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# Théorème de Perron-Frobenius
Pour les articles homonymes, voir Perron et Théorème de Frobenius.
En algèbre linéaire et en théorie des graphes, le théorème de Perron-Frobenius, démontré par Oskar Perron et Ferdinand Georg Frobenius, est un théorème portant sur la réduction des matrices à coefficients positifs. Il a d'importantes applications en théorie des probabilités (chaînes de Markov), en théorie des systèmes dynamiques, en économie (analyse entrée-sortie), en théorie des graphes, en dynamique des populations (modèle de Leslie) et dans l'aspect mathématique du calcul des PageRanks de Google.

## Théorème de Perron Frobenius pour une matrice positive irréductible
Théorème de Perron-Frobenius —
Soit {\displaystyle A} une matrice à coefficients positifs de type {\displaystyle n\times n} et irréductible.
- Le rayon spectral {\displaystyle \rho } de {\displaystyle A} est une valeur propre simple de {\displaystyle A}, et le sous-espace propre associé est une droite vectorielle engendrée par un vecteur (colonne) strictement positif.
- Si {\displaystyle s} et {\displaystyle S} sont respectivement le minimum et le maximum des sommes des éléments de chaque ligne de {\displaystyle A}, on a {\displaystyle s\leq \rho \leq S}.
- Si {\displaystyle n\geq 2} alors {\displaystyle \rho >0}.
- Soit {\displaystyle h} le nombre de valeurs propres (complexes) de module {\displaystyle \rho }. Le spectre de {\displaystyle A} dans le plan complexe est invariant par la rotation de centre {\displaystyle O} et d'angle {\displaystyle {\frac {2\pi }{h}}}. En outre, si {\displaystyle h>1}, il existe une matrice de permutation {\displaystyle S} telle que {\displaystyle {}^{t}SAS=S^{-1}AS={\begin{pmatrix}0&A_{1,2}&0&\cdots &0\\0&0&A_{2,3}&\cdots &0\\\vdots \\0&0&0&\cdots &A_{h-1,h}\\A_{h,1}&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}, où les blocs diagonaux (nuls) sont carrés.

## Applications pratiques
- Ce théorème permet de montrer, sous certaines conditions, qu'une chaîne de Markov ergodique sur un espace d'états fini converge en loi vers son unique mesure invariante[réf. nécessaire].

- Le vecteur de Google utilisé lors du calcul des PageRank de Google est un vecteur de Perron-Frobenius[3].

## Anecdote historique
- Le théorème a été découvert une première fois par le mathématicien jésuite français Maurice Potron qui étudiait un modèle économique très proche des analyses entrée-sortie développées des années plus tard[5].

title: Théorème de Perron-Frobenius

wikitext:
{{Voir homonymie|Perron|Théorème de Frobenius}}
En [[algèbre linéaire]] et en [[théorie des graphes]], le '''théorème de Perron-Frobenius''', démontré par [[Oskar Perron]] et [[Ferdinand Georg Frobenius]], est un théorème portant sur la réduction des matrices à coefficients positifs. Il a d'importantes applications en théorie des probabilités ([[Chaîne de Markov|chaînes de Markov]]), en théorie des [[système dynamique|systèmes dynamiques]], en économie ([[analyse entrée-sortie]]<ref>{{ouvrage | titre=Matrix analysis and applied linear algebra | année=2000 |prénom1=Carl |nom1=Meyer | url = http://www.matrixanalysis.com/Chapter8.pdf|éditeur = SIAM | isbn =  0-89871-454-0}}[http://www.matrixanalysis.com/Chapter8.pdf 8.3.6 p. 681])</ref>), en théorie des graphes, en [[dynamique des populations]]<ref>{{Article|langue=Français|auteur1=Bair Jacques|titre=Matrice de Leslie. Pour modéliser la dynamique d'une population structurée en classes d'âges.|périodique=Bulletin de l'APMEP|date=2012|issn=0240-5709|lire en ligne=https://www.apmep.fr/IMG/pdf/bairC.pdf|pages=527-533}}</ref> ([[modèle de Leslie]]) et dans l'aspect mathématique du calcul des [[PageRank|PageRanks]] de [[Google]]<ref name="PDF1">[http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/Perron-Frobenius.pdf Bachir Bekka, ''Le théorème de Perron-Frobenius, les chaînes de Markov et un célèbre moteur de recherche'']</ref>.

== Théorème de Perron Frobenius pour une matrice positive irréductible ==
{{Théorème|Théorème de Perron-Frobenius|
Soit <math>A</math> une [[matrice à coefficients positifs]] de type <math>n\times n</math> et [[irréductibilité|irréductible]].
* Le [[rayon spectral]] <math>\rho</math> de <math>A</math> est une valeur propre simple de <math>A</math>, et le sous-espace propre associé est une droite vectorielle engendrée par un vecteur (colonne) strictement positif.
* Si <math>s</math> et <math>S</math> sont respectivement le minimum et le maximum des sommes des éléments de chaque ligne de <math>A</math>, on a <math>s \le \rho \le S</math>.
* Si <math>n\ge 2 </math> alors <math>\rho>0</math>.
* Soit <math>h</math> le nombre de valeurs propres (complexes) de module <math>\rho</math>. Le spectre de <math>A</math> dans le plan complexe est invariant par la rotation de centre <math>O</math> et d'angle <math>\frac{2\pi}{h}</math>. En outre, si <math>h>1</math>, il existe une [[matrice de permutation]] <math>S</math> telle que <math>{}^tSAS=S^{-1}AS=\begin{pmatrix} 0&A_{1,2}&0&\cdots&0\\0&0&A_{2,3}&\cdots&0\\\vdots\\0&0&0&\cdots&A_{h-1,h}\\A_{h,1}&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}</math>, où les blocs diagonaux (nuls) sont carrés.
}}

{{Démonstration|déroulante=oui|
Dans toute la démonstration, on identifie naturellement <math>\mathbb{R}^{n}</math> ou <math>\mathbb{C}^{n}</math> à l'espace des matrices colonne <math>n\times 1</math> réelles ou complexes.

On désigne par <math>S</math> l'ensemble des vecteurs de <math>(\mathbb{R}_{+})^{n}</math> '''non nuls''' et par <math>S^{0}</math> l'ensemble de ces vecteurs (colonne) '''strictement positifs'''. On définit l'application <math>r</math> de <math>S</math> dans <math>\mathbb R_+</math> par <math>r(X)=\min_{i\in \{1,2,\dotsc,n\},X_i>0}{\frac{[AX]_i}{X_i}}</math>. On voit aisément qu'on a également <math>r(X)=\sup\left\{\lambda \in \mathbb{R}_{+}:\lambda X \leq AX\right\}</math>.
;L'application <math>r</math> admet un point de maximum sur ''S''

L'application <math>r</math> est continue sur <math>S^{0}</math> puisqu'il s'agit alors simplement du minimum d'une famille finie d'applications continues <math>\left(X\mapsto\frac{[AX]_i}{X_i}\right)_{i\in \{1,2,\dotsc,n\}}</math>. Cependant, on ne peut affirmer la continuité sur <math>S</math>. Par ailleurs, <math>S</math> et <math>S^{0}</math> ne sont pas compacts. La solution sera de montrer ''l'existence d'un point de maximum sur une partie compacte <math>K</math> de <math>S^0</math> et de vérifier ensuite que ce point réalise aussi le maximum sur <math>S</math>''. Il suffira pour cela de montrer que <math>\sup_{X\in S}{r(X)}\leq\sup_{X\in K}{r(X)}</math> (en fait égalité, évidemment).

La première chose consiste à remarquer que <math>r</math> est constante sur chaque demi-droite (ouverte) d'origine <math>0</math> incluse dans <math>S</math>. On peut par conséquent ''se limiter à travailler sur la partie <math>D</math> de <math>S</math> formée des vecteurs colonne de norme 1 (on prendra la norme <math>\mathrm{N}_\infty(X)=\max_{i\in\{1,2,\dotsc,n\}}{|X_i|}</math>).

<math>D</math> est compact, mais on n'a pas encore la continuité de <math>r</math> sur <math>D</math>. C'est maintenant qu'intervient l'irréductibilité de <math>A</math>.

On montre que l'ensemble <math>K=(A+I)^{n-1}D</math> satisfait à notre objectif ( <math>K</math> compact, <math>r</math> continue sur <math>K</math> et <math>\sup_{X\in S} r(X)=\sup_{X\in K} r(X) </math> ).

Tout d'abord <math>K</math> est compact comme image du compact <math>D</math> par une application (linéaire) continue. Ensuite, on voit que <math>K</math> est inclus dans <math>S^0</math>, ce qui montrera bien la continuité de <math>r</math> sur <math>K</math>. En effet on sait que <math>(A+I)^{n-1}>0</math> et il en résulte immédiatement que <math> \left[X\ge 0,X\neq 0\right]\Rightarrow (A+I)^{n-1}X>0</math>. Par conséquent <math> r </math> possède un point de minimum sur <math>K</math>. Enfin pour achever, on montre que <math>\forall W\in D\quad r\left( (A+I)^{n-1} (W)\right) \ge r(W)</math>. En effet <math>r(W)W\le AW\Rightarrow r(W)(A+I)^{n-1}W \le A (A+I)^{n-1}W</math> ce qui montre que <math>r(W)</math> est majoré par <math> r\left ((A+I)^{n-1}W\right)=\sup\{\lambda \in \mathbb R _+ \backslash \lambda X \le AX\}</math>. Ainsi on a bien <math> \sup_{W\in S}r(W) = \sup_{X\in K}r(X)</math>

On désigne désormais par <math>\rho</math> la valeur maximale de <math> r(X)</math> trouvée ci-dessus et par '''vecteur extrémal''' tout vecteur <math>X</math> réalisant le maximum de <math>r </math> sur <math>S</math>.
;Tout vecteur extrémal est vecteur propre de <math>A</math> associé à la valeur propre <math>\rho</math>. Réciproquement tout vecteur propre positif relatif à <math>\rho</math> est extrémal.

Soit <math>X </math> un vecteur extrémal. Par définition <math>\rho X\le AX</math>. On pose que <math>\rho X\neq AX </math>. On pose <math>Y=(A+I)^{n-1}X</math>. Puisque <math>AX-\rho X\ge 0</math> et <math>AX-\rho X \neq 0</math> on a <math>(A+I)^{n-1} (AX-\rho X)>0 </math>, soit encore <math>AY-\rho Y>0</math>, c'est-à-dire <math>\rho Y<AY</math>. On peut trouver <math>\epsilon >0</math> tel que <math>(\rho+\epsilon) Y \le AY</math>, ce qui contredit la maximalité de <math>\rho</math>.

Réciproquement si le vecteur positif <math> X</math> vérifie <math>AX = \rho X</math>, en écrivant d’une part <math>\rho X \le AX</math> on voit que <math> \rho \le r(X)</math> et d’autre part <math>r(X)X \le AX = \rho X</math> montre que <math> r(X) \le \rho</math>. Ainsi <math>r(X) = \rho </math> et X est extrémal.
:Pour toute valeur propre (complexe) <math>\lambda</math> de <math>A \quad |\lambda|\le \rho.\quad \rho</math> est le rayon spectral de <math>A </math>.

En effet de <math>AZ=\lambda Z</math> on tire <math> A |Z|\ge |\lambda||Z|</math>. Donc <math>|\lambda|\le r(|Z|)\le \rho</math>.
:Tout vecteur extrémal est strictement positif.

En effet si <math>X</math> est extrémal, on pose <math>Z=(A+I)^{n-1}X</math>. Comme <math> X \ge 0, X\neq 0 </math> et <math>A</math> irréductible on a <math>Z>0</math>. Comme <math>X </math> est vecteur propre de <math>A</math> relatif à <math>\rho</math> (cf. ci-dessus) on a <math>Z=(\rho +1)^{n-1}X</math> d'où on tire <math>X=(\rho+1)^{1-n}Z>0</math>.
:Pour tout vecteur propre (complexe) <math>Z</math> de <math>A</math> relatif à une valeur propre <math> \lambda</math> de module <math>\rho</math>, le vecteur <math>|Z|</math> (vecteur dont les composantes sont les modules de celles de <math>Z</math>) est un vecteur extrémal (et est donc strictement positif ). Il en résulte que chaque vecteur propre de <math>A</math> (éventuellement complexe) relatif à <math>\lambda</math> vérifiant <math>|\lambda| = \rho</math> a toutes ses composantes non nulles.

En effet de <math> AZ = \lambda Z</math> on déduit immédiatement <math>A|Z| \ge \rho|Z|</math>, ce qui entraîne <math> \rho \le r(|Z|) \le \rho </math> par maximalité de <math>\rho</math>, d’où le résultat.
:Le sous-espace propre de <math>A</math> relatif à la valeur propre <math>\rho</math> est une droite vectorielle.

On suppose en effet que <math>X</math> et <math>Y</math> soient deux vecteurs propres linéairement indépendants. On sait (cf. ci-dessus) que ces 2 vecteurs ont toutes leurs composantes non nulles. Il est possible de former une combinaison linéaire non nulle ayant par exemple la première composante nulle. Cette combinaison est ainsi un vecteur propre de <math>A</math> ayant une composante nulle, ce qui est contradictoire.
:<math>\rho</math> est une valeur propre simple de <math>A</math>.

On désigne par <math>B(\lambda)</math> la comatrice transposée de <math>\lambda I -A</math>. On remarque tout d'abord que le sous-espace propre relatif à <math>\rho:\quad ker (\rho I-A) </math> étant de dimension 1 il en résulte que <math>\rho I-A</math> est de rang <math>n-1</math> et que par suite il y a au moins un cofacteur non nul, ce qui montre que <math>B(\rho)\neq 0</math>. De plus on sait que <math>(\lambda I-A)B(\lambda)=\mathrm{det}(\lambda I-A)I</math>. En particulier <math>(\rho I-A)B(\rho)=0</math>, ce qui montre que les colonnes non nulles de <math>B(\rho)</math> sont des vecteurs propres de <math>A</math> relatives à <math>\rho</math> et par suite que ces colonnes non nulles sont toutes multiples de l'une d'entre elles et ont toutes leurs composantes non nulles et de même signe. Mais on a aussi <math>B(\rho) (\rho I-A)=0</math>, soit en transposant <math>(\rho I-{}^tA)\; {}^t B(\rho)=0</math>. Or <math>{}^tA</math> est aussi une matrice positive irréductible puisque <math>({}^t A+I)^{n-1}={}^t\left( ( A+I)^{n-1} \right )>0</math>. Le raisonnement précédent appliqué à <math>{}^tA</math> permet ainsi de montrer que les colonnes non nulles de <math>{}^tB(\rho)</math> et donc les lignes non nulles de <math>B(\rho)</math> ont tous leurs éléments non nuls et de même signe. Finalement on en déduit facilement que <math>B(\rho)</math> a tous ses éléments non nuls et de même signe. En effet soient <math>B_{i,j}(\rho)</math> et <math>B_{k,l}(\rho)</math> deux éléments quelconques de <math>B(\rho)</math>. Si <math>B_{i,j}(\rho)=0</math> toute sa ligne est nulle, donc <math>B_{i,l}(\rho)=0</math>, par suite toute la colonne <math>l</math> est nulle et ainsi <math>B_{k,l}(\rho)=0</math>. Finalement on en déduit que <math>B(\rho)=0</math>, ce qui est exclu. D'autre part le signe de <math>B_{i,j}(\rho)</math> est celui de <math>B_{i,l}(\rho)</math> et finalement celui de <math>B_{k,l}(\rho)</math>. Tous les éléments de <math>B(\rho)</math> sont bien non nuls et de même signe.

On pose <math>\Pi(\lambda)=\mathrm{det}(\lambda I-A)</math> (polynôme caractéristique). On a <math>\Pi'(\lambda)=\sum_{i=1}^n B_{i,i}(\lambda)=\mathrm{Tr}(B(\lambda))</math>. En effet, on désigne par <math> A_i(\lambda) </math> la i_ème colonne de la matrice <math>\lambda I-A</math>.

On a <math>\Pi'(\lambda)=\frac d {d\lambda} \text {det}(A_1(\lambda),A_2(\lambda),\dotsc,A_n(\lambda))=\sum_{i=1}^n \text {det}(A_1(\lambda),A_2(\lambda),\dotsc,A_i'(\lambda),\dotsc,A_n(\lambda)) </math>. Mais <math>A_i'(\lambda) </math> a tous ses éléments nuls sauf le i_ème qui est égal à 1. Le résultat s'ensuit immédiatement. On a donc <math>\Pi'(\rho)\neq 0</math> puisque tous les éléments de <math>B(\rho)</math> sont non nuls et de même signe. Ceci montre bien que <math>\rho</math> est valeur propre simple de <math>A</math><ref><math> \Pi'(\rho)=\mathrm{Tr}(B(\rho)) </math> et <math>\rho </math> est la plus grande racine réelle (c'est une racine simple) du polynôme réel <math>\Pi(\lambda)</math> qui vérifie <math>\lim_{\lambda \rightarrow +\infty}\Pi(\lambda)=+\infty </math>. On voit que <math>B(\rho)</math> est ''strictement positive''.</ref>.
# Soit <math>X>0</math> un vecteur propre relatif à <math>\rho</math>. On a donc <math>\sum_{i=1}^n A_{i,j}X_j=\rho X_i</math>. Soit <math>q</math> l'indice d'une composante <math>X_j</math> maximale. On a <math>\rho X_q=\sum_{j=1}^n A_{q,j}X_j\le \sum_{j=1}^n A_{q,j}X_q\le SX_q</math> et en simplifiant par <math>X_q>0</math> on obtient <math>\rho \le S</math>. La démonstration est symétrique pour <math>s</math> en considérant cette fois l'indice d'une composante <math>X_j</math> minimale.

Si <math>n\ge 2</math> alors <math>s>0</math> (sinon il y aurait une ligne nulle, soit la j-ème et la matrice ne serait pas irréductible puisque dans <math>\mathcal G (A)</math> le sommet <math>j</math> ne pourrait être l'origine d'un chemin aboutissant à un autre sommet). Donc dans ce cas <math>0<s\le \rho</math>.
;Disposition des valeurs propres dans le plan complexe.
:On démontre d'abord l'équivalence entre les propositions suivantes :
#<math>\gamma=\rho \mathrm{e}^{i\phi}</math> est une valeur propre de <math>A</math>.
#Il existe une matrice <math>D</math> vérifiant <math>|D|=I</math> (unité) telle que <math>D^{-1}AD=\mathrm{e}^{i\phi}A</math>.

(i) <math>\Rightarrow </math> (ii). Soit <math>Y</math> un vecteur propre relatif à <math>\gamma</math>. On a vu ci-dessus (cf. (1)) que <math>|Y| </math> était un vecteur extrémal et donc un vecteur propre relatif à <math>\rho</math>. On peut écrire <math>Y=D|Y|</math> où <math>D</math> est une matrice diagonale dont tous les éléments diagonaux sont de module 1. Par ailleurs on peut poser <math>\gamma=\rho \mathrm{e}^{i\phi}</math>. On a donc <math>AD|Y|=\rho \mathrm{e}^{i\phi}D|y|</math> d'où <math> \mathrm{e}^{-i\phi}D^{-1}AD|Y|=\rho |Y|=A|Y|</math>. Mais l'égalité <math>\mathrm{e}^{-i\phi}D^{-1}AD|Y|=A|Y|</math> entraîne <math>\mathrm{e}^{-i\phi}D^{-1}AD=A</math>. En effet, on pose <math> W=\mathrm{e}^{-i\phi}D^{-1}AD</math>. On voit immédiatement que <math> \forall i\forall j|W_{i,j}|=A_{i,j}</math>. En écrivant l'égalité <math>W|Y|=A|Y|</math> pour la ligne <math>i:\quad \sum_{j=1}^n W_{i,j}|Y_j|=\sum_{j=1}^n A_{i,j}|Y_j|</math> et en tenant compte de <math>|W_{i,j}|=A_{i,j}</math> et <math>|Y|>0</math> on obtient le résultat demandé.

(ii) <math>\Rightarrow </math> (i). Soit <math> X </math> un vecteur extrémal de <math>A</math> et on pose <math>Y=DX</math>. On a <math>AY=ADX= \mathrm{e}^{i\phi}DAD^{-1}DX=\mathrm{e}^{i\phi}DAX=\mathrm{e}^{i\phi}D\rho X=\mathrm{e}^{i\phi}\rho Y=\gamma Y </math>.
#* Soit <math>h</math> le nombre de valeurs propres de <math>A</math> de module <math>\rho</math>. On considère l'ensemble <math> \mathcal H</math> des nombres <math> \frac {\gamma} {\rho}</math> où <math>\gamma</math> est valeur propre de module <math>\rho</math> et on montre que cet ensemble est un sous-groupe du groupe multiplicatif des complexes de module 1. En effet si <math>\frac {\gamma_1} {\rho}=\mathrm{e}^{i\varphi_1}</math> et <math>\frac {\gamma_2} {\rho}=\mathrm{e}^{i\varphi_2}</math> sont 2 éléments de <math>\mathcal H</math>, en appliquant le préliminaire ci-dessus il existe <math>D_1</math> et <math>D_2</math> tels que <math>D_1^{-1}AD_1=\mathrm{e}^{i\varphi_1} A</math> et <math>D_2^{-1}AD_2=\mathrm{e}^{i\varphi_2}A</math>, ce qui entraîne <math> \mathrm{e}^{-i\varphi_1}D_1^{-1}AD_1=\mathrm{e}^{-i\varphi_2}D_2^{-1}AD_2   </math> soit <math> \mathrm{e}^{i(\varphi_2-\varphi_1)}D_2 D_1^{-1}AD_1 D_2^{-1}=A</math>, ce qui montre que <math> \mathrm{e}^{i(\varphi_2-\varphi_1)}=\frac {\mathrm{e}^{i\varphi_2}} {\mathrm{e}^{i\varphi_1}} \in \mathcal H </math> qui est bien un sous-groupe du groupe des complexes de module 1. En fait ce sous-groupe étant d'ordre <math>h</math> et donc formé de racines h-ième de 1, il coïncide avec l'ensemble de ces racines h-ième.

Il existe donc <math> D </math> telle que <math>D^{-1}AD=\mathrm{e}^{-\frac {2i\pi} h} A</math>. Si <math>\Pi(\lambda)</math> désigne le polynôme caractéristique de <math>A</math> qui est aussi celui de <math>D^{-1}AD</math> on peut écrire <math>\Pi(\lambda)=\mathrm {det} (\lambda I-\mathrm{e}^{-\frac {2i\pi} h} A)=\mathrm{e}^{(-1)^n\frac {2in\pi} h}\; \Pi(\mathrm{e}^{\frac {2i\pi}h} \lambda )</math>. Ceci montre bien l'invariance de l'ensemble des valeurs propres de <math>A</math> par la rotation de centre <math>O</math> et d'angle <math>\frac {2\pi} h</math>. En outre si <math>\gamma</math> est une valeur propre, la valeur propre <math>\mathrm{e}^{\frac{2i\pi}h}\gamma</math> est de même ordre de multiplicité que <math>\gamma</math>. En particulier toutes les valeurs propres de module <math>\rho</math> sont simples.

On suppose maintenant <math>h>1</math> et soit <math> X</math> un vecteur extrémal. D'après ce qui précède il existe une matrice diagonale <math>\Delta</math> vérifiant <math>|\Delta|=I</math> telle que <math>\Delta X</math> soit vecteur propre relatif à <math>\mathrm{e}^{\frac{2i\pi} h}\rho</math> et <math>\Delta^{-1}A\Delta=\mathrm{e}^{\frac{2i\pi} h}A.\quad \Delta</math> est défini à un facteur près, la valeur propre étant simple et le sous-espace propre étant par conséquent une droite vectorielle. On peut donc décider de choisir <math>\Delta</math> de manière que sa première composante soit <math>1</math>, ce qui assure l'unicité. Mais de la même manière <math>\Delta^h X</math> est vecteur propre relatif à <math>\mathrm{e}^{\frac{2ih\pi} h}\rho=\rho</math>, ce qui implique <math>\Delta^h X=X</math> et donc <math>\Delta^h=I</math> puisque <math>X>0</math> et <math>\Delta</math> diagonale. Il en résulte que les éléments diagonaux de <math>\Delta</math> sont des racines h-ième de l'unité. Il existe donc une matrice de permutation <math>S</math> telle que <math>\tilde \Delta={}^tSDS=S^{-1}DS=\begin{pmatrix}\mathrm{e}^{\frac{2i\pi} h n_0}I_0&0&0&\cdots&0\\0&\mathrm{e}^{\frac{2i\pi} h n_1}I_1&0&\cdots&0\\0&0&\mathrm{e}^{\frac{2i\pi} h n_2}I_2&\cdots&0 \\.&.&.&\cdots\\.\\0&0&0&\cdots&\mathrm{e}^{\frac{2i\pi} h n_{s-1}}I_{s-1} \end{pmatrix}</math> avec <math>n_i\in\mathbb N,\quad n_0=0<n_1<n_2<\dotsb<n_{s-1}<h, \qquad I_0,I_1,\dotsc,I_{s-1} </math>étant des matrices unités. On a évidemment <math>s\le h</math>.

En posant de même <math>\tilde A=S^{-1}AS</math> on trouve <math>\tilde \Delta^{-1}\tilde A \tilde \Delta=\mathrm{e}^{\frac{2i\pi} h}\tilde A</math>.

On partitionne <math>\tilde A</math> suivant le même schéma que <math>\tilde \Delta </math> : <math>\tilde A=\begin{pmatrix}\tilde A_{1,1}&\tilde A_{1,2}&\cdots&\tilde A_{1,s}\\ \tilde A_{2,1}&\tilde A_{2,2}&\cdots&\tilde A_{2,s}\\.&\cdots&.\\ \tilde A_{s,1}&\tilde A_{s,2}&\cdots&\tilde A_{s,s}\end{pmatrix}</math>.

On va montrer par récurrence que <math>\forall k\in \{0,1,\dotsc,s-1\}n_k=k</math>.

L'égalité est vraie pour <math>k=0</math>. On suppose qu'elle le soit jusque <math>k-1<s-1</math>. L'égalité <math>\tilde \Delta^{-1}\tilde A \tilde \Delta=\mathrm{e}^{\frac{2i\pi} h}\tilde A</math> donne en ce qui concerne la ligne de blocs N°<math>k\quad \forall l \in \{1,2,\dotsc,s\} \mathrm{e}^{\frac{2i\pi}h}\tilde A_{k,l}=\mathrm{e}^{\frac{2i\pi}h (n_{l-1}-n_{k-1})}\tilde A_{k,l}</math>. Comme les <math>\tilde A_{k,l}</math> ne sont pas tous nuls puisque la matrice est irréductible <math>\exist l\in \{1,2,\dotsc,s\}\quad n_{l-1}-n_{k-1}=1+ph (p\in \mathbb Z)</math>, soit <math>n_{l-1}=k+ph</math>. Mais comme <math> k<s\le h</math> et <math> 0\le n_{l-1}<h</math> on en déduit <math> p=0 </math> par élimination des cas <math>p<0</math> et <math>p>0</math>.

Donc <math>n_{l-1}=k=(k-1)+1=n_{k-1}+1</math>. Ceci ne peut se réaliser que si <math>n_{l-1}</math> est le successeur immédiat de <math>n_{k-1}</math> dans la suite croissante des <math>n_j</math>. Donc <math>l-1=k-1+1=k</math> et <math>n_{l-1}=n_k=k</math>, ce qui achève la récurrence.

D'autre part <math>\mathrm{e}^{\frac {2i\pi} h}\tilde A_{k,l}=\mathrm{e}^{\frac {2i\pi} h (l-k)}\tilde A_{k,l}</math> montre que si <math>l-k</math> n'est pas congru à <math>1</math> modulo <math>h</math> on a <math>\tilde A_{k,l}=0</math>.

Il reste à prouver que <math>s=h</math>. Or en considérant la dernière ligne de blocs on ne peut avoir <math>n_{l-1}=l-1=s+ph</math> que si <math> p=-1</math>. En effet si <math>p\ge 0</math> on a <math>l>s</math>, ce qui est impossible et si <math>p<-1, n_{l-1}<0</math> également exclu. Donc <math>l-1=s-h</math> soit <math>l=s-h+1</math>. Mais <math>0<l=s-h+1</math> et donc <math>s>h-1</math> soit <math>s\ge h</math>. Comme on a évidemment <math>s \le h</math> on a <math>s=h</math>, ce qui a achève la démonstration.

Le théorème de Perron Frobenius est donc complètement démontré.
}}

== Applications pratiques ==
* Ce théorème permet de montrer, sous certaines conditions, qu'une [[chaîne de Markov]] ergodique sur un espace d'états fini converge en loi vers son unique [[Mesure de probabilité|mesure]] invariante{{Référence nécessaire|date=1 mai 2023}}.

* Le vecteur de Google utilisé lors du calcul des [[PageRank]] de [[Google]] est un vecteur de Perron-Frobenius<ref name="PDF1"/>.

== Anecdote historique ==

* Le théorème a été découvert une première fois par le mathématicien jésuite français [[Maurice Potron]] qui étudiait un modèle économique très proche des analyses entrée-sortie développées des années plus tard<ref>Christian Bidard et Guido Erreygers, « Potron and the Perron-Frobenius Theorem », ''Economic systems Research'', {{vol.|19}}, {{n°|4}}, 2007, {{p.|439-452}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références|colonnes = 1}}

{{Portail|mathématiques}}

{{DEFAULTSORT:Theoreme de Perron-Frobenius}}
[[Catégorie:Matrice]]
[[Catégorie:Théorème d'algèbre linéaire|Perron]]
[[Catégorie:Chaîne de Markov]]


text:
# Tsvetana Pironkova
Tsvetana Pironkova, née le 13 septembre 1987 à Plovdiv, est une joueuse de tennis bulgare, professionnelle entre 2002 et 2017 puis revenue 2020 et 2021.
Elle remporte son premier titre en janvier 2014 à Sydney.
Elle ne manque aucun tournoi du Grand Chelem entre 2006 et 2017, soit 47 participations consécutives. Son meilleur résultat dans cette catégorie est une demi-finale en 2010 à Wimbledon.

## Palmarès

### Titre en simple dames
| No | Date       | Nom et lieu du tournoi     | Catégorie | Dotation  | Surface    | Finaliste        | Score    |          |
| -- | ---------- | -------------------------- | --------- | --------- | ---------- | ---------------- | -------- | -------- |
| 1  | 05-01-2014 | Apia International, Sydney | Premier   | 710 000 $ | Dur (ext.) | Angelique Kerber | 6-4, 6-4 | Parcours |

### Finale en simple dames
Aucune

## Parcours en Grand Chelem

### En simple dames
| Année | Open d'Australie | Open d'Australie    | Internationaux de France | Internationaux de France | Wimbledon       | Wimbledon           | US Open         | US Open         |
| ----- | ---------------- | ------------------- | ------------------------ | ------------------------ | --------------- | ------------------- | --------------- | --------------- |
| 2005  | —                | —                   | —                        | —                        | Q3              | Julia Vakulenko     | Q2              | Tiffany Dabek   |
| 2006  | 2e tour (1/32)   | Laura Granville     | 2e tour (1/32)           | Shahar Peer              | 2e tour (1/32)  | Agnieszka Radwańska | 1er tour (1/64) | Jamea Jackson   |
| 2007  | 1er tour (1/64)  | Akiko Morigami      | 1er tour (1/64)          | Serena Williams          | 1er tour (1/64) | Agnieszka Radwańska | 2e tour (1/32)  | Justine Henin   |
| 2008  | 2e tour (1/32)   | Svetlana Kuznetsova | 2e tour (1/32)           | Anabel Medina Garrigues  | 1er tour (1/64) | Victoria Azarenka   | 1er tour (1/64) | Anabel Medina   |
| 2009  | 2e tour (1/32)   | Marion Bartoli      | 1er tour (1/64)          | Jill Craybas             | 1er tour (1/64) | Jill Craybas        | 1er tour (1/64) | Maria Sharapova |
| 2010  | 2e tour (1/32)   | Shahar Peer         | 1er tour (1/64)          | Justine Henin            | 1/2 finale      | Vera Zvonareva      | 2e tour (1/32)  | Mandy Minella   |
| 2011  | 2e tour (1/32)   | Monica Niculescu    | 2e tour (1/32)           | Gisela Dulko             | 1/4 de finale   | Petra Kvitová       | 2e tour (1/32)  | Peng Shuai      |
| 2012  | 2e tour (1/32)   | Galina Voskoboeva   | 2e tour (1/32)           | Francesca Schiavone      | 2e tour (1/32)  | Maria Sharapova     | 1/8 de finale   | Ana Ivanović    |
| 2013  | 1er tour (1/64)  | Romina Oprandi      | 1er tour (1/64)          | Eugenie Bouchard         | 1/8 de finale   | Agnieszka Radwańska | 1er tour (1/64) | Alison Riske    |
| 2014  | 2e tour (1/32)   | Samantha Stosur     | 2e tour (1/32)           | Maria Sharapova          | 1er tour (1/64) | Varvara Lepchenko   | 2e tour (1/32)  | Jelena Janković |
| 2015  | 2e tour (1/32)   | Dominika Cibulková  | 3e tour (1/16)           | Sloane Stephens          | 1er tour (1/64) | Belinda Bencic      | 1er tour (1/64) | Mona Barthel    |
| 2016  | 1er tour (1/64)  | Yaroslava Shvedova  | 1/4 de finale            | Samantha Stosur          | 1er tour (1/64) | Belinda Bencic      | 2e tour (1/32)  | Johanna Konta   |
| 2017  | 1er tour (1/64)  | Agnieszka Radwańska | 2e tour (1/32)           | Elina Svitolina          | 2e tour (1/32)  | Caroline Wozniacki  | —               | —               |
|       |                  |                     |                          |                          |                 |                     |                 |                 |
| 2020  | —                | —                   | 3e tour (1/16)           | Barbora Krejčíková       | Annulé          | Annulé              | 1/4 de finale   | Serena Williams |
| 2021  | 1er tour (1/64)  | Hsieh Su-wei        | Q2                       | Susan Bandecchi          | 1er tour (1/64) | Yulia Putintseva    | 1er tour (1/64) | Daria Kasatkina |

N.B. : à droite du résultat se trouve le nom de l'ultime adversaire.

### En double dames
N.B. : le nom de la partenaire se trouve sous le résultat ; les noms des ultimes adversaires se trouvent à droite.

## Parcours en «Premier» et WTA 1000
Les tournois WTA « Premier Mandatory » et « Premier 5 » (entre 2009 et 2020) et WTA 1000 (à partir de 2021) constituent les catégories d'épreuves les plus prestigieuses, après les quatre levées du Grand Chelem.

De 2009 à 2023, les tournois Premier Mandatory (dits tournois WTA 1000 obligatoires entre 2021 et 2023) regroupent Indian Wells, Miami, Madrid et Pékin, les autres constituant les tournois Premier 5 (tournois WTA 1000 non-obligatoires). À partir de 2024, le nombre de tournois WTA 1000 passe à 10 par saison (fin de l’alternance Doha / Dubaï), ces derniers devenant tous obligatoires et offrant tous 1000 points à la vainqueure (contre 900 points précédemment pour les tournois Premier 5).

### En simple dames
| Année |       |                            |                              |                                  |                               |                                 |                               |       |                             |                                 |  |                             |
| Doha  | Dubaï | Indian Wells               | Miami                        | Madrid                           | Rome                          | Canada                          | Cincinnati                    | Pékin |                             | Tokyo                           |  |                             |
| Doha  | Dubaï | Indian Wells               | Miami                        | Madrid                           | Rome                          | Canada                          | Cincinnati                    | Pékin | Wuhan                       |                                 |  |                             |
| Doha  | Dubaï | Indian Wells               | Miami                        | Madrid                           | Rome                          | Canada                          | Cincinnati                    | Pékin | Guadalajara                 |                                 |  |                             |
| 2009  |       | Hors calendrier            | 2e tour (1/16) D. Cibulková  | 2e tour (1/32) D. Safina         | 1er tour (1/64) F. Schiavone  | 1er tour (1/32) A. Rezaï        | 1er tour (1/32) F. Pennetta   |       |                             |                                 |  |                             |
| 2010  |       | Hors calendrier            |                              | 2e tour (1/32) Kleybanova        | 2e tour (1/32) C. Wozniacki   |                                 |                               |       |                             | 1er tour (1/32) M. Sharapova    |  | 2e tour (1/16) R. Vinci     |
| 2011  |       | Hors catégorie             | 2e tour (1/16) S. Kuznetsova | 2e tour (1/32) A. Cornet         | 2e tour (1/32) L. Domínguez   | 1er tour (1/32) A. Szávay       | 1er tour (1/32) D. Hantuchová |       | 1er tour (1/32) C. McHale   | 1er tour (1/32) S. Stosur       |  | 2e tour (1/16) V. Zvonareva |
| 2012  |       | 3e tour (1/8) M. Bartoli   | Hors catégorie               | 1er tour (1/64) C. Suárez        | 2e tour (1/32) R. Vinci       | 1er tour (1/32) A. Medina       | 1er tour (1/32) V. King       |       | 1er tour (1/32) S. Stephens | 1er tour (1/32) V. Lepchenko    |  | 1er tour (1/32) L. Šafářová |
| 2013  |       | 1er tour (1/32) R. Oprandi | Hors catégorie               | 1er tour (1/64) C. McHale        | 1er tour (1/64) D. Hantuchová | 1er tour (1/32) A. Radwańska    | 1er tour (1/32) J. Janković   |       |                             |                                 |  |                             |
| 2014  |       | 2e tour (1/16) A. Beck     | Hors catégorie               | 1er tour (1/64) M. Keys          | 3e tour (1/16) A. Kerber      | 1er tour (1/32) L. Arruabarrena | 1er tour (1/32) P. Cetkovská  |       | 1er tour (1/32) C. Suárez   | 2e tour (1/16) S. Williams      |  |                             |
| 2015  |       | Hors catégorie             | 3e tour (1/8) S. Halep       | 1er tour (1/64) S. Karatantcheva | 2e tour (1/32) F. Pennetta    | 2e tour (1/16) L. Šafářová      | 1er tour (1/32) Z. Diyas      |       | 2e tour (1/16) S. Williams  | 1er tour (1/32) M. Duque Mariño |  | 1er tour (1/32) C. Giorgi   |
| 2016  |       | 1er tour (1/32) S. Errani  | Hors catégorie               | 2e tour (1/32) T. Bacsinszky     |                               |                                 |                               |       | 2e tour (1/16) R. Vinci     |                                 |  |                             |
| 2017  |       | Hors catégorie             | 1er tour (1/32) E. Mertens   | 1er tour (1/64) B. Bencic        | 1er tour (1/64) V. Golubic    |                                 |                               |       |                             |                                 |  |                             |
|       |       |                            |                              |                                  |                               |                                 |                               |       |                             |                                 |  |                             |
| 2021  |       | Hors catégorie             |                              |                                  | 2e tour (1/32) A. Sabalenka   |                                 |                               |       |                             | Annulé                          |  | Annulé                      |

Sous le résultat, l’ultime adversaire.
1. 1 2   Les tournois de Doha et Dubaï alternent le statut de tournoi WTA 1000 (ex Premier 5) entre 2009 et 2023 : les trois premières éditions ont lieu à Dubaï, les trois suivantes à Doha, puis Dubaï accueille le tournoi de cette catégorie les années impaires et Dubaï les années paires. De 2011 à 2023, la ville qui n’accueille pas de WTA 1000 organise à la place un tournoi WTA 500 (ex Premier).
2. 1 2 3 4 5 6 7 8   L’ordre de déroulement des tournois a évolué depuis 2009 : Rome se dispute avant Madrid et Cincinnati avant Montréal/Toronto jusqu’en 2010, tandis que Tokyo/Wuhan/Guadalajara ont lieu avant Pékin jusqu’en 2023.
3. 1 2  Du fait de la pandémie de Covid-19, les tournois d’Indian Wells, de Miami, de Madrid, du Canada, de Wuhan et de Pékin sont annulés en 2020. Ces deux derniers le sont également en 2021. Pour des raisons d’organisation, le tournoi de Cincinnati 2020 a exceptionnellement lieu à Flushing Meadows à New York.

### En double dames
| 2009 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |  |  |                                                                             |   |   |   |   |   |   |  |  |
| —    | — | — | — | — | — | — | — | — | — |  |  | 1er tour (1/16) Gledacheva \|\| style="text-align:left;" \| Brianti Dentoni | — | — | — | — | — | — |  |  |

N.B. : le nom de la partenaire se trouve sous le résultat ; les noms des ultimes adversaires se trouvent à droite.

## Parcours aux Jeux olympiques

### En simple dames
| # | Date       | Nom de l'olympiade                  | Surface      | Résultat        | Ultime adversaire  | Score         |          |
| - | ---------- | ----------------------------------- | ------------ | --------------- | ------------------ | ------------- | -------- |
| 1 | 11/08/2008 | Olympic Tennis Event Pékin          | Dur (ext.)   | 2e tour (1/16)  | Dominika Cibulková | 6-2, 6-2      | Parcours |
| 2 | 28/07/2012 | Olympic Tennis Event Londres        | Gazon (ext.) | 2e tour (1/16)  | Flavia Pennetta    | 7-5, 6-1      | Parcours |
| 3 | 06/08/2016 | Olympic Tennis Event Rio de Janeiro | Dur (ext.)   | 1er tour (1/32) | Laura Siegemund    | 1-6, 6-4, 6-2 | Parcours |

## Parcours en Fed Cup
| #                                                             | Date       | Lieu    | Surface      | Gagnante(s)                  | Perdante(s)                      | Score          |          |
|                                                               |            |         |              |                              |                                  |                |          |
| 2004 - Barrage (groupe mondial I) - Bulgarie - Japon - 2 : 3  |            |         |              |                              |                                  |                |          |
| 1                                                             | 10/07/2004 | Plovdiv | Terre (ext.) | Shinobu Asagoe               | Tsvetana Pironkova               | 7-66, 3-6, 6-4 | Parcours |
| 1                                                             | 10/07/2004 | Plovdiv | Terre (ext.) | Tsvetana Pironkova           | Yuka Yoshida                     | 6-1, 6-3       | Parcours |
|                                                               |            |         |              |                              |                                  |                |          |
| 2005 - Barrage (groupe mondial II) - Japon - Bulgarie - 4 : 1 |            |         |              |                              |                                  |                |          |
| 2                                                             | 09/07/2005 | Tokyo   | Dur (int.)   | Rika Fujiwara Akiko Morigami | Tsvetana Pironkova Maria Penkova | 6-1, 6-2       | Parcours |

## Classements WTA en fin de saison
| Année          | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2020 | 2021 |
| Rang en simple | 553  | 344  | 295  | 88   | 62   | 98   | 46   | 99   | 35   | 46   | 42   | 108  | 39   | 59   | 65   | 162  | 135  | 245  |
| Rang en double | -    | -    | -    | -    | 304  | -    | 205  | 190  | -    | 342  | 1123 | 344  | 363  | 902  | -    | -    | -    | -    |

source : (en) Classements de Tsvetana Pironkova sur le site officiel de la Fédération internationale de tennis

wikiname: frwiki

title: Tsvetana Pironkova

in_language: fr

wikitext:
{{Infobox Joueur de tennis
| nom                        = Tsvetana Pironkova
| nom d'épouse               = épouse Mirchev
| image                      = Tsvetana Pironkova (25170653263) (cropped).jpg
| taille image               = 200
| légende                    =
| alternative image          =
| premier match pro          = 2002
| dernier match pro          = 2021
| pays                       = {{Bulgarie}}
| date de naissance          = 13/9/1987
| lieu de naissance          = [[Plovdiv]]
| taille                     = {{taille|m=1.80}}
| prise de raquette          = Droitière
| revers                     = à deux mains
| gains en tournois          = 5321439 [[Dollar américain|$]]
| titres simple              = 1
| finales perdues simple     = 0
| meilleur classement simple = {{31e}} (13/09/2010)
| titres double              = 0
| finales perdues double     = 0
| meilleur classement double = {{141e}} (23/03/2009)
| Open d'Australie simple    = 1/32
| Roland-Garros simple       = 1/4
| Wimbledon simple           = 1/2
| US Open simple             = 1/4
| Open d'Australie double    = 1/16
| Roland-Garros double       = 1/16
| Wimbledon double           = 1/16
| US Open double             = 1/16
| date de mise à jour        = 15/05/2023
}}

'''Tsvetana Pironkova''', née le {{date|13 septembre 1987}} à [[Plovdiv]], est une joueuse de tennis bulgare, [[Sport professionnel|professionnelle]] entre [[Saison 2002 de la WTA|2002]] et [[Saison 2017 de la WTA|2017]] puis revenue 2020 et 2021.

Elle remporte son premier titre en janvier [[Saison 2014 de la WTA|2014]] à [[Tournoi de tennis de Sydney (WTA 2014)|Sydney]].

Elle ne manque aucun tournoi du [[Grand Chelem de tennis|Grand Chelem]] entre 2006 et 2017, soit 47 participations consécutives. Son meilleur résultat dans cette catégorie est une demi-finale en 2010 à [[Tournoi de Wimbledon|Wimbledon]].

== Palmarès ==
=== Titre en simple dames ===
{{Palmarès WTA/début|contexte=Joueuse|palmarès=Titres|tableau=Simple}}

{{Palmarès WTA/ligne|n°=1
|date=05-01-2014|tournoi=Tournoi de tennis de Sydney|édition=Apia International|ville=[[Sydney]]
|catégorie=Premier|dotation=710000|surface=Dur (ext.)
|f1={{GER-d}} [[Angelique Kerber]]
|score=6-4, 6-4|parcours=[[Tournoi de tennis de Sydney (WTA 2014)|Parcours]]}}

{{Palmarès WTA/fin}}

=== Finale en simple dames ===
''Aucune''

== Parcours en Grand Chelem ==
=== En simple dames ===
{{Historique tournoi tennis/GC début}}
|-
|[[Saison 2005 de la WTA|2005]]
|{{Historique tournoi tennis/GC base}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|Q3|UKR|Julia Vakulenko}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|Q2|USA|Tiffany Dabek}}
|-
|[[Saison 2006 de la WTA|2006]]
|{{2e|tour}} (1/32)|| style="text-align:left;" |{{USA-d}} [[Laura Granville]]
|{{2e|tour}} (1/32)|| style="text-align:left;" |{{ISR-d}} [[Shahar Peer]]
|{{2e|tour}} (1/32)|| style="text-align:left;" |{{POL-d}} [[Agnieszka Radwańska]]
|{{1er|tour}} (1/64)|| style="text-align:left;" |{{USA-d}} [[Jamea Jackson]]
|-
|[[Saison 2007 de la WTA|2007]]
|{{1er|tour}} (1/64)|| style="text-align:left;" |{{JPN-d}} [[Akiko Morigami]]
|{{1er|tour}} (1/64)|| style="text-align:left;" |{{USA-d}} [[Serena Williams]]
|{{1er|tour}} (1/64)|| style="text-align:left;" |{{POL-d}} [[Agnieszka Radwańska]]
|{{2e|tour}} (1/32)|| style="text-align:left;" |{{BEL-d}} [[Justine Henin]]
|-
|[[Saison 2008 de la WTA|2008]]
|{{2e|tour}} (1/32)|| style="text-align:left;" |{{RUS-d}} [[Svetlana Kuznetsova]]
|{{2e|tour}} (1/32)|| style="text-align:left;" |{{ESP-d}} [[Anabel Medina Garrigues]]
|{{1er|tour}} (1/64)|| style="text-align:left;" |{{BLR-d}} [[Victoria Azarenka]]
|{{1er|tour}} (1/64)|| style="text-align:left;" |{{ESP-d}} [[Anabel Medina Garrigues|Anabel Medina]]
|-
|[[Saison 2009 de la WTA|2009]]
|{{2e|tour}} (1/32)|| style="text-align:left;" |{{FRA-d}} [[Marion Bartoli]]
|{{1er|tour}} (1/64)|| style="text-align:left;" |{{USA-d}} [[Jill Craybas]]
|{{1er|tour}} (1/64)|| style="text-align:left;" |{{USA-d}} [[Jill Craybas]]
|{{1er|tour}} (1/64)|| style="text-align:left;" |{{RUS-d}} [[Maria Sharapova]]
|-
|[[Saison 2010 de la WTA|2010]]
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|ISR|Shahar Peer}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T1|BEL|Justine Henin}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|DF|RUS|Vera Zvonareva}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|LUX|Mandy Minella}}
|-
|[[Saison 2011 de la WTA|2011]]
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|ROU|Monica Niculescu}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|ARG|Gisela Dulko}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|QF|CZE|Petra Kvitová}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|CHN|Peng Shuai}}
|-
|[[Saison 2012 de la WTA|2012]]
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|KAZ|Galina Voskoboeva}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|ITA|Francesca Schiavone}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|RUS|Maria Sharapova}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|HF|SRB|Ana Ivanović}}
|-
|[[Saison 2013 de la WTA|2013]]
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T1|SUI|Romina Oprandi}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T1|CAN|Eugenie Bouchard}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|HF|POL|Agnieszka Radwańska}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T1|USA|Alison Riske}}
|-
|[[Saison 2014 de la WTA|2014]]
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|AUS|Samantha Stosur}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|RUS|Maria Sharapova}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T1|USA|Varvara Lepchenko}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|SRB|Jelena Janković}}
|-
|[[Saison 2015 de la WTA|2015]]
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|SVK|Dominika Cibulková}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T3|USA|Sloane Stephens}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T1|SUI|Belinda Bencic}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T1|GER|Mona Barthel}}
|-
|[[Saison 2016 de la WTA|2016]]
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T1|KAZ|Yaroslava Shvedova}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|QF|AUS|Samantha Stosur}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T1|SUI|Belinda Bencic}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|GBR|Johanna Konta}}
|-
|[[Saison 2017 de la WTA|2017]]
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T1|POL|Agnieszka Radwańska}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|UKR|Elina Svitolina}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T2|DEN|Caroline Wozniacki}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base}}
|-
|colspan="2"|
|-
|[[Saison 2020 de la WTA|2020]]
|{{Historique tournoi tennis/GC base}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T3|CZE|Barbora Krejčíková}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|an}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|QF|USA|Serena Williams}}
|-
|[[Saison 2021 de la WTA|2021]]
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T1|TPE|Hsieh Su-wei}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|Q2|SUI|Susan Bandecchi}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T1|KAZ|Yulia Putintseva}}
|{{Historique tournoi tennis/GC base|T1|RUS|Daria Kasatkina}}

{{Historique tournoi tennis/GC fin}}

=== En double dames ===
{{Historique tournoi tennis/GC début double}}
|-
|[[Saison 2006 de la WTA|2006]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{2e|tour}} (1/16)
{{CHN-d}} Yuan Meng|| style="text-align:left;" |{{RUS-d}} [[Elena Likhovtseva|Likhovtseva]]
{{RUS-d}} [[Anastasia Myskina|A. Myskina]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{1er|tour}} (1/32)
{{CHN-d}} Yuan Meng|| style="text-align:left;" |{{GER-d}} [[Anna-Lena Grönefeld|A.-L. Grönefeld]]
{{USA-d}} [[Meghann Shaughnessy]]
|-
|[[Saison 2007 de la WTA|2007]]
|{{2e|tour}} (1/16)
{{SVK-d}} [[Martina Suchá]]|| style="text-align:left;" |{{RUS-d}} [[Elena Dementieva|E. Dementieva]]
{{ITA-d}} [[Flavia Pennetta|F. Pennetta]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|-
|[[Saison 2008 de la WTA|2008]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{2e|tour}} (1/16)
{{PAR (1990-2013)-d}} [[Rossana de los Ríos|de los Ríos]]|| style="text-align:left;" |{{TPE-d}} [[Chan Yung-jan]]
{{TPE-d}} [[Chuang Chia-jung]]
|{{1er|tour}} (1/32)
{{RSA-d}} [[Natalie Grandin|N. Grandin]]|| style="text-align:left;" |{{ZIM-d}} [[Cara Black]]
{{USA-d}} [[Liezel Huber]]
|{{2e|tour}} (1/16)
{{LAT-d}} [[Līga Dekmeijere]]|| style="text-align:left;" |{{SVK-d}} [[Janette Husárová|J. Husárová]]
{{CHN-d}} [[Peng Shuai]]
|-
|[[Saison 2009 de la WTA|2009]]
|{{2e|tour}} (1/16)
{{UZB-d}} [[Akgul Amanmuradova|Amanmuradova]]|| style="text-align:left;" |{{ESP-d}} [[Nuria Llagostera Vives|N. Llagostera]]
{{ESP-d}} [[María José Martínez Sánchez|M.J. Martínez]]
|{{1er|tour}} (1/32)
{{TUN-d}} [[Selima Sfar]]|| style="text-align:left;" |{{AUS-d}} [[Samantha Stosur|Sam Stosur]]
{{AUS-d}} [[Rennae Stubbs]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|-
|[[Saison 2010 de la WTA|2010]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{1er|tour}} (1/32)
{{GRE-d}} [[Eléni Daniilídou|E. Daniilídou]]|| style="text-align:left;" |{{TPE-d}} [[Chan Yung-jan]]
{{CHN-d}} [[Zheng Jie]]
|-
|[[Saison 2011 de la WTA|2011]]
|{{1er|tour}} (1/32)
{{AUT-d}} [[Tamira Paszek]]|| style="text-align:left;" |{{ZIM-d}} [[Cara Black]]
{{AUS-d}} [[Anastasia Rodionova]]
|{{1er|tour}} (1/32)
{{AUT-d}} [[Tamira Paszek]]|| style="text-align:left;" |{{CZE-d}} [[Renata Voráčová|R. Voráčová]]
{{KAZ-d}} [[Galina Voskoboeva|G. Voskoboeva]]
|{{2e|tour}} (1/16)
{{RSA-d}} [[Chanelle Scheepers|Ch. Scheepers]]|| style="text-align:left;" |{{ITA-d}} [[Sara Errani]]
{{ITA-d}} [[Roberta Vinci]]
|{{1er|tour}} (1/32)
{{RSA-d}} [[Chanelle Scheepers|Ch. Scheepers]]|| style="text-align:left;" |{{ESP-d}} [[Nuria Llagostera Vives|N. Llagostera]]
{{ESP-d}} [[Arantxa Parra Santonja|Arantxa Parra]]
|-
|[[Saison 2012 de la WTA|2012]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{1er|tour}} (1/32)
{{HUN-d}} [[Gréta Arn]]|| style="text-align:left;" |{{GER-d}} [[Anna-Lena Grönefeld|A.-L. Grönefeld]]
{{CRO-d}} [[Petra Martić]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{1er|tour}} (1/32)
{{UKR-d}} [[Kateryna Bondarenko|K. Bondarenko]]|| style="text-align:left;" |{{CRO-d}} [[Darija Jurak]]
{{HUN-d}} K. Marosi
|-
|[[Saison 2013 de la WTA|2013]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{2e|tour}} (1/16)
{{BEL-d}} [[Yanina Wickmayer|Y. Wickmayer]]|| style="text-align:left;" |{{USA-d}} [[Vania King]]
{{CHN-d}} [[Zheng Jie]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|-
|[[Saison 2014 de la WTA|2014]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{2e|tour}} (1/16)
{{SUI-d}} [[Belinda Bencic]]|| style="text-align:left;" |{{HUN-d}} [[Tímea Babos]]
{{FRA-d}} [[Kristina Mladenovic|K. Mladenovic]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|-
|[[Saison 2015 de la WTA|2015]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{1er|tour}} (1/32)
{{GEO-d}} [[Oksana Kalashnikova|Kalashnikova]]|| style="text-align:left;" |{{SVK-d}} [[Daniela Hantuchová|D. Hantuchová]]
{{AUS-d}} [[Samantha Stosur|Sam Stosur]]
|{{1er|tour}} (1/32)
{{CZE-d}} [[Klára Koukalová|K. Koukalová]]|| style="text-align:left;" |{{RUS-d}} [[Vera Dushevina]]
{{ESP-d}} [[María José Martínez Sánchez|M.J. Martínez]]
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
{{Historique tournoi tennis/fin double|D}}

== Parcours en « Premier » et WTA 1000 ==
{{Premier/introduction}}

=== En simple dames ===
{{Premier/début}}

{{Premier/ligne|année=2009
|ind-t={{2e}} tour (1/32) |ind-j={{RUS-d}} [[Dinara Safina|D. Safina]]
|mia-t={{1er}} tour (1/64)|mia-j={{ITA-d}} [[Francesca Schiavone|F. Schiavone]]
|mad-t={{1er}} tour (1/32)|mad-j={{FRA-d}} [[Aravane Rezaï|A. Rezaï]]
|dub-t={{2e}} tour (1/16) |dub-j={{SVK-d}} [[Dominika Cibulková|D. Cibulková]]
|rom-t={{1er}} tour (1/32)|rom-j={{ITA-d}} [[Flavia Pennetta|F. Pennetta]]
}}

{{Premier/ligne|année=2010
|ind-t={{2e}} tour (1/32) |ind-j={{RUS-d}} [[Alisa Kleybanova|Kleybanova]]
|mia-t={{2e}} tour (1/32) |mia-j={{DEN-d}} [[Caroline Wozniacki|C. Wozniacki]]
|pék-t={{1er}} tour (1/32)|pék-j={{RUS-d}} [[Maria Sharapova|M. Sharapova]]
|tok-t={{2e}} tour (1/16) |tok-j={{ITA-d}} [[Roberta Vinci|R. Vinci]]
}}

{{Premier/ligne|année=2011
|ind-t={{2e}} tour (1/32) |ind-j={{FRA-d}} [[Alizé Cornet|A. Cornet]]
|mia-t={{2e}} tour (1/32) |mia-j={{ESP-d}} [[Lourdes Domínguez Lino|L. Domínguez]]
|mad-t={{1er}} tour (1/32)|mad-j={{HUN-d}} [[Ágnes Szávay|A. Szávay]]
|pék-t={{1er}} tour (1/32)|pék-j={{AUS-d}} [[Samantha Stosur|S. Stosur]]
|dub-t={{2e}} tour (1/16) |dub-j={{RUS-d}} [[Svetlana Kuznetsova|S. Kuznetsova]]
|rom-t={{1er}} tour (1/32)|rom-j={{SVK-d}} [[Daniela Hantuchová|D. Hantuchová]]
|cin-t={{1er}} tour (1/32)|cin-j={{USA-d}} [[Christina McHale|C. McHale]]
|tok-t={{2e}} tour (1/16) |tok-j={{RUS-d}} [[Vera Zvonareva|V. Zvonareva]]
}}

{{Premier/ligne|année=2012
|ind-t={{1er}} tour (1/64)|ind-j={{ESP-d}} [[Carla Suárez Navarro|C. Suárez]]
|mia-t={{2e}} tour (1/32) |mia-j={{ITA-d}} [[Roberta Vinci|R. Vinci]]
|mad-t={{1er}} tour (1/32)|mad-j={{ESP-d}} [[Anabel Medina Garrigues|A. Medina]]
|pék-t={{1er}} tour (1/32)|pék-j={{USA-d}} [[Varvara Lepchenko|V. Lepchenko]]
|doh-t={{3e}} tour (1/8)  |doh-j={{FRA-d}} [[Marion Bartoli|M. Bartoli]]
|rom-t={{1er}} tour (1/32)|rom-j={{USA-d}} [[Vania King|V. King]]
|cin-t={{1er}} tour (1/32)|cin-j={{USA-d}} [[Sloane Stephens|S. Stephens]]
|tok-t={{1er}} tour (1/32)|tok-j={{CZE-d}} [[Lucie Šafářová|L. Šafářová]]
}}

{{Premier/ligne|année=2013
|ind-t={{1er}} tour (1/64)|ind-j={{USA-d}} [[Christina McHale|C. McHale]]
|mia-t={{1er}} tour (1/64)|mia-j={{SVK-d}} [[Daniela Hantuchová|D. Hantuchová]]
|mad-t={{1er}} tour (1/32)|mad-j={{POL-d}} [[Agnieszka Radwańska|A. Radwańska]]
|doh-t={{1er}} tour (1/32)|doh-j={{SUI-d}} [[Romina Oprandi|R. Oprandi]]
|rom-t={{1er}} tour (1/32)|rom-j={{SRB-d}} [[Jelena Janković|J. Janković]]
}}

{{Premier/ligne|année=2014
|ind-t={{1er}} tour (1/64)|ind-j={{USA-d}} [[Madison Keys|M. Keys]]
|mia-t={{3e}} tour (1/16) |mia-j={{GER-d}} [[Angelique Kerber|A. Kerber]]
|mad-t={{1er}} tour (1/32)|mad-j={{ESP-d}} [[Lara Arruabarrena|L. Arruabarrena]]
|pék-t={{2e}} tour (1/16) |pék-j={{USA-d}} [[Serena Williams|S. Williams]]
|doh-t={{2e}} tour (1/16) |doh-j={{GER-d}} [[Annika Beck|A. Beck]]
|rom-t={{1er}} tour (1/32)|rom-j={{CZE-d}} [[Petra Cetkovská|P. Cetkovská]]
|cin-t={{1er}} tour (1/32)|cin-j={{ESP-d}} [[Carla Suárez Navarro|C. Suárez]]
}}

{{Premier/ligne|année=2015
|ind-t={{1er}} tour (1/64)|ind-j={{BUL-d}} [[Sesil Karatantcheva|S. Karatantcheva]]
|mia-t={{2e}} tour (1/32) |mia-j={{ITA-d}} [[Flavia Pennetta|F. Pennetta]]
|mad-t={{2e}} tour (1/16) |mad-j={{CZE-d}} [[Lucie Šafářová|L. Šafářová]]
|pék-t={{1er}} tour (1/32)|pék-j={{COL-d}} [[Mariana Duque Mariño|M. Duque Mariño]]
|dub-t={{3e}} tour (1/8)  |dub-j={{ROU-d}} [[Simona Halep|S. Halep]]
|rom-t={{1er}} tour (1/32)|rom-j={{KAZ-d}} [[Zarina Diyas|Z. Diyas]]
|cin-t={{2e}} tour (1/16) |cin-j={{USA-d}} [[Serena Williams|S. Williams]]
|wuh-t={{1er}} tour (1/32)|wuh-j={{ITA-d}} [[Camila Giorgi|C. Giorgi]]
}}

{{Premier/ligne|année=2016
|ind-t={{2e}} tour (1/32) |ind-j={{SUI-d}} [[Timea Bacsinszky|T. Bacsinszky]]
|doh-t={{1er}} tour (1/32)|doh-j={{ITA-d}} [[Sara Errani|S. Errani]]
|cin-t={{2e}} tour (1/16) |cin-j={{ITA-d}} [[Roberta Vinci|R. Vinci]]
}}

{{Premier/ligne|année=2017
|ind-t={{1er}} tour (1/64)|ind-j={{SUI-d}} [[Belinda Bencic|B. Bencic]]
|mia-t={{1er}} tour (1/64)|mia-j={{SUI-d}} [[Viktorija Golubic|V. Golubic]]
|dub-t={{1er}} tour (1/32)|dub-j={{BEL-d}} [[Elise Mertens|E. Mertens]]
}}
|-
|colspan="13"|
|-
{{Premier/ligne|année=2021
|mia-t={{2e|tour}} (1/32) |mia-j={{BLR-d}} [[Aryna Sabalenka|A. Sabalenka]]
}}

{{Premier/fin}}

=== En double dames ===
{{Historique tournoi tennis/début}}
! width="50" rowspan="2"|Année
! width="80" colspan="8"|[[Catégorisation des tournois de tennis#De 2009 à 2020|Premier Mandatory]]
! width="80" colspan="14"|[[Catégorisation des tournois de tennis#De 2009 à 2020|Premier 5]]
|-
! width="80" colspan=2|[[Tournoi de tennis d'Indian Wells|Indian Wells]]
! width="80" colspan=2|[[Tournoi de tennis de Miami|Miami]]
! width="80" colspan=2|[[Tournoi de tennis de Madrid|Madrid]]
! width="80" colspan=2|[[Tournoi de tennis de Chine|Pékin]]
! width="80" colspan=2|[[Tournoi de tennis de Dubaï|Dubaï]]
! width="80" colspan=2|[[Tournoi de tennis de Doha|Doha]]
! width="80" colspan=2|[[Tournoi de tennis de Rome|Rome]]
! width="80" colspan=2|[[Tournoi de tennis du Canada|Canada]]
! width="80" colspan=2|[[Tournoi de tennis de Cincinnati|Cincinnati]]
! width="80" colspan=2|[[Tournoi de tennis de Tokyo|Tokyo]]
! width="80" colspan=2|[[Tournoi de tennis de Wuhan|Wuhan]]
|-
|rowspan="2"|[[Saison 2009 de la WTA|2009]]
|-
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|style="background:#E5E5E5;" colspan="2"|
|{{Historique tournoi tennis/base double|T1|BUL|Martina Gledacheva|Gledacheva|ITA|Alberta Brianti|Brianti|ITA|Corinna Dentoni|Dentoni|16}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|{{Historique tournoi tennis/base double}}
|style="background:#E5E5E5;" colspan="2"|
{{Historique tournoi tennis/fin double|D}}

== Parcours aux Jeux olympiques ==
=== En simple dames ===
{|class="sortable wikitable" style="font-size:11px;"
|-
!style="background-color:#CCCCCC;"|#
!style="background-color:#CCCCCC;text-align:left;"|Date
!style="background-color:#CCCCCC;text-align:left;"|Nom de l'olympiade
!style="background-color:#CCCCCC;text-align:left;"|[[Surfaces de jeu au tennis|Surface]]
!style="background-color:#CCCCCC;text-align:left;"|Résultat
!style="background-color:#CCCCCC;text-align:left;"|Ultime adversaire
!style="background-color:#CCCCCC;text-align:left;" class=unsortable|Score
!style="background-color:#CCCCCC;" class=unsortable|
|-
| style="text-align:right;" |1|| style="text-align:right;" |11/08/2008
|'''[[Tennis aux Jeux olympiques d'été|Olympic Tennis Event]]'''
{{CHN-d}} [[Pékin]]||Dur ({{Ext (sport)}})
|{{2e|tour}} (1/16)
|{{SVK-d}} [[Dominika Cibulková]]
|6-2, 6-2||[[Simple dames de tennis aux Jeux olympiques d'été de 2008|Parcours]]
|-style="background-color:#EFEFEF;"
| style="text-align:right;" |2|| style="text-align:right;" |28/07/2012
|'''[[Tennis aux Jeux olympiques d'été|Olympic Tennis Event]]'''
{{GBR-d}} [[Wimbledon (Londres)|Londres]]||Gazon ({{Ext (sport)}})
|{{2e|tour}} (1/16)
|{{ITA-d}} [[Flavia Pennetta]]
|7-5, 6-1||[[Simple dames de tennis aux Jeux olympiques d'été de 2012|Parcours]]
|-
| style="text-align:right;" |3|| style="text-align:right;" |06/08/2016
|'''[[Tennis aux Jeux olympiques d'été|Olympic Tennis Event]]'''
{{BRA-d}} [[Rio de Janeiro]]||Dur ({{Ext (sport)}})
|{{1er|tour}} (1/32)
|{{GER-d}} [[Laura Siegemund]]
|1-6, 6-4, 6-2||[[Simple dames de tennis aux Jeux olympiques d'été de 2016|Parcours]]
|}

== Parcours en Fed Cup ==
{|class=wikitable style="font-size:11px;"
|-style="background-color:#CCCCCC;"
|#||'''Date'''
|'''Lieu'''
|'''[[Surfaces de jeu au tennis|Surface]]'''
|'''Gagnante(s)'''
|'''Perdante(s)'''
|'''Score'''
|
|-
|colspan=8 style="background-color:#FFFFFF;"|
|-
|colspan=8 style="text-align:center;" |'''2004 -  Barrage (groupe mondial I) - [[Équipe de Bulgarie de Fed Cup|Bulgarie]] - [[Équipe du Japon de Fed Cup|Japon]] - {{Références FedCup|100006013|2 : 3}}'''
|-
|rowspan=2 style="text-align:right;" |1||rowspan=2 style="text-align:right;" |10/07/2004
|rowspan=2|{{BUL-d}} '''[[Plovdiv]]'''
|rowspan=2|Terre ({{Ext (sport)}})
|'''{{JPN-d}} [[Shinobu Asagoe]]'''||{{BUL-d}} Tsvetana Pironkova||7-6{{6}}, 3-6, 6-4
|rowspan=2|[[Fed Cup 2004|Parcours]]
|-
|'''{{BUL-d}} Tsvetana Pironkova'''||{{JPN-d}} [[Yuka Yoshida]]||6-1, 6-3
|-
|colspan=8 style="background-color:#FFFFFF;"|
|-style="background-color:#EFEFEF;"
|colspan=8 style="text-align:center;" |'''2005 -  Barrage (groupe mondial II) - [[Équipe du Japon de Fed Cup|Japon]] - [[Équipe de Bulgarie de Fed Cup|Bulgarie]] - {{Références FedCup|100007060|4 : 1}}'''
|-style="background-color:#EFEFEF;"
| style="text-align:right;" |2|| style="text-align:right;" |09/07/2005
|{{JPN-d}} '''[[Tokyo]]'''
|Dur ({{Int (sport)}})
|'''{{JPN-d}} [[Rika Fujiwara]]
{{JPN-d}} [[Akiko Morigami]]'''||{{BUL-d}} Tsvetana Pironkova
{{BUL-d}} Maria Penkova||6-1, 6-2
|[[Fed Cup 2005|Parcours]]
|}

== Classements WTA en fin de saison ==
{|class=wikitable style="font-size:11px;text-align:center;"
|+ Classements à l'issue de chaque saison
|style="background-color:#CCCCCC;"|'''Année'''
|'''[[Saison 2002 de la WTA|2002]]'''
|style="background-color:#EFEFEF;"|'''[[Saison 2003 de la WTA|2003]]'''
|'''[[Saison 2004 de la WTA|2004]]'''
|style="background-color:#EFEFEF;"|'''[[Saison 2005 de la WTA|2005]]'''
|'''[[Saison 2006 de la WTA|2006]]'''
|style="background-color:#EFEFEF;"|'''[[Saison 2007 de la WTA|2007]]'''
|'''[[Saison 2008 de la WTA|2008]]'''
|style="background-color:#EFEFEF;"|'''[[Saison 2009 de la WTA|2009]]'''
|'''[[Saison 2010 de la WTA|2010]]'''
|style="background-color:#EFEFEF;"|'''[[Saison 2011 de la WTA|2011]]'''
|'''[[Saison 2012 de la WTA|2012]]'''
|style="background-color:#EFEFEF;"|'''[[Saison 2013 de la WTA|2013]]'''
|'''[[Saison 2014 de la WTA|2014]]'''
|style="background-color:#EFEFEF;"|'''[[Saison 2015 de la WTA|2015]]'''
|'''[[Saison 2016 de la WTA|2016]]'''
|style="background-color:#EFEFEF;"|'''[[Saison 2017 de la WTA|2017]]'''
|'''[[Saison 2020 de la WTA|2020]]'''
|style="background-color:#EFEFEF;"|'''[[Saison 2021 de la WTA|2021]]'''
|-
|style="background-color:#CCCCCC;"|'''Rang en simple'''
| 553
|style="background-color:#EFEFEF;"|{{augmentation||9px}} 344
|{{augmentation||9px}} 295
|style="background-color:#EFEFEF;"|{{augmentation||9px}} 88
|{{augmentation||9px}} 62
|style="background-color:#EFEFEF;"|{{diminution||9px}} 98
|{{augmentation||9px}} 46
|style="background-color:#EFEFEF;"|{{diminution||9px}} 99
|{{augmentation||9px}} '''35'''
|style="background-color:#EFEFEF;"|{{diminution||9px}} 46
|{{augmentation||9px}} 42
|style="background-color:#EFEFEF;"|{{diminution||9px}} 108
|{{augmentation||9px}} 39
|style="background-color:#EFEFEF;"|{{diminution||9px}} 59
|{{diminution||9px}} 65
|style="background-color:#EFEFEF;"|{{diminution||9px}} 162
| 135
|style="background-color:#EFEFEF;"|{{diminution||9px}} 245
|-
|style="background-color:#CCCCCC;"|'''Rang en double'''
| -
|style="background-color:#EFEFEF;"| -
| -
|style="background-color:#EFEFEF;"| -
| 304
|style="background-color:#EFEFEF;"| -
| 205
|style="background-color:#EFEFEF;"|{{augmentation||9px}} '''190'''
| -
|style="background-color:#EFEFEF;"| 342
|{{diminution||9px}} 1123
|style="background-color:#EFEFEF;"|{{augmentation||9px}} 344
|{{diminution||9px}} 363
|style="background-color:#EFEFEF;"|{{diminution||9px}} 902
| -
|style="background-color:#EFEFEF;"| -
| -
|style="background-color:#EFEFEF;"| -
|}
source : {{Stats ITF}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Tsvetana Pironkova}}
=== Liens externes ===
* {{Bases sport}}

{{Portail|tennis|Bulgarie}}

{{DEFAULTSORT:Pironkova, Tsvetana}}
[[Catégorie:Naissance à Plovdiv]]
[[Catégorie:Joueuse bulgare de tennis]]
[[Catégorie:Joueuse de tennis aux Jeux olympiques d'été de 2008]]
[[Catégorie:Naissance en septembre 1987]]
[[Catégorie:Joueuse de tennis aux Jeux olympiques d'été de 2012]]
[[Catégorie:Joueuse de tennis aux Jeux olympiques d'été de 2016]]

title: En simple

title: En double

title: Meilleurs résultats en Grand Chelem

Meilleurs résultats en Grand Chelem: modifier Dernière MàJ : 15 mai 2023


text:
# Aéroport Kingsford-Smith de Sydney
L'aéroport Kingsford-Smith de Sydney (code IATA : SYD • code OACI : YSSY), plus simplement connu en tant qu'aéroport de Sydney (en anglais : Kingsford Smith International Airport ou Sydney Airport), qui porte le nom de Sir Charles Kingsford Smith, pionnier australien de l'aviation, est situé à Mascot en banlieue de Sydney, ville la plus peuplée d'Australie et capitale de l'État de Nouvelle-Galles du Sud, sur la côte sud-est de l'île d'Australie.
Il constitue le principal aéroport d'Océanie avec près de 40 millions de passagers et 290 000 mouvements d'avions par an (données 2007) et la plateforme de correspondance principale de la compagnie australienne Qantas. Situé sur Botany Bay, il compte trois pistes et trois terminaux : deux domestiques et un international. Il est desservi par la ligne T8 du réseau Sydney Trains.

## Situation
| Alice Springs Sydney Melbourne Brisbane Perth Adélaïde Darwin Gold Coast Cairns Hobart Canberra Townsville Launceston Newcastle Mackay Sunshine Coast Port Hedland Ayers Rock-Uluru |

## Galerie
- Boeing 747-400 de Qantas à Sydney.
- Hall.
- Vue satellite.
- Plan de l'aéroport.
- A380 de Singapore Airlines à Sydney.

## A380
À la mi-novembre 2005, l'Airbus A380 effectue une tournée de démonstration et de promotion en Asie du Sud-Est et en Australie. L'avion se pose sur les aéroports de Singapour, Brisbane, Sydney et Kuala Lumpur en portant successivement les couleurs de Singapore Airlines, Qantas et Malaysia Airlines. L'aéroport de Sydney est le premier à accueillir un vol commercial d'un Airbus A380 le 26 octobre 2007 avec un vol de Singapore Airlines en provenance de l'aéroport Changi de Singapour. Les sièges du vol, vendus sur eBay, rapportent 1,3 million de dollars américains. L'argent est redistribué à des œuvres caritatives.

## Statistiques
Pour des raisons techniques, il est temporairement impossible d'afficher le graphique qui aurait dû être présenté ici.

Voir la requête brute et les sources sur Wikidata.

### Impact de la pandémie de Covid-19
Pour des raisons techniques, il est temporairement impossible d'afficher le graphique qui aurait dû être présenté ici.

Voir la requête brute et les sources sur Wikidata.

## Compagnies et destinations
| Compagnies               | Destinations                                                                                |
| ------------------------ | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| Air Canada               | Toronto (Pearson), Vancouver                                                                                |
| Air China                | Pékin-Capitale, Chengdu-Shuangliu, Shanghai-Pudong                                                                                |
| Air India                | Delhi-Indira Gandhi                                                                                |
| Air New Zealand          | Auckland, Christchurch, Île Norfolk, Queenstown, Tasmanie (en), Rarotonga-Avarua, Wellington                                                                                |
| Air Niugini              | Port Moresby-Jacksons                                                                                |
| Air Vanuatu              | Port-Vila Bauerfield                                                                                |
| AirAsia X                | Kuala Lumpur                                                                                |
| Aircalin                 | Nouméa - La Tontouta                                                                                |
| All Nippon Airways       | Tokyo-Haneda                                                                                |
| American Airlines        | Los Angeles                                                                                |
| Asiana Airlines          | Séoul-Incheon                                                                                |
| Beijing Capital Airlines | Qingdao-Jiaodong                                                                                |
| British Airways          | Londres-Heathrow, Singapour-Changi                                                                                |
| Cathay Pacific           | Hong Kong                                                                                |
| Cebu Pacific             | Manille-N. Aquino                                                                                |
| China Airlines           | Taïwan-Taoyuan                                                                                |
| China Eastern Airlines   | Pékin-Capitale, Hangzhou-Xiaoshan, Kunming-Changshui, Nankin, Shanghai-Pudong, Wuhan                                                                                |
| China Southern Airlines  | Canton-Baiyun, Shenzhen-Bao'an                                                                                |
| Delta Air Lines          | Los Angeles                                                                                |
| Emirates                 | Bangkok-Suvarnabhumi, Christchurch, Dubaï                                                                                |
| Etihad Airways           | Abou Dabi                                                                                |
| Fiji Airways             | Nadi, Suva-Nausori                                                                                |
| FlyPelican               | Mudgee (en), Newcastle (Nouvelle Galles du Sud), Taree                                                                                |
| Fly Corporate            | Narrabri (en)                                                                                |
| Garuda Indonesia         | Denpasar-Bali, Djakarta-S.-Hatta                                                                                |
| Hainan Airlines          | Changsha, Haikou, Xi'an-Xianyang                                                                                |
| Hawaiian Airlines        | Honolulu                                                                                |
| Japan Airlines           | Tokyo-Narita                                                                                |
| Jetstar Airways          | - Adélaïde, - Auckland, - Melbourne-Avalon, - Ayers Rock, - Ballina (en), - Brisbane, - Cairns, - Christchurch, - Darwin, - Denpasar-Bali, - Gold Coast-Coolangatta, - Hamilton Island-Grande barrière (en), - Hobart, - Honolulu, - Hô Chi Minh Ville (Tân Sơn Nhất), - Launceston (en), - Melbourne-Tullamarine, - Nadi, - Perth, - Phuket, - Proserpine-Whitsunday Coast (en), - Queenstown, - Sunshine Coast (en), - Townsville                                                                                |
| Korean Air               | Séoul-Incheon                                                                                |
| LATAM Chile              | Auckland, Santiago du Chili-A.-M.-Benítez                                                                                |
| Malaysia Airlines        | Kuala Lumpur                                                                                |
| Philippine Airlines      | Manille-N. Aquino                                                                                |
| Qantas                   | - Adélaïde, - Alice Springs, - Auckland, - Bangkok-Suvarnabhumi, - Pékin-Capitale, - Brisbane, - Cairns, - Canberra, - Christchurch, - Dallas-Fort Worth, - Darwin, - Delhi-Indira Gandhi, - Denpasar-Bali, - Gold Coast-Coolangatta, - Hamilton Island-Grande barrière (en), - Hobart, - Hong Kong, - Honolulu, - Djakarta-S.-Hatta, - Johannesbourg OR Tambo, - Los Angeles, - Londres-Heathrow, - Manille-N. Aquino, - Melbourne-Tullamarine, - New York-John F. Kennedy, - Nouméa - La Tontouta, - Osaka-Kansai, - Paris-Charles de Gaulle, - Perth, - Queenstown, - Rome Léonard-de-Vinci/Fiumicino, - San Francisco, - Santiago du Chili-A.-M.-Benítez, - Shanghai-Pudong, - Singapour-Changi, - Tokyo-Haneda, - Wellington En saison : Broome, Vancouver |
| QantasLink               | - Adélaïde, - Albury, - Armidale (en), - Brisbane, - Canberra, - Coffs Harbour (en), - Dubbo (en), - Gold Coast-Coolangatta, - Hamilton Island-Grande barrière (en), - Hobart, - Lord Howe Island, - Melbourne-Tullamarine, - Moree (en), - Port Macquarie (en), - Sunshine Coast (en), - Tamworth (en), - Toowoomba Wellcamp (en), - Wagga Wagga (en)                                                                                |
| Qatar Airways            | Doha-Hamad                                                                                |
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Édité le 18/03/2018

## Projets
En décembre 2011, l'aéroport de Sydney a annoncé une proposition visant à diviser l'aéroport en deux zones basées sur l'alliance de compagnies aériennes ; intégrant les services internationaux, nationaux et régionaux sous un même toit d'ici 2019. Les terminaux nationaux actuels 2 et 3 seraient utilisés par Qantas, Jetstar et les membres de l'alliance des compagnies aériennes oneworld, tandis que le terminal international 1 actuel serait utilisé par Virgin Australia et son international les partenaires. D'autres compagnies aériennes internationales continueraient à opérer à partir du T1.
En septembre 2012, l'aéroport de Sydney et le PDG de Kerrie Mather, MD, ont annoncé que l'aéroport avait abandonné la proposition de créer des terminaux basés sur des alliances au profit de terminaux « basés sur les besoins spécifiques des compagnies aériennes et les flux de transfert (de passagers) ». Elle a déclaré que le plan était de minimiser le nombre de passagers transférés entre les terminaux.  En juin 2013, l'aéroport a publié une version provisoire de son plan directeur 2013, qui propose d'exploiter des vols intérieurs et internationaux à partir des mêmes terminaux à l'aide de « portails battants », ainsi que de moderniser le terminal 3 (actuellement le terminal national de Qantas) pour accueillir l'Airbus A380.
Le 17 février 2014, le gouvernement australien a approuvé le plan directeur 2033 de l'aéroport de Sydney qui décrit les plans de l'aéroport pour répondre à la demande prévue de 74 millions de passagers en 2033. Ce plan comprend le tout premier plan de transport terrestre intégré de l'aéroport de Sydney.
En 2026, l'aéroport ne sera plus le seul international dans la ville. Le nouvel aéroport s'appellera le Western Sydney Airport ou Nancy-Bird Walton Airport.

title: Aéroport Kingsford-Smith de Sydney

wikitext:
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L''''aéroport Kingsford-Smith de Sydney''' {{Code aéroport|SYD|YSSY}}, plus simplement connu en tant qu{{'}}'''aéroport de Sydney''' (en [[anglais]] : ''Kingsford Smith International Airport'' ou ''Sydney Airport''), qui porte le nom de Sir [[Charles Kingsford Smith]], pionnier australien de l'[[aviation]], est situé à Mascot en banlieue de [[Sydney]], ville la plus peuplée d'[[Australie]] et capitale de l'État de [[Nouvelle-Galles du Sud]], sur la côte sud-est de l'[[Australie continentale|île d'Australie]].

Il constitue le principal aéroport d'[[Océanie]] avec près de 40 millions de passagers et {{formatnum:290000}} mouvements d'avions par an (données 2007) et la [[plateforme de correspondance]] principale de la compagnie australienne [[Qantas]]. Situé sur [[Botany Bay]], il compte trois pistes et trois terminaux : deux domestiques et un international. Il est desservi par la ligne T8 du réseau [[Trains de banlieue de Sydney|Sydney Trains]].

== Situation ==
{{Carte/Aéroports en Australie (15 principaux)}}

== Galerie ==
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Qantas Boeing 747-400 at Sydney airport.jpg|Boeing 747-400 de Qantas à Sydney.
Sydney Airport.JPG|Hall.
Aéroport Sydney.jpg|Vue satellite.
YSSY Layout.svg|Plan de l'aéroport.
Singapore Airlines Airbus A380 9V-SKD at Sydney Airport.jpg|A380 de Singapore Airlines à Sydney.
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== A380 ==
À la mi-novembre 2005, l'[[Airbus A380]] effectue une tournée de démonstration et de promotion en [[Asie du Sud-Est]] et en [[Australie]]. L'avion se pose sur les aéroports de [[Aéroport international Changi|Singapour]], [[Aéroport international de Brisbane|Brisbane]], [[Sydney]] et [[Aéroport international de Kuala Lumpur|Kuala Lumpur]] en portant successivement les couleurs de [[Singapore Airlines]], [[Qantas]] et [[Malaysia Airlines]]. L'aéroport de Sydney est le premier à accueillir un vol commercial d'un Airbus A380 le {{date-|26 octobre 2007}} avec un vol de [[Singapore Airlines]] en provenance de l'[[Aéroport international de Singapour|aéroport Changi de Singapour]]. Les sièges du vol, vendus sur [[eBay]], rapportent 1,3 million de dollars américains. L'argent est redistribué à des œuvres caritatives<ref>« Vacances studieuse pour l'A380 », ''Le Figaro'', 17 août 2007.</ref>.

== Statistiques ==
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== Compagnies et destinations ==

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Édité le 18/03/2018

== Projets ==
En décembre 2011, l'aéroport de Sydney a annoncé une proposition visant à diviser l'aéroport en deux zones basées sur l'alliance de compagnies aériennes ; intégrant les services internationaux, nationaux et régionaux sous un même toit d'ici 2019. Les terminaux nationaux actuels 2 et 3 seraient utilisés par Qantas, Jetstar et les membres de l'alliance des compagnies aériennes oneworld, tandis que le terminal international 1 actuel serait utilisé par Virgin Australia et son international les partenaires. D'autres compagnies aériennes internationales continueraient à opérer à partir du T1.

En septembre 2012, l'aéroport de Sydney et le PDG de Kerrie Mather, MD, ont annoncé que l'aéroport avait abandonné la proposition de créer des terminaux basés sur des alliances au profit de terminaux « basés sur les besoins spécifiques des compagnies aériennes et les flux de transfert (de passagers) ». Elle a déclaré que le plan était de minimiser le nombre de passagers transférés entre les terminaux.  En juin 2013, l'aéroport a publié une version provisoire de son plan directeur 2013, qui propose d'exploiter des vols intérieurs et internationaux à partir des mêmes terminaux à l'aide de « portails battants », ainsi que de moderniser le terminal 3 (actuellement le terminal national de Qantas) pour accueillir l'Airbus A380.

Le 17 février 2014, le gouvernement australien a approuvé le plan directeur 2033 de l'aéroport de Sydney qui décrit les plans de l'aéroport pour répondre à la demande prévue de 74 millions de passagers en 2033. Ce plan comprend le tout premier plan de transport terrestre intégré de l'aéroport de Sydney.

En 2026, l'aéroport ne sera plus le seul international dans la ville. Le nouvel aéroport s'appellera le ''[[Western Sydney Airport]]'' ou ''Nancy-Bird Walton Airport''.

== Notes et références ==
=== Notes ===
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=== Références ===
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== Lien externe ==
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* {{en}} [http://www.sydneyairport.com.au Site officiel de l'aéroport de Sydney]

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[[Catégorie:Aéroport en Nouvelle-Galles du Sud|Sydney]]
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title: Localisation

Pays: Australie

Ville: Sydney

title: Informations aéronautiques

Code IATA: SYD

Code OACI: YSSY

Type d'aéroport: Public

Gestionnaire: Sydney Airport Corporation Limited

Direction: Longueur · Surface

2 530 m (8 301 ft) · Asphalte

16L/34R: 2 438 m (7 999 ft) · Asphalte

16R/34L: 3 962 m (12 999 ft) · Asphalte

Informations aéronautiques: modifier