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# Application exponentielle
Cet article concerne la géométrie différentielle. Pour la fonction réciproque du logarithme, voir fonction exponentielle.
En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, l'application exponentielle généralise la fonction exponentielle usuelle à toutes les variétés différentielles munies d'une connexion affine.
Deux cas particuliers importants en sont l'application exponentielle allant d'une algèbre de Lie vers un groupe de Lie, et l'application exponentielle d'une variété munie  d'une métrique riemannienne.

## Définition générale
Soit M une variété différentielle, et p un point de M. Si M est munie d'une connexion affine, on peut définir la notion de géodésique passant par p. Soit alors v ∈ TpM un vecteur tangent en p à la variété. Il existe une unique géodésique γv telle que {\displaystyle \gamma _{\nu }(0)=p} et de vecteur tangent initial γ′v(0) = v.  L'application exponentielle correspondante est définie par expp(v) = γv(1). En général, cette application n'est définie que localement, c'est-à-dire qu'elle n'envoie qu'un petit voisinage de l'origine de TpM vers un voisinage de p dans la variété ; ceci vient de ce que son existence relève du théorème de Cauchy-Lipschitz, lequel est par nature local. On dit qu'une connexion affine est complète si l'application exponentielle est définie en tout point du fibré tangent.

## Cas des groupes de Lie
Dans la théorie des groupes de Lie, l'application exponentielle est une application allant de l'algèbre de Lie d'un groupe G vers ce groupe, qui permet de recapturer la structure locale de G à partir de celle de l'algèbre. L'existence de cette application est l'une des principales justifications pour étudier les groupes de Lie  à l'aide de leurs algèbres.
La  fonction exponentielle ordinaire de l'analyse réelle est un cas particulier d'application exponentielle, en prenant pour G le groupe multiplicatif des réels non nuls (dont l'algèbre de Lie est le  groupe additif formé de tous les réels). L'application exponentielle d'un groupe de  Lie satisfait de nombreuses propriétés analogues à celle de  l'exponentielle usuelle, mais présente aussi avec elle d'importantes différences.

### Définitions
Soit G un groupe de Lie et {\displaystyle {\mathfrak {g}}} son algèbre de Lie (que l'on peut identifier à l'espace tangent à l'élément neutre de G). L'application exponentielle
{\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}
peut être définie de plusieurs façons :
- C'est l'application exponentielle d'une connexion affine canonique invariante à gauche sur G, telle que le transport parallèle soit donné par les translations à gauche.
- C'est aussi l'application exponentielle d'une connexion affine canonique invariante à droite sur G. Ces deux connexions sont en général distinctes, mais elles possèdent les mêmes géodésiques (orbites de sous-groupes à un paramètre agissant par la multiplication à gauche ou à droite), donc donnent naissance à la même application exponentielle.
- Elle est donnée par exp(X) = γ(1), où {\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to G} est l'unique sous-groupe à un paramètre de G dont le vecteur tangent à l'identité est égal à X. On déduit aisément de la
règle de dérivation des fonctions composées  que exp(tX) = γ(t). L'application γ peut être construite comme courbe intégrale du champ de vecteurs (invariant à gauche ou à droite) associé à X. Le fait que la courbe intégrale existe pour toutes les valeurs (réelles) du paramètre résulte, par translation gauche ou droite, de son existence près de zéro.
- Si G est un groupe de matrices, alors l'application exponentielle coïncide avec  l'exponentielle de matrices, et est donné par le développement en série usuel :

{\displaystyle \exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=I+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}+\cdots }
(où I est la matrice identité).
- Si G est compact, il a une métrique riemannienne invariante par   translations gauche et droite, et l'application exponentielle est aussi l'application exponentielle de cette métrique.

### Exemples
- Le  cercle unité centré en 0 du plan complexe est un groupe de Lie (appelé le groupe du cercle, et noté T ; c'est le sous-groupe multiplicatif des complexes de module 1) dont l'espace tangent en 1 peut être identifié avec l'axe des imaginaires purs, {\displaystyle \{it:t\in \mathbb {R} \}.} L'application exponentielle de ce groupe est donnée par {\displaystyle it\mapsto \exp(it)=e^{it},\,} c'est-à-dire par  l'exponentielle complexe.

- Dans le plan des nombres complexes déployés {\displaystyle z=x+y\jmath ,\quad \jmath ^{2}=+1,} la ligne imaginaire  {\displaystyle \lbrace \jmath t:t\in \mathbb {R} \rbrace } représente l'algèbre de Lie du groupe hyperbolique {\displaystyle \lbrace \cosh t+\jmath \ \sinh t:t\in \mathbb {R} \rbrace }, puisque l'application exponentielle est donnée par
{\displaystyle \jmath t\mapsto \exp(\jmath t)=\cosh t+\jmath \ \sinh t.}

- La 3-sphère unité S3, centrée en 0 dans l'espace des quaternions H est un groupe de Lie (isomorphe au groupe spécial unitaire SU(2)) dont l'espace tangent en 1 peut être identifié à l'espace des quaternions imaginaires purs, {\displaystyle \{it+ju+kv:t,u,v\in \mathbb {R} \}.} L'application exponentielle de ce groupe de Lie est donnée par
{\displaystyle \mathbf {w} =(it+ju+kv)\mapsto \exp(it+ju+kv)=\cos(|\mathbf {w} |)+\sin(|\mathbf {w} |){\frac {\mathbf {w} }{|\mathbf {w} |}}.\,}

Cette application envoie la 2-sphère de rayon R de l'ensemble des quaternions imaginaires purs vers {\displaystyle \{s\in S^{3}\subset \mathbf {H} :\operatorname {Re} (s)=\cos(R)\}=} une 2-sphère de rayon sin(R) si {\displaystyle R\not \equiv 0{\pmod {2\pi }}}.

### Propriétés
- Pour tous les {\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}, l'application γ(t) = exp(tX) est le seul sous-groupe à un paramètre de G dont le vecteur tangent à l'identité est X. Il en résulte que :

{\displaystyle \exp(t+s)X=(\exp tX)(\exp sX)}
{\displaystyle \exp(-X)=(\exp X)^{-1}.}
- L'application exponentielle {\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G} est différentiable. Sa dérivée en 0, {\displaystyle \exp _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}, est l'application identité (avec les identifications usuelles). L'application exponentielle, par conséquent, a une restriction qui est un difféomorphisme d'un voisinage de 0 dans {\displaystyle {\mathfrak {g}}} vers un voisinage de 1 dans G.
- L'image de l'application exponentielle est toujours contenue dans la composante connexe de l'identité de G.
  - Quand G est compact, l'application exponentielle est surjective sur cette composante.
  - Quand G est nilpotent et connexe, l'application exponentielle est un difféomorphisme local surjectif[2], et même un difféomorphisme global si G est de plus simplement connexe.
  - Pour {\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}, l'application exponentielle est surjective (cf. « Logarithme d'une matrice »).
  - Pour {\displaystyle G=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )} (connexe et simplement connexe), l'application exponentielle n'est pas surjective[3].
- L'application γ(t) = exp(tX) est la courbe intégrale passant par l'identité pour les deux champs de vecteurs (invariants à droite et à gauche) associés à X.
- La courbe intégrale passant par g ∈ G de XL, le champ de vecteurs invariant à gauche associé à X est donnée par g exp(tX). De même, celle du champ invariant à droite XR est donnée par exp(tX) g. Il en résulte que les flots {\displaystyle \xi ^{L,R}} engendrés par les champs XL , R sont donnés par :
  - {\displaystyle \xi _{t}^{L}=R_{\exp tX}}
  - {\displaystyle \xi _{t}^{R}=L_{\exp tX}.}

Comme ces champs sont définis globalement, tout champ de vecteurs invariant à droite ou à gauche sur G est complet.
- Soit {\displaystyle \varphi \colon G\to H} un homomorphisme de groupes de Lie, et soit {\displaystyle \varphi _{*}} sa dérivée en l'identité. Alors le diagramme ci-dessous commute :

- En particulier, appliqué à l'action adjointe d'un groupe G, nous avons

{\displaystyle g(\exp X)g^{-1}=\exp(\mathrm {Ad} _{g}X)}
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{\exp X}=\exp(\mathrm {ad} _{X}).}

## Géométrie riemannienne
En géométrie riemannienne, une  application exponentielle est une application allant d'un sous-espace d'un  espace tangent TpM d'une variété riemannienne (ou pseudo-riemannienne) M vers M elle-même. La métrique (pseudo)-riemanienne détermine une connexion affine  canonique (la connexion de Levi-Civita), et l'application exponentielle de la variété est donnée par l'application exponentielle de cette  connexion.

### Propriétés
De façon intuitive, l'application exponentielle prend un vecteur tangent à la variété, et parcourt la géodésique issue de ce point et dans cette direction pendant une unité de temps. Comme v correspond au vecteur-vitesse sur la géodésique, la distance (riemannienne) réellement franchie en dépendra. Reparamétrant les géodésiques pour qu'elles soient parcourues à vitesse unitaire (paramétrage par la longueur de l'arc), on peut définir expp(v) = β(|v|), où β est la géodésique dans la direction de v. Quand v varie, on obtient, en appliquant expp, différents points de M qui sont équidistants (pour la métrique) du point de base p ; c'est peut-être une des façons les plus concrètes de voir que l'espace tangent est une sorte de "linéarisation" de la variété.
Le théorème de Hopf-Rinow affirme qu'il est possible de définir l'application exponentielle sur tout l'espace tangent si et seulement si la variété est complète en tant qu'espace métrique (ce qui justifie l'expression de variété géodésiquement complète pour une variété ayant une application exponentielle de ce type). En particulier, les variétés compactes sont géodésiquement
complètes. Cependant, même si expp est définie sur tout l'espace tangent, ce ne sera pas en général un difféomorphisme global. Toutefois, sa différentielle à l'origine de l'espace tangent est l'application identité, et donc, d'après le théorème des fonctions implicites, on peut trouver un voisinage de l'origine de TpM dans lequel l'application exponentielle est un plongement (autrement dit, l'application exponentielle est un difféomorphisme local). Le rayon de la plus grande boule centrée en l'origine de TpM qui s'applique difféomorphiquement par expp s'appelle le rayon d'injectivité de M en p.
Une importante propriété de l'application exponentielle est le lemme de Gauss suivant : étant donné un vecteur tangent v dans le domaine de définition de expp, et un autre vecteur w basé à l'extrémité de v (ainsi w est en fait dans l'espace tangent de l'espace tangent Tv(TpM)) et orthogonal à v, il reste orthogonal à v lorsqu'il est poussé par l'application exponentielle. Cela signifie en particulier, que la sphère frontière d'une petite boule autour de l'origine de TpM est orthogonale aux géodésiques dans M déterminées par ces vecteurs (autrement dit, les  géodésiques sont radiales). Ceci amène à la définition des coordonnées géodésiques normales sur une variété riemannienne.
L'application exponentielle est aussi un outil utile pour relier la définition abstraite de la courbure (en) à sa représentation plus concrète due à Riemann lui-même, la courbure sectionnelle, que l'on peut intuitivement définir comme la courbure de Gauss d'une certaine surface (c'est-à-dire une coupe de la variété par une sous-variété de dimension 2) passant par le point p considéré. La courbure abstraite peut être alors définie précisément comme la courbure de Gauss d'une surface passant par p, déterminée par l'image par expp d'un sous-espace de dimension 2 de TpM.

## Relations entre les applications exponentielles
Dans le cas de groupes de Lie avec une métrique pseudo-riemannienne invariante par translation à droite et à gauche, les applications exponentielles de la métrique coïncident avec celles du groupe. Tous les groupes de Lie n'ont pas une telle métrique, mais c'est le cas des groupes de Lie semi-simples et connexes. L'existence d'une métrique riemannienne bi-invariante est une condition plus forte, qui implique que l'algèbre de Lie est celle d'un groupe de Lie compact ; réciproquement, tout groupe de Lie compact (ou abélien) possède une telle métrique riemannienne.
Prenons par exemple la fonction exponentielle usuelle. Partant de l'ensemble des réels positifs R+ considérés comme un groupe de Lie pour la multiplication usuelle, l'espace tangent en chaque point est (isomorphe à) R. Sur chaque copie de R au point y, nous définissons le produit scalaire
{\displaystyle \langle u,v\rangle _{y}={\frac {uv}{y^{2}}}}
(c'est ce facteur 1/y2 qui rend la métrique invariante à gauche).
Considérons le point 1 ∈ R+, et soit x ∈ R un élément de l'espace tangent en  1. La droite partant de 1, c'est-à-dire y(t) = 1 + xt, a évidemment la même trajectoire qu'une géodésique, mais nous devons la reparamétrer pour obtenir un parcours à vitesse constante (au sens de la nouvelle métrique). Il faut donc utiliser comme nouveau paramètre la longueur d'arc, c'est-à-dire l'intégrale de la norme du vecteur tangent, pour la norme |.|y induite par la nouvelle métrique :
{\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}|x|_{y(\tau )}d\tau =\int _{0}^{t}{\frac {|x|}{1+\tau x}}d\tau =|x|\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau x}}={\frac {|x|}{x}}\ln |1+tx|}
et après inversion pour obtenir t en fonction de s, on a finalement
{\displaystyle y(s)=\mathrm {e} ^{\frac {sx}{|x|}}}.
Utilisant la définition de la vitesse unité, on obtient
{\displaystyle \exp _{1}(x)=y(|x|_{1})=y(|x|),}
ce qui est, comme prévu, l'exponentielle ordinaire ex.
La distance riemanienne correspondante est simplement
{\displaystyle \operatorname {dist} (a,b)=\left|\ln \left({\frac {b}{a}}\right)\right|},
une métrique familière à tous ceux ayant utilisé une échelle logarithmique.

title: Application exponentielle

wikitext:
{{Autre4|la géométrie différentielle|la fonction réciproque du logarithme|fonction exponentielle}}
[[File:Azimuthal Equidistant N90.jpg|thumb|right|L'application exponentielle de la sphère (ici, le globe terrestre, en prenant comme origine le pôle nord) est la [[projection de Postel]] des cartographes.]]
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[géométrie différentielle]], l''''application exponentielle''' généralise la [[fonction exponentielle]] usuelle à toutes les [[variété différentielle|variétés différentielles]] munies d'une [[connexion affine]].

Deux cas particuliers importants en sont l'application exponentielle allant d'une [[algèbre de Lie]] vers un [[groupe de Lie]], et l'application exponentielle d'une variété munie  d'une [[métrique riemannienne]].

== Définition générale ==

Soit {{mvar|M}} une [[variété différentielle]], et {{mvar|p}} un point de {{mvar|M}}. Si {{mvar|M}} est munie d'une [[connexion affine]], on peut définir la notion de [[géodésique]] passant par {{mvar|p}}<ref>Voir {{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|Shoshichi Kobayashi}}|auteur2={{Lien|Katsumi Nomizu}}|titre=Foundations of Differential Geometry|volume=I|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|année=1996|année première édition=1963|pages totales=344|isbn=978-0-471-15733-5}}, § III.6 ; ces auteurs utilisent « connexion linéaire » là où nous employons « connexion affine ».</ref>. Soit alors {{math|''v'' ∈ T''p''''M''}} un vecteur tangent en {{mvar|p}} à la variété. Il existe une unique géodésique {{math|γ''v''}} telle que <math>\gamma_\nu(0)=p</math> et de vecteur tangent initial {{math|γ′''v''(0) {{=}} ''v''}}.  L''''application exponentielle''' correspondante est définie par {{math|exp''p''(''v'') {{=}} γ''v''(1)}}. En général, cette application n'est définie que ''localement'', c'est-à-dire qu'elle n'envoie qu'un petit voisinage de l'origine de {{math|T''p''''M''}} vers un voisinage de {{mvar|p}} dans la variété ; ceci vient de ce que son existence relève du [[théorème de Cauchy-Lipschitz]], lequel est par nature local. On dit qu'une connexion affine est ''complète'' si l'application exponentielle est définie en tout point du [[fibré tangent]].

== Cas des groupes de Lie ==

Dans la théorie des [[groupe de Lie|groupes de Lie]], l''''application exponentielle''' est une application allant de l'[[algèbre de Lie]] d'un groupe {{mvar|G}} vers ce groupe, qui permet de recapturer la structure locale de {{mvar|G}} à partir de celle de l'algèbre. L'existence de cette application est l'une des principales justifications pour étudier les groupes de Lie  à l'aide de leurs algèbres.

La  [[fonction exponentielle]] ordinaire de l'analyse réelle est un cas particulier d'application exponentielle, en prenant pour {{mvar|G}} le groupe multiplicatif des réels non nuls (dont l'algèbre de Lie est le  groupe additif formé de tous les réels). L'application exponentielle d'un groupe de  Lie satisfait de nombreuses propriétés analogues à celle de  l'exponentielle usuelle, mais présente aussi avec elle d'importantes différences.

=== Définitions ===
Soit {{mvar|G}} un [[groupe de Lie]] et <math>\mathfrak g</math> son [[algèbre de Lie]] (que l'on peut identifier à l'[[espace tangent]] à l'élément neutre de {{mvar|G}}). L''''application exponentielle'''
<math>\exp\colon \mathfrak g \to G</math>
peut être définie de plusieurs façons :
*C'est l'application exponentielle d'une connexion affine canonique invariante à gauche sur {{mvar|G}}, telle que le transport parallèle soit donné par les translations à gauche.
*C'est aussi l'application exponentielle d'une connexion affine canonique invariante à droite sur {{mvar|G}}. Ces deux connexions sont en général distinctes, mais elles possèdent les mêmes géodésiques (orbites de sous-groupes à un paramètre agissant par la multiplication à gauche ou à droite), donc donnent naissance à la même application exponentielle.
*Elle est donnée par {{math|exp(''X'') {{=}} γ(1)}}, où <math>\gamma\colon \mathbb R \to G</math> est l'unique [[sous-groupe à un paramètre]] de {{mvar|G}} dont le [[vecteur tangent]] à l'identité est égal à {{mvar|X}}. On déduit aisément de la [[Théorème de dérivation des fonctions composées|
règle de dérivation des fonctions composées ]] que {{math|exp(''tX'') {{=}} γ(''t'')}}. L'application {{math|γ}} peut être construite comme [[Champ de vecteurs#Courbes intégrales d'un champ de vecteurs, lignes de champ|courbe intégrale]] du [[champ de vecteurs]] (invariant à gauche ou à droite) associé à {{mvar|X}}. Le fait que la courbe intégrale existe pour toutes les valeurs (réelles) du paramètre résulte, par translation gauche ou droite, de son existence près de zéro.
* Si {{mvar|G}} est un groupe de matrices, alors l'application exponentielle coïncide avec  l'[[Exponentielle_d'une_matrice|exponentielle de matrices]], et est donné par le développement en série usuel :
::<math>\exp (X) = \sum_{k=0}^\infty\frac{X^k}{k!} = I + X + \frac{1}{2}X^2 + \frac{1}{6}X^3 + \cdots</math>
:(où {{mvar|I}} est la [[matrice identité]]).
*Si {{mvar|G}} est compact, il a une métrique riemannienne invariante par   translations gauche et droite, et l'application exponentielle est aussi l'application exponentielle de cette métrique.

=== Exemples ===
* Le  [[cercle unité]] centré en 0 du [[plan complexe]] est un groupe de Lie (appelé le groupe du cercle, et noté '''T''' ; c'est le sous-groupe multiplicatif des complexes de module 1) dont l'espace tangent en 1 peut être identifié avec l'axe des [[Nombre imaginaire pur|imaginaires purs]], <math>\{it:t\in\mathbb R\}.</math> L'application exponentielle de ce groupe est donnée par <math>it \mapsto \exp(it) = e^{it},\,</math> c'est-à-dire par  l'[[Formule_d'Euler|exponentielle complexe]].

* Dans le plan des [[nombre complexe déployé|nombres complexes déployés]] <math>z = x + y \jmath , \quad \jmath^2 = +1,</math> la ligne imaginaire  <math>\lbrace \jmath t : t \in \mathbb R \rbrace</math> représente l'algèbre de Lie du groupe hyperbolique <math>\lbrace \cosh t + \jmath \ \sinh t : t \in \mathbb R \rbrace</math>, puisque l'application exponentielle est donnée par
*:<math>\jmath t \mapsto \exp(\jmath t) = \cosh t + \jmath \ \sinh t.</math>

* La [[3-sphère]] unité {{math|''S''{{3}}}}, centrée en 0 dans l'espace des [[quaternion]]s '''H''' est un groupe de Lie (isomorphe au [[groupe spécial unitaire]] {{math|''SU''(2)}}) dont l'espace tangent en 1 peut être identifié à l'espace des quaternions imaginaires purs, <math>\{it+ju + kv :t, u, v\in\mathbb R\}.</math> L'application exponentielle de ce groupe de Lie est donnée par
*: <math>\mathbf{w} = (it+ju+kv) \mapsto \exp(it+ju+kv) = \cos(|\mathbf{w}|) + \sin(|\mathbf{w}|)\frac{\mathbf{w}}{|\mathbf{w}|}.\,</math>
: Cette application envoie la 2-sphère de rayon {{mvar|R}} de l'ensemble des quaternions imaginaires purs vers <math>\{s\in S^3 \subset \mathbf{H}: \operatorname{Re}(s) = \cos(R)\} = </math> une 2-sphère de rayon {{math|sin(''R'')}} si <math>R\not\equiv 0\pmod{2\pi}</math>.

=== Propriétés ===
*Pour tous les <math>X\in\mathfrak g</math>, l'application {{math|γ(''t'') {{=}} exp(''tX'')}} est le seul sous-groupe à un paramètre de {{mvar|G}} dont le [[vecteur tangent]] à l'identité est {{mvar|X}}. Il en résulte que :

::<math>\exp(t+s)X = (\exp tX)(\exp sX)</math>
::<math>\exp(-X) = (\exp X)^{-1}.</math>
*L'application exponentielle <math>\exp\colon \mathfrak g \to G</math> est [[Variété différentielle#Applications différentiables|différentiable]]. Sa dérivée en 0, <math>\exp_{*}\colon \mathfrak g \to \mathfrak g</math>, est l'application identité (avec les identifications usuelles). L'application exponentielle, par conséquent, a une restriction qui est un [[difféomorphisme]] d'un voisinage de 0 dans <math>\mathfrak g</math> vers un voisinage de 1 dans {{mvar|G}}.
*L'image de l'application exponentielle est toujours contenue dans la [[Composante connexe (topologie)|composante connexe]] de l'identité de {{mvar|G}}.
**Quand {{mvar|G}} est [[Groupe de Lie compact|compact]], l'application exponentielle est [[Surjection|surjective]] sur cette composante.
**Quand {{mvar|G}} est [[Groupe nilpotent|nilpotent]] et [[Connexité (mathématiques)|connexe]], l'application exponentielle est un [[Difféomorphisme#Difféomorphisme local|difféomorphisme local]] surjectif<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|lang=de|Sigurdur Helgason}}|titre=Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=2001|année première édition=1978|page=269|lire en ligne={{Google Livres|a9KFAwAAQBAJ|page=269}}}}, corollaire 4.4.</ref>, et même un difféomorphisme global si {{mvar|G}} est de plus [[simplement connexe]].
**Pour <math>G=\operatorname{GL}_n(\Complex)</math>, l'application exponentielle est surjective (cf. « [[Logarithme d'une matrice]] »).
**Pour <math>G=\operatorname{SL}_2(\R)</math> (connexe et simplement connexe), l'application exponentielle n'est pas surjective<ref>Pour une description de son image, voir par exemple {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Brian C. Hall|titre=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations|sous-titre=An Elementary Introduction|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=222|année=2015|numéro d'édition=2|page=75|lire en ligne={{Google Livres|didACQAAQBAJ|page=75}}}}, exercice 3.22.</ref>.
*L'application {{math|γ(''t'') {{=}} exp(''tX'')}} est la [[Champ de vecteurs#Courbes intégrales d'un champ de vecteurs, lignes de champ|courbe intégrale]] passant par l'identité pour les deux champs de vecteurs (invariants à droite et à gauche) associés à {{mvar|X}}.
*La courbe intégrale passant par {{math|''g'' ∈ ''G''}} de {{mvar|X{{exp|L}}}}, le champ de vecteurs invariant à gauche associé à {{mvar|X}} est donnée par {{math|''g'' exp(''tX'')}}. De même, celle du champ invariant à droite {{mvar|X{{exp|R}}}} est donnée par {{math|exp(''tX'') ''g''}}. Il en résulte que les [[Flot (mathématiques)|flots]] <math>\xi^{L,R}</math> engendrés par les champs {{math|''X''{{exp|''L'' , ''R''}}}} sont donnés par :
**<math>\xi^L_t = R_{\exp tX}</math>
**<math>\xi^R_t = L_{\exp tX}.</math>
Comme ces champs sont définis globalement, tout champ de vecteurs invariant à droite ou à gauche sur {{mvar|G}} est [[champ de vecteurs complet|complet]].
*Soit <math>\varphi\colon G \to H</math> un homomorphisme de groupes de Lie, et soit <math>\varphi_{*}</math> sa dérivée en l'identité. Alors le diagramme ci-dessous [[diagramme commutatif|commute]] :
[[Image:ExponentialMap-01.png|center]]
*En particulier, appliqué à l'[[Représentation adjointe|action adjointe]] d'un groupe {{mvar|G}}, nous avons
::<math>g(\exp X)g^{-1} = \exp(\mathrm{Ad}_gX)</math>
::<math>\mathrm{Ad}_{\exp X} = \exp(\mathrm{ad}_X).</math>

== Géométrie riemannienne ==

[[Image:Exponential map of the sphere.svg|vignette|L'application exponentielle en un point d'une sphère : elle est définie sur le plan entier mais non bijective.]]
En [[géométrie riemannienne]], une  '''application exponentielle''' est une application allant d'un sous-espace d'un  [[espace tangent]] {{math|T''p''''M''}} d'une [[variété riemannienne]] (ou [[variété pseudo-riemannienne|pseudo-riemannienne]]) {{mvar|M}} vers {{mvar|M}} elle-même. La métrique (pseudo)-riemanienne détermine une connexion affine  canonique (la [[connexion de Levi-Civita]]), et l'application exponentielle de la variété est donnée par l'application exponentielle de cette  connexion.

=== Propriétés ===
De façon intuitive, l'application exponentielle prend un vecteur tangent à la variété, et parcourt la géodésique issue de ce point et dans cette direction pendant une unité de temps. Comme {{mvar|v}} correspond au vecteur-vitesse sur la géodésique, la distance (riemannienne) réellement franchie en dépendra. Reparamétrant les géodésiques pour qu'elles soient parcourues à vitesse unitaire (paramétrage par la longueur de l'arc), on peut définir {{math|exp''p''(''v'') {{=}} β({{!}}''v''{{!}})}}, où {{math|β}} est la géodésique dans la direction de {{mvar|v}}. Quand {{mvar|v}} varie, on obtient, en appliquant {{math|exp''p''}}, différents points de {{mvar|M}} qui sont équidistants (pour la métrique) du point de base {{mvar|p}} ; c'est peut-être une des façons les plus concrètes de voir que l'espace tangent est une sorte de "linéarisation" de la variété.

Le [[théorème de Hopf-Rinow]] affirme qu'il est possible de définir l'application exponentielle sur tout l'espace tangent si et seulement si la variété est complète en tant qu'[[espace métrique]] (ce qui justifie l'expression de [[variété géodésiquement complète]] pour une variété ayant une application exponentielle de ce type). En particulier, les variétés compactes sont géodésiquement
complètes. Cependant, même si {{math|exp''p''}} est définie sur tout l'espace tangent, ce ne sera pas en général un difféomorphisme global. Toutefois, sa différentielle à l'origine de l'espace tangent est l'application identité, et donc, d'après le [[théorème des fonctions implicites]], on peut trouver un voisinage de l'origine de {{math|T''p''''M''}} dans lequel l'application exponentielle est un [[plongement]] (autrement dit, l'application exponentielle est un difféomorphisme local). Le rayon de la plus grande boule centrée en l'origine de {{math|T''p''''M''}} qui s'applique difféomorphiquement par {{math|exp''p''}} s'appelle le '''rayon d'injectivité''' de {{mvar|M}} en {{mvar|p}}.

Une importante propriété de l'application exponentielle est le [[Lemme de Gauss (géométrie riemannienne)|lemme de Gauss]] suivant : étant donné un vecteur tangent {{mvar|v}} dans le [[Ensemble de définition|domaine de définition]] de {{math|exp''p''}}, et un autre vecteur {{mvar|w}} basé à l'extrémité de {{mvar|v}} (ainsi {{mvar|w}} est en fait dans l'espace tangent de l'espace tangent {{math|T''v''(T''p''''M''))}} et orthogonal à {{mvar|v}}, il reste orthogonal à {{mvar|v}} lorsqu'il est poussé par l'application exponentielle. Cela signifie en particulier, que la sphère frontière d'une petite boule autour de l'origine de {{math|T''p''''M''}} est orthogonale aux géodésiques dans {{mvar|M}} déterminées par ces vecteurs (autrement dit, les  géodésiques sont ''radiales''). Ceci amène à la définition des [[Coordonnées normales|coordonnées géodésiques normales]] sur une variété riemannienne.

L'application exponentielle est aussi un outil utile pour relier la {{Lien|trad=Curvature of Riemannian manifolds|Courbure d'une variété riemanienne|texte=définition abstraite de la courbure}} à sa représentation plus concrète due à Riemann lui-même, la [[Courbure#Courbure sectionnelle|courbure sectionnelle]], que l'on peut intuitivement définir comme la [[courbure de Gauss]] d'une certaine surface (c'est-à-dire une coupe de la variété par une sous-variété de dimension 2) passant par le point {{mvar|p}} considéré. La courbure abstraite peut être alors définie précisément comme la courbure de Gauss d'une surface passant par {{mvar|p}}, déterminée par l'image par {{math|exp''p''}} d'un sous-espace de dimension 2 de {{math|T''p''''M''}}.

== Relations entre les applications exponentielles ==
Dans le cas de groupes de Lie avec une métrique pseudo-riemannienne invariante par translation à droite et à gauche, les applications exponentielles de la métrique coïncident avec celles du groupe. Tous les groupes de Lie n'ont pas une telle métrique, mais c'est le cas des groupes de Lie semi-simples et connexes. L'existence d'une métrique ''riemannienne'' bi-invariante est une condition plus forte, qui implique que l'algèbre de Lie est celle d'un groupe de Lie compact ; réciproquement, tout groupe de Lie compact (ou abélien) possède une telle métrique riemannienne.

Prenons par exemple la fonction exponentielle usuelle. Partant de l'ensemble des réels positifs '''R'''+ considérés comme un groupe de Lie pour la multiplication usuelle, l'espace tangent en chaque point est (isomorphe à) '''R'''. Sur chaque copie de '''R''' au point {{mvar|y}}, nous définissons le produit scalaire

:<math>\langle u, v \rangle_y = \frac{uv}{y^2}</math>
(c'est ce facteur {{math|1/''y''2}} qui rend la métrique invariante à gauche).

Considérons le point {{math|1 ∈ '''R'''+}}, et soit {{math|''x'' ∈ '''R'''}} un élément de l'espace tangent en  1. La droite partant de 1, c'est-à-dire {{math|''y''(''t'') {{=}} 1 + ''xt''}}, a évidemment la même trajectoire qu'une géodésique, mais nous devons la reparamétrer pour obtenir un parcours à vitesse constante (au sens de la nouvelle métrique). Il faut donc utiliser comme nouveau paramètre la longueur d'arc, c'est-à-dire l'intégrale de la norme du vecteur tangent, pour la norme {{math|{{!}}.{{!}}''y''}} induite par la nouvelle métrique :

:<math>s(t) = \int_0^t |x|_{y(\tau)} d\tau = \int_0^t \frac{|x|}{1 + \tau x} d\tau =  |x| \int_0^t \frac{d\tau}{1 + \tau x} =   \frac{|x|}{x} \ln|1 + tx|</math>

et après inversion pour obtenir {{mvar|t}} en fonction de {{mvar|s}}, on a finalement
:<math>y(s) = \mathrm{e}^{\frac{sx}{|x|}}</math>.

Utilisant la définition de la vitesse unité, on obtient

:<math>\exp_1(x) = y(|x|_1) = y(|x|),</math>
ce qui est, comme prévu, l'exponentielle ordinaire {{math|e{{exp|''x''}}}}.

La distance riemanienne correspondante est simplement

:<math>\operatorname{dist}(a,b) = \left| \ln\left(\frac{b}{a}\right)\right|</math>,

une métrique familière à tous ceux ayant utilisé une [[échelle logarithmique]].

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Exponential map|319390236|type=note}}
<references />

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
*[[Équation fonctionnelle]]
*[[Équation fonctionnelle de Cauchy]], § « Importance de l'équation »
*[[Formule de Baker-Campbell-Hausdorff]]

=== Bibliographie ===
*{{Article|lang=en|auteur=Dragomir Z. Djokovic|auteur2=Karl H. Hofmann|titre=The surjectivity question for the exponential function of real Lie groups: A status report|revue=Journal of Lie Theory|vol=7|année=1997|p.=171-199|url=http://www.heldermann-verlag.de/jlt/jlt07/DOKHOFPL.PDF}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Karl Heinrich Hofmann|auteur2=Wolfgang Ruppert|titre=Lie Groups and Subsemigroups with Surjective Exponential Function|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=1997|lire en ligne={{Google Livres|u4XTCQAAQBAJ}}}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Groupe de Lie]]
[[Catégorie:Géométrie riemannienne]]
[[Catégorie:Exponentielle]]
[[Catégorie:Étude des géodésiques]]


text:
# Ayre (Golijov)
Pour les articles homonymes, voir Ayre.
Ayre est le douzième album du compositeur Osvaldo Golijov, commandé par la Carnegie Hall pour la soprano Dawn Upshaw. C'est un cycle de chansons de la région méditerranéenne qui coexistaient autrefois en Espagne avant la Reconquista.
L'Ayre de Golijov - qui signifie "air" ou "mélodie" en espagnol médiéval - se concentre en grande partie sur le sud de l'Espagne avec son mélange de trois cultures (chrétienne, arabe et juive) à une époque avant l'expulsion des Juifs dans la fin du XVe siècle.

## Le disque compact
Le CD se compose de deux parties : dans la première il y a les compositions d'Osvaldo Golijov et dans la seconde les pièces publiées dans Folk Songs en 1964 par Luciano Berio (pour Voix et Sept Instruments): mezzo-soprano, flûte, clarinette, alto, violoncelle, harpe et percussion de Luciano Berio.
Dans la première partie Ayre (pour voix et orchestre), les pièces sont toutes interprétées par la soprano Dawn Upshaw accompagnée de l'orchestre The Andalucian Dogs.
Dans la deuxième partie Folk Songs la soprano Dawn Upshaw est accompagnée par Helen Tara O'Connor, Todd Palmer, Ljova, Erik Friedlander, Bridget Kibbey, Eric Poland et Gordon Gottlieb.[non pertinent]
En plus des instruments mentionnés, dans les pièces Tancas serradas a muru (sarde) et Wa Habibi (arabe), un Ordinateur portable programmé avec de l'Electronica "beat" a été utilisé pour fournir un fond de conduite rythmique.

## Liste des pistes
Ayre de Osvaldo Golijov

### Première partie
1. Mananita de San Juan (Morning of St. John's Day) - 3:54
2. Una Madre Comió Asado (A Mother Roasted her Child) - 3:01
3. Tancas serradas a muru (Walls are Encircling the Land) - (trad. Sardaigne, paroles de Melchiorre Murenu)- 2:57
4. Luna - 2:04
5. Nanni - 3:15
6. Wa Habibi (My Love) - 6:15
7. Aiini Taqttiru (My Eyes Weep)  - 2:47
8. Kun Li-Guitari Wataran Ayyuha Al-Maa' (Be a String, Water, to my Guitar) - 1:14
9. Kun Li-Guitari Wataran Ayyuha Al-Maa' (Be a String, Water, to my Guitar) - 1:40
10. Yah, Anna Emtzacha (Oh, Where Shall I find You?)  - 3:44
11. Ariadna en su Laberinto (Ariadne in Her Labyrinth) - 9:15

### Deuxième partie
1. Black is the colour  (USA) - 2:42
2. I Wonder As I Wander (USA) - 2:06
3. Loosin yelav (Arménie) -2:35
4. Rossignolet du bois - (France) - 1:28
5. A la femminisca - (Sicilia)  - 1:32
6. La donna ideale - (Liguria, Italie) - 1:17
7. Ballo - (Italie)- 1:34
8. Motettu de tristura  - (Sardaigne)- 1:53
9. Malurous qu'o un fenno - (Auvergne)- 1:00
10. Lo fiolairé - (Auvergne)- 2:56
11. Azerbaijan Love Song (Qalalıyam) - (Azerbaïdjan)- 2:48

wikiname: frwiki

title: Ayre (Golijov)

in_language: fr

wikitext:
{{Titre en italique}}
{{ébauche|album}}
{{homon|Ayre}}
{{Infobox Musique (œuvre)
| charte           = album
| titre            = Ayre
| image            =
| artiste          = [[Osvaldo Golijov]]
| sorti            = 27 septembre 2005
| enregistré       =
| producteur       =
| genre            = [[Musique folk|Folk]] et [[musique contemporaine]]
| durée            = 61 [[Minute (temps)|min]] 57 [[Seconde (temps)|s]]
| label            = [[Deutsche Grammophon]] CD 00289 477 5414
| critique         =
| album précédent  =
| date album préc  =
| album suivant    =
| date album suiv  =
}}
'''''Ayre''''' est le douzième album du compositeur Osvaldo Golijov, commandé par la [[Carnegie Hall]] pour la [[soprano]] [[Dawn Upshaw]]. C'est un cycle de chansons de la région méditerranéenne qui coexistaient autrefois en [[Espagne]] avant la [[Reconquista]].

L'''Ayre'' de Golijov - qui signifie "air" ou "mélodie" en espagnol médiéval - se concentre en grande partie sur le sud de l'Espagne avec son mélange de trois cultures (chrétienne, arabe et juive) à une époque avant l'expulsion des Juifs dans la fin du {{s-|XV}}<ref>Ara Guzelimian, ''A Counterpoint of Cultures'', dans Hollywood Bowl, [[Los Angeles Philharmonic Association]], 2021</ref>.

== Le disque compact ==
Le [[disque compact|CD]] se compose de deux parties : dans la première il y a les compositions d'Osvaldo Golijov et dans la seconde les pièces publiées dans [[Folk Songs]] en 1964 par Luciano Berio (pour Voix et Sept Instruments): [[mezzo-soprano]], [[flûte]], [[clarinette]], [[Alto (instrument à cordes)|alto]], [[violoncelle]], [[harpe]] et [[Instrument de percussion|percussion]] de [[Luciano Berio]]<ref>[https://www.discogs.com/release/2963860-Osvaldo-Golijov-Ayre Osvaldo Golijov – Ayre Deutsche Grammophon –  lu en ligne]
</ref>.

Dans la première partie Ayre (pour voix et orchestre), les pièces sont toutes interprétées par la [[soprano]] [[Dawn Upshaw]] accompagnée de l'orchestre ''The Andalucian Dogs''.

{{Passage non pertinent|Dans la deuxième partie Folk Songs la soprano Dawn Upshaw est accompagnée par Helen Tara O'Connor, Todd Palmer, Ljova, [[Erik Friedlander]], Bridget Kibbey, Eric Poland et Gordon Gottlieb.}}

En plus des instruments mentionnés, dans les pièces [[Tancas serradas a muru]] (sarde) et [[Wa Habibi]] (arabe), un [[Ordinateur portable]] programmé avec de l'[[Electronica|Electronica "beat"]] a été utilisé pour fournir un fond de conduite rythmique.

== Liste des pistes ==

;''Ayre'' de Osvaldo Golijov
===Première partie===
# ''Mananita de San Juan (Morning of St. John's Day)'' - 3:54
# ''Una Madre Comió Asado (A Mother Roasted her Child)'' - 3:01
# ''[[Tancas serradas a muru]] (Walls are Encircling the Land)'' - (trad. [[Sardaigne]], paroles de [[Melchiorre Murenu]])- 2:57
# ''Luna'' - 2:04
# ''Nanni'' - 3:15
# ''Wa Habibi (My Love)'' - 6:15
# '' Aiini Taqttiru (My Eyes Weep) '' - 2:47
# ''Kun Li-Guitari Wataran Ayyuha Al-Maa' (Be a String, Water, to my Guitar)'' - 1:14
# ''Kun Li-Guitari Wataran Ayyuha Al-Maa' (Be a String, Water, to my Guitar)'' - 1:40
# '' Yah, Anna Emtzacha (Oh, Where Shall I find You?) '' - 3:44
# ''Ariadna en su Laberinto (Ariadne in Her Labyrinth)'' - 9:15

===Deuxième partie===
# ''Black is the colour '' ([[USA]]) - 2:42
# ''[[I Wonder As I Wander]]'' ([[USA]]) - 2:06
# ''Loosin yelav'' ([[Arménie]]) -2:35
# ''[[Rossignolet du bois]]'' - ([[France]]) - 1:28
# ''A la femminisca'' - ([[Sicilia]])  - 1:32
# ''[[La donna ideale]]'' - ([[Liguria]], [[Italie]]) - 1:17
# ''Ballo'' - ([[Italie]])- 1:34
# ''[[Motettu de tristura]]''  - ([[Sardaigne]])- 1:53
# ''Malurous qu'o un fenno'' - ([[Auvergne]])- 1:00
# ''[[Lo fiolairé]]'' - ([[Auvergne]])- 2:56
# ''Azerbaijan Love Song (Qalalıyam)'' - ([[Azerbaïdjan]])- 2:48

== Notes et références ==
{{Références}}

== Lien externe ==
* {{bases}}
* [https://www.discogs.com/release/2963860-Osvaldo-Golijov-Ayre Osvaldo Golijov – Ayre Deutsche Grammophon – B0004782-02 lu en ligne]

{{Portail|musique classique}}
[[Catégorie:Album musical sorti en 2005]]
[[Catégorie:Album de folk]]
[[Catégorie:Cycle de lieder]]

title: Album de Osvaldo Golijov

Sortie: 27 septembre 2005

Durée: 61 min 57 s

Genre: Folk et musique contemporaine

Label: Deutsche Grammophon CD 00289 477 5414


text:
# Nombre premier tronquable
En mathématiques récréatives, (dans une base donnée, souvent la base dix), un nombre premier est dit tronquable :
- à gauche  s'il ne contient pas 0 et si, lorsqu'on enlève un par un ses chiffres à partir de la gauche, tous les nombres obtenus sont premiers
- à droite si, lorsqu'on enlève un par un ses chiffres à partir de la droite, tous les nombres obtenus sont premiers.

## Base dix
Un nombre premier est tronquable :
- à gauche  s'il ne contient pas 0 et si, lorsqu'on enlève un par un ses chiffres à partir de la gauche, tous les nombres obtenus sont premiers. Par exemple 9137, puisque 9137, 137, 37 et 7 sont tous premiers.
- à droite si, lorsqu'on enlève un par un ses chiffres à partir de la droite, tous les nombres obtenus sont premiers. Par exemple 7393, car 7393, 739, 73 et 7 sont tous premiers.

### Décomptes
Il y a exactement 4 260 nombres premiers tronquables à gauche (2, 3, 5, 7, 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 97, 113, … et 357 686 312 646 216 567 629 137 : suite A024785 de l'OEIS) et 83 nombres premiers tronquables à droite (2, 3, 5, 7, 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239, … et 73 939 133 : suite A024770 de l'OEIS).
Tous les nombres premiers supérieurs à 5 finissent par le chiffre 1, 3, 7 ou 9 donc un nombre premier tronquable à droite ne peut contenir que ces chiffres, après le premier chiffre.
Les 15 nombres premiers tronquables à la fois à gauche et à droite, appelés les « nombres premiers recto-verso »[réf. nécessaire], sont 	2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 313, 317, 373, 797, 3 137, 3 797 et 739 397 (suite A020994 de l'OEIS).
Un nombre premier tronquable à gauche est dit « restreint »[réf. nécessaire] si toutes ses extensions à gauche sont composées, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'autre premier tronquable à gauche dont ce premier est la « queue » tronquée. Ainsi, 7 939 est un premier tronquable à gauche restreint, parce que les neuf nombres composés de 5 chiffres se terminant en 7939 sont tous composés, alors que 3 797 est un premier tronquable à gauche non restreint, car 33 797 est aussi premier. Il y a 1442 premiers tronquables à gauche restreints (2, 5, 773, 3 373, etc. : suite A240768 de l'OEIS).
On définit de même les nombres premiers tronquables à droite restreints[réf. nécessaire]. Il y en a 27 (53, 317, 599, 797, 2 393, etc. : suite A239747 de l'OEIS).
Alors que la primalité d'un nombre ne dépend pas du système de numération utilisé, l'ensemble des nombres premiers tronquables dépend de la base. Une variante consiste à enlever au moins 2 chiffres décimaux à la fois. Ceci équivaut à utiliser comme base cent ou une plus grande puissance de dix, avec la restriction que les chiffres en base 10n doivent être au moins 10n−1, pour que le nombre décimal correspondant (à n chiffres)  ne commence pas par 0.

## Autres bases
- Si vous ne connaissez pas le sujet, laissez ce bandeau (vous pouvez alors contacter les auteurs).
- Si vous supprimez le contenu mis en cause (vous pouvez préalablement contacter les auteurs),

argumentez précisément cette suppression dans la page de discussion
(un manque de référence n'est pas un argument ; une recherche réelle de référence doit avoir été effectuée, être formellement documentée).

### Base douze
En base douze, en notant deux et trois inversés les chiffres dix et onze, respectivement, les nombres premiers tronquables sont :
- à gauche : 2, 3, 5, 7, Ɛ, 15, 17, 1Ɛ, 25, 27, 35, 37, 3Ɛ, 45, 4Ɛ, 57, 5Ɛ, 67, 6Ɛ, 75, 85, 87, 8Ɛ, 95, ᘔ7, Ɛ5, Ɛ7, 117, etc.
- à droite : 2, 3, 5, 7, Ɛ, 25, 27, 31, 35, 37, 3Ɛ, 51, 57, 5Ɛ, 75, Ɛ5, Ɛ7, 251, 255, 25Ɛ, 271, 277, 27Ɛ, 315, 357, etc.

Un nombre premier tronquable à droite en base 12 ne peut contenir que les chiffres 1, 5, 7 et Ɛ après le premier chiffre, et celui-ci ne peut être 1.

title: Nombre premier tronquable

wikitext:
En [[mathématiques récréatives]], (dans une [[Base (arithmétique)|base]] donnée, souvent la [[base dix]]), un '''[[nombre premier]]''' est dit '''tronquable''' :
*à gauche  s'il ne contient pas 0 et si, lorsqu'on enlève un par un ses chiffres à partir de la gauche, tous les nombres obtenus sont premiers
*à droite si, lorsqu'on enlève un par un ses chiffres à partir de la droite, tous les nombres obtenus sont premiers.

==Base dix ==
Un '''[[nombre premier]]''' est '''tronquable''' :
*à gauche  s'il ne contient pas 0 et si, lorsqu'on enlève un par un ses chiffres à partir de la gauche, tous les nombres obtenus sont premiers. Par exemple 9137, puisque 9137, 137, 37 et 7 sont tous premiers.
*à droite si, lorsqu'on enlève un par un ses chiffres à partir de la droite, tous les nombres obtenus sont premiers. Par exemple 7393, car 7393, 739, 73 et 7 sont tous premiers.
=== Décomptes ===
Il y a exactement 4 260 nombres premiers tronquables à gauche (2, 3, 5, 7, 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 97, 113, … et {{nombre|357 686 312 646 216 567 629 137}} : {{OEIS|id=A024785}}) et 83 nombres premiers tronquables à droite (2, 3, 5, 7, 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239, … et 73 939 133 : {{OEIS|id=A024770}}).

Tous les nombres premiers supérieurs à 5 finissent par le chiffre 1, 3, 7 ou 9 donc un nombre premier tronquable à droite ne peut contenir que ces chiffres, après le premier chiffre.

Les 15 nombres premiers tronquables à la fois à gauche et à droite, {{refnec|date=juillet 2016|appelés les « nombres premiers recto-verso »}}, sont 	2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 313, 317, 373, 797, 3 137, 3 797 et 739 397 ({{OEIS|id=A020994}}).

Un nombre premier tronquable à gauche {{refnec|date=juillet 2016|est dit « restreint »}} si toutes ses extensions à gauche sont composées, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'autre premier tronquable à gauche dont ce premier est la « queue » tronquée. Ainsi, 7 939 est un premier tronquable à gauche restreint, parce que les neuf nombres composés de 5 chiffres se terminant en 7939 sont tous composés, alors que 3 797 est un premier tronquable à gauche non restreint, car 33 797 est aussi premier. Il y a 1442 premiers tronquables à gauche restreints (2, 5, 773, 3 373{{etc.}} : {{OEIS|id=A240768}}).

On définit de même les nombres premiers {{refnec|date=juillet 2016|tronquables à droite restreints}}. Il y en a 27 (53, 317, 599, 797, 2 393{{etc.}} : {{OEIS|id=A239747}}).

Alors que la primalité d'un nombre ne dépend pas du [[système de numération]] utilisé, l'ensemble des nombres premiers tronquables dépend de la base. Une variante consiste à enlever au moins 2 chiffres décimaux à la fois. Ceci équivaut à utiliser comme base cent ou une plus grande [[puissance de dix]], avec la restriction que les chiffres en base 10''n'' doivent être au moins 10''n''−1, pour que le nombre décimal correspondant (à ''n'' chiffres)  ne commence pas par 0.

== Autres bases ==
{{section TI|date=juillet 2016}}
=== Base douze ===
En [[Base 12|base douze]], en notant deux et trois inversés les chiffres dix et onze, respectivement, les nombres premiers tronquables sont :
*à gauche : 2, 3, 5, 7, Ɛ, 15, 17, 1Ɛ, 25, 27, 35, 37, 3Ɛ, 45, 4Ɛ, 57, 5Ɛ, 67, 6Ɛ, 75, 85, 87, 8Ɛ, 95, ᘔ7, Ɛ5, Ɛ7, 117{{etc.}}
*à droite : 2, 3, 5, 7, Ɛ, 25, 27, 31, 35, 37, 3Ɛ, 51, 57, 5Ɛ, 75, Ɛ5, Ɛ7, 251, 255, 25Ɛ, 271, 277, 27Ɛ, 315, 357{{etc.}}
Un nombre premier tronquable à droite en base 12 ne peut contenir que les chiffres 1, 5, 7 et Ɛ après le premier chiffre, et celui-ci ne peut être 1.

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Truncatable prime|720730020}}
* {{MathWorld|titre=Truncatable Prime|nom_url=TruncatablePrime}}
*{{Lien web|lang=en|auteur=Chris Caldwell|url=http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=LeftTruncatablePrime|titre=Left-truncatable prime}} et [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=RightTruncatablePrime ''right-truncatable primes''], [[Pages de nombres premiers|Prime Pages]].
*{{Lien web|lang=en|auteur=Carlos Rivera|url=http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_002.htm|titre=Problems & Puzzles: Puzzle 2.- Prime strings}} et [http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_131.htm Puzzle 131.- Growing primes]

{{Palette|Classes de nombres premiers}}
{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Nombre premier]]
[[Catégorie:Suite de nombres]]
[[Catégorie:Mathématiques récréatives]]


text:
# Parc national de la Chapada dos Veadeiros
Le parc national de la Chapada dos Veadeiros (en portugais Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros) est une zone protégée du Brésil, située dans l'État de Goiás entre les municipalités de Alto Paraíso de Goiás, Cavalcante, Teresina de Goiás et São João d’Aliança.
Il couvre aujourd'hui une surface de près de 240 611 hectares en plein coeur du cerrado, une savane d'Amérique du Sud dotée d'une biodiversité remarquable. Drainé par le Rio Preto, un affluent du Rio Tocantins, le site possède de nombreuses cascades et de nombreux plans d'eau qui font de lui une destination touristique privilégiée.
Depuis 2001, le parc est inscrit sur la liste du patrimoine mondial de l'UNESCO.

## Géographie et géologie
La Chapada dos Veadeiros est un important centre de dispersion des drains, la plupart de ses rivières creusant des vallées en forme de « V ». Le principal est la rivière Preto, un affluent de la rivière Tocantins, qui forme plusieurs cascades le long de son cours, notamment deux chutes de 80 et 120 m de haut respectivement.
La légende voudrait que le parc soit situé sur un gigantesque quartz rose faisant perdre le nord aux boussoles.

## Histoire
Le nom d'une des cascades du parc (Garimpão) témoigne de la présence de chercheurs d'or (garimpeiros) et de cristal dans la région. Avant la colonisation, elle était habitée par le peuple Ãwa (aussi appelé Avá-canoeiro). Ce dernier a particulièrement été affecté par le processus de colonisation ainsi que par sa mise-en-esclavage et l'extermination progressive de ses membres,.
Le parc a été créé par le président de la République Juscelino Kubitschek, le 11 janvier 1961, sous l'appellation de parc national du Tocantins. En 1972, perdant les terres sur les rives de la rivière Tocantins, le parc a adopté son nom actuel. En 2017, cependant, le parc a été étendu par un décret à l’occasion de la Journée mondiale de l’environnement à ses 240 000 hectares actuels.

## Faune et flore
En ce qui concerne la flore, 1 476 espèces de plantes ont déjà été identifiées dans le parc, sur les 6 429 qui existent dans le biome du cerrado. Le Paepalanthus chiquitensis, appelé chuverinho do cerrado en portugais et pouvant aller jusqu'à 2 mètres de longueur, en est la fleur emblématique.
Parmi la cinquantaine classées comme rares, endémiques ou en danger d’extinction dans la région, le parc national compte 196 espèces de mammifères, 837 d'oiseaux, 184 de reptiles, 1 200 de poissons et plus de 90 000 insectes.
En randonnant au sein du parc, il est possible d'observer le loup à crinière (lobo guará), le cerf des pampas (veado campeiro), le tamandua ainsi que de nombreux aras multicolores, nandous, perruches (periquitos), vautours royal et faucons. Le cerrado est également l'habitat des jaguars (onças pintadas), un des symboles officieux du Brésil.

## Gestion du parc et conditions d'accès
Sous l'impulsion de Jair Bolsonaro le parc a été privatisé en 2019. Il est depuis sous concession de l'entreprise Parquetur, spécialisée dans la gestion espaces naturels qui possède à l'heure actuelle cinq autres parcs, dont le Parc national de la Chapada dos Guimarães. Son administration est néanmoins partagée avec l'Institut Chico Mendes, son ancien gestionnaire.
Le parc national est situé aux abords du village de São Jorge. En juin 2025, le prix du parking s'élève à 35 réaux pour la journée. Depuis sa privatrisation, son accès est payant et coûte 47 réaux (tarif normal) ou 23,50 réaux (tarif préférentiel pour les étudiants, les séniors et les personnes handicapées). Il est conseillé de réserver son entrée sur le site internet du parc et de respecter l'horaire de fermeture, fixé à dix-huit heures.

## Chemins de randonnée
Le parc national propose trois chemins de randonnées menant toutes à des cascades et des zones baignables non-surveillées.
Le chemin jaune (d'une longueur d'une 4,5km) conduit aux cascades Saltos, Carrosel et Corredeiras et offre un panorama exceptionnel (mirante) sur la vallée. Sa difficulté est avancée. Pour le retour, un service de transport jusqu'à l'entrée du parc est proposé pour la somme de 40 réaux.
Le chemin rouge (d'une longueur de 6,5 km) débouche sur la cascade Carioca et sur deux canions. Sa difficulté est modérée.
Le chemin bleu (d'une longueur de 850m) permet de se rendre à la cascade Seriema. Sa difficulté est facile. Durant la période sèche (de juin à octobre), son accès est restreint.
La traversée (travessia, d'une longueur de 23km) mène aux chutes Sete Quedas. Ce chemin est considéré comme le plus difficile.
Des visites nocturnes sont également proposées, à condition de faire appel à un guide agrémenté par l'Institut Chico Mendes et de payer l'entrée du parc.

## Fréquentation
Selon une étude de l'Etat de Goiás menée entre 2017 et 2019, une écrasante majorité des touristes étaient Brésiliens (97%), suivis des Français (0,36%) et des Allemands (0,32%). Durant la même période, près de 215 000 personnes ont visité le parc.
En 2024, le parc national était placé neuvième sur la liste des destinations touristiques les plus désirées par les Brésiliennes et les Brésiliennes, juste après le site de Bonito (Mato Grosso do Sul).
São Jorge est réputé pour être, avec São Thomé das Letras, un haut lieu du tourisme ésotérique au Brésil. Les récits d'OVNI sont si nombreux que la mascotte du village est un petit homme vert, que l'on trouve à l'entrée des boutiques de souvenirs et des restaurants,.

## Dans la culture
Un timbre-poste du Brésil émis en 2006 lui a été consacré. Y figurent les monts Baleia, ainsi que des représentants de la flore et de la faune du parc (le palmier Mauritia flexuosa, des fleurs de Paepalanthus et de Vellosia flavicans et le loup à crinière (Chrysocyon brachyurus, lobo guará au Brésil).

wikitext:
{{Infobox Aire protégée
 | nom                = Parc national de la Chapada dos Veadeiros
 | catégorie iucn     = II
 | wdpa               = 59
 | image              = Chapada Veadeiros, Alto Paraiso GO - 40252529604.jpg
 | légende image      = Point de vue panoramique (mirante) sur le Rio Preto
 | pays               = {{Brésil}}
 | subdivision 1 type = État
 | subdivision 1      = {{Goiás}}
 | subdivision 2 type =
 | subdivision 2      =
 | ville proche       = São Jorge
 | latitude           = -14.04182070
 | longitude          = -47.64470264
 | superficie         = 240 611 hectares
 | création           = {{date|11|janvier|1961}}
 | visiteurs          = 70 000
 | visiteurs année    =
 | administration     = [[Parquetur]]
 | site web           = https://pnchapadadosveadeiros.com.br/
 | remarque           =
 | géolocalisation    =
}}

Le '''parc national de la Chapada dos Veadeiros''' (en portugais '''''Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros''''') est une zone protégée du Brésil, située dans l'État de [[Goiás]] entre les municipalités de [[Alto Paraíso de Goiás]], [[Cavalcante]], [[Teresina de Goiás]] et [[São João d'Aliança|São João d’Aliança]].

Il couvre aujourd'hui une surface de près de 240 611 hectares en plein coeur du [[cerrado]], une savane d'Amérique du Sud dotée d'une biodiversité remarquable. Drainé par le Rio Preto, un affluent du [[Rio Tocantins]], le site possède de nombreuses cascades et de nombreux plans d'eau qui font de lui une destination touristique privilégiée.

Depuis 2001, le parc est inscrit sur la liste du [[Patrimoine mondial|patrimoine mondial de l'UNESCO]]<ref>{{Lien web |langue=Français |auteur=UNESCO |titre=Aires protégées du Cerrado : Parcs nationaux Chapada dos Veadeiros et Emas |url=https://whc.unesco.org/fr/list/1035 |accès url=libre |consulté le=22 juin 2025}}</ref>.

== Géographie et géologie ==
La Chapada dos Veadeiros est un important centre de dispersion des drains, la plupart de ses rivières creusant des vallées en forme de « V ». Le principal est la rivière Preto, un affluent de la rivière Tocantins, qui forme plusieurs [[Chute d'eau|cascades]] le long de son cours, notamment deux chutes de 80 et 120 m de haut respectivement.

La légende voudrait que le parc soit situé sur un gigantesque [[quartz rose]] faisant perdre le nord aux boussoles<ref name="Quatro fatos místicos da Chapada dos Veadeiros">{{Lien web |langue=pt-BR |nom=admODP |titre=Quatro fatos místicos da Chapada dos Veadeiros |url=https://grupoodp.com.br/en/quatro-fatos-misticos-da-chapada-dos-veadeiros/ |site=Oficina das Palavras - Assessoria de Imprensa, Produção de Conteúdo e Redes Sociais |date=2018-07-02 |consulté le=2025-06-22}}</ref>.

== Histoire ==
Le nom d'une des cascades du parc (''Garimpão'') témoigne de la présence de chercheurs d'or (''garimpeiros'') et de cristal dans la région. Avant la colonisation, elle était habitée par le peuple ''Ãwa'' (aussi appelé ''Avá-canoeiro''). Ce dernier a particulièrement été affecté par le [[Colonisation européenne des Amériques|processus de colonisation]] ainsi que par sa [[Esclavage au Brésil|mise-en-esclavage]] et l'[[Actes de génocide en Amérique|extermination progressive]] de ses membres<ref>{{Lien web |titre=Avá-Canoeiro - Povos Indígenas no Brasil |url=https://pib.socioambiental.org/pt/Povo:Av%C3%A1-Canoeiro |site=pib.socioambiental.org |consulté le=2025-06-22}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=pt-br |titre=Avá-Canoeiro: conheça terra indígena em Goiás demarcada por Lula |url=https://g1.globo.com/go/goias/noticia/2023/04/29/ava-canoeiro-conheca-terra-indigena-em-goias-demarcada-por-lula.ghtml |site=G1 |date=2023-04-29 |consulté le=2025-06-22}}</ref>.

Le parc a été créé par le président de la République [[Juscelino Kubitschek]], le 11 janvier 1961, sous l'appellation de parc national du Tocantins. En 1972, perdant les terres sur les rives de la [[Tocantins|rivière Tocantins]], le parc a adopté son nom actuel. En 2017, cependant, le parc a été étendu par un décret à l’occasion de la [[Journée mondiale de l'environnement|Journée mondiale de l’environnement]] à ses 240 000 hectares actuels.

== Faune et flore ==
En ce qui concerne la flore, 1 476 espèces de plantes ont déjà été identifiées dans le parc, sur les 6 429 qui existent dans le [[biome]] du [[cerrado]]. Le ''[[:pt:Paepalanthus_chiquitensis|Paepalanthus chiquitensis]],'' appelé ''chuverinho do cerrado'' en portugais et pouvant aller jusqu'à 2 mètres de longueur, en est la fleur emblématique.

Parmi la cinquantaine classées comme rares, [[Endémisme|endémiques]] ou en [[Espèce en danger|danger d’extinction]] dans la région, le parc national compte 196 espèces de mammifères, 837 d'oiseaux, 184 de reptiles, 1 200 de [[Tamandua|poissons]] et plus de 90 000 insectes<ref name="O Parque">{{Lien web |langue=pt-br |titre=O Parque |url=https://pnchapadadosveadeiros.com.br/o-parque/ |site=Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros |consulté le=2025-06-22}}</ref>.

En randonnant au sein du parc, il est possible d'observer le [[loup à crinière]] (''lobo guará''), le [[cerf des pampas]] (''veado campeiro''), le [[tamandua]] ainsi que de nombreux [[Ara (oiseau)|aras]] multicolores, [[Nandou d'Amérique|nandous]], [[Perruche|perruches]] (''periquitos''), [[vautour royal|vautours royal]] et [[faucons]]. Le [[cerrado]] est également l'[[Habitat (écologie)|habitat]] des [[jaguar|jaguars]] (''onças pintadas'')<ref name="O Parque" />, un des symboles officieux du Brésil.

== Gestion du parc et conditions d'accès ==
Sous l'impulsion de [[Jair Bolsonaro]] le parc a été privatisé en 2019<ref name=":0" />. Il est depuis sous concession de l'entreprise [https://parquetur.com.br/ Parquetur], spécialisée dans la gestion espaces naturels qui possède à l'heure actuelle cinq autres parcs, dont le [[Parc national de la Chapada dos Guimarães]]. Son administration est néanmoins partagée avec l'[[Institut Chico Mendes de conservation de la biodiversité|Institut Chico Mendes]], son ancien gestionnaire<ref name=":0">{{Lien web |langue=pt-BR |nom=estadaoconteudo |titre=Chapada dos Veadeiros é concedida à iniciativa privada |url=https://www.terra.com.br/planeta/sustentabilidade/chapada-dos-veadeiros-e-concedida-a-iniciativa-privada,16f7130cec257f4745b73a98e17c4167gwiq2wh0.html |site=Terra |consulté le=2025-06-22}}</ref>.

Le parc national est situé aux abords du village de São Jorge. En juin 2025, le prix du parking s'élève à 35 réaux pour la journée. Depuis sa privatrisation, son accès est payant et coûte 47 réaux (tarif normal) ou 23,50 réaux (tarif préférentiel pour les étudiants, les séniors et les personnes handicapées). Il est conseillé de réserver son entrée sur le site internet du parc et de respecter l'horaire de fermeture, fixé à dix-huit heures<ref>{{Lien web |langue=pt-br |titre=Chapada dos Veadeiros |url=https://pnchapadadosveadeiros.com.br/loja/#/Chapada%20dos%20Veadeiros |site=Chapada dos Veadeiros |consulté le=2025-06-22}}</ref>.

== Chemins de randonnée ==
Le parc national propose trois chemins de randonnées menant toutes à des cascades et des zones baignables non-surveillées.

Le chemin jaune (d'une longueur d'une 4,5km) conduit aux cascades ''Saltos'', ''Carrosel'' et ''Corredeiras'' et offre un panorama exceptionnel (''mirante'') sur la vallée. Sa difficulté est avancée. Pour le retour, un service de transport jusqu'à l'entrée du parc est proposé pour la somme de 40 réaux<ref name="O Parque" />.

Le chemin rouge (d'une longueur de 6,5 km) débouche sur la cascade ''Carioca'' et sur deux canions. Sa difficulté est modérée<ref name="O Parque" />.

Le chemin bleu (d'une longueur de 850m) permet de se rendre à la cascade ''Seriema''. Sa difficulté est facile. Durant la période sèche (de juin à octobre), son accès est restreint<ref name="O Parque" />.

La traversée (''travessia'', d'une longueur de 23km) mène aux chutes ''Sete Quedas''. Ce chemin est considéré comme le plus difficile<ref name="O Parque" />.

Des visites nocturnes sont également proposées, à condition de faire appel à un guide agrémenté par l'[[Institut Chico Mendes de conservation de la biodiversité|Institut Chico Mendes]] et de payer l'entrée du parc<ref name="O Parque" />.

== Fréquentation ==
Selon une étude de l'[[Goiás|Etat de Goiás]] menée entre 2017 et 2019, une écrasante majorité des touristes étaient Brésiliens (97%), suivis des Français (0,36%) et des Allemands (0,32%)<ref name="Turismo em Goiás">{{Lien web |langue=pt-br |prénom=Portal Goiás |nom=Turismo |titre=Turismo em Goiás |url=http://www.goiasturismo.go.gov.br/pt |site=Portal Goiás Turismo |consulté le=2025-06-22}}</ref>. Durant la même période, près de 215 000 personnes ont visité le parc<ref name="Turismo em Goiás" />.

En 2024, le parc national était placé neuvième sur la liste des destinations touristiques les plus désirées par les Brésiliennes et les Brésiliennes, juste après le site de [[Bonito (Mato Grosso do Sul)|Bonito]] (Mato Grosso do Sul)<ref>{{Lien web |langue=pt-BR |prénom=Beto |nom=Landim |titre=Chapada dos Veadeiros - Um dos 10 destinos mais desejados pelos brasileiros em 2024 |url=https://www.chapada360.com.br/blog/chapada-dos-veadeiros-um-dos-10-destinos-mais-desejados-pelos-brasileiros-em-2024/ |site=Chapada 360 |date=2024-01-30 |consulté le=2025-06-22}}</ref>.

São Jorge est réputé pour être, avec [[São Thomé das Letras]], un haut lieu du tourisme [[Ésotérisme|ésotérique]] au Brésil<ref>{{Lien web |langue=pt-PT |nom=admin |titre=Esoterismo na Chapada dos Veadeiros |url=https://chapadanativa.com.br/esoterismo/ |site=Chapada Nativa |date=2019-03-21 |consulté le=2025-06-22}}</ref>. Les récits d'[[Objet volant non identifié|OVNI]] sont si nombreux que la mascotte du village est un [[Petits hommes verts|petit homme vert]], que l'on trouve à l'entrée des boutiques de souvenirs et des restaurants<ref>{{Lien web |langue=pt-BR |titre=UFOs e misticismo na Chapada dos Veadeiros - Revista UFO |url=https://ufo.com.br/ufos-e-misticismo-na-chapada-dos-veadeiros/ |date=1996-11-01 |consulté le=2025-06-22}}</ref>{{,}}<ref name="Quatro fatos místicos da Chapada dos Veadeiros" />.

== Dans la culture ==
Un [[Timbre postal|timbre-poste du Brésil]] émis en 2006 lui a été consacré. Y figurent les monts Baleia, ainsi que des représentants de la flore et de la faune du parc (le [[Arecaceae|palmier]] ''[[Mauritia flexuosa]]'', des fleurs de ''[[Paepalanthus]]'' et de ''[[Vellosia flavicans]]'' et le [[loup à crinière]] (''Chrysocyon brachyurus'', '''''lobo guará''''' au Brésil).<gallery>
Fichier:Chapada dos Veadeiros 18.jpg
Fichier:Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros Miguelsjacob (05).jpg
Fichier:Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros - Warley Silva (9).jpg
Fichier:Chapada no Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros 2.jpg
Fichier:Queda d'água - parque Nacional da Chapada dos Veadeiros.jpg
Fichier:Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros - Alvaro Menezes (34).jpg
Fichier:Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros - Filipe Rebula Hasse Ferreira (01).jpg
</gallery>

== Références ==
{{Références}}

== Annexes ==
=== Liens externes ===
{{liens}}

{{Palette|Parcs nationaux au Brésil|Patrimoine mondial au Brésil}}
{{Portail|conservation de la nature|patrimoine mondial|randonnée|Goiás}}

{{DEFAULTSORT:Chapada dos Veadeiros, parc national de la}}
[[Catégorie:Parc national au Brésil]]
[[Catégorie:Parc national créé en 1961]]
[[Catégorie:Patrimoine mondial au Brésil]]
[[Catégorie:Environnement au Goiás]]
[[Catégorie:Bien naturel du patrimoine mondial]]

title: Géographie

Pays: Brésil

État: Goiás

Ville proche: São Jorge

Superficie: 240 611 hectares

Partie de: Cerrado

title: Administration

Nom local: (pt) Parque Nacional da Chapada dos Veadeiros

Type: Parc national

Catégorie UICN: II

Création: 11 janvier 1961

Patrimonialité: Partie d'un site du patrimoine mondial UNESCO (d) (2001)

Administration: Parquetur

title: Patrimoine mondial

Site du Bien: Cerrado


text:
# Nessibou Zeamanouél
Le dejazmach Nessibou Zeamanouél (ge'ez : ነሲቡ ዘአማኑኤል) (1893 - 1936) est un administrateur et un militaire éthiopien.

## Biographie
Né en 1893, Nessibou est éduqué à Addis-Abeba à l'école Menelik II. De 1922 à 1932, il est maire d'Addis Abeba. En 1931, il est nommé à la tête des régions gouragué et Sodo et l'année suivante, il devient gouverneur du Balé. En 1935-1936, il participe à la seconde guerre italo-éthiopienne sur le front sud. Il décède en Suisse de la tuberculose le 16 octobre 1936.

title: Nessibou Zeamanouél

wikitext:
{{ébauche|Éthiopie}}
{{Infobox Biographie2}}
Le [[dejazmach]] '''Nessibou Zeamanouél''' ([[Alphabet éthiopien|ge'ez]] : ነሲቡ ዘአማኑኤል) ([[1893]] - [[1936]]) est un administrateur et un militaire [[éthiopie]]n.

== Biographie ==
Né en 1893, Nessibou est éduqué à [[Addis-Abeba]] à l'école [[Menelik II]]. De 1922 à 1932, il est maire d'Addis Abeba. En 1931, il est nommé à la tête des régions [[Gurages|gouragué]] et [[Sodo]] et l'année suivante, il devient gouverneur du [[Balé (province d'Éthiopie)|Balé]]. En 1935-1936, il participe à la [[seconde guerre italo-éthiopienne]] sur le front sud. Il décède en [[Suisse]] de la [[tuberculose]] le {{date-|16 octobre 1936}}.

== Voir aussi ==
*[[Addis-Abeba]]
*[[Seconde guerre italo-éthiopienne]]

== Liens externes ==
{{Liens}}

{{Portail|Éthiopie|militaire}}

{{DEFAULTSORT:Zeamanouel}}
[[Catégorie:Gouverneur du Balé]]
[[Catégorie:Militaire éthiopien de la dynastie salomonide]]
[[Catégorie:Maire d'Addis Abeba]]
[[Catégorie:Naissance en 1893]]
[[Catégorie:Décès en octobre 1936]]
[[Catégorie:Décès en Suisse]]
[[Catégorie:Mort de la tuberculose]]

title: Biographie

Décès: 16 octobre 1936 · Davos

Nationalité: éthiopienne

Activités: Homme politique, diplomate, militaire


text:
# Degré Celsius
Ne doit pas être confondu avec Degré centigrade.
Pour les articles homonymes, voir Degré et Celsius.
Le degré Celsius, de symbole °C, est l'unité de l’échelle de température Celsius, qui est une unité dérivée du Système international, introduite le 25 décembre 1948. Son nom est une référence à l'astronome et physicien suédois Anders Celsius, inventeur en 1742 d'une des premières échelles centigrades de température. Cette unité de mesure est d'usage courant à travers le monde, à l'exception des États-Unis, du Belize et des îles Caïmans, qui utilisent encore l'échelle Fahrenheit.

## Échelle et degré Celsius
La température Celsius est définie comme étant la température thermodynamique exprimée en kelvins moins 273,15 K, afin que le zéro soit la température de solidification de l'eau.
L'unité de température Celsius est le degré Celsius (symbole °C), égale en magnitude au kelvin par définition : pour exprimer une différence de température, les unités kelvin et degré Celsius sont équivalentes et un intervalle de température en degrés Celsius ou en kelvins a la même valeur numérique : par exemple, la différence 37 °C − 25 °C = 12 °C = 12 K. Mais les deux échelles de température ne sont pas équivalentes, dans l’absolu : 0 °C = 273,15 K.
Depuis le 20 mai 2019, le kelvin comme le degré Celsius sont définis par le Bureau international des poids et mesures afin que leur valeur soit déterminée à partir de la constante de Boltzmann,.
Le degré Celsius est une unité de l'échelle internationale de température de 1990.

## Conséquence de la définition sur le point d’ébullition de l’eau et différence avec l’échelle centigrade
Le degré Celsius est défini jusqu'au 20 mai 2019 par un seul point fixe à 0 °C, soit 273,15 K — c'est la température de fusion de l'eau à pression standard, le point triple de l'eau lui étant supérieur de 0,01 °C. Autrement dit, l'échelle Celsius n'est pas strictement définie par « la température d'ébullition de l'eau à 100 degrés sous une pression d'une atmosphère au niveau de la mer », car cette définition est celle du degré centigrade. Cependant, la différence relative est très faible, de 1/4 000, la température d'ébullition de l'eau étant de 99,975 °C.

## Historique
Pour l'historique des échelles centigrades qui ont précédé le degré Celsius, voir degré centigrade.
Lors de la 9e Conférence générale des poids et mesures (CGPM), en 1948, le Comité international des poids et mesures tranche entre les trois termes « degré centigrade », « degré centésimal » et « degré Celsius » en faveur de ce dernier. Le « degré centésimal » désigne aussi un angle plan égal au 1/400 d'un cercle ; c’est l'un des synonymes de « grade » ou « gon » (son symbole est « gon »).
Le degré Celsius est la seule unité métrique dont le nom comporte une majuscule. Les préfixes lui sont appliqués normalement ; on peut donc, par exemple, parler de « millidegré Celsius » (symbole « m°C »).

## Autres échelles de température
Différentes échelles sont utilisées pour mesurer la température : l’échelle Newton (établie vers 1700), Rømer (1701), Fahrenheit (1724), Réaumur (1731), Delisle (1738), centigrade (de Celsius) (1742), Rankine (1859), kelvin (1848), Leyden (ca. 1894 ?), Celsius (1948).
| Échelle → Température ↓                                                             | Kelvin          | Celsius       | Centigrade (historique) | Fahrenheit | Fahrenheit | Fahrenheit     | Rankine         | Delisle | Newton | Réaumur | Rømer   |
| Échelle → Température ↓                                                             | Kelvin          | Celsius       | Centigrade (historique) | originelle | historique | actuelle       | Rankine         | Delisle | Newton | Réaumur | Rømer   |
| ----------------------------------------------------------------------------------- | --------------- | ------------- | ----------------------- | ---------- | ---------- | -------------- | --------------- | ------- | ------ | ------- | ------- |
| Zéro absolu                                                                         | 0               | −273,15       | −273,197                |            |            | −459,67        | 0               | 559,725 | −90,14 | −218,52 | −135,90 |
| Plus basse température naturelle relevée à la surface de la Terre par télédétection | 180,0           | −93,2         |                         |            |            | −135,8         | 323,9           | 289,8   | −30,8  | −74,6   | −41,4   |
| Mélange eau/sel de Fahrenheit                                                       |                 |               |                         | 0          |            |                |                 |         |        |         |         |
| Origine de l'échelle Celsius moderne                                                | 273,15          | 0             |                         |            |            | 32             | 491,67          | 150     | 0      | 0       | 7,5     |
| Point de fusion de l'eau (à pression atmosphérique)                                 | 273,150 089(10) | 0,000 089(10) | 0                       | 32         | 32         | 32,000 160(18) | 491,670 160(18) | ≈ 150   | ≈ 0    | ≈ 0     | ≈ 7,5   |
| Point triple de l'eau                                                               | 273,160 0(1)    | 0,010 0(1)    |                         |            |            | 32,018 0(18)   |                 |         |        |         |         |
| Température moyenne à la surface de la Terre                                        | 288             | 15            |                         |            |            | 59             | 518,67          | 127,5   | 4,95   | 12      | 15,375  |
| Température moyenne du corps humain                                                 | 309,95          | 36,8          |                         |            |            | 98,24          | 557,91          | 94,8    | 12,144 | 29,44   | 26,82   |
| Plus haute température naturelle enregistrée à la surface de la Terre               | 329,8           | 56,7          |                         |            |            | 134            | 593,67          | 67,5    | 18,7   | 45,3    | 33,94   |
| Point d'ébullition de l'eau (à pression atmosphérique)                              | 373,133 9       | 99,983 9      | 100                     | ≈ 212      | 212        | 211,971        | 671,641         | 0       | 33     | 80      | 60      |
| Point de fusion du titane                                                           | 1 941           | 1 668         |                         |            |            | 3 034          | 3 494           | −2 352  | 550    | 1 334   | 883     |
| Température estimée de la surface du Soleil                                         | 5 800           | 5 526         |                         |            |            | 9 980          | 10 440          | −8 140  | 1 823  | 4 421   | 2 909   |
| 1. 2. 3. 4.                                                                         |                 |               |                         |            |            |                |                 |         |        |         |         |

### Conversion en degrés Fahrenheit
On peut obtenir la température en degrés Fahrenheit en partant d'une température en degrés Celsius par la formule suivante :
°C = (°F - 32) ÷ 1,8
De même, on peut obtenir une température en degrés Celsius à partir d'une température en degrés Fahrenheit en réécrivant la formule ci-dessus :
°F = °C × 1,8 + 32

title: Degré Celsius

wikitext:
{{confusion|Degré centigrade}}
{{Voir homonymes| Degré| Celsius}}
{{Infobox Unité
 | unité         = Degré Celsius
 | image         = 20050501 1315 2558-Bimetall-Zeigerthermometer.jpg
 | légende       = [[Thermomètre]] gradué en degrés Celsius.
 | système       = [[Unité dérivée du Système international|Unités dérivées du Système international]]
 | quantité      = [[Température]]
 | symbole       = °C
 | éponyme       = [[Anders Celsius]]
 | en unités1    = {{nobr|[[Unités de base du Système international|Unités SI]]}}
 | unités1       = {{unité|1|[[Kelvin|K]]}} en magnitude
 | en unités2    = [[Degré Fahrenheit|°F]]
 | unités2       = {{Unité|33,8|°F}}
}}

Le '''degré Celsius''', de symbole °C<ref>'''°C''' est codé avec les deux caractères [[Unicode]] U+00B0 U+0043 ou, par compatibilité avec des codages [[Chinois, japonais et coréen|CJC]], le caractère Unicode '''℃''' U+2103</ref>, est l'unité de l’échelle de [[température]] Celsius, qui est une [[unité dérivée du Système international]]<ref>[http://www.bipm.org/fr/si/si_brochure/chapter2/2-2/table3.html BIPM - tableau 3].</ref>, introduite le {{date-|25 décembre 1948}}<ref>[http://www.bipm.org/en/committees/cipm/cipm-1948_fr.html BIPM - 1948]</ref>. Son nom est une référence à l'[[astronome]] et [[physicien]] [[Suède|suédois]] [[Anders Celsius]], inventeur en 1742 d'une des premières [[degré centigrade|échelles centigrades de température]]. Cette unité de mesure est d'usage courant à travers le monde, à l'exception des [[États-Unis]]<ref>{{Lien web |langue=en |auteur institutionnel=[[National Oceanic and Atmospheric Administration]] |titre=Glossary: Celsius |url=http://www.weather.gov/glossary/index.php?word=CELSIUS |site=[[National Weather Service]] |consulté le=17 août 2011}}.</ref>, du [[Belize]]<ref>{{Lien web |langue=en |url=http://www.hydromet.gov.bz/ |titre=Belize Weather Bureau |consulté le=17 août 2011}}.</ref> et des [[îles Caïmans]], qui utilisent encore l'échelle [[Degré Fahrenheit|Fahrenheit]].

== Échelle et degré Celsius ==
[[Fichier:CelsiusKelvinThermometer.jpg|vignette|[[Thermomètre]] affichant la température en degré Celsius et en [[Kelvin]]. il montre bien que ces deux unités sont définies avec la même échelle, les graduations font la même taille pour les [[Kelvin]] et les degrés Celsius.]]
La température Celsius est définie comme étant la [[température thermodynamique]] exprimée en [[kelvin]]s moins {{unité|273.15|K}}<ref name="BIPM - kelvin">[http://www.bipm.org/fr/si/si_brochure/chapter2/2-1/kelvin.html kelvin], BIPM.</ref>, afin que le zéro soit la température de [[solidification]] de l'[[Eau océanique moyenne normalisée de Vienne|eau]].

L'unité de température Celsius est le degré Celsius (symbole °C), égale en magnitude au kelvin par définition<ref name="BIPM - kelvin"/> : pour exprimer une ''différence de température'', les unités kelvin et degré Celsius sont équivalentes et un ''intervalle de température'' en degrés Celsius ou en kelvins a la même valeur numérique : par exemple, la différence {{nobr|{{tmp|37|°C}} − {{tmp|25|°C}} {{=}} {{DTempérature|12|°C|||*}} {{=}} 12 K}}. Mais les deux échelles de température ne sont pas équivalentes, dans l’absolu : {{tmp|0|°C}} = {{unité|273.15|K}}.

Depuis le 20 mai 2019, le kelvin comme le degré Celsius sont définis par le [[Bureau international des poids et mesures]] afin que leur valeur soit déterminée à partir de la [[constante de Boltzmann]]<ref>[https://www.nextinpact.com/news/107316-le-kelvin-mole-et-ampere-changent-aussi-definition.htm Le kelvin, la mole et l'ampère changent aussi de définition] nextinpact.com, le 23 novembre 2018.</ref>{{,}}<ref>[http://larpf.fr/Actualites/Fiche/6200466#.XSpXLnvgpac Le kelvin a changé], ''La Revue pratique du froid'', le 28 mai 2019.</ref>.

Le degré Celsius est une unité de l'[[échelle internationale de température de 1990]].

== Conséquence de la définition sur le point d’ébullition de l’eau et différence avec l’échelle centigrade ==
Le degré Celsius est défini jusqu'au 20 mai 2019 par un seul point fixe à {{tmp|0|°C}}, soit {{unité|273.15|K}}<ref>[http://www.bipm.org/fr/CGPM/db/9/3/ Point triple de l'eau ; échelle thermodynamique à un seul point fixe ; unité de quantité de chaleur (joule)], BIPM.</ref> {{incise|c'est la température de [[Fusion (physique)|fusion]] de l'eau à pression standard, le [[point triple]] de l'eau lui étant supérieur de {{tmp|0.01|°C}}|stop}}. Autrement dit, l'échelle Celsius n'est pas strictement définie par {{citation|la [[Point d'ébullition|température d'ébullition]] de l'eau à {{nobr|100 degrés}} sous une [[pression]] d'une [[atmosphère (unité)|atmosphère]] au niveau de la mer}}, car cette définition est celle du [[degré centigrade]]. Cependant, la différence relative est très faible, de 1/{{formatnum:4000}}, la température d'ébullition de l'eau étant de {{tmp|99.975|°C}}<ref>{{en}} [http://eo.ucar.edu/skymath/tmp2.html {{lang|en|''About temperature''}}].</ref>.

== Historique ==
Pour l'historique des échelles centigrades qui ont précédé le degré Celsius, voir [[degré centigrade]].

Lors de la {{9e|[[Conférence générale des poids et mesures]]}} (CGPM), en 1948, le [[Comité international des poids et mesures]] tranche entre les trois termes « degré centigrade », « degré centésimal » et « degré Celsius » en faveur de ce dernier. Le « degré centésimal » désigne aussi un [[angle plan]] égal au 1/400 d'un [[cercle]]<ref>''[[Dictionnaire de l'Académie française|Dictionnaire de l’Académie française]]'', {{8e|édition}}, 1932–1935.</ref> ; c’est l'un des synonymes de « [[Grade (angle)|grade]] » ou « gon » (son symbole est « gon »).

Le degré Celsius est la seule unité métrique dont le nom comporte une majuscule<ref>Les règles du [[Système international d'unités|Système international]] imposent que les noms d'unités commencent par une minuscule (par exemple : ''mètre'', ''pascal'') ; le nom composé ''degré Celsius'' commençant par ''d'' respecte cette règle.</ref>. Les [[Préfixes du Système international d'unités|préfixes]] lui sont appliqués normalement ; on peut donc, par exemple, parler de « millidegré Celsius » (symbole « m°C »).

== Autres échelles de température ==
{{échelle de température}}

=== Conversion en degrés Fahrenheit ===
On peut obtenir la température en degrés Fahrenheit en partant d'une température en degrés Celsius par la formule suivante :

{{Formule|°C {{=}} (°F - 32) ÷ 1,8}}

De même, on peut obtenir une température en degrés Celsius à partir d'une température en degrés Fahrenheit en réécrivant la formule ci-dessus :

{{Formule|°F {{=}} °C × 1,8 + 32}}

== Notes et références ==
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets |commons = Category:Celsius temperature |wiktionary=degré Celsius |wiktionary2=°C }}

=== Articles connexes ===
* [[Thermométrie]]

=== Liens externes ===
{{Liens}}

{{Palette|Système international|Grandeurs et unités|Échelles thermométriques}}
{{Portail|physique|froid et climatisation|énergie}}

[[Catégorie:Unité de mesure thermodynamique|Celsius]]
[[Catégorie:Échelle en météorologie|Celsius]]
[[Catégorie:Unité dérivée du SI]]
[[Catégorie:Invention suédoise]]
[[Catégorie:Température]]
[[Catégorie:Unité de mesure nommée d'après une personne]]

title: Informations

Unité de…: Température

Symbole: °C

Éponyme: Anders Celsius

title: Conversions

1 °C en…: est égal à…

Unités SI: 1 K en magnitude

Conversions: modifier


text:
# Championnat de France de football de deuxième division 1958-1959
Navigation
Division Interrégionale 1957-1958 Division Interrégionale 1959-1960
Le Championnat de France de football D2 1958-1959 avec une poule unique de 20 clubs, voit l’attribution du titre au Havre AC, qui accède à la première division en compagnie du Stade français, du SC Toulon et des Girondins de Bordeaux.

## Les 20 clubs participants
| - AS Aix - RCFC Besançon - AS Béziers - Girondins de Bordeaux - AS Cannes - US Forbach - FC Grenoble - Le Havre AC - FC Metz - SO Montpellier | - FC Nantes - CA Paris - Stade français - Perpignan FC - Red Star Olympique - RC Roubaix - FC Rouen - FC Sète - SC Toulon - AS Troyes |

## Classement final
| #  | Club                  | Joués | V  | N  | D  | bp:bc | +/- | Points |
| -- | --------------------- | ----- | -- | -- | -- | ----- | --- | ------ |
| 1  | Le Havre AC           | 38    | 24 | 7  | 7  | 93-40 | +53 | 55     |
| 2  | Stade français        | 38    | 21 | 10 | 7  | 86-46 | +40 | 52     |
| 3  | SC Toulon             | 38    | 17 | 10 | 11 | 82-63 | +19 | 44     |
| 4  | Girondins de Bordeaux | 38    | 17 | 10 | 11 | 69-56 | +13 | 44     |
| 5  | FC Grenoble           | 38    | 18 | 6  | 14 | 65-51 | +14 | 42     |
| 6  | FC Metz               | 38    | 13 | 15 | 10 | 49-50 | -1  | 41     |
| 7  | RCFC Besançon         | 38    | 14 | 12 | 12 | 69-54 | +15 | 40     |
| 8  | FC Sète               | 38    | 17 | 6  | 15 | 44-57 | -13 | 40     |
| 9  | SO Montpellier        | 38    | 16 | 7  | 15 | 64-55 | +9  | 39     |
| 10 | AS Béziers            | 38    | 13 | 12 | 13 | 58-54 | +4  | 38     |
| 11 | US Forbach            | 38    | 16 | 6  | 16 | 60-64 | -4  | 38     |
| 12 | FC Rouen              | 38    | 14 | 9  | 15 | 74-59 | +15 | 37     |
| 13 | AS Troyes             | 38    | 13 | 11 | 14 | 49-51 | -2  | 37     |
| 14 | FC Nantes             | 38    | 13 | 9  | 16 | 49-59 | -10 | 35     |
| 15 | Perpignan FC          | 38    | 11 | 13 | 14 | 42-58 | -16 | 35     |
| 16 | CO Roubaix-Tourcoing  | 38    | 11 | 12 | 15 | 57-63 | -6  | 34     |
| 17 | AS Cannes             | 38    | 10 | 12 | 16 | 50-64 | -14 | 32     |
| 18 | AS Aix                | 38    | 11 | 6  | 21 | 49-74 | -25 | 28     |
| 19 | Red Star Olympique    | 38    | 9  | 8  | 21 | 34-72 | -38 | 26     |
| 20 | CA Paris              | 38    | 7  | 9  | 22 | 34-87 | -53 | 23     |

# position ; V victoires ; N match nuls ; D défaites ; bp:bc buts pour et buts contre
 Victoire à 2 points

## À l’issue de ce championnat
- Le Havre AC, le Stade français, le SC Toulon, et les Girondins de Bordeaux sont promus en championnat de première division.
- Équipes reléguées de la première division : le LOSC Lille Métropole, l'Olympique d'Alès, le FC Nancy, et enfin l’Olympique de Marseille.
- L’équipe du Perpignan FC reprend le statut amateur, et abandonne la deuxième division à l’issue de la saison.
- Équipe promue du championnat amateur de division inférieure : l'US Boulogne.

wikitext:
{{Infobox Compétition sportive
 | charte                 = Football
 | nom                    = Division Interrégionale
1958-1959
 | image                  =
 | upright                =
 | alt                    =
 | légende                =
 | sport                  = [[Football]]
 | organisateur           = [[Ligue de football professionnel (France)|Groupement des clubs autorisés à utiliser des joueurs professionnels]]
 | édition                = {{20e}}
 | lieu                   = {{France}}
 | date                   =
 | nations                =
 | participants           = 20
 | disciplines            =
 | nombre d'épreuves      =
 | statut des joueurs     = Professionnel
 | affluence              =
 | site                   =
 | site web               =
 | hiérarchie             = {{2e|niveau}}
 | hiérarchie+            = [[Championnat de France de football 1958-1959|Division Nationale 1958-1959]]
 | hiérarchie-            = Aucun
| vainqueur              =[[Le Havre AC]] (2)
 | précédent lien         = Championnat de France de football D2 1957-1958
 | suivant lien           = Championnat de France de football D2 1959-1960
 | article principal      =
 | précédent texte        = Division Interrégionale 1957-1958
 | suivant texte          = Division Interrégionale 1959-1960
 }}

Le '''Championnat de France de football D2 1958-1959''' avec une poule unique de 20 clubs, voit l’attribution du titre au [[Le Havre AC|Havre AC]], qui accède à la première division en compagnie du [[Stade français (football)|Stade français]], du [[Sporting Toulon Var|SC Toulon]] et des [[Football Club des Girondins de Bordeaux|Girondins de Bordeaux]].

== Les 20 clubs participants ==
{|width="100%"
|
* [[Association sportive aixoise|AS Aix]]
* [[Besançon Racing Club|RCFC Besançon]]
* [[AS Béziers (football)|AS Béziers]]
* [[Football Club des Girondins de Bordeaux|Girondins de Bordeaux]]
* [[Association sportive de Cannes football|AS Cannes]]
* [[US Forbach]]
* [[Grenoble Foot 38|FC Grenoble]]
* [[Le Havre Athletic Club Football Association|Le Havre AC]]
* [[Football Club de Metz|FC Metz]]
* [[Montpellier Hérault Sport Club|SO Montpellier]]
|
* [[Football Club de Nantes|FC Nantes]]
* [[Cercle athlétique de Paris|CA Paris]]
* [[Stade français (football)|Stade français]]
* [[Perpignan Canet Football Club|Perpignan FC]]
* [[Red Star 93|Red Star Olympique]]
* [[Racing Club de Roubaix|RC Roubaix]]
* [[Football Club de Rouen 1899|FC Rouen]]
* [[Football Club de Sète 34|FC Sète]]
* [[Sporting Toulon Var|SC Toulon]]
* [[Espérance Sportive Troyes Aube Champagne|AS Troyes]]
|}

== Classement final ==
{| class="wikitable"
! #
! Club
! Joués
! V
! N
! D
! bp:bc
! +/-
! Points
|----- bgcolor="#DFEDFD" align="center"
| 1
| [[Le Havre Athletic Club Football Association|Le Havre AC]]
| 38
| 24
| 7
| 7
| 93-40
| +53
| '''55'''
|----- bgcolor="#DFEDFD" align="center"
| 2
| [[Stade français (football)|Stade français]]
| 38
| 21
| 10
| 7
| 86-46
| +40
| '''52'''
|----- bgcolor="#DFEDFD" align="center"
| 3
| [[Sporting Toulon Var|SC Toulon]]
| 38
| 17
| 10
| 11
| 82-63
| +19
| '''44'''
|----- bgcolor="#DFEDFD" align="center"
| 4
| [[Football Club des Girondins de Bordeaux|Girondins de Bordeaux]]
| 38
| 17
| 10
| 11
| 69-56
| +13
| '''44'''
|-align="center"
| 5
| [[Grenoble Foot 38|FC Grenoble]]
| 38
| 18
| 6
| 14
| 65-51
| +14
| '''42'''
|-bgcolor="#EFEFEF" align="center"
| 6
| [[Football Club de Metz|FC Metz]]
| 38
| 13
| 15
| 10
| 49-50
| -1
| '''41'''
|-align="center"
| 7
| [[Besançon Racing Club|RCFC Besançon]]
| 38
| 14
| 12
| 12
| 69-54
| +15
| '''40'''
|-bgcolor="#EFEFEF" align="center"
| 8
| [[Football Club de Sète 34|FC Sète]]
| 38
| 17
| 6
| 15
| 44-57
| -13
| '''40'''
|-align="center"
| 9
| [[Montpellier Hérault Sport Club|SO Montpellier]]
| 38
| 16
| 7
| 15
| 64-55
| +9
| '''39'''
|-bgcolor="#EFEFEF" align="center"
| 10
| [[AS Béziers (football)|AS Béziers]]
| 38
| 13
| 12
| 13
| 58-54
| +4
| '''38'''
|-align="center"
| 11
| [[US Forbach]]
| 38
| 16
| 6
| 16
| 60-64
| -4
| '''38'''
|-bgcolor="#EFEFEF" align="center"
| 12
| [[Football Club de Rouen 1899|FC Rouen]]
| 38
| 14
| 9
| 15
| 74-59
| +15
| '''37'''
|-align="center"
| 13
| [[Association sportive troyenne et savinienne|AS Troyes]]
| 38
| 13
| 11
| 14
| 49-51
| -2
| '''37'''
|-bgcolor="#EFEFEF" align="center"
| 14
| [[Football Club de Nantes|FC Nantes]]
| 38
| 13
| 9
| 16
| 49-59
| -10
| '''35'''
|- align=center style="background:#FFB0B0;"
| 15
| [[Perpignan Canet Football Club|Perpignan FC]]
| 38
| 11
| 13
| 14
| 42-58
| -16
| '''35'''
|-bgcolor="#EFEFEF" align="center"
| 16
| [[CO Roubaix-Tourcoing]]
| 38
| 11
| 12
| 15
| 57-63
| -6
| '''34'''
|-align="center"
| 17
| [[Association sportive de Cannes football|AS Cannes]]
| 38
| 10
| 12
| 16
| 50-64
| -14
| '''32'''
|-bgcolor="#EFEFEF" align="center"
| 18
| [[Association sportive aixoise|AS Aix]]
| 38
| 11
| 6
| 21
| 49-74
| -25
| '''28'''
|-align="center"
| 19
| [[Red Star 93|Red Star Olympique]]
| 38
| 9
| 8
| 21
| 34-72
| -38
| '''26'''
|-bgcolor="#EFEFEF" align="center"
| 20
| [[Cercle athlétique de Paris|CA Paris]]
| 38
| 7
| 9
| 22
| 34-87
| -53
| '''23'''
|}

''# position ; V victoires ; N match nuls ; D défaites ; bp:bc buts pour et buts contre''

'' Victoire à 2 points''

== À l’issue de ce championnat ==
* [[Le Havre AC]], le [[Stade français (football)|Stade français]], le [[Sporting Toulon Var|SC Toulon]], et les [[Football Club des Girondins de Bordeaux|Girondins de Bordeaux]] sont promus en championnat de première division.
* Équipes reléguées de la première division : le [[LOSC Lille Métropole]], l'[[Olympique d'Alès]], le [[FC Nancy]], et enfin l’[[Olympique de Marseille]].
* L’équipe du [[Perpignan Canet Football Club|Perpignan FC]] reprend le statut amateur, et abandonne la deuxième division à l’issue de la saison.
* Équipe promue du championnat amateur de division inférieure : l'[[US Boulogne]].

== Résumé de la saison ==
{{...}}

== Lien externe ==
* [http://www.rsssf.com/tablesf/fran2hist.html Résultats du championnat de France de Division 2] sur rsssf.com

{{Palette Saisons du championnat de France de football D2}}
{{Portail|football|années 1950|France}}

[[Catégorie:Championnat de France de football de deuxième division|1958-1959]]
[[Catégorie:Championnat de France en 1958|Football D2 1958-1959]]
[[Catégorie:Championnat de France en 1959|Football D2 1958-1959]]
[[Catégorie:Football en France en 1958]]
[[Catégorie:Football en France en 1959]]

title: Généralités

Sport: Football

Lieu(x): France

Statut des participants: Professionnel

title: Hiérarchie

Hiérarchie: 2e niveau

Niveau supérieur: Division Nationale 1958-1959

Niveau inférieur: Aucun

title: Palmarès

Vainqueur: Le Havre AC (2)


text:
# Centana
Le mot latin centana (en français centaine) désigne une division territoriale d'origine mérovingienne, circonscription à la fois judiciaire et administrative d'origine germanique.

## Historique
Au Haut Moyen Âge, à l'époque mérovingienne, une nouvelle division administrative, la « centaine » apparut. Cette centaine était une subdivision du pays, ou pagus. La centaine était dirigée par un centenier. Ses fonctions sont judiciaires et administratives. Elles sont probablement les mêmes que celles d'un tunginus qui est cité dans la Loi salique qui cite un fonctionnaire subalterne tunginus aut centenarius. Cependant Grégoire de Tours ne cite pas ces fonctionnaires subalternes dans l’Histoire des Francs. Le décret de Clotaire II pris en 595 réorganise la justice à partir des centaines. De même, Childebert II prend un décret après le plaid des calendes de mars 596 pour organiser la justice dans son royaume avec des centeniers.
Elle correspondrait aux hundaris germaniques.
Dans les textes carolingiens, la centaine est encore évoquée comme subdivision administrative du comté, au côté du vicaire. La centaine est alors dirigée par un centenarius, un centurio ou un hunno (dans les territoires germaniques de l'empire). Les fonctions juridiques du centenier correspondent à la surveillance du territoire, le prélèvement de certaines taxes, le contrôle des poids et mesures et l'exécution des criminels.
Plus tardivement, cette subdivision du pagus n'est plus évoquée ; par contre, ce même pagus, à la base du comté, pouvait encore être subdivisé en ban (banum).

title: Centana

wikitext:
{{Ébauche|Haut Moyen Âge}}
Le mot [[latin]] '''''centana''''' (en français '''centaine''') désigne une division territoriale d'origine [[Mérovingiens|mérovingienne]], circonscription à la fois judiciaire et administrative d'origine germanique.

== Historique ==
Au [[Haut Moyen Âge]], à l'époque mérovingienne, une nouvelle division administrative, la « centaine » apparut. Cette centaine était une subdivision du pays, ou ''[[pagus]]''. La ''centaine'' était dirigée par un ''[[centenier]]''. Ses fonctions sont judiciaires et administratives. Elles sont probablement les mêmes que celles d'un ''tunginus'' qui est cité dans la [[Loi salique]] qui cite un fonctionnaire subalterne ''tunginus aut centenarius''<ref>{{chapitre | auteur=Jean-Marie Pardessus | titre chapitre=Section IV- Du tribunal du ''tunginus aut centenarius'' | titre ouvrage=Loi Salique, ou, Recueil contenant les anciennes rédactions de cette loi et le texte connu sous le nom de ''Lex emendata'' | éditeur=Imprimerie royale | lieu=Paris | date=1843 | passage=579-581 | lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=G6I-AAAAcAAJ&pg=PA579#v=onepage&q&f=false }}</ref>. Cependant [[Grégoire de Tours]] ne cite pas ces fonctionnaires subalternes dans l’''[[Histoire des Francs]]''. Le décret de [[Clotaire II]] pris en 595 réorganise la justice à partir des ''centaines''<ref>{{Harvsp|Lehuérou2 | 1843 | page=23-25 |id=Lehuérou2 }}</ref>. De même, [[Childebert II]] prend un décret après le plaid des calendes de mars 596 pour organiser la justice dans son royaume avec des centeniers<ref>{{Harvsp|Lehuérou1 |1843|page=410-411|id=Lehuérou1}}</ref>.

Elle correspondrait aux ''hundaris'' [[Germains|germaniques]].

Dans les textes carolingiens, la centaine est encore évoquée comme subdivision administrative du comté, au côté du [[vicaire]]. La centaine est alors dirigée par un ''centenarius'', un ''centurio'' ou un ''hunno'' (dans les territoires germaniques de l'empire). Les fonctions juridiques du centenier correspondent à la surveillance du territoire, le prélèvement de certaines taxes, le contrôle des poids et mesures et l'exécution des criminels<ref>{{Article|prénom1=Charles-Edmond|nom1=Perrin|titre=Sur le sens du mot «Centena» dans les chartes lorraines du Moyen Âge|périodique=Archivum Latinitatis Medii Aevi|volume=5|numéro=1|date=1929|doi=10.3406/alma.1929.2122|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/alma_0994-8090_1929_num_5_1_2122|consulté le=2023-08-14|pages=167–198}}</ref>.

Plus tardivement, cette subdivision du ''pagus'' n'est plus évoquée ; par contre, ce même ''pagus'', à la base du [[Liste historique des comtés français|comté]], pouvait encore être subdivisé en [[ban (territoire)|ban]] (''banum'').

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{chapitre | libellé=Du Buat-Nançay 1789| auteur=[[Louis-Gabriel Du Buat-Nançay]] | titre chapitre=Des centeniers | titre ouvrage=Les origines, ou l'ancien gouvernement de la France, de l'Allemagne et de l'Italie | éditeur=chez Letellier libraire | lieu=La Haye/Paris | date=1789 | tome=1 | passage=443-447 | lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=QKcBAAAAQAAJ&pg=PA443#v=onepage&q&f=false }}
* {{ouvrage | libellé=Lehuérou1 1843| auteur=Julien-Marie Lehuérou | titre=Histoire des institutions mérovingiennes et du gouvernement des Mérovingiens | éditeur=Joubert libraire-éditeur | lieu=Paris | date=1843 | tome=1 | lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=R9dIW88nHRwC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false |id=Lehuérou1 }}
* {{ouvrage |libellé=Lehuérou2 1843| auteur=Julien-Marie Lehuérou | titre=Histoire des institutions carolingiennes et du gouvernement des Carolingiens | éditeur=Joubert libraire-éditeur | lieu=Paris | date=1843 | tome=2 | lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=-fhZAAAAQAAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false | id=Lehuérou2}}
* {{article | libellé=Jacobs 1861 | auteur=Alfred Jacobs | titre=Quelques observations sur la centaine mérovingienne, à propos de la ''Hundertschaft'' germanique | périodique=Bibliothèque de l'École des chartes | date=1861 | tome=22 | passage=368-373 | lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/bec_0373-6237_1861_num_22_1_445765 }}
* {{chapitre | libellé=Lalanne 1872 | auteur=Ludovic Lalanne | titre chapitre=Centaine, centenier | titre ouvrage=Dictionnaire historique de la France | éditeur=Librairie Hachette & Cie | lieu=Paris | date= | passage=467 | lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=LJy711WYdyMC&pg=PA467#v=onepage&q&f=false | id=Lalanne}}

=== Articles connexes ===
* [[Pertica#Le territoire de la civitas|Pertica]]
* [[Pagus]]
* [[Liste de pagi]]

{{Portail|Haut Moyen Âge}}

[[Catégorie:Administration territoriale historique]]
[[Catégorie:Vocabulaire du droit romano-germain]]
[[Catégorie:Territoire du haut Moyen Âge]]