text:
# Sylvie Reff
Sylvie Reff, née le 19 juillet 1946 à Bischwiller en Alsace, est une auteur-compositeur-interprète, chanteuse, écrivain et poète française, s’exprimant dans les trois langues de l'Alsace : alsacien, allemand et français.

## Biographie
Après des études universitaires à Strasbourg, Sylvie Reff a écrit de nombreux ouvrages : romans, poésie, anthologies, pièces de théâtre, etc.
Traduite en huit langues, elle a donné près de cinq cents concerts dans toute l’Europe et a enregistré au moins quatre disques. Elle chante le monde dans sa langue natale et maternelle, l’alsacien, aux confluents d’autres langues (français, anglais, russe et allemand).
Elle participe à de nombreuses émissions de télévision : TF1, France 3, Arte, NDR Hamburg, SR Saarbrücken, SWF Baden-Baden, Freiburg/Br., Karlsruhe, Stuttgart, Innsbrück.
Sylvie Reff partage son temps entre l’écriture, la composition de chants, ateliers d’écriture, cours de danse, animation de chorale, collaboration à des revues et ouvrages collectifs : Le Monde, Eurochild, Poésie du monde-Seghers, Grüne Lieder, Frieden schaffen, Schreibende Frauen, Wir Frauen.

## Poésie
Poème de Sylvie Reff composé et publié à l’occasion du Printemps international des poètes en 2003.
Wenn mer jetzt net redde, met de warme Leebel vum Lààwe, wenn reddemer noo ?

D'Wunde wàre gewàsche em Graawe vum neje Johr

D'Miedischkeit kratzt sich aldi Kruschde üssem Herz. Alles hiilt fer an's Liecht :

Wenn heilt mer denn vum Lààwe ?
Une traduction — peut-être moins sensuelle et douloureuse que la version originale — est proposée par l'auteure et Roland Reutenauer, poète et enseignant alsacien :
Si nous ne parlons aujourd'hui avec nos lèvres chaudes de vie, Quand parlerons-nous ?

Les blessures se lavent au creux de l'année vierge

La fatigue s'arrache de vieilles croûtes du cœur : tout pleure vers la lumière

Quand donc peut-on guérir de la vie ?

## Récompenses
Sylvie Reff a obtenu de nombreux prix en France, en Allemagne et aux États-Unis :
- Prix Alef des libraires Tours 2003
- Prix de la Société des Écrivains d'Alsace, de Lorraine et du Territoire de Belfort en 1976
- Bretzel d'or de l’Institut des arts et traditions d’Alsace en 1982
- Grand Prix Maurice Betz, 1986[3]
- Hebeldankpreis, Lörrach, RFA en 1994
- Grand Prix de la ville de Colmar pour Lumière des vivants en 2003
- Grand Prix de Marlenheim 2003
- Grand Prix André Weckmann 2014

## Œuvres de Sylvie Reff

### Littérature
- Terre ouverte, poèmes, collection Chambellan, éditions Saint-Germain-des-Prés, Paris, 1971
- Soleil et cendres, poèmes, collection Chambellan, éd Saint-Germain-des-Prés, Paris, 1972
- Le deuxième homme, dramatique, France Culture, Paris, 1972
- Geschichte einer Gänsehüterin, poèmes en allemand 1975
- La Nef des vivants, roman Paris, éd  Stock, 1975
- Les Ailes du cœur, poèmes, Gundershoffen, éd Hanau, 1982
- Cette fureur tranquille, roman, Strasbourg, éd Rhénanes, 1986
- Soleil de prières : anthologie de prières du monde entier pour tous les moments de la vie, Paris, éd Albin Michel, 1989
- Source de feu, Les Herbiers (Vendée),éd  Écho optique, 1990
- Le Temps du miel, poèmes, éditions Caractères, Paris, 1992
- Mendiants d’étoiles, Paris, éd Caractères, 1994
- Servante du soleil, poèmes, éd Laudes Lyon, 1997
- De Zopf, récit trilingue, éd BF, Strasbourg, 2000 (traduit en esperanto en 2005 La Harplektaĵo)
- Lumière des vivants, roman, éditions Dervy-Albin Michel, octobre 2002.
- Blessures du vent, poèmes, éditions Editinter, 2010.
- Chant des Saisons, poèmes avec J.-P. Ehrisman, editions Coprur, Strasbourg 2009
- Passeurs de courage, anthologie éditions L'Harmattan, 2010.
- Schrei, deux récits trilingues, BF éditions Strasbourg 2014
- Trésor de Vivre, poèmes - col : poètes de la Parole éditions Olivétan Lyon 2017
- La patrie du vent, Dom éditions, 2018
- Le vent vous le dira, éditions Olivétan Lyon, janvier 2019

### Musique
- Miederle, Strasbourg, CEDE, 1978
- Läwesfiir, Strasbourg, EMA, 1983
- Menschelied Cassette Strasbourg EMA 1991
- Sternestrüss, CD col Liederbrunne S.l. s.n., 1995

title: Sylvie Reff

wikitext:
{{Infobox Biographie
| nom                 = Sylvie Reff
| image               = Sylviereff.jpg
| légende             = Sylvie Reff en octobre 2015.
| nom de naissance    =
| date de naissance   ={{date de naissance|19|juillet|1946|âge=oui}}
| lieu de naissance   = [[Bischwiller]]
| date de décès       =
| lieu de décès       =
| nationalité         = Française
| profession          = [[Auteur-compositeur-interprète]], [[chanteuse]], [[écrivain]] et [[poète]]
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| occupation          =
| hommage             =
| activités autres    =
| famille             =
}}
'''Sylvie Reff''', née le {{date de naissance|19|juillet|1946}} à [[Bischwiller]] en [[Alsace]]<ref>[http://www.alsace-culture.com/artiste-sylvie-reff-14.html Biographie sur le site ''alsace-culture.com'']</ref>, est une [[auteur-compositeur-interprète]], [[chanteuse]], [[écrivain]] et poète française, s’exprimant dans les trois langues de l'Alsace : [[alsacien|alsacien, allemand et français.]]

== Biographie ==
Après des études universitaires à [[Strasbourg]], Sylvie Reff a écrit de nombreux ouvrages : romans, poésie, anthologies, pièces de théâtre, etc.

Traduite en huit langues, elle a donné près de cinq cents concerts dans toute l’Europe et a enregistré au moins quatre disques. Elle chante le monde dans sa langue natale et maternelle, l’[[alsacien]], aux confluents d’autres langues (français, anglais, russe et allemand).

Elle participe à de nombreuses émissions de télévision : TF1, France 3, Arte, NDR Hamburg, SR Saarbrücken, SWF Baden-Baden, Freiburg/Br., Karlsruhe, Stuttgart, Innsbrück.

Sylvie Reff partage son temps entre l’écriture, la composition de chants, ateliers d’écriture, cours de danse, animation de chorale, collaboration à des revues et ouvrages collectifs : ''Le Monde'', Eurochild, Poésie du monde-Seghers, Grüne Lieder, Frieden schaffen, Schreibende Frauen, Wir Frauen.

== Poésie ==
[[Fichier:Sylvie Reff 29 03 2015 (2).JPG|vignette|upright|Sylvie Reff à Bischwiller (2015)]]
Poème de Sylvie Reff composé et publié à l’occasion du ''Printemps international des poètes'' en 2003<ref>Poésies du monde, anthologie citée, page 171</ref>.
{{Vers|langue=gsw|texte=''Wenn mer jetzt net redde, met de warme Leebel vum Lààwe, wenn reddemer noo ?''
''D'Wunde wàre gewàsche em Graawe vum neje Johr''
''D'Miedischkeit kratzt sich aldi Kruschde üssem Herz. Alles hiilt fer an's Liecht :''
''Wenn heilt mer denn vum Lààwe ?''}}

Une traduction — peut-être moins sensuelle et douloureuse que la version originale — est proposée par l'auteure et Roland Reutenauer, poète et enseignant alsacien :

{{vers|texte=Si nous ne parlons aujourd'hui avec nos lèvres chaudes de vie, Quand parlerons-nous ?
Les blessures se lavent au creux de l'année vierge
La fatigue s'arrache de vieilles croûtes du cœur : tout pleure vers la lumière
Quand donc peut-on guérir de la vie ?}}

== Récompenses ==
Sylvie Reff a obtenu de nombreux prix en France, en Allemagne et aux États-Unis :
* Prix Alef des libraires Tours 2003
* Prix de la [[Société des Écrivains d'Alsace, de Lorraine et du Territoire de Belfort]] en 1976
* [[Bretzel d'or]] de l’Institut des arts et traditions d’Alsace en 1982
* Grand Prix [[Maurice Betz]], 1986<ref>« Remise du Grand Prix Maurice Betz 1986 à Sylvie Reff », in ''Annales de l'Académie d'Alsace'', 1986</ref>
* ''Hebeldankpreis'', [[Lörrach]], RFA en 1994
* Grand Prix de la ville de [[Colmar]] pour ''Lumière des vivants'' en 2003
* Grand Prix de Marlenheim 2003
* Grand Prix [[André Weckmann]] 2014

==Œuvres de Sylvie Reff==

=== Littérature ===
* ''Terre ouverte'', poèmes, collection Chambellan, éditions Saint-Germain-des-Prés, Paris, 1971
* ''Soleil et cendres'', poèmes, collection Chambellan, éd Saint-Germain-des-Prés, Paris, 1972
* ''Le deuxième homme'', dramatique, [[France Culture]], Paris, 1972
* ''Geschichte einer Gänsehüterin'', poèmes en allemand 1975
* ''La Nef des vivants'', roman Paris, éd  [[Stock]], 1975
* ''Les Ailes du cœur'', poèmes, Gundershoffen, éd Hanau, 1982
* ''Cette fureur tranquille'', roman, Strasbourg, éd Rhénanes, 1986
* ''Soleil de prières : anthologie de prières du monde entier pour tous les moments de la vie'', Paris, éd [[Éditions Albin Michel|Albin Michel]], 1989
* ''Source de feu'', Les Herbiers (Vendée),éd  Écho optique, 1990
* ''Le Temps du miel'', poèmes, éditions Caractères, Paris, 1992
* ''Mendiants d’étoiles'', Paris, éd Caractères, 1994
* ''Servante du soleil'', poèmes, éd Laudes Lyon, 1997
* ''De Zopf'', récit trilingue, éd BF, Strasbourg, 2000 (traduit en [[esperanto]] en 2005 La Harplektaĵo)
* ''Lumière des vivants'', roman, éditions Dervy-Albin Michel, {{date-|octobre 2002}}.
* ''Blessures du vent'', poèmes, éditions Editinter, 2010.
* ''Chant des Saisons'', poèmes avec J.-P. Ehrisman, editions Coprur, Strasbourg 2009
* ''Passeurs de courage, anthologie'' éditions L'Harmattan, 2010.
* ''Schrei'', deux récits trilingues, BF éditions Strasbourg 2014
* Trésor de Vivre, poèmes - col : poètes de la Parole éditions Olivétan Lyon 2017
*La patrie du vent, Dom éditions, 2018
*Le vent vous le dira, éditions Olivétan Lyon, {{date-|janvier 2019}}

=== Musique ===
* ''Miederle'', Strasbourg, CEDE, 1978
* ''Läwesfiir'', Strasbourg, EMA, 1983
* Menschelied Cassette Strasbourg EMA 1991
* ''Sternestrüss'', CD col Liederbrunne S.l. s.n., 1995

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
|commons=Category:Sylvie Reff
}}
=== Bibliographie ===
* {{de}} H. Bieber, « Kennen Sie Sylvie Reff ? », in ''Almanach évangélique luthérien d'Alsace et de Lorraine'', 1990
* Cathy Kappler, « Son monde est un jardin : Sylvie Reff », in ''Almanach Sainte-Odile'', 2000, {{p.|30-31}}
* [[Jean-Paul Klée]], « Madame Sylvie Reff », in ''Quatrièmes rencontres littéraires d'automne à la bibliothèque municipale de Strasbourg'', 1983, {{p.|18-21}}
* {{de}} Reinhard Mueller, « Reff, Sylvie », in ''Deutsches Literatur-Lexikon'', 1990, vol. 12
* Christiane Roederer, « Sylvie Reff », in ''[[Nouveau dictionnaire de biographie alsacienne]]'', vol. 30, p. 3116
* ''Le printemps des poètes présente Poésies du monde'', Préface de [[Jean-Pierre Siméon]], Poésie d'abord, [[éditions Seghers|Seghers]], Paris, 2003, 236 p. {{ISBN|2232122301}}
* « Sylvie Reff : trente ans de chansons et de poésie », in ''Les Cahiers du bilinguisme : Land un Sproch Strasbourg'', 2000, p. 30 {{numéro|136}}
* Antoine Wicker, « Sylvie Reff, la louve, sa fureur tranquille », in ''Réalités alsaciennes'', 1986, {{numéro|22}},
* "L'alsacien est une langue de rencontre et de poésie " les Cahiers du Bilinguisme Land un Sproch Strasbourg 1994

=== Articles connexes ===
* [[Protestantisme en Alsace]]
* Les Dichterwaj en Alsace - conception et réalisation du Sentier des Poètes de Bischwiller en 2015

=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
{{Portail|littérature française|musique|poésie|Alsace}}

{{DEFAULTSORT:Reff, Sylvie}}
[[Catégorie:Poétesse française du XXe siècle]]
[[Catégorie:Poétesse française du XXIe siècle]]
[[Catégorie:Chanteuse française du XXe siècle]]
[[Catégorie:Poétesse alsacienne]]
[[Catégorie:Poétesse de langue alsacienne]]
[[Catégorie:Dramaturge alsacien]]
[[Catégorie:Naissance en juillet 1946]]
[[Catégorie:Naissance à Bischwiller]]
[[Catégorie:Personnalité du protestantisme alsacien]]
[[Catégorie:Lauréat du Bretzel d'or]]

title: Données clés

Naissance: 19 juillet 1946 · Bischwiller

Nationalité: Française

Profession: Auteur-compositeur-interprète, chanteuse, écrivain et poète


text:
# Dobreć
Dobreć (en italien : Dòbreci-Ica) est une localité de Croatie située dans la municipalité d'Opatija et dans le comitat de Primorje-Gorski Kotar. En 2001, la localité comptait 398 habitants.

## Démographie
| 1948 | 1953 | 1961 | 1971 | 1981 | 1991 | 2001 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 247  | 305  | 293  | 300  | 248  | 321  | 398  |

wikiname: frwiki

title: Dobreć

in_language: fr

wikitext:
{{ébauche|localité croate}}
{{Infobox Ville de Croatie
 | nom                = Dobreć
 | autres noms        =
 | statut             = 4
 | blason             = Coats of arms of None.svg
 | drapeau            =
 | image              =
 | légende            =
 | division           = [[Comitat de Primorje-Gorski Kotar|Primorje-Gorski Kotar]]
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}}

'''Dobreć''' (en [[italien]] : ''{{lang|it|Dòbreci-Ica}}'') est une localité de [[Croatie]] située dans la municipalité d'[[Opatija]] et dans le [[comitat de Primorje-Gorski Kotar]]. En [[2001]], la localité comptait 398 habitants<ref name="statMunicipalité">{{Recensement 2001 Croatie municipalité|comitat=Primorje-Gorski Kotar|numéro municipalité=3026}}</ref>.

== Démographie ==
{{Démographie
| titre = Évolution démographique
| charte = commune
| 1948 = 247
| 1953 = 305
| 1961 = 293
| 1971 = 300
| 1981 = 248
| 1991 = 321
| 2001 = 398<ref>{{Démographie historique (Croatie)}}</ref>
}}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Villes de Croatie]]
* [[Municipalité de Croatie]]
* [[Comitat de Croatie]]

{{Palette Ville d'Opatija}}
{{portail|Croatie}}

{{DEFAULTSORT:Dobrec}}
[[Catégorie:Localité dans le comitat de Primorje-Gorski Kotar]]

title: Administration

Pays: Croatie

Comitat: Primorje-Gorski Kotar

Municipalité: Opatija

title: Démographie

Densité: 71 hab./km2

title: Géographie

Coordonnées: 45° 18′ 15″ nord, 14° 15′ 42″ est

title: Localisation

Localisation: modifier


text:
# Real Movie
Pour plus de détails, voir Fiche technique et Distribution.
Real Movie est un  film français réalisé par Stéphane Robelin, sorti en 2004.

## Fiche technique
- Titre : Real Movie
- Réalisation : Stéphane Robelin
- Scénario : Christophe Marthoud et Stéphane Robelin
- Costumes : Caroline Riou
- Photographie : Christophe Marthoud
- Son : Florent Blanchard
- Montage : Christophe Marthoud
- Musique : Jean Ramain et Antoine Robelin
- Société de production : Sophie Dulac Productions
- Pays d’origine :  France
- Durée : 95 minutes
- Date de sortie : France, 9 juin 2004

## Distribution
- Lionel Nakache : Luc
- Sarah Bensoussan : Céline
- Philippe Chaine : Loïc
- Caroline Riou : Caroline
- Didier Braun : le professeur de théâtre
- Fabrice Drouelle : le quincailler

title: Real Movie

wikitext:
{{ébauche|film français}}
{{Infobox Cinéma (film)
 | titre           = Real Movie
 | image           =
 | légende         =
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 | titre québécois =
 | réalisation     = [[Stéphane Robelin]]
 | scénario        = Christophe Marthoud
Stéphane Robelin
 | acteur          = Lionel Nakache
Sarah Bensoussan
[[Philippe Chaine]]
Caroline Riou
 | production      = Sophie Dulac Productions
 | pays            = {{France}}
 | genre           = [[Comédie (cinéma)|Comédie]]
 | durée           = {{unité|95|minutes}}
 | année de sortie = 2004
}}

'''''Real Movie''''' est un  [[cinéma français|film français]] réalisé par [[Stéphane Robelin]], sorti en [[2004 au cinéma|2004]].

== Synopsis ==
{{...}}

== Fiche technique ==
* Titre : ''Real Movie''
* Réalisation : [[Stéphane Robelin ]]
* Scénario : Christophe Marthoud et Stéphane Robelin
* Costumes : Caroline Riou
* Photographie : Christophe Marthoud
* Son : Florent Blanchard
* Montage : Christophe Marthoud
* Musique : Jean Ramain et Antoine Robelin
* Société de production : Sophie Dulac Productions
* Pays d’origine : {{France}}
* Durée : {{unité|95|minutes}}
* Date de sortie : [[France]], {{date|9|juin|2004|au cinéma}}

== Distribution ==
* Lionel Nakache : Luc
* Sarah Bensoussan : Céline
* [[Philippe Chaine]] : Loïc
* Caroline Riou : Caroline
* Didier Braun : le professeur de théâtre
* [[Fabrice Drouelle]] : le quincailler

== Notes et références ==
{{Références}}
{{...}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* Fabien Baumann, ''[[Positif (revue)|Positif]]'', {{numéro|520}}, {{date-|juin 2004}}, {{p.|43}}

=== Liens externes ===
{{Liens}}

{{Palette|Stéphane Robelin}}
{{Portail|cinéma français|années 2000}}

{{DEFAULTSORT:Real Movie}}
[[Catégorie:Film français sorti en 2004]]
[[Catégorie:Film réalisé par Stéphane Robelin]]
[[Catégorie:Premier long métrage sorti en 2004]]
[[Catégorie:Film de Sophie Dulac Productions]]

title: Données clés

Réalisation: Stéphane Robelin

Scénario: Christophe Marthoud · Stéphane Robelin

Acteurs principaux: Lionel Nakache · Sarah Bensoussan · Philippe Chaine · Caroline Riou

Sociétés de production: Sophie Dulac Productions

Pays de production: France

Genre: Comédie

Durée: 95 minutes


text:
# Laizon
Le Laizon ou le Laison est une rivière du département du Calvados, en région Normandie, et un affluent gauche du fleuve la Dives.

## Géographie
Le Laizon naît à 158 mètres d'altitude sur la commune de Saint-Pierre-Canivet près de l'abbaye cistercienne. Sa source alimente l'étang de Villers situé dans le domaine de l'abbaye et il en sort sous le nom de ruisseau de Torp. Une source secondaire se trouve un kilomètre à l'ouest, à 190 mètres d'altitude, la fontaine de la Moussaye.
De 39 km de longueur, il coule globalement du sud vers le nord-est et passe sous la N158 à Bons-Tassilly..
Il se jette dans la Dives entre Cléville et Saint-Ouen-du-Mesnil-Oger dans les marais, à 5 mètres d'altitude, juste après la confluence du Douet.

### Communes et cantons traversés
Dans le seul département du Calvados, le Laizon traverse les seize communes suivantes (de l'amont vers l'aval) : Villers-Canivet (source), Soulangy, Bons-Tassilly, Potigny, Soumont-Saint-Quentin, Ouilly-le-Tesson, Rouvres, Maizières, Ernes, Condé-sur-Ifs, Vieux-Fumé, Ouézy, Cesny-aux-Vignes, Mézidon Vallée d'Auge, Méry-Bissières-en-Auge, Cléville, Saint-Ouen-du-Mesnil-Oger (confluence).
En termes de cantons le Laizon prend source dans le canton de Falaise, traverse le canton de Mézidon Vallée d'Auge, conflue dans le canton de Troarn, le tout dans les arrondissements de Caen et de Lisieux.

### Bassin versant
Le Laizon traverse les trois zones hydrographiques suivantes : « La Dives du confluent de la Dorette (exclu) au confluent du Laizon (exclu) », « La Dives du confluent du Laizon (exclu) au siphon du canal du Domaine (bassin du Doigt exclu) », « Le Laizon de sa source au confluent de la Dives (exclu) ».

### Organisme gestionnaire
L'organisme gestionnaire est le SMBD ou Syndicat Mixte du Bassin de la Dives, installé à Saint-Pierre-en-Auge.

## Affluents
Le Laizon a six tronçons affluents référencés dont trois font plus de 1 km., le ruisseau de Cassis (6 km), le Douet (5 km) et le ruisseau de Moussaye (4,12 km).

## Hydrologie
Son régime hydrologique est dit pluvial océanique. Le Laizon a été observé à deux stations hydrologique :
- la station I2203810 à Croissanville, du 1er septembre 1970 au 1er janvier 1982, à 16 m d'altitude et pour un bassin de 137 km2 avec un module de 0,76 m3/s[4];
- la station I2203820 à Croissanville, depuis le 1er janvier 2003 (22 ans), à 15 m d'altitude et pour un bassin versant de 136 km2 avec un module de 0,73 m3/s[1].

### Le Laizon à Croissanville
Le module ou moyenne annuelle de son débit est à Croissanville de 0,73 m3/s.

### Étiage ou basses eaux
À l'étiage, c'est-à-dire aux basses eaux, le VCN3, ou débit minimal du cours d'eau enregistré pendant trois jours consécutifs sur un mois, en cas de quinquennale sèche s'établit à 0,310 m3/s, ce qui reste très confortable,.

### Crues
Sur cette courte période d'observation de 11 ans, le débit journalier maximal a été observé le 17 novembre 1974 pour 4,250 m3/s. Le débit instantané maximal a été observé le 1er novembre 1974 avec 5,15 m3/s en même temps que la hauteur maximale instantanée de 940 mm soit 0,940 m.
Le QIX 2 est de 2,8 m3/s, le QIX 5 est 4,0 m3/s, le QIX 10 est de 4,8 m3/s et le QIX 20 est de 5,5 m3/s. Les QIX 50 et QIX 100 n'ont pas pu être calculés vu la période d'observation de 11 ans.

### Lame d'eau et débit spécifique
La lame d'eau écoulée dans cette partie du bassin versant de la rivière et le débit spécifique (Qsp) n'ont pas pu être calculé vu les deux périodes d'observation de 11 ans.

## Aménagements et écologie

### Vallée du Laizon
- La Brèche au Diable et le Mont Joly
- Château d'Assy
- Château d'Ifs
- Château de Canon
- Château de Vaux
- Châteaux d'Ouézy
- Château de Cesny-aux-Vignes
- Châteaux et manoirs de Croissanville, Méry-Corbon

## Galerie
- Lavoir sur le Laizon au lieu-dit Petit-Magny à Condé-sur-Ifs
- Lavoir sur le Laizon à Croissanville
- Château de Cesny-aux-Vignes
- Lavoir sur le Laizon à Mézidon-Canon
- Lavoir à Ouézy sur le Laizon

title: Laizon

wikitext:
{{Infobox Cours d'eau
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|confluence altitude=5
|confluence localisation=entre [[Cléville (Calvados)|Cléville]] et [[Saint-Ouen-du-Mesnil-Oger]]
|confluence latitude=49.1637
|confluence longitude=-0.0978
|bassin collecteur=la [[Dives (fleuve)|Dives]]
|affluents rive droite=Cassis
|affluents rive gauche=Douet, Moussaye
|nombre de Strahler=4
|organisme gestionnaire=SMBD ou Syndicat Mixte du Bassin de la Dives<ref name=smbd/>
|sources=[[SANDRE]]:{{sandre|I1430600|texte=I1430600|source=non}}, [[Géoportail (France)|Géoportail]], [[Banque Hydro]], [[OpenStreetMap]]
}}

Le '''Laizon''' ou le '''Laison'''<ref name=hydrold>{{hydro|I2203810|texte=le Laison à Croissanville|consulté le=27 mai 2020}}</ref> est une [[rivière]] du [[département français|département]] du [[Calvados (département)|Calvados]], en [[région française|région]] [[Normandie (région administrative)|Normandie]], et un [[affluent]] gauche du [[fleuve]] la [[Dives (fleuve)|Dives]].

== Géographie ==
{{Média externe | image1 =[https://www.cater-normandie.fr/fichiers/gouvernance/Carte_SMBD_2014.jpg Le Laizon dans le bassin de la Dives.]|topic=selon le Syndicat Mixte du Bassin de la Dives}}
Le Laizon naît à {{nb|158|mètres d'[[altitude]]}}<ref>{{Géoportail|latitude=48.927561|longitude=-0.258887|zoom=6|couches=Hydro|desc=Source du Laizon|consulté le=27 mai 2020}}</ref> sur la [[Commune (France)|commune]] de [[Saint-Pierre-Canivet]] près de [[Abbaye de Villers-Canivet|l'abbaye cistercienne]]. Sa source alimente ''l'étang de Villers'' situé dans le domaine de l'abbaye et il en sort sous le nom de ''ruisseau de Torp''. Une source secondaire se trouve un kilomètre à l'ouest, à {{nb|190|mètres d'altitude}}, la ''fontaine de la Moussaye''.

De {{nb|39|km}} de longueur<ref name="sandre">{{sandre|I1430600|le Laizon|consulté le=26 mai 2020}}</ref>, il coule globalement du sud vers le nord-est et passe sous la N158 à Bons-Tassilly<ref name="géo">{{Lien web
|url=http://www.geoportail.fr/|titre=Géoportail
|auteur=[[Géoportail (France)|Géoportail]] - [[Institut national de l'information géographique et forestière|IGN]]
|consulté le=27 mai 2020}}</ref>..

Il se jette dans la [[Dives (fleuve)|Dives]] entre [[Cléville (Calvados)|Cléville]] et [[Saint-Ouen-du-Mesnil-Oger]] dans les marais, à {{nb|5|mètres d'altitude}}<ref>{{Géoportail|latitude=49.1637|longitude=-0.0978|zoom=6|couches=Hydro|desc=Confluence du Laizon avec la Dives|consulté le=27 mai 2020}}</ref>, juste après la confluence du Douet.

=== Communes et cantons traversés ===
[[Fichier:La Brèche au Diable - Soumont-Saint-Quentin.jpg|vignette|gauche|La Brèche au diable, à Soumont-Saint-Quentin, sur le cours du Laizon.]]
Dans le seul département du Calvados, le Laizon traverse les seize communes<ref name=sandre/> suivantes (de l'amont vers l'aval) : [[Villers-Canivet]] (source), [[Soulangy]], [[Bons-Tassilly]], [[Potigny]], [[Soumont-Saint-Quentin]], [[Ouilly-le-Tesson]], [[Rouvres (Calvados)|Rouvres]], [[Maizières (Calvados)|Maizières]], [[Ernes]], [[Condé-sur-Ifs]], [[Vieux-Fumé]], [[Ouézy]], [[Cesny-aux-Vignes]], [[Mézidon Vallée d'Auge]], [[Méry-Bissières-en-Auge]], [[Cléville (Calvados)|Cléville]], [[Saint-Ouen-du-Mesnil-Oger]] (confluence).

En termes de cantons le Laizon prend source dans le [[canton de Falaise]], traverse le [[canton de Mézidon Vallée d'Auge]], conflue dans le [[canton de Troarn]], le tout dans les arrondissements de [[arrondissement de Caen|Caen]] et de [[arrondissement de Lisieux|Lisieux]].

=== Bassin versant ===
Le Laizon traverse les trois zones hydrographiques suivantes : {{Citation|La Dives du confluent de la Dorette (exclu) au confluent du Laizon (exclu)}}, {{Citation|La Dives du confluent du Laizon (exclu) au siphon du canal du Domaine (bassin du Doigt exclu)}}, {{Citation|Le Laizon de sa source au confluent de la Dives (exclu)}}<ref name=sandre/>.
=== Organisme gestionnaire ===
L'organisme gestionnaire est le SMBD ou Syndicat Mixte du Bassin de la Dives, installé à Saint-Pierre-en-Auge<ref name="smbd">{{Lien Web|url=http://smbd.fr/le-territoire/principaux-cours-d-eau|site=smbd.fr|titre=Syndicat Mixte du Bassin de la Dives - le territoire|consulté le=22 mai 2020}}</ref>.

== Affluents ==
Le Laizon a six tronçons affluents référencés dont trois font plus de {{nb|1|km}}., le ruisseau de Cassis (6 km), le Douet (5 km) et le ruisseau de Moussaye (4,12 km).

== Hydrologie ==
Son régime hydrologique est dit [[régime pluvial|pluvial]] [[climat océanique|océanique]]. Le Laizon a été observé à deux stations hydrologique :

* la station I2203810 à Croissanville, du {{date-|1er septembre 1970}} au {{date-|1er janvier 1982}}, à {{nb|16|m d'altitude}} et pour un bassin de {{nb|137|km|2}} avec un module de {{nb|0,76|m{{3}}/s}}<ref name="hydrold" />;
* la station I2203820 à Croissanville, depuis le {{date de naissance|1er janvier 2003|âge=oui}}, à {{nb|15|m d'altitude}} et pour un bassin versant de {{nb|136|km|2}} avec un module de {{nb|0,73|m{{3}}/s}}<ref name="hydro">{{hydro|I2203820|texte=le Laison à Croissanville|consulté le=27 mai 2020}}</ref>.

=== Le Laizon à Croissanville ===
Le [[module (hydrologie)|module]] ou moyenne annuelle de son débit est à Croissanville de {{nb|0,73|m{{3}}/s}}<ref name=hydro/>.
{{Relevé hydrologique
|station=I2203820 - le Laison à Croissanville pour un bassin versant de {{nb|136|km|2}} et à {{nb|15|m d'altitude}}<ref name=hydro/>
|date=le 09-05-2020 - données calculées sur 11 ans de 2011 à 2020
|unité=m{{3}}/s
|source=[[Banque Hydro]] - [[MEDDE]]
|échelle maxi=2
|échelle principale=1
|échelle secondaire=1
|jan1=0.98
|fev1=1.15
|mar1=1.12
|avr1=0.87
|mai1=0.77
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|jul1=0.47
|aou1=0.46
|sep1=0.43
|oct1=0.44
|nov1=0.59
|dec1=0.84
}}
=== Étiage ou basses eaux ===
À l'[[étiage]], c'est-à-dire aux basses eaux, le [[VCN3]], ou débit minimal du cours d'eau enregistré pendant trois jours consécutifs sur un mois, en cas de [[:wikt:quinquennal|quinquennal]]e sèche s'établit à {{nb|0,310|m{{3}}/s}}, ce qui reste très confortable<ref group=note>plus du tiers du module à {{nb|0,76|m{{3}}/s}}</ref>{{,}}<ref name=hydrold/>.
=== Crues ===
Sur cette courte période d'observation de 11 ans, le débit journalier maximal a été observé le {{date-|17 novembre 1974}} pour {{nb|4,250|m{{3}}/s}}. Le débit instantané maximal a été observé le {{date-|1er novembre 1974}}<ref group=note>à {{heure|0|0}}</ref> avec {{nb|5,15|m{{3}}/s}} en même temps que la hauteur maximale instantanée de {{nb|940|mm}} soit {{nb|0,940|m}}<ref name=hydrold/>.

Le [[QIX (hydrologie)|QIX]] 2 est de {{nb|2,8|m{{3}}/s}}, le QIX 5 est {{nb|4,0|m{{3}}/s}}, le QIX 10 est de {{nb|4,8|m{{3}}/s}} et le QIX 20 est de {{nb|5.5|m{{3}}/s}}<ref name=hydrold/>. Les QIX 50 et QIX 100 n'ont pas pu être calculés vu la période d'observation de 11 ans.
=== Lame d'eau et débit spécifique ===
La [[lame d'eau]] écoulée dans cette partie du bassin versant de la rivière et le [[débit spécifique]] (Qsp) n'ont pas pu être calculé vu les deux périodes d'observation de 11 ans.

== Aménagements et écologie ==
=== Vallée du Laizon ===
* [[Soumont-Saint-Quentin|La Brèche au Diable et le Mont Joly]]
* Château d'Assy
* Château d'Ifs
* [[Château de Canon]]
* Château de Vaux
* Châteaux d'Ouézy
* Château de Cesny-aux-Vignes
* Châteaux et manoirs de Croissanville, Méry-Corbon

== Galerie ==
<gallery mode=packed>
Condé-sur-Ifs lavoir de Petit-Magny.JPG|Lavoir sur le Laizon au lieu-dit Petit-Magny à [[Condé-sur-Ifs]]
Croissanville lavoir.JPG|Lavoir sur le Laizon à [[Croissanville]]
Cesny-aux-Vignes château.JPG|[[Château de Cesny-aux-Vignes]]
Mézidon-Canon lavoir Laizon.JPG|Lavoir sur le Laizon à [[Mézidon-Canon]]
Ouézy lavoir.JPG|Lavoir à [[Ouézy]] sur le Laizon

</gallery>

== Voir aussi ==
{{GeoGroup}}{{début de colonnes|taille=30}}
* la [[Liste des cours d'eau normands]]
* la [[liste des cours d'eau du Calvados]]
* la [[Dives (fleuve)|Dives]]
{{fin de colonnes}}
== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=note|taille=30}}
=== Références ===
{{Références|taille=30}}
{{Bases géographiques}}{{Autorité}}
{{Palette|Cours d'eau des bassins versants côtiers normands}}
{{Portail|lacs et cours d'eau|Calvados}}

[[Catégorie:Système hydrologique de la Dives]]
[[Catégorie:Cours d'eau dans le Calvados]]
[[Catégorie:Cours d'eau du bassin côtier Seine-Normandie]]

title: Caractéristiques

Longueur: 39 km

Bassin collecteur: la Dives

Débit moyen: 0,73 m3/s (Croissanville)

Régime: pluvial océanique

title: Cours

Source: près de l'abbaye de Villers-Canivet

Confluence: la Dives

title: Géographie

Géographie: Sources : SANDRE:« I1430600 », Géoportail, Banque Hydro, OpenStreetMap

· Rive gauche: Douet, Moussaye

· Rive droite: Cassis

Pays traversés: France

Département: Calvados

Arrondissement: Caen, Lisieux

Cantons: Falaise, Mézidon Vallée d'Auge, Troarn

Régions traversées: Normandie

Principales localités: Mézidon Vallée d'Auge


text:
# Liste des compagnies aériennes de Tanzanie
 (novembre 2022).
Cet article dresse une liste des compagnies aériennes opérant jusqu’en 2021 en Tanzanie.
| Compagnie aérienne                      | Image | Code IATA | Code OACI | Indicatif d'appel | Depuis |
| --------------------------------------- | ----- | --------- | --------- | ----------------- | ------ |
| Air Excel                               |       |           | XLL       | TINGA-TINGA       | 1997   |
| Air Tanzania                            |       | TC        | ATC       | TANZANIA          | 1977   |
| Air Zara International                  |       |           | AZD       |                   | 2008   |
| As Salaam Air                           |       |           |           |                   | 2013   |
| Auric Air                               |       | UI        | AUK       | AURIC SERVICES    | 2008   |
| Coastal Aviation                        |       | CQ        | CSV       | COASTAL TRAVEL    | 1987   |
| Flightlink                              |       |           |           |                   | 2004   |
| Precision Air                           |       | PW        | PRF       | PRECISION AIR     | 1991   |
| Regional Air                            |       | 8N        | REG       | REGIONAL SERVICES | 1997   |
| Safari Plus                             |       |           |           |                   | 2009   |
| Fly Safari Air Link Ltd                 |       |           |           |                   | 2008   |
| Agence de vol du gouvernement tanzanien |       |           |           |                   | 2002   |
| Tropical Air                            |       |           |           |                   | 1999   |
| ZanAir                                  |       | B4        | TAN       | ZANAIR            | 1992   |

wikitext:
{{orphelin|date=novembre 2022}}
Cet article dresse une '''liste des [[Compagnie aérienne|compagnies aériennes]]''' opérant jusqu’en 2021 en '''[[Tanzanie]]'''<ref>{{Lien web |prénom=Dar es Salaam international |nom=airport |titre=Tanzania: national fleet |url=https://www.daressalaamairport.com/en/int/booking/national_fleet.php?lg=en |site=www.daressalaamairport.com |consulté le=2024-10-22}}</ref>.

{| class="wikitable sortable"
! Compagnie aérienne
! Image
! Code [[Association internationale du transport aérien|IATA]]
! Code [[Codes des compagnies aériennes|OACI]]<ref>{{Lien web |titre=avcodes|url=https://www.avcodes.co.uk/airlcodesearch.asp |site=www.avcodes.co.uk |consulté le=2024-10-22}}</ref>
! [[Codes des compagnies aériennes|Indicatif d'appel]]
! Depuis
|-
| [[Air Excel]]
|
|
| XLL
| TINGA-TINGA
| 1997
|-
| [[Air Tanzania]]
|[[Fichier:Passangers arriving at Songwe airport by plane of Air Tanzania.jpg|sans_cadre]]
| TC
| ATC
| TANZANIA
| 1977
|-
| [[Air Zara International]]
|
|
| AZD
|
| 2008
|-
| [[As Salaam Air]]
|
|
|
|
| 2013
|-
|[[Auric Air]]
|
| UI
|AUK
|AURIC SERVICES
| 2008
|-
|[[Coastal Aviation]]
|
| CQ
| CSV
|COASTAL TRAVEL
| 1987
|-
| [[Flightlink]]
|
|
|
|
| 2004
|-
| [[Precision Air]]
|
| PW
| PRF
|PRECISION AIR
| 1991
|-
|[[Regional Air]]
|
| 8N
| REG
|REGIONAL SERVICES
| 1997
|-
| [[Safari Plus]]
|
|
|
|
| 2009
|-
| [[Fly Safari Air Link Ltd]]
|
|
|
|
| 2008
|-
| Agence de vol du gouvernement tanzanien
|
|
|
|
| 2002
|-
|[[Tropical Air]]
|
|
|
|
| 1999
|-
| [[ZanAir]]
|
| B4
|TAN
| ZANAIR
| 1992
|}

== Références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
* [[Liste des compagnies aériennes par pays]]

{{Portail|aéronautique|Tanzanie}}

[[Catégorie:Compagnie aérienne ayant son siège en Tanzanie]]
[[Catégorie:Liste de compagnies aériennes par pays|Tanzanie]]


text:
# Preuve de l'irrationalité de π
Dans les années 1760, Johann Heinrich Lambert a été le premier à démontrer que le nombre π est irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction a/b, avec a et b entiers non nuls. Au XIXe siècle, Charles Hermite établit une preuve ne reposant sur aucun prérequis au-delà de l'analyse élémentaire. Des versions simplifiées de la preuve de Hermite ont été plus tard trouvées par Mary Cartwright et Ivan Niven. Une autre preuve, une version simplifiée de celle de Lambert, est trouvée par Miklós Laczkovich. La plupart sont des preuves par l'absurde ou par contraposition.
En 1882, Ferdinand von Lindemann établit que π est non seulement irrationnel, mais transcendant.

## Preuve de Lambert
En 1761, Lambert prouve que π est irrationnel en établissant dans un premier temps le développement en fraction continue généralisée suivant de la fonction tangente :
{\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}}
en utilisant les développements en série entière des fonctions cosinus et sinus.
Ensuite, Lambert montre que si x est non nul et rationnel alors tan x est irrationnel. Or, comme tan(π/4) = 1, il en déduit que π/4 est irrationnel et donc que π est irrationnel.
Historiquement, cette démonstration fut le premier pas vers celle de l'impossibilité de la quadrature du cercle.

## Preuve de Hermite
Rédigée en 1873, cette preuve utilise la caractérisation de π comme plus petite solution positive de l'équation cos(x/2) = 0 et montre en fait que π2 lui-même est irrationnel. Comme de nombreuses preuves d'irrationalité, c'est une démonstration par l'absurde.
Hermite définit par récurrence une suite de fonctions réelles An :
{\displaystyle A_{0}=\sin x,\quad A_{n+1}(x)=\int _{0}^{x}yA_{n}(y)\,\mathrm {d} y}.
Des « formules élémentaires »
{\displaystyle \int _{0}^{x}f(y)\cos y\,\mathrm {d} y=\left[\sin y\,F(y)+\cos y\,F'(y)\right]_{0}^{x}}
{\displaystyle \int _{0}^{x}f(y)\sin y\,\mathrm {d} y=\left[\sin y\,F'(y)-\cos y\,F(y)\right]_{0}^{x}}
où f est un polynôme et {\displaystyle F=f-f''+f^{(4)}-\dots }, il déduit que
{\displaystyle A_{n}(x)=U\sin x+V\cos x,}
où U = Wn(x2), Wn étant un polynôme à coefficients entiers de degré égal à la partie entière de n/2.
Il indique également une seconde méthode (moins directe) fournissant la même expression de An :
Il en déduit au passage que les fonctions {\displaystyle {\mathfrak {A}}_{n}(x):={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}} vérifient {\displaystyle {\mathfrak {A}}_{n+1}(x)=-{\frac {{\mathfrak {A}}_{n}'(x)}{x}}}.
Il ne prend pas la peine d'expliciter la relation (immédiate d'après son développement en série entière) entre ses suites de fonctions et les fonctions de Bessel de première espèce Jα(x) :
{\displaystyle {\mathfrak {A}}_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}
mais (voir infra) c'est sans doute cette relation qui lui fournit la formule explicite suivante, :
{\displaystyle A_{n}(x)={\frac {x^{2n+1}}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z}.
Si π2/4 = p/q, avec p et q deux entiers alors pour tout entier pair n, le nombre Nn := qn/2An(π/2) est égal à  l'entier qn/2Wn(p/q). Soit :
{\displaystyle \mathbb {Z} \ni N_{n}=q^{n/2}A_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=q^{n/2}{\frac {\left({\frac {p}{q}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos {\frac {\pi z}{2}}\,\mathrm {d} z={\sqrt {\frac {p}{q}}}{\frac {\left({\frac {p}{2{\sqrt {q}}}}\right)^{n}}{n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos {\frac {\pi z}{2}}\,\mathrm {d} z.}
Cependant, le terme de droite est non nul et tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Il y a donc contradiction, montrant que π2/4 ne peut pas être rationnel, donc π non plus.

### Lien avec la preuve de Lambert
Comme le signale Hermite,, sa fonction An(x) = U sin x + V cos x est le numérateur de la n-ième réduite du développement par Lambert de tan x, le dénominateur étant U cos x – V sin x, car ces deux fonctions vérifient la relation de récurrence découverte par Lambert :
{\displaystyle A_{n+1}(x)=(2n+1)A_{n}(x)-x^{2}A_{n-1}(x)}.
Hermite en déduit au passage ce qu'il appelle « l'équation différentielle des transcendantes de Bessel » {\displaystyle A_{n}''(x)-{\frac {2n}{x}}A_{n}'(x)+A_{n}(x)=0}, qui équivaut à l'équation différentielle de Bessel usuelle, via le lien avec Jn+1/2 signalé ci-dessus.
Hermite ne présente pas sa démonstration comme une fin en soi, mais comme un sous-produit de sa recherche d'une preuve de la transcendance de π, comme il le fit la même année dans sa preuve de la transcendance de e. Il utilise surtout les relations de récurrence pour motiver et obtenir une représentation intégrale convenable.

## Preuve de Cartwright
Cartwright a extrait de la preuve de Hermite un exemple pour un examen de l'université de Cambridge en 1945.
Elle considère directement les variantes suivantes des intégrales {\displaystyle {\mathfrak {A}}_{n}} de Hermite :
{\displaystyle I_{n}(x):=\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z=2^{n+1}n!{\mathfrak {A}}_{n}(x)}.
Par une double intégration par parties, elle obtient la relation de récurrence
{\displaystyle \forall n\geq 2,\ x^{2}I_{n}(x)=2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x)}.
En posant
{\displaystyle J_{n}(x):=x^{2n+1}I_{n}(x)},
cette relation de récurrence devient celle de Lambert (voir supra), aux notations près ({\displaystyle J_{n}(x)=2^{n+1}n!A_{n}(x)}) :
{\displaystyle J_{n}(x)=2n(2n-1)J_{n-1}(x)-4n(n-1)x^{2}J_{n-2}(x).}
De plus, J0(x) = 2 sin x et J1(x) = −4 x cos x + 4 sin x. Donc, pour tout entier n positif,
{\displaystyle J_{n}(x)=n!\left(P_{n}(x)\sin x+Q_{n}(x)\cos x\right),}
où Pn et Qn sont des polynômes « de degré ≤ 2n » (sic) à coefficients entiers.
Cette analyse des polynômes qui apparaissent est moins fine que celle de Hermite, mais va suffire pour démontrer l'irrationalité de π (et non celle de π2).
On prend maintenant x = π/2, et l'on suppose donc qu'il existe deux entiers a et b tels que π/2 = a/b. Alors :
{\displaystyle {\frac {a^{2n+1}}{n!}}\,I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=P_{n}\left({\frac {a}{b}}\right)b^{2n+1}.}
Le terme de droite est entier. Cependant, le terme de gauche est non nul et tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Il y a donc contradiction.

## Preuve de Niven
Niven suppose que π est rationnel, donc de la forme π = a /b avec a et b entiers strictement positifs. Pour un entier positif n « à spécifier plus tard », il définit deux polynômes :
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}}}
et
{\displaystyle F(x)=f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)-\cdots +(-1)^{n}f^{(2n)}(x).}
- Il remarque d'abord que F(0) + F(π) est un entier.
En effet, le polynôme n!f est à coefficients entiers, et nuls en degrés < n. Ainsi, f et ses dérivées prennent des valeurs entières en 0, donc aussi en π puisque f(π – x) = f(x).
- Il établit ensuite que {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin x\,\mathrm {d} x=F(0)+F(\pi )}[8].
En effet, comme l'avait remarqué Hermite (voir supra), {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\sin x\,\mathrm {d} x=\left[F'(x)\sin x-F(x)\cos x\right]_{0}^{\pi }}.
- Enfin, pour 0 < x < π, {\displaystyle 0<f(x)\sin x<{\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}}
donc 0 < F(0) + F(π) < 1 pour n suffisamment grand, ce qui est impossible.

### Lien avec la preuve de Hermite
La preuve de Niven est plus proche de celle de Hermite qu'elle ne le semble de prime abord :
- d'une part par sa réutilisation de la « formule élémentaire » de Hermite ;
- d'autre part[4] parce qu'un changement de variable z = 1 – 2y/π dans la formule explicite (voir supra) et l'évaluation en x = π/2 donnent :
{\displaystyle A_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{\pi /2}y^{n}(\pi -y)^{n}\sin y\,\mathrm {d} y={\frac {1}{b^{n}2^{n+1}}}\int _{0}^{\pi }f(x)\sin x\,\mathrm {d} x.}

## Preuve de Laczkovich
La preuve de Laczkovich est à la fois une généralisation et une simplification de celle de Lambert : généralisation parce qu'elle porte (comme celle d'Oskar Perron 90 ans plus tôt) sur une famille de fractions continues de Gauss dont celles de Lambert pour tangente et tangente hyperbolique font partie, et simplification parce qu'elle évite les considérations de convergence.
Laczkovich considère la famille de fonctions hypergéométriques fk(x) := 0F1(k; –;x2). Ces fonctions entières sont définies pour tout nombre complexe {\displaystyle k\notin -\mathbb {N} } et l'on a en particulier
{\displaystyle f_{\frac {1}{2}}(x)=\cos(2x),\quad f_{\frac {3}{2}}(x)={\frac {\sin(2x)}{2x}},\quad f_{k}(0)=1}.
Ces fonctions sont liées aux fonctions de Bessel de première espèce Jα par :
{\displaystyle \Gamma (k)J_{k-1}(2x)=x^{k-1}f_{k}(x)} (où Γ désigne la fonction gamma) donc :
- elles vérifient la relation de récurrence :
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \qquad {\frac {x^{2}}{k(k+1)}}f_{k+2}(x)=f_{k+1}(x)-f_{k}(x)} ;
- fk(x) et fk + 1(x) ne peuvent pas être simultanément nuls ;
- pour x fixé, fk(x) → 1 quand k → +∞.

Laczkovich redémontre alors que
pour tout x non nul tel que x2 est rationnel, on a
{\displaystyle \forall k\in \mathbb {Q} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}\qquad f_{k}(x)\neq 0\quad {\text{ et }}\quad {\frac {f_{k+1}(x)}{f_{k}(x)}}\notin \mathbb {Q} .}
En termes des fonctions de Bessel Jk, ce résultat se réécrit :
pour tout x non nul tel que x2 est rationnel, on a
{\displaystyle \forall k\in \mathbb {Q} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}\qquad J_{k-1}(x)\neq 0\quad {\text{ et }}\quad {\frac {xJ_{k}(x)}{J_{k-1}(x)}}\notin \mathbb {Q} .}
En particulier (pour k = 1/2) :
pour tout x non nul tel que x2 est rationnel, cos x est non nul et x tan x est irrationnel.
Puisque cos(π/2) = 0, ce dernier résultat montre que π2/4 est irrationnel et donc que π est irrationnel.
Une autre conséquence est le résultat de Lambert : la tangente de tout rationnel non nul est un irrationnel.

title: Preuve de l'irrationalité de π

wikitext:
{{Titre mis en forme|Preuve de l'irrationalité de {{MathPi}}}}

Dans les [[années 1760]], [[Johann Heinrich Lambert]] a été le premier à '''démontrer que le [[pi|nombre {{MathPi}}]] est [[Nombre irrationnel|irrationnel]]''', c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction {{math|''a''/''b''}}, avec {{mvar|a}} et {{mvar|b}} [[Entier relatif|entiers]] non nuls. Au {{s-|XIX}}, [[Charles Hermite]] établit une preuve ne reposant sur aucun prérequis au-delà de l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] élémentaire. Des versions simplifiées de la preuve de Hermite ont été plus tard trouvées par [[Mary Cartwright]] et [[Ivan Niven]]. Une autre preuve, une version simplifiée de celle de Lambert, est trouvée par [[Miklós Laczkovich]]. La plupart sont des [[Démonstration par l'absurde|preuves par l'absurde]] ou par [[contraposition]].

[[Théorème d'Hermite-Lindemann|En 1882, Ferdinand von Lindemann établit que {{MathPi}} est]] non seulement irrationnel, mais [[Nombre transcendant|transcendant]].

== Preuve de Lambert ==
{{Voir|Fraction continue et approximation diophantienne#Irrationalité{{!}}Détails de la démonstration de Lambert}}
[[File:LambertContinuedFraction.JPG|thumb|upright=2.5|Copie de la formule de la page 288 du mémoire de Lambert.]]
En 1761, [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]]<ref>{{Article|prénom=J.-H.|nom=Lambert|titre=Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes [sic] circulaires et logarithmiques|revue=Histoire de l'[[Académie royale des sciences de Prusse|Académie royale des sciences et belles-lettres]]|lieu=Berlin|vol=17|année=1761|p.=265-322}}, {{Lien web|url=http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/lambert-et-l-irrationalite-de-p-1761|titre=en ligne et commenté|site=[[Bibnum]]}} par Alain Juhel.</ref> prouve que {{MathPi}} est irrationnel en établissant dans un premier temps le développement en [[fraction continue généralisée]] suivant de la fonction [[Tangente (trigonométrie)|tangente]] :
:<math>\tan x=\cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - {}\ddots}}}}</math>

en utilisant les développements en [[série entière]] des fonctions [[cosinus]] et [[Sinus (mathématiques)|sinus]].

Ensuite, Lambert montre que si {{mvar|x}} est non nul et rationnel alors {{math|tan ''x''}} est irrationnel. Or, comme {{math|tan(π/4) {{=}} 1}}, il en déduit que {{math|π/4}} est irrationnel et donc que {{MathPi}} est irrationnel.

Historiquement, cette démonstration fut le premier pas vers celle de l'impossibilité de la [[quadrature du cercle]].

== Preuve de Hermite ==
Rédigée en 1873<ref name=Hermite2>{{article|auteur=Charles Hermite|année=1873 |titre=Extrait d'une lettre de Mr. Ch. Hermite à Mr. [[Karl Wilhelm Borchardt|Carl Borchardt]]|journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. reine angew. Math.]]|volume=76 |pages=342-344 |url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN00215546X}} ({{p.|342}}).</ref>, cette preuve utilise la caractérisation de {{MathPi}} comme plus petite solution positive de l'équation {{math|cos(''x''/2) {{=}} 0}} et montre en fait que {{MathPi}}2 lui-même est irrationnel. Comme de nombreuses preuves d'irrationalité, c'est une démonstration par l'absurde.

[[Charles Hermite|Hermite]] [[Suite définie par récurrence|définit par récurrence]]<ref name=Hermite1>{{article|auteur=Charles Hermite|année=1873 |titre=Extrait d'une lettre de Monsieur Ch. Hermite à Monsieur [[Paul Gordan]]|journal=J. reine angew. Math.|volume=76 |pages=303-311 |url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155435}}.</ref> une [[suite de fonctions]] réelles {{mvar|An}} :
: <math>A_0=\sin x,\quad A_{n+1}(x) =\int_0^xyA_n(y)\,\mathrm{d}y</math>.
Des {{Citation|formules élémentaires}}
:<math>\int_0^x f(y)\cos y\,\mathrm dy=\left[\sin y\,F(y)+\cos y\,F'(y)\right]_0^x</math>
:<math>\int_0^x f(y)\sin y\,\mathrm dy=\left[\sin y\,F'(y)-\cos y\,F(y)\right]_0^x</math>
où {{mvar|f}} est un polynôme et <math>F=f-f''+f^{(4)}-\dots</math><ref name=Hermite1/>, il déduit que
:<math>A_n(x)=U\sin x+V\cos x,</math>
où {{math|1=''U'' = ''W{{ind|n}}''(''x''{{2}})}}, {{mvar|W{{ind|n}}}} étant<ref name=Hermite2/> un [[polynôme]] à coefficients entiers de degré égal à la [[partie entière]] de {{math|''n''/2}}.

Il indique également une seconde méthode (moins directe) fournissant la même expression de {{mvar|A{{ind|n}}}} :
{{Démonstration|titre=Seconde méthode<ref name=Hermite1/> pour cette expression de {{mvar|A{{ind|n}}}}|
Hermite définit une autre suite de fonctions :
: <math>
\mathfrak A_0(x)=\frac{\sin x}x,\quad \mathfrak A_{n+1}(x) =-\frac{\mathfrak A_n'(x)}x</math>
et il {{Citation|reconnait immédiatement qu'on aura
:<math>\mathfrak A_n(x)=\frac{U\sin x+V\cos x}{x^{2n+1}}</math>,
{{mvar|U}} et {{mvar|V}} étant encore des polynômes dont l'un est de degré {{mvar|n}} et l'autre de degré {{math|''n'' – 1}}}}.

Il calcule les développements en série entière :
:<math>\begin{align}
A_n(x) &=\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!!}-\frac{x^{2n+3}}{2\times(2n+3)!!}+\frac{x^{2n+5}}{2\times4\times(2n+5)!!}\mp\cdots \\[4pt]
\mathfrak A_n(x) &=\frac1{(2n+1)!!}-\frac{x^2}{2\times(2n+3)!!}+\frac{x^4}{2\times4\times(2n+5)!!}\mp\cdots
\end{align}</math>
avec {{math|''n''!!}} désignant la [[double factorielle]] d'un entier {{mvar|n}}, dont il tire :
:<math>\mathfrak A_n(x)=\frac{A_n(x)}{x^{2n+1}}</math>,
ce qui lui redonne l'expression de {{mvar|A{{ind|n}}}} déjà trouvée.
}}
Il en déduit au passage que les fonctions <math>\mathfrak A_n(x):=\frac{A_n(x)}{x^{2n+1}}</math> vérifient <math>\mathfrak A_{n+1}(x) =-\frac{\mathfrak A_n'(x)}x</math>.

Il ne prend pas la peine d'expliciter la relation (immédiate d'après son développement en série entière) entre ses suites de fonctions et les [[Fonction de Bessel|fonctions de Bessel de première espèce {{math|''Jα''(''x'')}}]] :
:<math>\mathfrak A_n(x)=\sqrt\frac\pi2\,J_{n+\frac12}(x)</math>
mais {{infra|Lien avec la preuve de Lambert}} c'est sans doute cette relation<ref name="Zhou"/> qui lui fournit la [[formule explicite]] suivante<ref name=Hermite2/>{{,}}<ref>On peut aussi la vérifier directement, par exemple en [[Démonstration par récurrence|démontrant par récurrence]] que <math>A_n(x)=\frac1{2^nn!}\int_0^x(x^2-y^2)^n\cos y\,\mathrm dy</math>, mais {{harvsp|Zhou|2011|loc=§ 3}} détaille deux autres méthodes.</ref> :
:<math>A_n(x)=\frac{x^{2n+1}}{2^nn!}\int_0^1(1-z^2)^n\cos(xz)\,\mathrm{d}z</math>.

Si {{math|π2/4 {{=}} ''p''/''q''}}, avec {{mvar|p}} et {{mvar|q}} deux entiers alors pour tout entier pair {{mvar|n}}, le nombre {{math|1=''N{{ind|n}}'' := ''q''''n''/2''An''(π/2)}} est égal à  l'entier {{math|''q''''n''/2''Wn''(''p''/''q'')}}. Soit :
:<math>\Z\ni N_n=q^{n/2}A_n\left(\frac\pi2\right)=q^{n/2}\frac{\left(\frac pq \right)^{n+\frac 12}}{2^nn!}\int_0^1(1-z^2)^n\cos\frac{\pi z}2\,\mathrm dz=\sqrt\frac pq\frac{\left(\frac p{2\sqrt q}\right)^n}{n!}\int_0^1(1-z^2)^n\cos\frac{\pi z}2\,\mathrm dz.</math>

Cependant, le terme de droite est non nul et tend vers 0 quand {{mvar|n}} tend vers l'infini. Il y a donc contradiction, montrant que {{math|π2/4}} ne peut pas être rationnel, donc {{MathPi}} non plus.

=== Lien avec la preuve de Lambert ===
Comme le signale Hermite<ref name=Hermite1/>{{,}}<ref name="Zhou">{{article |langue=en|nom=Zhou |prénom=Li |titre=Irrationality proofs à la Hermite |journal=[[The Mathematical Gazette]] |année=2011 |volume=95 |numéro=534|pages=407-413 |arxiv=0911.1929 |doi=10.1017/S0025557200003491}}.</ref>, sa fonction {{math|''A{{ind|n}}''(''x'') {{=}} ''U'' sin ''x'' + ''V'' cos ''x''}} est le numérateur de la {{mvar|n}}-ième réduite du développement par Lambert de {{math|tan ''x''}}, le dénominateur étant {{math|''U'' cos ''x'' – ''V'' sin ''x''}}, car ces deux fonctions vérifient la [[Approximant de Padé#Fonction tangente|relation de récurrence découverte par Lambert]] :
:<math>A_{n+1}(x)=(2n+1)A_n(x)-x^2A_{n-1}(x)</math>.
Hermite en déduit au passage ce qu'il appelle {{Citation|l'équation différentielle des transcendantes de ''[[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]]''}} <math>A_n''(x)-\frac{2n}xA_n'(x)+A_n(x)=0</math>, qui équivaut à l'[[équation différentielle de Bessel]] usuelle, ''via'' le lien avec {{math|''J''{{ind|''n''+1/2}}}} signalé ci-dessus.

Hermite ne présente pas sa démonstration comme une fin en soi, mais comme un sous-produit de sa recherche d'une preuve de la transcendance de {{MathPi}}, comme il le fit la même année dans [[Théorème d'Hermite-Lindemann#Transcendance de e et π|sa preuve de la transcendance de {{math|e}}]]. Il utilise surtout les relations de récurrence pour motiver et obtenir une représentation intégrale convenable.

== Preuve de Cartwright ==
[[Mary Cartwright|Cartwright]] a extrait de la preuve de Hermite un exemple pour un examen de l'[[université de Cambridge]] en 1945<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur=[[Harold Jeffreys]]|titre = Scientific Inference|éditeur =[[Cambridge University Press]]|année = 1973|page =268|numéro d'édition =3|isbn = 0-521-08446-6|url = https://archive.org/details/scientificinfere0000jeff/page/268}}.</ref>.

Elle considère directement les variantes suivantes des intégrales <math>\mathfrak A_n</math> de Hermite :
:<math>I_n(x):=\int_{-1}^1(1 - z^2)^n\cos(xz)\,\mathrm{d}z=2^{n+1}n!\mathfrak A_n(x)</math>.

Par une double [[intégration par parties]], elle obtient la [[relation de récurrence]]
:<math>\forall n \geq 2,\ x^2I_n(x)=2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x)</math>.

En posant
:<math>J_n(x):=x^{2n+1}I_n(x)</math>,
cette relation de récurrence devient celle de Lambert {{supra|Lien avec la preuve de Lambert}}, aux notations près (<math>J_n(x)=2^{n+1}n!A_n(x)</math>) :
:<math>J_n(x)=2n(2n-1)J_{n-1}(x)-4n(n-1)x^2J_{n-2}(x).</math>

De plus, {{math|''J''0(''x'') {{=}} 2 sin ''x''}} et {{math|''J''1(''x'') {{=}} −4 ''x'' cos ''x'' + 4 sin ''x''}}. Donc, pour tout entier {{mvar|n}} positif,
:<math>J_n(x)=n!\left(P_n(x)\sin x+Q_n(x)\cos x\right),</math>

où {{mvar|Pn}} et {{mvar|Qn}} sont des polynômes {{Citation|de degré {{math|≤ 2''n''}}}} (sic) à coefficients entiers.

Cette analyse des polynômes qui apparaissent est moins fine que celle de Hermite, mais va suffire pour démontrer l'irrationalité de {{MathPi}} (et non celle de {{MathPi}}{{2}}).

On prend maintenant {{math|''x'' {{=}} {{MathPi}}/2}}, et l'on suppose donc qu'il existe deux entiers {{mvar|a}} et {{mvar|b}} tels que {{math|{{MathPi}}/2 {{=}} ''a''/''b''}}. Alors :
: <math> \frac{a^{2n+1}}{n!}\,I_n\left(\frac\pi2\right) = P_n\left(\frac ab\right)b^{2n+1}. </math>

Le terme de droite est entier. Cependant, le terme de gauche est non nul et tend vers 0 quand {{mvar|n}} tend vers l'infini. Il y a donc contradiction.

== Preuve de Niven ==
[[Ivan Niven|Niven]]<ref>{{article|langue=en|auteur=Ivan Niven|année = 1947|titre = A simple proof that {{MathPi}} is irrational|périodique= [[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]]|volume = 53|numéro = 6|page = 509|url = https://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf|doi=10.1090/s0002-9904-1947-08821-2|accès doi = libre}}.</ref> suppose que {{MathPi}} est rationnel, donc de la forme {{math|π {{=}} ''a'' /''b''}} avec {{mvar|a}} et {{mvar|b}} [[Entier naturel|entiers strictement positifs]]. Pour un entier positif {{mvar|n}} {{Citation|à spécifier plus tard}}, il définit deux polynômes :
:<math> f(x) = \frac{x^n(a - bx)^n}{n!}</math>
et
:<math>F(x) = f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)-\cdots+(-1)^n f^{(2n)}(x).</math>

*Il remarque d'abord que {{math|''F''(0) + ''F''(π)}} est un entier.
*:En effet, le polynôme {{math|''n''!''f''}} est à coefficients entiers, et nuls en degrés {{math|< ''n''}}. Ainsi, {{mvar|f}} et ses dérivées prennent des valeurs entières en {{math|0}}, donc aussi en {{MathPi}} puisque {{math|''f''(π – ''x'') {{=}} ''f''(''x'')}}.
*Il établit ensuite que <math> \int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm{d}x=F(0)+F(\pi)</math><ref>Pour aboutir au même résultat, {{ouvrage|auteur=[[N. Bourbaki]]|année première édition=1949|titre=[[Éléments de mathématique|Fonctions d'une variable réelle]]|url={{Google Livres|BzzKIwLPJB4C|page=33}}|page=III.33}}, exercice 5, suggère une {{Citation|[[Intégration par parties#Généralisations|formule d'intégration par parties d'ordre {{math|''n'' + 1}}]]}} (sic…).</ref>.
*:En effet, comme l'avait remarqué Hermite {{supra|Preuve de Hermite}}, <math>\int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm dx=\left[F'(x)\sin x-F(x)\cos x\right]_0^\pi</math>.
*Enfin, pour {{math|0 < ''x'' < π}}, <math>0<f(x)\sin x<\frac{(\pi a)^n}{n!}</math>
*:donc {{math|0 < ''F''(0) + ''F''(π) < 1}} pour {{mvar|n}} suffisamment grand, ce qui est impossible.

=== Lien avec la preuve de Hermite ===
La preuve de Niven est plus proche de celle de Hermite qu'elle ne le semble de prime abord :
*d'une part par sa réutilisation de la « formule élémentaire » de Hermite ;
*d'autre part<ref name="Zhou"/> parce qu'un [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] {{math|''z'' {{=}} 1 – 2''y''/π}} dans la formule explicite {{supra|Preuve de Hermite}} et l'évaluation en {{math|1=''x'' = π/2}} donnent :
*:<math>A_n\left(\frac\pi2\right)=\frac1{2^nn!}\int_0^{\pi/2}y^n(\pi-y)^n\sin y\,\mathrm dy=\frac1{b^n2^{n+1}}\int_0^\pi f(x)\sin x\,\mathrm dx.</math>

== Preuve de Laczkovich ==
La preuve de [[Miklós Laczkovich|Laczkovich]] est à la fois une généralisation et une simplification de celle de Lambert<ref>{{article|langue=en|auteur = Miklós Laczkovich|année = 1997|titre = On Lambert's proof of the irrationality of {{MathPi}}|périodique = [[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|volume = 104|numéro = 5|pages = 439-443|jstor = 2974737|doi=10.2307/2974737}}.</ref> : généralisation<ref>Déjà mentionnée en 1922 par {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[George Neville Watson|G. N. Watson]]|titre=A Treatise on the Theory of Bessel Functions|éditeur=[[Cambridge University Press]]|url={{Google Livres|Mlk3FrNoEVoC|page=485}}|page=485}}.</ref> parce qu'elle porte (comme celle d'[[Oskar Perron]]<ref>{{Article|lang=de|auteur=O. Perron|titre=Über die Jacobi-Kettenalgorithmen|revue=Situngsber. math.-phys. Klasse Akad. Wiss. München|vol=37|date=1907|p.=483-504|url=https://www.zobodat.at/pdf/Sitz-Ber-Akad-Muenchen-math-Kl_1907_0001.pdf}}.</ref> 90 ans plus tôt) sur une famille de [[Fraction continue de Gauss#Applications à 0F1|fractions continues de Gauss dont celles de Lambert pour tangente et tangente hyperbolique font partie]], et simplification parce qu'elle évite les [[Problème de convergence|considérations de convergence]].

Laczkovich considère la [[Famille (mathématiques)|famille]] de [[Fraction continue de Gauss#La série 0F1|fonctions hypergéométriques {{math|1=''fk''(''x'') := 0''F''1(''k''; –;''x''2)}}]]. Ces [[Fonction entière|fonctions entières]] sont définies pour tout [[nombre complexe]] <math>k\notin-\N</math> [[Série hypergéométrique#Cas particuliers|et l'on a en particulier]]
:<math>f_{\frac12}(x) = \cos(2x),\quad f_{\frac32}(x) = \frac{\sin(2x)}{2x},\quad f_k(0)=1</math>.

Ces fonctions sont [[Fonction de Bessel#Relation avec les séries hypergéométriques|liées aux fonctions de Bessel de première espèce {{mvar|J{{ind|α}}}} par]] :
:<math>\Gamma(k)J_{k-1}(2x) = x^{k-1} f_k(x)</math> (où {{math|Γ}} désigne la [[fonction gamma]]) donc :
*[[Fonction de Bessel#Propriétés des Jn|elles vérifient la relation de récurrence]] :
*:<math>\forall x\in\R\qquad \frac{x^2}{k(k+1)}f_{k+2}(x)=f_{k+1}(x)-f_k(x)</math> ;
*{{math|''f''''k''(''x'')}} et {{math|''f''''k'' + 1(''x'')}} [[Fonction de Bessel#Zéros|ne peuvent pas être simultanément nuls]] ;
*pour {{mvar|x}} fixé, [[Fonction de Bessel#Développements asymptotiques|{{math|''f''''k''(''x'') → 1}} quand {{math|''k'' → +∞}}]].

Laczkovich redémontre alors que
:pour tout {{mvar|x}} non nul tel que {{math|''x''2}} est rationnel, on a
:<math>\forall k\in\Q\setminus \{0,-1,-2,\ldots\}\qquad f_k(x)\neq0 \quad \text{ et } \quad \frac{f_{k+1}(x)}{f_k(x)}\notin\Q.</math>
{{Démonstration|contenu=
Dans le cas contraire, il existerait un nombre {{math|''y'' ≠ 0}} et deux entiers {{mvar|a}} et {{mvar|b}} tels que {{math|''f''''k''(''x'') {{=}} ''ay''}} et {{math|''f''''k'' + 1(''x'') {{=}} ''by''}}. On peut le montrer en considérant {{math|''y'' {{=}} ''f''''k'' + 1(''x'')}}, {{math|''a'' {{=}} 0}} et {{math|''b'' {{=}} 1}} si {{math|''f''''k''(''x'') {{=}} 0}} ; sinon, on choisit deux entiers {{mvar|a}} et {{mvar|b}} tels que {{math|''f''''k'' + 1(''x'')/''fk''(''x'') {{=}} ''b''/''a''}} et l'on pose {{math|''y'' {{=}} ''f''''k''(''x'')/''a'' {{=}} ''f''''k'' + 1(''x'')/''b''}}.

On prend maintenant un entier naturel {{mvar|c}} tel que {{math|''bc''/''k''}}, {{math|''ck''/''x''2}} et {{math|''c''/''x''2}} sont entiers et l'on considère la suite
:<math>g_n=\frac{c^n\Gamma(k)}{\Gamma(k+n)}f_{k+n}(x)</math>.

Alors
:<math>g_0=f_k(x)=ay\in\Z y \quad \text{ et } \quad g_1=\frac ckf_{k+1}(x)=\frac{bc}ky\in\Z y.</math>

La relation de récurrence permet de déduire :

:<math>\begin{align}
g_{n+2}&=\frac{c^{n+2}\Gamma(k)}{\Gamma(k+n+2)}f_{k+n+2}(x)\\
&=\frac{c^{n+2}\Gamma(k)}{\Gamma(k+n+2)}\frac{(k+n)(k+n+1)}{x^2}\left(f_{k+n+1}(x)-f_{k+n}(x)\right)\\
&=\frac{c^{n+2}\Gamma(k)}{x^2\Gamma(k+n)}\left(\frac{\Gamma(k+n+1)}{c^{n+1}\Gamma(k)}g_{n+1}-\frac{\Gamma(k+n)}{c^n\Gamma(k)}g_n\right)\\
&=\frac{c(k+n)}{x^2}g_{n+1}-\frac{c^2}{x^2}g_n,
\end{align}</math>

qui est donc une combinaison linéaire de {{math|''g''''n'' + 1}} et {{mvar|gn}} à coefficients entiers. Donc tous les {{mvar|gn}} sont des multiples entiers de {{mvar|y}}. Or on sait que {{mvar|gn}} est non nul (soit {{math|{{!}}''gn''{{!}} ≥ {{!}}''y''{{!}})}} pour {{mvar|n}} suffisamment grand et que la suite des {{mvar|gn}} tend vers 0, ce qui est contradictoire.
}}

En termes des fonctions de Bessel {{mvar|Jk}}, ce résultat se réécrit :
:pour tout {{mvar|x}} non nul tel que {{math|''x''2}} est rationnel, on a
:<math>\forall k\in\Q\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}\qquad J_{k-1}(x)\ne0\quad\text{ et }\quad\frac{x J_k(x)}{J_{k-1}(x)}\notin\Q.</math>

En particulier (pour {{math|1=''k'' = {{sfrac|1|2}}}}) :
:pour tout {{mvar|x}} non nul tel que {{math|''x''2}} est rationnel, {{math|cos ''x''}} est non nul et {{math|''x'' tan ''x''}} est irrationnel.

Puisque {{math|cos({{MathPi}}/2) {{=}} 0}}, ce dernier résultat montre que {{math|{{MathPi}}2/4}} est irrationnel et donc que {{MathPi}} est irrationnel.

Une autre conséquence est le [[Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres à tangente rationnelle, dont π|résultat de Lambert]] : la tangente de tout rationnel non nul est un irrationnel.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Proof that π is irrational|1078069591|type=n}}
{{Références}}

== Article connexe ==
[[e (nombre)#Irrationalité|Preuve de l'irrationalité de {{math|e}}]]

{{Portail|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Preuve de l'irrationalité de pi}}
[[Catégorie:Pi]]
[[Catégorie:Théorème de la théorie des nombres|Irrationalité de Pi]]


text:
# Hyperkinésie
 Mise en garde médicale
L'hyperkinésie (ou trouble hyperkinétique) est fréquemment associée à un « syndrome d'hyperactivité » (particulièrement diagnostiqué chez les enfants), à une « dysfonction cérébrale minime », à une « réaction hyperkinétique de l'enfance ». Bien que les symptômes et l'étiologie présumée varient, les comportements sont, en général, similaires. Ce terme est associé à de nombreux autres termes médicaux.
Les degrés typiques de symptômes diagnostiquant ce trouble incluent : hyperactivité des fonctions motrices (les enfants vont d'activité en activité) ; troubles du sommeil ; changements d'humeur (un jour il va bien, le jour suivant il ne va pas bien) ; maladresse ; comportement agressif ; impulsivité ; comportements et dérives antisociaux (non-respect des règles), et fréquemment problèmes de dyslexie (Stewart et al., 1966; Stewart, 1970; Wender, 1971). L'hyperkinésie est un terme récent dans le domaine médical ; il est souvent utilisé pour désigner tous les types de symptômes liés à ce trouble.
Le mot est récent, mais les racines et les traitements de ce trouble ont été découverts bien plus tôt.

## Classifications
Les troubles hyperkinétiques sont au diagnostic psychiatrique de la classification internationale des maladies (CIM-10), l'équivalent du diagnostic consacré au trouble du déficit de l'attention exposé dans le manuel diagnostique et statistique des troubles mentaux (DSM-IV).
Le trouble hyperkinétique seul est classifié dans la CIM sous les termes de « perturbation de l'activité et de l'attention », « autres troubles hyperkinétiques » ou « trouble hyperkinétique, non spécifiés ». Plus tard, il est exprimé sous le terme de « syndrome hyperkinétique ». Lorsqu'un trouble des conduites (comme défini par la CIM-10) est également présent, la condition se traduit par « trouble des conduites hyperkinétique ».

## Prévalence, genre...
Ce trouble est six fois plus répandu chez les garçons que chez les filles[réf. souhaitée].

title: Hyperkinésie

wikitext:
{{Ébauche|psychiatrie}}
{{Infobox Maladie
| Nom = Troubles hyperkinétiques
| DiseasesDB =
| ICD10 = {{ICD10|F|90||f|90}}
| ICD9 = {{ICD9|314.00}}, {{ICD9|314.01}}
| OMIM =
| MedlinePlus =
| eMedicineSubj =
| eMedicineTopic =
| eMedicine_mult =
| MeshID =
}}

L''''hyperkinésie''' (ou '''trouble hyperkinétique''') est fréquemment associée à un « syndrome d'[[hyperactivité]] » (particulièrement diagnostiqué chez les [[enfant]]s), à une « dysfonction cérébrale minime », à une « réaction hyperkinétique de l'enfance ». Bien que les [[symptôme]]s et l'[[étiologie]] présumée varient, les comportements sont, en général, similaires. Ce terme est associé à de nombreux autres termes médicaux.

Les degrés typiques de symptômes diagnostiquant ce trouble incluent : hyperactivité des fonctions motrices (les enfants vont d'activité en activité) ; troubles du sommeil ; changements d'humeur (un jour il va bien, le jour suivant il ne va pas bien) ; maladresse ; comportement agressif ; impulsivité ; comportements et dérives [[Personnalité antisociale|antisociaux]] (non-respect des règles), et fréquemment problèmes de [[dyslexie]] (Stewart {{et al.}}, 1966; Stewart, 1970; Wender, 1971). L'hyperkinésie est un terme récent dans le domaine médical ; il est souvent utilisé pour désigner tous les types de symptômes liés à ce trouble.

Le mot est récent, mais les racines et les traitements de ce trouble ont été découverts bien plus tôt.

== Classifications ==
Les troubles hyperkinétiques sont au diagnostic [[psychiatrie|psychiatrique]] de la [[classification internationale des maladies]] (CIM-10)<ref>{{lien web|url=http://www.legislation-psy.com/spip.php?article446|titre=F90 Troubles hyperkinétiques|consulté le=27 novembre 2011|site=Législation-psy}}.</ref>, l'équivalent du diagnostic consacré au [[Trouble du déficit de l'attention avec ou sans hyperactivité|trouble du déficit de l'attention]] exposé dans le [[manuel diagnostique et statistique des troubles mentaux]] (DSM-IV)<ref>{{en}} [http://counsellingresource.com/distress/adhd/hyperkinesis.html].</ref>.

Le trouble hyperkinétique seul est classifié dans la CIM sous les termes de « perturbation de l'activité et de l'attention », « autres troubles hyperkinétiques » ou « trouble hyperkinétique, non spécifiés ». Plus tard, il est exprimé sous le terme de « [[syndrome]] hyperkinétique »<ref name=ICD10/>. Lorsqu'un [[trouble des conduites]] (comme défini par la CIM-10<ref name=ICD10>{{en}} {{lien web|titre=CIM-10|url=http://www.who.int/classifications/icd/en/|site=Organisation mondiale de la santé (OMS)|consulté le=11 décembre 2006}}.</ref>) est également présent, la condition se traduit par « trouble des conduites hyperkinétique ».

==Prévalence, genre...==
Ce trouble est six fois plus répandu chez les garçons que chez les filles{{refsou}}.

== Soins==
{{...}}

== Références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
{{...}}
=== Liens externes ===
{{...}}
=== Bibliographie ===
{{...}}

{{Palette|Troubles mentaux et du comportement}}
{{Portail|médecine|psychologie}}

[[Catégorie:Sémiologie neurologique]]
[[Catégorie:Sémiologie psychiatrique]]
[[Catégorie:Symptôme]]
[[Catégorie:Terme médical]]
[[Catégorie:Trouble émotionnel et du comportement]]
[[Catégorie:Attention]]

title: Traitement

Spécialité: Psychiatrie

title: Classification et ressources externes


text:
# Maladie de Dercum
 Mise en garde médicale
La maladie de Dercum, dite aussi adipose douloureuse ou neurolipomatose, est une affection très rare qui touche majoritairement les femmes, et particulièrement les personnes atteintes d'obésité. Elle se caractérise par le développement de lipomes multiples et douloureux (souvent bénins). Les lipomes peuvent se situer n'importe où sur le corps et causer une douleur intense, invalidante et chronique. Elle survient en général chez les adultes. Cette maladie est chronique et tend à être progressive. La cause exacte n’est pas connue. Certains cas semblent être héréditaires.

## Épidémiologie
La maladie de Dercum survient généralement entre 35 et 50 ans, cinq à trente fois plus souvent chez les femmes que chez les hommes.
Il est établi par enquête que 85,7 % des patientes concernées ont développé la maladie de Dercum avant la ménopause.
La prévalence de cette affection n'est pas établie.

## Transmission
Généralement sporadiques, des cas familiaux de maladie de Dercum d'expression variable révèlent une transmission autosomique dominante.

## Physiopathologie
Une étude du fonctionnement des vaisseaux lymphatiques de patients atteints de cette affection, par imagerie de fluorescence dans le proche-infrarouge (NIRF), a montré que les lymphatiques visualisés propulsaient lentement la lymphe chez ces patients par rapport aux témoins. Or il est notoire que la stase lymphatique induit l'accumulation de graisse (symptômes du lymphœdème) ; l'étiologie de la maladie de Dercum pourrait être un désordre lymphovasculaire.

## Symptômes
La maladie de Dercum est une maladie qui se caractérise par l’apparition de  lipomes (tumeurs bénignes de globules graisseux). Ils sont sous-cutanés et douloureux (bosses fermes). Ils ont en général un diamètre variant de 5  à   7 centimètres. Les patients subissent des douleurs chroniques, et voient souvent apparaître ces lipomes sur tout le corps, à l'exception du visage et du cou. Leur localisation est plus fréquente au niveau des genoux (adipose juxta-articulaire douloureuse), du dos, du haut des bras et de la partie supérieure des cuisses. Au niveau de ces lipomes se forment des ecchymoses. La zone atteinte peut provoquer des effets désagréables au toucher (paresthésie) comme des picotements, des fourmillements ou des engourdissements.
D’autres symptômes sont associés à cette maladie mais n’apparaissent pas chez tous les patients. La causalité et le lien ne sont pas établis avec certitude.
Les symptômes les plus courants incluent :
- fatigue
- troubles du sommeil
- faiblesse musculaire
- constipation
- anomalies psychiatriques : confusion, épilepsie, anxiété, dépression, irritabilité, déclin progressif des fonctions intellectuelles.

Les symptômes et les douleurs augmentent en intensité en fonction de l’index de masse musculaire.

## Diagnostic

### Examen clinique
Le diagnostic est en majorité clinique, et certains symptômes comme une obésité et des douleurs chroniques (pendant plus de 3 mois) au niveau de dépôts lipidiques en sont des éléments clés. Il reste malgré tout tardif en raison du large spectre des symptômes et des signes cliniques.
En effet, l’apparition ou l’absence de certains symptômes va être décisif dans le diagnostic. Si les symptômes évoquent en diagnostic différentiel une fibromyalgie, alors la personne sera diagnostiquée fibromyalgique plutôt qu'atteinte de la maladie de Dercum. S'il y a des dépôts graisseux dans le cou, sur la tête ou sur le torse, la maladie de Madelung sera diagnostiquée. Enfin, si les lipomes et les douleurs sont isolées, alors le diagnostic penchera vers une maladie de Dercum nodulaire.

### Examens complémentaires
On peut identifier les lipomes grâce à l’IRM, l’échographie ou grâce à l’analyse de tissus issus d’une biopsie. En effet, un médecin peut facilement reconnaître les lipomes. Les lipomes ne sont pas une forme de cancer et ils deviennent rarement cancéreux. Si un lipome commence à changer de quelques façons, un médecin peut faire une biopsie.

## Prise en charge
Pour l’instant, il n’existe pas de médicament permettant d’atténuer la douleur de manière durable et importante. Il n’y a aussi aucun traitement permettant d’inverser le cours de l’évolution de la maladie. Certains peuvent soulager de façon temporaire la douleur comme :
- la prednisone
- la lidocaïne (par voie intraveineuse)
- les anti-inflammatoires non stéroïdiens
- la cortisone ou les anesthésiants (pour une douleur localisée)

Les médicaments diurétiques peuvent baisser les gonflements aux doigts.
Au niveau chirurgical, une liposuccion ou une excision des lipomes peuvent être envisagées. Cependant, les lipomes peuvent revenir aux mêmes endroits.

## Sources
- (en) Online Mendelian Inheritance in Man, OMIM (TM). Johns Hopkins University, Baltimore, MD. MIM Number:103200
- Page spécifique sur Orphanet
- (en)  Site de la NIH (Genetic Home Reference)
- (en)  Site de la NCBI
- (en)  Site de la The Genetic and Rare Diseases Information Center (GARD)
- (en)  Article scientifique
- http://www.em-consulte.com/en/article/34345 Article scientifique
- [http://www.chu-rouen.fr Site du CHU de Rouen

title: Maladie de Dercum

wikitext:
{{Infobox Maladie
 | Nom             = Maladie de Dercum <!-- Ou le nom complet de la maladie -->
 | Image           = Nervous and mental diseases (1919) (14781727145).jpg|thumb|
 | Width           = <!-- Taille de l'image -->
 | ICD10           = {{ICD10|E|88|2}}
 | ICD9            = {{ICD9|272.8}}
 | ICDO            =
 | OMIM            = 103200
 | DiseasesDB      =
 | MedlinePlus     =
 | eMedicineSubj   =
 | eMedicineTopic  =
 | MeshID          = D000274
 | GeneReviewsID   =
 | GeneReviewsName =
 | handicap        =
 | voir aussi      =
}}
La {{Terme défini |maladie de Dercum}}, dite aussi {{Terme défini |adipose douloureuse}} ou {{Terme défini |neurolipomatose}}, est une affection très rare qui touche majoritairement les femmes, et particulièrement les personnes atteintes d'[[obésité]]. Elle se caractérise par le développement de [[lipome]]s multiples et douloureux (souvent bénins). Les lipomes peuvent se situer n'importe où sur le corps et causer une douleur intense, invalidante et chronique. Elle survient en général chez les adultes. Cette maladie est chronique et tend à être progressive. La cause exacte n’est pas connue. Certains cas semblent être héréditaires.

== Historique ==
<!--
Histoire de la découverte et de la prise en charge de la maladie.
* Première description
* Conceptions des causes de la maladie
* Traitement dans le temps
-->{{…}}

== Épidémiologie ==
<!--
* Prévalence
* Incidence
* Évolution de ces facteurs, corrélation avec la démographie, le mode de vie, les facteurs de risque
* Facteurs de risque
-->La maladie de Dercum survient généralement entre 35 et 50 ans, cinq à trente fois plus souvent chez les femmes que chez les hommes.
Il est établi par enquête que 85,7 % des patientes concernées ont développé la maladie de Dercum avant la ménopause.
La [[prévalence]] de cette affection n'est pas établie<ref name="hansson2012">{{Cite pmid |22546240}}</ref>.
{{…}}

== Transmission ==
Généralement sporadiques, des cas familiaux de maladie de Dercum d'expression variable révèlent une [[transmission autosomique dominante]]<ref name="hansson2012"/>.

== Physiopathologie ==
<!--
Description des causes et des mécanismes physiologiques de la maladie, éventuellement des étiologies possibles.
-->
Une étude du fonctionnement des [[Vaisseau lymphatique|vaisseaux lymphatiques]] de patients atteints de cette affection, par imagerie de fluorescence dans le proche-infrarouge (NIRF), a montré que les lymphatiques visualisés propulsaient lentement la lymphe chez ces patients par rapport aux témoins. Or il est notoire que la stase lymphatique induit l'accumulation de graisse (symptômes du [[lymphœdème]]) ; l'[[étiologie]] de la maladie de Dercum pourrait être un désordre lymphovasculaire<ref name="rasmussen2014">{{Cite pmid |25044620}}</ref>.
{{…}}

== Symptômes ==
La maladie de Dercum est une maladie qui se caractérise par l’apparition de  lipomes ([[Tumeur bénigne|tumeurs bénignes]] de globules graisseux). Ils sont sous-cutanés et douloureux (bosses fermes). Ils ont en général un diamètre variant de {{unité/2|5|à=7|centimètres}}. Les patients subissent des douleurs chroniques, et voient souvent apparaître ces lipomes sur tout le corps, à l'exception du visage et du cou. Leur localisation est plus fréquente au niveau des genoux (adipose juxta-articulaire douloureuse), du dos, du haut des bras et de la partie supérieure des cuisses. Au niveau de ces lipomes se forment des [[Ecchymose|ecchymoses]]. La zone atteinte peut provoquer des effets désagréables au toucher ([[paresthésie]]) comme des picotements, des fourmillements ou des engourdissements.
D’autres symptômes sont associés à cette maladie mais n’apparaissent pas chez tous les patients. La causalité et le lien ne sont pas établis avec certitude.
Les symptômes les plus courants incluent :
* fatigue
* troubles du sommeil
* faiblesse musculaire
* [[constipation]]
* anomalies psychiatriques : confusion, [[épilepsie]], [[anxiété]], [[Dépression (psychiatrie)|dépression]], irritabilité, déclin progressif des fonctions intellectuelles.

Les symptômes et les douleurs augmentent en intensité en fonction de l’index de masse musculaire.

== Diagnostic ==
=== Examen clinique ===
Le diagnostic est en majorité clinique, et certains symptômes comme une obésité et des douleurs chroniques (pendant plus de 3 mois) au niveau de dépôts lipidiques en sont des éléments clés. Il reste malgré tout tardif en raison du large spectre des symptômes et des signes cliniques.
En effet, l’apparition ou l’absence de certains symptômes va être décisif dans le diagnostic. Si les symptômes évoquent en [[diagnostic différentiel]] une [[fibromyalgie]], alors la personne sera diagnostiquée fibromyalgique plutôt qu'atteinte de la maladie de Dercum. S'il y a des dépôts graisseux dans le cou, sur la tête ou sur le torse, la maladie de Madelung sera diagnostiquée. Enfin, si les lipomes et les douleurs sont isolées, alors le diagnostic penchera vers une maladie de Dercum nodulaire.

=== Examens complémentaires ===
On peut identifier les lipomes grâce à l’[[Imagerie par résonance magnétique|IRM]], l’[[échographie]] ou grâce à l’analyse de tissus issus d’une [[biopsie]]. En effet, un médecin peut facilement reconnaître les lipomes. Les lipomes ne sont pas une forme de [[cancer]] et ils deviennent rarement cancéreux. Si un lipome commence à changer de quelques façons, un médecin peut faire une biopsie.

== Prise en charge  ==
<!--
* Traitement médicamenteux
* Traitement physique (kinésithérapie, rééducation, etc.)
* Prise en charge sociale, psychologique, groupes de malades (s'il y a lieu).
-->Pour l’instant, il n’existe pas de médicament permettant d’atténuer la douleur de manière durable et importante. Il n’y a aussi aucun traitement permettant d’inverser le cours de l’évolution de la maladie. Certains peuvent soulager de façon temporaire la douleur comme :
* la [[prednisone]]
* la [[lidocaïne]] (par voie intraveineuse)
* les [[Anti-inflammatoire non stéroïdien|anti-inflammatoires non stéroïdiens]]
* la [[cortisone]] ou les [[Anesthésiant|anesthésiants]] (pour une douleur localisée)
Les médicaments diurétiques peuvent baisser les gonflements aux doigts.

Au niveau chirurgical, une liposuccion ou une excision des lipomes peuvent être envisagées. Cependant, les lipomes peuvent revenir aux mêmes endroits.

== Évolution et complications ==
<!--
* Expliquer les éventuelles complications et leur causes.
* Évolution de la maladie sans traitement
* Évolution sous traitement
-->{{…}}

== Prévention  ==
<!--
Vaccinations, campagnes de préventions, dépistage, prévention de l'entourage en cas de maladie infectieuse, etc.
-->{{…}}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Sources ==
* {{en}} Online Mendelian Inheritance in Man, OMIM (TM). Johns Hopkins University, Baltimore, MD. MIM Number:103200  [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/omim/103200]
*[http://www.orpha.net/consor/cgi-bin/Disease_Search.php?lng=FR&data_id=10426 Page spécifique] sur ''[[Orphanet]]''
* {{en}} [https://ghr.nlm.nih.gov/condition/adiposis-dolorosa#diagnosis] Site de la [https://ghr.nlm.nih.gov/ NIH (Genetic Home Reference)]
* {{en}} [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/medgen/C0001529] Site de la [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/ NCBI]
* {{en}} [https://rarediseases.info.nih.gov/dis1eases/5750/index] Site de la [https://rarediseases.info.nih.gov/ The Genetic and Rare Diseases Information Center (GARD)]
* [https://www.dermatologie-pratique.com/journal/article/maladie-de-dercum]
* {{en}} [https://ojrd.biomedcentral.com/articles/10.1186/1750-1172-7-23] Article scientifique
* http://www.em-consulte.com/en/article/34345 Article scientifique
* [http://www.chu-rouen.fr/page/adipose-douloureuse [http://www.chu-rouen.fr Site du CHU de Rouen]

{{Portail|médecine}}

{{CLEDETRI:Dercum, Maladie De}}
[[Catégorie:Maladie génétique]]
[[Catégorie:Maladie rare]]

title: Traitement

Spécialité: Endocrinologie

title: Classification et ressources externes


text:
# Ma Li (football)
Dans ce nom chinois, le nom de famille, Ma, précède le nom personnel.
Pour les articles homonymes, voir Ma.
Ma Li, née le 3 mars 1969, est une footballeuse chinoise. Elle évolue au poste de défenseur.

## Biographie
Ma Li dispute avec l'équipe de Chine la Coupe du monde féminine 1991. Elle inscrit de la tête le premier but de l'histoire de la compétition, le 16 novembre 1991 au stade Tianhe de Canton, contre la Norvège. Elle dispute quatre matchs dans cette compétition, lors de laquelle les chinoises sont éliminées au stade des quarts de finale.

title: Ma Li (football)

wikitext:
{{ébauche|footballeuse|personnalité chinoise}}
{{nom asiatique|Ma|langue=[[langue chinoise|chinois]]}}
{{homon|Ma}}
{{Infobox Footballeur
|nom                 = Ma Li
|image               =
|légende             =
|date de naissance   = {{date de naissance|3|mars|1969|en football|âge=oui}}
|lieu de naissance   =
|date de décès =
|lieu de décès =
|taille              =
|position            = [[Défenseur (football)|Défenseur]]
|période pro         =
|parcours pro         =
|sélection nationale  = {{parcours national
    |[[1991]]|{{CHN-d}} [[Équipe de Chine féminine de football|Chine]]|{{0}}{{0}}4 {{0}}(1)
    }}
}}

'''Ma Li''', née le {{date de naissance|3|mars|1969|en football}}, est une footballeuse [[Chine|chinoise]]. Elle évolue au poste de [[défenseur (football)|défenseur]].

== Biographie ==
{{...}}

Ma Li dispute avec l'[[Équipe de Chine féminine de football|équipe de Chine]] la [[Coupe du monde féminine de football 1991|Coupe du monde féminine 1991]]. Elle inscrit de la tête le premier but de l'histoire de la compétition, le {{date-|16 novembre 1991}} au [[stade Tianhe]] de [[Canton (Chine)|Canton]], contre la [[Équipe de Norvège féminine de football|Norvège]]<ref>{{lien web|url=http://fr.fifa.com/womens-football/news/y=2016/m=4/news=ma-a-tout-jamais-la-premiere-2780314.html|titre=Ma, à tout jamais la première|date=9 avril 2016|site=fr.fifa.com|consulté le=24 avril 2016}}</ref>. Elle dispute quatre matchs dans cette compétition, lors de laquelle les chinoises sont éliminées au stade des quarts de finale<ref>{{FIFA|377|Ma Li}}</ref>.

== Références ==
{{références}}

== Liens externes ==
*{{Bases sport}}

{{Palette|Chine coupe du monde féminine 1991}}
{{Portail|football|Chine}}
{{DEFAULTSORT:Ma, Li}}
[[Catégorie:Footballeuse internationale chinoise]]
[[Catégorie:Naissance en mars 1969]]
[[Catégorie:Naissance en Chine]]

title: Biographie

Nationalité: Chinoise

Naissance: 3 mars 1969 · République populaire de Chine

Poste: Défenseur

title: Sélections en équipe nationale2

Années: Équipe · 0M.0(B.)

Chine · 04 0(1)

Sélections en équipe nationale2:
2 Matchs officiels. ·
modifier


text:
# Chonetidae
Famille
Les Chonetidae sont une famille fossile de Brachiopodes de l'ordre des Strophomenida.

## Liste des sous-familles et genres
Selon la Paleobiology Database (24 août 2023) :
- sous-famille des † Chonetinae Bronn 1862
  - † Boicinetes
  - † Chonetes Fischer de Waldheim 1830
  - † Plebejochonetes
- sous-famille des † Dagnachonetinae Racheboeuf 1981
  - † Corbicularia Ljaschenko 1973
  - † Dagnachonetes
  - † Frankiella
  - † Luanquella
  - † Mamutinetes
  - † Nurochonetes
  - † Pradochonetes
  - † Rhyssochonetes
  - † Sinochonetes
- sous-famille des † Devonochonetinae Muir-Wood 1962
  - † Aseptonetes
  - † Devonochonetes Muir-Wood 1962
  - † Hallinetes Racheboeuf and Feldman 1990
  - † Huananochonetes Wang et al. 1981
  - † Longispina
  - † Montsenetes
  - † Striatochonetes
- sous-famille des † Notiochonetinae Racheboeuf 1992
  - † Allanetes
  - † Notiochonetes
  - † Pleurochonetes
- sous-famille des † Retichonetinae Muir-Wood 1962
  - † Austronoplia
  - † Retichonetes

title: Chonetidae

wikitext:
{{Taxobox début | animal | Chonetidae|Chonetes gracilis internal mould inmatrix frontal.jpg|Moule interne d'une coquille de ''[[Chonetes gracilis]]'' (échelle : {{unité|13 mm}} le long de l'axe), collectée près de [[Kielce]], en [[Pologne]], datée de la fin du [[Dévonien]] moyen ([[Emsien]]).|classification=tpdb }}
{{Taxobox période|{{période fossile|460.9|174.1}}|[[Costonien]] de l'[[Ordovicien]] au [[Jurassique inférieur]].|collections=1559}}
{{Taxobox|clade|Bilateria}}
{{Taxobox|clade|Eubilateria}}
{{Taxobox|clade|Protostomia}}
{{Taxobox|clade|Spiralia}}
{{Taxobox|super-embranchement|Lophotrochozoa}}
{{Taxobox|clade|Lophophorata}}
{{Taxobox|embranchement|Brachiopoda}}
{{Taxobox|sous-embranchement|Rhynchonelliformea}}
{{Taxobox|classe|Strophomenata|éteint=oui}}
{{Taxobox|ordre|Strophomenida|éteint=oui}}
{{Taxobox|super-famille|Chonetoidea|éteint=oui}}
{{Taxobox taxon | animal | famille | Chonetidae |[[Heinrich Georg Bronn|Bronn]], [[1862 en paléontologie|1862]]|éteint=oui}}
{{Taxobox fin}}

Les {{Dfn|Chonetidae}} sont une [[Famille (biologie)|famille]] [[Taxon fossile|fossile]] de [[Brachiopodes]] de l'[[Ordre (biologie)|ordre]] des [[Strophomenida]].

== Liste des sous-familles et genres ==
Selon la {{Bioref|TPDB|24 août 2023}} :
{{colonnes|taille=25|
* sous-famille des {{éteint}} [[Chonetinae]] Bronn 1862
** {{éteint}} ''[[Boicinetes]]''
** {{éteint}} ''[[Chonetes]]'' Fischer de Waldheim 1830
** {{éteint}} ''[[Plebejochonetes]]''
* sous-famille des {{éteint}} [[Dagnachonetinae]] Racheboeuf 1981
** {{éteint}} ''[[Corbicularia]]'' Ljaschenko 1973
** {{éteint}} ''[[Dagnachonetes]]''
** {{éteint}} ''[[Frankiella]]''
** {{éteint}} ''[[Luanquella]]''
** {{éteint}} ''[[Mamutinetes]]''
** {{éteint}} ''[[Nurochonetes]]''
** {{éteint}} ''[[Pradochonetes]]''
** {{éteint}} ''[[Rhyssochonetes]]''
** {{éteint}} ''[[Sinochonetes]]''
* sous-famille des {{éteint}} [[Devonochonetinae]] Muir-Wood 1962
** {{éteint}} ''[[Aseptonetes]]''
** {{éteint}} ''[[Devonochonetes]]'' Muir-Wood 1962
** {{éteint}} ''[[Hallinetes]]'' Racheboeuf and Feldman 1990
** {{éteint}} ''[[Huananochonetes]]'' Wang et al. 1981
** {{éteint}} ''[[Longispina]]''
** {{éteint}} ''[[Montsenetes]]''
** {{éteint}} ''[[Striatochonetes]]''
* sous-famille des {{éteint}} [[Notiochonetinae]] Racheboeuf 1992
** {{éteint}} ''[[Allanetes]]''
** {{éteint}} ''[[Notiochonetes]]''
** {{éteint}} ''[[Pleurochonetes]]''
* sous-famille des {{éteint}} [[Retichonetinae]] Muir-Wood 1962
** {{éteint}} ''[[Austronoplia]]''
** {{éteint}} ''[[Retichonetes]]''
}}

== Liens externes ==
{{Autres projets
| commons titre=Catégorie Chonetidae
| commons=Category:Chonetidae
| species=Chonetidae
}}
* {{BioLib | taxon | 1162952 | Chonetidae Bronn, 1862 | consulté le=24 août 2023 }}
* {{GBIF | 3252345 | Chonetidae | consulté le=24 août 2023 }}
* {{IRMNG | 111774 | † Chonetidae Bronn, 1862 | consulté le=24 août 2023 }}
* {{TPDB | 96899 | Chonetidae | consulté le=24 août 2023}}
* {{Taxonomicon | 201476 | †Chonetidae Bronn, 1862 | consulté le=24 août 2023}}

== Notes et références ==
{{références}}

{{Portail|zoologie|Paléontologie}}

[[Catégorie:Taxon fossile décrit en 1862]]
[[Catégorie:Brachiopode préhistorique]]
[[Catégorie:Famille de protostomiens préhistoriques (nom scientifique)]]

title: Classification Paleobiology Database

Règne: Animalia

Clade: Bilateria Eubilateria Protostomia Spiralia Lophophorata

Super-embr.: Lophotrochozoa

Embranchement: Brachiopoda

Sous-embr.: Rhynchonelliformea

Classe: † Strophomenata

Ordre: † Strophomenida

Super-famille: † Chonetoidea


text:
# Johnstraße (métro de Vienne)
Johnstraße est une station de métro de Vienne.

title: Johnstraße (métro de Vienne)

wikitext:
{{Ébauche|station de métro|Vienne (Autriche)}}
{{Infobox Station de métro
| nom                   = Johnstraße [[Fichier:U-Bahn Wien.svg|20px]]
| image                 = Wien U3 Johnstraße DSC07339.JPG
| légende               = La plateforme de la station.
| pays                  = [[Autriche]]
| ville                 = [[Vienne (Autriche)|Vienne]]
| titre quartier        =
| quartier              = [[Rudolfsheim-Fünfhaus]]
| adresse               =
| latitude              = 48.19755
| longitude             = 16.32066
| position              =
| voies                 =
| quais                 =
| bouches               =
| accessibilité         =
| zone                  =
| transit               =
| construction          =
| mise en service       = {{date|1994|dans les chemins de fer}}
| nom inaugural         =
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| architecte            =
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| ligne                 = {{Métro de Vienne/correspondances|3}}
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| station précédente 1  = [[Hütteldorfer Straße (métro de Vienne)|Hütteldorfer Straße]]
| station suivante 1    = [[Schweglerstraße (métro de Vienne)|Schweglerstraße]]
}}

'''Johnstraße''' est une station de métro de [[Vienne (Autriche)|Vienne]].

== Situation sur le réseau ==
{{...}}<!-- l'emplacement de la station sur le réseau du métro -->

== Histoire ==
{{...}}<!-- l'histoire de la station sans oublier de sourcer les informations -->

== Service des voyageurs ==

=== Accueil ===
{{...}}<!-- les installations et services -->
[[Fichier:U3 Johnstraße 03-2008a.jpg|vignette|néant|Entrée de la station.]]

=== Desserte ===
{{...}}<!-- les rames qui desservent la station-->

=== Intermodalité ===
{{...}}<!-- autres moyens de transport, dont transports en commun, disponibles à proximité immédiate-->

== Notes et références ==
{{Références}}{{...}}<!-- voir [[aide:Présentez vos sources]]-->

== Voir aussi ==
{{autres projets|commons=Category:U-Bahnhof Johnstraße (Wien) |commons titre=Images de la station Johnstrasse}}

=== Articles connexes ===
* [[Métro de Vienne]]
* [[Ligne U3 du métro de Vienne]]

=== Lien externe ===
* {{...}}

== Liens externes ==
{{Liens}}

{{Palette|Ligne U3 du métro de Vienne}}
{{Portail|métro|Vienne (Autriche)}}

[[Catégorie:Station de la ligne U3 du métro de Vienne]]
[[Catégorie:Station de métro mise en service en 1994]]

title: Localisation

Pays: Autriche

Ville: Vienne

Quartier: Rudolfsheim-Fünfhaus

Coordonnées · géographiques: 48° 11′ 51″ nord, 16° 19′ 14″ est

title: Historique

title: Gestion et exploitation

Ligne(s): Ligne U3 du métro de Vienne

title: Ligne U3 du métro de Vienne

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Ligne U3 du métro de Vienne: modifier