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# Matemáticas
Las matemáticas, o también la matemática  (del latín mathematĭca, y a la vez del griego μαθηματικά, transliterado como mathēmatiká, derivado de μάθημα, tr. máthēma (conocimiento)) son una ciencia formal que surgió del estudio de las figuras geométricas y la aritmética con números. Hoy en día se suele aceptar que la matemática es una ciencia que investiga patrones.

## Descripción
Las ciencias naturales han hecho un uso extensivo de la matemática para explicar diversos fenómenos observables, tal como lo expresó Eugene Paul Wigner (Premio Nobel de Física en 1963):

«El primer punto es que la enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso y que no tiene una explicación racional. En segundo lugar, es precisamente esta extraña utilidad de los conceptos matemáticos lo que plantea la cuestión de la unicidad de nuestras teorías físicas.»

«El milagro de la adecuación del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un don maravilloso que no comprendemos ni merecemos.»

Galileo Galilei, en la misma línea, lo había expresado así:

«La filosofía está escrita en este enorme libro, que está continuamente abierto ante nuestros ojos (digo en el nuevo idioma), pero uno no puede entenderlo primero, uno no aprende a entender el idioma y a conocer los caracteres en que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender una palabra; sin éstos es un vano vagar por un oscuro laberinto.»

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, la matemática ha evolucionado basándose en el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.
Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. La matemática siguió desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy día, la matemática se usa en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, las ciencias aplicadas, las humanidades, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica, Cuerda vibrante, etc.) y la literatura. Las matemáticas aplicadas, rama de la matemática destinada a la aplicación del conocimiento matemático a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en la matemática pura, sin tener en cuenta sus aplicaciones, aunque estas suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.

## Historia
Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas. Floreció primero antes de la antigüedad en Mesopotamia, en cuanto a la geometría India y China, y más tarde en la antigüedad en Grecia y el helenismo. De ahí data la orientación hacia la tarea de «demostración puramente lógica» y la primera axiomatización, a saber, la geometría euclidiana. En la Edad Media sobrevivió de forma independiente en el primer humanismo de las universidades y en el mundo árabe.
A principios de la era moderna, François Viète introdujo variables y René Descartes inauguró un enfoque computacional de la geometría mediante el uso de coordenadas. La consideración de las tasas de cambio (fluxión) así como la descripción de las tangentes y la determinación de los contenidos de las superficies (cuadratura) condujeron al cálculo infinitesimal de Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton. La mecánica de Newton y su ley de la gravitación fueron también una fuente de orientación de problemas matemáticos como el problema de los tres cuerpos en los siglos siguientes.
Otro de los principales problemas de la primera época moderna fue la solución de ecuaciones algebraicas cada vez más complicadas. Para hacer frente a esto, Niels Henrik Abel y Évariste Galois desarrollaron el concepto de grupo, que describe las relaciones entre las simetrías de un objeto. El álgebra más reciente y, en particular, la geometría algebraica pueden considerarse como una profundización de estas investigaciones.
Una idea entonces nueva en el intercambio de cartas entre Blaise Pascal y Pierre de Fermat en 1654 acerca del problema de los juegos de azar, aunque existían otras soluciones discutibles como las de Cardano, quien intentó matematizarlas. Pierre-Simon Laplace hace un recuento de los diferentes logros hasta 1812 cuando publica su Ensayo filosófico sobre las posibilidades. Las nuevas ideas y métodos conquistaron muchos campos. Pero durante siglos, la teoría clásica de la probabilidad se dividió en escuelas separadas. Los intentos de definir explícitamente el término «probabilidad» solo tuvieron éxito para casos especiales. Solo la publicación del libro de texto de Andrei Kolmogorov en 1933 Los fundamentos de la Teoría de la Probabilidad  completó el desarrollo de los fundamentos de la teoría moderna de la probabilidad.
En el transcurso del siglo XIX, el cálculo infinitesimal encontró su forma actual de rigor gracias a los trabajos de Augustin-Louis Cauchy y Karl Weierstrass. La teoría de conjuntos desarrollada por Georg Cantor hacia finales del siglo XIX es también indispensable en la matemática actual, aunque las paradojas del concepto ingenuo de conjuntos dejaron claro, en un primer momento, la incierta base sobre la que se asentaban las matemáticas.
El desarrollo de la primera mitad del siglo XX estuvo influenciado por la publicación de los problemas de Hilbert. Uno de los problemas intentaba axiomatizar completamente las matemáticas; al mismo tiempo, se hicieron grandes esfuerzos de abstracción, es decir, el intento de reducir los objetos a sus propiedades esenciales. Así, Emmy Noether desarrolló los fundamentos del álgebra moderna, Felix Hausdorff desarrolló la topología general como el estudio de los espacios topológicos, Stefan Banach desarrolló probablemente el concepto más importante del análisis funcional, el espacio de Banach que lleva su nombre. Un nivel de abstracción aún mayor, un marco común para la consideración de construcciones similares de diferentes áreas de las matemáticas, fue finalmente creado por la introducción de la teoría de categorías por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane.

## Introducción

### Etimología
La palabra «matemática» (del griego μαθηματικά mathēmatiká, «cosas que se aprenden») viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». Las matemáticas requieren un esfuerzo de instrucción o aprendizaje, refiriéndose a áreas del conocimiento que solo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas, como la astronomía. «El arte matemática» (μαθηματική τέχνη, mathēmatikḗ tékhnē) se contrapondría en esto a la música, «el arte de las musas» (μουσική τέχνη, mousikē téchnē), que sería un arte, como la poesía, retórica y similares, que se puede apreciar directamente, «que se puede entender sin haber sido instruido». Aunque el término ya era usado por los pitagóricos (matematikoi) en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de «estudio matemático» en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), «relacionado con el aprendizaje», lo cual, de manera similar, vino a significar «matemático». En particular, μαθηματική τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa «el arte matemática».
La forma más usada es el plural matemáticas (cuyo acortamiento, en algunos países, es «mates»), que tiene el mismo significado que el singular y viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, «todas las cosas matemáticas». Algunos autores, sin embargo, hacen uso de la forma singular del término; tal es el caso de Bourbaki, en el tratado Elementos de matemática (Élements de mathématique, 1940), destaca la uniformidad de este campo aportada por la visión axiomática moderna, aunque también hace uso de la forma plural como en Éléments d'histoire des mathématiques (1969), posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la unificación de las matemáticas. Así mismo, en el escrito L'Architecture des mathématiques (1948) plantea el tema en la sección «¿Matemáticas, singular o plural?» donde defiende la unicidad conceptual de la matemática aunque hace uso de la forma plural en dicho escrito.

### Algunas definiciones de matemática
Establecer definiciones claras y precisas es el fundamento de la matemática, aunque encontrar una definición única para ella es improbable. Se muestran algunas reflexiones de reconocidos autores:
- René Descartes:

«Y considerando esto más atentamente al cabo se nota que  solamente aquellas en las que se estudia cierto orden y  medida hacen referencia a la Mathesis, y que no importa si tal medida ha de buscarse en los números, en las figuras, en los astros, en los sonidos o en cualquier otro objeto;»

- Carl Friedrich Gauss:

«El matemático se abstrae totalmente de la naturaleza de los objetos y el contenido de sus relaciones; se preocupa únicamente por la enumeración  y la comparación de las relaciones entre ellos [...]»

- David Hilbert:

«[...] nos lleva a una concepción de las matemáticas que considera a éstas como un inventario de fórmulas a las que corresponden, en primer lugar, expresiones concretas de enunciados finitistas y a las que se añaden, en segundo lugar, otras fórmulas que carecen de todo significado y que constituyen los objetos ideales de nuestra teoría.»

- Benjamin Peirce:

«La matemática es la ciencia que extrae conclusiones necesarias.»

- Bertrand Russell: Trató de probar[66][67]

«que toda la Matemática pura trabaja exclusivamente con conceptos definibles en función de un número muy pequeño de conceptos lógicos fundamentales, y de que todas las  proposiciones se pueden deducir de un número muy pequeño de  principios lógicos fundamentales.»

- John David Barrow:

«En el fondo, matemáticas es el nombre que le damos al conjunto de todos los patrones e interrelaciones posibles. Algunos de esos patrones están entre formas, otros están en secuencias de números, mientras que otros son relaciones más abstractas entre estructuras. La esencia de las matemáticas radica en las relaciones entre cantidades y cualidades. Por lo tanto, son las relaciones entre los números, no los números en sí mismos, las que constituyen el foco de interés de los matemáticos modernos.»

### Epistemología y controversia sobre la matemática como ciencia
El carácter epistemológico y científico de la matemática ha sido ampliamente discutido. En la práctica, la matemática se emplea para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante deducciones rigurosas. Estas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin. Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades, aunque solo una parte de la matemática actual usa números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.
Existe cierta discusión acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o simplemente provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como «la ciencia que señala las conclusiones necesarias». Por otro lado:

«cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la realidad».
Albert Einstein

Se ha discutido el carácter científico de las matemáticas debido a que sus procedimientos y resultados poseen una firmeza e inevitabilidad inexistentes en otras disciplinas como pueden ser la física, la química o la biología. Así, la matemática sería tautológica, infalible y a priori, mientras que otras, como la geología o la fisiología, serían falibles y a posteriori. Son estas características lo que hace dudar de colocarse en el mismo rango que las disciplinas antes citadas pese a las afirmaciones como las de John Stuart Mill quien sostenía en 1843:

«En realidad, las leyes de los números son verdades físicas provenientes de la observación.»

Así, los matemáticos pueden descubrir nuevos procedimientos para resolver integrales o teoremas, pero se muestran incapaces de descubrir un suceso que ponga en duda el Teorema de Pitágoras o cualquier otro, como sí sucede constantemente con las ciencias de la naturaleza.
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La matemática puede ser entendida como ciencia; si es así debiera señalarse su objeto y su método. Sin embargo, algunos plantean que la matemática es un lenguaje formal, seguro, eficiente, aplicable al entendimiento de la naturaleza, tal como indicó Galileo; además muchos fenómenos de carácter social, otros de carácter biológico o geológico, pueden ser estudiados mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales, cálculo de probabilidades o teoría de conjunto. Precisamente, el avance de la física y de la química ha exigido la invención de nuevos conceptos, instrumentos y métodos en la matemática, sobre todo en el análisis real, análisis complejo y el análisis matricial.

## Aspectos formales, metodológicos y estéticos

### La inspiración, las matemáticas puras, aplicadas y la estética
Es muy posible que el arte de calcular haya sido desarrollado antes incluso que la escritura, relacionado fundamentalmente con la contabilidad y la administración de bienes, el comercio, en la agrimensura y, posteriormente, en la astronomía.
Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el físico Richard Feynman propuso la integral de caminos como fundamento de la mecánica cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física, pero todavía, no se ha logrado una definición plenamente satisfactoria en términos matemáticos. Igualmente, la teoría de cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirando a las más modernas matemáticas.
Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemáticas inspiradas en un área concreta resultan útiles en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemáticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemática más pura habitualmente tiene aplicaciones prácticas es lo que Eugene Paul Wigner ha definido como «la irrazonable eficacia de las matemáticas en las Ciencias Naturales».
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a la especialización de las matemáticas. Hay una importante distinción entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas. La mayoría de los matemáticos que se dedican a la investigación se centran únicamente en una de estas áreas y, a veces, la elección se realiza cuando comienzan su licenciatura. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras áreas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser la estadística, la investigación de operaciones o la informática.
Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que prevalece un aspecto estético que define a la mayoría de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la elegancia de la matemática, su intrínseca estética y su belleza interna. En general, uno de sus aspectos más valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple y contundente demostración, como la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos, y en un elegante análisis numérico que acelera el cálculo, así como en la transformada rápida de Fourier. Godfrey Harold Hardy en A Mathematician's Apology  (Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras. Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excéntrico matemático Paul Erdős se refiere a este hecho como la búsqueda de pruebas de El Libro en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas. La popularidad de la matemática recreativa es otra señal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemáticas.

### Notación, lenguaje y rigor
La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII. Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limitaba el avance matemático. En el siglo XVIII, Euler, fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean mucho más fácil para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. La notación reduce las matemáticas al máximo, hace que algunos símbolos contengan una gran cantidad de información. Al igual que la notación musical, la notación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y codifica la información que sería difícil de escribir de otra manera.
El lenguaje matemático también puede ser difícil para los principiantes. Palabras tales como o y solo si tienen significados más precisos que en lenguaje cotidiano. Además, palabras como abierto y cuerpo tienen significados matemáticos muy concretos. La jerga matemática, o lenguaje matemático, incluye términos técnicos como homeomorfismo o integrabilidad. La razón que explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el lenguaje matemático requiere más precisión que el lenguaje cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión en el lenguaje y en la lógica como el «rigor».
El rigor es una condición indispensable que debe tener una demostración matemática. Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremas erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia. El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de Isaac Newton los métodos empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes de las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un análisis cuidadoso y a las demostraciones oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador.
Un axioma se interpreta tradicionalmente como una «verdad evidente», pero esta concepción es problemática. En el ámbito formal, un axioma no es más que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco solo en el contexto de todas las fórmulas derivadas de un sistema axiomático.

### La matemática como ciencia
Carl Friedrich Gauss se refería a la matemática como «la reina de las ciencias». Tanto en el latín original Scientiārum Regīna, así como en alemán Königin der Wissenschaften, la palabra ciencia debe ser interpretada como (campo de) conocimiento. Si se considera que la ciencia es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas, o por lo menos las matemáticas puras, no son una ciencia.
Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente falsables y, por ende, no son una ciencia según la definición de Karl Popper. No obstante, en la década de 1930 una importante labor en la lógica matemática demuestra que las matemáticas no pueden reducirse a la lógica y Karl Popper llegó a la conclusión de que «la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de física y biología, hipotético-deductivas. Por lo tanto, las matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, así ha sido hasta ahora». Otros pensadores, en particular Imre Lakatos, han solicitado una versión de Falsacionismo para las propias matemáticas.
Una visión alternativa es que determinados campos científicos (como la física teórica) son matemáticas con axiomas que pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, John Michael Ziman, propone que la ciencia es «conocimiento público» y, por tanto, incluye a las matemáticas. En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho en común con distintos campos de las ciencias físicas, especialmente la exploración de las consecuencias lógicas de las hipótesis. La intuición y la experimentación también desempeñan un papel importante en la formulación de conjeturas tanto en las matemáticas como en las otras ciencias. Las matemáticas experimentales siguen ganando representación dentro de las matemáticas. El cálculo y simulación están jugando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción de que las matemáticas no se sirven del método científico. En 2002 Stephen Wolfram propuso, en su libro Un nuevo tipo de ciencia, que la matemática computacional merece ser explorada empíricamente como un campo científico.
Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos matemáticos consideran que llamar a su campo ciencia es minimizar la importancia de su perfil estético, además supone negar su historia dentro de las siete artes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemáticas. Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con el anterior, es si la matemática fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de incumbencia de la filosofía de las matemáticas.
Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia. El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la Medalla Fields, fue instaurado en 1936 y se concede cada cuatro años. A menudo se le considera el equivalente del Premio Nobel para la ciencia. Otros premios son el Premio Wolf en matemática, creado en 1978, que reconoce los logros en vida de los matemáticos, y el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003. Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o la solución de un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada los «Problemas de Hilbert», fue recopilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada «Problemas del milenio», se publicó en 2000. La solución de cada uno de los problemas será recompensada con 1 millón de dólares. Curiosamente, tan solo uno (la hipótesis de Riemann) aparece en ambas listas.

## Ramas de estudio de las matemáticas
La Sociedad Matemática Americana distingue unas 5.000 ramas distintas de matemática. En una subdivisión escolarizada de la matemática se distinguen cinco áreas de estudio básicas: la cantidad, la estructura, el espacio, el cambio y la variabilidad que se corresponden con la aritmética, el álgebra, la geometría, el cálculo, la probabilidad y estadística. Como señalaba Richard Courant «Es posible seguir una ruta directa a partir de los elementos fundamentales hasta puntos avanzados» para que puedan divisarse las directrices de la matemática como ciencia. Además, hay ramas de las matemáticas conectadas a otros campos, por ejemplo la lógica, teoría de conjuntos y las matemáticas aplicadas entre muchas otras tal como indica la Sociedad Matemática Americana.

### Matemática pura

#### Cantidad
| 1, 2, 3, …        | …, −2, −1, 0, 1, 2, … | −2, 2⁄3, 1,21      | −e, {\displaystyle {\boldsymbol {\sqrt {2}}}}, 3, {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}} | 2, i, −2 + 3i, 2ei4π⁄3 |
| Números naturales | Enteros               | Números racionales | Números reales                                                                         | Números complejos      |

#### Estructura
| {\displaystyle {\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}} |                   |                  |                  |                  |         |
| Combinatoria                                                                                | Teoría de números | Teoría de grupos | Teoría de grafos | Teoría del orden | Álgebra |

#### Espacio
|           |               |                       |           |                   |                     |
| Geometría | Trigonometría | Geometría diferencial | Topología | Geometría fractal | Teoría de la medida |

#### Cambio
|         |                   |                          |                    |                 |                   |
| Cálculo | Cálculo vectorial | Ecuaciones diferenciales | Sistemas dinámicos | Teoría del caos | Análisis complejo |

### Matemática aplicada
El concepto «matemática aplicada» se refiere a aquellos métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o resolución de problemas pertenecientes al área de las ciencias básicas o aplicadas.
Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología, medicina, ciencias sociales, ingeniería, economía, finanzas, ecología entre otras.
Sin embargo, una posible diferencia es que en matemática aplicada se procura el desarrollo de la matemática «hacia afuera», es decir su aplicación o transferencia hacia el resto de las áreas. Y en menor grado «hacia dentro» o sea, hacia el desarrollo de la matemática misma. Este último sería el caso de la matemática pura o matemática elemental.
La matemática aplicada se usa con frecuencia en distintas áreas tecnológicas para modelado, simulación y optimización de procesos o fenómenos, como el túnel de viento o el diseño de experimentos.

#### Estadística y ciencias de la decisión
La estadística es la rama de la matemática que estudia la variabilidad, así como el proceso aleatorio que la genera siguiendo leyes de probabilidad. Es un conocimiento fundamental para la investigación científica en algunos campos de la tecnología, como informática e ingeniería, y de las ciencias fácticas, como economía, genética, sociología, psicología, medicina, contabilidad, etc. En ocasiones, estas áreas de conocimiento necesitan aplicar técnicas estadísticas durante su proceso de investigación factual, con el fin de obtener nuevos conocimientos basados en la experimentación y en la observación, precisando para ello recolectar, organizar, presentar y analizar un conjunto de datos numéricos y, a partir de ellos y de un marco teórico, hacer las inferencias apropiadas.
Se consagra en forma directa al gran problema universal de cómo tomar decisiones inteligentes y acertadas en condiciones de incertidumbre. La estadística descriptiva sirve como fuente de instrucción en los niveles básicos de estadística aplicada a las ciencias fácticas y, por tanto, los conceptos manejados y las técnicas empleadas suelen ser presentadas de la forma más simple y clara posibles.

#### Matemática computacional
|                         |                         |                   |                     |                           |                     |                   |
| Física matemática       | Dinámica de fluidos     | Análisis numérico | Optimización        | Teoría de la probabilidad | Estadística         | Criptografía      |
|                         |                         |                   |                     |                           |                     |                   |
| Geometría computacional | Matemáticas financieras | Teoría de juegos  | Biología matemática | Química matemática        | Economía matemática | Teoría de control |

title: Matemáticas

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[[Archivo:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|miniaturadeimagen|El [[Papiro de Ahmes|papiro]] egipcio de [[Ahmes (escriba)|Ahmes]]]]
[[Archivo:G. Reisch, Margarita philosophica Wellcome L0025814.jpg|miniatura|''Margarita philosophica'' (literalmente, «perla filosófica»): en este grabado de 1508 de [[Gregor Reisch]], monje cartujo, humanista y polígrafo alemán, se observa a Madame Aritmética instruyendo a un [[algorista]] (especialista en algoritmos) y a un [[abascista]] (especialista en el uso del ábaco), dos maneras de hacer los cálculos.]]

[[Archivo:Euclid.jpg|miniatura|[[Euclides]] (matemático griego del siglo III a. C.), representado sosteniendo un [[compás (instrumento)|compás]], según lo imaginado por [[Rafael Sanzio]] en este detalle de ''[[La escuela de Atenas]]''.<ref>Ninguna semejanza o descripción de la apariencia física de Euclides durante su vida sobrevivió a la antigüedad. Por lo tanto, la representación de Euclides en las obras de arte depende de la imaginación del artista (véase [[Euclides]]).</ref>]]

Las '''matemáticas''', o también la '''matemática''' <ref name="DRAE">[http://lema.rae.es/drae/?val=matemática «matemática»], Diccionario de la Real Academia Española . Consultado el 2 de agosto de 2023.</ref><ref name="GALL" /><ref name="PAZUK" /> (del [[latín]] ''mathematĭca'', y a la vez del [[Griego antiguo|griego]] μαθηματικά, [[Romanización del griego|transliterado]] como ''mathēmatiká'', derivado de μάθημα, [[Wikipedia:Transliteración/Griego|tr.]] máthēma (''[[conocimiento]]'')) son una [[Ciencias formales|ciencia formal]] que surgió del estudio de las [[Figura geométrica|figuras geométricas]] y la [[aritmética]] con números. Hoy en día se suele aceptar que la matemática es una ciencia que investiga patrones.<ref name=BROTS /><ref name="BARRO">Barrow, John D. (1997) ''¿Por qué el mundo es matemático?'', Barcelona: Grijalbo ISBN 84-253-3123-4</ref><ref name=DEVK /><ref>Michael N. Fried, (August 2010) [https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematics-as-the-science-of-patterns-introduction  «Mathematics as the Science of Patterns»],  ''Convergence'', Mathematical Association of America. Consultado el 10 de agosto de 2023</ref><ref name="DMENA">de la Peña Mena, José Antonio (11 de octubre de 2019)   [https://www.dgcs.unam.mx/boletin/bdboletin/2019_722.html?fbclid=IwAR2zrwo2Qpk9TUoelwF_bvVxDc0izSxusTlwK-mJg6MeUsuc57XNjWRhImo «Patrones Matemáticos en la Naturaleza.»], (VIDEO), Conferencia en la Ciudad Universitaria de la Universidad Nacional Autónoma de México, Boletín UNAM-DGCS-722. Consultado el 10 de agosto de 2023</ref>

== Descripción ==
Las [[ciencias naturales]] han hecho un uso extensivo de la matemática para explicar diversos fenómenos observables, tal como lo expresó [[Eugene Paul Wigner]] ([[Anexo:Ganadores del Premio Nobel de Física|Premio Nobel de Física en 1963]]):
{{Cita|«El primer punto es que la enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso y que no tiene una explicación racional. En segundo lugar, es precisamente esta extraña utilidad de los conceptos matemáticos lo que plantea la cuestión de la unicidad de nuestras teorías físicas.» <ref>«The first point is that the enormous usefulness of mathematics in the natural sciences is something bordering on the mysterious and that there is no rational explanation for it. Second, it is just this uncanny usefulness of mathematical concepts that raises the question of the uniqueness of our physical theories.» Wigner, Eugene Paul (1960), ''[https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/wigner.pdf The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Richard Courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University, May 11, 1959.]'',  Communications in Pure and Applied Mathematics  '''13''' (1) p.2. https://doi.org/10.1002/cpa.3160130102</ref>}}
{{Cita|«El milagro de la adecuación del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un don maravilloso que no comprendemos ni merecemos.» <ref>«The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of  physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve.» Wigner, Eugene Paul (1960), ''[https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/wigner.pdf The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Richard Courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University, May 11, 1959.]'',  Communications in Pure and Applied Mathematics  '''(13)''' 1 p. 9 https://doi.org/10.1002/cpa.3160130102 </ref>}}

[[Galileo Galilei]], en la misma línea, lo había expresado así:

{{Cita|«La filosofía está escrita en este enorme libro, que está continuamente abierto ante nuestros ojos (digo en el nuevo idioma), pero uno no puede entenderlo primero, uno no aprende a entender el idioma y a conocer los caracteres en que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender una palabra; sin éstos es un vano vagar por un oscuro laberinto.» <ref>«La Filosofia è scritta in questo grandissimo libro, che continuamente ci stà aperto innanzi à gliocchi (io dico l’vniuerfo) ma non si può intendere fe prima, non s’impara à intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, & altre figure Geometriche, senza iquali mezi è impossibile à intenderne vanamente parola; senza questi è un’aggirarsi vanamente per vn'oscuro laberinto.» Galilei, Galileo (1623) ''[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Il_Saggiatore_Galileo_Galilei_1623.djvu Il Saggiatore]'', Roma: Giacomo Mascardi p.25 Hay versión en castellano,  Galilei, Galileo (1981). ''El ensayador'', Buenos Aires: Aguilar p. 63 </ref>}}

Mediante la abstracción y el uso de la [[lógica]] en el [[razonamiento]], la matemática ha evolucionado basándose en el [[cálculo]] y las [[Medición|mediciones]], junto con el estudio sistemático de la [[Forma (figura)|forma]] y el [[Movimiento (física)|movimiento]] de los objetos físicos.<ref name="BOLTI" /> Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.

Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la [[matemática helénica]], especialmente con los ''[[Elementos de Euclides|Elementos]]'' de [[Euclides]].<ref name="LEVI">Levi, Beppo (2000) ''Leyendo a Euclides. Prólogo de Mario Bunge'', Buenos Aires: Libros del Zorzal ISBN 967-98068-0-8</ref> La matemática siguió desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el [[Renacimiento]] las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.

Hoy día, la matemática se usa en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las [[ciencias naturales]],<ref name="MATEBIO" /> las [[ciencias aplicadas]], las [[humanidades]],<ref>Gutiérrez Sánchez, José Luis (2000) [https://www.redalyc.org/pdf/267/26701303.pdf «El sueño de Isaac Asimov o ¿son matematizables las ciencias de lo humano?»], México: Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco, ''Política y Cultura'' pp. 33-54 ISSN 0188-7742</ref><ref>Puig, Pere (2018) [http://www.deulofeu.org/es/que-es-la-matematica-de-la-historia-a-sapiens/ «¿Qué es la Matemática de la Historia? Las insólitas teorías de Alexandre Deulofeu»], Catalunya, ''Sàpiens'', (197), pp. 10-15</ref><ref>Kline, Morris (2010) ''Matemáticas para los estudiantes de humanidades'', México: Fondo de Cultura Económica ISBN 978-6071600622</ref> la [[medicina]]<ref>Zurita-Cruz, Jessie Nallely. Márquez-González, Horacio. Miranda-Novales, Guadalupe.  Villasís-Keever, Miguel Ángel. (2018) [https://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S2448-91902018000200178 «Estudios experimentales: diseños de investigación para la evaluación de intervenciones en la clínica»], ''Revista alergia'', México, 65(2), pp. 178-186. https://doi.org/10.29262/ram.v65i2.376</ref> y las [[ciencias sociales]],<ref name=MAYLE>Miranda Mayo, José Javier (2002) [https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/8822201.pdf  «Lewin, K. (1951). La teoría de campo en la ciencia social»], Madrid: UNED, ''Comunitania: Revista Internacional de Trabajo Social y Ciencias Sociales', https://doi.org/2410.5944/comunitania.24.7</ref><ref name="LEWI">Lewin, Kurt (2008) «La Teoría del Campo en las Ciencias Sociales», México: Casa Juan Pablos, Universidad Autónoma del Estado de México ISBN 978-607-7554-18-9</ref><ref name="CAPARRI">Caparrini, Fernando Sancho (2019, 21 de setiembre) [http://www.cs.us.es/~fsancho/?e=57  «Sistemas Multiagente y Simulación»], Sevilla, España: Departamento de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial, Universidad de Sevilla, ''Blog de Fernando Sancho Caparrini''</ref> e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la [[música]]<ref>Molina-Coronell, J., Celin Mancera, W. Solano Mazo, C. (2017) [https://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1870-35422017000100076 «Analizando ondas estacionarias en tubos abiertos y cerrados con el uso de smartphone»], México: '' Revista mexicana de física E»'', 63(1), pp. 76-82. Consultado el 13 de agosto de 2023</ref> (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica, [[Cuerda vibrante]],<ref>Hoyos H., Diego L. (2012) [https://www.redalyc.org/pdf/468/46823930004.pdf «La matemática de la música»], Cali, Colombia: Escuela Regional de Matemáticas, '' Matemáticas: Enseñanza Universitaria'', '''XX'''(1), pp. 29-48  ISSNe 1900-043X</ref><ref>Simesen de Bielke, Martín (2017) [http://www.scielo.org.co/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1692-88572017000200097 «La escala del tiempo. El concepto pitagórico de analogía en la definición de tiempo platónico-aristotélica], Barranquilla, Colombia: ''Eidos'', (27), pp. 97-124. Consultado el 13 de agosto de  2023</ref> etc.) y la literatura.<ref>Macho Stadler, Marta (2016) [https://papiro.unizar.es/ojs/index.php/tropelias/article/view/1229 « OuLiPo: un viaje desde las matemáticas a la literatura»], Zaragoza, España: Universidad de Zaragoza, ''Tropelías: Revista De Teoría De La Literatura Y Literatura Comparada'', 25 https://doi.org/10.26754/ojs_tropelias/tropelias.2016251229 Consultado el 20 de agosto de 2023.</ref><ref>Macho Stadler, Marta (8 de marzo de 2022) [https://matematicasycultura.matem.unam.mx/conferencias/marzo-junio-2022/oulipo «OuLiPo: escribiendo bajo traba matemática»], (VIDEO), ''Matemáticas y Cultura 2022'', Conferencia en el Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México. Consultado el 17 de diciembre de 2023</ref> Las [[Matemática aplicada|matemáticas aplicadas]], rama de la matemática destinada a la aplicación del conocimiento matemático a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos<ref>Sánchez Valenzuela, Adolfo (1999) [https://www.smm.org.mx/2emmm/files/4_ensayo-unam.pdf «La matemática es un oficio que todos podemos aprender»], México: ''Revista de la Universidad Nacional Autónoma de México'',  (578-579)  pp.71-79</ref> también participan en la [[matemática pura]], sin tener en cuenta sus aplicaciones, aunque estas suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.

== Historia ==
{{Artículo principal|Historia de las matemáticas}}
Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas. Floreció primero antes de la [[antigüedad]] en [[Mesopotamia]],<ref>«Las matemáticas fueron uno de los campos en los que tuvieron lugar unos desarrollos paralelos, aunque no idénticos, en Oriente y en Occidente. En cuanto a la geometría, el primer desarrollo se produjo en  Mesopotamia (el antiguo Irak) y Egipto, y sólo más tarde fue adoptado por los griegos.» La traducción es nuestra. Jack Goody, ''The East in the West'', Cambridge: Cambridge University Press, 1996, p. 234 ISBN 0-521-55360-1</ref> en cuanto a la geometría<ref name=EOMI>Delachet, André (1963) ''La geometría contemporánea'', Buenos Aires: Los libros del mirasol</ref> [[India]] y [[Historia de China|China]], y más tarde en la antigüedad en Grecia y el [[helenismo]]. De ahí data la orientación hacia la tarea de «demostración puramente lógica» y la primera [[axiomatización]], a saber, la [[geometría euclidiana]].<ref name=EOMI /> En la [[Edad Media]] sobrevivió de forma independiente en el primer humanismo de las universidades y en el mundo árabe.

A principios de la [[era moderna]], [[François Viète]] introdujo variables y [[René Descartes]] inauguró un enfoque computacional de la geometría<ref>Rivero Mendoza, Francisco ''[http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/libros/por_profesor/lico/geometria_computacional.pdf Geometría computacional]'', Mérida, Venezuela: Universidad de Los Andes Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas. Consultado el 11 de agosto de 2023.</ref><ref>de Faría Campos (2001) [https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/7432220.pdf «Un breve tour por la geometría computacional»], ''Tecnología en marcha'', Costa Rica: Editorial Tecnológica de Costa Rica, 14(3)</ref><ref>Dorzán, María Gisela. Esquivel, Susana Cecilia. Gagliardi, Edilma Olinda.  Palmero, Pablo Rafael. Taranilla, María Teresa. Hernández Peñalver, Gregorio. Guasch, Maria Mercedes. Piergallini, Maria Rosana , ''[http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/27133 Geometría computacional y bases de datos]'',  XV Workshop de Investigadores en Ciencias de la Computación, (República Argentina, Paraná, Entre Ríos, abril de 2013), Red de Universidades con Carreras en Informática (RedUNCI)</ref> mediante el uso de [[coordenadas]]. La consideración de las tasas de cambio ([[Cálculo infinitesimal#Modernidad|fluxión]])<ref>Leibniz, Gotifredo Guillermo, Newton Isaac (1972) ''El cálculo infinitesimal. Origen. Polémica. Intoducción de José Babini'', Buenos Aires: Eudeba, p. 10</ref> así como la descripción de las tangentes y la determinación de los contenidos de las superficies (''[[Cuadratura (geometría)|cuadratura]]'')<ref>Leibniz, Gotifredo Guillermo, Newton Isaac (1972) ''El cálculo infinitesimal. Origen. Polémica. Intoducción de José Babini'', Buenos Aires: Eudeba, p. 69</ref> condujeron al [[cálculo infinitesimal]]<ref name="BOLTI" /> de [[Gottfried Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] e [[Isaac Newton]].<ref name="GHEV">«Según la literatura histórica, los métodos generales del cálculo fueron inventados independientemente por Newton y Leibniz en finales del siglo XVII utilizando los métodos de las matemáticas griegas. Sin embargo, lo que a menudo se olvida es que los elementos importantes del cálculo, incluidos los métodos de integración numérica y derivaciones de series infinitas para π, sen x, cos x, tan<sup>-1</sup> x, ya estaban en las obras del matemático de Kerala, Madhava y posteriormente elaborado por Nilakantha, Jyesthadeva, Sankara Variyar y otros entre los siglos XIV y XVII.» La traducción es nuestra. Gheverghese Joseph, George (2009) ''Kerala Mathematics: History And Its Possible Transmission To Europe'', Delhi: B.R. Publishing p. 1  ISBN 978-81-7646-662-2 </ref> La [[Mecánica clásica|mecánica de Newton]] y su [[Ley de gravitación universal|ley de la gravitación]] fueron también una fuente de orientación de problemas ''matemáticos'' como el [[problema de los tres cuerpos]]<ref>Bor, Gil. Montgomery, Richard (2014) [https://www.cimat.mx/~gil/research/Misc_n_cuerpos.pdf «Poincaré y el problema de n-cuerpos»], México: Sociedad Matemática Mexicana,  ''Miscelánea Matemática'', 58 pp. 83-102</ref><ref>Newton, Issac (1997) ''Principios matemáticos de la Filosofía natural. Estudio preliminar y traducción de Antonio Escohotado'', Madrid: Altaya, p. 177 y sig. ISBN 84-487-0140-2</ref><ref>López, Juan Carlos (2021, 22 de enero) «El problema clásico de Tres Cuerpos: desde Newton, Euler, Lagrange hasta hoy», (VIDEO) ''Coloquio de Divulgación del Instituto de Ciencias Nucleares'', México: Universidad Nacional Autónoma de México. CANALICUNAM Canal Oficial en Youtube. @ICN_UNAM_Oficial</ref> en los siglos siguientes.

Otro de los principales problemas de la primera época moderna fue la solución de ecuaciones algebraicas cada vez más complicadas. Para hacer frente a esto, [[Niels Henrik Abel]] y [[Évariste Galois]] desarrollaron el concepto de [[Grupo (matemática)|grupo]], que describe las relaciones entre las simetrías de un objeto.<ref>Nicolle, Jacques (1961) ''La simetría'', Buenos Aires: Los libros del mirasol</ref><ref>Sánchez Valenzuela, Adolfo (22 de octubre del 2018) [https://paginas.matem.unam.mx/videos/todos-los-videos/2018/octubre-2018/51-congreso-de-la-smm/un-paseo-por-la-simetria-adolfo-sanchez-valenzuela «Un paseo por la simetría »] (Video) ''Plática Plenaria del 51° Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana, Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, Zona de la Cultura, Villahermosa, Tabasco.''  Videos IMUNAM, Universidad Nacional Autónoma de México. Consultado el 11 de agosto de 2023.</ref> El [[álgebra]] más reciente y, en particular, la [[geometría algebraica]] pueden considerarse como una profundización de estas investigaciones.

Una idea entonces nueva en el intercambio de cartas entre [[Blaise Pascal]] y [[Pierre de Fermat]] en 1654 acerca del problema de los juegos de azar,<ref>{{Cita web |url=https://umer.es/wp-content/uploads/2017/03/Cuaderno-99.pdf |título=La fuerza del azar. Entre la probabilidad y la incertidumbre |apellido=del Rey |nombre=Javier |fecha=2016, 13 de octubre |sitioweb=Universidad de Mayores de Experiencia Recíproca|editorial= |ubicación=Madrid |formato=PDF}} Consultado el 3 de agosto de 2023</ref><ref>Taleb, Nassim Nicholas (2006) ''¿Existe la suerte? Engañados por el azar. El  papel oculto de la suerte en la vida y en los negocios.'', Madrid: Thomson ISBN 84-9732-392-0</ref><ref>Ekeland, Ivar (1992) ''Al azar. La probabilidad, la ciencia y el mundo'', Barcelona: Gedisa ISBN 84-7432-432-7</ref> aunque existían otras soluciones discutibles como las de Cardano, quien intentó matematizarlas. [[Pierre-Simon Laplace]] hace un recuento de los diferentes logros hasta 1812 cuando publica su ''Ensayo filosófico sobre las posibilidades''.<ref>Laplace, Pierre Simon (2005)  ''Ensayo filosofico sobre las posibilidades'',  Barcelona: Altaya ISBN  84-487-0088-0</ref> Las nuevas ideas y métodos conquistaron muchos campos. Pero durante siglos, la teoría clásica de la probabilidad se dividió en escuelas separadas. Los intentos de definir explícitamente el término «probabilidad» solo tuvieron éxito para casos especiales. Solo la publicación del libro de texto de [[Andréi Kolmogórov|Andrei Kolmogorov]] en 1933 ''Los fundamentos de la Teoría de la Probabilidad'' <ref>Kolmogórov, Andréi Nikoláyevich  (1956) ''[https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/kolmogorov_foundations.pdf Foundations of the Theory of Probability]'', New York: Chelsea Publishing. Consultado el 18 de diciembre de 2023.</ref> completó el desarrollo de los fundamentos de la teoría moderna de la probabilidad.

En el transcurso del {{siglo|XIX||s}}, el cálculo infinitesimal<ref name="BOLTI">Boltianski, Vladímir Grigórievich (1984) [https://archive.org/details/v.-g.-boltianski-que-es-el-calculo-diferencial-lecciones-populares-de-matematicas-mir-1984/mode/2up ''¿Qué es el Cálculo Diferencial? Lecciones Populares De Matemáticas''], Moscú: Mir. Consultado el 18 de diciembre de 2023.</ref> encontró su forma actual de [[Rigor matemático|rigor]] gracias a los trabajos de [[Augustin Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] y [[Karl Weierstraß|Karl Weierstrass]]. La [[teoría de conjuntos]]<ref name="PICHA">Pichardo Mendoza, Roberto (2017, 24 de marzo) «¿Teoría de conjuntos?, ¡Pero si es bien fácil!» (Video), ''Hablando de matemáticas'', México: Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Instituto de Matemáticas de la UNAM en Canal Oficial en Youtube. @InstitutodeMatematicasdelaUNAM. Consultado el 15 de septiembre  de 2023</ref> desarrollada por [[Georg Cantor]] hacia finales del {{siglo|XIX||s}} es también indispensable en la matemática actual, aunque las paradojas del concepto ingenuo de conjuntos dejaron claro, en un primer momento, la incierta base sobre la que se asentaban las matemáticas.<ref>Véase el enfoque actual de la Teoría de Conjuntos en Ivorra Castillo, Carlos [https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf ''Teoría de Conjuntos''], Valencia, España: Universidad de Valencia Consultado el 15 de setiembre de 2023 </ref>

El desarrollo de la primera mitad del {{siglo|XX||s}} estuvo influenciado por la publicación de [[Problemas de Hilbert|los problemas de Hilbert]]. Uno de los problemas intentaba [[axiomatizar]] completamente las matemáticas; al mismo tiempo, se hicieron grandes esfuerzos de abstracción, es decir, el intento de reducir los objetos a sus propiedades esenciales. Así, [[Emmy Noether]] desarrolló los fundamentos del álgebra moderna,<ref>Laserna, David Blanco (2005) ''Emmy Noether: Una matemática ideal'', Madrid: Nivola ISBN 978-84-92493-79-1</ref> [[Felix Hausdorff]] desarrolló la [[topología]] general como el estudio de los [[espacios topológicos]], [[Stefan Banach]] desarrolló probablemente el concepto más importante del [[análisis funcional]], el [[espacio de Banach]] que lleva su nombre. Un nivel de abstracción aún mayor, un marco común para la consideración de construcciones similares de diferentes áreas de las matemáticas, fue finalmente creado por la introducción de la [[teoría de categorías]] por [[Samuel Eilenberg]] y [[Saunders Mac Lane]].

==Introducción==

===Etimología===

La palabra «matemática» (del griego μαθηματικά ''mathēmatiká'', «cosas que se aprenden») viene del griego antiguo μάθημα (''máthēma''), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». Las matemáticas requieren un esfuerzo de instrucción o aprendizaje, refiriéndose a áreas del conocimiento que solo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas, como la [[astronomía]]. «El arte matemática» (''μαθηματική τέχνη'', ''mathēmatikḗ tékhnē'') se contrapondría en esto a la música, «el arte de las [[musa]]s» (μουσική τέχνη, ''mousikē téchnē''), que sería un arte, como la poesía, [[retórica]]<ref>Molina Sangüesa, I. (2016). [https://arbor.revistas.csic.es/index.php/arbor/article/view/2096 «La designación terminológica de las potencias de la incógnita: algunas cuestiones sobre el tránsito del álgebra retórica al álgebra sincopada en el Renacimiento hispano»], Madrid: Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC), ''Arbor'', 192(777) doi: https://dx.doi.org/10.3989/arbor.2016.777n1009</ref><ref>Hyde, E. W. (1891) [https://www.jstor.org/stable/1766702 «The Evolution of Algebra»], New York: American Association for the Advancement of Science,  ''Science'', 18(452), pp. 183–87, JSTOR, Open Access.  Consultado el 14 de agosto de  2023</ref> y similares, que se puede apreciar directamente, «que se puede entender sin haber sido instruido».<ref>Heath, Thomas Little (1921) ''[https://archive.org/details/cu31924008704219 A history of Greek mathematics: Vol 1]'', Oxford: The Clarendon Press p. 10</ref> Aunque el término ya era usado por los [[pitagóricos]] (''matematikoi'') en el {{siglo|VI|a|s}}, alcanzó su significado más técnico y reducido de «estudio matemático» en los tiempos de [[Aristóteles]] ({{siglo|IV|a|s}}). Su adjetivo es μαθηματικός (''mathēmatikós''), «relacionado con el aprendizaje», lo cual, de manera similar, vino a significar «matemático». En particular, μαθηματική τέχνη (''mathēmatikḗ tékhnē''; en latín ''ars mathematica''), significa «el arte matemática».

La forma más usada es el plural ''matemáticas'' (cuyo acortamiento, en algunos países, es «mates»<ref>Como en el Reino de España, sin embargo, en muchos países de Sudamérica «mates» es el plural de una bebida denominada ''«[[Mate (infusión)]]»''. También véase {{Cita web |url=https://dle.rae.es/mates |título=mates |sitioweb=RAE}}</ref><ref>UNSE Institucional (2020, 6 de febrero). ''[https://www.unse.edu.ar/index.php/unse-institucional/3464-matemates-matematicas-la-propuesta-de-dos-jovenes-solidarios Matemates Matemáticas]'' Universidad Nacional de Santiago del Estero, República Argentina. Consultado el 2 de agosto de 2023</ref>), que tiene el mismo significado que el singular<ref name=DRAE /> y viene de la forma latina ''mathematica'' ([[Marco Tulio Cicerón|Cicerón]]), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (''ta mathēmatiká''), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, «todas las cosas matemáticas». Algunos autores, sin embargo, hacen uso de la forma singular del término; tal es el caso de [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]], en el tratado ''[[Elementos de matemática]]'' (''Élements de mathématique'', 1940), destaca la uniformidad de este campo aportada por la visión axiomática moderna, aunque también hace uso de la forma plural como en ''Éléments d'histoire des mathématiques'' (1969),<ref>Hay versión en castellano, Bourbaki, Nicolás (1976) ''Elementos de historia de las matemáticas'', Madrid: Alianza ISBN 84-206-2018-1</ref> posiblemente sugiriendo que es Bourbaki quien finalmente realiza la unificación de las matemáticas.<ref>{{Cita libro |apellidos=Maurice Mashaal |título=Bourbaki: a secret society of mathematicians |url=https://archive.org/details/bourbakisecretso0000mash |año=2006 |editorial=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-3967-6 |páginas=[https://archive.org/details/bourbakisecretso0000mash/page/56 56] |idioma=inglés}}</ref> Así mismo, en el escrito ''L'Architecture des mathématiques'' (1948) plantea el tema en la sección «¿Matemáticas, singular o plural?» donde defiende la unicidad conceptual de la matemática aunque hace uso de la forma plural en dicho escrito.<ref>Le Lionnais, François, éditeur (1948) ''Les Grands Courants de la pensée mathématique'', Marseille: Cahiers du Sud p. 35 Hay  versión en castellano, Le Lionnais, Francois (1965). ''Las grandes corrientes del pensamiento matemático''. Buenos Aires: Eudeba. p. 36</ref><ref>Rey Pastor, Julio. Babini, José (2013)  ''Historia de la matemática: Vol.2. Del renacimiento a la actualidad'', Barcelona: Gedisa  p. 43 ISBN 978-84-9784-781-0</ref><ref name="GALL">Gallardo, Susana (2013, 7 de agosto). ''[https://nexciencia.exactas.uba.ar/matematica-matematicas-lexicografia Matemática o matemáticas ¿Una cuestión de número?]'' NEXciencia. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires. Consultado el 2 de agosto de 2023</ref><ref name="PAZUK">Pazukhin, Rotislao (2021) ''[https://cvc.cervantes.es/literatura/aih/pdf/13/aih_13_3_072.pdf Un fantasma de la lexicografía hispánica: «¿matemática o matemáticas?»]'', Alicante: Biblioteca Virtual Miguel de Cervantes. Edición digital a partir de Actas del XIII Congreso de la Asociación Internacional de Hispanistas: Madrid, 6-11 de julio de 1998. Tomo III. Literatura hispanoamericana. Lingüística, Madrid, Castalia, 2000, pp. 551-556. Consultado el 2 de agosto de 2023</ref>

===Algunas definiciones de matemática===

Establecer definiciones claras y precisas es el fundamento de la matemática, aunque encontrar una definición única para ella es improbable.<ref name="IAST">Stewart, Ian (2004) ''De aquí al infinito. Las matemáticas de hoy'', Barcelona: Crítica  ISBN 84-8432-547-4</ref> Se muestran algunas reflexiones de reconocidos autores:

*[[René Descartes]]: {{Cita|«Y considerando esto más atentamente al cabo se nota que  solamente aquellas en las que se estudia cierto orden y  medida hacen referencia a la [[Mathesis Universalis|''Mathesis'']],<ref>En el campo de la filosofía existen muchas discusiones sobre si ''Mathesis'' significa lo mismo que ''Matemática'' puesto que Descartes las diferencia con claridad. Para un estudio más detallado véase Descartes, René (1996) ''Reglas para la dirección del espíritu'', Introducción, traducción y notas de Juan Manuel Navarro Cordón,  Madrid: Alianza p.83 ISBN 84-206-0034-2</ref> y que no importa si tal medida ha de buscarse en los números, en las figuras, en los astros, en los sonidos o en cualquier otro objeto;» <ref>Descartes, René (1996) ''Reglas para la dirección del espíritu'', Introducción, traducción y notas de Juan Manuel Navarro Cordón, Madrid: Alianza pp. 85-86 ISBN 84-206-0034-2</ref>}}
*[[Carl Friedrich Gauss]]: {{Cita|«El matemático se abstrae totalmente de la naturaleza de los objetos y el contenido de sus relaciones; se preocupa únicamente por la enumeración  y la comparación de las relaciones entre ellos [...]» <ref>«Der Mathematiker abstrahirt gänzlich von der Beschaffenheit der Gegenstände und dem Inhalt ihrer Relationen; er hat es bloss mit der Abzählung und der Vergleichung der Relationen unter sich zu thun.» Gauss, Carl Friedrich (1831) «Selbstanzeige der Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda.» ''Göttingische gelehrte Anzeigen'', 23. p. 176. Traducción al inglés en Ewald, William (1999) ''From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics: vol. 1'' , New York: Oxford University Press p. 312 ISBN 0-19-850535-3</ref><ref name=HMETB>Bell, Eric Temple (1992) ''Historia de las matemáticas'', México: Fondo de Cultura Económica, p. 222 ISBN 968-1879-3</ref>}}

*[[David Hilbert]]: {{Cita|«[...] nos lleva a una concepción de las matemáticas que considera a éstas como un inventario de fórmulas a las que corresponden, en primer lugar, expresiones concretas de enunciados [[Finitismo|finitistas]] y a las que se añaden, en segundo lugar, otras fórmulas que carecen de todo significado y que constituyen los ''objetos ideales de nuestra teoría''.» <ref>«Wenn wir diese Auffassung generalisieren, so wird die Mathematik zu einem Bestande von Formelen, und zwar ersten solchen, denen in haltlichen mitteilungen finiter Aussagen entsprechen, und zweitens von weiteren Formeln, die nitchts bedeuten und die idealen Gebilde unserer Theorie sind.» Hilbert, David (1926) «Über das Unendliche»,  ''[https://www.digizeitschriften.de/id/235181684_0095 Mathematische Annalen]''  95  pp. 175-176 Hay versión en castellano, Hilbert, David (1993) ''Fundamentos de las matemáticas'', México: UNAM, p. 102 ISBN 968-36-3275-0 </ref><ref name=HMETB />}}
*[[Benjamin Peirce]]: {{Cita|«La matemática es la ciencia que extrae conclusiones necesarias.» <ref name=PBM />}}
*[[Bertrand Russell]]: Trató de probar<ref>Ramírez Sánchez, Sandra Lucía (2019) [https://www.revistauniversitaria.uady.mx/ru274.php «Bertrand Russell. Introducción a la filosofía matemática»], ''Revista de la Universidad Autónoma de Yucatán'', '''34''' (274)  pp. 37-43</ref><ref>Véase también Russell, Bertrand (1920) ''[https://archive.org/details/introductiontoma00russuoft/mode/2up Introduction to mathematical philosophy]'', London: G. Allen & Unwin </ref> {{Cita|«que toda la Matemática pura trabaja exclusivamente con conceptos definibles en función de un número muy pequeño de conceptos lógicos fundamentales, y de que todas las  proposiciones se pueden deducir de un número muy pequeño de  principios lógicos fundamentales.» <ref>Russell, Bertrand (1977) ''Los principios de la matemática'', Madrid: Espasa Calpe, p. 19</ref>}}
*[[John David Barrow]]: {{Cita|«En el fondo, matemáticas es el nombre que le damos al conjunto de todos los patrones e interrelaciones posibles. Algunos de esos patrones están entre formas, otros están en secuencias de números, mientras que otros son relaciones más abstractas entre estructuras. La esencia de las matemáticas radica en las relaciones entre cantidades y cualidades. Por lo tanto, son las relaciones entre los números, no los números en sí mismos, las que constituyen el foco de interés de los matemáticos modernos.» <ref name=BROTS>«At root, mathematics is the name we give to the collection of all possible patterns and interrelationships. Some of those patterns are between shapes, others are in sequences of numbers, while others are more abstract relationships between structures. The essence of mathematics lies in the relationships between quantities and qualities. Thus it is the relationships between numbers, not the numbers themselves, that form the focus of interest for modern mathematicians.» Barrow, John D. (1998) ''Impossibility. The Limits of Science and the Science of Limits'',  Oxford: Oxford University Press, p. 57  ISBN 978-01-9851-890-7. Hay versión en castellano, Barrow, John D.  (2009) ''Imposibilidad. Los límites de la ciencia y la ciencia de los límites'', Barcelona: Gedisa ISBN 978-84-7432-693-2</ref>}}

===Epistemología y controversia sobre la matemática como ciencia===

El carácter [[Epistemología|epistemológico]] y científico de la matemática ha sido ampliamente discutido. En la práctica, la matemática se emplea para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, [[Espacio métrico|relaciones geométricas]] y las [[Cálculo|magnitudes variables]]. Los [[matemático]]s buscan patrones,<ref name="BARRO" /><ref name="DEVK">{{Cita libro |apellido=Keith|nombre=Devlin|enlaceautor=Keith Devlin|título=Mathematics: The Science of Patterns.The Search for Order in Life, Mind, and the Universe|url=https://archive.org/details/mathematicsscien0000devl_q5u9|año=1994|editorial=W. H. Freeman|serie=Scientific American||idioma=inglés|isbn=978-0-7167-5047-5}}</ref><ref name="DMENA" /><ref>Steen, LA (1988). The science of patterns. Science (New York, N.Y.), 240(4852), 611–616. https://doi.org/10.1126/science.240.4852.611</ref> formulan nuevas [[conjetura]]s e intentan alcanzar la [[verdad]] matemática mediante [[Razonamiento deductivo|deducciones]] [[Rigor|rigurosas]]. Estas les permiten establecer los [[axioma]]s y las [[Definición (matemática)|definiciones]] apropiados para dicho fin.<ref name="IAST" /><ref>{{cita libro |apellido=Jourdain|nombre=Philip E. B.|año=2007|título= The Nature of Mathematics|url=https://archive.org/details/natureofmathemat0000jour|serie=Dover Books on Mathematics|editorial=Dover Publications|isbn=978-0486458854}}</ref> Algunas [[Definición|definiciones]] clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades,<ref>«... la matemática es el estudio de los números o quizás que es la ciencia de los números. Lo cierto es que esta definición tenía vigencia hace unos 2.500 años. O sea, que la información que tiene el ciudadano común respecto a una de las ciencias básicas, es equivalente… ¡¡a la de veinticinco siglos atrás!! ¿Hay algún otro ejemplo tan patético en la vida cotidiana?» Paenza, Adrián (2005) ''[https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/libro/libro_n0010_Paenza.pdf Matemática... ¿Estás ahí?]'', Buenos Aires: Siglo XXI p. 185 ISBN 987-1220-19-7</ref> aunque solo una parte de la matemática actual usa números,<ref>Muler, Derek (2023, 19 de agosto) ''Los Matemáticos NO Usan los Números Igual que Nosotros'' Canal Veritasium en español. Canal oficial de Veritasium en Youtube. @VeritasiumES. Consultado el 20 de agosto de 2023.</ref> predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.

Existe cierta discusión acerca de si los objetos matemáticos, como los números<ref>Dedekind, Richard (2014) ''¿Qué son y para qué sirven los números? Y otros escritos sobre los fundamentos de la matemática'', Madrid: Alianza ISBN 9788420678580</ref> y [[Punto (geometría)|puntos]], realmente existen o simplemente provienen de la imaginación humana. El matemático [[Benjamin Peirce]] definió las matemáticas como «la ciencia que señala las conclusiones necesarias».<ref name=PBM>«Mathematics is the science which draws necessary conclusions», Peirce, Benjamin (1882), ''[http://www.archive.org/details/linearassocalgeb00pierrich Linear Associative Algebra]'', New York: Van Nostrand, p. 1</ref> Por otro lado:

{{Cita|«cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la realidad».<ref>La cita es la respuesta de Einstein a la pregunta: «¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, estén tan admirablemente adaptadas a los objetos de la realidad?» Einstein, Albert (1921) ''Geometry and Experience'' en Einstein, Albert ''Sidelights On Relativity'', London: Methuen p. 28. Hay versión en castellano, Einstein, Albert (1921) ''Geometría y experiencia'' en Einstein, Albert (2011)  ''Mis ideas y opiniones'', Barcelona: Antoni Bosch p.232 ISBN 978-84-95348-74-6.</ref>|[[Albert Einstein]]}}

Se ha discutido el carácter científico de las matemáticas debido a que sus procedimientos y resultados poseen una firmeza e inevitabilidad inexistentes en otras disciplinas como pueden ser la [[física]], la [[química]] o la [[biología]]. Así, la matemática sería [[Tautología|tautológica]], infalible y ''[[A priori y a posteriori|a priori]]'', mientras que otras, como la [[geología]] o la [[fisiología]], serían falibles y ''a posteriori''. Son estas características lo que hace dudar de colocarse en el mismo rango que las disciplinas antes citadas pese a las afirmaciones como las de [[John Stuart Mill]] quien sostenía en 1843:

{{Cita|«En realidad, las leyes de los números son verdades físicas provenientes de la observación.»<ref>La traducción es nuestra. «...the laws of number, renders it a somewhat difficult effort of abstraction to conceive those laws as being in reality physical truths obtained by observation.» Mill, John Stuart (1882)  ''[https://ia902709.us.archive.org/23/items/asystemoflogicra27942gut/27942-pdf.pdf A System Of Logic, Ratiocinative And Inductive]'', New York: Harper & Brothers p. 756. Hay versión en castellano,  Mill, John Stuart (1917) ''Sistema de lógica inductiva y deductiva'', Madrid: Daniel Jorro Editor. Véase Capítulo XII. De la explicación de las leyes de la naturaleza. p. 305</ref>}}

Así, los matemáticos pueden descubrir nuevos procedimientos para resolver [[Integración|integrales]] o [[teorema]]s, pero se muestran incapaces de descubrir un suceso que ponga en duda el [[Teorema de Pitágoras]]<ref name="PITW">«Las escuelas del Irak antiguo enseñaban álgebra y geometría, conocían el teorema que ahora llamamos de Pitágoras ya en el año 1700 a.C. y conocían también el valor del número π. Desarrollaron además el ''sistema sexagesimal'', en el que el círculo se divide en 360 grados, la hora en 60 minutos, el minuto en 60 segundos y el día en 24 horas. Pasando del Irak antiguo al Egipto antiguo y a Grecia (que se benefició de su proximidad con estas civilizaciones, sujetos de desarrollo temprano).» Hobson, John (2006) ''Los orígenes de la civilización de Occidente'', Barcelona: Crítica p. 239 ISBN 84-8432-718-3</ref><ref>Strathern, Paul  (1999) ''Pitágoras y su teorema'', Madrid: Siglo XXI ISBN  978-84-323-1659-3</ref> o cualquier otro, como sí sucede constantemente con las [[ciencias]] de la [[naturaleza]].<ref>{{Cita web |url=http://www.march.es/conferencias/anteriores/voz.aspx?p1=2462&l=1 |título=La matemática, instrumento universal de conocimiento: de Euclides a Gödel |apellido=Sánchez Ron |nombre=José Manuel |fecha=8 de febrero de 2000 |sitioweb=Aula Abierta: La ciencia a través de su historia |editorial=Fundación Juan March |ubicación=Madrid |formato=Audio}} Consultado el 2 de agosto de 2023</ref>

{| style="border:0; margin:0;"
|[[Archivo: Teorema de Pitágoras.Pitágoras b.svg|miniatura|El [[teorema de Pitágoras]] es uno de los enunciados más conocidos y antiguos de las matemáticas.<ref name=PITW />]]
|[[Archivo: Abacus 6.png|miniatura|Un [[ábaco]], instrumento para [[Calculadora|efectuar operaciones]] [[aritmética]]s sencillas ([[suma]]s, [[resta]]s y también [[Multiplicación|multiplicaciones]]), fue muy utilizado en otros tiempos.]]
|}

La matemática puede ser entendida como ciencia; si es así debiera señalarse su objeto y su método. Sin embargo, algunos plantean que la matemática es un lenguaje formal, seguro, eficiente, aplicable al entendimiento de la naturaleza, tal como indicó [[Galileo Galilei|Galileo]]; además muchos fenómenos de carácter social, otros de carácter biológico<ref>Stewart, Ian (2011) ''Las matemáticas de la vida. Cómo biólogos y matemáticos desvelan juntos los enigmas de la naturaleza'', Barcelona: Crítica ISBN 978-84-9892-262-2</ref> o geológico, pueden ser estudiados mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales,<ref>Cornelio Recalde, Luis. Henao, Sara Marcela (2018) [https://www.redalyc.org/articulo.oa?id=149256546005 «Los obstáculos epistemológicos en el desarrollo histórico de las ecuaciones diferenciales ordinarias»], Colombia: Escuela de Ingeniería de Antioquia, ''Revista EIA'',15(29)</ref><ref> Yu Takeuchi. Ramirez Montufar, Arturo. Ruiz Salguero, Carlos J.  (1980) ''Ecuaciones diferenciales'', México: Limusa ISBN 968-18-0683-2</ref> cálculo de probabilidades o teoría de conjunto.<ref name="PICHA" /> Precisamente, el avance de la física y de la química ha exigido la invención de nuevos conceptos, instrumentos y métodos en la matemática, sobre todo en el análisis real, análisis complejo y el análisis matricial.<ref>Boyer, Carl B. (1999) ''Historia de la matemática'', Madrid, Alianza, ISBN 978-84-206-8186-3 </ref>

==Aspectos formales, metodológicos y estéticos==

===La inspiración, las matemáticas puras, aplicadas y la estética===

[[Archivo: GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|miniatura|[[Isaac Newton]] (1643-1727), comparte con [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] la autoría del desarrollo del [[cálculo]] integral y diferencial.<ref name=GHEV />]]

Es muy posible que el arte de calcular<ref>Fedriani Martel, Eugenio M.  Tenorio Villalón, Ángel F. (2004) [https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/2129133.pdf «Los sistemas de numeración maya, azteca e inca»], Colombia: Sociedad Colombiana de Matemáticas,  ''Lecturas Matemáticas''  '''25'''(2)  ISSN-e 0120-1980</ref><ref>Crump, Thomas (1993) ''The Anthropology of Numbers'', Cambridge: Cambridge University Press ISBN 0-521-38045-6. Hay versión en castellano, Crump, Thomas (1993) ''La antropología de los números'', Madrid: Alianza ISBN 84-206-274-37</ref><ref>Véase el documentado e interesante estudio de etnomatemática sobre la historia de los sistemas de numeración usados antes de la conquista del «continente americano». Barriga Puente, Francisco (2009) [https://mediateca.inah.gob.mx/repositorio/islandora/object/libro:389/datastream/OBJ/download ''*tsik: Los números mayas y la numerología entre los mayas''], México: Instituto Nacional de Antropología e Historia ISBN 978-968-03-0291-81</ref> haya sido desarrollado antes incluso que la escritura,<ref>[https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Arithmetic&oldid=17838 ''Arithmetic''] Encyclopedia of Mathematics.</ref><ref>Collete, Jean-Paul (1986) ''Historia de las matemáticas: Vol. 1'', México: Siglo XXI, p. 4 y sig. ISBN 968-23-1362-7</ref> relacionado fundamentalmente con la [[contabilidad]] y la administración de bienes, el [[comercio]], en la [[agrimensura]] y, posteriormente, en la [[astronomía]].

Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el [[físico]] [[Richard Feynman]] propuso la [[Integral de caminos (mecánica cuántica)|integral de caminos]] como fundamento de la [[mecánica cuántica]], combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física, pero todavía, no se ha logrado una definición plenamente satisfactoria en términos matemáticos. Igualmente, la [[teoría de cuerdas]], una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro [[Interacciones fundamentales|fuerzas fundamentales de la física]], sigue inspirando a las más modernas matemáticas.<ref>Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002)  ''The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus'', Oxford Science Publications, Clarendon Press</ref>

Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemáticas inspiradas en un área concreta resultan útiles en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemáticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemática ''más pura'' habitualmente tiene aplicaciones prácticas es lo que [[Eugene Paul Wigner]] ha definido como «la irrazonable eficacia de las matemáticas en las [[Ciencias Naturales]]».<ref>Wigner, Eugene Paul (1960), ''[https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/wigner.pdf The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Richard Courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University, May 11, 1959.]'',  Communications in Pure and Applied Mathematics  '''13''' (1): 1-14. https://doi.org/10.1002/cpa.3160130102</ref><ref name="MATEBIO" />

Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a la especialización de las matemáticas. Hay una importante distinción entre las [[matemáticas puras]] y las [[matemáticas aplicadas]]. La mayoría de los matemáticos que se dedican a la investigación se centran únicamente en una de estas áreas y, a veces, la elección se realiza cuando comienzan su [[licenciatura]]. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras áreas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser la [[estadística]], la [[investigación de operaciones]] o la [[informática]].

Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que prevalece un aspecto estético que define a la mayoría de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la ''elegancia'' de la matemática, su intrínseca [[estética]] y su [[belleza]] interna. En general, uno de sus aspectos más valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple y contundente [[Demostración matemática|demostración]], como la demostración de Euclides<ref name="LEVI" /> de la existencia de infinitos [[Número primo|números primos]], y en un elegante [[análisis numérico]] que acelera el cálculo, así como en la [[transformada rápida de Fourier]]. [[Godfrey Harold Hardy]] en ''[[Apología de un matemático|A Mathematician's Apology]]'' <ref>{{Cita libro|apellidos=Hardy, Godfrey Harold|título=[https://archive.org/details/AMathematiciansApology-G.h.Hardy A Mathematician's Apology]|año=1940|editorial=University of Alberta, Mathematical Sciences Society}} Hay versión en castellano, Hardy, Godfrey Harold  (2017) ''Apología de un matemático'', Madrid: Capitan Swing Libros ISBN 978-84-9474-079-4</ref> (Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras. Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excéntrico matemático [[Paul Erdős]] se refiere a este hecho como la búsqueda de pruebas de ''El Libro'' en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas.<ref>Gold, Bonnie. Simons, Roger A. (2008)  ''Proof and other Dilemmas Mathematics and Philosophy'', Washington: The Mathematical  Association of America p. 66 ISBN 978-0-88385-567-6</ref><ref>«A Paul Erdös le gustaba hablar de ''El Libro'', en el que Dios mantiene las pruebas perfectas de los teoremas matemáticos, siguiendo el dicho de G. H. Hardy de que no hay un lugar permanente para las matemáticas feas. Erdös también dijo que usted no necesita creer en Dios pero, como matemático, debe creer en ''El libro''.» La traducción es nuestra. Aigner, Martin.Ziegler, Günter M. Hofmann, Karl H. (2010) ''Proofs from the Book'', Berlin: Springer p. iv ISBN 978-3-642-00855-9 </ref> La popularidad de la [[matemática recreativa]]<ref>Paenza, Adrián (2006) [http://cms.dm.uba.ar/material/paenza/libro2/ ''Matemática... ¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades: episodio 2''], Buenos Aires: Siglo XXI ISBN 987-1220-64-2</ref><ref>Gardner, Martin (2007)  ''Matemática para divertirse. Un paseo por las diversas ramas de la matemática a través de más de 50 problemas de ingenio'', Buenos Aires: Granica ISBN 9788479010928</ref><ref>Blasco, Fernando [Coord.] (2017) ''Gardner para aficionados. Juegos de matemática recreativa'', Madrid: Real Sociedad Matemática Española ISBN 978-84-675-8289-5</ref><ref>Véase una ingeniosa y divertida forma de hacer matemática en Macho Stadler, Marta (19 de junio de 2013) [https://culturacientifica.com/2013/06/19/una-contribucion-a-la-teoria-matematica-de-la-caza-mayor/ «Una contribución a la teoría matemática de la caza mayor»], Bilbao, España: ''Cuaderno de Cultura Científica'',  Cátedra de Cultura Científica de la Universidad del País Vasco, Universidad del País Vasco. Consultado el 20 de agosto de 2023</ref> es otra señal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemáticas.

===Notación, lenguaje y rigor===

{{AP|Notación matemática}}

[[Archivo: Leonhard Euler 2.jpg|miniatura|[[Leonhard Euler]]. Probablemente el más prolífico matemático de todos los tiempos.]]

La mayor parte de la notación<ref name=LATEXSIM>[https://oeis.org/wiki/List_of_LaTeX_mathematical_symbols#Other_symbols List of LaTeX mathematical symbols] (Véase [[Anexo:Símbolos matemáticos]])</ref> matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el {{siglo|XVIII||s}}.<ref>Arellano Palma, Iván de Jesús (2019, 27 de mayo)  ''[http://www.cienciorama.unam.mx/#!titulo/605/?breve-historia-de-los-simbolos-matematicos Breve historia de los símbolos matemáticos]'', Cienciorama, DGDCUNAM, Universidad Nacional Autónoma de México. Consultado el 5 de agosto de 2023</ref><ref name=ROSIM /> Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limitaba el avance matemático. En el {{siglo|XVIII||s}}, [[Leonhard Euler|Euler]], fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notación<ref name=LATEXSIM /> moderna hace que las matemáticas sean mucho más fácil para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. La notación reduce las matemáticas al máximo, hace que algunos símbolos<ref name=ROSIM>Rojas González, Raúl (2018) ''El lenguaje de las matemáticas. Historias de sus símbolos'', México: Conacyt-Fondo de Cultura Económica ISBN 968-607-16-5971-2</ref> contengan una gran cantidad de información. Al igual que la [[notación musical]], la notación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y codifica la información que sería difícil de escribir de otra manera.

[[Archivo:Infinity symbol.svg|miniatura|izquierda|150px|El símbolo de [[infinito]] en diferentes tipografías.]]

El [[lenguaje]] matemático también puede ser difícil para los principiantes. Palabras tales como ''o'' y ''solo si'' tienen significados más precisos que en lenguaje cotidiano. Además, palabras como ''[[Conjunto abierto|abierto]]'' y ''[[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]]'' tienen significados matemáticos muy concretos. La [[jerga]] matemática, o lenguaje matemático, incluye términos técnicos como ''[[homeomorfismo]]'' o ''[[Integración|integrabilidad]]''. La razón que explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el lenguaje matemático requiere más precisión que el lenguaje cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión en el lenguaje y en la lógica como el «rigor».

El [[rigor]] es una condición indispensable que debe tener una [[demostración matemática]]. Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar [[teorema]]s erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia.<ref>Véase ''[[Demostración inválida|falsa demostración]]'' para comprobar mediante ejemplos sencillos los errores que se pueden cometer en una demostración oficial. El [[teorema de los cuatro colores]] contiene ejemplos de demostraciones falsas aceptadas accidentalmente por otros matemáticos del momento.</ref> El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de [[Isaac Newton]] los métodos empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes de las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un análisis cuidadoso y a las demostraciones oficiales del {{siglo|XIX||s}}. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador.<ref>«Algunos se quejan de que el programa de ordenador no pueda ser verificado correctamente.» En referencia a la prueba del Teorema de los Cuatro Colores utilizando un ordenador. Appel y Haken desarrollaron varias estrategias en experimentos informáticos para perfeccionar algunas ideas que eran esenciales para la prueba. La traducción es nuestra. {{cita libro |apellido=Peterson|nombre=Ivars|año=1988|título=The Mathematical Tourist: Snapshots of Modern Mathematics |editorial=Freeman|isbn= 0-7167-1953-3|página=4|}} </ref>

Un [[axioma]] se interpreta tradicionalmente como una «verdad evidente», pero esta concepción es problemática. En el ámbito formal, un axioma no es más que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco solo en el contexto de todas las fórmulas derivadas de un [[sistema axiomático]].

===La matemática como ciencia===

[[Archivo: Carl Friedrich Gauss.jpg|miniatura|[[Carl Friedrich Gauss]], apodado el «príncipe de los matemáticos», se refería a la matemática como «la reina de las ciencias».]]

[[Carl Friedrich Gauss]] se refería a la matemática como «la reina de las ciencias».<ref>Bell, Eric Temple (1944) ''La reina de las ciencias'', Buenos Aires: Losada</ref> Tanto en el latín original ''Scientiārum Regīna'', así como en [[Idioma alemán|alemán]] ''Königin der Wissenschaften'', la palabra ''ciencia'' debe ser interpretada como (campo de) conocimiento. Si se considera que la [[ciencia]] es el estudio del mundo [[físico]], entonces las matemáticas, o por lo menos las [[matemáticas puras]], no son una ciencia.

Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente [[Falsacionismo|falsables]] y, por ende, no son una ciencia según la definición de [[Karl Popper]].<ref>{{Cita libro|apellidos=Shasha, Dennis Elliot. Lazere, Cathy A.|título=Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists|año=1998}}, New York: Copernicus ISBN 0-387-98269-8</ref> No obstante, en la década de 1930 una importante labor en la lógica matemática demuestra que las matemáticas no pueden reducirse a la lógica<ref>Hofstadter, Douglas R. (1992) ''Gödel, Escher, Bach: un eterno y grácil bucle'', Barcelona:Tusquets  pp. 21-27 ISBN 84-7223-459-2</ref> y Karl Popper llegó a la conclusión de que «la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de [[física]] y [[biología]], [[Método hipotético-deductivo|hipotético-deductivas]]. Por lo tanto, las matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las ciencias naturales<ref name="MATEBIO"/> cuyas [[Hipótesis (lógica)|hipótesis]] son conjeturas, así ha sido hasta ahora».<ref>Popper, Karl (2000) «Science and criticism» en ''In search of a betterworld. Lectures and essays from thirty years'', London: Routledge p. 56 ISBN 0-415-08774-0. La traducción es nuestra.</ref> Otros pensadores, en particular [[Imre Lakatos]], han solicitado una versión de [[Falsacionismo]]<ref>Gaeta, Rodolfo. Lucero, Susana (1995) ''Imre Lakatos: el falsacionismo sofisticado'', Buenos Aires: Oficina de Publicaciones del CBC ISBN 950-29-0235-1</ref><ref>Popper, Karl (1980) ''La lógica de la investigación científica'', Madrid: Tecnos ISBN: 84-309-0711-4.</ref> para las propias matemáticas.<ref>Lakatos, Imre (2007) ''Escritos filosóficos 2. Matemáticas, ciencia y epistemología'', Madrid: Alianza ISBN 978-84-2068-722-3</ref>

Una visión alternativa es que determinados campos científicos (como la [[física teórica]]) son matemáticas con [[axiomas]] que pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, [[John Michael Ziman]], propone que la ciencia es «conocimiento público» y, por tanto, incluye a las matemáticas.<ref>«De nuevo, la naturaleza precisa del parentesco entre la Lógica y las Matemáticas es un tema de debate; pero hoy en día nadie duda de que la mayor parte de las Matemáticas es bastante sólida, en el sentido de que se puede hacer que sus teoremas se sigan con bastante rigor a partir de sus axiomas. Esto también es de ' conocimiento público' y genuinamente científico.» La traducción es nuestra. Ziman, John Michael (1968). ''Public knowledge: an essay concerning the social dimension of science'', London: Cambridge University Press p. 36. Hay versión en castellano, Ziman, John Michael (1972) ''El conocimiento público : un ensayo sobre la dimensión social de la ciencia'', México: Fondo de Cultura Económica.</ref> En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho en común con distintos campos de las [[ciencias físicas]], especialmente la exploración de las consecuencias lógicas de las hipótesis. La [[intuición]]<ref>Macho Stadler, Marta (22 de enero de 2014) [https://culturacientifica.com/2014/01/22/logica-vs-intuicion-en-la-creacion-matematica/ «Lógica vs. intuición en la creación matemática»], ''Cuaderno de Cultura Científica'', Bilbao, España: Cátedra de Cultura Científica de la Universidad del País Vasco. Consultado el 20 de agosto de 2023</ref> y la [[experimentación]] también desempeñan un papel importante en la formulación de [[conjeturas]] tanto en las matemáticas como en las otras ciencias. Las [[matemáticas experimentales]] siguen ganando representación dentro de las matemáticas. El [[cálculo]]<ref name="BOLTI" /> y simulación<ref name=ABDELD /> están jugando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción de que las matemáticas no se sirven del [[método científico]]. En 2002 [[Stephen Wolfram]] propuso, en su libro<ref>Wolfram, Stephen (2002) ''[https://www.wolframscience.com/nks/ A New Kind of Science]'',  Wolfram Media  ISBN 1579550088</ref> ''[[Un nuevo tipo de ciencia]]'', que la [[matemática computacional]] merece ser explorada empíricamente como un campo científico.

Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos matemáticos consideran que llamar a su campo ''ciencia'' es minimizar la importancia de su perfil [[estético]], además supone negar su historia dentro de las siete [[artes liberales]]. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la [[ingeniería]], que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemáticas. Otro asunto de [[debate]], que guarda cierta relación con el anterior, es si la matemática fue ''creada'' (como el arte) o ''descubierta'' (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de incumbencia de la [[Filosofía de la matemática|filosofía de las matemáticas]].

Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia. El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la [[Medalla Fields]],<ref>Riehm, Carl (August 2002) «[http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf The Early History of the Fields Medal]», en ''Notices of the AMS''. AMS 49 (7). Págs. 778–782.</ref> fue instaurado en 1936 y se concede cada cuatro años. A menudo se le considera el equivalente del [[Premio Nobel]] para la ciencia. Otros premios son el [[Anexo:Premio Wolf en Matemática|Premio Wolf en matemática]], creado en 1978, que reconoce los logros en vida de los matemáticos, y el [[Premio Abel]], otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003. Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o la solución de un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver,<ref name="HILBG">Gray, Jeremy J. (2006) ''El reto de Hilbert. Los 23 problemas que desafiaron a la matemática'', Barcelona: Crítica ISBN 978-84-8432-810-0</ref> denominada los «[[Problemas de Hilbert]]», fue recopilada en 1900 por el matemático alemán [[David Hilbert]]. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada «[[Problemas del milenio]]», se publicó en 2000. La solución de cada uno de los problemas será recompensada con 1 millón de dólares. Curiosamente, tan solo uno (la [[hipótesis de Riemann]]) aparece en ambas listas.

==Ramas de estudio de las matemáticas==

{{AP|Áreas de las matemáticas}}

La [[Sociedad Matemática Americana]] distingue unas 5.000 ramas distintas de matemática.<ref name=SMASM>{{Cita web |url=https://mathscinet.ams.org/mathscinet/msc/msc2020.html |título=2010 Mathematics Subject Classification |fechaacceso=1 de agosto de 2023 |fecha={{fecha2|21|12|2009}} |sitioweb=ams.org}}</ref> En una subdivisión escolarizada de la matemática se distinguen cinco áreas de estudio básicas: la cantidad, la estructura, el espacio, el cambio y la variabilidad que se corresponden con la [[aritmética]], el [[álgebra]], la [[geometría]], el [[cálculo]], la [[probabilidad]] y [[estadística]]. Como señalaba [[Richard Courant]]<ref>Courant, Richard. Robbins, Herbert (1979) ''¿Qué es la matemática? Una exposición elemental de sus ideas y métodos'', Madrid: Aguilar p. x ISBN 84-03-20032-3</ref> «Es posible seguir una ruta directa a partir de los elementos fundamentales hasta puntos avanzados» para que puedan divisarse las directrices de la matemática como ciencia. Además, hay ramas de las matemáticas conectadas a otros campos, por ejemplo la [[lógica]], [[teoría de conjuntos]] y las [[matemáticas aplicadas]] entre muchas otras tal como indica la Sociedad Matemática Americana.<ref name=SMASM />
<!--SECCIÓN SIN REFERENCIAS

*Los diferentes tipos de cantidades (números) han jugado un papel obvio e importante en todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura, la ciencia y la tecnología.
*El estudio de la estructura comienza al considerar las diferentes propiedades de los [[número]]s, inicialmente los [[números naturales]] y los [[números enteros]]. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el [[álgebra elemental]], y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la [[teoría de números]]. Después, la organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g. estructuras categóricas). La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del [[álgebra abstracta]]. El importante concepto de [[Vector (matemática)|vector]], generalizado a [[espacio vectorial]], es estudiado en el [[álgebra lineal]] y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.
*El estudio del espacio origina la [[geometría]], primero la [[geometría euclídea]] y luego la [[trigonometría]]. En su faceta avanzada el surgimiento de la topología da la necesaria y correcta manera de pensar acerca de las nociones de cercanía y continuidad de nuestras concepciones espaciales.
*La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las [[ciencias naturales]] y del [[Cálculo infinitesimal|cálculo]].<ref name="BOLTI" /> Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, se estudian las [[Ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]] y de sus soluciones. Los números usados para representar las cantidades continuas son los [[números reales]]. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de [[función matemática]]. Los conceptos de [[derivada]] e [[integral]], introducidos por [[Isaac Newton|Newton]] y [[Leibniz]], representan un papel clave en este estudio, y son objetos del Cálculo diferencial e integral<ref name="BOLTI" /> y, en cuanto al rigor, se ocupa el [[Análisis matemático]]. Es conveniente para muchos fines introducir función, derivación, integración en el conjunto C de los números complejos, así surgen el cálculo de variable compleja y el [[análisis complejo]]. El [[análisis funcional]] consiste en estudiar los espacios vectoriales de dimensión infinita, problemas cuya incógnita es una función.

====Cantidad====

El estudio de la cantidad comienza con los números, primero con los más familiares: números naturales y enteros, y las operaciones aritméticas entre ellos, que caracteriza la [[aritmética]]. Las propiedades más profundas acerca de los números se estudian en la [[teoría de números]], campo matemático que nos ha dado resultados populares como el [[último teorema de Fermat]]. La [[conjetura de los primos gemelos]] y la [[conjetura de Goldbach]] son algunos problemas sin solución de la teoría de números.

Como el sistema de números se desarrolla, los enteros son reconocidos como un subconjunto de los números racionales (fracciones). Estos, a su vez están contenidos en los números reales, que son usados para representar cantidades continuas. Los números reales son generalizables a los números complejos. Estos son los primeros hacia una jerarquía de números que va a incluir a los cuaterniones y octoniones. También destacamos los números transfinitos, que formalizan en concepto de infinito. Otra área de estudio es el tamaño, lo que conduce a los números cardinales y a otra concepción del infinito: los números alef, que permiten comparar el tamaño de conjuntos infinitamente grandes.-->

{{VT|Categoría:Áreas de las matemáticas}}

===Matemática pura===

{{AP|Matemáticas puras}}

====Cantidad====

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="20"
|{{Math|1, 2, 3, …}}
|{{Math|…, −2, −1, 0, 1, 2, …}}
|{{Math|−2, {{fracción|2|3}}, 1,21}}
|{{Math|−''e'', <math> \boldsymbol {\sqrt 2}</math>, 3, <math> \boldsymbol \pi </math>}}
|{{Math|2, ''i'', −2 + 3''i'',
2''e'''''<sup>''i''{{fracción|4π|3}}</sup>'''}}
|-
|[[Número natural|Números naturales]]
|[[Número entero|Enteros]]
|[[Número racional|Números racionales]]
|[[Número real|Números reales]]
|[[Número complejo|Números complejos]]
|}

====Estructura====

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
|<math>\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}</math>
|[[Archivo:Elliptic curve simple.svg|96px]]
|[[Archivo:Rubik's cube.svg|96px]]
|[[Archivo:Group diagdram D6.svg|96px]]
|[[Archivo:Lattice of the divisibility of 60.svg|96px]]
|[[Archivo:Braid-modular-group-cover.svg|96px]]
|-
|[[Combinatoria]]
|[[Teoría de números]]
|[[Teoría de grupos]]
|[[Teoría de grafos]]
|[[Teoría del orden]]
|[[Álgebra]]
|}

====Espacio====

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
|[[Archivo:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|96px]]
|[[Archivo:Sinusvåg 400px.png|96px]]
|[[Archivo:Hyperbolic triangle.svg|96px]]
|[[Archivo:Torus.png|96px]]
|[[Archivo:Mandel zoom 07 satellite.jpg|96px]]
|[[Archivo:Measure illustration.png|70px]]
|-
|[[Geometría]]
|[[Trigonometría]]
|[[Geometría diferencial]]
|[[Topología]]
|[[Fractal|Geometría fractal]]
|[[Teoría de la medida]]
|}

====Cambio====

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="20"
|[[Archivo:Integral as region under curve.svg|96px]]
|[[Archivo:Vector field.svg|96px]]
|[[Archivo:Airflow-Obstructed-Duct.png|96px]]
|[[Archivo:Limitcycle.svg|96px]]
|[[Archivo:Lorenz attractor.svg|96px]]
|[[Archivo:Conformal grid after Möbius transformation.svg|96px]]
|-
|[[Cálculo]]
|[[Cálculo vectorial]]
|[[Ecuación diferencial|Ecuaciones diferenciales]]
|[[Sistema dinámico|Sistemas dinámicos]]
|[[Teoría del caos]]
|[[Análisis complejo]]
|}

===Matemática aplicada===

{{AP|Matemáticas aplicadas}}

El concepto «matemática aplicada» se refiere a aquellos métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o resolución de problemas pertenecientes al área de las ciencias básicas o aplicadas.

Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología,<ref name="MATEBIO">Gutiérrez Sánchez, José Luis (1998) ''Matemáticas para las ciencias naturales'', México: Sociedad Matemática Mexicana ISBN 9789683635914</ref> medicina,<ref name=ALERG /> ciencias sociales,<ref name="CAPARRI" /> ingeniería, economía,<ref name=ECON>Ventosa Santaulària, Daniel (2006) [https://www.redalyc.org/pdf/416/41600305.pdf «¿Qué es la econometría?»], Guanajuato, México:Universidad de Guanajuato, ''Acta Universitaria''16(3), pp. 47-51 ISSN 0188-6266</ref> finanzas, ecología entre otras.

Sin embargo, una posible diferencia es que en matemática aplicada se procura el desarrollo de la matemática «hacia afuera», es decir su aplicación o transferencia hacia el resto de las áreas. Y en menor grado «hacia dentro» o sea, hacia el desarrollo de la matemática misma. Este último sería el caso de la matemática pura o matemática elemental.

La matemática aplicada se usa con frecuencia en distintas áreas tecnológicas para modelado,<ref>Bocco, Mónica (2010) [https://www.rua.unam.mx/portal/recursos/ficha/19340/funciones-elementales-para-construir-modelos-matematicos ''Funciones elementales para construir modelos matemáticos''], Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación, Instituto Nacional de Educación Tecnológica ISBN 978-950-00-0758-0. Consultado el 18 de diciembre de 2023.</ref><ref name=ARNOLS>Para una mayor comprensión del tema de modelado, véase también Arnol'd, V. I. (1998) [https://www.mathnet.ru/eng/rm/v53/i1/p229 «On teaching mathematics»], ''Uspekhi Matematicheskikh Nauk'', 53:1(319), pp. 229–234; ''Russian Mathematical Surveys'', 53:(1) (1998), pp. 229–236 https://doi.org/10.4213/rm5</ref> simulación<ref name=ABDELD>Abdel Masih, Samira. Colombo, Hugo. Lagomarsino, Fernando. Papalia, Dardo Adolfo Esteban. Sciancalepore, Rodolfo  ''[http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/46376 Arduino y Mathematica: simulaciones más allá del proceso de enseñanza y aprendizaje]'', XVII Workshop de Investigadores en Ciencias de la Computación (República Argentina, Salta, 2015), Red de Universidades con Carreras en Informática (RedUNCI)</ref> y optimización de procesos o fenómenos,<ref>Vigueras Campuzano, Antonio (2016) [https://repositorio.upct.es/bitstream/handle/10317/5377/isbn9788460878674.pdf ''Cálculo Numérico: Teoría, problemas y algunos programas con Maxima''], Cartagena, España:Universidad Politécnica de Cartagena ISBN 978-84-608-7867-4</ref> como el túnel de viento o el diseño de experimentos.

====Estadística y ciencias de la decisión====

La estadística es la rama de la matemática que estudia la variabilidad, así como el proceso aleatorio que la genera siguiendo leyes de probabilidad.<ref>Apezteguía, María Carmen. Ferrario,Julieta (Coordinadoras) (2019) ''[https://libros.unlp.edu.ar/index.php/unlp/catalog/download/1105/1090/3576-1 Probabilidades y estadística: análisis de datos]'', La Plata: Facultad de Ciencias Exactas. Universidad Nacional de La Plata, República Argentina ISBN 978-950-34-1735-5</ref> Es un conocimiento fundamental para la investigación científica en algunos campos de la tecnología, como informática e ingeniería, y de las [[ciencias fácticas]],<ref name=GIANE>Gianella, Alicia E. (1995) [https://miel.unlam.edu.ar/data/contenido/2403-B/2-Clasificacion-de-las-Ciencias.pdf ''Introducción a la Epistemología y a la Metodología de la Ciencia''] La Plata: República Argentina: Editorial Universidad Nacional de La Plata, pp. 39-128</ref> como economía,<ref name=ECON /> genética, sociología,<ref>Maldonado, Carlos E. (2008), [https://www.scielo.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0717-554X2008000300001  «Complejidad y ciencias sociales desde el aporte de las matemáticas cualitativas»], Santiago de Chile, Chile: ''Cinta de moebio'', 33, pp.153-170 https://dx.doi.org/10.4067/S0717-554X2008000300001</ref> psicología,<ref name=MEDIN /> medicina,<ref name=ALERG /> contabilidad, etc. En ocasiones, estas áreas de conocimiento necesitan aplicar técnicas estadísticas durante su proceso de investigación factual, con el fin de obtener nuevos conocimientos basados en la experimentación y en la observación, precisando para ello recolectar, organizar, presentar y analizar un conjunto de datos numéricos y, a partir de ellos y de un marco teórico, hacer las inferencias apropiadas.<ref name=ALERG>Zurita Cruz, Jessie Nallely. Márquez González, Horacio. Miranda-Novales, Guadalupe.  Villasís-Keever, Miguel Ángel. (2018) [https://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S2448-91902018000200178 «Estudios experimentales: diseños de investigación para la evaluación de intervenciones en la clínica»], ''Revista alergia'', México, 65(2), pp. 178-186. https://doi.org/10.29262/ram.v65i2.376</ref><ref name=MEDIN>Villatoro, J. A. Resendiz, E. Bustos, M. N. Mujica, A. R. Medina-Mora, María Elena.  Cañas Martínez, Vianey. Sayuri Soto Hernández, Itzia. Fleiz Bautista, Clara. Romero Martínez, Martín. (2018) [https://www.scielo.org.mx/pdf/sm/v41n4/0185-3325-sm-41-04-157-es.pdf «Magnitud y extensión del juego patológico en la población mexicana»], ''Salud Mental'', 41(4), pp. 157-167. https://doi.org/10.17711/SM.0185-3325.2018.024</ref><ref name="Ocaña-Riola">Ocaña-Riola, R. (2017) [https://www.ine.es/ss/Satellite?blobcol=urldata&blobheader=application%2Fpdf&blobheadername1=Content-Disposition&blobheadervalue1=attachment%3B+filename%3Dart_194_4.pdf&blobkey=urldata&blobtable=MungoBlobs&blobwhere=617%2F199%2Fart_194_4%2C0.pdf&ssbinary=true «La necesidad de convertir la Estadística en profesión regulada»]. ''Estadística Española'' '''59'''(194): 193-212.</ref><ref>Echeburúa, Enrique, Salaberría, Karmele, & Cruz-Sáez, Marisol. (2014) [https://www.scielo.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-48082014000100003 «Nuevos Retos en el Tratamiento del Juego Patológico»], ''Terapia psicológica'', 32(1), pp. 31-40. https://dx.doi.org/10.4067/S0718-48082014000100003</ref><ref>«En todo caso, muchas personas creen poder justificar la existencia de esta [[Constante macabra|constante ''macabra'']], en un primer momento, en su relación con la [[Función gaussiana|curva de Gauss]]. Ellas sostienen que: [ ... ] es normal que las notas de un control estén repartidas siguiendo una ley de Gauss y, por lo tanto, que cierto porcentaje de alumnos (correspondientes a la parte situada a la izquierda de la recta vertical representada con puntos) tenga una nota inferior a 10 sobre 20.» Antibi, André (2005) ''[https://repositorio.pucp.edu.pe/index/handle/123456789/181737 La constante macabra: o cómo se desalienta a generaciones de alumnos]'', Lima: Pontificia Universidad Católica del Perú p. 27 ISBN 9972-42-62-1</ref>

Se consagra en forma directa al gran problema universal de cómo tomar decisiones inteligentes y acertadas en condiciones de incertidumbre. La estadística descriptiva sirve como fuente de instrucción en los niveles básicos de estadística aplicada a las ciencias fácticas<ref name=GIANE /> y, por tanto, los conceptos manejados y las técnicas empleadas suelen ser presentadas de la forma más simple y clara posibles.

====Matemática computacional====

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:0 auto" cellspacing="20"
|[[Archivo:Gravitation space source.png|96px]]
|[[Archivo:BernoullisLawDerivationDiagram.svg|96px]]
|[[Archivo:Composite trapezoidal rule illustration small.svg|96px]]
|[[Archivo:Maximum boxed.png|96px]]
|[[Archivo:Two red dice 01.svg|96px]]
|[[Archivo:Oldfaithful3.png|96px]]
|[[Archivo:Caesar3.svg|96px]]
|-
|[[Física matemática]]
|[[Mecánica de fluidos|Dinámica de fluidos]]
|[[Análisis numérico]]
|[[Optimización (matemática)|Optimización]]
|[[Teoría de la probabilidad]]
|[[Estadística]]
|[[Criptografía]]
|-
|[[Archivo:Cilindro comp.jpg|96px]]
|[[Archivo:Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png|96px]]
|[[Archivo:Arbitrary-gametree-solved.svg|96px]]
|[[Archivo:Signal transduction pathways.svg|96px]]
|[[Archivo:Ch4-structure.png|96px]]
|[[Archivo:GDP PPP Per Capita IMF 2008.png|96px]]
|[[Archivo:Simple feedback control loop2.svg|96px]]
|-
|[[Geometría computacional]]
|[[Matemática financiera|Matemáticas financieras]]
|[[Teoría de juegos]]
|[[Biología matemática]]
|[[Química matemática]]
|[[Economía matemática]]
|[[Teoría de control]]
|}

==Véase también==

*[[Belleza matemática]]
*[[Filosofía de las matemáticas]]
*[[Fundamentos de las matemáticas]]
*[[Matemáticas y arquitectura]]
*[[Anexo:Matemáticos importantes|Matemáticos importantes]]
*[[Modelo matemático]]
*[[Olimpiada Internacional de Matemática]]
*[[Wikipedia:Clasificación Unesco de 6 dígitos/12 Matemática|Clasificación UNESCO de las matemáticas]]
*[[Anexo:Cronología de la matemática]]
*{{Portal|Matemática}}

==Referencias==

{{Listaref|2}}

==Bibliografía==
*[[Eric Temple Bell|Bell, Eric Temple]] (1944) ''La reina de las ciencias'', Buenos Aires: Losada.
*[[Albert Einstein|Einstein, Albert]] (1922) ''[http://www.ibiblio.org/ebooks/Einstein/Sidelights/Einstein_Sidelights.pdf Sidelights on relativity]'' London: Methuen
*Jourdain, Philip E. B., «[http://books.google.com/books?id=UQqLHyd8K0IC&pg=PA4&resnum=2 The Nature of Mathematics]», en ''The World of Mathematics''. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-41153-8.
*Peterson, Ivars. (2001). ''Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics''. Owl Books. ISBN 0-8050-7159-8.
*[[Benjamin Peirce|Peirce, Benjamin]] (1882). ''[http://www.archive.org/details/linearassocalgeb00pierrich Linear Associative Algebra]''. Van Nostrand.
*[[Karl Popper|Popper, Karl]] (1980) ''La lógica de la investigación científica'', Madrid: Tecnos ISBN: 84-309-0711-4.
*Riehm, Carl (August 2002). «[http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf The Early History of the Fields Medal]», en ''Notices of the AMS''. AMS 49 (7). Págs. 778–782.
*[[Wolfgang Sartorius von Waltershausen|Waltershausen, Wolfgang Sartorius von]] (1856, repr. 1965). ''Gauss zum Gedächtniss''. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8.
*[[Wolfgang Sartorius von Waltershausen|Waltershausen, Wolfgang Sartorius von]] (1856) ''[https://archive.org/details/gauss00waltgoog/mode/2up Carl Friedrich Gauss. A Memorial]'', Leipzig: S. Hirzel.
*Ziman, John Michael (1968) ''Public knowledge: an essay concerning the social dimension of science'', London: Cambridge University Press. Hay versión en castellano, Ziman, John Michael (1972) ''El conocimiento público : un ensayo sobre la dimensión social de la ciencia'', México:	Fondo de Cultura Económica.

==Enlaces externos==

*{{Wikcionario|Matemática}}
*{{Wikisource|Categoría:Matemáticas|Matemáticas}}

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Matemáticas]]