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# Critère de divisibilité
En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, un critère de divisibilité est une particularité d'un entier permettant de déterminer si ce nombre est divisible par un autre. Malgré leur apparence de « recette de cuisine », les critères de divisibilité sont fondés sur des démonstrations mathématiques ; il est possible d'en trouver pour n'importe quel nombre grâce aux congruences.

## Jalons historiques
La recherche de divisibilité est une activité classique en arithmétique et les critères de divisibilité y apparaissent fréquemment, redécouverts plusieurs fois dans diverses cultures et diverses périodes. Outre les critères classiques de divisibilité par 2 et 5, on voit apparaitre assez tôt des critères de divisibilité par 7, 9, 11, 13.
On trouve ainsi dans le Talmud de Babylone (VIe siècle), l'utilisation de la propriété suivante :
{\displaystyle 100c+u} et {\displaystyle 2c+u} ont même reste dans la division par 7;
Selon Fontés, les mathématiciens arabes connaissaient le critère de divisibilité par 9 et l'utilisaient dans la preuve par neuf.
En Europe, on a trace d'une réduction du nombre par la gauche pour une divisibilité par 7 chez Pierre Forcadel, qui pose, dans son arithmétique de 1556, la règle suivante : pour obtenir le reste d'un nombre dans la division par 7, prendre le chiffre le plus à gauche, le multiplier par 3 et ajouter le reste dans la division euclidienne de ce nombre par 7 au chiffre suivant.
Blaise Pascal, dans son De Numeris Multiplicibus de 1654, propose un test de divisibilité général par D consistant à remplacer dans l'écriture d'un nombre chaque puissance de 10 par son reste dans la division par D. Il remarque également que son critère s'applique aussi à une écriture dans toute autre base que la décimale.
En 1738, Georg Wolfgang Krafft expose des critères de divisibilité par 7 et propose à cette occasion  une méthode de réduction par la droite: il remarque que, si {\displaystyle 10c+b=3m}, alors le nombre {\displaystyle N} égal à {\displaystyle 10a+b} est divisible par 7 si et seulement si {\displaystyle a+m-c} est divisible par 7.
En 1795, Joseph-Louis Lagrange reprend le critère de Pascal et l'élargit en proposant de prendre, non pas le reste de la puissance de 10, mais l'entier relatif le plus proche de 0 ayant même reste, de telle sorte que les coefficients soient, en valeur absolue, plus petits que D/2.
Le XIXe siècle voit fleurir de nombreuses publications sur les critères de divisibilité par réduction par la droite. En 1834, Carl Johan Hill (sv) présente, sans démonstration et en se référant à Krafft, de multiples critères de réduction par la gauche (divisibilité par 13, 17, 59, 73, 97, 103, 137, ...) ou par la droite (divisibilité par 7, 11, 29,...) par tranches de un, deux ou trois chiffres. En 1844, August Leopold Crelle publie dans son Journal des résultats de théorie des nombres et donne un critère général de divisibilité dans l'écriture dans une base A quelconque dont peuvent se déduire les méthodes de réductions par la gauche et par la droite:
pour un nombre {\displaystyle Z=x_{m}A^{m}+x_{m-1}A^{m-1}+\cdots +x_{1}A+x_{0}}, et pour un diviseur {\displaystyle s}, si les entiers {\displaystyle n} et {\displaystyle r} sont liés par la relation {\displaystyle nA=r+ks} alors, en posant {\displaystyle z=x_{m}r^{m}+x_{m-1}r^{n-1}n+\cdots +x_{1}r^{1}n^{m-1}+x_{0}n^{m}}, on a {\displaystyle Z} est divisible par {\displaystyle s} si et seulement si {\displaystyle z} l'est.
Le cas {\displaystyle n=\pm 1} donne un critère de réduction par la gauche et le cas {\displaystyle r=\pm 1}  en donne un par la droite. Ce cas général permet en outre d'opérer des réductions par tranches. En 1860, A. Zbikowski présente et démontre explicitement le critère par réduction (soustractive) par la droite et fournit les coefficients pour tous les diviseurs premiers jusqu'à 101. En 1888, M. Loir présente et démontre la même règle et fournit la méthode pour trouver le coefficient à appliquer selon le chiffre des unités du diviseur.

## Notations
Par la suite, on notera {\displaystyle A={\overline {a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}}}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}10^{k}=10d+a_{0}}, le nombre dont la  divisibilité par {\displaystyle D} est étudiée.

## Méthode de Pascal
On calcule à l'avance le reste de chaque puissance de 10 dans la division par {\displaystyle D} (on le diminue éventuellement de {\displaystyle D} s'il dépasse {\displaystyle D/2}). Il n'y a qu'un nombre fini de restes à calculer car ce  « ruban » de restes est périodique : en effet il n'existe qu'un nombre fini de restes possibles et on retombe donc nécessairement sur un reste déjà trouvé, à partir duquel la suite des restes est périodique. On peut alors remplacer, dans l'écriture du nombre A, chaque puissance de 10 par son reste : le nombre obtenu aura toujours même reste que {\displaystyle A} dans la division par {\displaystyle D}.
Cette méthode fournit non seulement un critère de divisibilité mais donne également un moyen de connaitre le reste de la division de {\displaystyle A} par {\displaystyle D}.
Elle se généralise à l'écriture de {\displaystyle A} dans toute base {\displaystyle B} en cherchant les restes des puissances de {\displaystyle B} dans la division par {\displaystyle D}

### Critères classiques
Cette méthode fournit les critères de divisibilité les plus classiques
- par 2 : toutes les puissances de 10 d'exposant non nul ayant pour reste 0, il vient :

Un nombre est pair, c'est-à-dire divisible par 2, si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
- par 3: toutes les puissances de 10 ayant pour reste 1 dans la division par 3, il vient

Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3
- Par 5: toutes les puissances de 10 d'exposant non nul ayant pour reste 0, il vient :

Un nombre est  divisible par 5, si et seulement si son chiffre des unités est 0,ou 5.
- par 9: toutes les puissances de 10 ayant pour reste 1 dans la division par 9, il vient

Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9
- par 11: Les puissances de 10 ayant pour reste alternativement 1 et 10 (que l'on peut réduire à -1) dans la division par 11, il vient

Un nombre est divisible par 11 si et seulement si  la différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11
- par 7 : On utilise la clé de divisibilité : 1, 3, 2, −1, −3, −2. Celle-ci s'obtient par exemple à partir des restes de la division[22] de 1, 10, 100, etc. par 7, auxquels on retranche 7 lorsqu'ils dépassent 3. On multiplie par le chiffre correspondant de la clé chaque chiffre du nombre à analyser en commençant par les unités.

Un nombre est divisible par 7 si et seulement si le nombre obtenu à l'issue de cette somme-produit est divisible par 7
- Pour vérifier, par exemple, que 826 413 est divisible par 7, on regarde si le nombre 3 × 1 + 1 × 3 + 4 × 2 + 6 × (−1) + 2 × (−3) + 8 × (−2) est divisible par 7. La valeur absolue de ce nombre est 14, qui est bien divisible par 7 (on peut utiliser la table de multiplication ou une nouvelle fois le ruban de Pascal : 4 × 1 + 1 × 3 = 7).
- Inversement, 19 231 n'est pas divisible par 7 car 1 × 1 + 3 × 3 + 2 × 2 + 9 × (−1) + 1 × (−3) = 1 + 9 + 4 – 9 – 3 = 2 n'est pas un multiple de 7.

### Regroupement par blocs
Dans le cas où {\displaystyle D} premier avec 10, pour un très grand nombre, on peut raccourcir ce travail en le faisant précéder d'une réduction de ce nombre. On cherche d'abord le plus petit entier r > 0 tel que 10r ≡ ±1 mod D (pour 10r ≡ +1 mod D, cet entier r est la période du ruban de Pascal en base dix), puis on applique la méthode du « ruban de Pascal en base 10r », base pour laquelle la clé de divisibilité est très simple :
L'entier A peut se découper en nr blocs de r chiffres
{\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n_{r}-1}A_{i}10^{ri}}
ceci correspond à l'écriture de A dans la base {\displaystyle 10^{r}}. Et l'on applique alors la méthode de Pascal.
- si 10r est congru à 1 modulo D, l'entier A  a même reste que la somme de ces nr blocs.
- si 10r est congru à –1 modulo D, l'entier A a même reste que la somme alternée de ces nr blocs : A0 – A1 + A2 –  ....

On obtient ainsi un nombre B dont l'ordre de grandeur est voisin de 10r.
106 ≡ 1 mod 7 donc pour la divisibilité par 7, on découpera en tranches de 6.
1 000 109 826 303 est divisible par 7 si et seulement si 826 303 + 109 + 1, c'est-à-dire 826 413, l'est. Une fois le nombre ainsi réduit, l'une ou l'autre des deux méthodes précédentes montre qu'il est divisible par 7.
On peut réduire davantage la taille du nombre en remarquant que 103 ≡ –1 mod 7 et que l'on peut faire la somme alternée des blocs de 3 chiffres :
1 000 109 826 303 est divisible par 7 si et seulement si 303 – 826 + 109 – 0 + 1, c'est-à-dire –413, l'est.On recherche la divisibilité de 413 par la méthode de son choix..

## Réduction par la droite
Ces méthodes consiste à prendre le nombre de dizaines de {\displaystyle A}, c'est-à-dire à supprimer le chiffre des unités, et à lui ajouter le chiffre des unités multiplié par le bon coefficient permettant de conserver le caractère de divisibilité. Elles ne s'appliquent que pour des diviseurs {\displaystyle D} premiers avec 10, c'est-à-dire des diviseurs se terminant par 1, 3, 7, ou 9, et ne conservent pas le reste.

### Méthode soustractive

#### Critère
Puisque {\displaystyle D} est premier avec 10, il existe deux entiers naturels {\displaystyle \alpha } ({\displaystyle \alpha <10}) et  {\displaystyle \beta } tels que {\displaystyle \alpha D-\beta 10=1} (d'après le Théorème de Bézout).
Pour {\displaystyle A=10d+a_{0}}, on pose {\displaystyle A'=d-\beta a_{0}}. {\displaystyle A} est divisible par {\displaystyle D} si et seulement si {\displaystyle A'} l'est aussi
En général, cette technique permet de diminuer la taille du nombre et peut se réitérer avec le nombre {\displaystyle |A'|} jusqu'à reconnaitre un multiple ou un non-multiple de {\displaystyle D}.
Pour la divisibilité par 7, on peut remarquer que {\displaystyle 3\times 7-2\times 10=1} ce qui fournit {\displaystyle \alpha =3} et {\displaystyle \beta =2}.
Ensuite, pour vérifier, par exemple, que 826 413 est divisible par 7 :
826 413 est divisible par 7 si et seulement si 82 641  – 2 × 3, c'est-à-dire 82 635, l'est ;
82 635 est divisible par 7 si et seulement si 8 263  – 2 × 5, c'est-à-dire 8 253, l'est ;
8 253 est divisible par 7 si et seulement si 825  – 2 × 3, c'est-à-dire 819, l'est ;
819 est divisible par 7 si et seulement si 81  – 2 × 9, c'est-à-dire 63, l'est ;
enfin, 63 est divisible par 7 car 6 – 2 × 3, c'est-à-dire 0, l'est.

#### Recherche des coefficients
Il s'agit de trouver le plus petit multiple de {\displaystyle D} qui se termine par 1. L'observation du chiffre des unités de {\displaystyle D} permet de distinguer 4 cas:
- {\displaystyle D=10m+1\quad \alpha =1\quad \beta =m}
- {\displaystyle D=10m+3\quad \alpha =7\quad 7D=10\times 7m+20+1\quad \beta =7m+2}
- {\displaystyle D=10m+7\quad \alpha =3\quad 3D=10\times 3m+20+1\quad \beta =3m+2}
- {\displaystyle D=10m+9\quad \alpha =9\quad 9D=10\times 9m+80+1\quad \beta =9m+8}

Ainsi pour la divisibilité par 23, on retranchera 16 (= 2 × 7 + 2) fois le chiffre des unités au nombre de dizaines.

#### Critère d'arrêt
Le processus itéré fournit une suite d'entiers {\displaystyle A_{0}=A,\,A_{1}=|A'_{0}|,\cdots ,\,A_{n+1}=|A'_{n}|,\cdots }  La suite est décroissante tant que {\displaystyle A_{n}\geq \alpha D}
Il suffit donc de poursuivre le calcul tant que la suite est décroissante et de comparer le dernier nombre aux {\displaystyle \alpha -1} premiers multiples de {\displaystyle D}
On cherche la divisibilité de 24 213 par 33. On sait que {\displaystyle \alpha =7} et {\displaystyle \beta =23}
{\displaystyle A_{1}=2421-3\times 23=2352}
{\displaystyle A_{2}=242-5\times 23=189}
{\displaystyle A_{3}=|18-9\times 23|=189}
La suite cesse d'être décroissante, {\displaystyle 6\times 33=198} et {\displaystyle 5\times 33=165} donc 189 n'est pas multiple de 33 et 24 213 non plus.
On cherche la divisibilité de 17 603 par 29.  On sait que {\displaystyle \alpha =9} et {\displaystyle \beta =26}
{\displaystyle A_{1}=1760-3\times 26=1682}
{\displaystyle A_{2}=168-2\times 26=116}
{\displaystyle A_{3}=|11-6\times 26|=145}
La suite cesse d'être décroissante, {\displaystyle 4\times 29=116} donc 17 603 est divisible par 29

### Méthode additive

#### Critère
Puisque {\displaystyle D} est premier avec 10, il existe deux entiers naturels {\displaystyle \alpha } ({\displaystyle \alpha <10}) et  {\displaystyle \beta } tels que {\displaystyle \alpha D-\beta 10=-1}. Soit encore {\displaystyle \alpha D=(\beta -1)10+9}
Pour {\displaystyle A=10d+a_{0}}, on pose {\displaystyle A'=d+\beta a_{0}}. {\displaystyle A} est divisible par {\displaystyle D} si et seulement si {\displaystyle A'} l'est aussi.
En général, cette technique permet de diminuer la taille du nombre et peut se réitérer avec le nombre {\displaystyle A'} jusqu'à reconnaitre un multiple ou un non-multiple de {\displaystyle D}.
Pour la divisibilité par 19, on peut remarquer que {\displaystyle 19=1\times 10+9} ce qui fournit {\displaystyle \alpha =1} et {\displaystyle \beta =2}.
Ensuite, pour vérifier, par exemple, que 2 508 est divisible par 19 :
2 508 est divisible par 19 si et seulement si 250  + 2 × 8, c'est-à-dire 266, l'est ;
266 est divisible par 19 si et seulement si 26  + 2 × 6, c'est-à-dire 38, l'est.
38 est divisible par 19 si et seulement si 3  + 2 × 8, c'est-à-dire 19, l'est.
Donc 2 508 est divisible par 19

#### Recherche des coefficients
Il s'agit de trouver le plus petit multiple de {\displaystyle D} qui se termine par 9. L'observation du chiffre des unités de {\displaystyle D} permet de distinguer 4 cas:
- {\displaystyle D=10m+1\quad \alpha =9\quad \beta =9m}
- {\displaystyle D=10m+3\quad \alpha =3\quad 3D=10\times 3m+9\quad \beta =3m+1}
- {\displaystyle D=10m+7\quad \alpha =7\quad 3D=10\times 7m+40+9\quad \beta =7m+5}
- {\displaystyle D=10m+9\quad \alpha =1\quad \beta =m+1}

Ainsi pour la divisibilité par 23, on ajoutera 7 (= 2 × 3 + 1) fois le chiffre des unités au nombre de dizaines.

#### Critère d'arrêt
Le processus itéré fournit une suite d'entiers {\displaystyle A_{0}=A,\,A_{1}=A'_{0},\cdots ,\,A_{n+1}=A'_{n},\cdots }  La suite est décroissante tant que {\displaystyle A_{n}>\alpha D}
Il suffit donc de poursuivre le calcul tant que la suite est décroissante et de comparer le dernier nombre aux {\displaystyle \alpha } premiers multiples de {\displaystyle D}
On cherche la divisibilité de 3 136 par 7. On sait que {\displaystyle \alpha =7} et {\displaystyle \beta =5}
{\displaystyle A_{1}=313+6\times 5=343}
{\displaystyle A_{2}=34+3\times 5=49}
{\displaystyle A_{3}=4+9\times 5=49}
La suite cesse d'être décroissante, {\displaystyle 7\times 7=49} donc 3 136 est divisible par 7.
On cherche la divisibilité de 27 603 par 29.  On sait que {\displaystyle \alpha =1} et {\displaystyle \beta =3}
{\displaystyle A_{1}=2760+3\times 3=2769}
{\displaystyle A_{2}=276+9\times 3=303}
{\displaystyle A_{3}=30+3\times 3=39}
{\displaystyle A_{4}=3+9\times 3=30} qui n'est pas multiple de 29 donc 27 603 n'est pas divisible par 29.

## Réduction par la gauche
La méthode consiste, pour les diviseurs inférieurs à 10, à multiplier le chiffre le plus à gauche par le complément à 10 du diviseur et à en ajouter le résultat au chiffre suivant, et en réitérant l'opération, on obtient le reste de la division. Comme de nombreuses méthodes, elle consiste à retirer des multiples du diviseur jusqu'à épuisement afin d'obtenir le reste de la division. Par exemple pour 7, on multipliera par 3 :
17381 devient 10381 puis 3381, 1281, 581, 231, 91, 28, 14, 7  donc divisible par 7 (qu'on aurait pu reconnaitre dès 28 voire 91).
On notera que, pour 9, il suffit de multiplier par 1 le chiffre à gauche et d'ajouter au suivant et en réitérant on obtient la règle classique.
Pour des diviseurs un peu supérieurs à 10, le "complément" sera pris négatif. Ainsi, pour 11, on multipliera par -1 ce qui redonne la règle déjà rencontrée.
On peut tenter de multiplier par -3 pour 13 ainsi :
avec 312 : -9+1=-8 et -3 x (-8) + 2 = 26 divisible.
et avec 1 664 : -3+6 = 3  , -9+6 =-3  et 9+4 = 13 divisible.
Enfin la méthode peut s'appliquer au delà des diviseurs proches de 10, elle est efficiente pour des valeurs proches de 100 voire de 1000.
Par exemple, pour une divisibilité par 99, proche de 100, on séquence les nombres par 2 chiffres en partant de la droite ainsi
pour 407 on fait 4|07 et 4+7 =11. Le reste de la division par 99 est 11. Ce nombre est divisible par 11 puisque 99 l'est aussi.
Pour 3 432, on aura 34+32=66 également divisible par 11.
La divisibilité par 98 mène plus rapidement à celle par 7 (98=7x14) avec des multiplications par 100 - 98=2.
Avec 17 381 soit 1|73|81, on aura 73+2=75, 150+81=231, 4+31=35 reste de la division par 98 divisible par 7.
Avec 1001 =7x11x13 on accélère  avec un multiplicateur (-1) les nombres séquencés par 3 chiffres mais il faut généralement finir par un critère plus standard avec un reste à 3 chiffres :
17 381 soit 17|381 donne 381-17=364 on passe la règle précédente pour 7 soit 64+6 = 70 divisible par 7 ou bien pour 13  : (-3)x3+6 = -3 et (-3)x(-3)+4=13 donc divisible par 13

## Mise en place des critères pour un diviseur quelconque
De manière générale, pour déterminer si un nombre A est divisible par D, on procède en plusieurs étapes :
- on décompose D sous la forme D' × 2q × 5p où  D'  est premier avec 10 ;
- à la suite de la transitivité de la division euclidienne et par conséquent du lemme de Gauss (si a | c, b | c et pgcd(a,b) = 1, alors ab | c), D divise A si et seulement si D', 2q et 5p divisent A ;
- optionnellement, si l'on dispose d'une factorisation de D en produit de facteurs deux à deux premiers entre eux, on peut de même réduire le problème de la divisibilité par D aux problèmes analogues pour ces facteurs. Par exemple : A est divisible par 63 si et seulement s'il est divisible par 9 et par 7.

### Divisibilité par 2q
A est divisible par 2q si et seulement si le nombre formé par les q premiers chiffres (en partant de l'unité) est divisible par 2q.
Exemple : 79 532 512 est divisible par 16 (= 24) car 2 512 est divisible par 16.
Démonstration : 10q est multiple de 2q, donc on peut se débarrasser de toute la partie du nombre multiple de 10q.

### Divisibilité par 5p
A est divisible par 5p si et seulement si le nombre formé par ses p premiers chiffres (en partant de l'unité) est divisible par 5p.
Exemple : 9 864 375 est divisible par 125 (= 53) car 375 est divisible par 125.
Démonstration : 10p est multiple de 5p, donc on peut se débarrasser de toute la partie du nombre multiple de 10p.

### Divisibilité parD'premier avec 10
On peut utiliser un des critères décrits précédemment (méthode de Pascal ou réduction par la droite)

## Remarque sur la complexité algorithmique
In fine, on peut trouver de cette manière, pour tout M, un critère de divisibilité par M. Il faut d'abord remarquer qu'un critère général itératif existe : un nombre A est divisible par M si le reste de la division euclidienne de A par M est nul. Un tel calcul s'effectue en un nombre d'opérations déterminé par le nombre de chiffres de A (la complexité est linéaire).
Les algorithmes présentés ici sont en fait des variantes de cet algorithme général : on a vu qu'on les obtenait via un calcul modulaire, qui repose sur la notion de division euclidienne. Leur complexité est donc linéaire : à chaque étape de calcul, on est ramené à tester la division par m d'un nombre ayant un chiffre de moins que le nombre précédent, et le nombre d'étapes total est de l'ordre du nombre de chiffres de A. Pour un calcul à la main en base dix, du moins pour les petits diviseurs m, l'avantage de ces méthodes par rapport à la méthode générale est d'éviter les calculs intermédiaires de division.
Toutefois ces méthodes ne fournissent qu'un critère de divisibilité, alors que la méthode générale fournit le quotient et le reste.

title: Critère de divisibilité

wikitext:
En [[mathématiques]] et plus précisément en [[arithmétique modulaire]], un '''critère de divisibilité''' est une particularité d'un [[entier naturel|entier]] permettant de déterminer si ce nombre est [[divisibilité|divisible]] par un autre. Malgré leur apparence de « recette de cuisine », les critères de divisibilité sont fondés sur des [[démonstration (logique et mathématique)|démonstrations]] mathématiques ; il est possible d'en trouver pour n'importe quel nombre grâce aux [[Congruence sur les entiers|congruences]].
{{Voir|Liste de critères de divisibilité}}

== Jalons historiques ==
La recherche de divisibilité est une activité classique en arithmétique et les critères de divisibilité y apparaissent fréquemment, redécouverts plusieurs fois dans diverses cultures et diverses périodes. Outre les critères classiques de divisibilité par 2 et 5, on voit apparaitre assez tôt des critères de divisibilité par 7, 9, 11, 13.

On trouve ainsi dans le ''[[Talmud de Babylone]]'' ({{s-|VI}}), l'utilisation de la propriété suivante<ref name=McDowellBeginnings>{{article|langue=en|auteur=Eric L. McDowel|titre=Divisibility Tests: A History and User's Guide - The Beginnings of Divisibility|périodique=Convergence|éditeur=Mathematical association of america|mois=mai|année=2018|lire en ligne=https://maa.org/press/periodicals/convergence/divisibility-tests-a-history-and-users-guide-the-beginnings-of-divisibility}}</ref> :
: <math> 100c+u</math> et <math> 2c+u</math> ont même reste dans la division par 7;

Selon Fontés{{sfn|Fontés|1893|p=461}}, les mathématiciens arabes connaissaient le critère de divisibilité par 9 et l'utilisaient dans la [[preuve par neuf]].

En Europe, on a trace d'une réduction du nombre par la gauche pour une divisibilité par 7 chez [[Pierre Forcadel]], qui pose, dans son ''arithmétique'' de 1556, la règle suivante : pour obtenir le reste d'un nombre dans la division par 7, prendre le chiffre le plus à gauche, le multiplier par 3 et ajouter le reste dans la division euclidienne de ce nombre par 7 au chiffre suivant{{sfn|Fontés|1893|p=462}}.

[[Blaise Pascal]], dans son ''De Numeris Multiplicibus''<ref> Voir sur [[s:Page:Œuvres de Blaise Pascal, III.djvu/327|wikisource]]</ref> de 1654, propose un test de divisibilité général par D consistant à remplacer dans l'écriture d'un nombre chaque puissance de 10 par son reste dans la division par D. Il remarque également que son critère s'applique aussi à une écriture dans toute autre base que la décimale.

En 1738, [[Georg Wolfgang Krafft]] expose<ref>{{article|prénom1=Georg Wolfgang|nom1=Krafft|langue=la|titre=Observationes arithmeticae de septenario|périodique=
Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae|volume=VI|passage=41-45|année=1738|lire en ligne=https://www.biodiversitylibrary.org/item/38582#page/51/mode/1up}}</ref> des critères de divisibilité par 7 et propose à cette occasion  une méthode de réduction par la droite{{sfn|Krafft|1738|p=45}}: il remarque que, si <math>10c+b=3m</math>, alors le nombre <math>N</math> égal à <math>10a + b</math> est divisible par 7 si et seulement si <math>a + m - c</math> est divisible par 7.

En 1795, [[Joseph-Louis Lagrange]]<ref>{{chapitre|auteur=Joseph-Louis Lagrange|titre=Lecons élémentaires sur les mathématiques données à l'École Normale en 1795|titre ouvrage=Œuvres de lagrange publiées par less soins de M. J.-A. Serret|tome=7|passage=204-208|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2299428/f206.item |année=1795}}</ref> reprend le critère de Pascal et l'élargit en proposant de prendre, non pas le reste de la puissance de 10, mais l'entier relatif le plus proche de 0 ayant même reste{{sfn|Lagrange|1795|p=206}}, de telle sorte que les coefficients soient, en [[valeur absolue]], plus petits que D/2{{sfn|Dickson|1919|p=338}}.

Le {{s-|XIX}} voit fleurir de nombreuses publications sur les critères de divisibilité par réduction par la droite. En 1834, {{lien|langue=sv|trad=Carl Johan Hill}} présente, sans démonstration et en se référant à Krafft<ref>{{article|langue=la|prénom=Carl Johan|nom= Hill|titre=De factoribus numerorum compositorum dignoscendis|périodique=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|année=1834|lire en ligne=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0011 |passage=251-261}}</ref>, de multiples critères de réduction par la gauche{{sfn|Hill|1834|p=252-253}} (divisibilité par 13, 17, 59, 73, 97, 103, 137, ...) ou par la droite{{sfn|Hill|1834|p=254-255}} (divisibilité par 7, 11, 29,...) par tranches de un, deux ou trois chiffres. En 1844, [[August Leopold Crelle]] publie dans son ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|Journal]]''<ref>{{article|langue=de|prénom1=August Leopold|nom1=Crelle|titre=Encyklopädische une elemantare Darstellung des Theorie der Zahlen|périodique=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|année=1844|lire en ligne=https://www.digizeitschriften.de/id/243919689_0027 |passage=107-181}}</ref> des résultats de [[théorie des nombres]] et donne un critère général de divisibilité dans l'écriture dans une base A quelconque dont peuvent se déduire les méthodes de réductions par la gauche et par la droite{{sfn|Crelle|1844|p=125}}:
{{retrait|pour un nombre <math> Z=x_mA^m + x_{m-1}A^{m-1} + \cdots + x_1A + x_0</math>, et pour un diviseur <math> s</math>, si les entiers <math> n</math> et <math> r</math> sont liés par la relation <math>nA=r+ks</math> alors, en posant <math> z = x_mr^m+x_{m-1}r^{n-1}n + \cdots +x_1r^{1}n^{m-1}+x_0n^m</math>, on a <math>Z</math> est divisible par <math> s</math> si et seulement si <math>z</math> l'est.}}
Le cas <math>n=\pm 1</math> donne un critère de réduction par la gauche et le cas <math>r=\pm 1</math>  en donne un par la droite. Ce cas général permet en outre d'opérer des réductions par tranches. En 1860, A. Zbikowski présente et démontre explicitement le critère par réduction (soustractive) par la droite<ref>{{article|auteur=A. Zbikowski|titre=Note sur la divisbilité des nombres|périodique=Bulletin de l'académie Impériale des Sciences de Saint-petersbourg|année=1961|passage=151-153|lire en ligne=https://www.biodiversitylibrary.org/page/33837551}}</ref> et fournit les coefficients pour tous les diviseurs premiers jusqu'à 101. En 1888, M. Loir présente et démontre la même règle et fournit la méthode pour trouver le coefficient à appliquer selon le chiffre des unités du diviseur<ref name=Loir>{{article|auteur=M. Loir|titre=Caractère de divisibilité d'un nombre par un nombre premier quelconque|périodique=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'académie des sciences|mois=janvier|année=1888|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3062v/f1070.vertical |passage=1070-1071|tome=CVI|numéro=15}}</ref>.

== Notations ==
Par la suite, on notera <math> A=\overline{a_na_{n-1}\cdots a_1a_0}=\sum_{k=0}^na_k10^k=10d+a_0</math>, le nombre dont la  divisibilité par <math>D </math> est étudiée.

== Méthode de Pascal ==
{{article détaillé|Ruban de Pascal}}
On calcule à l'avance le reste de chaque puissance de 10 dans la division par <math>D</math> (on le diminue éventuellement{{sfn|Humbert|1893|p=104}} de <math>D</math> s'il dépasse <math>D/2</math>). Il n'y a qu'un nombre fini de restes à calculer car ce  « ruban » de restes est [[Suite périodique|périodique]] : en effet il n'existe qu'un nombre fini de restes possibles et on retombe donc nécessairement sur un reste déjà trouvé, à partir duquel la suite des restes est périodique{{sfn|Humbert|1893|p=104}}. On peut alors remplacer, dans l'écriture du nombre ''A'', chaque puissance de 10 par son reste : le nombre obtenu aura toujours même reste que <math>A</math> dans la division par <math>D</math>.

Cette méthode fournit non seulement un critère de divisibilité mais donne également un moyen de connaitre le reste de la division de <math>A</math> par <math>D</math>.

Elle se généralise à l'écriture de <math> A</math> dans toute base{{sfn|Humbert|1893|p=106}} <math> B</math> en cherchant les restes des puissances de <math> B</math> dans la division par <math> D</math>
=== Critères classiques ===
Cette méthode fournit les critères de divisibilité les plus classiques
* '''par 2''' : toutes les puissances de 10 d'exposant non nul ayant pour reste 0, il vient :
{{retrait|Un nombre est pair, c'est-à-dire divisible par 2, si et seulement si{{sfn|Humbert|1893|p=93}} son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.}}
* '''par 3''': toutes les puissances de 10 ayant pour reste 1 dans la division par 3, il vient
{{retrait|Un nombre est divisible par 3 si et seulement si{{sfn|Humbert|1893|p=95}} la somme de ses chiffres est divisible par 3}}
* ''' Par 5''': toutes les puissances de 10 d'exposant non nul ayant pour reste 0, il vient :
{{retrait|Un nombre est  divisible par 5, si et seulement si{{sfn|Humbert|1893|p=93}} son chiffre des unités est 0,ou 5.}}
* '''par 9''': toutes les puissances de 10 ayant pour reste 1 dans la division par 9, il vient
{{retrait|Un nombre est divisible par 9 si et seulement si{{sfn|Humbert|1893|p=95}} la somme de ses chiffres est divisible par 9}}
* ''' par 11''': Les puissances de 10 ayant pour reste alternativement 1 et 10 (que l'on peut réduire à -1) dans la division par 11, il vient
{{retrait|Un nombre est divisible par 11 si et seulement si{{sfn|Humbert|1893|p=96}}  la différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11}}
* '''par 7''' : On utilise la [[Ruban de Pascal|clé de divisibilité]] : 1, 3, 2, −1, −3, −2. Celle-ci s'obtient par exemple à partir des restes de la division{{sfn|Humbert|1893|p=103}} de 1, 10, 100, etc. par 7, auxquels on retranche 7 lorsqu'ils dépassent 3. On multiplie par le chiffre correspondant de la clé chaque chiffre du nombre à analyser en commençant par les unités.
{{retrait|Un nombre est divisible par 7 si et seulement si{{sfn|Humbert|1893|p=103}} le nombre obtenu à l'issue de cette somme-produit est divisible par 7}}

{{exemple|nom=Exemples|
*Pour vérifier, par exemple, que {{nombre|826413}} est divisible par 7, on regarde si le nombre 3 × 1 + 1 × 3 + 4 × 2 + 6 × (−1) + 2 × (−3) + 8 × (−2) est divisible par 7. La valeur absolue de ce nombre est 14, qui est bien divisible par 7 (on peut utiliser la table de multiplication ou une nouvelle fois le ruban de Pascal : 4 × 1 + 1 × 3 {{=}} 7).
*Inversement, {{nombre|19231}} n'est pas divisible par 7 car 1 × 1 + 3 × 3 + 2 × 2 + 9 × (−1) + 1 × (−3) {{=}} 1 + 9 + 4 – 9 – 3 {{=}} 2 n'est pas un multiple de 7.
}}

=== Regroupement par blocs ===
Dans le cas où <math>D</math> premier avec 10, pour un très grand nombre, on peut raccourcir ce travail en le faisant précéder d'une réduction de ce nombre. On cherche d'abord le plus petit entier ''r'' > 0 tel que 10{{exp|''r''}} ≡ ±1 mod ''D'' (pour 10{{exp|''r''}} ≡ +1 mod ''D'', cet entier ''r'' est la période du [[#Ruban de Pascal|ruban de Pascal en base dix]]), puis on applique la méthode du « ruban de Pascal en base 10{{exp|''r''}} », base pour laquelle la clé de divisibilité est très simple :

L'entier ''A'' peut se découper en ''n''{{ind|''r''}} blocs de ''r'' chiffres
{{retrait|<math> A=\sum_{i=0}^{n_r-1}A_i10^{ri}</math>}}
ceci correspond à l'écriture de ''A'' dans la base <math> 10^r</math>. Et l'on applique alors la méthode de Pascal.
* si 10{{exp|''r''}} est congru à 1 modulo ''D'', l'entier ''A''  a même reste que la somme de ces ''n''{{ind|''r''}} blocs.
* si 10{{exp|''r''}} est congru à –1 modulo ''D'', l'entier ''A'' a même reste que la somme alternée de ces ''n''{{ind|''r''}} blocs : {{formule|''A''{{ind|0}} – ''A''{{ind|1}} + ''A''{{ind|2}} –  ...}}.

On obtient ainsi un nombre ''B'' dont l'ordre de grandeur est voisin de 10{{exp|''r''}}.

{{exemple|
10{{exp|6}} ≡ 1 mod 7 donc pour la divisibilité par 7, on découpera en tranches de 6.

{{nombre|1000109826303}} est divisible par 7 si et seulement si {{nombre|826303}} + 109 + 1, c'est-à-dire {{nombre|826413}}, l'est. Une fois le nombre ainsi réduit, [[#Élimination des unités|l'une]] ou [[#Énoncé 2|l'autre]] des deux méthodes précédentes montre qu'il est divisible par 7.

On peut réduire davantage la taille du nombre en remarquant que 10{{exp|3}} ≡ –1 mod 7 et que l'on peut faire la somme alternée des blocs de 3 chiffres :

{{nombre|1000109826303}} est divisible par 7 si et seulement si 303 – 826 + 109 – 0 + 1, c'est-à-dire –413, l'est.On recherche la divisibilité de 413 par la méthode de son choix..
}}

== Réduction par la droite ==
Ces méthodes consiste à prendre le nombre de dizaines de <math>A</math>, c'est-à-dire à supprimer le chiffre des unités, et à lui ajouter le chiffre des unités multiplié par le ''bon coefficient'' permettant de conserver le caractère de divisibilité. Elles ne s'appliquent que pour des diviseurs <math>D</math> premiers avec 10, c'est-à-dire des diviseurs se terminant par 1, 3, 7, ou 9, et ne conservent pas le reste.
=== Méthode soustractive ===
==== Critère ====
Puisque <math>D</math> est premier avec 10, il existe deux entiers naturels <math>\alpha</math> (<math>\alpha <10 </math>) et  <math>\beta</math> tels que <math>\alpha D - \beta 10=1</math> (d'après le [[Théorème de Bézout]]).

Pour <math>A=10d+a_0</math>, on pose <math> A'=d-\beta a_0</math>. <math>A</math> est divisible par <math>D</math> si et seulement si <math>A'</math> l'est aussi<ref name=Loir/>
{{démonstration|déroulante=oui|contenu=
<math> 10A'=10d-10\beta a_0=10d+a_0-\alpha Da_0=A -\alpha Da_0 </math>

Donc <math>A</math> est multiple de <math>D</math> si seulement si <math>10A'</math> est multiple de <math>D</math>. Comme 10 est premier avec <math>D</math>, <math>10A'</math> est multiple de <math>D</math> si et seulement si  <math>A'</math> est multiple de <math>D</math>}}

En général, cette technique permet de diminuer la taille du nombre et peut se réitérer avec le nombre <math>|A'|</math> jusqu'à reconnaitre un multiple ou un non-multiple de <math>D</math>.

{{exemple|
Pour la divisibilité par 7, on peut remarquer que <math>3 \times 7 - 2\times 10 = 1</math> ce qui fournit <math>\alpha=3</math> et <math>\beta=2</math>.

Ensuite, pour vérifier, par exemple, que {{nombre|826413}} est divisible par 7 :

{{nombre|826413}} est divisible par 7 si et seulement si {{nombre|82641}}  – 2 × 3, c'est-à-dire {{nombre|82635}}, l'est ;

{{nombre|82635}} est divisible par 7 si et seulement si {{nombre|8263}}  – 2 × 5, c'est-à-dire {{nombre|8253}}, l'est ;

{{nombre|8253}} est divisible par 7 si et seulement si 825  – 2 × 3, c'est-à-dire 819, l'est ;

819 est divisible par 7 si et seulement si 81  – 2 × 9, c'est-à-dire 63, l'est ;

enfin, 63 est divisible par 7 car 6 – 2 × 3, c'est-à-dire 0, l'est.
}}

==== Recherche des coefficients ====
Il s'agit de trouver le plus petit multiple de <math>D</math> qui se termine par 1. L'observation du chiffre des unités de <math> D</math> permet de distinguer 4 cas<ref name=Loir/>:
* <math>D=10m+1 \quad \alpha=1 \quad \beta=m</math>
* <math>D=10m+3 \quad \alpha=7 \quad 7D=10\times 7m+20+1 \quad \beta=7m+2</math>
* <math>D=10m+7 \quad \alpha=3 \quad 3D=10\times 3m+20+1 \quad \beta=3m+2</math>
* <math>D=10m+9 \quad \alpha=9 \quad 9D=10\times 9m+80+1 \quad \beta=9m+8</math>

Ainsi pour la divisibilité par 23, on retranchera 16 (= 2 × 7 + 2) fois le chiffre des unités au nombre de dizaines.

==== Critère d'arrêt ====
Le processus itéré fournit une suite d'entiers <math>A_0=A ,\, A_1=|A'_0|,\cdots,\, A_{n+1}=|A'_n|, \cdots</math>  La suite est décroissante tant que <math>A_n\ge \alpha D</math>
{{démonstration|déroulante=oui|contenu=
On sait que <math> A'_n=\frac{A_n-\alpha Da_0}{10}</math> (voir démonstration précédente). Donc <math>A'_n  < A_n</math>
* Si <math>A'_n \ge 0</math>, on a bien <math> A_{n+1} < A_n</math>
* Si <math>A'_n < 0</math>, on a <math> A_{n+1} = - A'_n =\frac{\alpha Da_0 - A_n}{10} \le \frac{A_na_0 - A_n}{10}</math>. Or <math>\frac{A_na_0 - A_n}{10}=\frac{a_0-1}{10} A_n < A_n </math>. Donc <math> A_{n+1} < A_n</math>
}}

Il suffit donc de poursuivre le calcul tant que la suite est décroissante et de comparer le dernier nombre aux <math>\alpha - 1</math> premiers multiples de <math>D</math>

{{Exemple|numéro=1|
On cherche la divisibilité de {{nombre|24213}} par 33. On sait que <math> \alpha=7 </math> et <math>\beta=23</math>
:<math>A_1=2421-3\times 23= 2352</math>
:<math>A_2=242-5\times 23 = 189</math>
:<math>A_3=|18-9\times 23| = 189</math>
La suite cesse d'être décroissante, <math> 6\times 33=198</math> et <math> 5\times 33=165</math> donc 189 n'est pas multiple de 33 et {{nombre|24213}} non plus.}}
{{Exemple|numéro=2|On cherche la divisibilité de {{nombre|17603}} par 29.  On sait que <math> \alpha=9 </math> et <math>\beta=26</math>
:<math>A_1=1760-3\times 26= 1682</math>
:<math>A_2=168-2\times 26 = 116</math>
:<math>A_3=|11-6\times 26| = 145</math>
La suite cesse d'être décroissante, <math> 4\times 29=116</math> donc {{nombre|17603}} est divisible par 29}}

=== Méthode additive ===
==== Critère ====
Puisque <math>D</math> est premier avec 10, il existe deux entiers naturels <math>\alpha</math> (<math>\alpha <10 </math>) et  <math>\beta</math> tels que <math>\alpha D - \beta 10=-1</math>. Soit encore <math>\alpha D= (\beta- 1)10+9</math>

Pour <math>A=10d+a_0</math>, on pose <math> A'=d+\beta a_0</math>. <math>A</math> est divisible par <math>D</math> si et seulement si <math>A'</math> l'est aussi<ref name=McDowellZbikowski>{{article|langue=en|auteur=Eric L. McDowel|titre=Divisibility Tests: A History and User's Guide - Zbikowski Divisibility Tests|périodique=Convergence|éditeur=Mathematical association of america|mois=mai|année=2018|lire en ligne=https://maa.org/press/periodicals/convergence/divisibility-tests-a-history-and-users-guide-zbikowski-divisibility-tests}} - Addition style Zbikowski tests</ref>.
{{démonstration|déroulante=oui|contenu=
<math> 10A'=10d+10\beta a_0=10d+a_0+\alpha Da_0= A +\alpha Da_0 </math>

Donc <math>A</math> est multiple de <math>D</math> si seulement si <math>10A'</math> est multiple de <math>D</math>. Comme 10 est premier avec <math>D</math>, <math>10A'</math> est multiple de <math>D</math> si et seulement si  <math>A'</math> est multiple de <math>D</math>}}

En général, cette technique permet de diminuer la taille du nombre et peut se réitérer avec le nombre <math>A'</math> jusqu'à reconnaitre un multiple ou un non-multiple de <math>D</math>.
{{exemple|
Pour la divisibilité par 19, on peut remarquer que <math>19 = 1\times 10 + 9</math> ce qui fournit <math>\alpha=1</math> et <math>\beta=2</math>.

Ensuite, pour vérifier, par exemple, que {{nombre|2508}} est divisible par 19 :

{{nombre|2508}} est divisible par 19 si et seulement si 250  + 2 × 8, c'est-à-dire 266, l'est ;

266 est divisible par 19 si et seulement si 26  + 2 × 6, c'est-à-dire 38, l'est.

38 est divisible par 19 si et seulement si 3  + 2 × 8, c'est-à-dire 19, l'est.

Donc {{nombre|2508}} est divisible par 19
}}

==== Recherche des coefficients ====
Il s'agit de trouver le plus petit multiple de <math>D</math> qui se termine par 9. L'observation du chiffre des unités de <math> D</math> permet de distinguer 4 cas<ref>Suite [http://oeis.org/A333448 A333448] dans [[OEIS]]</ref>:
* <math>D=10m+1 \quad \alpha=9 \quad \beta=9m</math>
* <math>D=10m+3 \quad \alpha=3 \quad 3D=10\times 3m+9 \quad \beta=3m+1</math>
* <math>D=10m+7 \quad \alpha=7 \quad 3D=10\times 7m+40+9 \quad \beta=7m+5</math>
* <math>D=10m+9 \quad \alpha=1 \quad \beta=m+1</math>

Ainsi pour la divisibilité par 23, on ajoutera 7 (= 2 × 3 + 1) fois le chiffre des unités au nombre de dizaines.

==== Critère d'arrêt ====
Le processus itéré fournit une suite d'entiers <math>A_0=A ,\, A_1=A'_0,\cdots,\, A_{n+1}=A'_n, \cdots</math>  La suite est décroissante tant que <math>A_n> \alpha D</math>
{{démonstration|déroulante=oui|contenu=
On sait que <math> A'_n=\frac{A_n+\alpha Da_0}{10}</math> (voir démonstration précédente). Donc

Puisque <math> A_n > \alpha D</math>, on a <math> A_{n+1} \le \frac{A_n+A_na_0}{10}\le A_n</math>. Donc <math> A_{n+1} < A_n</math>
}}

Il suffit donc de poursuivre le calcul tant que la suite est décroissante et de comparer le dernier nombre aux <math>\alpha</math> premiers multiples de <math>D</math>

{{Exemple|numéro=1|
On cherche la divisibilité de {{nombre|3136}} par 7. On sait que <math> \alpha=7 </math> et <math>\beta=5</math>
:<math>A_1=313+6\times 5= 343</math>
:<math>A_2=34+3\times 5 = 49</math>
:<math>A_3=4 + 9\times 5 = 49</math>
La suite cesse d'être décroissante, <math> 7\times 7 = 49</math> donc {{nombre|3136}} est divisible par 7.}}
{{Exemple|numéro=2|On cherche la divisibilité de {{nombre|27603}} par 29.  On sait que <math> \alpha=1 </math> et <math>\beta=3</math>
:<math>A_1=2760+3\times 3= 2769</math>
:<math>A_2=276+9\times 3 = 303</math>
:<math>A_3=30+3\times 3 = 39</math>
:<math>A_4=3+9\times 3 = 30</math> qui n'est pas multiple de 29 donc {{nombre|27603}} n'est pas divisible par 29.
}}

== Réduction par la gauche ==

La méthode consiste, pour les diviseurs inférieurs à 10, à multiplier le chiffre le plus à gauche par le complément à 10 du diviseur et à en ajouter le résultat au chiffre suivant, et en réitérant l'opération, on obtient le reste de la division. Comme de nombreuses méthodes, elle consiste à retirer des multiples du diviseur jusqu'à épuisement afin d'obtenir le reste de la division. Par exemple pour 7, on multipliera par 3 :
:17381 devient 10381 puis 3381, 1281, 581, 231, 91, 28, 14, 7  donc divisible par 7 (qu'on aurait pu reconnaitre dès 28 voire 91).
On notera que, pour 9, il suffit de multiplier par 1 le chiffre à gauche et d'ajouter au suivant et en réitérant on obtient la règle classique.

Pour des diviseurs un peu supérieurs à 10, le "complément" sera pris négatif. Ainsi, pour 11, on multipliera par -1 ce qui redonne la règle déjà rencontrée.

On peut tenter de multiplier par -3 pour 13 ainsi :
: avec 312 : -9+1=-8 et -3 x (-8) + 2 = 26 divisible.
: et avec 1 664 : -3+6 = 3  , -9+6 =-3  et 9+4 = 13 divisible.

Enfin la méthode peut s'appliquer au delà des diviseurs proches de 10, elle est efficiente pour des valeurs proches de 100 voire de 1000.

Par exemple, pour une divisibilité par 99, proche de 100, on séquence les nombres par 2 chiffres en partant de la droite ainsi
:pour 407 on fait 4|07 et 4+7 =11. Le reste de la division par 99 est 11. Ce nombre est divisible par 11 puisque 99 l'est aussi.
:Pour 3 432, on aura 34+32=66 également divisible par 11.
La divisibilité par 98 mène plus rapidement à celle par 7 (98=7x14) avec des multiplications par 100 - 98=2.
:Avec 17 381 soit 1|73|81, on aura 73+2=75, 150+81=231, 4+31=35 reste de la division par 98 divisible par 7.
Avec 1001 =7x11x13 on accélère  avec un multiplicateur (-1) les nombres séquencés par 3 chiffres mais il faut généralement finir par un critère plus standard avec un reste à 3 chiffres :
:17 381 soit 17|381 donne 381-17=364 on passe la règle précédente pour 7 soit 64+6 = 70 divisible par 7 ou bien pour 13  : (-3)x3+6 = -3 et (-3)x(-3)+4=13 donc divisible par 13

== Mise en place des critères pour un diviseur quelconque ==
De manière générale, pour déterminer si un nombre ''A'' est divisible par ''D'', on procède en plusieurs étapes :
* on décompose ''D'' sous la forme ''D{{'}}'' × 2{{exp|''q''}} × 5{{exp|''p''}} où  ''D{{'}}''  est [[premier avec]] 10 ;
* à la suite de la transitivité de la division euclidienne et par conséquent du [[Lemme d'Euclide|lemme de Gauss]] (si a | c, b | c et pgcd(a,b) = 1, alors ab | c), ''D'' divise ''A'' si et seulement si ''D{{'}}'', 2{{exp|''q''}} et 5{{exp|''p''}} divisent ''A'' ;
*optionnellement, si l'on dispose d'une [[factorisation]] de ''D'' en produit de facteurs deux à deux premiers entre eux, on peut de même réduire le problème de la divisibilité par ''D'' aux problèmes analogues pour ces facteurs. Par exemple : ''A'' est divisible par 63 si et seulement s'il est divisible par 9 et par 7.

=== Divisibilité par 2{{exp|''q''}} ===
''A'' est divisible par 2{{exp|''q''}} si et seulement si le nombre formé par les ''q'' premiers chiffres (en partant de l'unité) est divisible par 2{{exp|''q''}}.

''Exemple'' : {{nombre|79532512}} est divisible par 16 (= 2{{4}}) car {{nombre|2512}} est divisible par 16.

''Démonstration'' : 10{{exp|''q''}} est multiple de 2{{exp|''q''}}, donc on peut se débarrasser de toute la partie du nombre multiple de 10{{exp|''q''}}.

=== Divisibilité par 5{{exp|''p''}} ===
''A'' est divisible par 5{{exp|''p''}} si et seulement si le nombre formé par ses ''p'' premiers chiffres (en partant de l'unité) est divisible par 5{{exp|''p''}}.

''Exemple'' : {{nombre|9864375}} est divisible par 125 (= 5{{3}}) car 375 est divisible par 125.

''Démonstration'' : 10{{exp|''p''}} est multiple de 5{{exp|''p''}}, donc on peut se débarrasser de toute la partie du nombre multiple de 10{{exp|''p''}}.
{{Ancre|Divisibilité par d' premier avec 10}}
=== Divisibilité par ''D{{'}}'' premier avec 10 ===
On peut utiliser un des critères décrits précédemment (méthode de Pascal ou réduction par la droite)

== Remarque sur la complexité algorithmique ==
''In fine'', on peut trouver de cette manière, pour tout ''M'', un critère de divisibilité par ''M''. Il faut d'abord remarquer qu'un critère général itératif existe : un nombre ''A'' est divisible par ''M'' si le reste de la [[division euclidienne]] de ''A'' par ''M'' est nul. Un tel calcul s'effectue en un nombre d'opérations déterminé par le nombre de chiffres de ''A'' (la [[Théorie de la complexité (informatique théorique)|complexité]] est linéaire).

Les algorithmes présentés ici sont en fait des variantes de cet algorithme général : on a vu qu'on les obtenait ''via'' un calcul modulaire, qui repose sur la notion de division euclidienne. Leur complexité est donc linéaire : à chaque étape de calcul, on est ramené à tester la division par ''m'' d'un nombre ayant un chiffre de moins que le nombre précédent, et le nombre d'étapes total est de l'ordre du nombre de chiffres de ''A''. Pour un [[poser une division|calcul à la main en base dix]], du moins pour les petits diviseurs ''m'', l'avantage de ces méthodes par rapport à la méthode générale est d'éviter les calculs intermédiaires de division.

Toutefois ces méthodes ne fournissent qu'un critère de divisibilité, alors que la méthode générale fournit le quotient et le reste.

== Bibliographie ==
* {{Ouvrage|langue=en|lien auteur=Leonard Eugene Dickson|prénom=Leonard Eugene|nom=Dickson|titre={{Lien|History of the Theory of Numbers}}|volume=1 |chapitre=Criteria for divisibility by a given number. |numéro chapitre=XII|référence=Référence:Histoire de la théorie des nombres (Dickson) |passage=337-346|année=1919 |url=https://archive.org/stream/historyoftheoryo01dick#page/336/mode/2up}};
* {{article|langue=en|auteur=Eric L. McDowel|titre=Divisibility Tests: A History and User's Guide|périodique=Convergence|éditeur=Mathematical association of america|mois=mai|année=2018|doi= 10.4169/convergence20180513|lire en ligne=https://maa.org/press/periodicals/convergence/divisibility-tests-a-history-and-users-guide}};
* {{article|auteur=M. Fontés|titre=Bilan des Caractères de divisibilité|date=1893|périodique=Mémoires de l'Académie des sciences, inscription et belles lettres (Toulouse)|numéro=9|tome=5|passage=459-465|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57203023/f487.vertical}};
* {{ouvrage|auteur=[[Martin Gardner]]|titre=Le paradoxe du pendu et autres divertissements mathématiques |titre original=The Unexpected Hanging  & Other Mathematical Diversions |éditeur=Dunod |année=1971 |lieu=Paris |chapitre=Caractères de divisibilité |numéro chapitre=14 |passage=156-165}} ;
* {{ouvrage|auteur=Eugène Humbert |titre=Traité d'arithmétique |sous-titre=à l'usage des élèves de mathématiques élémentaires … |préface=[[Jules Tannery]] |éditeur=Librairie Nony |année=1893 |chapitre=Divisibilité |numéro chapitre=VI |passage=92-108|url=https://books.google.fr/books?id=Hc4GAAAAYAAJ}}.

== Références ==
{{Références}}

== Liens externes ==
*{{Lien web|langue=en|titre=Divisibility Tests Unified: Stacking the Trimmings for Sums|auteur=Edwin O'Shea|mois=6|année=2014|url=http://educ.jmu.edu/~osheaem/research/div-test-14-06.pdf}}
*{{Article|langue=en|titre=Stupid Divisibility Tricks — 101 Ways to Stupefy Your Friends|revue={{Lien|Math Horizons}}|vol=14|numéro=2|année=2006|auteur=Marc Renault|url=http://webspace.ship.edu/msrenault/divisibility/StupidDivisibilityTricks.pdf|p.=18-21, 42}}

{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Divisibilité et factorisation]]
[[Catégorie:Algorithmique]]


text:
# Peyrusse-le-Roc
Pour les articles homonymes, voir Peyrusse (homonymie).
Peyrusse-le-Roc est une commune française, située dans le département de l'Aveyron en région Occitanie. Ses habitants sont appelés les Pétruciens.
Le patrimoine architectural de la commune comprend sept immeubles protégés au titre des monuments historiques : l'hôpital des Anglais, inscrit en 1992, le marché couvert, inscrit en 1992, la synagogue, inscrite en 1992, la porte de la Barbacane, inscrite en 1993, l'église Notre-Dame-de-Laval, classée en 1995, le château Inférieur, inscrit en 1995, et le château de la Caze, inscrit en 2018.

## Géographie

### Communes limitrophes
Les communes limitrophes sont  Asprières, Drulhe, Galgan, Les Albres, Naussac et Sonnac.

### Climat
Pour des articles plus généraux, voir Climat de l'Occitanie et Climat de l'Aveyron.
En 2010, le climat de la commune est de type climat océanique altéré, selon une étude s'appuyant sur une série de données couvrant la période 1971-2000. En 2020, Météo-France publie une typologie des climats de la France métropolitaine dans laquelle la commune est dans une zone de transition entre le climat océanique altéré et le climat de montagne et est dans la région climatique Ouest et nord-ouest du Massif Central, caractérisée par une pluviométrie annuelle de 900 à 1 500 mm, maximale en automne et en hiver.
Pour la période 1971-2000, la température annuelle moyenne est de 12,2 °C, avec une amplitude thermique annuelle de 15,5 °C. Le cumul annuel moyen de précipitations est de 1 060 mm, avec 11,5 jours de précipitations en janvier et 6,3 jours en juillet. Pour la période 1991-2020, la température moyenne annuelle observée sur la station météorologique la plus proche, située sur la commune du Bas Ségala à 17 km à vol d'oiseau, est de 12,4 °C et le cumul annuel moyen de précipitations est de 1 062,4 mm,. Pour l'avenir, les paramètres climatiques de la commune estimés pour 2050 selon différents scénarios d'émission de gaz à effet de serre sont consultables sur un site dédié publié par Météo-France en novembre 2022.

## Urbanisme

### Typologie
Au 1er janvier 2024, Peyrusse-le-Roc est catégorisée commune rurale à habitat très dispersé, selon la nouvelle grille communale de densité à 7 niveaux définie par l'Insee en 2022.
Elle est située hors unité urbaine et hors attraction des villes,.

## Histoire
Contrairement à une légende locale qu'on retrouve dans d'autres villages de France, Jules César n'a jamais parlé de Peyrusse.
Pépin le Bref, après la diète de Bourges, chercha à se rendre maître de la personne du duc d'Aquitaine Waïfre (ou Gaïfier). En 767, il assiégea Peyrusse et se rendit maître de la forteresse.
Robert II dit le Pieux, roi de France fit halte à Peyrusse en 1031.
le 16 juillet 1269, Peyrusse reçut dans ses murs Alphonse de Poitiers, frère de Saint Louis, auquel Hugues, comte de Rodez vint rendre hommage.
La cité de Peyrusse était le chef-lieu du plus grand bailliage du Rouergue (106 paroisses) et il abritait dans ses murs 187 hommes en armes et 4 chevaliers, elle comptait jusqu'à 40 familles nobles, dont la famille de Peyrusse, les Medicys, les Cornely, la famille Besse, mais aussi six notaires, un changeur de monnaie, et de nombreuses fabriques.
Peyrusse tirait profit de ses mines argentifères exploitées depuis l'antiquité : sept puits de mines sont répertoriés sur le territoire actuel de la commune. Le commerce de la ville était important : plusieurs foires et deux marchés hebdomadaires.
Le 11 février 1369, une charte de privilèges a été accordée à la commune par Charles V et signée entre les consuls de la ville et le comte de Rodez au nom du duc d'Anjou et du roi.
La ville se dépeupla au cours du XVIIIe siècle et fut livrée à des entreprises de démolition au XIXe siècle et au début du XXe siècle. Une prise de conscience collective a vu le jour à partir de 1956, pour sauver les restes de ce patrimoine. Le maire Louis Cassan-Louis, l'instituteur Azais, le secrétaire Joulie, Maurice Vernhes, Hervé, Hubert, Revel, Gibergues et le garde champêtre Delmoly en ont été les pionniers, avec d'autres ; c'est à cette époque qu'on a redécouvert un mausolée du XIVe siècle appelé localement le Tombeau du roi.
Aujourd'hui, le site est un lieu de villégiature et de tourisme.

## Politique et administration
| Période                                  | Période  | Identité         | Étiquette | Qualité     |
| ---------------------------------------- | -------- | ---------------- | --------- | ----------- |
| mars 1995                                | mai 2020 | Francis Savignac | DVG       | Agriculteur |
| mai 2020                                 | En cours | Michel Forey     |           |             |
| Les données manquantes sont à compléter. |          |                  |           |             |

## Démographie
L'évolution du nombre d'habitants est connue à travers les recensements de la population effectués dans la commune depuis 1793. Pour les communes de moins de 10 000 habitants, une enquête de recensement portant sur toute la population est réalisée tous les cinq ans, les populations de référence des années intermédiaires étant quant à elles estimées par interpolation ou extrapolation. Pour la commune, le premier recensement exhaustif entrant dans le cadre du nouveau dispositif a été réalisé en 2004.

En 2022, la commune comptait 202 habitants, en évolution de −13,68 % par rapport à 2016 (Aveyron : +0,37 %, France hors Mayotte : +2,11 %).
| 1793 | 1800 | 1806 | 1821 | 1831  | 1836 | 1841  | 1846 | 1851 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ----- | ---- | ----- | ---- | ---- |
| 905  | 721  | 830  | 887  | 1 007 | 913  | 1 000 | 926  | 999  |

| 1856 | 1861 | 1866 | 1872 | 1876 | 1881 | 1886 | 1891 | 1896 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 947  | 966  | 981  | 926  | 932  | 929  | 919  | 852  | 812  |

| 1901 | 1906 | 1911 | 1921 | 1926 | 1931 | 1936 | 1946 | 1954 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 739  | 695  | 646  | 571  | 567  | 525  | 524  | 464  | 389  |

| 1962 | 1968 | 1975 | 1982 | 1990 | 1999 | 2004 | 2006 | 2009 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 392  | 392  | 383  | 374  | 288  | 229  | 212  | 204  | 218  |

| 2014 | 2019 | 2022 | - | - | - | - | - | - |
| ---- | ---- | ---- | - | - | - | - | - | - |
| 226  | 214  | 202  | - | - | - | - | - | - |

Au début du XXe siècle, Peyrusse-le-Roc comptait 739 habitants.

## Économie

### Revenus
En 2018 (données Insee publiées en septembre 2021), la commune compte 90 ménages fiscaux, regroupant 203 personnes. La médiane du revenu disponible par unité de consommation est de 18 010 € (20 640 € dans le département).

### Emploi
| Division       | 2008  | 2013  | 2018  |
| -------------- | ----- | ----- | ----- |
| Commune        | 6,4 % | 7,4 % | 4,1 % |
| Département    | 5,4 % | 7,1 % | 7,1 % |
| France entière | 8,3 % | 10 %  | 10 %  |

En 2018, la population âgée de 15 à 64 ans s'élève à 127 personnes, parmi lesquelles on compte 77,2 % d'actifs (73,2 % ayant un emploi et 4,1 % de chômeurs) et 22,8 % d'inactifs,. En 2018, le taux de chômage communal (au sens du recensement) des 15-64 ans est inférieur à celui de la France et département, alors qu'en 2008 il était supérieur à celui du département et inférieur à celui de la France.
La commune est hors attraction des villes,. Elle compte 43 emplois en 2018, contre 43 en 2013 et 43 en 2008. Le nombre d'actifs ayant un emploi résidant dans la commune est de 96, soit un indicateur de concentration d'emploi de 45 % et un taux d'activité parmi les 15 ans ou plus de 55,7 %.
Sur ces 96 actifs de 15 ans ou plus ayant un emploi, 37 travaillent dans la commune, soit 39 % des habitants. Pour se rendre au travail, 79,6 % des habitants utilisent un véhicule personnel ou de fonction à quatre roues, 6,5 % s'y rendent en deux-roues, à vélo ou à pied et 14 % n'ont pas besoin de transport (travail au domicile).

### Activités hors agriculture
32 établissements sont implantés à Peyrusse-le-Roc au 31 décembre 2019. Le tableau ci-dessous en détaille le nombre par secteur d'activité et compare les ratios avec ceux du département,.
| Secteur d'activité                                                                                | Commune | Commune | Département |
| Secteur d'activité                                                                                | Nombre  | %       | %           |
| --------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------- | ------- | ----------- |
| Ensemble                                                                                | 32      |         |             |
| Industrie manufacturière, industries extractives et autres                                                | 13      | 40,6 %  | (17,7 %)    |
| Construction                                                                                | 3       | 9,4 %   | (13 %)      |
| Commerce de gros et de détail, transports, hébergement et restauration                                    | 10      | 31,3 %  | (27,5 %)    |
| Activités financières et d'assurance                                                                      | 1       | 3,1 %   | (3,4 %)     |
| Activités immobilières                                                                                | 1       | 3,1 %   | (4,2 %)     |
| Activités spécialisées, scientifiques et techniques et activités de services administratifs et de soutien | 1       | 3,1 %   | (12,4 %)    |
| Administration publique, enseignement, santé humaine et action sociale                                    | 3       | 9,4 %   | (12,7 %)    |

Le secteur de l'industrie manufacturière, des industries extractives et autres est prépondérant sur la commune puisqu'il représente 40,6 % du nombre total d'établissements de la commune (13 sur les 32 entreprises implantées à Peyrusse-le-Roc), contre 17,7 % au niveau départemental.

### Agriculture
La commune est dans le Segala, une petite région agricole occupant l'ouest du département de l'Aveyron. En 2020, l'orientation technico-économique de l'agriculture  sur la commune est l'élevage bovin, orientation mixte lait et viande.
|               | 1988 | 2000  | 2010  | 2020  |
| ------------- | ---- | ----- | ----- | ----- |
| Exploitations | 45   | 29    | 24    | 21    |
| SAU (ha)      | 997  | 1 152 | 1 236 | 1 357 |

Le nombre d'exploitations agricoles en activité et ayant leur siège dans la commune est passé de 45 lors du recensement agricole de 1988  à 29 en 2000 puis à 24 en 2010 et enfin à 21 en 2020, soit une baisse de 53 % en 32 ans. Le même mouvement est observé à l'échelle du département qui a perdu pendant cette période 51 % de ses exploitations,. La surface agricole utilisée sur la commune a quant à elle augmenté, passant de 997 ha en 1988 à 1 357 ha en 2020. Parallèlement la surface agricole utilisée moyenne par exploitation a augmenté, passant de 22 à 65 ha.

## Culture locale et patrimoine

### Lieux et monuments
Sept monuments historiques
- Église Notre-Dame-de-Laval de Peyrusse-le-Roc. L'église actuelle aménagée en 1680 dans les anciennes écuries du Château supérieur. La Croix Saint Georges.
- L'ancienne église Notre-Dame-de-Laval, avec une nef de 40 mètres et 12 chapelles latérales.  Classé MH (1995, Vestiges de l'église, avec son beffroi, avec leurs emprises au sol)
- Chapelle Notre-Dame-de-Pitié de Peyrusse-le-Roc.
- Le château de La Caze (propriété privée).
- Le château inférieur, ruiné, sur e Roc del Thaluc avec ses deux tours (« pain de sucre » de 150 mètres de haut depuis le ruisseau).
- La Statue des douleurs (servant de monuments aux morts).
- La Porte du château du roy.
- Le Donjon, avec sa tour de garde, et sa prison et oubliettes.
- La Porte neuve — vue panoramique vers l'est.
- La Porte de la Barbacane, marché couvert du Moyen Âge qui fait l’objet d’une inscription au titre des monuments historiques depuis le 3 septembre 1992[21].
- Le Beffroi.
- Le mausolée du XIVe siècle appelé le Tombeau du roi fait l’objet d’un classement au titre des monuments historiques.
- La synagogue du XIIe - XIIIe siècle qui fait l’objet d’une inscription au titre des monuments historiques depuis le 3 septembre 1992.
- L'hôpital (Acte notarié certifiant l'existence de l'hôpital de 1213).
- Le pont et traces contigües d'un filon d'exploitation de galène.
- Le pont roman du Parayre, sur l'Audiernes (vestige du moulin et de la maison du meunier).

### Personnalités liées à la commune
- Famille de Peyrusse, ancienne famille seigneuriale du lieu.
- Pascale Roberts (1930-2019), comédienne, venait s'y reposer[22].
- Hervé Vernhes (né en 1933), sculpteur.

### Héraldique
| Blason de Peyrusse-le-Roc | Blason  | D'azur au lion d'argent, au chef cousu de gueules chargé de trois besants d'or.                                        |
| Blason de Peyrusse-le-Roc | Détails | Armes de la famille de Peyrusse. Le statut officiel du blason reste à déterminer.                                      |
| Blason de Peyrusse-le-Roc | Alias   | D'argent à trois poires tigées et feuillées de sinople. Armes parlantes. Blason attribué par Charles d'Hozier en 1696. |

## Galerie
- Une rue menant à la place de l'église.
- Clocher de l'église (ancienne tour du château).
- Porte de la Barbacane (XIVe siècle).
- Rue menant au « Roc del Thaluc ».
- Tours du « Roc del Thaluc ».
- Four à pain.

wikiname: frwiki

title: Peyrusse-le-Roc

in_language: fr

wikitext:
{{Voir homonymes|Peyrusse (homonymie)}}
{{Infobox Commune de France
 | nom                         = Peyrusse-le-Roc
 | image                       = Castle of Peyrusse-le-Roc 01.jpg
 | légende                     = Les tours de Peyrusse-le-Roc.
 | blason                      = Blason Peyrusse-le-Roc.svg
 | légende blason              = Peyrusse-le-Roc#Héraldique
 | région                      = [[Occitanie (région administrative)|Occitanie]]
 | département                 = [[Aveyron (département)|Aveyron]]
 | arrondissement              = [[Arrondissement de Villefranche-de-Rouergue|Villefranche-de-Rouergue]]
 | canton                      = [[Canton de Lot et Montbazinois]]
 | circonscription législative = [[Deuxième circonscription de l'Aveyron|Deuxième circonscription]]
 | insee                       = 12181
 | cp                          = 12220
 | maire                       = Michel Forey
 | mandat maire                = [[Élections municipales de 2020 dans l'Aveyron|2020]]-2026
 | intercomm                   = [[Communauté de communes du Plateau de Montbazens]]
 | longitude                   = 2.14138888889
 | latitude                    = 44.4966666667
 | alt mini                    = 233
 | alt maxi                    = 496
 | superficie                  = 13.81
 | type                        = Commune rurale à habitat très dispersé
 | unité urbaine               = Hors unité urbaine
 | aire d'attraction           = Hors attraction des villes
 | population                  = {{Population de France/dernière_pop}}
 | année_pop                   = {{Population de France/dernière_année_Infobox}}
 | gentilé                     = Pétruciens
 | géoloc-département          = Aveyron/région Occitanie
}}
'''Peyrusse-le-Roc''' est une [[Commune (France)|commune française]], située dans le [[département français|département]] de l'[[Aveyron (département)|Aveyron]] en [[Région française|région]] [[Occitanie (région administrative)|Occitanie]]. Ses habitants [[gentilé|sont appelés]] les Pétruciens.

Le [[patrimoine architectural]] de la commune comprend sept immeubles protégés au titre des [[monument historique (France)|monuments historiques]] : l'[[hôpital des Anglais]], inscrit en 1992, le [[halle (construction)|marché couvert]], inscrit en 1992, la [[Synagogue de Peyrusse-le-Roc|synagogue]], inscrite en 1992, la [[porte de la Barbacane (Peyrusse-le-Roc)|porte de la Barbacane]], inscrite en 1993, l'[[église Notre-Dame-de-Laval]], classée en 1995, le [[château Inférieur]], inscrit en 1995, et le [[château de La Caze (Peyrusse)|château de la Caze]], inscrit en 2018.

== Géographie ==
=== Localisation ===
{{...}}

=== Communes limitrophes ===
{{Carte communes limitrophes|intro=oui|zoom=11}}

{{Localisation ville
|nord       = [[Les Albres]]
|ouest      = [[Salles-Courbatiès]]
|ville      = Peyrusse-le-Roc
|sud        = [[Drulhe]]
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|sud-est    = [[Vaureilles]]
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|nord-est   = [[Galgan]]
}}

=== Climat ===
{{Article général|Climat de l'Occitanie|Climat de l'Aveyron}}
En 2010, le climat de la commune est de type [[Climat de la France#2010-T4|climat océanique altéré]], selon une étude s'appuyant sur une série de données couvrant la [[normale climatique|période 1971-2000]]<ref name=Joly>{{Article |langue= fr|auteur1=Daniel Joly, Thierry Brossard, Hervé Cardot, Jean Cavailhes, Mohamed Hilal et Pierre Wavresky|titre=Les types de climats en France, une construction spatiale|périodique=Cybergéo, revue européenne de géographie - European Journal of Geography |numéro=501|date=18 juin 2010|doi=10.4000/cybergeo.23155|lire en ligne=http://journals.openedition.org/cybergeo/23155  |consulté le=13 novembre 2023}}.</ref>. En 2020, [[Météo-France]] publie une typologie des [[Climat de la France|climats de la France métropolitaine]] dans laquelle la commune est dans une zone de transition entre le [[Climat de la France#MF-T2|climat océanique altéré]] et le [[Climat de la France#MF-T4|climat de montagne]] et est dans la région climatique [[Climat de la France#MF-R23|Ouest et nord-ouest du Massif Central]], caractérisée par une pluviométrie annuelle de 900 à {{Unité|1500 mm}}, maximale en automne et en hiver<ref>{{Lien web |url= http://pluiesextremes.meteo.fr/france-metropole/Un-peu-de-geographie.html|titre=Zonages climatiques en France métropolitaine.|site =pluiesextremes.meteo.fr |consulté le=13 novembre 2023}}.</ref>.

Pour la période 1971-2000, la température annuelle moyenne est de {{tmp|12.2| °C }}, avec une [[amplitude thermique]] annuelle de {{tmp|15.5| °C }}. Le cumul annuel moyen de précipitations est de {{Unité|1060 mm}}, avec {{Unité|11.5|jours}} de précipitations en janvier et {{Unité|6.3|jours}} en juillet<ref name=Joly/>. Pour la période 1991-2020, la température moyenne annuelle observée sur la station météorologique la plus proche, située sur la commune du [[Le Bas Ségala|Bas Ségala]] à {{Unité|17|km}} à [[orthodromie|vol d'oiseau]]<ref>{{Lien web |url=https://fr.distance.to/Peyrusse-le-Roc,Aveyron/le-bas-segala,Aveyron |titre=Orthodromie entre Peyrusse-le-Roc et Le Bas Ségala |site=fr.distance.to |consulté le=13 novembre 2023}}.</ref>, est de {{tmp|12.4| °C }} et le cumul annuel moyen de précipitations est de {{Unité|1062.4|mm}}<ref>{{Lien web |url=https://donneespubliques.meteofrance.fr/FichesClim/FICHECLIM_12021001.pdf|titre= Station Météo-France « Bastide Eveque » (commune du Le Bas Ségala) - fiche climatologique - période 1991-2020|site=donneespubliques.meteofrance.fr|consulté le=13 novembre 2023}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |url=https://donneespubliques.meteofrance.fr/metadonnees_publiques/fiches/fiche_12021001.pdf|titre= Station Météo-France « Bastide Eveque » (commune du Le Bas Ségala) - fiche de métadonnées.|site=donneespubliques.meteofrance.fr|consulté le=13 novembre 2023}}.</ref>. Pour l'avenir, les paramètres climatiques de la commune estimés pour 2050 selon différents [[Scénario RCP|scénarios]] d'[[Émission de dioxyde de carbone|émission de gaz à effet de serre]] sont consultables sur un site dédié publié par Météo-France en novembre 2022<ref>{{Lien web |url=https://meteofrance.com/climadiag-commune|titre= Climadiag Commune : diagnostiquez les enjeux climatiques de votre collectivité.|date =novembre 2022 |site=meteofrance.fr |consulté le=13 novembre 2023}}.</ref>.

== Urbanisme ==
=== Typologie ===
Au {{date|1er janvier 2024}}, Peyrusse-le-Roc est catégorisée commune rurale à habitat très dispersé, selon la nouvelle grille communale de densité à {{nobr|7 niveaux}} définie par l'Insee en 2022<ref>{{Lien web |url=https://www.insee.fr/fr/information/6439600|titre=La grille communale de densité |site=le site de l’[[Insee]]|date=28 mai 2024 |consulté le= 23 juin 2024}}.</ref>.
Elle est située hors unité urbaine<ref group=I name=meta-insee>{{Métadonnées Commune|12181|peyrusse-le-roc}}</ref> et hors attraction des villes<ref name="AAV2020">{{Lien web|url=https://www.insee.fr/fr/information/4803954|titre=Base des aires d'attraction des villes 2020.|date=21 octobre 2020|site=insee.fr |consulté le= 23 juin 2024}}.</ref>{{,}}<ref name="AAV20202b">{{Lien web|url=https://www.insee.fr/fr/statistiques/4806694 |titre=En France, neuf personnes sur dix vivent dans l’aire d’attraction d’une ville |auteur=Marie-Pierre de Bellefon, Pascal Eusebio, Jocelyn Forest, Olivier Pégaz-Blanc et Raymond Warnod (Insee) |date=21 octobre 2020 |site=insee.fr |consulté le= 23 juin 2024}}.</ref>.

== Toponymie ==
{{...}}

== Histoire ==
Contrairement à une légende locale qu'on retrouve dans d'autres villages de France, [[Jules César]] n'a jamais parlé de Peyrusse<ref>Il aurait dit : ''Vidi Petruciam speluncam latronum'', {{citation|J'ai vu Peyrusse, une caverne de brigands}}, mais en fait cette expression tirée de l’Évangile n'a été utilisée qu'au Moyen Âge et ne se retrouve évidemment pas dans la ''Guerre des Gaules'' ; même légende au sujet de Tinchebray dans l'Orne, dénoncée par Émile Travers : {{citation|César aurait écrit : ''Tandem advenimus Tinchebraium speluncam latronum!'' Inutile de dire que cette phrase ne se trouve pas dans les ''Commentaires'' du conquérant des Gaules ; mais elle n’en est pas moins historique, et c’est Henri Ier, roi d’Angleterre et duc de Normandie, qui, selon Orderic Vital, dit au pape Calixte II, dans une conférence à Gisors en 1119 : ''Tandem Tenerchebraïum speluncam doemonum obsedi'' (''Les Normands, la chicane et la potence d’après les dictons populaires'', Caen, F. Le Blanc-Hardel, 1882, dont une bonne [http://www.bmlisieux.com/normandie/traver01.htm édition en ligne])}}.</ref>.

[[Pépin le Bref]], après la diète de Bourges, chercha à se rendre maître de la personne du duc d'Aquitaine [[Waïfre]] (ou Gaïfier). En {{date-|767}}, il assiégea Peyrusse et se rendit maître de la forteresse.

[[Robert II le Pieux|Robert II dit le Pieux]], roi de France fit halte à Peyrusse en 1031.

le {{date-|16 juillet 1269}}, Peyrusse reçut dans ses murs [[Alphonse de Poitiers]], frère de [[Louis IX|Saint Louis]], auquel [[Hugues IV de Rodez|Hugues]], [[comté de Rodez|comte de Rodez]] vint rendre hommage.

La cité de Peyrusse était le chef-lieu du plus grand bailliage du Rouergue (106 paroisses) et il abritait dans ses murs 187 hommes en armes et 4 chevaliers, elle comptait jusqu'à 40 familles nobles, dont la famille de Peyrusse, les Medicys, les Cornely, la famille Besse, mais aussi six notaires, un changeur de monnaie, et de nombreuses fabriques.

Peyrusse tirait profit de ses mines argentifères exploitées depuis l'antiquité : sept puits de mines sont répertoriés sur le territoire actuel de la commune. Le commerce de la ville était important : plusieurs foires et deux marchés hebdomadaires.

Le {{date-|11 février 1369}}, une charte de privilèges a été accordée à la commune par [[Charles V le Sage|Charles V]] et signée entre les consuls de la ville et le comte de Rodez au nom du duc d'Anjou et du roi.

La ville se dépeupla au cours du {{s-|XVIII}} et fut livrée à des entreprises de démolition au {{s-|XIX}} et au début du {{s-|XX}}. Une prise de conscience collective a vu le jour à partir de 1956, pour sauver les restes de ce patrimoine. Le maire Louis Cassan-Louis, l'instituteur Azais, le secrétaire Joulie, Maurice Vernhes, Hervé, Hubert, Revel, Gibergues et le garde champêtre Delmoly en ont été les pionniers, avec d'autres ; c'est à cette époque qu'on a redécouvert un mausolée du {{s-|XIV}} appelé localement le Tombeau du roi.

Aujourd'hui, le site est un lieu de villégiature et de tourisme.

== Politique et administration ==
{{ÉluDébut |Titre= Liste des maires successifs}}
{{Élu |Début= mars 1995 |Fin= mai 2020 |Identité= Francis Savignac<ref>{{lien brisé|url=http://www.maires-aveyron.fr/fr/annuaire/documents/02.06.09_Extranet%20ADM%2012.pdf |titre=Site des maires de l‘Aveyron-liste des maires (doc pdf) }}.</ref> |Parti=[[Divers gauche|DVG]]  |Qualité=Agriculteur }}
{{Élu actuel |Début= mai 2020 |Fin= |Identité= Michel Forey |Parti= |Qualité= }}
{{ÉluDonnées}}
{{ÉluFin}}

== Démographie ==

{{Population de France/section}}

Au début du {{s-|XX}}, Peyrusse-le-Roc comptait 739 habitants<ref>''Le Lot'' partie ''Centres d'excursions'' {{p.|259}}  - [[Armand Viré]] - Réédition de l'ouvrage de 1907 - {{ISBN|2-7455-0049-X}}.</ref>.

== Économie ==
=== Revenus ===
En 2018 (données [[Institut national de la statistique et des études économiques|Insee]] publiées en {{date-|septembre 2021}}), la commune compte {{nobr|90 ménages}} fiscaux<ref group=Note>Un ménage fiscal est constitué par le regroupement des [[Foyer fiscal|foyers fiscaux]] répertoriés dans un même logement. Son existence, une année donnée, tient au fait que coïncident au moins une déclaration indépendante de revenus et l’occupation d’un logement connu à la [[taxe d’habitation]].</ref>, regroupant {{nobr|203 personnes}}. La [[Médiane (statistiques)|médiane]] du [[revenu disponible]] par [[Ménage|unité de consommation]] est de {{unité|18010 €}}<ref group=I>{{lien web|titre=REV T1 - Ménages fiscaux de l'année 2018 à Peyrusse-le-Roc|url=https://www.insee.fr/fr/statistiques/5011970?geo=COM-12181#ancre-REV_T1 |consulté le=26 janvier 2022}}.</ref> ({{Unité|20640 €}} dans le département<ref group=I>{{lien web|titre=REV T1 - Ménages fiscaux de l'année 2018 dans l'Aveyron|url=https://www.insee.fr/fr/statistiques/5011970?geo=DEP-12#ancre-REV_T1 |consulté le=26 janvier 2022}}.</ref>).

=== Emploi ===
{{Tableau
|type=class="wikitable" align="right"
|titre=Taux de chômage
|entete=Division{{!!}}2008{{!!}}2013{{!!}}2018
|ligne1='''Commune'''<ref name=EmpT1C group=I>{{lien web|titre=Emp T1 - Population de 15 à 64 ans par type d'activité en 2018 à Peyrusse-le-Roc|url=https://www.insee.fr/fr/statistiques/5397619?geo=COM-12181#ancre-EMP_T1 |consulté le=26 janvier 2022}}.</ref>{{!!}} 6,4 % {{!!}}7,4 % {{!!}} 4,1 %
|ligne2='''Département'''<ref group=I>{{lien web|titre=Emp T1 - Population de 15 à 64 ans par type d'activité en 2018 dans l'Aveyron|url=https://www.insee.fr/fr/statistiques/5397619?geo=DEP-12#ancre-EMP_T1 |consulté le=26 janvier 2022}}.</ref>{{!!}} 5,4 % {{!!}}7,1 % {{!!}} 7,1 %
|ligne3='''France entière'''<ref group=I>{{lien web|titre=Emp T1 - Population de 15 à 64 ans par type d'activité en 2018 dans la France entière |url=https://www.insee.fr/fr/statistiques/5397619?geo=FE-1#ancre-EMP_T1 |consulté le=26 janvier 2022}}.</ref>{{!!}} 8,3 % {{!!}}10 % {{!!}} 10 %
}}
En 2018, la population âgée de {{unité|15 à 64 ans}} s'élève à {{nobr|127 personnes}}, parmi lesquelles on compte 77,2 % d'actifs (73,2 % ayant un emploi et 4,1 % de chômeurs) et 22,8 % d'inactifs<ref group=Note>Les inactifs regroupent, au sens de l'Insee, les élèves, les étudiants, les stagiaires non rémunérés, les pré-retraités, les retraités et les autres inactifs.</ref>{{,}}<ref name=EmpT1C group=I />. En 2018, le [[taux de chômage]] communal (au sens du recensement) des {{nobr|15-64 ans}} est inférieur à celui de la France et département, alors qu'en 2008 il était supérieur à celui du département et inférieur à celui de la France.

La commune est hors attraction des villes<ref group=Carte>{{Lien web |url=https://www.observatoire-des-territoires.gouv.fr/outils/cartographie-interactive/#c=report&chapter=p01&report=r01&selgeo1=com2021.12181&selgeo2=fra.99|titre=Carte de la commune dans le zonage des aires d'attraction de villes.|auteur =Agence nationale de la cohésion des territoires |site =l'observatoire des territoires |consulté le= 10 avril 2021}}.</ref>{{,}}<ref group=I>{{Lien web |url=https://www.insee.fr/fr/information/4803954|titre=Base des aires d'attraction des villes 2020|site=site de l'Insee |consulté le= 10 avril 2021}}.</ref>. Elle compte {{unité|43|[[emploi]]s}} en 2018, contre 43 en 2013 et 43 en 2008. Le nombre d'[[Population active|actifs]] ayant un emploi résidant dans la commune est de 96, soit un [[indicateur de concentration d'emploi]] de 45 % et un taux d'activité parmi les 15 ans ou plus de 55,7 %<ref group=I>{{lien web|titre=Emp T5 - Emploi et activité en 2018 à Peyrusse-le-Roc|url=https://www.insee.fr/fr/statistiques/5397619?geo=COM-12181#ancre-EMP_T5 |consulté le=26 janvier 2022}}.</ref>.

Sur ces 96 actifs de 15 ans ou plus ayant un emploi, 37 travaillent dans la commune, soit 39 % des habitants<ref group=I>{{lien web|titre=ACT T4 - Lieu de travail des actifs de 15 ans ou plus ayant un emploi qui résident dans la commune en 2018|url=https://www.insee.fr/fr/statistiques/5397661?geo=COM-12181#ancre-ACT_T4 |consulté le=26 janvier 2022}}.</ref>. Pour se rendre au travail, 79,6 % des habitants utilisent un véhicule personnel ou de fonction à quatre roues, 6,5 % s'y rendent en deux-roues, à vélo ou à pied et 14 % n'ont pas besoin de transport (travail au domicile)<ref group=I>{{lien web|titre=ACT G2 - Part des moyens de transport utilisés pour se rendre au travail en 2018|url=https://www.insee.fr/fr/statistiques/5397661?geo=COM-12181#ancre-ACT_G2 |consulté le=26 janvier 2022}}.</ref>.
=== Activités hors agriculture ===
32 établissements<ref group=Note>L'établissement, au sens de l’Insee, est une unité de production géographiquement individualisée, mais juridiquement dépendante de l'unité légale. Il produit des biens ou des services.</ref> sont implantés à Peyrusse-le-Roc au {{date-|31 décembre 2019}}. Le tableau ci-dessous en détaille le nombre par secteur d'activité et compare les ratios avec ceux du département<ref group=Note>Le champ de ce tableau couvre les activités marchandes hors agriculture.</ref>{{,}}<ref group=I>{{lien web|titre=DEN T5 - Nombre d'établissements par secteur d'activité au 31 décembre 2019 à Peyrusse-le-Roc|url=https://www.insee.fr/fr/statistiques/2011101?geo=COM-12181#chiffre-cle-8 |consulté le=30 janvier 2022}}.</ref>.
{| class="wikitable centre" style="font-size:90%;"
|-
!rowspan=2|Secteur d'activité||colspan=2|Commune||Département
|-
!Nombre||%||%
|-
|'''Ensemble'''||'''32'''|| ||
|-

|Industrie manufacturière,
industries extractives et autres||13||40,6 % ||(17,7 %)
|-
|Construction||3||9,4 % ||(13 %)
|-
|Commerce de gros et de détail,
 transports, hébergement et restauration||10||31,3 % ||(27,5 %)
|-
|Activités financières et d'assurance||1||3,1 % ||(3,4 %)
|-
|Activités immobilières||1||3,1 % ||(4,2 %)
|-
|Activités spécialisées, scientifiques et techniques
 et activités de services administratifs et de soutien||1||3,1 % ||(12,4 %)
|-
|Administration publique, enseignement,
santé humaine et action sociale||3||9,4 % ||(12,7 %)
|}

Le secteur de l'industrie manufacturière, des industries extractives et autres est prépondérant sur la commune puisqu'il représente 40,6 % du nombre total d'établissements de la commune (13 sur les 32 entreprises implantées à Peyrusse-le-Roc), contre 17,7 % au niveau départemental<ref group=I>{{lien web|titre=DEN T5 - Nombre d'établissements par secteur d'activité au 31 décembre 2019 dans l'Aveyron|url=https://www.insee.fr/fr/statistiques/2011101?geo=DEP-12#chiffre-cle-8 |consulté le=30 janvier 2022}}.</ref>.
=== Agriculture ===
La commune est dans le [[Segala]], une [[région agricole française|petite région agricole]] occupant l'ouest du département de l'Aveyron<ref>{{lien web|titre=Les régions agricoles (RA), petites régions agricoles(PRA) - Année de référence : 2017 |url=https://agreste.agriculture.gouv.fr/agreste-web/methodon/Z.1/!searchurl/listeTypeMethodon/ |site=agreste.agriculture.gouv.fr|consulté le=30 janvier 2022}}.</ref>. En 2020, l'orientation technico-économique de l'agriculture<ref group=Note>L'orientation technico-économique est la production dominante de l'exploitation, déterminée selon la contribution de chaque surface ou cheptel à la production brute standard.</ref>  sur la commune est l'[[élevage bovin]], orientation mixte lait et viande<ref group=Carte>{{Lien web |url=https://stats.agriculture.gouv.fr/cartostat/#&c=indicator&i=otex_2020_1.otefdd20&selcodgeo=12181&t=A02&t2=A02&view=map11 |titre= Recensement agricole 2020 - Carte de la spécialisation de la production agricole par commune|site=stats.agriculture.gouv.fr|consulté le=30 janvier 2022}}.</ref>.
{{Tableau
|type=class="wikitable" align="right"
|entete={{!!}}1988{{!!}}2000{{!!}}2010{{!!}}2020
|ligne1='''Exploitations'''{{!!}} 45{{!!}}29{{!!}}24{{!!}}21
|ligne2='''[[Surface agricole utilisée|SAU]]'''<ref group=Note>Les données relatives à la [[surface agricole utilisée]] (SAU) sont localisées à la commune où se situe le lieu principal de production de chaque exploitation. Les chiffres d'une commune doivent donc être interprétés avec prudence, une exploitation pouvant exercer son activité sur plusieurs communes, ou plusieurs départements voire plusieurs régions.</ref> (ha){{!!}} 997{{!!}}{{formatnum:1152}}{{!!}}{{formatnum:1236}}{{!!}}{{formatnum:1357}}
}}

Le nombre d'[[exploitation agricole|exploitations agricoles]] en activité et ayant leur siège dans la commune est passé de 45 lors du recensement agricole de 1988{{note|texte= Le recensement agricole est une opération décennale européenne et obligatoire qui a pour objectif d'actualiser les données sur l'agriculture française et de mesurer son poids dans l'agriculture européenne{{note|texte= [https://agriculture.gouv.fr/recensement-agricole-2020-julien-denormandie-presente-les-premiers-resultats-du-recensement-decennal Présentation des premiers résultats du recensement agricole 2020], Ministère de l’agriculture et de l’alimentation, 10 décembre 2021}}.|groupe=Note}}  à 29 en 2000 puis à 24 en 2010<ref name=Agreste>{{Lien web |url=http://recensement-agricole.agriculture.gouv.fr/index.php?module=fiche&metier=frontoffice&geo_id=8428&the_id=4&cha_id=1 |titre= Fiche de recensement agricole - Exploitations ayant leur siège dans la commune de Peyrusse-le-Roc - Données générales|site=recensement-agricole.agriculture.gouv.fr|consulté le=30 janvier 2022}}.</ref> et enfin à 21 en 2020<ref group=Carte>{{Lien web |url=https://stats.agriculture.gouv.fr/cartostat/#&c=indicator&i=stru_2020_1.nbexpl20&i2=stru_2020_1.saumoy20&selcodgeo=12181&t=A02&t2=A02&view=map11 |titre= Recensement agricole 2020 - Carte du nombre d'exploitations et de la surface agricole utilisée (SAU) moyenne par commune|site=stats.agriculture.gouv.fr|consulté le=30 janvier 2022}}.</ref>, soit une baisse de 53 % en 32 ans. Le même mouvement est observé à l'échelle du département qui a perdu pendant cette période 51 % de ses exploitations<ref>{{Lien web |url=http://recensement-agricole.agriculture.gouv.fr/index.php?module=fiche&metier=frontoffice&geo_id=395&the_id=1&cha_id=1 |titre= Fiche de recensement agricole - Exploitations ayant leur siège dans le département de l'Aveyron|consulté le=30 janvier 2022}}.</ref>{{,}}<ref group=Carte>{{Lien web |url=https://stats.agriculture.gouv.fr/cartostat/#&c=indicator&i=stru_2020_1.sau20&i2=stru_2020_1.saumoy20&selcodgeo=12&t=A02&view=map13 |titre= Recensement agricole 2020 - Carte du nombre d'exploitations et de la surface agricole utilisée par département|site=stats.agriculture.gouv.fr|consulté le=30 janvier 2022}}.</ref>. La [[surface agricole utilisée]] sur la commune a quant à elle augmenté, passant de {{Unité|997|ha}} en 1988 à {{Unité|1357 ha}} en 2020<ref group=Carte>{{Lien web |url=https://stats.agriculture.gouv.fr/cartostat/#&c=indicator&i=stru_2020_1.sau20&i2=stru_2020_1.saumoy20&selcodgeo=12181&t=A02&t2=A02&view=map11 |titre= Recensement agricole 2020 - Carte de la surface agricole utilisée (SAU) par commune et de la SAU moyenne|site=stats.agriculture.gouv.fr|consulté le=30 janvier 2022}}.</ref>. Parallèlement la surface agricole utilisée moyenne par exploitation a augmenté, passant de 22 à {{Unité|65|ha}}<ref name=Agreste/>.
== Culture locale et patrimoine ==
=== Lieux et monuments ===
[[Fichier:PeyrusseLeRoc PontDuPareyre.JPG|vignette|Le pont roman du Parayre (ou Pareyre).]]
[[Fichier:Pont du Parayre 08.jpg|vignette|En couleurs.]]
Sept monuments historiques
* [[Église (édifice)|Église]] Notre-Dame-de-Laval de Peyrusse-le-Roc. L'église actuelle aménagée en 1680 dans les anciennes écuries du Château supérieur. La Croix Saint Georges.
* L'[[Église Notre-Dame-de-Laval|ancienne église Notre-Dame-de-Laval]], avec une nef de {{nobr|40 mètres}} et 12 chapelles latérales. {{Classé MH|1995|3=Vestiges de l'église, avec son beffroi, avec leurs emprises au sol}}
* [[Chapelle]] Notre-Dame-de-Pitié de Peyrusse-le-Roc.
* Le [[Château de La Caze (Peyrusse)|château de La Caze]] (propriété privée).
* Le [[Château Inférieur|château inférieur]], ruiné, sur e Roc del Thaluc avec ses deux tours (« pain de sucre » de {{nobr|150 mètres}} de haut depuis le ruisseau).
* La Statue des douleurs (servant de monuments aux morts).
* La Porte du château du roy.
* Le Donjon, avec sa tour de garde, et sa prison et oubliettes.
* La Porte neuve {{incise|vue panoramique vers l'est|stop}}.
* La Porte de la Barbacane, marché couvert du [[Moyen Âge]] qui fait l’objet d’une inscription au titre des [[Monument historique (France)|monuments historiques]] depuis le {{date|3|septembre|1992|en France}}<ref name="PA00094253">{{Base Mérimée|PA00094253}}.</ref>.
* Le Beffroi.
* Le mausolée du {{s|XIV}} appelé le Tombeau du roi fait l’objet d’un classement au titre des [[Monument historique (France)|monuments historiques]].
* La [[Synagogue de Peyrusse-le-Roc|synagogue]] du {{s mini|XII}} - {{s|XIII}} qui fait l’objet d’une inscription au titre des [[Monument historique (France)|monuments historiques]] depuis le {{date|3|septembre|1992|en France}}.
* L'hôpital (Acte notarié certifiant l'existence de l'hôpital de 1213).
* Le pont et traces contigües d'un filon d'exploitation de galène.
* Le pont roman du Parayre, sur l'Audiernes (vestige du moulin et de la maison du meunier).

=== Personnalités liées à la commune ===
* [[Famille de Peyrusse]], ancienne famille seigneuriale du lieu.
* [[Pascale Roberts]] (1930-2019), comédienne, venait s'y reposer<ref>{{Lien web |langue=fr |titre=Pareloup (12) : Le farniente studieux n'est pas du cinéna |url=https://www.ladepeche.fr/article/2005/07/25/364497-pareloup-12-le-farniente-studieux-n-est-pas-du-cinena.html |site=ladepeche.fr |consulté le=2021-05-20}}.</ref>.
* [[Hervé Vernhes]] (né en 1933), sculpteur.

=== Héraldique ===
{{Article détaillé|Armorial des communes de l'Aveyron}}
{{Blason commune
|commune      = Peyrusse-le-Roc
 | image        = Blason_Peyrusse-le-Roc.svg
|blasonnement = D'azur au lion d'argent, au chef cousu de gueules chargé de trois besants d'or.
|explications = Armes de la [[famille de Peyrusse]].
|alias_blasonnement = D'argent à trois poires tigées et feuillées de sinople.
|alias_explications = {{Armes parlantes}}Blason attribué par [[Charles d'Hozier (1640-1732)|Charles d'Hozier]] en 1696.
}}

== Bibliographie ==
* Paul Gleyrose, ''Monographie de la commune de Peyrusse (Aveyron)'', dans ''Monographies de communes'', concours ouvert en 1897 par la ''[[Société des agriculteurs de France]]'', Paris & Lille : J. Lefort - A. Taffin-Lefort, successeur, 1898, {{pp.|175-240}}
*{{Ouvrage|langue=oc/fr|prénom1=Christian-Pierre|nom1=Bedel|préface=Aimé Roux|titre=Mont Basens|sous-titre=Brandonet, Complibat, Drulha, Galganh, Lanuèjols, Luganh, Mala Vila, Peirussa, Privasac, Rossennac, Valzèrgas, Vaurelhas / Christian-Pierre Bedel e los estatjants del canton de Mont Basens|lieu=Rodez|éditeur=Mission départementale de la culture|collection=Al canton|année=1997|pages totales=247|format livre=ill., couv. ill. ; 28 cm|isbn=2-907279-33-5|issn=1151-8375|bnf=36695401r}}

== Galerie ==
<gallery>
File:Juin 2013 030.JPG|Une rue menant à la place de l'église.
File:Juin 2013 051-001.JPG|Clocher de l'église (ancienne tour du château).
File:Porte de la Barbacane à Peyrusse (XIV° siècle).jpg|Porte de la Barbacane ({{s-|XIV}}).
File:Juin 2013 034-002.JPG|Rue menant au « Roc del Thaluc ».
File:Castle of Peyrusse-le-Roc 20.jpg|Tours du « Roc del Thaluc ».
File:Juin 2013 028.JPG|Four à pain.
</gallery>

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
{{...}}

=== Articles connexes ===
* [[Liste des communes de l'Aveyron]]

=== Liens externes ===
{{Autres projets|commons=Category:Peyrusse-le-Roc}}
* [http://wikiwix.com/cache/?url=http://www.ign.fr/affiche_rubrique.asp?rbr_id=1087%26CommuneId=16798 Peyrusse-le-Roc sur le site de l'Institut géographique national]

== Notes et références ==
=== Notes et cartes ===
==== Notes ====
{{Références|groupe=Note}}

==== Cartes ====
{{Références|groupe=Carte}}

=== Références ===
==== Site de l'Insee ====
{{Références|groupe=I}}

==== Autres sources ====
{{Références}}

{{Palette
 |Succession/Étape de Compostelle
 |précède=[[Cransac]]
 |distance p = 21
 |voie=Liaison Conques-Toulouse
 |suivant=[[Villeneuve (Aveyron)|Villeneuve-d'Aveyron]]
 |distance s = 16.5
}}

{{Palette|Plateau de Montbazens}}
{{Portail|communes de France|Massif central|Aveyron}}

[[Catégorie:Commune dans l'Aveyron]]
[[Catégorie:Commune dans l'arrondissement de Villefranche-de-Rouergue]]
[[Catégorie:Ancien chef-lieu de canton dans l'Aveyron]]

title: Administration

Pays: France

Région: Occitanie

Département: Aveyron

Arrondissement: Villefranche-de-Rouergue

Maire · Mandat: Michel Forey · 2020-2026

title: Démographie

Gentilé: Pétruciens

Densité: 15 hab./km2

title: Géographie

Coordonnées: 44° 29′ 48″ nord, 2° 08′ 29″ est

Altitude: Min. 233 m · Max. 496 m

Type: Commune rurale à habitat très dispersé

Unité urbaine: Hors unité urbaine

Aire d'attraction: Hors attraction des villes

title: Élections

Départementales: Canton de Lot et Montbazinois

Législatives: Deuxième circonscription

title: Localisation

Localisation: modifier


text:
# NGC 7360
NGC 7360 est une galaxie elliptique (?) située dans la constellation de Pégase. Cette galaxie a été découverte par l'astronome allemand Albert Marth en 1864. La vitesse de NGC 7360 par rapport au fond diffus cosmologique est de 4 314 ± 26 km/s, ce qui correspond à une distance de Hubble de 63,6 ± 4,5 Mpc (∼207 millions d'al).
NGC 7360 présente une large raie HI. Selon la base de données Simbad, NGC 7360 est candidate au titre de galaxie à noyau actif.
Les avis diffèrent sur la classification de NGC 7360. Wolfgang Steinicke considère que c'est une galaxie spiral (S). Le professeur Seligman considère qu'il s'agit d'une galaxie lenticulaire dotée d'un anneau nucléaire (S0(nr)/a), ce qui correspond assez bien à l'image du relevé SDSS. bases de données classifient cette galaxie comme elliptique.

title: NGC 7360

wikitext:
{{Infobox Objet astronomique
 | nom                          = NGC 7360
 | image                        = NGC 7360 SDSS2.jpg
 | légende                      = La galaxie elliptique NGC 7360 par le [[Relevé astronomique|relevé]] [[Sloan Digital Sky Survey|SDSS]].
 | découvreur                   = [[Albert Marth]]<ref name="selig"/>
 | date découverte              = {{date|29 aout 1864|en astronomie}}<ref name="selig"/>
 | désignations                 = [[Catalogue of Principal Galaxies|PGC]] 69591
 [[Uppsala General Catalogue|UGC]] 12167
 [[Morphological Catalogue of Galaxies|MCG]] 1-58-1
 [[Catalogue of Galaxies and of Clusters of Galaxies|CGCG]] 404-36
 [[Catalogue of Galaxies and of Clusters of Galaxies|CGCG]] 405-2<ref name="astroVall"/>
 | type                         = [[Galaxie elliptique]]
 | type de galaxie              = E<ref name="ned"/>{{,}}<ref name="Hyp"/> S0(nr)/a<ref name="selig"/> S<ref name="astroVall"/>
 | constellation                = [[Pégase (constellation)|Pégase]]
 | décalage vers le rouge       = 0,015617 ± 0,000014<ref name="ned"/>
 | vitesse radiale              = 4682 ± 4
 | vitesse radiale notes        = <ref name="ned"/>
 | ascension droite             = 22/43/33.95
 | ascension droite notes       = <ref name="ned"/>
 | déclinaison                  = 04/09/04.2
 | déclinaison notes            = <ref name="ned"/>
 | carte UAI                    = Pégase
 | dist                         = {{Parsec|63.63|mpc|marge=4.47}}<ref name="ned"/>
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14,5 dans la [[Bande B]]
 | magnitude apparente notes    = <ref name="astroVall"/>
 | brillance de surface         = 12,32
 | brillance de surface notes   = <ref name="astroVall"/>
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 | angle de position notes      = <ref name="astroVall"/>
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 | dimensions                   = {{Parsec|23.92|kpc}}<ref name="ned"/>{{,}}<ref group=alpha>[[:en:Galaxy#Physical extent|Diamètre]] dans la bande K_s (LGA/([[Two-Micron All-Sky Survey|2MASS]] "total").</ref>
 | masse                        =
 | masse notes                  =
}}

'''NGC 7360''' est une [[galaxie elliptique]] (?) située dans la [[constellation]] de [[Pégase (constellation)|Pégase]]. Cette galaxie a été découverte par l'astronome [[Allemagne|allemand]] [[Albert Marth]] en {{Date|1864}}<ref name="selig"/>. La vitesse de NGC 7360 par rapport au [[fond diffus cosmologique]] est de {{Unité|4314 ± 26|km/s}}, ce qui correspond à une [[Loi de Hubble-Lemaître|distance de Hubble]] de {{Parsec|63.6|mpc|marge=4.5}}<ref name="ned" />.

NGC 7360 présente une large [[Raie à 21 centimètres|raie HI]]<ref name="ned"/>. Selon la [[base de données]] [[Simbad]], {{nobr|NGC 7360}} est candidate au titre de [[Galaxie active|galaxie à noyau actif]]<ref name="Simbad"/>.

Les avis diffèrent sur la classification de NGC 7360. Wolfgang Steinicke considère que c'est une galaxie spiral (S). Le professeur Seligman considère qu'il s'agit d'une galaxie lenticulaire dotée d'un anneau nucléaire (S0(nr)/a), ce qui correspond assez bien à l'image du [[Relevé astronomique|relevé]] [[Sloan Digital Sky Survey|SDSS]]. [[base de données|bases de données]] classifient cette galaxie comme elliptique.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{références|groupe=alpha}}
=== Références ===
{{références|taille=25|références=

<ref name=selig>{{lien web |langue=en| titre=Celestial Atlas Table of Contents, NGC 7350 - 7399 |auteur1=Courtney Seligman | url=http://cseligman.com/text/atlas/ngc73a.htm#7360 | consulté le = 15-08-2024}}.</ref>

<ref name=Hyp>{{lien web|langue=en|titre=NGC 7360 sur HyperLeda|url=http://atlas.obs-hp.fr/hyperleda/ledacat.cgi?o=NGC%207360 |consulté le=15-08-2024}}</ref>

<ref name=ned>{{lien web |langue=en| éditeur=NASA/IPAC Extragalactic Database | titre=Results for object NGC 7360 | url=https://ned.ipac.caltech.edu/byname?objname=NGC+7360&hconst=67.8&omegam=0.308&omegav=0.692&wmap=4&corr_z=1 | consulté le=15-08-2024}}.</ref>

<ref name=astroVall>{{lien web |langue=fr|éditeur=Sur le site WEB du cours d'astronomie du [[Cégep de Valleyfield]].| titre=Les données de «Revised NGC and IC Catalog by Wolfgang Steinicke», NGC 7300 à 7399 |url = https://astrovalleyfield.com//AstronomieCompl/NGC%20et%20autres/WolfgangS/N7300_exc_web.htm }}</ref>

<ref name=Simbad>{{lien web |langue=an|éditeur=Simbad| titre=NGC 7360 -- Active Galaxy Nucleus Candidate | url = https://simbad.u-strasbg.fr/simbad/sim-id?Ident=NGC+7360&NbIdent=1&Radius=2&Radius.unit=arcmin&submit=submit+id }}</ref>
}}
== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Liste des objets du New General Catalogue]]

=== Liens externes ===
* {{NASANED}}
* {{Simbad}}
* {{Leda}}
* {{seds}}
* {{WikiSky}}
* {{en}} [http://cseligman.com/text/atlas/ngc73a.htm#7360 NGC 7360] sur le site du professeur C. Seligman

{{Navigation New General Catalogue|7360}}
{{Palette|NGC 7000 à 7499}}
{{Portail|astronomie}}

[[Catégorie:NGC 7000 à 7499|7360]]
[[Catégorie:Constellation de Pégase]]
[[Catégorie:Galaxie elliptique]]
[[Catégorie:Galaxie active]]
[[Catégorie:Galaxie découverte en 1864]]
[[Catégorie:Objet céleste découvert par Albert Marth]]

title: Données d’observation · (Époque J2000.0)

Constellation: Pégase

Magnitude apparente (V): 13,7 · 14,5 dans la Bande B

Données d’observation · (Époque J2000.0): Localisation dans la constellation : Pégase

title: Astrométrie

Distance: 63,63 ± 4,47 Mpc (∼208 millions d'al)

title: Caractéristiques physiques

Type d'objet: Galaxie elliptique

Type de galaxie: E, S0(nr)/a S

Dimensions: environ 23,92 kpc (∼78 000 al)

title: Découverte

Découvreur(s): Albert Marth

title: Liste des galaxies elliptiques

Liste des galaxies elliptiques: modifier