download digitale, streaming

title: Vale Lambo - cronologia

Vale Lambo - cronologia: Album precedente · —Album successivo · Come il mare(2020)

title: Singoli

Singoli: 1. Medusa · Pubblicato: 19 dicembre 2017 2. Over fai · Pubblicato: 13 febbraio 2018


text:
# Allo (singolo)
Allo è un singolo della cantante ucraina Loboda, pubblicato il 16 luglio 2021 su etichetta discografica Sony Music.

## Video musicale
Il video musicale, reso disponibile il 16 luglio 2021, è stato diretto da Alan Badojev. Le riprese si sono svolte a Kiev, di notte, poche ore prima dell'alba.

## Tracce
Testi di Alina Markina, Serafima Krestinskaja e Ul'jana Češenkova, musiche di Vjačeslav Paršin e Fёdor Marfelev.
Download digitale
1. Allo – 3:48

## Classifiche

### Classifiche settimanali
| Classifica (2021) | Posizione massima |
| ----------------- | ----------------- |
| Russia            | 17                |
| Ucraina           | 23                |

### Classifiche di fine anno
| Classifica (2021) | Posizione |
| ----------------- | --------- |
| Russia            | 113       |

title: Allo (singolo)

wikitext:
{{S|singoli pop}}
{{Album
|titolo = Allo
|artista = Loboda
|tipo = Singolo
|giornomese = 16 luglio
|anno = 2021
|durata = 3:48
|genere = Dance pop
|nota genere = <ref name="mk.ru">{{cita web|autore=Artur Gasparjan, Il'ja Legostaev|url=https://www.mk.ru/culture/2021/07/20/lolita-i-loboda-dali-zharu-v-novykh-klipakh.html|titolo=Лолита и Лобода дали жару в новых клипах|data=20 luglio 2021|accesso=22 marzo 2022|lingua=ru}}</ref>
|etichetta = [[Sony Music]]
|formati = [[musica digitale|Download digitale]], [[streaming]]
|immagine = Loboda - Allo.png
|didascalia = Screenshot tratto dal video del brano
|precedente = [[Rodnoj]]
|anno precedente = 2021
|successivo = [[Indie Rock (Vogue)]]
|anno successivo = 2021
}}
'''''Allo''''' è un [[Singolo (musica)|singolo]] della [[cantante]] [[ucraina]] [[Loboda]], pubblicato il 16 luglio 2021 su etichetta discografica [[Sony Music]].<ref>{{cita web|url=https://radiokp.ru/muzyka/eto-budet-novyy-khit-loboda-soobschila-o-premere-pesni-i-vyzvala-vostorg_nid441296_au26190au |titolo=«Это будет новый хит!»: Лобода сообщила о премьере песни и вызвала восторг|data=12 luglio 2021|accesso=22 marzo 2022|lingua=ru}}</ref>

== Video musicale ==
Il [[video musicale]], reso disponibile il 16 luglio 2021, è stato diretto da Alan Badojev. Le riprese si sono svolte a [[Kiev]], di notte, poche ore prima dell'alba.<ref>{{cita web|url=https://www.lofficielrussia.ru/culture/neonovoe-party-na-ulitsah|titolo=Неоновое party на улицах от Светланы Лободы|data=16 luglio 2021|accesso=22 marzo 2022|lingua=ru}}</ref>

== Tracce ==
Testi di Alina Markina, Serafima Krestinskaja e Ul'jana Češenkova, musiche di Vjačeslav Paršin e Fёdor Marfelev.<ref>{{cita web |url=https://soundtimes.ru/populyarnye-pesni-5/loboda-allo|titolo=Лобода на связи: разбираем свежий сингл «Allo»|accesso=22 marzo 2022|lingua=ru}}</ref>
;Download digitale
{{Tracce
|Titolo1 = Allo
|Durata1 = 3:48
}}

== Classifiche ==
{{colonne}}

=== Classifiche settimanali ===
{|class="wikitable"
!Classifica (2021)
!Posizione<br />massima
|-
|[[Tophit|Russia]]<ref>{{Cita web|url=https://tophit.ru/ru/chart/russia/weekly/2021-08-06/all/all|titolo=Лучшие песни на радио в России за неделю|data=6 agosto 2021|accesso=22 marzo 2022|lingua=ru}}</ref>
|align="center"|17
|-
|[[Tophit|Ucraina]]<ref>{{Cita web|url=https://tophit.ru/ru/chart/ukraine/weekly/2021-09-10/all/all|titolo=Лучшие песни на радио в Украине за неделю|data=10 settembre 2021|accesso=21 marzo 2022|lingua=ru}}</ref>
|align="center"|23
|}
{{colonne spezza}}
=== Classifiche di fine anno ===
{|class="wikitable"
!Classifica (2021)
!Posizione
|-
|Russia<ref>{{cita web|url=https://tophit.ru/ru/chart/russia/yearly/2021-01-01/all/all|titolo=Лучшие песни на радио в России|data=2021|accesso=22 marzo 2022|lingua=ru}}</ref>
|align="center"|113
|-
|}
{{colonne fine}}

== Note ==
<references/>

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{Loboda}}
{{Portale|musica}}

title: Allo · singolo discografico

Artista: Loboda

Pubblicazione: 16 luglio 2021

Genere: Dance pop

Etichetta: Sony Music

Formati: Download digitale, streaming

title: Loboda - cronologia

Loboda - cronologia: Singolo precedente · Rodnoj(2021)Singolo successivo · Indie Rock (Vogue)(2021)