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# Logique connexive
 (mars 2025).
 (avril 2025).
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Une logique connexive est un système logique qui admet plusieurs théorèmes qui contredisent la logique classique, mais mobilisant une notion de l'implication qui se rapproche en certains points du langage ordinaire. Un telle logique doit notamment satisfaire les règles suivantes :
- Il y est absurde de considérer qu'une proposition puisse impliquer, ou être impliquée, par sa propre négation. Cela s'appelle les thèses d'Aristote.
- Les propositions  « A implique B » et « A implique la négation de B » impliquent la négation l'une de l'autre. Cela s'appelle les thèses de Boèce.
- Les formulations contemporaines tendent également à demander la non-symétrie de l'implication, au sens où « A implique B » n'implique pas nécessairement « B implique A », de sorte à la distinguer de l'équivalence logique[1].

## Histoire

### Époque antique
Dans l'Organon, Aristote développe divers raisonnements logiques. On retrouve quelques raisonnements usuels, tels que les raisonnements par l'absurde, usité par exemple ici :

« [...] il est impossible que, si A étant blanc, B doit être grand de toute nécessité, A n’étant pas blanc, B soit encore grand nécessairement. En effet, puisque, cette chose A étant blanche, il y a nécessité que cette autre chose B soit grande, et que, B étant grand, C ne soit pas blanc, il faut nécessairement, si A est blanc, que C ne le soit pas. Et, si l’on suppose deux choses dont il faut nécessairement que l’une soit par l’existence de l’autre, la seconde n’étant pas, il y a nécessité que la première ne soit pas. Donc, B n’étant pas grand, il n’est pas possible que A soit blanc ; mais, si, A n’étant pas blanc, il est nécessaire que B soit grand, il résulte, de toute nécessité, que, B n’étant pas grand, ce même B est grand : ce qui est absurde. »
Aristote, l'Organon, Premiers Analytiques, livre second, chapitre IV, §17.

En plus concis, nous pourrions résumer ce bout de démonstration ainsi, en utilisant les règles de modus ponens et de modus tollens :
```
Supposons que A implique B et non-A implique B simultanément :
| Si non-B :
| | Non-A, par modus tollens avec (A implique B), non-B
| | B, par modus ponens avec (non-A implique B), A
| En résumé, non-B impliquerait B. C'est absurde.
```

Dans sa démonstration, toutefois, Aristote affirme que la proposition « non-B implique B » serait absurde : «il résulte, de toute nécessité, que, B n’étant pas grand, ce même B est grand : ce qui est absurde».
Nous pouvons analyser cette inférence anachroniquement dans le système actuel de la logique classique, où non-B implique B est invalidée si l'on peut démontrer B, ce pour deux raisons :
- En logique classique, toute proposition implique un démontrable quelconque, à savoir {\displaystyle B\to (A\to B)}.
- De même, la négation d'un démontrable quelconque implique toute proposition (ex falso quodlibet), à savoir {\displaystyle B\to (\neg B\to A)}.

Dans les deux cas, on a le théorème classe {\displaystyle B\to (\neg B\to B)}. On appelle ce genre de phénomènes des paradoxes de l'implication matérielle (en).
Il est donc important de remarquer qu'Aristote utilise les thèses suivantes, qui admetteraient pourtant des contre-exemples en logique classique, qu'on appelle thèses d'Aristote :
- Il est absurde d'affirmer non-A implique A.
- Il est absurde d'affirmer A implique non-A.

L'appellation « connexive » est dérivée d'une remarque donnée par Sextus Empiricus :

« Et ceux qui introduisent la notion de connexion (συνάρτησις) disent qu’un conditionnel est valide quand la contradictoire de son conséquent est incompatible avec son antécédent »
Sextus Empiricus, Hypotyposes Pyrrhoniennes, II, l 10-12.

La logique connexive s'inscrit toutefois, au moins au départ, dans un courant aristotélicien.

### Époque médiévale
L'époque médiévale a vu plusieurs développements en logique connexive, en passant de Boèce à Robert de Melun (†1167), en passant par Abélard.
Boèce a notamment donné son nom à deux thèses, qui sont aujourd'hui considérées comme nécessaires pour qualifier une logique de connexive. Celles-ci viennent de l'extrait suivant :

« Si est A, cum sit B, est C; [...] atqui cum sit B, non est C; non est igitur A. »
Boèce, De Syllogismo Hypothetico Libri Duo, 851B-C ; édition Migne, J. P. (1860). Manlii Severini Boetii Opera omnia. Garnier.

On peut ré-exprimer cela ainsi :
```
Si A :
| B implique C
| B implique non-C
Alors non-A.
```

Cela indique que Boèce considère comme contradictoires « B implique C » et « B implique non-C ». À noter que l'extrait d'Aristote précédent y ressemblait fortement, puisqu'il affirme qu'il n'est pas possible d'avoir « B implique C » et « non-B implique C ». Cet extrait de Boèce a été ensuite décliné de différentes manières, mais la formulation que nous retenons de nos jours est celle décrite précédemment, à savoir : les propositions « A implique B » et « A implique la négation de B » impliquent la négation l'une de l'autre.
Abélard souscrivait également à la logique connexive. Dans son Dialectica, celui-ci explique que les conditionnelles « si quelqu'un est un homme, il est un animal » et « si quelqu'un est un homme, il n'est pas un animal » ne peuvent être toutes deux vraies, sinon quoi nous pourrions décliner la proposition inconvéniente suivante : si quelqu'un est un homme, il n'est pas un homme. Par ailleurs, Abélard a lui-même donné son nom à deux thèses, l'un étant la deuxième d'Aristote, et l'autre étant la non-simultanéité de « A implique B » et « A implique non-B », à savoir ce qu'on formalise de nos jours comme le schéma d'axiomes {\displaystyle \neg ((p\to q)\land (p\to \neg q))}.
Robert de Mélun, inspiré d'Abélard, apporte également avec lui et un principe général, caractérisée par la phrase nihil ex falso accidere (trad. « rien ne descend d'une contradiction »). L'auteur anonyme de l'Ars Meliduna, basé sur les travaux de Robert de Mélun, donnait plutôt une interprétation faible de cette phrase, au sens ex impossibili nihil sequitur (d'une impossibilité rien ne suit), tandis que les Meludinenses suivaient plutôt ex falso nihil sequitur (« rien ne suit d'une proposition fausse »).

## Résultats contemporains
La définition contemporaine en logique formelle d'une logique connexive est un système formel qui satisfait les demandes suivantes :
- Sont vérifiées les thèses d'Aristote :
  - AT : On peut toujours nier la proposition, non-A implique A. Il s'agit donc du schéma d'axiomes {\displaystyle \neg (\neg A\to A)}.
  - ATʼ : On peut toujours nier la proposition, A implique non-A. Formellement, il s'agit donc du schéma d'axiomes {\displaystyle \neg (A\to \neg A)}.
- Sont vérifiées les thèses de Boèce :
  - BT : A implique B, implique toujours la négation de, A implique non-B. Il s'agit donc du schéma d'axiomes {\displaystyle (A\to B)\to \neg (A\to \neg B)}.
  - BTʼ : A implique non-B, implique toujours la négation de, A implique B. Il s'agit donc du schéma d'axiomes {\displaystyle (A\to \neg B)\to \neg (A\to B)}.
- L'implication est également demandée de ne pas être symétrique, c'est-à-dire que de, A implique B, on n'ait pas nécessairement que, B implique A. On la décrit par l'invalidation du schéma d'axiomes {\displaystyle (A\to B)\to (B\to A)}. Cela permet deux choses :
  - D'une part, à distinguer l'implication de l'équivalence logique.
  - D'autre part, à assurer la cohérence du système.

### Connexivité totale
Estrada-González et Ramirez-Cámara identifient plusieurs desiderata :
- Une logique connexive est abélardienne si elle vérifie les schémas d'axiomes suivants :
  - Abel1 : {\displaystyle \neg ((A\to B)\land (\neg A\to B))}
  - Abel2 : {\displaystyle \neg ((A\to B)\land (A\to \neg B))}
- Elle est anti-paradoxe, au sens des paradoxes de l'implication matérielle, si les schémas d'axiomes suivants ne sont pas universellement valides :
  - {\displaystyle A\to (B\to A)}
  - {\displaystyle A\to (\neg A\to B)}
  - {\displaystyle A\to (B\to C)} pour un contingent {\displaystyle A} et un démontrable {\displaystyle B\to C}.
- Elle est Kapsner-forte si les conditions suivantes sont rencontrées :
  - {\displaystyle A\to \neg A} est insatisfaisable.
  - {\displaystyle A\to B} et {\displaystyle A\to \neg B} ne sont pas simultanément satisfaisables.
- Elle est simplificatrice si sont validés les schémas d'axiomes suivants :
  - {\displaystyle (A\land B)\to A}
  - {\displaystyle (A\land B)\to B}
- Elle est conjonction-idempotente sont les schémas d'axiomes sont valides :
  - {\displaystyle (A\land A)\to A}
  - {\displaystyle A\to (A\land A)}

Une logique connexive qui satisfait tous ces desiderata serait appelée totalement connexive. Cependant, aucun tel système n'a été trouvé jusqu'à aujourd'hui.

### Sémantiques connexives
Certaines sémantiques connexives ont été développées comme CC1, MRSP, M3V, CN et de nombreuses autres,. Les sémantiques décrites ici sont polyvalentes, avec au moins trois valeurs de vérité. Dans les sémantiques polyvalentes, une valeur désignée est une valeur de vérité qui, essentiellement, prend le rôle de la valeur {\displaystyle {\textsf {vrai}}} dans la conséquence sémantique.
| A     | B     | ¬A    | A∧B   | A∨B   | A→B   |
| ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |
| Vrai  | Vrai  | Faux- | Vrai  | Vrai  | Vrai  |
| Vrai  | Faux+ | Faux- | Faux+ | Vrai  | Faux+ |
| Vrai  | Faux- | Faux- | Faux- | Vrai  | Faux- |
| Faux+ | Vrai  | Vrai  | Faux+ | Vrai  | Faux+ |
| Faux+ | Faux+ | Vrai  | Faux+ | Faux+ | Faux+ |
| Faux+ | Faux- | Vrai  | Faux- | Faux+ | Faux+ |
| Faux- | Vrai  | Vrai  | Faux- | Vrai  | Faux+ |
| Faux- | Faux+ | Vrai  | Faux- | Faux+ | Faux+ |
| Faux- | Faux- | Vrai  | Faux- | Faux- | Faux+ |

| A     | B     | ¬A    | A∧B   | A∨B   | A→B   |
| ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |
| Vrai+ | Vrai+ | Faux- | Vrai+ | Vrai- | Vrai+ |
| Vrai+ | Vrai- | Faux- | Vrai- | Vrai+ | Faux- |
| Vrai+ | Faux+ | Faux- | Faux+ | Vrai- | Faux+ |
| Vrai+ | Faux- | Faux- | Faux- | Vrai+ | Faux- |
| Vrai- | Vrai+ | Faux+ | Vrai+ | Vrai+ | Faux- |
| Vrai- | Vrai- | Faux+ | Vrai- | Vrai- | Vrai+ |
| Vrai- | Faux+ | Faux+ | Faux- | Vrai- | Faux- |
| Vrai- | Faux- | Faux+ | Faux+ | Vrai- | Faux+ |
| Faux+ | Vrai+ | Vrai- | Faux+ | Vrai- | Vrai+ |
| Faux+ | Vrai- | Vrai- | Faux+ | Vrai+ | Faux- |
| Faux+ | Faux+ | Vrai- | Faux+ | Faux+ | Vrai+ |
| Faux+ | Faux- | Vrai- | Faux- | Faux- | Faux- |
| Faux- | Vrai+ | Vrai+ | Faux- | Vrai+ | Faux- |
| Faux- | Vrai- | Vrai+ | Faux+ | Vrai- | Vrai+ |
| Faux- | Faux+ | Vrai+ | Faux- | Faux+ | Faux- |
| Faux- | Faux- | Vrai+ | Faux+ | Faux- | Vrai+ |

| A     | B     | ¬A    | A∧B   | A∨B   | A→B   |
| ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |
| Vrai+ | Vrai+ | Faux  | Vrai+ | Vrai+ | Vrai- |
| Vrai+ | Vrai- | Faux  | Vrai- | Vrai+ | Faux  |
| Vrai+ | Faux  | Faux  | Faux  | Vrai+ | Faux  |
| Vrai- | Vrai+ | Vrai- | Vrai- | Vrai+ | Vrai- |
| Vrai- | Vrai- | Vrai- | Vrai- | Vrai- | Vrai- |
| Vrai- | Faux  | Vrai- | Faux  | Vrai- | Faux  |
| Faux  | Vrai+ | Faux  | Faux  | Vrai+ | Vrai- |
| Faux  | Vrai- | Faux  | Faux  | Vrai- | Vrai- |
| Faux  | Faux  | Faux  | Faux  | Faux  | Vrai- |

| A     | B     | ¬A    | A∧B   | A∨B   | A→B   |
| ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |
| Vrai+ | Vrai+ | Faux  | Vrai+ | Vrai+ | Vrai+ |
| Vrai+ | Vrai- | Faux  | Vrai- | Vrai+ | Vrai- |
| Vrai+ | Faux  | Faux  | Faux  | Vrai+ | Faux  |
| Vrai- | Vrai+ | Vrai- | Vrai- | Vrai+ | Vrai+ |
| Vrai- | Vrai- | Vrai- | Vrai- | Vrai- | Vrai- |
| Vrai- | Faux  | Vrai- | Faux  | Vrai- | Faux  |
| Faux  | Vrai+ | Faux  | Faux  | Vrai+ | Vrai- |
| Faux  | Vrai+ | Faux  | Faux  | Vrai- | Vrai- |
| Faux  | Faux  | Faux  | Faux  | Faux  | Vrai- |

title: Logique connexive

wikitext:
{{typo|date=mars 2025|motif=usage incorrect de l'italique et des guillemets droits}}
{{à wikifier|date=avril 2025|motif=usage de balises pre à la place du [[modèle:citation bloc]], balises de langue manquantes}}

Une '''logique connexive''' est un [[système logique]] qui admet plusieurs [[Théorème|théorèmes]] qui [[Contradiction|contredisent]] la [[logique classique]], mais mobilisant une notion de l'[[Implication (pragmatique)|implication]] qui se rapproche en certains points du [[Langage naturel|langage ordinaire]]. Un telle logique doit notamment satisfaire les règles suivantes :
* Il y est absurde de considérer qu'une [[Proposition (philosophie)|proposition]] puisse impliquer, ou être impliquée, par sa propre négation. Cela s'appelle les thèses d'[[Aristote]].
* Les propositions  « ''A'' implique ''B'' » et « ''A'' implique la négation de ''B'' » impliquent la négation l'une de l'autre. Cela s'appelle les thèses de [[Boèce]].
* Les formulations contemporaines tendent également à demander la non-symétrie de l'implication, au sens où « ''A'' implique ''B'' » n'implique pas nécessairement « ''B'' implique ''A'' », de sorte à la distinguer de l'[[équivalence logique]]<ref name="wansing_sep_2023">Heinrich Wansing. Connexive Logic. In : ''The Stanford Encyclopedia of Philosophy''. Sous la dir. d’Edward N. Zalta et Uri Nodelman. Été 2023. Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2023. url : https://plato.stanford.edu/archives/sum2023/entries/logic-connexive/ (visité le 10/03/2025).</ref>.

== Histoire ==
=== Époque antique ===
Dans l{{'}}''[[Organon]]'', [[Aristote]] développe divers raisonnements logiques. On retrouve quelques raisonnements usuels, tels que les [[Raisonnement par l'absurde|raisonnements par l'absurde]], usité par exemple ici :

« [...] il est impossible que, si A étant blanc, B doit être grand de toute nécessité, A n’étant pas blanc, B soit encore grand nécessairement. En effet, puisque, cette chose A étant blanche, il y a nécessité que cette autre chose B soit grande, et que, B étant grand, C ne soit pas blanc, il faut nécessairement, si A est blanc, que C ne le soit pas. Et, si l’on suppose deux choses dont il faut nécessairement que l’une soit par l’existence de l’autre, la seconde n’étant pas, il y a nécessité que la première ne soit pas. Donc, B n’étant pas grand, il n’est pas possible que A soit blanc ; mais, si, A n’étant pas blanc, il est nécessaire que B soit grand, il résulte, de toute nécessité, que, B n’étant pas grand, ce même B est grand : ce qui est absurde. »

Aristote, l{{'}}''Organon'', ''[[Premiers Analytiques]]'', livre second, chapitre IV, [[wikisource:fr:Premiers Analytiques#cite_ref-483|§17]].

En plus concis, nous pourrions résumer ce bout de démonstration ainsi, en utilisant les règles de ''[[modus ponens]]'' et de ''[[modus tollens]]'' :

Supposons que A implique B et non-A implique B simultanément :
| Si non-B :
| | Non-A, par modus tollens avec (A implique B), non-B
| | B, par modus ponens avec (non-A implique B), A
| En résumé, non-B impliquerait B. C'est absurde.

Dans sa démonstration, toutefois, Aristote affirme que la proposition « non-B implique B » serait absurde : «il résulte, de toute nécessité, que, B n’étant pas grand, ce même B est grand : ce qui est absurde».

Nous pouvons analyser cette inférence [[Anachronisme|anachroniquement]] dans le système actuel de la [[logique classique]], où ''non-B implique B'' est invalidée si l'on peut démontrer ''B'', ce pour deux raisons :
* En logique classique, toute proposition implique un démontrable quelconque, à savoir <math>B\to(A\to B)</math>.
* De même, la négation d'un démontrable quelconque implique toute proposition ([[principe d'explosion|''ex falso quodlibet'']]), à savoir <math>B\to(\neg B\to A)</math>.
Dans les deux cas, on a le théorème classe <math>B\to(\neg B\to B)</math>. On appelle ce genre de phénomènes des ''{{lien|langue=en|trad=Paradoxes of material implication|texte=paradoxes de l'implication matérielle}}''.

Il est donc important de remarquer qu'Aristote utilise les thèses suivantes, qui admetteraient pourtant des contre-exemples en logique classique, qu'on appelle ''thèses d'Aristote'' :
* Il est absurde d'affirmer ''non-A implique A''.
* Il est absurde d'affirmer ''A implique non-A''.

L'appellation « connexive » est dérivée d'une remarque donnée par [[Sextus Empiricus]] :

« Et ceux qui introduisent la notion de ''connexion'' ({{Langue|grc|συνάρτησις}}) disent qu’un conditionnel est valide quand la contradictoire de son conséquent est incompatible avec son antécédent »

Sextus Empiricus, ''Hypotyposes Pyrrhoniennes'', II, l 10-12<ref name="barreau_syllogisme_2019">Hervé Barreau. Le syllogisme aristotélicien est-il une implication? In : Revue Philosophique de Louvain 4 (2012), p. 605-629. issn : 1783-1768, 1783-1768. doi : 10.2143/RPL.110.4.2182862. url : https://doi.org/10.2143/RPL.110.4.2182862 (visité le 10/03/2025)</ref>.

La logique connexive s'inscrit toutefois, au moins au départ, dans un courant [[Aristotélisme|aristotélicien]].

=== Époque médiévale ===
L'époque médiévale a vu plusieurs développements en logique connexive, en passant de [[Boèce]] à [[Robert de Melun (mort en 1167)|Robert de Melun (†1167)]], en passant par [[Pierre Abélard|Abélard]].

Boèce a notamment donné son nom à deux thèses, qui sont aujourd'hui considérées comme nécessaires pour qualifier une logique de connexive. Celles-ci viennent de l'extrait suivant :

{{Citation étrangère|langue=la|Si est A, cum sit B, est C; [...] atqui cum sit B, non est C; non est igitur A.}}

Boèce, ''De Syllogismo Hypothetico Libri Duo'', 851B-C ; édition Migne, J. P. (1860). ''Manlii Severini Boetii Opera omnia''. Garnier.

On peut ré-exprimer cela ainsi<ref name="lenzen_rewriting_2022">Wolfgang Lenzen. Rewriting the History of Connexive Logic. In : ''Journal of Philosophical Logic'' 51.3 (juin 2022), p. 525-553. issn : 0022-3611, 1573-0433. doi : [https://doi.org/10.1007/s10992-021-09640-6 10.1007/s10992-021-09640-6]</ref> :
Si A :
| B implique C
| B implique non-C
Alors non-A.

Cela indique que Boèce considère comme contradictoires « B implique C » et « B implique non-C ». À noter que l'extrait d'Aristote précédent y ressemblait fortement, puisqu'il affirme qu'il n'est pas possible d'avoir « B implique C » et « non-B implique C ». Cet extrait de Boèce a été ensuite décliné de différentes manières, mais la formulation que nous retenons de nos jours est celle décrite précédemment, à savoir : les propositions « ''A'' implique ''B'' » et « ''A'' implique la négation de ''B'' » impliquent la négation l'une de l'autre.

Abélard souscrivait également à la logique connexive. Dans son ''Dialectica'', celui-ci explique que les conditionnelles « si quelqu'un est un homme, il est un animal » et « si quelqu'un est un homme, il n'est pas un animal » ne peuvent être toutes deux vraies, sinon quoi nous pourrions décliner la proposition inconvéniente suivante : si quelqu'un est un homme, il n'est pas un homme<ref name="lenzen_rewriting_2022" />. Par ailleurs, Abélard a lui-même donné son nom à deux thèses, l'un étant la deuxième d'Aristote, et l'autre étant la non-simultanéité de « A implique B » et « A implique non-B », à savoir ce qu'on formalise de nos jours comme le schéma d'axiomes <math>\neg((p\to q)\land(p\to\neg q))</math>.

Robert de Mélun, inspiré d'Abélard, apporte également avec lui et un principe général, caractérisée par la phrase {{Langue|la|''nihil ex falso accidere''}} (trad. « rien ne ''descend'' d'une contradiction »). L'auteur anonyme de l{{'}}''Ars Meliduna'', basé sur les travaux de Robert de Mélun, donnait plutôt une interprétation faible de cette phrase, au sens {{Langue|la|''ex impossibili nihil sequitur''}} (d'une ''impossibilité'' rien ne suit), tandis que les ''Meludinenses'' suivaient plutôt {{Langue|la|''ex falso nihil sequitur''}} (« rien ne suit d'une proposition fausse »)<ref name="lenzen_rewriting_2022"/>.

== Résultats contemporains ==
La définition contemporaine en [[logique formelle]] d'une logique connexive est un [[système formel]] qui satisfait les demandes suivantes :
* Sont vérifiées les thèses d'Aristote :
** AT : On peut toujours nier la proposition, non-''A'' implique ''A''. Il s'agit donc du schéma d'axiomes <math>\neg(\neg A\to A)</math>.
** ATʼ : On peut toujours [[Négation logique|nier]] la proposition, ''A'' implique non-''A''. Formellement, il s'agit donc du [[schéma d'axiomes]] <math>\neg(A\to\neg A)</math>.
* Sont vérifiées les thèses de Boèce :
** BT : ''A'' implique ''B'', implique toujours la négation de, ''A'' implique non-''B''. Il s'agit donc du schéma d'axiomes <math>(A\to B)\to\neg(A\to\neg B)</math>.
** BTʼ : ''A'' implique non-''B'', implique toujours la négation de, ''A'' implique ''B''. Il s'agit donc du schéma d'axiomes <math>(A\to\neg B)\to\neg(A\to B)</math>.
* L'implication est également demandée de ne pas être ''symétrique'', c'est-à-dire que de, ''A'' implique ''B'', on n'ait pas nécessairement que, ''B'' implique ''A''. On la décrit par l'invalidation du schéma d'axiomes <math>(A\to B)\to(B\to A)</math>. Cela permet deux choses :
** D'une part, à distinguer l'implication de l'[[équivalence logique]].
** D'autre part, à assurer la [[Cohérence (logique)|cohérence]] du système.

=== Connexivité totale ===
Estrada-González et Ramirez-Cámara identifient plusieurs ''[[wiktionary:fr:desiderata|desiderata]]''<ref name="egrc_connexive_2016">Luis Estrada-González et Elisangela Ramrez-Camara. A Comparison of Connexive Logics. In: ''IFCoLog Journal of Logics and their Applications'' 3.3 (2016), pp. 341–356.</ref> :
* Une logique connexive est ''abélardienne'' si elle vérifie les schémas d'axiomes suivants :
** Abel1 : <math>\neg((A\to B)\land(\neg A\to B))</math>
** Abel2 : <math>\neg((A\to B)\land(A\to\neg B))</math>
* Elle est ''anti-paradoxe'', au sens des paradoxes de l'implication matérielle, si les schémas d'axiomes suivants ne sont pas universellement valides :
** <math>A\to(B\to A)</math>
** <math>A\to(\neg A\to B)</math>
** <math>A\to(B\to C)</math> pour un contingent <math>A</math> et un démontrable <math>B\to C</math>.
* Elle est ''Kapsner-forte'' si les conditions suivantes sont rencontrées :
** <math>A\to\neg A</math> est insatisfaisable.
** <math>A\to B</math> et <math>A\to\neg B</math> ne sont pas simultanément satisfaisables.
* Elle est ''simplificatrice'' si sont validés les schémas d'axiomes suivants :
** <math>(A\land B)\to A</math>
** <math>(A\land B)\to B</math>
* Elle est ''conjonction-[[Idempotence|idempotente]]'' sont les schémas d'axiomes sont valides :
** <math>(A\land A)\to A</math>
** <math>A\to(A\land A)</math>
Une logique connexive qui satisfait tous ces ''desiderata'' serait appelée ''totalement connexive''. Cependant, aucun tel système n'a été trouvé jusqu'à aujourd'hui<ref name="malinowski_relating_2023">Jacek Malinowski et Ricardo Arturo Nicolás-Francisco. Relating Semantics for Hyper-Connexive and Totally Connexive Logics. In : Logic and Logical Philosophy 4 (2023), p. 509-522. doi : [https://doi.org/10.12775/llp.2023.011 10.12775/llp.2023.011]</ref>.

=== Sémantiques connexives ===

Certaines [[Sémantique formelle|sémantiques]] connexives ont été développées comme '''CC1''', '''MRS''''''''P''''', '''M3V''', '''CN''' et de nombreuses autres<ref name="egrc_connexive_2016"/>{{,}}<ref name="mccall_connexive_1966">Storrs McCall. Connexive Implication. In : ''The Journal of Symbolic Logic'' 31.3 (1966), p. 415-433. doi : [https://doi.org/10.2307/2270458 10.2307/2270458]</ref>. Les sémantiques décrites ici sont [[logique polyvalente|polyvalentes]], avec au moins trois valeurs de vérité. Dans les sémantiques polyvalentes, une valeur désignée est une valeur de vérité qui, essentiellement, prend le rôle de la valeur <math>\textsf{vrai}</math> dans la [[Déduction logique#Conséquence sémantique|conséquence sémantique]].

{| class="wikitable"
|+ [[Table de vérité|Tables de vérité]] associés à diverses sémantiques connexives
|-
|
{| class="wikitable"
|+ Table de vérité '''MRS''''''''P'''''
|-
! ''A'' !! ''B'' !! ¬''A'' !! ''A''∧''B'' !! ''A''∨''B'' !! ''A''→''B''
|-
| Vrai || Vrai || Faux- || Vrai || Vrai || Vrai
|-
| Vrai || Faux+ || Faux- || Faux+ || Vrai || Faux+
|-
| Vrai || Faux- || Faux- || Faux- || Vrai || Faux-
|-
| Faux+ || Vrai || Vrai || Faux+ || Vrai || Faux+
|-
| Faux+ || Faux+ || Vrai || Faux+ || Faux+ || Faux+
|-
| Faux+ || Faux- || Vrai || Faux- || Faux+ || Faux+
|-
| Faux- || Vrai || Vrai || Faux- || Vrai || Faux+
|-
| Faux- || Faux+ || Vrai || Faux- || Faux+ || Faux+
|-
| Faux- || Faux- || Vrai || Faux- || Faux- || Faux+
|}
L'ensemble des valeurs désignées est {Vrai}.
||
{| class="wikitable"
|+ Table de vérité '''CC1'''
|-
! ''A'' !! ''B'' !! ¬''A'' !! ''A''∧''B'' !! ''A''∨''B'' !! ''A''→''B''
|-
| Vrai+||Vrai+||Faux-||Vrai+||Vrai-||Vrai+
|-
| Vrai+||Vrai-||Faux-||Vrai-||Vrai+||Faux-
|-
| Vrai+||Faux+||Faux-||Faux+||Vrai-||Faux+
|-
| Vrai+||Faux-||Faux-||Faux-||Vrai+||Faux-
|-
| Vrai-||Vrai+||Faux+||Vrai+||Vrai+||Faux-
|-
| Vrai-||Vrai-||Faux+||Vrai-||Vrai-||Vrai+
|-
| Vrai-||Faux+||Faux+||Faux-||Vrai-||Faux-
|-
| Vrai-||Faux-||Faux+||Faux+||Vrai-||Faux+
|-
| Faux+||Vrai+||Vrai-||Faux+||Vrai-||Vrai+
|-
| Faux+||Vrai-||Vrai-||Faux+||Vrai+||Faux-
|-
| Faux+||Faux+||Vrai-||Faux+||Faux+||Vrai+
|-
| Faux+||Faux-||Vrai-||Faux-||Faux-||Faux-
|-
| Faux-||Vrai+||Vrai+||Faux-||Vrai+||Faux-
|-
| Faux-||Vrai-||Vrai+||Faux+||Vrai-||Vrai+
|-
| Faux-||Faux+||Vrai+||Faux-||Faux+||Faux-
|-
| Faux-||Faux-||Vrai+||Faux+||Faux-||Vrai+
|-
|}
L'ensemble des valeurs désignées est {Vrai+, Vrai-}.
|-
|

{| class="wikitable"
|+ Table de vérité '''M3V'''
|-
! ''A'' !! ''B'' !! ¬''A'' !! ''A''∧''B'' !! ''A''∨''B'' !! ''A''→''B''
|-
| Vrai+ || Vrai+ || Faux || Vrai+ || Vrai+ || Vrai-
|-
| Vrai+ || Vrai- || Faux || Vrai- || Vrai+ || Faux
|-
| Vrai+ || Faux || Faux || Faux || Vrai+ || Faux
|-
| Vrai- || Vrai+ || Vrai- || Vrai- || Vrai+ || Vrai-
|-
| Vrai- || Vrai- || Vrai- || Vrai- || Vrai- || Vrai-
|-
| Vrai- || Faux || Vrai- || Faux || Vrai- || Faux
|-
| Faux || Vrai+ || Faux || Faux || Vrai+ || Vrai-
|-
| Faux || Vrai- || Faux || Faux || Vrai- || Vrai-
|-
| Faux || Faux || Faux || Faux || Faux || Vrai-
|}

L'ensemble des valeurs désignées est {Vrai+, Vrai-}.
||

{| class="wikitable"
|+ Table de vérité '''CN'''
|-
! ''A'' !! ''B'' !! ¬''A'' !! ''A''∧''B'' !! ''A''∨''B'' !! ''A''→''B''
|-
| Vrai+ || Vrai+ || Faux || Vrai+ || Vrai+ || Vrai+
|-
| Vrai+ || Vrai- || Faux || Vrai- || Vrai+ || Vrai-
|-
| Vrai+ || Faux || Faux || Faux || Vrai+ || Faux
|-
| Vrai- || Vrai+ || Vrai- || Vrai- || Vrai+ || Vrai+
|-
| Vrai- || Vrai- || Vrai- || Vrai- || Vrai- || Vrai-
|-
| Vrai- || Faux || Vrai- || Faux || Vrai- || Faux
|-
| Faux || Vrai+ || Faux || Faux || Vrai+ || Vrai-
|-
| Faux || Vrai+ || Faux || Faux || Vrai- || Vrai-
|-
| Faux || Faux || Faux || Faux || Faux || Vrai-
|}

L'ensemble des valeurs désignées est {Vrai+, Vrai-}.
|}

== Références ==
{{References}}
{{Portail|Logique|Philosophie}}
[[Catégorie:Histoire de la logique]]
[[Catégorie:Histoire de la philosophie]]
[[Catégorie:Philosophie de la logique]]


text:
# Salix wilsonii
Espèce
Salix wilsonii, le saule de Wilson, est une espèce de plantes à fleurs de la famille des Salicaceae. C'est un saule ,,.

## Synonymie
- Salix neowilsonii, Franch..

A. K. Skvortsov indique que Salix dunnii, S. mesnyi, S. nankingensis, S. neowilsonii, S. rosthornii, S. warburgii, et S. wilsonii se ressemblent tellement qu'il faudrait les considérer comme une seule espèce variable et grandement répartie. D'où la création du taxon Salix sect. Wilsonia, incluant ces espèces.
Plants of the World Online considère le nom comme un synonyme de Salix tetrasperma. Cette dernière espèce est originaire d'Asie.

## Sous-espèces
Aucune sous-espèce n'est énumérée dans Catalogue of Life.

## Description
C'est un arbre ou un arbuste à feuilles caduques, atteignant une hauteur allant de 2 m à 6 m (dans son milieu naturel).

wikiname: frwiki

title: Salix wilsonii

in_language: fr

wikitext:
{{Taxobox début | végétal | ''Salix wilsonii''''' | classification=APGIII }}
{{Taxobox | clade | Angiospermes }}
{{Taxobox | clade | Dicotylédones vraies }}
{{Taxobox | clade | Noyau des Dicotylédones vraies | Noyau des Dicotylédones vraies }}
{{Taxobox | clade | Rosidées }}
{{Taxobox | clade | Fabidées }}
{{Taxobox | ordre | Malpighiales }}
{{Taxobox | famille | Salicaceae }}
{{Taxobox | tribu | Saliceae }}
{{Taxobox | genre | Saule | Salix }}
{{Taxobox taxon | végétal | espèce | Salix wilsonii | [[Karl Otto von Seemen|Seemen]], [[1905]]{{Bioref|IPNI|13 juillet 2020|ref}} }}
{{Taxobox fin}}

'''''Salix wilsonii''''', le '''saule de Wilson''', est une espèce de [[plante]]s à fleurs de la famille des ''[[Salicaceae]]''. C'est un [[saule]] <ref name = "COL1">{{Lien web |url= http://www.catalogueoflife.org/annual-checklist/2014/details/species/id/16758532|titre= Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2014 Annual Checklist.|hämtdatum= 26 May 2014 |auteur= Roskov Y., Kunze T., Orrell T., Abucay L., Paglinawan L., Culham A., Bailly N., Kirk P., Bourgoin T., Baillargeon G., Decock W., De Wever A., Didžiulis V. (ed)|date= 2014|verk= |éditeur=Species 2000: Reading, UK.}}</ref>{{,}}<ref name = "C132">Seemen, 1905 ''In: Bot. Jahrb. Syst. 36(5, Beibl. 82): 28-30''</ref>{{,}}<ref name = "source">[http://worldplants.webarchiv.kit.edu/ World Plants: Synonymic Checklists of the Vascular Plants of the World].</ref>.

== Synonymie ==
* ''[[Salix neowilsonii]]'', Franch..

[[Alexeï Skvortsov|A. K. Skvortsov]] indique que ''Salix dunnii'', ''S. mesnyi'', ''S. nankingensis'', '''''S. neowilsonii''''', ''S. rosthornii'', ''S. warburgii'', et '''''S. wilsonii''''' se ressemblent tellement qu'il faudrait les considérer comme une seule espèce variable et grandement répartie<ref name="FoC">[http://www.efloras.org/florataxon.aspx?flora_id=2&taxon_id=300258&key_no=3 Flora of China.]</ref>. D'où la création du taxon '''''Salix sect. Wilsonia''''', incluant ces espèces.

[[Plants of the World Online]] considère le nom comme un synonyme de ''[[Salix tetrasperma]]''<ref>{{en}} [https://powo.science.kew.org/taxon/urn%3Alsid%3Aipni.org%3Anames%3A779204-1 ''Salix wilsonii''] sur [[Plants of the World Online]] (site visité le 7 juin 2024).</ref>. Cette dernière espèce est originaire d'Asie.

== Sous-espèces ==
Aucune sous-espèce n'est énumérée dans [[Catalogue of Life]]<ref name = "COL">{{Lien web | url = http://www.catalogueoflife.org/annual-checklist/2014/details/species/id/16757739|titre= Species 2000 et ITIS Catalogue of Life: 2014 Annual Liste de contrôle |consulté le = 26 mai 2014 | auteur = Roskov Y., Kunze T., Orrell T., Abucay L., Paglinawan L., Culham A., Bailly N., Kirk P., Bourgoin T., G. Baillargeon , Decock W., De Wever A., Didžiulis V. (ed) | date = 2014 | éditeur = Species 2000:. Reading, Royaume-Uni}}.</ref>.

== Description ==
C'est un arbre ou un arbuste à feuilles caduques, atteignant une hauteur allant de {{unité|2|m}} à {{unité|6|m}} (dans son milieu naturel).

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Saule]]

=== Liens externes ===
{{Autres projets
|commons=Category:Salix wilsonii
|wikispecies=Salix wilsonii
}}
* {{IPNI|779204-1|Salix wilsonii}}
* [http://www.tropicos.org/NameSearch.aspx?name=Salix+japonica&commonname= ''Salix wilsonii'' Sur Tropicos.]
* {{NCBI| 1078600|''Salix wilsonii'' }}
* {{eFloras | countryId | |Salix wilsonii|50261985 }}

== Références ==
<references />

{{Portail|botanique|Asie}}

[[Catégorie:Espèce de saules (nom scientifique)|wilsonii]]
[[Catégorie:Espèce d'arbres et arbustes (nom scientifique)]]
[[Catégorie:Arbre et arbuste en Asie]]
[[Catégorie:Dicotylédone d'Asie]]

title: Classification APG III (2009)

Règne: Plantae

Clade:
Angiospermes
Dicotylédones vraies
Noyau des Dicotylédones vraies
Rosidées
Fabidées

Ordre: Malpighiales

Famille: Salicaceae

Tribu: Saliceae

Genre: Salix


text:
# Cramme
Cramme est une commune allemande de l'arrondissement de Wolfenbüttel, Land de Basse-Saxe.

## Géographie
Cramme se situe à l'ouest de l'Oderwald.
|            | Wolfenbüttel |          |
| Salzgitter | Cramme       | Ohrum    |
|            | Flöthe       | Dorstadt |

Son territoire est traversé par la Bundesstraße 248 et la Bundesautobahn 395.

## Histoire
Cramme est mentionné pour la première fois en 1150. Son nom viendrait de la présence de nombreux ruisseaux.

title: Cramme

wikitext:
{{Infobox Commune d'Allemagne
 | nom             = Cramme
 | autres noms     =
 | image           = Blick auf Cramme.jpg
 | légende         =
 | blason          = DEU Cramme COA.svg
 | land            = {{Basse-Saxe}}
 | district        =
 | arr             = [[Arrondissement de Wolfenbüttel|Wolfenbüttel]]
 | quartier        =
 | codecomm        = 03 1 58 005
 | mandat maire    =
 | titredumaire    =
 | maire           = Petra Johns
 | partis          = SPD
 | cp              = 38312
 | immatriculation = WF
 | indicatiftel    = 05341
 | superficie      = 12.45
 | population      =
 | année_pop       =
 | altitude        = 108
 | latitude        = 52.113056
 | longitude       = 10.445556
 | weblabel        =
}}
'''Cramme''' est une commune [[Allemagne|allemande]] de l'[[arrondissement de Wolfenbüttel]], Land de [[Basse-Saxe]].

== Géographie ==
Cramme se situe à l'ouest de l'[[Oderwald]].

{{Communes limitrophes
|commune= Cramme
|nord-ouest=
|nord= [[Wolfenbüttel]]
|nord-est=
|est= [[Ohrum]]
|sud-est= [[Dorstadt]]
|sud= [[Flöthe]]
|sud-ouest=
|ouest= [[Salzgitter]]
}}

Son territoire est traversé par la [[Bundesstraße 248]] et la [[Bundesautobahn 395]].

== Histoire ==
Cramme est mentionné pour la première fois en 1150. Son nom viendrait de la présence de nombreux ruisseaux.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Liens externes ==
{{liens}}

{{Autres projets|commons=Category:Cramme}}

{{Portail|Basse-Saxe}}

[[Catégorie:Commune en Basse-Saxe]]

title: Administration

Pays: Allemagne

Land: Basse-Saxe

Arrondissement · (Landkreis): Wolfenbüttel

Bourgmestre · (Bürgermeister): Petra Johns

Partis au pouvoir: SPD

Immatriculation: WF

title: Démographie

Densité: 65 hab./km2

title: Géographie

Coordonnées: 52° 06′ 47″ nord, 10° 26′ 44″ est

title: Liens

Liens: modifier