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# Jacinta Kerketta
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Jacinta Kerketta, née le 3 août 1983 à khudapos, est une journaliste, poète et militante indienne de langue hindi. Sa poésie et son journalisme mettent en valeur l'identité adivasi de la jeunesse, les protestations contre l'oppression systémique des Adivasis (des tribals) en Inde, la violence sexiste, en particulier contre les femmes, les déplacements et remettent en question l'apathie de l'État en matière de gouvernance. Forbes India l'a nommée l'une des 20 meilleures femmes autodidactes d'Inde en 2022.

## Biographie

### Enfance
Kerketta est née le 3 août 1983, de Pushpa Anima Kerketta et Jay Prakash Kerketta à Khudaposh, un village du district de West Singhbhum de l'État indien du Jharkhand situé près de la forêt de Saranda à la frontière Jharkhand- Odisha . Elle et sa famille appartiennent à la tribu Oraon . Son père est un athlète de marathon qui travaille comme agent de sécurité dans une école locale gérée par une église, puis il travaille temporairement dans la police.

### Éducation
Kerketta étudie principalement dans différentes écoles de la division de Santhal Pargana au Jharkhand et également à Betiya dans le district de West Champaran au Bihar. Elle va dans un pensionnat missionnaire à Manoharpur à l'âge de 13 ans. Elle obtient sa licence en communication de masse et production vidéo du St. Xavier's College de Ranchi en 2006. En 2016, elle obtient sa maîtrise en communication de masse à l'Université de Ranchi.

### Carrière
Selon son témoignage, Kerketta décide de devenir journaliste après avoir été témoin d'une violence intense qui est passée inaperçue auprès des journalistes locaux. De 2010 à 2013, elle est employée comme journaliste par l'édition Ranchi du quotidien hindi Dainik Jagran. En 2014, elle reçoit un prix du PNUD et mène une étude intitulée « Adivasi And Mining In Five Districts Of Jharkhand ». Depuis 2019, elle est consultante pour l'édition hindi du portail d'information en ligne indien The Wire et pour l'édition Ranchi du quotidien Prabhat Khabar. En plus de son travail journalistique, Kerketta est également activiste sociale. Depuis 2015, elle travaille pour l'éducation des filles dans les villages tribals des districts de Simdega et Khunti au Jharkhand, avec le soutien de la Fondation Kutchina, Kolkata, entre autres.

## Publications
Le travail de Kerketta se concentre sur son État d'origine, le Jharkhand, qui est séparé du Bihar en 2000 et qui compte plus de 26 % de population tribale. L'industrialisation qui suit la formation de l'État et son impact néfaste sur les moyens de subsistance des tribals sont illustrés dans ses écrits. Elle a également critiqué la réponse violente de l’État aux conflits. Son premier recueil de poésie bilingue hindi-anglais, Angor, a été traduit en allemand, en italien et en français. Son deuxième recueil de poésie bilingue hindi-anglais, Jadon ki Zameen, a été traduit en anglais et en allemand. « Ishwar aur Bazaar » est son troisième recueil de poésie.
- Angor (Angor traduit par Annie Montant)
- Jadon ki zamin (Land of the roots)
- Ishwar aur bazar ( Le Dieu et le marché)
- Jacinta ki Diary ( Le journal de Jacinta)
- Jirhul

## Distinctions
En 2014, elle est récompensée par l'Asia Indigenous People's Pact (AIPP) à Bangkok pour son travail journalistique Indigenous Voice of Asia. Cette année-là, elle reçoit également un prix pour ses poèmes de l’organisation de la société civile de Jharkhand Indigenous Peoples Forum et le prix Prerana Samman de l’Association culturelle Chota Nagpur. De plus, L'institut de Ravishankar Upadhyay Memorial à Varanasi lui décerne le prix Ravishankar Upadhyay Memorial Youth Poetry. En 2017, le quotidien Prabhat Khabar lui décerne le prix Aparajita. En 2019, elle a reçu le prix de reconnaissance des femmes exemplaires de la Fondation de la Confédération de l'industrie indienne (CII). Elle est nommée l'une des 20 meilleures femmes autodidactes d'Inde en 2022 par Forbes India,.
En novembre 2023, Kerketta refuse l' Aaj Tak Sahitya Jagriti Udyman Pratibha Samman, un prix littéraire décerné par l'India Today Group, pour son recueil de poèmes en hindi Ishwar aur Bazaar. Pour expliquer sa décision, elle poste sur X : « À une époque où le respect pour la vie des tribus du pays est en baisse, où les tribus du centre de l'Inde et du Manipur n'ont aucune dignité de vie et où la vie des personnes et des enfants d'autres communautés est continuellement attaquée, comment un quelconque honneur peut-il réjouir un poète ou un écrivain ? » En outre, elle dénonce le manque de couverture des incidents au Manipur par les médias grand public.
En septembre 2024, Kerkettarefuse encore le prix Room to Read Young Author Award, décerné en reconnaissance de son recueil de poésie pour enfants Jirhul. Elle rejette l'attribution du prix en signe de protestation contre la complicité des entités adjudicatrices US AID et Room to Read India Trust dans le conflit israélo-palestinien, et en particulier contre les liens de Room to Read India Trust avec Boeing,.

title: Jacinta Kerketta

wikitext:
{{Voir homonymes|Kerketta}}
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{{Infobox Biographie2}}

'''Jacinta Kerketta''', née le 3 août 1983 à khudapos, est une journaliste, poète et militante indienne [[Hindi|de langue hindi]]<ref>{{Lien web |langue=en |auteur=Banerjee |prénom=Jasodhara |titre=Jacinta Kerketta: Becoming The Voice Of Indigenous Communities |url=https://www.forbesindia.com/article/leadership/jacinta-kerketta-becoming-the-voice-of-indigenous-communities/81795/1 |série=Forbes India |date=9 December 2022 |consulté le=2025-02-09}}</ref>. Sa poésie et son journalisme mettent en valeur l'identité [[Adivasis|adivasi]] de la jeunesse, les protestations contre l'oppression systémique des Adivasis (des tribals) en Inde, la violence sexiste, en particulier contre les femmes, les déplacements et remettent en question l'apathie de l'État en matière de gouvernance<ref>{{Lien web |langue=en-GB |auteur=Raj |prénom=Mrinalini |titre=Jacinta Kerketta: The Voice Of The Adivasi Vision |url=https://feminisminindia.com/2025/02/03/jacinta-kerketta-the-voice-of-the-adivasi-vision/ |série=Feminism in India |date=2025-02-03 |consulté le=2025-02-09}}</ref>. ''[[Forbes (magazine)|Forbes]] India'' l'a nommée l'une des 20 meilleures femmes autodidactes d'Inde en 2022.

== Biographie ==
=== Enfance ===
Kerketta est née le 3 août 1983, de Pushpa Anima Kerketta et Jay Prakash Kerketta à [[Khudaposh]], un village du [[District de Pashchimi Singhbhum|district de West Singhbhum]] de l'État indien du [[Jharkhand]] situé près de la forêt de Saranda à la frontière Jharkhand- [[Odisha]] . Elle et sa famille appartiennent à la tribu Oraon . Son père est un athlète de marathon qui travaille comme agent de sécurité dans une école locale gérée par une église, puis il travaille temporairement dans la police.

=== Éducation ===
Kerketta étudie principalement dans différentes écoles de la division de Santhal Pargana au Jharkhand et également à [[Betiya, Biha|Betiya]] dans [[District du Champaran occidental|le district de West Champaran]] au [[Bihar]]<ref>{{Lien web |langue=en |titre=Know about Jacinta Kerketta (An Adivasi Young Poet and Journalist) |url=https://kavishala.in/@kavishala-labs/know-about-jacinta-kerketta-an-adivasi-young-poet-and-journalist |série=kavishala.in |éditeur=GroundXero, Kavishala Labs |date=2020-08-09 |consulté le=2023-04-13}}</ref>. Elle va dans un pensionnat missionnaire à Manoharpur à l'âge de 13 ans<ref>{{Lien web |langue=en-US |auteur=Yadav |prénom=Anumeha |titre=The anger of Adivasis turns to poetry of anguish and hope in a young woman's hands |url=http://scroll.in/article/808591/the-anger-of-adivasis-turns-to-poetry-of-anguish-and-hope-in-a-young-womans-hands |série=Scroll.in |date=5 June 2016 |consulté le=2023-04-13}}</ref>. Elle obtient sa licence en [[communication de masse]] et production vidéo du St. Xavier's College de Ranchi en 2006. En 2016, elle obtient sa maîtrise en communication de masse à l'Université de Ranchi<ref>{{Lien web |langue=en |auteur=Pioneer |prénom=The |titre=In Brief |url=https://www.dailypioneer.com/2015/state-editions/2015-04-19-90502.html |série=The Pioneer |consulté le=2023-04-13}}</ref>.

=== Carrière ===
Selon son témoignage, Kerketta décide de devenir journaliste après avoir été témoin d'une violence intense qui est passée inaperçue auprès des journalistes locaux. De 2010 à 2013, elle est employée comme journaliste par l'édition [[Ranchi]] du quotidien hindi [[Dainik Jagran]]. En 2014, elle reçoit un prix [[Programme des Nations unies pour le développement|du PNUD]] et mène une étude intitulée « Adivasi And Mining In Five Districts Of Jharkhand ». Depuis 2019, elle est consultante pour l'édition hindi du portail d'information en ligne indien The Wire et pour l'édition Ranchi du quotidien Prabhat Khabar. En plus de son travail journalistique, Kerketta est également activiste sociale. Depuis 2015, elle travaille pour l'éducation des filles dans les villages tribals des districts de [[District de Simdega|Simdega]] et [[District de Khunti|Khunti]] au Jharkhand, avec le soutien de la Fondation Kutchina, [[Calcutta|Kolkata]], entre autres.

== Publications ==
Le travail de Kerketta se concentre sur son État d'origine, le Jharkhand, qui est séparé du Bihar en 2000 et qui compte plus de 26 % de population tribale. L'industrialisation qui suit la formation de l'État et son impact néfaste sur les moyens de subsistance des tribals sont illustrés dans ses écrits. Elle a également critiqué la réponse violente de l’État aux conflits<ref>{{Lien web |langue=en |titre=Jacinta Kerketta: Becoming The Voice Of Indigenous Communities |url=https://www.forbesindia.com/article/leadership/jacinta-kerketta-becoming-the-voice-of-indigenous-communities/81795/1 |série=Forbes India |consulté le=2023-04-13}}</ref>. Son premier recueil de poésie bilingue hindi-anglais, Angor, a été traduit en allemand, en italien et en français. Son deuxième recueil de poésie bilingue hindi-anglais, Jadon ki Zameen, a été traduit en anglais et en allemand. « Ishwar aur Bazaar » est son troisième recueil de poésie.
* ''Angor (Angor traduit par Annie Montant)''
* ''Jadon ki zamin (Land of the roots)''
* Ishwar aur bazar ( Le Dieu et le marché)
* Jacinta ki Diary ( Le journal de Jacinta)
* Jirhul

== Distinctions ==
En 2014, elle est récompensée par l'Asia Indigenous People's Pact (AIPP) à [[Bangkok]] pour son travail journalistique ''Indigenous Voice of Asia''. Cette année-là, elle reçoit également un prix pour ses poèmes de l’organisation de la société civile de Jharkhand Indigenous Peoples Forum et le prix Prerana Samman de l’Association culturelle Chota Nagpur. De plus, L'institut de Ravishankar Upadhyay Memorial à Varanasi lui décerne le prix Ravishankar Upadhyay Memorial Youth Poetry. En 2017, le quotidien Prabhat Khabar lui décerne le prix Aparajita. En 2019, elle a reçu le prix de reconnaissance des femmes exemplaires de la Fondation de la Confédération de l'industrie indienne (CII)<ref>{{Lien web |titre=Ad Meliora Catalyzing Transformation: Activity Report 2019-2020 |url=https://ciifoundation.in/document/NewsLetter/CII-Foundation-Activity-Report-2019-20.pdf |série=CII Foundation |date=13 October 2020 |consulté le=13 April 2023}}</ref>. Elle est nommée l'une des 20 meilleures femmes autodidactes d'Inde en 2022 par ''Forbes India''<ref>{{Lien web |langue=en |titre=W-Power List 2022 {{!}} Meet India's Top Self-Made Women in 2022 |url=https://www.forbesindia.com/lists/w-power-2022/ |série=Forbes India |consulté le=2023-04-13}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=en |titre=India's Self-Made Women 2022: Making Of The List |url=https://www.forbesindia.com/article/leadership/indias-selfmade-women-2022-making-of-the-list/81671/1 |série=Forbes India |consulté le=2023-04-13}}</ref>.

En novembre 2023, Kerketta refuse l' ''Aaj Tak Sahitya Jagriti Udyman Pratibha Samman,'' un prix littéraire décerné par l'India Today Group, pour son recueil de poèmes en hindi ''Ishwar aur Bazaar.'' Pour expliquer sa décision, elle poste sur X : « À une époque où le respect pour la vie des tribus du pays est en baisse, où les tribus du centre de l'Inde et du Manipur n'ont aucune dignité de vie et où la vie des personnes et des enfants d'autres communautés est continuellement attaquée, comment un quelconque honneur peut-il réjouir un poète ou un écrivain ? »<ref>{{Lien web |langue=en-US |auteur=Scroll Staff |titre=Adivasi poet Jacinta Kerketta turns down literary prize from India Today Group |url=https://scroll.in/latest/1059628/adivasi-poet-jacinta-kerketta-turns-down-literary-prize-from-india-today-group |série=Scroll.in |date=2023-11-25 |consulté le=2023-11-29}}</ref> En outre, elle dénonce le manque de couverture des incidents au Manipur par les médias grand public<ref>{{Lien web |auteur=Sodhi |prénom=Tanishka |titre='Mainstream media silent on tribal issues': Adivasi writer Jacinta Kerketta refuses press award |url=https://www.newslaundry.com/2023/11/24/mainstream-media-silent-on-tribal-issues-adivasi-writer-jacinta-kerketta-refuses-press-award |série=Newslaundry |date=2023-11-24 |consulté le=2023-11-29}}</ref>.

En septembre 2024, Kerkettarefuse encore le ''prix Room to Read Young Author Award'', décerné en reconnaissance de son recueil de poésie pour enfants ''Jirhul''<ref>{{Lien web |langue=en |auteur=Muzaffar |prénom=Maroosha |titre=Indian poet rejects US-backed arts award 'in solidarity with Palestine' |url=https://www.independent.co.uk/asia/india/jacinta-kerketta-usaid-room-to-read-india-author-award-b2621234.html |série=The Independent |date=2024-10-01 |consulté le=2025-02-09}}</ref>. Elle rejette l'attribution du prix en signe de protestation contre la complicité des entités adjudicatrices [[Agence des États-Unis pour le développement international|US AID]] et Room to Read India Trust dans [[Guerre Israël-Hamas (depuis 2023)|le conflit israélo-palestinien]], et en particulier contre les liens de Room to Read India Trust avec [[Boeing]]<ref>{{Lien web |langue=en-US |titre=Adivasi poet Jacinta Kerketta rejects US AID-supported award in solidarity with Palestine |url=https://maktoobmedia.com/india/adivasi-poet-jacinta-kerketta-rejects-us-aid-supported-award-in-solidarity-with-palestine/ |série=Maktoob Media |date=2024-09-30 |consulté le=2024-09-30}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=en |titre='For Children of Palestine': Writer Jacinta Kerketta Turns Down Award Co-Sponsored by USAID |url=https://thewire.in/books/jacinta-kerketta-award-usaid-palestine |série=The Wire |consulté le=2025-02-09}}</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Jacinta Kerketta|1276599395}}
{{Références}}

== Liens externes ==
{{Liens}}
{{Portail|Inde}}

{{DEFAULTSORT:Kerketta, Jacinta}}
[[Catégorie:Naissance en août 1983]]
[[Catégorie:Poète indien]]
[[Catégorie:Journaliste indien]]

title: Biographie

Nationalité: indienne

Activités: Journaliste, poétesse


text:
# Pastorale (film, 1975)
Pour les articles homonymes, voir Pastorale.
Pour plus de détails, voir Fiche technique et Distribution.
Pastorale (en géorgien : პასტორალი, en russe : Пастораль) est un film géorgien réalisé par Otar Iosseliani, sorti en 1975.

## Synopsis
Quatre amis musiciens de la ville partent à la campagne loger chez l'habitant pour répéter.

## Fiche technique
- Titre : Pastorale
- Titre original : პასტორალი
- Réalisation : Otar Iosseliani
- Scénario : Otar Iosseliani et Revaz Inanishvili
- Pays d'origine :  Union soviétique
- Format : Noir et blanc - Mono - 35 mm
- Genre : Drame
- Durée : 95 minutes
- Date de sortie : 1975

## Distribution
- Nana Ioseliani : Eduki
- Tamar Gabarashvili : musicien
- Mikhail Naneishvili : musicien
- Nukri Davitashvili : musicien
- Baia Macaberidze : musicien
- Rezo Charkhalashvili : homme à la jeep
- Nestor Pipia : voisin
- Qsenia Pipia : voisin

wikiname: frwiki

title: Pastorale (film, 1975)

in_language: fr

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{{Infobox Cinéma (film)
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}}

'''''Pastorale''''' (en {{lang-ka|პასტორალი}}, en {{lang-ru|Пастораль}}) est un film géorgien réalisé par [[Otar Iosseliani]], sorti en [[1975 au cinéma|1975]].

== Synopsis ==
Quatre amis musiciens de la ville partent à la campagne loger chez l'habitant pour répéter.

== Fiche technique ==
* Titre : ''Pastorale''
* Titre original : ''პასტორალი''
* Réalisation : [[Otar Iosseliani]]
* Scénario : [[Otar Iosseliani]] et [[Revaz Inanishvili]]
* Pays d'origine : {{Union soviétique}}
* Format : Noir et blanc - [[Monophonique|Mono]] - [[Format 35 mm|35 mm]]
* Genre : Drame
* Durée : 95 minutes
* Date de sortie : [[1975 au cinéma|1975]]

== Distribution ==
* [[Nana Ioseliani]] : Eduki
* [[Tamar Gabarashvili]] : musicien
* [[Mikhail Naneishvili]] : musicien
* [[Nukri Davitashvili]] : musicien
* [[Baia Macaberidze]] : musicien
* [[Rezo Charkhalashvili]] : homme à la jeep
* [[Nestor Pipia]] : voisin
* [[Qsenia Pipia]] : voisin

== Liens externes ==
* {{Bases audiovisuel}}

{{Palette|Otar Iosseliani}}

{{Portail|cinéma soviétique|Géorgie|années 1970}}

[[Catégorie:Film soviétique sorti en 1975]]
[[Catégorie:Film géorgien sorti en 1975]]
[[Catégorie:Film dramatique soviétique]]
[[Catégorie:Film dramatique géorgien]]
[[Catégorie:Film réalisé par Otar Iosseliani]]
[[Catégorie:Film soviétique en noir et blanc]]
[[Catégorie:Prix FIPRESCI à la Berlinale]]

title: Données clés

Titre original: პასტორალი · Pastorali

Réalisation: Otar Iosseliani

Scénario: Otar Iosseliani · Revaz Inanishvili

Pays de production: Union soviétique

Genre: Drame

Durée: 95 minutes


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# Grand Prix automobile d'Argentine 1971
Le Grand Prix automobile d'Argentine 1971 est une course regroupant des Formule 1 et des Formule 5000 qui s'est déroulée sur l'autodrome Oscar Alfredo Galvez (circuit n°9) à Buenos Aires le 24 janvier 1971. Il ne comptait pas pour le championnat du monde de Formule 1 mais a permis de tester le nouveau développement du circuit qui n'avait plus accueilli de course de Formule 1 depuis 1960. Le bon déroulement de cette épreuve a conduit à la réinscription de l'épreuve argentine au calendrier du championnat du monde dès 1972. Ce Grand Prix s'est disputé en deux manches de cinquante tours chacune.

## Qualifications
La couleur rose indique les pilotes engagés sur Formule 5000.
| Pos | Pilote              | Ecurie                      | Voiture       | Temps         |
| --- | ------------------- | --------------------------- | ------------- | ------------- |
| 1   | Rolf Stommelen      | Surtees Racing Organisation | Surtees TS7   | 1 min 15 s 85 |
| 2   | Chris Amon          | Matra                       | Matra MS 120  | + 0 s 03      |
| 3   | Reine Wisell        | Lotus                       | Lotus 72      | + 0 s 18      |
| 4   | Emerson Fittipaldi  | Lotus                       | Lotus 72      | + 0 s 43      |
| 5   | Carlos Reutemann    | Joakim Bonnier Racing Team  | McLaren M7A   | + 0 s 64      |
| 6   | Joseph Siffert      | Jo Siffert Automobiles      | March 701     | + 0 s 76      |
| 7   | Henri Pescarolo     | Williams                    | March 701     | + 0 s 95      |
| 8   | Derek Bell          | Tom Wheatcroft Racing       | March 701     | + 1 s 38      |
| 9   | Wilson Fittipaldi   | Privé                       | Lotus 72      | + 2 s 05      |
| 10  | Silvio Moser        | Jolly Club Suisse-SMRT      | Bellasi F1 70 | + 3 s 16      |
| 11  | David Prophet       | Privé                       | McLaren M10B  | + 4 s 73      |
| 12  | Joakim Bonnier      | Joakim Bonnier Racing Team  | Lola T190     | + 6 s 11      |
| 13  | Gordon Spice        | McLaren                     | McLaren M10B  | + 7 s 60      |
| 14  | Nestor Garcia-Veiga | Privé                       | Surtees TS5A  | + 10 s 41     |
| 15  | Carlos Marincovich  | Privé                       | McLaren M10B  | + 44 s 21     |

## Classement du Grand Prix
| Pos | Pilote                           | Ecurie                      | Voiture       | Tours | Temps/Abandon      |
| --- | -------------------------------- | --------------------------- | ------------- | ----- | ------------------ |
| 1   | Chris Amon                       | Matra                       | Matra MS 120  | 100   | 2 h 08 min 19 s 29 |
| 2   | Henri Pescarolo                  | Williams                    | March 701     | 100   | + 21 s 86          |
| 3   | Carlos Reutemann                 | Joakim Bonnier Racing Team  | McLaren M7A   | 100   | + 53 s 31          |
| 4   | David Prophet                    | Privé                       | McLaren M10B  | 96    | + 4 tours          |
| 5   | Derek Bell                       | Tom Wheatcroft Racing       | March 701     | 88    | Moteur             |
| 6   | Joseph Siffert                   | Jo Siffert Automobiles      | March 701     | 86    | Suspension         |
| 7   | Reine Wisell                     | Lotus                       | Lotus 72      | 84    | Accident           |
| 8   | Gordon Spice                     | McLaren                     | McLaren M10B  | 84    | + 16 tours         |
| 9   | Wilson Fittipaldi                | Privé                       | Lotus 72      | 71    | Moteur             |
| 10  | Joakim Bonnier                   | Joakim Bonnier Racing Team  | Lola T190     | 68    | + 32 tours         |
| 11  | Silvio Moser                     | Jolly Club Suisse-SMRT      | Bellasi F1 70 | 66    | Moteur             |
| 12  | Rolf Stommelen                   | Surtees Racing Organisation | Surtees TS7   | 60    | Boîte de vitesses  |
| 13  | Carlos Marincovich & Gregg Young | Privé                       | McLaren M10B  | 59    | + 41 tours         |
| 14  | Emerson Fittipaldi               | Lotus                       | Lotus 72      | 48    | Pression d'huile   |
| 15  | Nestor Garcia-Veiga              | Privé                       | Surtees TS5A  | 11    | Fuite d'huile      |

- Course scindée en deux manches de cinquante tours. La première manche a été remportée par Rolf Stommelen en 1 h 03 min 57 s 97, la seconde par Chris Amon en 1 h 04 min 14 s 38.

## Pole position et record du tour
- Pole position : Rolf Stommelen en 1 min 15 s 85 (vitesse moyenne : 161,867 km/h). Temps réalisé lors de la seconde séance d'essais.
- Tour le plus rapide : Chris Amon en 1 min 15 s 05 (vitesse moyenne : 163,571 km/h).

## Tours en tête
- Rolf Stommelen : 50 tours (1-50) - première manche
- Jo Siffert : 4 tours (1-4) - deuxième manche
- Chris Amon : 46 tours (5-50) - deuxième manche

## À noter
- 2e victoire en F1 (hors-championnat) pour Chris Amon.

title: Grand Prix automobile d'Argentine 1971

wikitext:
{{Infobox Course de Formule 1
 | nom = Grand Prix d'Argentine 1971
 | circuit image = Buenos Aires 1972.jpg
 | drapeau = Flag of Argentina.svg
 | circuit = '''[[Circuit Oscar Alfredo Galvez]]'''
 | nombre de tours = 100 (2 x 50)
 | longueur du circuit km = 3,410
 | distance de course km = 341,045
 | année en cours =
 | pilote vainqueur = [[Chris Amon]]
 | écurie vainqueur = [[Matra Sports|Matra]]
 | temps total vainqueur = {{heure|2|8|19|29}}
(vitesse moyenne : 159,464 km/h)
 | pilote en pole = [[Rolf Stommelen]]
 | écurie pole = [[Surtees Racing Organisation|Surtees]]-[[Cosworth|Ford Cosworth]]
 | temps pole = {{heure||1|15|85}}
(vitesse moyenne : 161,867 km/h)
 | pilote record tour = [[Chris Amon]]
 | écurie record tour = [[Matra Sports|Matra]]
 | temps record tour = {{heure||1|15|05}}
(vitesse moyenne : 163,571 km/h)
}}
Le '''[[Grand Prix automobile d'Argentine]] 1971''' est une course regroupant des [[Formule 1]] et des [[Formule 5000]] qui s'est déroulée sur l'[[Circuit Oscar Alfredo Galvez|autodrome Oscar Alfredo Galvez]] (circuit n°9<ref>Revue L'Automobile n°297 - février 1971 </ref>) à [[Buenos Aires]] le {{date|24 janvier 1971}}. Il ne comptait pas pour le championnat du monde de Formule 1 mais a permis de tester le nouveau développement du circuit qui n'avait plus accueilli de course de Formule 1 depuis 1960. Le bon déroulement de cette épreuve a conduit à la réinscription de l'épreuve argentine au calendrier du championnat du monde dès 1972. Ce Grand Prix s'est disputé en deux manches de cinquante tours chacune<ref>Revue Sport Auto n°110 - mars 1971</ref>.

== Qualifications ==
''La couleur rose indique les pilotes engagés sur Formule 5000''.

{| bgcolor="#f7f8ff" cellpadding="3" cellspacing="0" border="1" style="font-size: 95%; border: gray solid 1px; border-collapse: collapse;"
|- bgcolor="#CCCCCC"
! Pos
! Pilote
! Ecurie
! Voiture
! Temps
|-
! 1
| {{drapeau|Allemagne}} [[Rolf Stommelen]]
| [[Surtees Racing Organisation]]
|[[Surtees Racing Organisation|Surtees]] TS7
| 1 min 15 s 85
|- bgcolor="#EFEFEF"
! 2
| {{drapeau|Nouvelle-Zélande}} [[Chris Amon]]
| [[Matra Sports|Matra]]
| [[Matra Sports|Matra]] MS 120
| + 0 s 03
|-
! 3
| {{drapeau|Suède}} [[Reine Wisell]]
| [[Team Lotus|Lotus]]
|[[Lotus 72]]
| + 0 s 18
|-bgcolor="#EFEFEF"
! 4
| {{drapeau|Brésil}} [[Emerson Fittipaldi]]
| [[Team Lotus|Lotus]]
|[[Lotus 72]]
| + 0 s 43
|-
! 5
| {{drapeau|Argentine}} [[Carlos Reutemann]]
| Joakim Bonnier Racing Team
|[[Team McLaren|McLaren]] M7A
| + 0 s 64
|- bgcolor="#EFEFEF"
! 6
| {{drapeau|Suisse}} [[Joseph Siffert]]
| Jo Siffert Automobiles
|[[March Engineering|March]] 701
| + 0 s 76
|-
! 7
| {{drapeau|France}} [[Henri Pescarolo]]
| [[Williams F1 Team|Williams]]
|[[March Engineering|March]] 701
| + 0 s 95
|-bgcolor="#EFEFEF"
! 8
| {{drapeau|Royaume-Uni}} [[Derek Bell (pilote)|Derek Bell]]
| Tom Wheatcroft Racing
|[[March Engineering|March]] 701
| + 1 s 38
|-
! 9
| {{drapeau|Brésil}} [[Wilson Fittipaldi]]
| Privé
|[[Lotus 72]]
| + 2 s 05
|-
! 10
| {{drapeau|Suisse}} [[Silvio Moser]]
| Jolly Club Suisse-SMRT
|[[Bellasi]] F1 70
| + 3 s 16
|-bgcolor="#ffcccc"
! 11
| {{drapeau|Royaume-Uni}} [[David Prophet]]
| Privé
|[[Team McLaren|McLaren]] M10B
| + 4 s 73
|-bgcolor="#ffcccc"
! 12
| {{drapeau|Suède}} [[Joakim Bonnier]]
| Joakim Bonnier Racing Team
|[[Lola Cars|Lola]] T190
| + 6 s 11
|-bgcolor="#ffcccc"
! 13
| {{drapeau|Royaume-Uni}} [[Gordon Spice]]
| [[Team McLaren|McLaren]]
|[[Team McLaren|McLaren]] M10B
| + 7 s 60
|-bgcolor="#ffcccc"
! 14
| {{drapeau|Argentine}} [[Nestor Garcia-Veiga]]
|Privé
|[[Surtees Racing Organisation|Surtees]] TS5A
| + 10 s 41
|-bgcolor="#ffcccc"
! 15
| {{drapeau|Argentine}} [[Carlos Marincovich]]
| Privé
|[[Team McLaren|McLaren]] M10B
| + 44 s 21
|}

== Classement du Grand Prix ==
[[Fichier:Matra MS120-02.jpg|vignette|La Matra MS120 (ici une version 1970 identique à celle pilotée par Amon pour cette épreuve) s'est montrée la plus rapide en course.]]
{| bgcolor="#f7f8ff" cellpadding="3" cellspacing="0" border="1" style="font-size: 95%; border: gray solid 1px; border-collapse: collapse;"
|- bgcolor="#CCCCCC"
! Pos
! Pilote
! Ecurie
! Voiture
! Tours
! Temps/Abandon
|-
! 1
| {{drapeau|Nouvelle-Zélande}} [[Chris Amon]]
| [[Matra Sports|Matra]]
| [[Matra Sports|Matra]] MS 120
| 100
| 2 h 08 min 19 s 29
|- bgcolor="#EFEFEF"
! 2
| {{drapeau|France}} [[Henri Pescarolo]]
| [[Williams F1 Team|Williams]]
|[[March Engineering|March]] 701
| 100
| + 21 s 86
|-
! 3
| {{drapeau|Argentine}} [[Carlos Reutemann]]
| Joakim Bonnier Racing Team
|[[Team McLaren|McLaren]] M7A
| 100
| + 53 s 31
|-bgcolor="#ffcccc"
! 4
| {{drapeau|Royaume-Uni}} [[David Prophet]]
| Privé
|[[Team McLaren|McLaren]] M10B
| 96
| + 4 tours
|-
! 5
| {{drapeau|Royaume-Uni}} [[Derek Bell (pilote)|Derek Bell]]
| Tom Wheatcroft Racing
|[[March Engineering|March]] 701
| 88
| Moteur
|- bgcolor="#EFEFEF"
! 6
| {{drapeau|Suisse}} [[Joseph Siffert]]
| Jo Siffert Automobiles
|[[March Engineering|March]] 701
| 86
| Suspension
|-
! 7
| {{drapeau|Suède}} [[Reine Wisell]]
| [[Team Lotus|Lotus]]
|[[Lotus 72]]
| 84
| Accident
|--bgcolor="#ffcccc"
! 8
| {{drapeau|Royaume-Uni}} [[Gordon Spice]]
| [[Team McLaren|McLaren]]
|[[Team McLaren|McLaren]] M10B
| 84
| + 16 tours
|-
! 9
| {{drapeau|Brésil}} [[Wilson Fittipaldi]]
| Privé
|[[Lotus 72]]
| 71
| Moteur
|-bgcolor="#ffcccc"
! 10
| {{drapeau|Suède}} [[Joakim Bonnier]]
| Joakim Bonnier Racing Team
|[[Lola Cars|Lola]] T190
| 68
| + 32 tours
|-
! 11
| {{drapeau|Suisse}} [[Silvio Moser]]
| Jolly Club Suisse-SMRT
|[[Bellasi]] F1 70
| 66
| Moteur
|- bgcolor="#EFEFEF"
! 12
| {{drapeau|Allemagne}} [[Rolf Stommelen]]
| [[Surtees Racing Organisation]]
|[[Surtees Racing Organisation|Surtees]] TS7
| 60
| Boîte de vitesses
|-bgcolor="#ffcccc"
! 13
| {{drapeau|Argentine}} [[Carlos Marincovich]] &
 {{drapeau|USA}}  [[Gregg Young]]
| Privé
|[[Team McLaren|McLaren]] M10B
| 59
| + 41 tours
|- bgcolor="#EFEFEF"
! 14
| {{drapeau|Brésil}} [[Emerson Fittipaldi]]
| [[Team Lotus|Lotus]]
|[[Lotus 72]]
| 48
| Pression d'huile
|-bgcolor="#ffcccc"
! 15
| {{drapeau|Argentine}} [[Nestor Garcia-Veiga]]
|Privé
|[[Surtees Racing Organisation|Surtees]] TS5A
| 11
| Fuite d'huile
|}
* Course scindée en deux manches de cinquante tours. La première manche a été remportée par [[Rolf Stommelen]] en 1 h 03 min 57 s 97, la seconde par [[Chris Amon]] en 1 h 04 min 14 s 38.

== Pole position et record du tour ==
* '''Pole position''' : '''[[Rolf Stommelen]]''' en '''1 min 15 s 85''' (vitesse moyenne : 161,867 km/h). Temps réalisé lors de la seconde séance d'essais.
* '''Tour le plus rapide''' : '''[[Chris Amon]]''' en '''1 min 15 s 05''' (vitesse moyenne : 163,571 km/h).

== Tours en tête ==
* [[Rolf Stommelen]] : '''50 tours''' (1-50) - première manche
* [[Jo Siffert]] : '''4 tours''' (1-4) - deuxième manche
* [[Chris Amon]] : '''46 tours''' (5-50) - deuxième manche

== À noter ==
* {{2e|victoire}} en F1 (hors-championnat) pour [[Chris Amon]].

== Notes et références ==
{{Références}}

== Liens externes ==
{{liens}}

{{Palette|Grand Prix automobile d'Argentine|GP Formule 1 1971}}
{{Portail|Formule 1}}

[[Catégorie:Grand Prix de Formule 1 d'Argentine|1971]]
[[Catégorie:Formule 1 en 1971|Argentine]]
[[Catégorie:1971 en Argentine]]
[[Catégorie:Sport en janvier 1971]]

title: Données de course

title: Résultats

Vainqueur: Chris Amon, · Matra, · 2 h 8 min 19 s 29 · (vitesse moyenne : 159,464 km/h)

Pole position: Rolf Stommelen, · Surtees-Ford Cosworth, · 1 min 15 s 85 · (vitesse moyenne : 161,867 km/h)

Record du tour en course: Chris Amon, · Matra, · 1 min 15 s 05 · (vitesse moyenne : 163,571 km/h)


text:
# Strie de Looser-Milkmann
Les stries de Looser-Milkmann, qui apparaissent sur les radiographies de certains patients victimes d'une mauvaise minéralisation du tissu osseux (ostéomalacie par exemple) sont des lignes claires, visibles sur la diaphyse (partie moyenne) des os longs, transversales (par rapport à l'axe de l'os et plus ou moins symétriquement disposées). Elles correspondent à des micro-déformations et à des fissures de l'os.
Les os où elles sont les plus visibles sont :
- la branche ischio-pubienne (partie inférieure du bassin, dont en particulier le col du fémur et le tibia)[1] ;
- le thorax (côtes et omoplates).

C'est un des signes qui — avec d'autres — est utilisé pour le diagnostic de certaines maladies, telles que :
- ostéomalacie[1]

À ne pas confondre avec le syndrome de Milkmann (groupe de symptômes associant des douleurs osseuses du squelette à une difficulté à effectuer certains mouvements, des membres inférieurs essentiellement.

title: Strie de Looser-Milkmann

wikitext:
{{ébauche|médecine}}
Les '''stries de {{Lang|en|Looser-Milkmann}}''', qui apparaissent sur les [[radiographie]]s de certains patients victimes d'une mauvaise minéralisation du tissu osseux (ostéomalacie par exemple) sont des lignes claires, visibles sur la diaphyse (partie moyenne) des os longs, transversales (par rapport à l'axe de l'os et plus ou moins symétriquement disposées). Elles correspondent à des micro-déformations et à des fissures de l'os.

Les os où elles sont les plus visibles sont :
* la branche ischio-pubienne (partie inférieure du bassin, dont en particulier le col du fémur et le tibia)<ref name="univ-nantes"/> ;
* le thorax (côtes et omoplates).

C'est un des signes qui {{Incise |avec d'autres}} est utilisé pour le diagnostic de certaines maladies, telles que :
* [[ostéomalacie]]<ref name="univ-nantes">{{Lien web |url=http://www.sante.univ-nantes.fr/decas/RHUMATO/CHAPITRE2%20page4-6.htm |titre=Exemple de "stries de Looser-Milkmann", ou "pseudo-fractures" sur la branche ilio- et ischio-pubienne d'un patient victime d'ostéomalacie |site=www.sante.univ-nantes.fr}}</ref>

À ne pas confondre avec le [[syndrome de Milkmann]] (groupe de symptômes associant des douleurs osseuses du squelette à une difficulté à effectuer certains mouvements, des membres inférieurs essentiellement.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
{{Colonnes |nombre=3 |
* [[Ostéologie]]
* [[Squelette]]
* [[Anatomie]]
* [[Os]]
* [[Appareil locomoteur]]
}}

{{portail|médecine}}
[[Catégorie:Radiologie]]


text:
# Référenceur
 (mai 2023).
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 (mai 2023).
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- Le texte ne doit pas être écrit en capitales (les noms de famille non plus), ni en gras, ni en italique, ni en « petit »…
- Le gras n'est utilisé que pour surligner le titre de l'article dans l'introduction, une seule fois.
- L'italique est rarement utilisé : mots en langue étrangère, titres d'œuvres, noms de bateaux, etc.
- Les citations ne sont pas en italique mais en corps de texte normal. Elles sont entourées par des guillemets français : « et ».
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Un référenceur, référenceur web, ou encore référenceur SEO est un spécialiste des techniques de référencement naturel (Search Engine Optimization : SEO).
Il intervient pour améliorer le classement des pages dans les résultats des moteurs de recherche, principalement Google, Bing ou Yahoo pour la France. C'est un professionnel. Sa mission est de faire augmenter le nombre de visiteurs d'un site web.
Il utilise de nombreux outils techniques qui lui permettent d'analyser l'existant d'un site web (audit SEO), afin d'y trouver les erreurs nuisant au classement des pages web.

## Compétences
Un référenceur maîtrise les techniques de référencement naturel et les outils associés. Il est capable d’analyser les résultats de ses actions et de proposer des améliorations pour améliorer la visibilité du site.
Les compétences requises sont :
- Connaissance des techniques de référencement naturel (SEO)
- Maîtrise des outils d’analyse de trafic et de positionnement
- Capacité à analyser les résultats et à proposer des améliorations
- Connaissance des langages HTML, CSS et JavaScript
- Connaissance des moteurs de recherche et de leur fonctionnement

Il maitrise les bases du marketing et de la communication pour comprendre les notions de ciblage et adapter les actions et optimisations en fonction des publics.

## Différents champs d'activité
- SEO (Search Engine Optimisation) : techniques permettant d'optimiser le positionnement dans les moteurs de recherche
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## Formation
Pour devenir un professionnel du référencement, il existe des formations en marketing digital ou en communication.
Il est possible de se former en autodidacte en lisant des livres spécialisés ou en suivant des formations en ligne. Le référenceur peut faire certifier ses compétences.
Un référenceur possède des compétences techniques, linguistiques et marketing. En effet, le SEO regroupe plusieurs domaines complémentaires, qui visent tous à améliorer ce que Google appelle "l'expérience utilisateur". Les critères sont mentionnées par Google dans ses consignes données aux évaluateurs de qualité.

### Compétences techniques
Langage HTML : Le SEO est un ensemble de règles qui facilitent l'indexation des pages aux moteurs de recherche. Certaines balises HTML doivent comporter des indications. Elles permettant aux outils d'indexation (qui crawlent les pages) de mieux comprendre comment le contenu est structuré et dans quels domaines d'information il est situé.
Par exemple, la balise HTML <h1> indique le titre principal de la page et doit contenir les mots-clés qui sont le thème du contenu rédactionnel de la page. Si la page parle de recettes de tartes faites avec du citron de Menton, le texte du titre principal de la page pourrait être rédigé ainsi :
```
<h1>Recettes de tartes au citron de Menton</h1>
```

Langage CSS : Les Cascading Style Sheet (CSS) ou "feuilles de style" en français, servent à déterminer l'apparence du contenu HTML. Les CSS influencent le classement d'une page si les déclarations de style sont mal positionnées ou trop nombreuses, alourdissant inutilement le temps de chargement d'une page.
CMS (Content Managing System) tels que WordPress, Drupal, Joomla... : ces logiciels servent à créer les sites web. Un référenceur qui intervient pour un client doit être capable d'utiliser le CMS de son client pour effectuer des corrections et des améliorations sur son site web.
Logiciels d'analyse SEO : ces applications examinent les urls d'un site afin d'y déceler différents types d'erreurs pouvant nuire au référencement naturel :
- Erreurs sur les URLs (erreur 404, url en double, url non suivie...) : chaque erreur dans une url peut bloquer son indexation et réduire la visibilité du site web.
- Erreurs sur le balisage (titres en double, descriptions trop courtes, trop longues, absentes, attributs alt manquants, etc.).
- Erreurs sur la hiérarchisation des titres dans un texte.

Logiciels d'analyse de performances : la vitesse de chargement d'une page et d'autres paramètres de performance font partie des critères de Google. La vitesse d'un site web peut être testée avec l'outil fourni gratuitement par Google : PageSpeed Insights.
Le référenceur est un technicien qui sait comment créer un site web. Chez un client, sa première tâche consiste souvent à effectuer un audit technique des pages du site, et d'en détecter toutes les erreurs. Une fois corrigées, il améliore les autres leviers SEO du site.

### Compétences linguistiques du référenceur
Un référenceur SEO maîtrise l'orthographe et la grammaire française. Il est à l'aise en expression écrite afin de créer ou modifier du contenu rédactionnel. Ce type de prestation peut aussi être effectuée par un rédacteur web.
L'enjeu du référenceur est de pouvoir juger la qualité d'un contenu. Celle-ci est capitale pour le bon référencement des sites web. Il doit connaître la signification et l'intérêt des mots-clés issus de ce que l'on appelle la longue traîne en webmarketing.

### Compétences marketing du référenceur
L'objectif du référenceur est d'optimiser le SEO d'une page en tenant compte des lecteurs à qui elle est destinée. Le but du référencement est d'être visible auprès de sa cible et de générer des conversions. Les conversions peuvent être des achats, sur un site de vente en ligne, ou des demandes de contact sur un site vitrine d'entreprise.
La dimension marketing du métier est importante car l'objectif final d'un client est de vendre son produit/service.

title: Référenceur

wikitext:
{{Avantage non déclaré|date=mai 2023}}
{{À sourcer|date=mai 2023}}
{{À wikifier|date=mai 2023}}

Un '''référenceur''', '''référenceur web''', ou encore '''référenceur SEO''' est un spécialiste des techniques de [[Optimisation pour les moteurs de recherche|référencement naturel]] ([[Optimisation pour les moteurs de recherche|Search Engine Optimization]] : SEO).

Il intervient pour améliorer le classement des pages dans les résultats des [[Moteur de recherche|moteurs de recherche]], principalement [[Google (moteur de recherche)|Google]], Bing ou [[Yahoo!|Yahoo]] pour la [[France]]. C'est un [[Sport professionnel|professionnel]]. Sa mission est de faire augmenter le nombre de visiteurs d'un [[site web]].

Il utilise de nombreux outils techniques qui lui permettent d'analyser l'existant d'un site web (audit SEO), afin d'y trouver les erreurs nuisant au classement des pages web.

== Compétences ==
Un référenceur maîtrise les [[Search engine optimization|techniques de référencement naturel]] et les outils associés. Il est capable d’analyser les résultats de ses actions et de proposer des améliorations pour améliorer la visibilité du site.

Les compétences requises sont :
* Connaissance des techniques de référencement naturel (SEO)
* Maîtrise des outils d’analyse de trafic et de positionnement
* Capacité à analyser les résultats et à proposer des améliorations
* Connaissance des langages [[Hypertext Markup Language|HTML]], [[Feuilles de style en cascade|CSS]] et [[JavaScript]]
* Connaissance des moteurs de recherche et de leur fonctionnement
Il maitrise les bases du marketing et de la communication pour comprendre les notions de ciblage et adapter les actions et optimisations en fonction des publics.

== Différents champs d'activité ==
* SEO ({{lang|en|Search Engine Optimisation}}) : techniques permettant d'optimiser le positionnement dans les moteurs de recherche
* [[Social media optimization|SMO]] ({{lang|en|Social Media Optimisation}}) : référencement dans les réseaux sociaux
* VSEO ({{lang|en|Video Search Engine Optimization}}) : référencement des vidéos
* [[Search engine marketing|SEM]] ({{lang|en|Seach Engine Marketing}}) référencement des liens payants<ref>{{ouvrage|titre=Le Guide du référencement Web|auteur=Mathieu Chartier|date=2013|lire en ligne=https://www.google.fr/books/edition/Le_Guide_du_r%C3%A9f%C3%A9rencement_Web/ip0FAwAAQBAJ?hl=en&gbpv=1}} {{p.|8}}</ref>.

== Formation ==
Pour devenir un professionnel du référencement, il existe des formations en marketing digital ou en communication.

Il est possible de se former en [[Autoformation|autodidacte]] en lisant des livres spécialisés ou en suivant des formations en ligne. Le référenceur peut faire certifier ses compétences.

Un référenceur possède des compétences techniques, linguistiques et marketing. En effet, le SEO regroupe plusieurs domaines complémentaires, qui visent tous à améliorer ce que Google appelle "l'expérience utilisateur". Les critères sont mentionnées par Google dans ses consignes données aux évaluateurs de qualité<ref>{{Lien web |langue=en |auteur=Elizabeth Tucker |titre=Dernière mise à jour des consignes destinées aux évaluateurs de la qualité : l'expérience vient compléter le concept E-A-T |url=https://developers.google.com/search/blog/2022/12/google-raters-guidelines-e-e-a-t?hl=fr |accès url=libre |site=Google |date=15 décembre 2022 |consulté le=27 mai 2023}}</ref>.

=== Compétences techniques ===
'''Langage HTML :''' Le SEO est un ensemble de règles qui facilitent l'indexation des pages aux moteurs de recherche. Certaines balises HTML doivent comporter des indications. Elles permettant aux outils d'indexation (qui crawlent les pages) de mieux comprendre comment le contenu est structuré et dans quels domaines d'information il est situé.

Par exemple, la balise HTML {{balise|h1}} indique le titre principal de la page et doit contenir les mots-clés qui sont le thème du contenu rédactionnel de la page. Si la page parle de recettes de tartes faites avec du citron de Menton, le texte du titre principal de la page pourrait être rédigé ainsi :
 <nowiki>
Recettes de tartes au citron de Menton
</nowiki>

'''Langage CSS :''' Les Cascading Style Sheet (CSS)<ref>{{Lien web |auteur=MDN Contributors |titre=Les bases des CSS |url=https://developer.mozilla.org/fr/docs/Learn/Getting_started_with_the_web/CSS_basics |site=Mozilla |date=14 avril 2023 |consulté le=27 mai 2023}}</ref> ou "feuilles de style" en français, servent à déterminer l'apparence du contenu HTML. Les CSS influencent le classement d'une page si les déclarations de style sont mal positionnées ou trop nombreuses, alourdissant inutilement le temps de chargement d'une page.

'''CMS (Content Managing System) tels que [[WordPress]], [[Drupal]], [[Joomla!|Joomla]]... :''' ces logiciels servent à créer les sites web. Un référenceur qui intervient pour un client doit être capable d'utiliser le CMS de son client pour effectuer des corrections et des améliorations sur son site web.

'''Logiciels d'analyse SEO :''' ces applications examinent les urls d'un site afin d'y déceler différents types d'erreurs pouvant nuire au référencement naturel :

* Erreurs sur les URLs (erreur 404, url en double, url non suivie...) : chaque erreur dans une url peut bloquer son indexation et réduire la visibilité du site web.
* Erreurs sur le balisage (titres en double, descriptions trop courtes, trop longues, absentes, attributs alt manquants, etc.).
* Erreurs sur la hiérarchisation des titres dans un texte.
'''Logiciels d'analyse de performances :''' la vitesse de chargement d'une page et d'autres paramètres de performance font partie des critères de Google. La vitesse d'un site web peut être testée avec l'outil fourni gratuitement par Google : PageSpeed Insights.

Le référenceur est un technicien qui sait comment créer un site web. Chez un client, sa première tâche consiste souvent à effectuer un audit technique des pages du site, et d'en détecter toutes les erreurs. Une fois corrigées, il améliore les autres leviers SEO du site.

=== Compétences linguistiques du référenceur ===
Un référenceur SEO maîtrise l'orthographe et la grammaire française. Il est à l'aise en expression écrite afin de créer ou modifier du contenu rédactionnel. Ce type de prestation peut aussi être effectuée par un [[rédacteur web]].

L'enjeu du référenceur est de pouvoir juger la qualité d'un contenu. Celle-ci est capitale pour le bon référencement des sites web. Il doit connaître la signification et l'intérêt des mots-clés issus de ce que l'on appelle la [[longue traîne]] en webmarketing.

=== Compétences marketing du référenceur ===
L'objectif du référenceur est d'optimiser le SEO d'une page en tenant compte des lecteurs à qui elle est destinée. Le but du référencement est d'être visible auprès de sa cible et de générer des conversions. Les conversions peuvent être des achats, sur un site de vente en ligne, ou des demandes de contact sur un site vitrine d'entreprise.

La dimension marketing du métier est importante car l'objectif final d'un client est de vendre son produit/service.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Liens externes ==
*https://www.onisep.fr/ressources/Univers-Metier/Metiers/charge-chargee-de-referencement-web

{{Portail|informatique}}

[[Catégorie:Métier de l'informatique]]
[[Catégorie:Marketing sur Internet]]


text:
# Villasarracino
Villasarracino est une commune d'Espagne de la province de Palencia dans la communauté autonome de Castille-et-León. Elle fait partie de la comarque naturelle de Tierra de Campos.

title: Villasarracino

wikitext:
{{ébauche|localité de Castille-et-León}}
{{Infobox Commune d'Espagne
 | nom             = Villasarracino
 | autres noms     =
 | drapeau         =
 | blason          = Coat of Arms of Villasarracino.svg
 | image           = Villasarracino 05.JPG
 | taille image    =
 | légende         = Place de Villasarracino.
 | statut          =
 | gentilé         =
 | fondation       =
 | commauto        = {{Castille-et-León}}
 | province        = {{Province de Palencia}}
 | comarque        = [[Tierra de Campos]]
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 | géolocalisation = Espagne/Castille-et-León
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}}
'''Villasarracino''' est une [[Commune (Espagne)|commune]] d'[[Espagne]] de la [[province de Palencia]] dans la [[Communautés autonomes d'Espagne|communauté autonome]] de [[Castille-et-León]]. Elle fait partie de la [[comarque]] naturelle de [[Tierra de Campos]].

== Notes et références ==
{{Références|colonnes = }}

== Voir aussi ==
{{Autres projets | commons = Category:Villasarracino| commons titre = Villasarracino}}

=== Articles connexes ===
* [[Liste des communes de la province de Palencia]]

=== Liens externes ===
* [http://villasarracino.es/ Site de la mairie de Villasarracino]

{{Palette|Communes de la province de Palencia}}
{{Portail|Castille-et-León}}

[[Catégorie:Commune dans la province de Palencia]]

title: Administration

Pays: Espagne

Communauté autonome: Castille-et-León

Province: Province de Palencia

Comarque: Tierra de Campos

title: Démographie

title: Géographie

Coordonnées: 42° 24′ 43″ nord, 4° 29′ 47″ ouest

title: Liens

Liens: modifier


text:
# Rue de la Victoire (Bruxelles)
Pour les articles homonymes, voir Rue de la Victoire.
La rue de la Victoire, à Bruxelles, est une rue faisant partie de la commune de Saint-Gilles.

## Situation
Elle commence avenue Henri Jaspar, 135, et finit chaussée de Charleroi, 211-213.
Il s'agit d'une large et longue rue qui descend en pente et en ligne droite vers la Porte de Hal.
Elle s'orne de nombreuses maisons et immeubles tantôt Art déco, style éclectique ou Art nouveau.

title: Rue de la Victoire (Bruxelles)

wikitext:
{{Ébauche|Bruxelles}}
{{Voir homonymes|Rue de la Victoire}}
{{Infobox Espace public
 | nom             = Rue de la Victoire
 | image           = 1932 SEPT. chantier 187A Victoire arch. LEON VAN DIEVOET.jpg
 | taille image    =
 | légende         = Chantier en septembre 1932 de l'immeuble 187A rue de la Victoire, par l'architecte [[Léon van Dievoet]]
 | alt             =
 | carte           =
 | taille carte    =
 | légende carte   =
 | géolocalisation = Bruxelles-Capitale/Europe/Belgique
 | latitude        = 50.8290728
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 | région          = [[Région de Bruxelles-Capitale]]
 | ville           = [[Saint-Gilles (Bruxelles)|Saint-Gilles]]
 | quartier        =
 | début           = [[Avenue Henri Jaspar]]
 | fin             = [[Chaussée de Charleroi]]
 | type            = [[Rue]]
 | fonction        =
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 | longueur        =
 | largeur         =
 | superficie      =
 | dates           =
 | noms            =
 | lieux           =
 | monuments       =
 | classement      =
 | site web        =
}}
La '''rue de la Victoire''', à [[Bruxelles]], est une rue faisant partie de la commune de [[Saint-Gilles (Bruxelles)|Saint-Gilles]].
[[Fichier:1932 r. de la Victoire, 187A, Brux. arch.LEON VAN DIEVOET photo 1952.jpg|vignette|gauche|Immeuble au 187a rue de la Victoire par l'architecte [[Léon van Dievoet]] pour le compte du « Comptoir national des Matériaux », année 1932.]]

== Situation ==
Elle commence [[avenue Henri Jaspar]], 135, et finit [[chaussée de Charleroi]], 211-213.

Il s'agit d'une large et longue rue qui descend en pente et en ligne droite vers la [[Porte de Hal]].

Elle s'orne de nombreuses maisons et immeubles tantôt [[Art déco]], style éclectique ou [[Art nouveau]].

== Historique ==

== Voir aussi ==
* [[Liste des rues de Saint-Gilles]]

=== Liens externes ===
* {{Commons-inline|Category:Saint-Gilles|Saint-Gilles}}
* [http://www.irismonument.be/index.php?quick_search=rue+de+la+Victoire&section=search&results=y&Submit=ok Rue de la Victoire à Saint-Gilles, sur Irisnet]

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Portail|Bruxelles|route}}

{{DEFAULTSORT:Victoireruedela}}
[[Catégorie:Voie à Bruxelles]]

title: Situation

Coordonnées: 50° 49′ 45″ nord, 4° 21′ 00″ est

Pays: Belgique

Région: Région de Bruxelles-Capitale

Ville: Saint-Gilles

Début: Avenue Henri Jaspar

Fin: Chaussée de Charleroi

title: Morphologie

Type: Rue

Morphologie: modifier


text:
# Noir de Vienne
Le noir de Vienne est une race de lapin domestique issue du croisement entre des lapins bleus de Vienne et des lapins alaskas. Il combine la fourrure noire de l’alaska avec les qualités d’élevage du bleu de Vienne. Il est peu répandu.

## Origine
Après la Seconde Guerre mondiale, le marché des fourrures en Allemagne recherche des grandes peaux noires, ce qui fait naître des désaccords parmi les éleveurs de lapins alaskas qui ne parviennent pas à sélectionner un pelage similaire à celui du renard arctique tel qu’ils le souhaiteraient. Certains souhaitent se tourner vers la production de fourrures intégralement noires quand la majorité conserve son objectif de sélection sur une couleur noire à poils blancs équitablement répartis. De nombreux appels sont alors lancés dans la presse spécialisée allemande pour travailler à la création d’une race combinant la taille et le type du bleu de Vienne et une fourrure noire, proche de celle de l’alaska. De cette volonté naît rapidement le noir de Vienne en 1925. Il connaît alors rapidement le succès, notamment lors de l’exposition de Leipzig de 1931. Par la suite son développement se ralentit fortement. La race est reconnue en France à partir de 1984, mais reste peu répandue dans le pays.

## Description
Le noir de Vienne est un lapin de taille moyenne qui pèse entre 3,5 et 5,5 kg. Il a un corps cylindrique avec une musculature puissante et compacte, aussi large à l’avant qu’à l’arrière. Sa ligne dorsale est horizontale. Sa tête forte et large est bien collée au corps. Elle porte deux oreilles robustes de 11 à 13,5 cm. Un léger fanon est toléré chez la femelle. Les yeux sont brun noir. La fourrure est dense, assez longue et lustrée. Elle est d’un noir jais intense, légèrement plus mat dessous, avec une sous-couleur bleu foncé.

## Diffusion
Le noir de Vienne est peu répandu en France.

title: Noir de Vienne

wikitext:
{{Ébauche|lapin}}
{{Infobox Race
|charte=lapin
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|légende=
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|origine={{Allemagne}}
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|robe=Noir jais
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Le '''noir de Vienne''' est une race de [[lapin domestique]] issue du croisement entre des lapins [[bleu de Vienne|bleus de Vienne]] et des lapins [[alaska (lapin)|alaskas]]. Il combine la fourrure noire de l’alaska avec les qualités d’élevage du bleu de Vienne. Il est peu répandu.

== Origine ==
Après la [[Seconde Guerre mondiale]], le marché des fourrures en [[Allemagne]] recherche des grandes peaux noires, ce qui fait naître des désaccords parmi les éleveurs de lapins alaskas qui ne parviennent pas à sélectionner un pelage similaire à celui du [[renard arctique]] tel qu’ils le souhaiteraient. Certains souhaitent se tourner vers la production de fourrures intégralement noires quand la majorité conserve son objectif de [[Élevage sélectif des animaux|sélection]] sur une couleur noire à poils blancs équitablement répartis. De nombreux appels sont alors lancés dans la presse spécialisée allemande pour travailler à la création d’une race combinant la taille et le type du [[bleu de Vienne]] et une fourrure noire, proche de celle de l’alaska. De cette volonté naît rapidement le noir de Vienne en 1925. Il connaît alors rapidement le succès, notamment lors de l’exposition de [[Leipzig]] de 1931. Par la suite son développement se ralentit fortement. La race est reconnue en [[France]] à partir de 1984, mais reste peu répandue dans le pays<ref name="ffc">{{Lien web | url=http://www.ffc.asso.fr/cadre_races_moyennes1.htm | titre=Noir de Vienne | consulté le=26 mars 2010 | site=www.ffc.asso.fr}}</ref>.

== Description ==
Le noir de Vienne est un lapin de taille moyenne qui pèse entre 3,5 et {{unité|5.5|kg}}. Il a un corps cylindrique avec une musculature puissante et compacte, aussi large à l’avant qu’à l’arrière. Sa ligne dorsale est horizontale. Sa tête forte et large est bien collée au corps. Elle porte deux oreilles robustes de 11 à {{unité|13.5|cm}}. Un léger fanon est toléré chez la femelle. Les yeux sont brun noir. La fourrure est dense, assez longue et lustrée. Elle est d’un noir jais intense, légèrement plus mat dessous, avec une sous-couleur bleu foncé<ref name="noslapins">{{Lien web | url=http://www.noslapins.com/races.php?id=33 | titre=Noir de Vienne | consulté le=26 mars 2010 | site=NosLapins.com}}</ref>.

== Diffusion ==
Le noir de Vienne est peu répandu en France<ref name="ffc"/>.

== Références ==
{{Références}}

{{Palette|Races de lapins}}
{{Portail|Mammifères|élevage|agriculture et agronomie|Allemagne}}
[[Catégorie:Race de lapin originaire d'Allemagne]]

title: Région d’origine

Région: Allemagne

title: Caractéristiques

Taille: Moyenne

Robe: Noir jais

title: Autre

Diffusion: Locale

Autre: modifier


text:
# Stape
Stape est un village et une paroisse civile du Yorkshire du Nord, en Angleterre.

title: Stape

wikitext:
{{ébauche|localité anglaise}}
{{Infobox Localité
 | géolocalisation = Royaume-Uni/Angleterre
}}

'''Stape''' est un village et une [[paroisse civile (Royaume-Uni)|paroisse civile]] du [[Yorkshire du Nord]], en [[Angleterre]]<ref>{{Lien web |langue=en |titre=Stape |url=https://britishplacenames.uk/stape-north-yorkshire-se796922 |site=britishplacenames.uk |consulté le=2025-03-22}}</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}
== Liens externes ==

{{Autres projets | commons = Category:Stape}}

{{Liens}}

{{Portail|Angleterre}}

[[Catégorie:Village dans le Yorkshire du Nord]]
[[Catégorie:Paroisse civile dans le Yorkshire du Nord]]

title: Géographie

Pays: Royaume-Uni

Région:
Yorkshire-et-Humber
Angleterre du Nord-Est

Comté cérémonial: Yorkshire du Nord

Région du conseil: Yorkshire du Nord

District non métropolitain: Ryedale

title: Démographie

title: Fonctionnement

Statut: Village, paroisse civile

title: Identifiants


text:
# Cône tangent
En analyse convexe, le cône tangent au sens de Bouligand, ou cône contingent, est une certaine approximation au premier ordre d'un ensemble en un point, comme l'application dérivée d'une fonction est son approximation au premier ordre en un point. Cette notion est par exemple utilisée pour établir les conditions d'optimalité du premier ordre des problèmes d'optimisation de dimension finie.

## Notations
Dans tout cet article, {\displaystyle E} désigne un espace vectoriel réel — topologique si nécessaire (si {\displaystyle E} est de dimension finie, on le suppose muni de sa topologie usuelle) — {\displaystyle X} une partie non vide de {\displaystyle E} et {\displaystyle x} un point de {\displaystyle E}. On note :
- {\displaystyle \Lambda X:=\{\lambda x\mid \lambda \in \Lambda ,x\in X\}}, pour tout {\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {R} } (lorsque {\displaystyle X=\{x\}}, on utilise la notation simplifiée {\displaystyle \Lambda x:=\Lambda \{x\}}). {\displaystyle X} est donc un cône si {\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}X\subset X}.
- {\displaystyle {\overline {X}}} l'adhérence de {\displaystyle X} ;
- {\displaystyle \operatorname {aff} X} son enveloppe affine, {\displaystyle \operatorname {ir} X} son intérieur relatif et {\displaystyle \partial _{\rm {rel}}X={\overline {X}}\setminus \operatorname {ir} X} sa frontière relative ;
- si {\displaystyle X} est un sous-espace affine : {\displaystyle {\overrightarrow {X}}} sa direction.

On note en outre :
- {\displaystyle \operatorname {Im} f} l'image d'une application {\displaystyle f} ;
- {\displaystyle \operatorname {Ker} f} le noyau d'une application linéaire {\displaystyle f} ;

## Cône des directions admissibles
Le cône des directions admissibles, ou cône radial de {\displaystyle X} en {\displaystyle x}, noté {\displaystyle \operatorname {R} _{X}(x)}, est défini par
{\displaystyle \operatorname {R} _{X}(x):=\{d\in E\mid x+td\in X} pour tout réel {\displaystyle t>0} petit{\displaystyle \}.}
Ce cône est donc vide si {\displaystyle x\notin \operatorname {aff} X}, et égal à {\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {aff} X}}} tout entier dès que {\displaystyle X-x} est une partie absorbante de ce sous-espace.

## Cône tangent
Comme pour le calcul de la dérivée d'une fonction, la définition des directions tangentes qui sont les éléments du cône tangent requiert un passage à la limite. Il n'est pas satisfaisant en effet de prendre le cône des directions admissibles comme cône tangent à {\displaystyle X} en {\displaystyle x}. Par exemple, le cône des directions admissibles à un cercle de {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} est vide en tout point, si bien que l'on ne retrouve pas, avec cette notion, celle des directions tangentes connue, aussi il en faut une nouvelle :
Direction tangente et cône tangent, au sens de Bouligand — Le cône tangent, ou ensemble des directions tangentes (au sens de Bouligand) à {\displaystyle X\subset E} en {\displaystyle x\in E}, noté {\displaystyle \operatorname {T} _{X}(x)} (ou parfois {\displaystyle \operatorname {T} (X,x)}), est défini par :
Il résulte de cette définition que {\displaystyle \operatorname {T} _{X}(x)} :
- est un cône fermé inclus dans l'adhérence de {\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {aff} X}}} ;
- est égal à cette adhérence dès que {\displaystyle x\in \operatorname {ir} X} (puisque {\displaystyle \operatorname {R} _{X}(x)\subset \operatorname {T} _{X}(x)}) ;
- est vide si {\displaystyle x\notin {\overline {X}}} (donc n'a d'intérêt que si {\displaystyle x\in \partial _{\rm {rel}}X}) ;
- est inchangé lorsqu'on remplace {\displaystyle X} par {\displaystyle {\overline {X}}} ;
- commute aux réunions finies, c'est-à-dire : {\displaystyle \operatorname {T} _{X\cup Y}(x)=\operatorname {T} _{X}(x)\cup \operatorname {T} _{Y}(x)} (pour toute partie {\displaystyle Y} de {\displaystyle E}) ;
- est donc une fonction croissante de {\displaystyle X}, c'est-à-dire : {\displaystyle X\subset Y\Rightarrow \operatorname {T} _{X}(x)\subset \operatorname {Y} _{Y}(x)}, ce qui s'écrit aussi, par exemple : {\displaystyle \operatorname {T} _{\cap _{i\in I}X_{i}}(x)\subset \cap _{i\in I}\operatorname {T} _{X_{i}}(x)} (pour toute famille non vide[5] {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} de parties de {\displaystyle E}).

Lorsque {\displaystyle E} est à bases dénombrables de voisinages, par exemple lorsque c'est un espace vectoriel normé, l'adhérence d'une partie de {\displaystyle E} se réduit à sa fermeture séquentielle, et la définition du cône tangent se traduit alors par :

{\displaystyle d\in \operatorname {T} _{X}(x)} s'il existe des suites {\displaystyle \{t_{k}\}\subset \mathbb {R} } et {\displaystyle \{x_{k}\}} telles que

{\displaystyle \{x_{k}\}\subset X,\qquad t_{k}\to 0^{+}\qquad {\mbox{et}}\qquad {\frac {x_{k}-x}{t_{k}}}\to d}
 ou encore, s'il existe des suites {\displaystyle \{t_{k}\}\subset \mathbb {R} } et {\displaystyle \{d_{k}\}\subset E} telles que

{\displaystyle x+t_{k}d_{k}\in X,\qquad t_{k}\to 0^{+}\qquad {\mbox{et}}\qquad d_{k}\to d.}

Autrement dit, {\displaystyle d\in \operatorname {T} _{X}(x)} s'il existe une suite de vecteurs {\displaystyle d_{k}\in E} convergeant vers {\displaystyle d}, telle que {\displaystyle x+\mathbb {R} _{+}^{*}d_{k}} rencontre {\displaystyle X} en des points de plus en plus proches de {\displaystyle x} lorsque {\displaystyle k\to \infty }.

## Cône normal
Pour définir le cône normal, on a besoin d'un produit scalaire sur {\displaystyle E}. On suppose donc que {\displaystyle E} est un espace préhilbertien et l'on note {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } son produit scalaire.
Vecteur normal, cône normal — Le cône normal, ou ensemble des vecteurs normaux à {\displaystyle X} en {\displaystyle x\in {\overline {X}}}, noté {\displaystyle \operatorname {N} _{X}(x)}, est le cône dual négatif du cône tangent : {\displaystyle \operatorname {N} _{X}(x):=-{\operatorname {T} _{X}(x)}^{*}} :
Par conséquent, {\displaystyle \operatorname {N} _{X}(x)} est un cône convexe fermé.
Exemple
Soit {\displaystyle X} le cône (non convexe) {\displaystyle (\mathbb {R} _{+}\times \{0\})\cup (\{0\}\times \mathbb {R} _{+})}. Alors, {\displaystyle \operatorname {T} _{X}(0)=X} donc {\displaystyle \operatorname {N} _{X}(0)=\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{-}}.

## Cas d'un convexe
Dans le cas où l'ensemble est convexe, le calcul du cône tangent et du cône normal se simplifient.
Cônes tangent et normal à un convexe — Dans un espace vectoriel topologique {\displaystyle E}, soit {\displaystyle x} un point de l'adhérence d'un convexe {\displaystyle C}. Alors :
- {\displaystyle \operatorname {T} _{C}(x)={\overline {\mathbb {R} _{+}(C-x)}}} ;
- {\displaystyle \operatorname {N} _{C}(x)=-(C-x)^{*}} et {\displaystyle \operatorname {T} _{C}(x)=-\operatorname {N} _{C}(x)^{*}}, en supposant que {\displaystyle E} est préhilbertien.

Transport affine des cônes tangent et normal à un convexe : image directe — Soient {\displaystyle E} et {\displaystyle F} deux espaces vectoriels topologiques, {\displaystyle a:E\to F:x\mapsto Ax+b} une application affine continue ({\displaystyle A:E\to F} est linéaire continue et {\displaystyle b\in F}), et {\displaystyle x} un point de l'adhérence d'un convexe {\displaystyle C\subset E}.
1. {\displaystyle \operatorname {T} _{a(C)}{(a(x))}={\overline {A[\operatorname {T} _{C}{(x)}]}}} ;
2. {\displaystyle \operatorname {N} _{a(C)}{(a(x))}=(A^{*})^{-1}[\operatorname {N} _{C}(x)]}, en supposant que {\displaystyle E} est hilbertien et {\displaystyle F} préhilbertien, et en notant {\displaystyle A^{*}} l'adjoint de {\displaystyle A}.

### Cas d'un convexe en dimension finie
En dimension finie, grâce à l'existence d'hyperplans d'appui, on déduit de l'expression ci-dessus de {\displaystyle \operatorname {N} _{C}(x)} :
Vecteur non nul normal à un convexe — Dans un espace euclidien, soit {\displaystyle x} un point de la frontière relative d'un convexe {\displaystyle C}. Alors, {\displaystyle \operatorname {N} _{C}(x)\cap {\overrightarrow {\operatorname {aff} (C)}}} contient un vecteur non nul.
- Si vous ne connaissez pas le sujet, laissez ce bandeau (vous pouvez alors contacter les auteurs).
- Si vous supprimez le contenu mis en cause (vous pouvez préalablement contacter les auteurs),

argumentez précisément cette suppression dans la page de discussion
(un manque de référence n'est pas un argument ; une recherche réelle de référence doit avoir été effectuée, être formellement documentée).
Le transport affine par image réciproque est moins classique que celui (ci-dessus) par image directe, et nécessite plus de précautions :
Transport affine des cônes tangent et normal à un convexe : image réciproque[réf. nécessaire] — Soient {\displaystyle E} et {\displaystyle F} deux espaces euclidiens, {\displaystyle a:E\to F:x\mapsto Ax+b} une application affine, {\displaystyle A^{*}} l'adjoint de {\displaystyle A}, {\displaystyle D\subset F} un convexe, et {\displaystyle x\in {\overline {a^{-1}(D)}}}.
1. {\displaystyle \operatorname {N} _{a^{-1}(D)}{(x)}=A^{*}[\operatorname {N} _{D\cap \operatorname {Im} a}(a(x))]}. En particulier, l'ensemble {\displaystyle A^{*}[\operatorname {N} _{D\cap \operatorname {Im} a}(a(x))]} est fermé ;
2. {\displaystyle \operatorname {T} _{a^{-1}(D)}{(x)}=A^{-1}[\operatorname {T} _{D\cap \operatorname {Im} a}(a(x))]}.

## Exemples

### Polyèdre convexe
Soit {\displaystyle P} un polyèdre convexe de {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, que l'on suppose donné comme une intersection d'un nombre fini de demi-espaces :
{\displaystyle P:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\leqslant b\}},
où {\displaystyle A} est une matrice de type {\displaystyle m\times n}, {\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{m}} et l'inégalité est entendue composante par composante : {\displaystyle (Ax)_{i}\leqslant b_{i}} pour tout {\displaystyle i\in \{1,\ldots ,m\}}. On note pour un point {\displaystyle x\in P} :
{\displaystyle I(x):=\{i\in \mathbb {N} \mid 1\leqslant i\leqslant m,~(Ax-b)_{i}=0\}}.
Alors les cônes tangent et normal en {\displaystyle x\in P} s'écrivent
où {\displaystyle A_{i}^{\!\top \!}\in \mathbb {R} ^{n}} est le vecteur formé par la ligne {\displaystyle i} de {\displaystyle A} et « {\displaystyle \operatorname {cone} } » désigne l'opérateur qui prend l'enveloppe conique d'un ensemble (le plus petit cône convexe pointé contenant l'ensemble). Pour l'écriture du cône normal, on a supposé que {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} était muni du produit scalaire euclidien.

### Cône convexe fermé
Soient {\displaystyle C} un cône convexe fermé d'un espace euclidien et {\displaystyle x\in C}. Alors,
en particulier, {\displaystyle \operatorname {N} _{C}(0)=-C^{*}} et {\displaystyle \operatorname {T} _{C}(0)=C}.
Remarquons que {\displaystyle C+\mathbb {R} x} n'est pas toujours fermé (donc l'image d'un cône convexe fermé {\displaystyle C\times D} par l'application linéaire {\displaystyle +} n'est pas toujours fermée). Par exemple, dans l'espace {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} des matrices symétriques réelles d'ordre {\displaystyle n}, muni du produit scalaire usuel ({\displaystyle \langle A,B\rangle :=\operatorname {tr} (AB)} où {\displaystyle \operatorname {tr} } désigne la trace), soit {\displaystyle \mathbb {S} _{+}^{n}} le cône (autodual) de celles qui sont positives. Les cônes normal et tangent à {\displaystyle \mathbb {S} _{+}^{n}} en {\displaystyle A\in \mathbb {S} _{+}^{n}} s'écrivent
Ainsi pour {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}, {\displaystyle \mathbb {S} _{+}^{2}+\mathbb {R} A=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}\in \mathbb {S} ^{2}~\right|~(b=c=0)\quad {\text{ou}}\quad c>0\right\}} et {\displaystyle \operatorname {T} _{\mathbb {S} _{+}^{2}}{(A)}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}\in \mathbb {S} ^{2}~\right|~c\geq 0\right\}}.

## Qualification de contraintes
Un ensemble peut être représenté au moyen de fonctions. Par exemple, on peut utiliser des contraintes d'égalité et d'inégalité comme ci-dessous
{\displaystyle X=\{x\in E\mid c_{E}(x)=0,c_{I}(x)\leqslant 0\},}
où les contraintes d'égalité sont définies au moyen de la fonction {\displaystyle c_{E}:E\to \mathbb {R} ^{m_{E}}} et les contraintes d'inégalité sont définies au moyen de la fonction {\displaystyle c_{I}:E\to \mathbb {R} ^{m_{I}}}. L'inégalité vectorielle {\displaystyle c_{I}(x)\leqslant 0} doit ici être entendue composante par composante. On note {\displaystyle E} l'ensemble des indices des contraintes d'égalité, qui s'écrivent donc aussi {\displaystyle c_{i}(x)=0} pour tout indice {\displaystyle i\in E}. De même pour l'ensemble {\displaystyle I} des contraintes d'inégalité.
Se pose alors la question de savoir calculer le cône tangent en un point {\displaystyle x} à partir des dérivées premières des fonctions {\displaystyle c_{E}} et {\displaystyle c_{I}} en {\displaystyle x}.
Il est naturel de s'intéresser à l'expression suivante obtenue en linéarisant les fonctions {\displaystyle c_{E}} et {\displaystyle c_{I}} en {\displaystyle x} :
{\displaystyle \operatorname {T} '_{X}(x):=\{d\in E\mid c'_{E}(x)\cdot d=0,\;c'_{I^{0}(x)}(x)\cdot d\leqslant 0\},}
où l'on a noté
{\displaystyle I^{0}(x):=\{i\in I\mid c_{i}(x)=0\}.}
On peut montrer que, sous des hypothèses raisonnables, on a toujours
On aimerait avoir égalité pour pouvoir calculer le cône tangent par une formule explicite, mais cette égalité n'est pas toujours vérifiée. On dit que les contraintes (on devrait dire les fonctions définissant les contraintes) {\displaystyle c_{E}} et {\displaystyle c_{I}} sont qualifiées en {\displaystyle x} si {\displaystyle \operatorname {T} _{X}(x)=\operatorname {T} '_{X}(x).} Comme {\displaystyle \operatorname {T} _{X}(x)} ne dépend que de l'ensemble {\displaystyle X}, pas des fonctions {\displaystyle c_{E}} et {\displaystyle c_{I}}, il s'agit d'une notion assurant que la représentation de {\displaystyle X} par {\displaystyle c_{E}} et {\displaystyle c_{I}} convient.

title: Cône tangent

wikitext:
En [[analyse convexe]], le '''cône tangent''' au sens de [[Georges Bouligand|Bouligand]], ou '''cône contingent'''<ref>G. Bouligand, ''Introduction à la géométrie infinitésimale directe'', Paris, [[Gauthier-Villars]], 1932.</ref>, est une certaine approximation au premier ordre d'un [[ensemble]] en un point, comme l'[[Dérivée|application dérivée]] d'une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] est son [[Approximation affine|approximation au premier ordre]] en un point. Cette notion est par exemple utilisée pour établir les [[Conditions d'optimalité (dimension finie)|conditions d'optimalité]] du premier ordre des problèmes d'[[Optimisation (mathématiques)|optimisation]] de dimension finie.

== Notations ==
Dans tout cet article, <math>E</math> désigne un [[espace vectoriel]] [[Nombre réel|réel]] — [[Espace vectoriel topologique|topologique]] si nécessaire (si <math>E</math> est [[espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]], on le suppose muni de [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|sa topologie usuelle]]) — <math>X</math> une partie non vide de <math>E</math> et <math>x</math> un point de <math>E</math>. On note :
*<math>\Lambda X:=\{\lambda x\mid\lambda\in\Lambda, x\in X\}</math>, pour tout <math>\Lambda\subset\R</math> (lorsque <math>X=\{x\}</math>, on utilise la notation simplifiée <math>\Lambda x:=\Lambda\{x\}</math>). <math>X</math> est donc un [[Cône (analyse convexe)|cône]] si <math>\R_+^*X\subset X</math>.
* <math>\overline{X}</math> l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] de <math>X</math> ;
*<math>\operatorname{aff}X</math> son [[Sous-espace affine engendré|enveloppe affine]], <math>\operatorname{ir}X</math> son [[intérieur relatif]] et <math>\partial_{\rm rel}X=\overline X\setminus\operatorname{ir}X</math> sa frontière relative ;
*si <math>X</math> est un [[sous-espace affine]] : <math>\overrightarrow X</math> sa [[Espace affine#Première définition|direction]].

On note en outre :
*<math>\operatorname{Im}f</math> l'[[image d'une application]] <math>f</math> ;
*<math>\operatorname{Ker}f</math> le [[Noyau (algèbre)#Noyau d'une application linéaire|noyau]] d'une [[application linéaire]] <math>f</math> ;

== Cône des directions admissibles ==
Le ''cône des directions admissibles'', ou ''cône radial''<ref>{{Harvsp|Bonnans|Shapiro|2000|p=44}}. Pour de nombreuses autres dénominations, voir {{Harvsp|Khan|Tammer|Zălinescu|2015|p=111}}.</ref> de <math>X</math> en <math>x</math>, noté <math>\operatorname{R}_X(x)</math>, est défini par
{{Centrer|
<math>
\operatorname R_X(x):=\{d\in E\mid x+td\in X</math> pour tout réel <math>t>0</math> petit<math>\}.
</math>
}}

Ce cône est donc vide si <math>x\notin\operatorname{aff}X</math>, et égal à <math>\overrightarrow{\operatorname{aff}X}</math> tout entier dès que <math>X-x</math> est une [[Espace vectoriel topologique#Ensemble absorbant|partie absorbante]] de ce sous-espace.

== Cône tangent ==
Comme pour le calcul de la dérivée d'une fonction, la définition des directions tangentes qui sont les éléments du cône tangent requiert un passage à la limite. Il n'est pas satisfaisant en effet de prendre le ''cône des directions admissibles'' comme cône tangent à <math>X</math> en <math>x</math>. Par exemple, le cône des directions admissibles à un cercle de <math>\R^2</math> est vide en tout point, si bien que l'on ne retrouve pas, avec cette notion, celle des directions tangentes connue, aussi il en faut une nouvelle :

{{Théorème|Direction tangente et cône tangent, au sens de Bouligand<ref>{{Harvsp|Bonnans|Shapiro|2000|p=40 et 44}}.</ref>|Le ''cône tangent'', ou ensemble des ''directions tangentes'' (au sens de Bouligand) à <math>X\subset E</math> en <math>x\in E</math>, noté <math>\operatorname T_X(x)</math> (ou parfois <math>\operatorname T(X,x)</math>)<ref>En [[Espace tangent|géométrie différentielle]], l'[[espace tangent]] est noté <math>\operatorname T_xX</math>.</ref>, est défini par :
{{Centrer|<math>\operatorname T_X(x):=\cap_{\varepsilon>0}\overline{\left]1/\varepsilon,+\infty\right[\;(X-x)}</math>.}}
}}

Il résulte de cette définition que <math>\operatorname T_X(x)</math> :
*est un cône [[Fermé (topologie)|fermé]] inclus dans l'adhérence de <math>\overrightarrow{\operatorname{aff}X}</math> ;
*est égal à cette adhérence dès que <math>x\in\operatorname{ir}X</math> (puisque <math>\operatorname R_X(x)\subset\operatorname T_X(x)</math>) ;
*est vide si <math>x\notin\overline X</math> (donc n'a d'intérêt que si <math>x\in\partial_{\rm rel}X</math>) ;
*est inchangé lorsqu'on remplace <math>X</math> par <math>\overline X</math> ;
*commute aux réunions finies, c'est-à-dire : <math>\operatorname T_{X\cup Y}(x)=\operatorname T_X(x)\cup\operatorname T_Y(x)</math> (pour toute partie <math>Y</math> de <math>E</math>) ;
*est donc une fonction croissante de <math>X</math>, c'est-à-dire : <math>X\subset Y\Rightarrow\operatorname T_X(x)\subset\operatorname Y_Y(x)</math>, {{Retrait|ce qui s'écrit aussi, par exemple : <math>\operatorname T_{\cap_{i\in I}X_i}(x)\subset\cap_{i\in I}\operatorname T_{X_i}(x)</math> (pour toute [[Famille (mathématiques)|famille]] non vide<ref>En dimension finie, pour avoir l'égalité, on se sert de [[Qualification de contraintes|conditions de qualification]] des <math>X_i</math>, un enjeu important dans l'écriture des [[Conditions d'optimalité (dimension finie)|conditions d'optimalité]] en optimisation.</ref> <math>(X_i)_{i\in I}</math> de parties de <math>E</math>).}}

Lorsque <math>E</math> est [[à bases dénombrables de voisinages]], par exemple lorsque c'est un [[espace vectoriel normé]], l'adhérence d'une partie de <math>E</math> se réduit à sa [[Espace séquentiel#Fermeture séquentielle|fermeture séquentielle]], et la définition du cône tangent se traduit alors par :

{{énoncé|<math>d\in\operatorname T_X(x)</math> s'il existe des suites <math>\{t_k\} \subset\R</math> et <math>\{x_k\}</math> telles que
{{Centrer|
<math>
\{x_k\} \subset X,\qquad t_k\to0^+\qquad\mbox{et}\qquad\frac{x_k - x}{t_k}\to d
</math>
}} ou encore, s'il existe des suites <math>\{t_k\} \subset\R</math> et <math>\{d_k\}\subset E</math> telles que
{{Centrer|
<math>
x+t_kd_k\in X, \qquad t_k\to0^+\qquad \mbox{et}\qquad d_k \to d.
</math>
}}
}}

Autrement dit, <math>d\in\operatorname T_X(x)</math> s'il existe une suite de vecteurs <math>d_k\in E</math> convergeant vers <math>d</math>, telle que <math>x+\R_+^*d_k</math> rencontre <math>X</math> en des points de plus en plus proches de <math>x</math> lorsque <math>k\to\infty</math>.

== Cône normal ==
Pour définir le cône normal, on a besoin d'un [[produit scalaire]] sur <math> E</math>. On suppose donc que <math>E</math> est un [[espace préhilbertien]] et l'on note <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> son produit scalaire.

{{Théorème|Vecteur normal, cône normal|Le ''cône normal'', ou ensemble des ''vecteurs normaux'' à <math>X</math> en <math>x\in\overline X</math>, noté <math>\operatorname N_X(x)</math>, est le [[Cône dual|cône dual négatif]] du cône tangent : <math>\operatorname N_X(x):=-{\operatorname T_X(x)}^*</math> :
{{Centrer|<math>p\in\operatorname N_X(x)\Leftrightarrow\forall d\in\operatorname T_X(x)\quad\langle p,d\rangle\leqslant0.</math>}}}}

Par conséquent, <math>\operatorname N_X(x)</math> est un [[cône convexe]] fermé.

;Exemple
:Soit <math>X</math> le cône (non [[ensemble convexe|convexe]]) <math>(\R_+\times\{0\})\cup(\{0\}\times\R_+)</math>. Alors, <math>\operatorname T_X(0)=X</math> donc <math>\operatorname N_X(0)=\R_-\times\R_-</math>.

== Cas d'un convexe ==
{{Ancre|Propriétés}}
Dans le cas où l'ensemble est convexe, le calcul du cône tangent et du cône normal se simplifient.

{{Théorème|Cônes tangent et normal à un convexe|Dans un espace vectoriel topologique <math>E</math>, soit <math>x</math> un point de l'[[Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe#Adhérence d'un convexe|adhérence d'un convexe]]<!--automatiquement non vide d'après l'existence de x--> <math>C</math>. Alors :
*<math>\operatorname T_C(x)=\overline{\R_+(C-x)}</math> ;
*<math>\operatorname N_C(x)=-(C-x)^*</math> et <math>\operatorname T_C(x)=-\operatorname N_C(x)^*</math>, en supposant que <math>E</math> est préhilbertien.}}

{{Théorème|Transport affine des cônes tangent et normal à un convexe : [[image directe]]|Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux espaces vectoriels topologiques, <math>a:E\to F:x\mapsto Ax+b</math> une [[application affine]] continue (<math>A:E\to F</math> est linéaire continue et <math>b\in F</math>), et <math>x</math> un point de l'adhérence d'un convexe <math>C\subset E</math>.
#<math>\operatorname T_{a(C)}{(a(x))}=\overline{A[\operatorname T_C{(x)}]}</math> ;
#<math>\operatorname N_{a(C)}{(a(x))}=(A^*)^{-1}[\operatorname N_C(x)]</math>, en supposant que <math>E</math> est [[Espace de Hilbert|hilbertien]] et <math>F</math> préhilbertien, et en notant <math>A^*</math> l'[[Opérateur adjoint#Préhilbertien|adjoint]] de <math>A</math>.
}}

{{Démonstration|
On se ramène facilement par translation au cas où <math>b=0</math> (donc <math>a=A</math>) et <math>x=0</math> (donc <math>A(x)=0</math>).
#<math>\operatorname T_{A(C)}{(0)}=\overline{\R_+A(C)}=\overline{A(\R_+C)}=\overline{A(\overline{\R_+C})}=\overline{A[\operatorname T_C{(0)}]}</math>. L'adhérence est ici nécessaire, puisque par exemple {{infra|Cône convexe fermé}} si <math>C</math> est un cône convexe fermé alors <math>\operatorname T_C{(0)}=C</math> et <math>A(C)</math> n'est pas nécessairement fermé ;
#<math>\operatorname N_{A(C)}{(0)}=-A(C)^*=-(A^*)^{-1}(C^*)=(A^*)^{-1}[\operatorname N_C(0)]</math>.
}}

=== Cas d'un convexe en dimension finie ===
En dimension finie, grâce à l'[[Séparation des convexes#Hyperplans d'appui|existence d'hyperplans d'appui]], on déduit de l'expression ci-dessus de <math>\operatorname N_C(x)</math> :

{{Théorème|Vecteur non nul normal à un convexe|Dans un [[espace euclidien]], soit <math>x</math> un point de la [[frontière relative d'un convexe]] <math>C</math>. Alors, <math>\operatorname N_C(x)\cap\overrightarrow{\operatorname{aff}(C)}</math> contient un vecteur non nul.}}

{{section TI|date=février 2017}}
Le transport affine par [[image réciproque]] est moins classique que celui (ci-dessus) par image directe, et nécessite plus de précautions :

{{Théorème|{{refnec|date=février 2017|Transport affine des cônes tangent et normal à un convexe : image réciproque}}|Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux espaces euclidiens<ref>Dans l'expression du cône tangent (point 2), les produits scalaires (sur ''E'' et ''F'' de dimensions finies) sont un outil de calcul mais n'interviennent pas dans le résultat.</ref>, <math>a:E\to F:x\mapsto Ax+b</math> une application affine, <math>A^*</math> l'adjoint de <math>A</math>, <math>D\subset F</math> un convexe, et <math>x\in\overline{a^{-1}(D)}</math>.
#<math>\operatorname N_{a^{-1}(D)}{(x)}=A^*[\operatorname N_{D\cap\operatorname{Im}a}(a(x))]</math>. En particulier, l'ensemble <math>A^*[\operatorname N_{D\cap\operatorname{Im} a}(a(x))]</math> est fermé ;
#<math>\operatorname T_{a^{-1}(D)}{(x)}=A^{-1}[\operatorname T_{D\cap\operatorname{Im}a}(a(x))]</math>.}}

{{Démonstration|
Comme précédemment, supposons [[sans perte de généralité]] que <math>b=0</math> et <math>x=0</math>.
#Puisque <math>\overline{A^{-1}(D)}</math> est stable par translation par <math>\operatorname{Ker}A</math> et (par hypothèse) contient <math>0</math>, il contient <math>\operatorname{Ker}A</math>, donc son dual <math>A^{-1}(D)^*</math> est inclus dans <math>(\operatorname{Ker}A)^*=\operatorname{Im}{(A^*)}</math>. Par conséquent, <math>\operatorname N_{A^{-1}(D)}{(0)}=-A^{-1}(D)^*=-A^{-1}(D)^*\cap\operatorname{Im}{(A^*)}=-A^*[(D\cap\operatorname{Im}A)^*]=A^*[\operatorname N_{D\cap\operatorname{Im}A}(0)]</math>. La fermeture de cet ensemble peut paraître surprenante car {{infra|Cône convexe fermé}} l'image par une application linéaire d'un cône convexe fermé n'est pas nécessairement fermée. En guise de certification, voici une autre preuve de ce fait. On sait que l'image par l'application linéaire <math>A^*</math> d'une partie <math>K\subset F</math> est fermée si et seulement si <math>K+\operatorname{Ker}{(A^*)}</math> est fermé. Dans le cas présent, <math>K:=\operatorname N_{D\cap\operatorname{Im}A}(0)=-\left(D\cap\operatorname{Im}A\right)^*</math> est un cône convexe fermé qui contient <math>(\operatorname{Im}A)^*=\operatorname{Ker}{(A^*)}</math>, si bien que <math>K+\operatorname{Ker}{(A^*)}=K</math> est fermé ;
#<math>\operatorname T_{A^{-1}(D)}{(0)}=-[\operatorname N_{A^{-1}(D)}{(0)}]^*=-[A^*[\operatorname N_{D\cap\operatorname{Im}A}(0)]]^*=A^{-1}[-[\operatorname N_{D\cap\operatorname{Im}A}(0)]^*]=A^{-1}[\operatorname T_{D\cap\operatorname{Im}A}(0)]</math>.
}}

== Exemples ==

=== Polyèdre convexe ===
Soit <math>P</math> un [[polyèdre convexe]] de <math>\R^n</math>, que l'on suppose donné comme une intersection d'un nombre fini de [[demi-espace]]s :
{{Centrer|
<math>
P:=\{x\in\R^n\mid Ax\leqslant b\}
</math>,
}}
où <math>A</math> est une [[Matrice (mathématiques)|matrice]] de type <math>m\times n</math>, <math>b\in\R^m </math> et l'inégalité est entendue composante par composante : <math>(Ax)_i\leqslant b_i</math> pour tout <math>i\in\{1,\ldots,m\}</math>. On note pour un point <math>x\in P</math> :
{{Centrer|
<math>
I(x):=\{i\in\N\mid1\leqslant i\leqslant m,~(Ax-b)_i=0\}
</math>.
}}
Alors les cônes tangent et normal en <math>x\in P</math> s'écrivent
{{Centrer|<math>\operatorname T_P(x)=\operatorname R_P(x)=\{d\in\R^n\mid(Ad)_{I(x)}\leqslant 0\}\quad\text{et}\quad\operatorname N_P(x)=\operatorname{cone}\{A_i^{\!\top\!}\mid i\in I(x)\}</math>,}}
où <math>A_i^{\!\top\!}\in\R^n</math> est le vecteur formé par la ligne <math>i</math> de <math>A</math> et « <math>\operatorname{cone}</math> » désigne l'opérateur qui prend l'[[Cône (analyse convexe)#Enveloppe conique|enveloppe conique]] d'un ensemble (le plus petit cône convexe pointé contenant l'ensemble). Pour l'écriture du cône normal, on a supposé que <math>\R^n</math> était muni du produit scalaire euclidien.

=== Cône convexe fermé ===
Soient <math>C</math> un cône convexe fermé d'un espace euclidien<ref>{{Harvsp|Hiriart-Urruty|Lemaréchal|1993|p=137}}, {{Lang|en|Examples}} 5.2.6 (a).</ref> et <math>x\in C</math>. Alors, {{Centrer|<math>\operatorname N_C(x)=(-C^*)\cap(x^\bot)\quad\text{donc}\quad\operatorname T_C(x)=\overline{C+\R x}</math>,}}
en particulier, <math>\operatorname N_C(0)=-C^*</math> et <math>\operatorname T_C(0)=C</math>.

Remarquons que <math>C+\R x</math> n'est pas toujours fermé (donc l'image d'un cône convexe fermé <math>C\times D</math> par l'application linéaire <math>+</math> n'est pas toujours fermée). Par exemple, dans l'espace <math>\mathbb S^n</math> des [[Matrice symétrique|matrices symétriques]] réelles d'ordre <math>n</math>, muni du produit scalaire usuel (<math>\langle A,B\rangle:=\operatorname{tr}(AB)</math> où <math>\operatorname{tr}</math> désigne la [[Trace (algèbre)|trace]]), soit <math>\mathbb S^n_+</math> le cône ([[Cône dual|autodual]]) de [[Matrice autoadjointe positive#Le cas réel|celles qui sont positives]]. Les cônes normal et tangent à <math>\mathbb{S}^n_+</math> en <math>A\in\mathbb{S}^n_+</math> s'écrivent
{{Centrer|<math>\operatorname N_{\mathbb S^n_+}{(A)}=(-\mathbb S^n_+)\cap(A^\bot)\quad\text{et}\quad\operatorname T_{\mathbb S^n_+}{(A)}=\{D\in\mathbb{S}^n\mid\forall v\in\operatorname{Ker}A\;\;v^{\!\top\!} Dv\geqslant 0\}.</math>}}
Ainsi pour <math>A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}</math>, <math>\mathbb S^2_++\R A=\left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\in\mathbb S^2~\right|~(b=c=0)\quad\text{ou}\quad c>0\right\}</math> et <math>\operatorname T_{\mathbb S^2_+}{(A)}=\left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\in\mathbb S^2~\right|~c\ge0\right\}</math>.

== Qualification de contraintes ==
{{Article détaillé|Qualification de contraintes}}
Un ensemble peut être représenté au moyen de fonctions. Par exemple, on peut utiliser des ''contraintes'' d'égalité et d'inégalité comme ci-dessous
{{Centrer|
<math>
X=\{x\in E\mid c_E(x)=0, c_I(x)\leqslant 0\},
</math>
}}
où les ''contraintes d'égalité'' sont définies au moyen de la fonction <math>c_E:E\to\R^{m_E}</math> et les ''contraintes d'inégalité'' sont définies au moyen de la fonction <math>c_I:E\to\R^{m_I}</math>. L'inégalité vectorielle <math>c_I(x)\leqslant 0</math> doit ici être entendue composante par composante. On note <math>E</math> l'ensemble des indices des contraintes d'égalité, qui s'écrivent donc aussi <math>c_i(x)=0</math> pour tout indice <math>i\in E</math>. De même pour l'ensemble <math>I</math> des contraintes d'inégalité.

Se pose alors la question de savoir calculer le cône tangent en un point <math>x</math> à partir des dérivées premières des fonctions <math>c_E</math> et <math>c_I</math> en <math>x</math>.

Il est naturel de s'intéresser à l'expression suivante obtenue en linéarisant les fonctions <math>c_E</math> et <math>c_I</math> en <math>x</math> :
{{Centrer|
<math>
\operatorname T'_X(x):=\{d \in E\mid c'_E(x)\cdot d = 0, \; c'_{I^0(x)} (x) \cdot d \leqslant 0\},
</math>
}}
où l'on a noté
{{Centrer|
<math>
I^0(x) := \{i \in I\mid c_i (x) = 0\}.
</math>
}}
On peut montrer que, sous des hypothèses raisonnables, on a toujours
{{Bloc emphase|espacement=1.5ex|<math>\operatorname T_X(x)\subset\operatorname T'_X(x).</math>}}
On aimerait avoir égalité pour pouvoir calculer le cône tangent par une formule explicite, mais cette égalité n'est pas toujours vérifiée. On dit que les ''contraintes'' (on devrait dire les fonctions définissant les contraintes) <math>c_E</math> et <math>c_I</math> sont '''qualifiées en <math>x</math>''' si <math>\operatorname T_X(x)= \operatorname T'_X(x).</math> Comme <math>\operatorname T_X(x)</math> ne dépend que de l'ensemble <math>X</math>, pas des fonctions <math>c_E</math> et <math>c_I</math>, il s'agit d'une notion assurant que la représentation de <math>X</math> par <math>c_E</math> et <math>c_I</math> convient.

== Annexes ==

=== Notes et références ===
{{Références|colonnes=2}}

=== Bibliographie ===
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=J. F. Bonnans|auteur2=A. Shapiro|année=2000|titre=Perturbation Analysis of Optimization Problems|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|lieu=New York|url={{Google Livres|ET70F9HgIpIC}}}}
*{{Ouvrage|auteur=J.-B. Hiriart-Urruty|titre=Optimisation et analyse convexe|éditeur=[[EDP Sciences]]|année=2009|année première édition=1998, [[PUF]]|url={{Google Livres|Zvl_RSHhJoQC}}}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=J.-B. Hiriart-Urruty|auteur2=C. Lemaréchal|année=1993|titre=Convex Analysis and Minimization Algorithms|vol=1|collection=[[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|Grund. math. Wiss.]]|numéro dans collection=305|éditeur=Springer|url={{Google Livres|Gdl4Jc3RVjcC|page=133}}|page=133-142}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=J.-B. Hiriart-Urruty|auteur2=C. Lemaréchal|titre=Fundamentals of Convex Analysis|éditeur=Springer|année=2004|année première édition=[https://books.google.fr/books?id=Ben6nm_yapMC 2001]|url={{Google Livres|hIYKBwAAQBAJ}}}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=Johannes Jahn|titre=Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization|année=2007|éditeur=Springer|numéro d'édition=3|année première édition=1994|numéro chapitre=4|chapitre=Tangent Cones|page=79-104}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=Akhtar A. Khan|auteur2=Christiane Tammer|auteur3=Constantin Zălinescu|titre=Set-valued Optimization: An Introduction with Applications|éditeur=Springer|année=2015|url={{Google Livres|icvlBAAAQBAJ|page=111}}}}
*{{Article|lang=en|auteur=[[Ralph Tyrrell Rockafellar|R. T. Rockafellar]]|année=1993|titre=Lagrange Multipliers and Optimality|revue=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] Review|vol=35|p.=183-238|url=http://www.math.washington.edu/~rtr/papers/rtr147-LagrangeMultipliers.pdf}}

=== Lien externe ===
J. Ch. Gilbert, ''[http://www-rocq.inria.fr/~gilbert/ensta/optim.html Éléments d'Optimisation Différentiable — Théorie et Algorithmes]'', syllabus de cours à l'[[École nationale supérieure de techniques avancées|ENSTA ParisTech]], Paris

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Optimisation différentiable]]
[[Catégorie:Analyse convexe]]