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# Nyergesújfalu
Nyergesújfalu (en alemán: Neudorf) es una ciudad del condado de Komárom-Esztergom en Hungría.

## Geografía
La ciudad está situada en la subregión de Esztergom, en la orilla derecha del río Danubio. Tiene una distancia de 16 km de Esztergom. Los municipios más cercanos: Lábatlan (oeste, 1 km), Bajót (sur, 5 km ), Tát (este, 7 km ). Es accesible de la carretera no. 10 y de la línea de ferrocarril de Esztergom–Almásfüzitő.

## Historia
Nyergesújfalu y sus alrededores han sido habitados desde la antigüedad. En sus confínes se han encontrado artefactos romanos y de la Edad del Bronce. Aquí se encontra una colonia romana y castrum llamado Crumerum, y aquí pasó una vía importante que conectó Brigetio con Aquincum.
Antes de la invasión mongola el nombre de la aglomeración era Nyergedszeg y luego Újfalu (Nova villa). El nombre Nyergedszeg se refiere a los silleros (en húngaro: nyergesek, nyeregkészítők), servidores en la Edad de Árpád.
El pueblo se hizo famoso por la cría de caballos y por sus arrieros también. Los lugareños, conocidos por todo el país, llamados ‘campesinos rápidos' condujeron con sus caballos pequeños solo en tres horas a Pest.
La aldea era un lugar fortificado en el siglo XV, y fue habitado durante la ocupación turca. Sin embargo, durante las guerras de liberación se destruyó, sólo la oficina de correos quedó habitada.
Durante la guerra de liberación de Rákóczi, la esposa de Rákóczi, Sarolta Amália, princesa de Hessen-Wanfried y sus partidarios liberaron a János Bottyán capturado por el alceide imperial de Esztergom. Luego Bottyán se convirtió uno de los partidarios más fieles de Rákóczi.
Entre Nyergesújfalu, situado en la orilla derecha del Danubio, y Karva, en la  opuesta, había un paso importante. Para guardar este paso, los Kuruc restauraron y fortificaron un castro situado en el Sánc-hegy (literalmente Colina de Castro, al oeste del pueblo, en la orilla del Danubio) que ya había destruido. En el mismo sitio una vez estuvo el castrum romano, y según los registros un ingeniero militar francés que dirigió el trabajo del fortalecimiento se encontró varios artefactos romanos y monedas romanas. En 1707, sin embargo, por la traición de la guardia alemana, soldados imperiales lo capturaron y destruyeron. Hoy en día todavía se ve la sección inicial del túnel del castro en un orificio y por las esquinas el castro de forma de cuña.
Después de la edad turca y de los Kuruc el pueblo comenzó a desarrollarse. En el Danubio funcionaron 11 molinos de agua, luego en sus confínes carbón fue extraído, y comenzó una industrialización a gran escala. El presidente del Gremio de artesanos de Nyergesújfalu fue por un tiempo Károly Kernstok, un pintor (1873-1940) que pasó muchos años en este pueblo. Su colega y discípulo János Nyergesi vivió aquí también. Otro pintor, Gyula Derkovits también visitó la colonia de arte de Nyergesújfalu.
La periferia de la ciudad hasta el sur es muy rica en belleza natural. Desde la Colina del Castro la vista es maravillosa al río y a sus alrededores.
En el pasado varias plantas funcionaban aquí, como la fábrica Eternit (produciendo asbesto-cemento), la Viscosa (fibras sintéticas, esponjas, papel celofán), una fábrica de ladrillo, molino, cooperativa pesquera, etc.
Se le concedió el estatus de ciudad en 1989.
- Datos: Q854949
- Multimedia: Nyergesújfalu / Q854949

1. ↑  Worldpostalcodes.org,código postal n.º 2536.

title: Nyergesújfalu

wikitext:
{{Ficha de entidad subnacional
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'''Nyergesújfalu''' (en [[Idioma alemán|alemán]]: ''Neudorf'') es una ciudad del condado de [[Komárom-Esztergom]] en [[Hungría]].

== Geografía ==

La ciudad está situada en la subregión de [[Esztergom]], en la orilla derecha del río [[Danubio]]. Tiene una distancia de 16 km de Esztergom. Los municipios más cercanos: Lábatlan (oeste, 1 km), Bajót (sur, 5 km ), Tát (este, 7 km ). Es accesible de la carretera no. 10 y de la línea de ferrocarril de Esztergom–Almásfüzitő.

== Historia ==

Nyergesújfalu y sus alrededores han sido habitados desde la antigüedad. En sus confínes se han encontrado artefactos romanos y de la Edad del Bronce. Aquí se encontra una colonia romana y castrum llamado Crumerum, y aquí pasó una vía importante que conectó Brigetio con [[Aquincum]].

Antes de la invasión mongola el nombre de la aglomeración era Nyergedszeg y luego Újfalu (''Nova villa''). El nombre Nyergedszeg se refiere a los silleros (en húngaro: ''nyergesek, nyeregkészítők''), servidores en la Edad de [[Árpád]].

El pueblo se hizo famoso por la cría de caballos y por sus arrieros también. Los lugareños, conocidos por todo el país, llamados ‘campesinos rápidos' condujeron con sus caballos pequeños solo en tres horas a [[Pest]].

La aldea era un lugar fortificado en el {{siglo|XV||s}}, y fue habitado durante la ocupación turca. Sin embargo, durante las guerras de liberación se destruyó, sólo la oficina de correos quedó habitada.

Durante la [[guerra de liberación de Rákóczi]], la esposa de Rákóczi, Sarolta Amália, princesa de Hessen-Wanfried y sus partidarios liberaron a János Bottyán capturado por el alceide imperial de Esztergom. Luego Bottyán se convirtió uno de los partidarios más fieles de Rákóczi.

Entre Nyergesújfalu, situado en la orilla derecha del Danubio, y Karva, en la  opuesta, había un paso importante. Para guardar este paso, los Kuruc restauraron y fortificaron un [[castro (fortificación)|castro]] situado en el Sánc-hegy (literalmente ''Colina de Castro'', al oeste del pueblo, en la orilla del Danubio) que ya había destruido. En el mismo sitio una vez estuvo el castrum romano, y según los registros un ingeniero militar francés que dirigió el trabajo del fortalecimiento se encontró varios artefactos romanos y monedas romanas. En 1707, sin embargo, por la traición de la guardia alemana, soldados imperiales lo capturaron y destruyeron. Hoy en día todavía se ve la sección inicial del túnel del castro en un orificio y por las esquinas el castro de forma de cuña.

Después de la edad turca y de los Kuruc el pueblo comenzó a desarrollarse. En el Danubio funcionaron 11 molinos de agua, luego en sus confínes carbón fue extraído, y comenzó una industrialización a gran escala. El presidente del Gremio de artesanos de Nyergesújfalu fue por un tiempo Károly Kernstok, un pintor (1873-1940) que pasó muchos años en este pueblo. Su colega y discípulo János Nyergesi vivió aquí también. Otro pintor, Gyula Derkovits también visitó la colonia de arte de Nyergesújfalu.

La periferia de la ciudad hasta el sur es muy rica en belleza natural. Desde la Colina del Castro la vista es maravillosa al río y a sus alrededores.

En el pasado varias plantas funcionaban aquí, como la fábrica Eternit (produciendo asbesto-cemento), la Viscosa (fibras sintéticas, esponjas, papel celofán), una fábrica de ladrillo, molino, cooperativa pesquera, etc.

Se le concedió el estatus de ciudad en 1989.

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Localidades del condado de Komárom-Esztergom]]
[[Categoría:Localidades a orillas del río Danubio de Hungría]]

title: Nyergesújfalu

· Bandera: · Escudo

Idioma oficial: Húngaro

Entidad: Ciudad

• País: Hungría

• Condado: Komárom-Esztergom

Alcalde: Magdolna Mihelik (Fidesz)

Huso horario: Hora de Europa Central


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# Eunice Betances
 Ramona Eunice Betances Soto (Santo Domingo, 13 de septiembre de 1956-Santo Domingo, 24 de octubre de 2014) fue una cantante dominicana, conocida por haber formado parte de la agrupación femenina Las Chicas del Can, y corista de la merenguera Miriam Cruz.

## Nacimiento e inicios en el canto
Eunice Betances nació el 13 de septiembre de 1956 en Santo Domingo. Fue la segunda de tres hermanos y sus padres fueron don Alcides Betances y doña Altagracia Soto. Al nacer, su madre la deja al cuidado de su abuela, Manuela Espinoza, pues nació con bajo peso y en manos de su propia madre, tendría mejores cuidados. Su infancia se desarrolló con normalidad entre la escuela y la iglesia, pues llegó a pertenecer al coro. En el año de 1970, su tía Magaly Soto decide llevarse a su madre a Nueva York, lo que hizo que Eunice retornara a vivir con sus padres y hermanos.
Cuando cursaba el bachillerato en el Instituto de Señoritas Salomé Ureña, logra asistir a una graduación en el antiguo Hotel Jaragua donde amenizaba la orquesta del maestro Rafael Solano. En ese evento se animó a cantar por primera vez ante el público el tema “Ay Noche”, dejando a los asistente cautivados con su dulce voz.
En 1974 se realiza la segunda edición del Festival de la Voz Dominicana realizado por el maestro Solano donde llega a participar cantando un tema de Yolandita Monge llamado “Yo no te olvidaré”, quedando en segundo lugar. Tiempo después, el maestro Solano la invita a formar parte de su orquesta junto a Verónica Medina.

## Inicios en Las Chicas del Can
En 1983, Wilfrido Vargas le propone formar parte de Las Chicas del Can. De esta manera, junto a Belkys Concepción,Miriam Cruz, Verónica Medina y Teresa Domínguez en el frente lograron la internacionalización de la orquesta y popularizaron canciones como la "La Africana", "Juana la Cubana", "El Negro no Puede", "Las Pequeñas Cosas", "Pegando Fuego", "Estúpido", "Besos Callejeros", "Ta' Pillao", "Sukaina", "Lambada" y "Youlin" llevando el merengue a países como Estados Unidos, Holanda, Alemania, Bélgica, Suiza, España, Francia, Italia, Japón y varias naciones de América del Sur.

## Miriam Cruz y las Chicas
En 1992, Miriam decide dar un paso al frente y forma su propio proyecto musical como Miriam Cruz y las Chicas junto a la mayor parte de las integrantes de Las Chicas del Can. De esta manera junto a Miriam Cruz y Teresa Domínguez en el frente, realizan una extensa gira por el mundo entero, situándose en las primeras posiciones de las carteleras nacionales e internacionales como una de las orquestas femeninas más importantes a nivel mundial.
Tras el matrimonio de Miriam con Jorge "Tuto" Taveras y el nacimiento de sus hijos, hacen una breve pausa musical retornando con fuerza en octubre del 2006 con el tour promocional “Aquí estoy”, despertando inmediatamente el interés de países como Venezuela, Colombia, Perú, Ecuador, Puerto Rico y Estados Unidos.

## Fallecimiento
En el año 2013, un accidente ocurrido luego de un baile cerca a Gurabo, obliga a Eunice realizarse unos chequeos médicos, donde finalmente le detectan cáncer de mama, enfermedad con la que luchó por un año y medio. Murió el 24 de octubre de 2014 tras una metástasis cerebral.

wikiname: eswiki

title: Eunice Betances

in_language: es

wikitext:
{{Ficha de persona
|nombre          = Eunice Betances
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|tamaño de imagen          = 270px
|pie de imagen       = Eunice Betances en 2012.
|nombre de nacimiento  = Ramona Eunice Betances Soto
|fecha de nacimiento  = 13 de septiembre de 1956
|fecha de fallecimiento  = 24 de octubre de 2014<br />({{edad|13|9|1956|24|10|2014}})
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''' Ramona Eunice Betances Soto''' ([[Santo Domingo]], 13 de septiembre de 1956-Santo Domingo, 24 de octubre de 2014) fue una cantante [[dominicana]], conocida por haber formado parte de la agrupación femenina [[Las Chicas del Can]], y corista de la merenguera [[Miriam Cruz]].<ref>{{cita web |url = http://www.listindiario.com/entretenimiento/2014/10/24/342723/Fallece-Eunice-Betances-corista-de-Miriam-Cruz-y-ex-de-Las-Chican|título = Fallece Eunice Betances corista de Miriam Cruz y ex de Las Chican|autor =Listin Diario |fecha = 24 de octubre de 2014|fechaacceso = 28 de octubre de 2014}}</ref>

== Nacimiento e inicios en el canto ==
Eunice Betances nació el 13 de septiembre de 1956 en Santo Domingo. Fue la segunda de tres hermanos y sus padres fueron don Alcides Betances y doña Altagracia Soto. Al nacer, su madre la deja al cuidado de su abuela, Manuela Espinoza, pues nació con bajo peso y en manos de su propia madre, tendría mejores cuidados. Su infancia se desarrolló con normalidad entre la escuela y la iglesia, pues llegó a pertenecer al coro. En el año de 1970, su tía Magaly Soto decide llevarse a su madre a [[Nueva York]], lo que hizo que Eunice retornara a vivir con sus padres y hermanos.

Cuando cursaba el bachillerato en el [[Instituto de Señoritas Salomé Ureña]], logra asistir a una graduación en el antiguo Hotel Jaragua donde amenizaba la orquesta del maestro [[Rafael Solano]]. En ese evento se animó a cantar por primera vez ante el público el tema “''Ay Noche''”, dejando a los asistente cautivados con su dulce voz.

En 1974 se realiza la segunda edición del Festival de la Voz Dominicana realizado por el maestro Solano donde llega a participar cantando un tema de [[Yolandita Monge]] llamado “''Yo no te olvidaré''”, quedando en segundo lugar. Tiempo después, el maestro Solano la invita a formar parte de su orquesta junto a [[Verónica Medina]].

== Inicios en Las Chicas del Can ==
En 1983, [[Wilfrido Vargas]] le propone formar parte de Las Chicas del Can. De esta manera, junto a [[Belkys Concepción]],[[Miriam Cruz]], [[Verónica Medina]] y [[Teresa Domínguez]] en el frente lograron la internacionalización de la orquesta y popularizaron canciones como la "''La Africana''", "''Juana la Cubana''", "''El Negro no Puede''", "''Las Pequeñas Cosas''", "''Pegando Fuego''", "''Estúpido''", "''Besos Callejeros''", "''Ta' Pillao''", "''Sukaina''", "''Lambada''" y "''Youlin''" llevando el merengue a países como [[Estados Unidos]], [[Holanda]], [[Alemania]], [[Bélgica]], [[Suiza]], España, Francia, Italia, Japón y varias naciones de [[América del Sur]].

== Miriam Cruz y las Chicas ==
En 1992, Miriam decide dar un paso al frente y forma su propio proyecto musical como [[Miriam Cruz]] y las Chicas junto a la mayor parte de las integrantes de [[Las Chicas del Can]]. De esta manera junto a [[Miriam Cruz]] y Teresa Domínguez en el frente, realizan una extensa gira por el mundo entero, situándose en las primeras posiciones de las carteleras nacionales e internacionales como una de las orquestas femeninas más importantes a nivel mundial.

Tras el matrimonio de Miriam con Jorge "Tuto" Taveras y el nacimiento de sus hijos, hacen una breve pausa musical retornando con fuerza en octubre del 2006 con el tour promocional “''Aquí estoy''”, despertando inmediatamente el interés de países como [[Venezuela]], [[Colombia]], [[Perú]], [[Ecuador]], [[Puerto Rico]] y [[Estados Unidos]].

== Fallecimiento ==
En el año 2013, un accidente ocurrido luego de un baile cerca a [[Gurabo (República Dominicana)|Gurabo]], obliga a Eunice realizarse unos chequeos médicos, donde finalmente le detectan [[cáncer de mama]], enfermedad con la que luchó por un año y medio. Murió el 24 de octubre de 2014 tras una [[metástasis]] cerebral.<ref>{{cita web |url = http://www.diariolibre.com/revista/2014/10/24/i852591_fallece-merenguera-eunice-betances-exintegrante-las-chicas-del-can.html|título = Fallece merenguera Eunice Betances |autor = Diario Libre |fecha = 24 de octubre de 2014|fechaacceso = 28 de octubre de 2014 }}</ref><ref>{{cita web|url = http://www.ultimasnoticias.com.ve/noticias/chevere/espectaculos/murio-eunice-betances-exvocalista-de-las-chicas-de.aspx|título = Murió Eunice Betances|autor = Ultimas Noticias|fecha = 27 de octubre de 2014|fechaacceso = 28 de octubre de 2014|urlarchivo = https://web.archive.org/web/20141028055554/http://www.ultimasnoticias.com.ve/noticias/chevere/espectaculos/murio-eunice-betances-exvocalista-de-las-chicas-de.aspx#|fechaarchivo = 28 de octubre de 2014}}</ref>

== Referencias ==
{{listaref}}

{{NF|1956|2014|Betances, Eunice}}
[[Categoría:Cantantes de la República Dominicana]]

[[Categoría:Cantantes de merengue de República Dominicana]]

[[Categoría:Cantantes femeninas de la República Dominicana]]
[[Categoría:Fallecidos por cáncer de mama]]
[[Categoría:Fallecidos por cáncer en República Dominicana]]

title: Información personal

Nombre de nacimiento: Ramona Eunice Betances Soto

Nacimiento: 13 de septiembre de 1956 · Santiago de los Caballeros (República Dominicana)

Fallecimiento: 24 de octubre de 2014 · (58 años) · Santo Domingo (República Dominicana)

Causa de muerte: Cáncer de mama

Nacionalidad: Dominicana

title: Información profesional

Ocupación: Cantante

Géneros: Merengue, tropical

Instrumento: Voz

Artistas relacionados: Las Chicas del Can, Miriam Cruz, Wilfrido Vargas, Milly Quezada, Olga Tanon, Juan Luis Guerra


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# Teoría de grafos
La teoría de grafos o teoría de gráficas es una rama de las matemáticas, con aplicaciones en las ciencias de la computación y otras ciencias, que estudia las propiedades de los grafos. Se han denominado grafos para distinguir del concepto homónimo de gráficas, aunque también se les llama así.
Formalmente, un grafo {\displaystyle G=(V,E)} es una pareja ordenada en la que {\displaystyle V} es un conjunto no vacío de vértices y {\displaystyle E} es un conjunto de aristas, donde {\displaystyle E} consta de pares no ordenados de vértices, tales como {\displaystyle \left\{x,y\right\}\in E}, y entonces se dice que {\displaystyle x} e {\displaystyle y} son adyacentes. En el grafo, esta arista no dirigida se representa mediante un segmento de recta que une a dichos vértices. Si el grafo es dirigido se le llama dígrafo, se denota {\displaystyle D=(V,E)} y se representa con una flecha que va de {\displaystyle x} a {\displaystyle y}, entonces el par {\displaystyle (x,y)} es un par ordenado y el hecho de que la arista sea dirigida se denota como {\displaystyle (x,y)\in E}.
La teoría de grafos tiene sus fundamentos en la matemática discreta y de la matemática aplicada. Esta teoría requiere de diferentes conceptos de diversas áreas como combinatoria, álgebra, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética y topología. Actualmente ha tenido mayor influencia en el campo de la informática, las ciencias de la computación y telecomunicaciones. Debido a la gran cantidad de aplicaciones en la optimización de recorridos, procesos, flujos, algoritmos de búsquedas, entre otros, se generó toda una nueva teoría que se conoce como análisis de redes.

## Historia
El origen de la teoría de grafos se remonta al siglo XVIII con el problema de los puentes de Königsberg, el cual consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes del río Pregel (54°42′12″N 20°30′56″E / 54.70333, 20.51556) en la ciudad de Königsberg, actualmente Kaliningrado, de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. El trabajo de Leonhard Euler sobre el problema titulado Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (La solución de un problema relativo a la geometría de la posición) en 1736, es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la topología.
Luego, en 1847, Gustav Kirchhoff utilizó la teoría de grafos para el análisis de redes eléctricas publicando sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos, conocidas como leyes de Kirchhoff, considerado la primera aplicación de la teoría de grafos a un problema de ingeniería.
En 1852, Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores, el cual afirma que es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.
En 1857, Arthur Cayley estudió y resolvió el problema de enumeración de los isómeros, compuestos químicos con idéntica composición (fórmula) pero diferente estructura molecular. Para ello representó cada compuesto, en este caso hidrocarburos saturados CnH2n+2, mediante un grafo árbol donde los vértices representan átomos y las aristas la existencia de enlaces químicos.
El término «grafo», proviene de la expresión inglesa graphic notation («notación gráfica»), usada por primera vez por Edward Frankland y posteriormente adoptada por Alexander Crum Brown en 1884 y que hacía referencia a la representación gráfica de los enlaces entre los átomos de una molécula.
El primer libro sobre teoría de grafos fue escrito por Dénes Kőnig y publicado en 1936.
A fines de los años 1940 e inicios de los años 1950, junto con los primeros estudios formales de cliques o camarillas en sociomatrices y de centralidad en sociogramas, se introdujo la teoría de grafos como herramienta clave para la sociometría y el análisis de redes sociales.

## Composición de un grafo
- Aristas: Son las líneas que unen los vértices de un grafo.
  - Aristas adyacentes: Dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vértice.
  - Aristas paralelas: Dos aristas son paralelas si los vértices iniciales y finales son el mismo vértice
  - Aristas cíclicas: Aristas que parten de un vértice para entrar en el mismo.
  - Cruce: Punto donde dos aristas se cruzan.

- Vértices: Los vértices, también llamados "nodos", son los elementos que forman un grafo. Cada uno lleva asociada una valencia característica según la situación, que se corresponde con la cantidad de aristas que confluyen en dicho vértice.

- Camino: Se denomina camino a un conjunto de vértices interconectados por aristas. Dos vértices están conectados si hay un camino entre ellos.

## Tipos de grafos
- Grafo simple: O simplemente grafo es aquel que acepta una sola arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo.
- Multigrafo o pseudografo: Es el que acepta más de una arista entre dos vértices. Estas aristas se llaman múltiples o lazos (loops en inglés). Los grafos simples son una subclase de esta categoría de grafos. También se les llama grafos general.
- Grafo dirigido: grafo orientado o dígrafo. Son grafos en los cuales se ha añadido una orientación a las aristas, representada gráficamente por una flecha.
- Grafo etiquetado: Grafos en los cuales se ha añadido un peso a las aristas (número entero generalmente) o un etiquetado a los vértices.
- Grafo aleatorio: Grafo cuyas aristas están asociadas a una probabilidad.
- Hipergrafo: Grafos en los cuales las aristas tienen más de dos extremos, es decir, las aristas son incidentes a 3 o más vértices.
- Grafo infinito: Grafos con conjunto de vértices y aristas de cardinal infinito.
- Grafo plano: Los grafos planos son aquellos cuyos vértices y aristas pueden ser representados sin ninguna intersección entre ellos. Podemos establecer que un grafo es plano gracias al Teorema de Kuratowski.
- Grafo regular: Un grafo es regular cuando todos sus vértices tienen el mismo grado de valencia.
- Grafo dual: El grafo dual {\displaystyle G'} de un grafo {\displaystyle G} (plano), es aquel que tiene un vértice por cada región de {\displaystyle G}, y una arista por cada arista en {\displaystyle G} uniendo dos regiones vecinas.

## Representación de grafos
Existen diferentes formas de representar un grafo (simple), además de la geométrica y muchos métodos para almacenarlos en una computadora. La estructura de datos usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en grafos dispersos porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

### Estructura de lista
- Lista de incidencia - Las aristas son representadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de las aristas.[12]

- Lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra.

- Lista de grados - También llamada secuencia de grados o sucesión gráfica de un grafo no-dirigido es una secuencia de números, que corresponde a los grados de los vértices del grafo.

### Estructuras matriciales
- Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño {\displaystyle n^{2}}, donde {\displaystyle n} es el número de vértices. Si hay una arista entre un vértice {\displaystyle x} y un vértice {\displaystyle y}, entonces el elemento {\displaystyle m_{x,y}} es {\displaystyle 1}, de lo contrario, es {\displaystyle 0}.

- Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de {\displaystyle A} (aristas) por {\displaystyle V} (vértices), donde [vértice, arista] contiene la información de la arista ({\displaystyle 1} significa conectado y {\displaystyle 0} no conectado).

| Grafo {\displaystyle G=(V,A)} | Conjuntos                                                                                | Matriz de adyacencia                                                                                | Matriz de incidencia                                                                                | Secuencia de grados           | Lista de adyacencia                                                                                |
| ----------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ----------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
|                               | {\displaystyle {\begin{aligned}V=\{&1,2,3,4,5,6\}\\A=\{&\{1,1\},\{1,2\},\{1,5\},\{2,3\},\\&\{2,5\},\{3,4\},\{4,5\},\{4,6\}\}\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\\\end{pmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1&1\\0&0&1&0&1&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}} | {\displaystyle (4,3,2,3,3,1)} | \| vértice \| lista de adyacencia \| \| ----------------- \| --------------------- \| \| {\displaystyle 1} \| {\displaystyle 1,2,5} \| \| {\displaystyle 2} \| {\displaystyle 1,3,5} \| \| {\displaystyle 3} \| {\displaystyle 2,4} \| \| {\displaystyle 4} \| {\displaystyle 3,5,6} \| \| {\displaystyle 5} \| {\displaystyle 1,2,4} \| \| {\displaystyle 6} \| {\displaystyle 4} \| |
| vértice                       | lista de adyacencia                                                                                |                                                                                |                                                                                |                               |                                                                                |
| {\displaystyle 1}             | {\displaystyle 1,2,5}                                                                                |                                                                                |                                                                                |                               |                                                                                |
| {\displaystyle 2}             | {\displaystyle 1,3,5}                                                                                |                                                                                |                                                                                |                               |                                                                                |
| {\displaystyle 3}             | {\displaystyle 2,4}                                                                                |                                                                                |                                                                                |                               |                                                                                |
| {\displaystyle 4}             | {\displaystyle 3,5,6}                                                                                |                                                                                |                                                                                |                               |                                                                                |
| {\displaystyle 5}             | {\displaystyle 1,2,4}                                                                                |                                                                                |                                                                                |                               |                                                                                |
| {\displaystyle 6}             | {\displaystyle 4}                                                                                |                                                                                |                                                                                |                               |                                                                                |

## Problemas de teoría de grafos

### Subgrafos, subgrafos inducidos y menores
Un problema común, denominado problema de isomorfismo de subgrafos, es encontrar un grafo fijo como subgrafo de un grafo dado. Una razón para estar interesado en esta cuestión es que muchas propiedades de grafos son heredadas de subgrafos, lo que significa que un grafo tiene una propiedad si y solo si todos sus subgrafos a su vez la poseen. Desafortunadamente, encontrar subgrafos máximos de un cierto tipo suele ser un problema NP-completo. Por ejemplo:
- Encontrar el subgrafo completo más grande se llama problema de la clique.

Un problema similar es encontrar un subgrafo inducido en un grafo dado. De nuevo, algunas propiedades importantes son heredadas con respecto a subgrafos inducidos, lo que significa que un grafo tiene una propiedad si y solo si todos los subgrafos inducidos la tienen. Encontrar subgrafos inducidos máximos de un determinado tipo es, de nuevo, un problema NP-completo. Como ejemplo:
- Encontrar el subgrafo inducido más grande sin bordes o conjunto independiente se denomina problema del conjunto independiente.

Otro nuevo problema es el problema del menor contenido, que es encontrar un grafo fijo como menor de un grafo dado. Un menor o subcontración de un grafo es cualquier grafo obtenido tomando un subgrafo y contrayendo algunos bordes. Muchas propiedades de grafos son heredadas de menores, lo que significa que un grafo la tiene solo si todos sus menores la tienen también. Por ejemplo, el teorema de Wagner estipula que:
- Un grafo es plano si contiene como menor ni el grafo bipartito completo ni el grafo completo.

Un problema de las mismas características es el problema de la subdivisión del contenido. Una subdivisión o homeomorfismo de un grafo es cualquier grafo obtenido subdividiendo algunos bordes. La subdivisión del contenido está relacionada con las propiedades de los grafos tales como la "planeza". Por ejemplo, el teorema de Kuratowski establece que:
- Un grafo es plano si contiene una subdivisión ni el grafo bipartito ni el grafo completo.

Otro problema en la subdivisión de contenido es la conjetura de Kelmans-Seymour:
- Cada grafo de cinco vértices conectados que no es plano contiene una subdivisión del grafo completo de cinco vértices.

Otro problemas de clases tienen que ver con el alcance para la cual varias especies y generalizaciones de grafos están determinadas por sus subgrafos de puntos eliminados. Por ejemplo, la conjetura de la reconstrucción.

### Ciclos y caminos hamiltonianos
Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial. Un ciclo hamiltoniano tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).
Por ejemplo, en un museo grande, lo idóneo sería recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano en el grafo que representa el museo (los vértices son las salas, y las aristas los corredores o puertas entre ellas).
Se habla también de camino hamiltoniano si no se impone regresar al punto de partida, como en un museo con una única puerta de entrada. Por ejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma: es un camino hamiltoniano. Un ejemplo de ciclo hamiltoniano es el grafo del dodecaedro.
Hoy en día, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo hamiltoniano en tiempo polinómico, siendo la búsqueda por fuerza bruta de todos los posibles caminos u otros métodos excesivamente costosos. Existen, sin embargo, métodos para descartar la existencia de ciclos o caminos hamiltonianos en grafos pequeños.
El problema de determinar la existencia de ciclos hamiltonianos, entra en el conjunto de los NP-completos.

### Grafos planos
Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten, se dice que es plano.
Un problema muy conocido es el siguiente: Se dibujan tres casas y tres pozos. Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos. Como no se llevan bien en absoluto, no quieren cruzarse jamás. ¿Es posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces?
Cualquier disposición de las casas, los pozos y los caminos implica la presencia de al menos un cruce.
Sea {\displaystyle K_{n}} el grafo completo con {\displaystyle n} vértices, {\displaystyle K_{n,p}} es el grafo bipartito de {\displaystyle n} y {\displaystyle p} vértices.
El juego anterior equivale a descubrir si el grafo bipartito completo {\displaystyle K_{3,3}} es plano, es decir, si se puede dibujar en un plano sin que haya cruces, siendo la respuesta que no. En general, puede determinarse que un grafo no es plano, si en su diseño puede encontrase una estructura análoga (conocida como menor) a {\displaystyle K_{5}} o a {\displaystyle K_{3,3}}.
Establecer qué grafos son planos no es obvio, y es un problema que tiene que ver con topología.

### Coloración de grafos
Si {\displaystyle G=(V,E)} es un grafo no dirigido, una coloración propia de {\displaystyle G}, ocurre cuando coloreamos los vértices de {\displaystyle G} de modo que si {\displaystyle {a,b}} es una arista en {\displaystyle G} entonces {\displaystyle a} y {\displaystyle b} tienen diferentes colores (por lo tanto, los vértices adyacentes tienen colores diferentes). El número mínimo de colores necesarios para una coloración propia de {\displaystyle G} es el número cromático de {\displaystyle G} y se escribe como {\displaystyle C(G)}. Sea {\displaystyle G} un grafo no dirigido sea {\displaystyle \lambda } el número de colores disponibles para la coloración propia de los vértices de {\displaystyle G}. Nuestro objetivo es encontrar una función polinomial {\displaystyle P(G,\lambda )}, en la variable {\displaystyle \lambda }, llamada polinomio cromático de {\displaystyle G}, que nos indique el número de coloraciones propias diferentes de los vértices de {\displaystyle G}, usando un máximo de {\displaystyle \lambda } colores.
Descomposición de polinomios cromáticos. Si {\displaystyle G=(V,E)} es un grafo conexo y {\displaystyle e\in E}, entonces {\displaystyle P(G,\lambda )=P(G+e,\lambda )+P(G/e,\lambda )}, donde {\displaystyle G/e} es el grafo se obtiene por contracción de aristas.
Para cualquier grafo {\displaystyle G}, el término constante en {\displaystyle P(G,\lambda )} es {\displaystyle 0}.
Sea {\displaystyle G=(V,E)\land |E|=0}, la suma de los coeficientes de {\displaystyle P(G,\lambda )} es {\displaystyle 0}.
Sea {\displaystyle G=(V,E)} tal que {\displaystyle \{a,b\}\in E\land \{a,b\}=e\not \in E}, escribimos {\displaystyle G+e} para el grafo que se obtiene de {\displaystyle G} al añadir la arista {\displaystyle e=\{a,b\}}. Al identificar los vértices a y b en {\displaystyle G}, obtenemos el subgrafo {\displaystyle G++\,e} de {\displaystyle G}.

#### Teorema de los cuatro colores
Este problema famoso relativo a los grafos trata acerca de la cantidad de colores que son necesarios para dibujar un mapa político, con la condición obvia que dos países adyacentes no puedan tener el mismo color. Se supone que los países son de un solo pedazo, y que el mundo es esférico o plano. El mapa siguiente muestra que tres colores no bastan: si se empieza por el país central {\displaystyle a} y se esfuerza uno en utilizar el menor número de colores, entonces en la corona alrededor de {\displaystyle a} alternan dos colores. Llegando al país {\displaystyle h} se tiene que introducir un cuarto color. Lo mismo sucede en {\displaystyle i} si se emplea el mismo método. Sin embargo, si el mapa tiene forma de toroide, el teorema afirma que con cuatro colores no siempre es posible realizar la coloración con las características requeridas.
La forma precisa de cada país no importa; lo único relevante es saber qué país toca a qué otro. Estos datos están incluidos en el grafo donde los vértices son los países y las aristas conectan los que justamente son adyacentes. Entonces la cuestión equivale a atribuir a cada vértice un color distinto del de sus vecinos.
Hemos visto que tres colores no son suficientes, y demostrar que con cinco siempre se llega, es bastante fácil. Pero el teorema de los cuatro colores no es nada obvio.
Prueba de ello es que se han tenido que emplear ordenadores para acabar la demostración (se ha hecho un programa que permitió verificar una multitud de casos, lo que ahorró muchísimo tiempo a los matemáticos). Fue la primera vez que la comunidad matemática aceptó una demostración asistida por ordenador, lo que creó en su día una cierta polémica dentro de dicha comunidad.

## Caracterización de grafos

### Grafo simple
Un grafo es simple si a lo sumo existe una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos.
Un grafo que no es simple se denomina multigrafo.
En la Teoría de grafos el concepto de grafo simple es muy recurrido en la definición de otros entes, como los de grafos completos, grafos bipartidos completos, árboles y otros más.
Las definiciones aportan una formalización lógica a hechos abstractos o naturales, muchas veces ya definidos de forma intuitiva. En este caso la imagen de grafo simple es fácil de reconocer ante otro que no lo es; bien por la presencia de lazos o de más de una arista entre los pares de vértices.

### Grafos conexos
Un grafo conexo es aquel en que cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.
Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.
Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda en anchura (BFS) o Búsqueda en profundidad (DFS).
En términos matemáticos la propiedad de un grafo (fuertemente) conexo permite establecer una relación de equivalencia para sus vértices, la cual lleva a una partición de estos en "componentes (fuertemente) conexos", es decir, porciones del grafo, que son (fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.

### Grafos completos
Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los une.
El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente {\displaystyle K}, siendo {\displaystyle K_{n}} el grafo completo de {\displaystyle n} vértices.
Un {\displaystyle K_{n}}, es decir, grafo completo de {\displaystyle n} vértices tiene exactamente {\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}} aristas.
La representación gráfica de los {\displaystyle K_{n}} como los vértices de un polígono regular da cuenta de su peculiar estructura.

### Grafos bipartitos
Un grafo G es bipartito si puede expresar como {\displaystyle G=\{V_{1}\cup V_{2},A\}} (es decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las siguientes condiciones:
- {\displaystyle V_{1}} y {\displaystyle V_{2}} son disjuntos y no vacíos.
- Cada arista de {\displaystyle A} une un vértice de {\displaystyle V_{1}} con uno de {\displaystyle V_{2}}.
- No existen aristas uniendo dos elementos de {\displaystyle V_{1}}; análogamente para {\displaystyle V_{2}}.

Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de elementos diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y rompecabezas en los que debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de la columna B.

### Homeomorfismo de grafos
Dos grafos {\displaystyle G_{1}} y {\displaystyle G_{2}} son homeomorfos si ambos pueden obtenerse a partir del mismo grafo con una sucesión de subdivisiones elementales de aristas.

### Árboles
Un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos, se llama un árbol. En un grafo con n vértices, los árboles tienen exactamente n - 1 aristas, y hay nn-2 árboles posibles. Su importancia radica en que los árboles son grafos que conectan todos los vértices utilizando el menor número posible de aristas. Un importante campo de aplicación de su estudio se encuentra en el análisis filogenético, el de la filiación de entidades que derivan unas de otras en un proceso evolutivo, que se aplica sobre todo a la averiguación del parentesco entre especies; aunque se ha usado también, por ejemplo, en el estudio del parentesco entre lenguas.

### Grafos ponderados o etiquetados
En muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un número específico, llamado valuación, ponderación o coste según el contexto, y se obtiene así un grafo ponderado. Formalmente, es un grafo con una función v: A → R+.
Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar n ciudades conectadas entre sí por carreteras; su interés previsible será minimizar la distancia recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo correspondiente tendrá como vértices las ciudades, como aristas las carreteras y la valuación será la distancia entre ellas.

### Diámetro
En un grafo, la distancia entre dos vértices es el menor número de aristas de un recorrido entre ellos. El diámetro, en una figura como un grafo, es la mayor distancia entre todos los pares de puntos de la misma.
El diámetro de los {\displaystyle K_{n}} es 1, y el de los {\displaystyle K_{n,p}} es 2. Un diámetro infinito puede significar que el grafo tiene una infinidad de vértices o simplemente que no es conexo. También se puede considerar el diámetro promedio, como el promedio de las distancias entre dos vértices.
Una aplicación de este concepto es la hipótesis conocida como los seis grados de separación, que plantea que, si cada uno de los habitantes de la Tierra se representa por un vértice y dos personas están conectadas por una arista si se conocen personalmente, la distancia entre dos personas escogidas al azar entre todos los habitantes de la Tierra es de seis aristas o menos.
Internet permite de ver desde otro enfoque la idea del diámetro: considérese por ejemplo que si se descartan los sitios que no tienen enlaces, y se escogen dos páginas web al azar, cabría preguntarse en cuántos clics se puede pasar del primer sitio al segundo. Si se supone que de cualquier sitio que enlace con otros sitios se puede llegar a cualquier otro, entonces las mayor cantidad de clics necesarios para llegar de cualquier web a otra sería el "diámetro" de la Red, vista como un grafo cuyos vértices son los sitios, y cuyas aristas son los enlaces entre los sitios.
Este concepto refleja mejor la complejidad de una red que el número de sus elementos.

## Aplicaciones
La teoría de grafos es clave en la sociometría y el análisis de redes sociales. También se ha utilizado en varias áreas de las ciencias sociales, tales como la antropología, psicología social, comunicación, negocios, investigación de organizaciones y geografía.
Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas como pueden ser el Dibujo computacional o en áreas de Ingeniería.
Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que se pueden obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd.
Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como técnica de revisión y evaluación de programas (PERT) en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.
Una importante aplicación de la teoría de grafos es en el campo de la informática, ya que ha servido para la resolución de importantes y complejos algoritmos. Un claro ejemplo es el Algoritmo de Dijkstra, utilizado para la determinación del camino más corto en el recorrido de un grafo con determinados pesos en sus vértices.
Dentro de este campo, un grafo es considerado un tipo de dato abstracto TAD.
El científico estadounidense Donald Knuth estableció los grafos planos como base de determinados estudios y descubrimientos realizados por él.
Por otra parte, destaca el Algoritmo de Kruskal, el cual nos permite buscar un subconjunto de aristas que incluye todos los vértices, estableciendo como mínimo el valor de las aristas.
Se emplea en problemas de control de producción, para proyectar redes de ordenadores, para diseñar módulos electrónicos modernos y proyectar sistemas físicos con parámetros localizados (mecánicos, acústicos y eléctricos).
Se usa para la solución de problemas de genética y problemas de automatización de la proyección (SAPR). Apoyo matemático de los sistemas modernos para el procesamiento de la información. Acude en las investigaciones nucleares (técnica de diagramas de Feynman).
Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa un hábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos de los animales o las migraciones. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat.
- Mapas conceptuales
- Plano de estaciones del metro.
- Plano de autopistas.
- Circuito eléctrico
- Sociograma de una red social
- Topología de red de computadores
- Organigramas
- Isomeros
- Arquitectura de redes de telefonía móvil
- Draws de eliminación directa (ej: tenis)

## Algoritmos importantes
- Algoritmo de búsqueda en anchura (BFS)
- Algoritmo de búsqueda en profundidad (DFS)
- Algoritmo de búsqueda A*
- Algoritmo del vecino más cercano
- Ordenación topológica de un grafo
- Algoritmo de cálculo de los componentes fuertemente conexos de un grafo
- Algoritmo de Dijkstra
- Algoritmo de Bellman-Ford
- Algoritmo de Prim
- Algoritmo de Ford-Fulkerson
- Algoritmo de Kruskal
- Algoritmo de Floyd-Warshall

title: Teoría de grafos

wikitext:
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 | texto    = Los ''grafos'' son el objeto de estudio de esta rama de la matemática. Arriba el [[grafo pez]], en medio el [[grafo arco]] y abajo el [[grafo dodecaedro]].
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La '''teoría de grafos''' o '''teoría de gráficas''' es una rama de las [[matemáticas]], con aplicaciones en las [[ciencias de la computación]] y otras ciencias, que estudia las propiedades de los [[grafo]]s. Se han denominado grafos para distinguir del concepto homónimo de [[gráfica]]s, aunque también se les llama así.

Formalmente, un grafo <math>G=(V,E)</math> es una pareja ordenada en la que <math>V</math> es un conjunto no vacío de [[Vértice (geometría)|vértices]] y <math>E</math> es un conjunto de [[Arista (geometría)|aristas]], donde <math>E</math> consta de pares no ordenados de vértices, tales como <math>\left\{ x, y \right\} \in E</math>, y entonces se dice que <math>x</math> e <math>y</math> son adyacentes. En el grafo, esta arista no dirigida se representa mediante un segmento de recta que une a dichos vértices. Si el grafo es dirigido se le llama ''dígrafo'', se denota <math>D=(V,E)</math> y se representa con una flecha que va de <math>x</math> a <math>y</math>, entonces el par <math>(x,y)</math> es un par ordenado y el hecho de que la arista sea dirigida se denota como <math>(x,y)\in E</math>.<ref>{{Cita libro|apellidos=Godsil, Chris and Royle, Gordon|nombre=|enlaceautor=|título=Algebraic Graph Theory|url=|fechaacceso=|año=2001|editorial=Springer|isbn=|editor=|ubicación=New York|página=|idioma=|capítulo=}}</ref>

La teoría de grafos tiene sus fundamentos en la [[matemática discreta]] y de la [[matemática aplicada]]. Esta teoría requiere de diferentes conceptos de diversas áreas como [[combinatoria]], [[álgebra]], [[probabilidad]], [[geometría]] de polígonos, [[aritmética]] y [[topología]]. Actualmente ha tenido mayor influencia en el campo de la [[informática]], las ciencias de la computación y [[Telecomunicación|telecomunicaciones]]. Debido a la gran cantidad de aplicaciones en la optimización de recorridos, procesos, flujos, algoritmos de búsquedas, entre otros, se generó toda una nueva teoría que se conoce como [[análisis de redes]].<ref>CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Analisis de Redes1: https://www.youtube.com/watch?v=oy8YxTshZhI&list=UUQbp2yA-gyew7E_tzgOI36A & Analisis de Redes2: https://www.youtube.com/watch?v=1abtP36Wx24&list=UUQbp2yA-gyew7E_tzgOI36A; Curso completo en línea: http://www.martinhilbert.net/CCSSCS.html</ref>

== Historia ==
[[Archivo:7 bridges.svg|thumb|Los 7 puentes del río Pregel en Königsberg.]]
El origen de la teoría de grafos se remonta al {{siglo|XVIII||s}} con el [[problema de los puentes de Königsberg]], el cual consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes del [[Río Pregolya|río Pregel]] ({{coord|54|42|12|N|20|30|56|E|region:RU_source:nlwiki}}) en la ciudad de [[Königsberg]], actualmente [[Kaliningrado]], de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. El trabajo de [[Leonhard Euler]] sobre el problema titulado ''Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis''<ref>{{Cita publicación |autor = Euler, L. |título = Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis |año = 1736 |revista = Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae |volumen = 8 |número = |id = 128-140 |url = http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E053.pdf}}</ref> (''La solución de un problema relativo a la geometría de la posición'') en 1736, es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la [[topología]].

Luego, en 1847, [[Gustav Kirchhoff]] utilizó la teoría de grafos para el análisis de [[Red eléctrica|redes eléctricas]] publicando sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos, conocidas como [[leyes de Kirchhoff]], considerado la primera aplicación de la teoría de grafos a un problema de [[ingeniería]].

En 1852, [[Francis Guthrie]] planteó el [[Teorema de los cuatro colores|problema de los cuatro colores]], el cual afirma que es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por [[Kenneth Appel]] y [[Wolfgang Haken]] en 1976, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los [[matemáticos]] definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.

En 1857, [[Arthur Cayley]] estudió y resolvió el problema de enumeración de los [[isómeros]], compuestos químicos con idéntica composición ([[fórmula química|fórmula]]) pero diferente [[estructura molecular]]. Para ello representó cada [[Compuesto químico|compuesto]], en este caso [[hidrocarburos saturados]] CnH2n+2, mediante un grafo [[Árbol (teoría de grafos)|árbol]] donde los vértices representan [[átomo]]s y las aristas la existencia de [[enlaces químicos]].

El término ''«grafo»'', proviene de la expresión inglesa ''graphic notation'' («notación gráfica»), usada por primera vez por [[Edward Frankland]]<ref>http://booklens.com/l-r-foulds/graph-theory-applications pag 7</ref> y posteriormente adoptada por [[Alexander Crum Brown]] en 1884 y que hacía referencia a la representación gráfica de los enlaces entre los átomos de una [[molécula]].

El primer libro sobre teoría de grafos fue escrito por [[Dénes Kőnig]] y publicado en 1936.<ref>{{citation|last1=Tutte|first1=W.T.|authorlink=W. T. Tutte|title=Graph Theory|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2001|isbn=978-0-521-79489-3|page=30|url=http://books.google.com/books?id=uTGhooU37h4C&pg=PA30}}.</ref>

A fines de los años 1940 e inicios de los años 1950, junto con los primeros estudios formales de [[clique]]s o camarillas en [[matriz de adyacencia|sociomatrices]]<ref>{{cita publicación |apellido=Festinger |nombre=L. |año=1949 |título=The Analysis of Sociograms Using Matrix Algebra |url=https://archive.org/details/sim_human-relations_1949_2_2/page/153 |publicación=Human Relations |volumen=2 |páginas=153-158}}</ref><ref>{{cita publicación |apellido=Chabot |nombre=J. |año=1950 |título=A Simplified Example of the Use of Matrix Multiplication for the Analysis of Sociometric Data |publicación=Sociometry |volumen=13 |páginas=131-140}}</ref> y de [[centralidad]] en [[sociograma]]s,<ref>{{cita publicación |apellido=Bavelas |nombre=A. |año=1948 |título=A Mathematical Model for Group Structure |publicación=Human Organizations |volumen=7 |páginas=16-30}}</ref><ref>{{cita publicación |apellido=Bavelas |nombre=A. |año=1950 |título=Communication Patterns in Task-Oriented Groups |url=https://archive.org/details/sim_journal-of-the-acoustical-society-of-america_1950-03_22_2/page/271 |publicación=Journal of the Acoustical Society of America |volumen=22 |páginas=271-282}}</ref><ref>{{cita publicación |apellido=Leavitt |nombre=H. J. |año=1951 |título=Some Effects of Communication Patterns on Group Performance |publicación=Journal of Abnormal and Social Psychology |volumen=46 |páginas=38-50}}</ref> se introdujo la teoría de grafos como herramienta clave para la [[sociometría]] y el [[análisis de redes sociales]].<ref name=WF13.c3>{{harvsp|Wasserman|Faust|2013|loc=«Notaciones para los datos de redes sociales», pp. 99-120.}}</ref>

== Composición de un grafo ==
* '''Aristas''': Son las líneas que unen los vértices de un grafo.
** '''Aristas adyacentes''': Dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vértice.
** '''Aristas paralelas''': Dos aristas son paralelas si los vértices iniciales y finales son el mismo vértice
**'''Aristas cíclicas''': Aristas que parten de un vértice para entrar en el mismo.
** '''Cruce''': Punto donde dos aristas se cruzan.

* '''Vértices''': Los vértices, también llamados "nodos", son los elementos que forman un grafo. Cada uno lleva asociada una [[Valencia (química)|valencia]] característica según la situación, que se corresponde con la cantidad de aristas que confluyen en dicho vértice.

* '''Camino''': Se denomina camino a un conjunto de vértices interconectados por aristas. Dos vértices están conectados si hay un camino entre ellos.

== Tipos de grafos ==
* '''Grafo simple:''' O simplemente ''grafo'' es aquel que acepta una sola arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo.
* '''[[Multigrafo]]''' o '''pseudografo:''' Es el que acepta más de una arista entre dos vértices. Estas aristas se llaman ''múltiples'' o ''lazos'' (''loops'' en [[idioma inglés|inglés]]). Los ''grafos simples'' son una subclase de esta categoría de grafos. También se les llama ''grafos general''.
* '''[[Grafo dirigido]]: grafo orientado o dígrafo'''. Son grafos en los cuales se ha añadido una ''orientación'' a las aristas, representada gráficamente por una flecha.
* '''[[Grafo etiquetado]]:''' Grafos en los cuales se ha añadido un ''peso'' a las aristas ([[número entero]] generalmente) o un ''etiquetado'' a los vértices.
* '''[[Grafo aleatorio]]:''' Grafo cuyas aristas están asociadas a una ''[[probabilidad]]''.
* '''[[Hipergrafo]]:''' Grafos en los cuales las aristas tienen más de dos extremos, es decir, las aristas son incidentes a 3 o más vértices.
* '''[[Grafo infinito]]:''' Grafos con conjunto de vértices y aristas de ''[[Infinito|cardinal infinito]]''.
* '''[[Grafo plano]]:''' Los grafos planos son aquellos cuyos vértices y aristas pueden ser representados sin ninguna intersección entre ellos. Podemos establecer que un grafo es plano gracias al [[Teorema de Kuratowski]].
* '''[[Grafo regular]]:''' Un grafo es regular cuando todos sus vértices tienen el mismo grado de valencia.
* '''[[Grafo dual]]:''' El grafo dual <math>G'</math> de un grafo <math>G</math> (plano), es aquel que tiene un vértice por cada región de <math>G</math>, y una arista por cada arista en <math>G</math> uniendo dos regiones vecinas.
== Representación de grafos ==
{{AP|Grafo (estructura de datos)}}
Existen diferentes formas de representar un grafo (simple), además de la geométrica y muchos métodos para almacenarlos en una computadora. La [[estructura de datos]] usada depende de las características del grafo y el [[algoritmo]] usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en [[grafo disperso|grafos dispersos]] porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

=== Estructura de lista ===
* '''[[Lista de incidencia]]''' - Las aristas son representadas con un [[vector]] de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de las aristas.<ref>[//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Incidence_list_2.svg/500px-Incidence_list_2.svg.png Ejemplo de una lista de incidencia]</ref>

* '''[[Lista de adyacencia]]''' - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra.

* '''[[Secuencia de grados|Lista de grados]]''' - También llamada ''secuencia de grados'' o ''sucesión gráfica'' de un grafo no-dirigido es una secuencia de números, que corresponde a los grados de los vértices del grafo.

=== Estructuras matriciales ===
* '''[[Matriz de adyacencia]]''' - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño <math>n^2</math>, donde <math>n</math> es el número de vértices. Si hay una arista entre un vértice <math>x</math> y un vértice <math>y</math>, entonces el elemento <math>m_{x, y}</math> es <math>1</math>, de lo contrario, es <math>0</math>.

* '''[[Matriz de incidencia]]''' - El grafo está representado por una [[matriz (matemática)|matriz]] de <math>A</math> (aristas) por <math>V</math> (vértices), donde [vértice, arista] contiene la información de la arista (<math>1</math> significa conectado y <math>0</math> no conectado).

{| class="wikitable"
! Grafo <math>G=(V,A)</math>
! Conjuntos
! Matriz de adyacencia
! Matriz de incidencia
!  [[Grado (teoría de grafos)|Secuencia de grados]]
! Lista de adyacencia
|-
|[[Archivo:6n-graph2.svg|150px]]
| <math>\begin{align}
V=\{&1,2,3,4,5,6\}\\
A=\{&\{1,1\},\{1,2\},\{1,5\},\{2,3\},\\
&\{2,5\},\{3,4\},\{4,5\},\{4,6\}\}
\end{align}</math>
|<math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}</math>
|<math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>
|<math>(4,3,2,3,3,1)</math>
|
{| class="wikitable"
|+
!vértice
!lista de adyacencia
|-
|<math>1</math>
|<math>1,2,5</math>
|-
|<math>2</math>
|<math>1,3,5</math>
|-
|<math>3</math>
|<math>2,4</math>
|-
|<math>4</math>
|<math>3,5,6</math>
|-
|<math>5</math>
|<math>1,2,4</math>
|-
|<math>6</math>
|<math>4</math>
|}
|}

== Problemas de teoría de grafos ==

=== Subgrafos, subgrafos inducidos y menores ===
Un problema común, denominado [[problema de isomorfismo de subgrafos]], es encontrar un grafo fijo como subgrafo de un grafo dado. Una razón para estar interesado en esta cuestión es que muchas propiedades de grafos son heredadas de subgrafos, lo que significa que un grafo tiene una propiedad si y solo si todos sus subgrafos a su vez la poseen. Desafortunadamente, encontrar subgrafos máximos de un cierto tipo suele ser un problema [[NP-completo]]. Por ejemplo:
* Encontrar el subgrafo completo más grande se llama [[problema de la clique]].

Un problema similar es encontrar un [[subgrafo inducido]] en un grafo dado. De nuevo, algunas propiedades importantes son heredadas con respecto a subgrafos inducidos, lo que significa que un grafo tiene una propiedad si y solo si todos los subgrafos inducidos la tienen. Encontrar subgrafos inducidos máximos de un determinado tipo es, de nuevo, un problema [[NP-completo]]. Como ejemplo:
* Encontrar el subgrafo inducido más grande sin bordes o [[conjunto independiente]] se denomina [[problema del conjunto independiente]].

Otro nuevo problema es el problema del menor contenido, que es encontrar un grafo fijo como menor de un grafo dado. Un menor o subcontración de un grafo es cualquier grafo obtenido tomando un subgrafo y contrayendo algunos bordes. Muchas propiedades de grafos son heredadas de menores, lo que significa que un grafo la tiene solo si todos sus menores la tienen también. Por ejemplo, el teorema de Wagner estipula que:
* Un grafo es plano si contiene como menor ni el [[grafo bipartito completo]] ni el grafo completo.

Un problema de las mismas características es el problema de la subdivisión del contenido. Una subdivisión o [[homeomorfismo]] de un grafo es cualquier grafo obtenido subdividiendo algunos bordes. La subdivisión del contenido está relacionada con las propiedades de los grafos tales como la "planeza". Por ejemplo, el [[teorema de Kuratowski]] establece que:
* Un grafo es plano si contiene una subdivisión ni el grafo bipartito ni el grafo completo.
Otro problema en la subdivisión de contenido es la [[conjetura de Kelmans-Seymour]]:
* Cada grafo de cinco vértices conectados que no es plano contiene una subdivisión del grafo completo de cinco vértices.
Otro problemas de clases tienen que ver con el alcance para la cual varias especies y generalizaciones de grafos están determinadas por sus subgrafos de puntos eliminados. Por ejemplo, la conjetura de la reconstrucción.

=== Ciclos y caminos hamiltonianos ===
{{AP|Ciclo hamiltoniano}}
[[Archivo:Hamiltonian path.svg|thumb|200px|Ejemplo de un ciclo hamiltoniano.]]
Un '''ciclo''' es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial. Un '''ciclo hamiltoniano''' tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).

Por ejemplo, en un museo grande, lo idóneo sería recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano en el grafo que representa el museo (los vértices son las salas, y las aristas los corredores o puertas entre ellas).

Se habla también de [[camino hamiltoniano]] si no se impone regresar al punto de partida, como en un museo con una única puerta de entrada. Por ejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma: es un camino hamiltoniano. Un ejemplo de ciclo hamiltoniano es el grafo del [[dodecaedro]].

Hoy en día, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo hamiltoniano en [[tiempo polinómico]], siendo la búsqueda por fuerza bruta de todos los posibles caminos u otros métodos excesivamente costosos. Existen, sin embargo, métodos para descartar la existencia de ciclos o caminos hamiltonianos en grafos pequeños.

El problema de determinar la existencia de ciclos hamiltonianos, entra en el conjunto de los [[NP-completo]]s.

[[Archivo:Grafo ejemplo 6.png|thumb|200px|Un grafo es '''plano''' si se puede dibujar sin cruces de aristas. El ''problema de las tres casas y los tres pozos'' tiene solución sobre el [[Toro (matemáticas)|toro]], pero no en el plano.]]

=== Grafos planos ===
{{AP|Grafo plano}}
Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten, se dice que es plano.

Un problema muy conocido es el siguiente: Se dibujan tres casas y tres pozos. Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos. Como no se llevan bien en absoluto, no quieren cruzarse jamás. ¿Es posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces?

Cualquier disposición de las casas, los pozos y los caminos implica la presencia de al menos un cruce.

Sea <math>K_n</math> el [[grafo completo]] con <math>n</math> vértices, <math>K_{n,p}</math> es el [[grafo bipartito]] de <math>n</math> y <math>p</math> vértices.

El juego anterior equivale a descubrir si el [[grafo bipartito completo]] <math>K_{3,3}</math> es '''plano''', es decir, si se puede dibujar en un plano sin que haya cruces, siendo la respuesta que no. En general, puede determinarse que un grafo ''no'' es plano, si en su diseño puede encontrase una estructura análoga (conocida como ''menor'') a <math>K_5</math> o a <math>K_{3,3}</math>.

Establecer qué grafos son planos no es obvio, y es un problema que tiene que ver con [[topología]].

=== Coloración de grafos ===
{{AP|Coloración de grafos}}
Si <math>G=(V,E)</math> es un grafo no dirigido, una coloración propia de <math>G</math>, ocurre cuando coloreamos los vértices de <math>G</math> de modo que si <math>{a,b}</math> es una arista en <math>G</math> entonces <math>a</math> y <math>b</math> tienen diferentes colores (por lo tanto, los vértices adyacentes tienen colores diferentes). El número mínimo de colores necesarios para una coloración propia de <math>G</math> es el número cromático de <math>G</math> y se escribe como <math>C(G)</math>. Sea <math>G</math> un grafo no dirigido sea <math>\lambda</math> el número de colores disponibles para la coloración propia de los vértices de <math>G</math>. Nuestro objetivo es encontrar una función polinomial <math>P(G,\lambda)</math>, en la variable <math>\lambda</math>, llamada polinomio cromático de <math>G</math>, que nos indique el número de coloraciones propias diferentes de los vértices de <math>G</math>, usando un máximo de <math>\lambda</math> colores.

Descomposición de polinomios cromáticos. Si <math>G=(V,E)</math> es un grafo conexo y <math>e\in E</math>, entonces <math>P(G,\lambda)=P(G+e,\lambda)+P(G/e,\lambda)</math>, donde <math>G/e</math> es el grafo se obtiene por [[contracción de aristas]].

Para cualquier grafo <math>G</math>, el término constante en <math>P(G,\lambda)</math> es <math>0</math>.

Sea <math>G=(V,E)\land |E|=0</math>, la suma de los coeficientes de <math>P(G,\lambda)</math> es <math>0</math>.

Sea <math>G=(V,E)</math> tal que ''<math>\{a,b\}\in E \land \{a,b\}=e\not\in E</math>'', escribimos <math>G+e</math> para el grafo que se obtiene de <math>G</math> al añadir la arista <math>e=\{a,b\}</math>. Al identificar los vértices a y b en <math>G</math>, obtenemos el subgrafo <math>G++\,e</math> de <math>G</math>.

==== Teorema de los cuatro colores ====
{{AP|Teorema de los cuatro colores}}
{{Imagen múltiple
 | posición_tabla = right
 | dirección      = horizontal
 | ancho          = 200
 | foto2    =  Grafo ejemplo 5 conecsi.png
| texto1 =  Mapa coloreado con 4-colores.
 | foto1    =  Grafo ejemplo 5 países.png
| texto2 = [[Grafo dual]] asociado al mapa con una [[Coloración de grafos|4-vértice coloración]].
}}
Este problema famoso relativo a los grafos trata acerca de la cantidad de colores que son necesarios para dibujar un mapa político, con la condición obvia que dos países adyacentes no puedan tener el mismo color. Se supone que los países son de un solo pedazo, y que el mundo es esférico o plano. El mapa siguiente muestra que tres colores no bastan: si se empieza por el país central <math>a</math> y se esfuerza uno en utilizar el menor número de colores, entonces en la corona alrededor de '''<math>a</math>''' alternan dos colores. Llegando al país <math>h</math> se tiene que introducir un cuarto color. Lo mismo sucede en <math>i</math> si se emplea el mismo método. Sin embargo, si el mapa tiene forma de [[toroide]], el teorema afirma que con cuatro colores no siempre es posible realizar la coloración con las características requeridas.<ref>{{cita publicación |apellido=Gonthier |nombre=Georges |título=Formal Proof—The FourColor
Theorem |año= |publicación= |volumen= |número= |issn= |url=https://www.ams.org/notices/200811/tx081101382p.pdf}}</ref>

La forma precisa de cada país no importa; lo único relevante es saber qué país toca a qué otro. Estos datos están incluidos en el grafo donde los vértices son los países y las aristas conectan los que justamente son adyacentes. Entonces la cuestión equivale a atribuir a cada vértice un color distinto del de sus vecinos.

Hemos visto que tres colores no son suficientes, y demostrar que con cinco siempre se llega, es bastante fácil. Pero el teorema de los cuatro colores no es nada obvio.
Prueba de ello es que se han tenido que emplear ordenadores para acabar la demostración (se ha hecho un programa que permitió verificar una multitud de casos, lo que ahorró muchísimo tiempo a los matemáticos). Fue la primera vez que la comunidad matemática aceptó una demostración asistida por ordenador, lo que creó en su día una cierta polémica dentro de dicha comunidad.

== Caracterización de grafos ==

=== Grafo simple ===

Un grafo es ''simple'' si a lo sumo existe una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos.

Un grafo que no es simple se denomina [[multigrafo]].

En la Teoría de grafos el concepto de grafo simple es muy recurrido en la definición de otros entes, como los de grafos completos, grafos bipartidos completos, árboles y otros más.

Las definiciones aportan una formalización lógica a hechos abstractos o naturales, muchas veces ya definidos de forma intuitiva. En este caso la imagen de grafo simple es fácil de reconocer ante otro que no lo es; bien por la presencia de lazos o de más de una arista entre los pares de vértices.

=== Grafos conexos ===
{{AP|Grafo conexo}}
Un [[grafo conexo]] es aquel en que cada par de vértices está conectado por un [[camino (teoría de grafos)|camino]]; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde ''a'' hacia ''b''.

Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.

Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo [[Búsqueda en anchura]] (BFS) o [[Búsqueda en profundidad]] (DFS).

En términos matemáticos la propiedad de un grafo (fuertemente) conexo permite establecer una [[relación de equivalencia]] para sus vértices, la cual lleva a una partición de estos en "componentes (fuertemente) conexos", es decir, porciones del grafo, que son (fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.
[[Archivo:Grafos conexos y no conexos.png|centro|miniaturadeimagen|343x343px|Un grafo conexo (izquierda) y uno no conexo (derecha).]]

=== Grafos completos ===
{{AP|Grafo completo}}
Un grafo es ''completo'' si existen aristas uniendo ''todos'' los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista ''e'' que los une.

El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente <math>K</math>, siendo <math>K_n</math> el grafo completo de <math>n</math> vértices.

Un <math>K_n</math>, es decir, grafo completo de <math>n</math> vértices tiene exactamente <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> aristas.

La representación gráfica de los <math>K_n</math> como los vértices de un polígono regular da cuenta de su peculiar estructura.

=== Grafos bipartitos ===
{{AP|Grafo bipartito}}
Un grafo G es bipartito si puede expresar como <math>G = \{V_1 \cup V_2, A\}</math> (es decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las siguientes condiciones:
* <math>V_1</math> y <math>V_2</math> son disjuntos y no vacíos.
* Cada arista de <math>A</math> une un vértice de <math>V_1</math> con uno de <math>V_2</math>.
* No existen aristas uniendo dos elementos de <math>V_1</math>; análogamente para <math>V_2</math>.

Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de elementos diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y rompecabezas en los que debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de la columna B.

=== Homeomorfismo de grafos ===
{{AP|Homeomorfismo de grafos}}
Dos grafos <math>G_1</math> y <math>G_2</math> son homeomorfos si ambos pueden obtenerse a partir del mismo grafo con una sucesión de [[subdivisiones elementales]] de aristas.

=== Árboles ===
{{AP|Árbol (teoría de grafos)}}
[[Archivo:Grafo ejemplo 3 árbol.png|thumb|263px|Ejemplo de árbol.]]
Un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos, se llama un '''árbol'''. En un grafo con '''n''' vértices, los árboles tienen exactamente '''n - 1''' aristas, y hay '''nn-2''' árboles posibles. Su importancia radica en que los árboles son grafos que conectan todos los vértices utilizando el menor número posible de aristas. Un importante campo de aplicación de su estudio se encuentra en el [[análisis filogenético]], el de la filiación de entidades que derivan unas de otras en un proceso evolutivo, que se aplica sobre todo a la averiguación del parentesco entre especies; aunque se ha usado también, por ejemplo, en el estudio del parentesco entre lenguas.

=== Grafos ponderados o etiquetados ===
{{AP|Grafo ponderado}}
En muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un número específico, llamado ''valuación'', ''ponderación'' o ''coste'' según el contexto, y se obtiene así un [[grafo ponderado]]. Formalmente, es un grafo con una función v: A → '''R+'''.

Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar ''n'' ciudades conectadas entre sí por carreteras; su interés previsible será minimizar la distancia recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo correspondiente tendrá como vértices las ciudades, como aristas las carreteras y la valuación será la distancia entre ellas.

=== Diámetro ===
{{AP|Distancia (teoría de grafos)}}
[[Archivo:Grafo ejemplo 7.png|thumb|263px|En la figura se nota que K4 es plano (desviando la arista ''ab'' al exterior del cuadrado), que K5 no lo es, y que K3,2 lo es también (desvíos en gris).]]
En un grafo, la distancia entre dos vértices es el menor número de aristas de un recorrido entre ellos. El '''[[Distancia (teoría de grafos)|diámetro]]''', en una figura como un grafo, es la mayor distancia entre todos los pares de puntos de la misma.

El diámetro de los <math>K_n</math> es 1, y el de los <math>K_{n,p}</math> es 2. Un diámetro infinito puede significar que el grafo tiene una infinidad de vértices o simplemente que no es '''conexo'''. También se puede considerar el '''diámetro promedio''', como el promedio de las distancias entre dos vértices.

Una aplicación de este concepto es la hipótesis conocida como los [[seis grados de separación]], que plantea que, si cada uno de los habitantes de la Tierra se representa por un vértice y dos personas están conectadas por una arista si se conocen personalmente, la distancia entre dos personas escogidas al azar entre todos los habitantes de la Tierra es de seis aristas o menos.

Internet permite de ver desde otro enfoque la idea del diámetro: considérese por ejemplo que si se descartan los sitios que no tienen enlaces, y se escogen dos páginas ''web'' al [[azar]], cabría preguntarse en cuántos ''clics'' se puede pasar del primer sitio al segundo. Si se supone que de cualquier sitio que enlace con otros sitios se puede llegar a cualquier otro, entonces las mayor cantidad de ''clics'' necesarios para llegar de cualquier web a otra sería el "diámetro" de la Red, vista como un grafo cuyos vértices son los sitios, y cuyas aristas son los enlaces entre los sitios.

Este concepto refleja mejor la complejidad de una red que el número de sus elementos.

== Aplicaciones ==
La teoría de grafos es clave en la [[sociometría]] y el [[análisis de redes sociales]].<ref name=WF13.c3/> También se ha utilizado en varias áreas de las [[ciencias sociales]], tales como la [[antropología]],<ref>{{cita libro |apellido-editor=Mitchell |nombre-editor=J. C. |año=1980 |título=Numerical Techniques in Social Anthropology |ubicación=Filadelfia |editorial=Institute for the Study of Human Issues}}</ref><ref>{{cita publicación |apellido=Hage |nombre=P. |año=1979 |título=Graph theory as a structural model in cultural anthropology |url=https://archive.org/details/sim_annual-review-of-anthropology_1979_8/page/115 |publicación=Annual Review of Anthropology |volumen=8 |páginas=115-136}}</ref><ref>{{cita libro |apellido1=Hage |nombre1=P. |apellido2=Harary |nombre2=F. |año=1983 |título=Structural Models in Anthropology |url=https://archive.org/details/structuralmodels0000hage |ubicación=Cambridge |editorial=Cambridge University Press}}</ref> [[psicología social]],<ref>{{cita libro |apellido=Heider |nombre=F. |año=1958 |título=The Psychology of Interpersonal Relations |url=https://archive.org/details/psychologyofinte00heidrich |ubicación=Nueva York |editorial=John Wiley and Sons}}</ref><ref>{{cita publicación |apellido=Bavelas |nombre=A. |año=1948 |título=A mathematical model for group structure |publicación=Human Organizations |volumen=7 |páginas=16-30}}</ref> [[comunicación]], negocios, investigación de organizaciones y [[geografía]].<ref>{{cita publicación |apellido=Pitts |nombre=F. R. |año=1965 |título=A graph theoretic approach to historical geography |publicación=The Proffesional Geographer |volumen=17 |páginas=15-20}}</ref><ref>{{cita publicación |apellido=Pitts |nombre=F. R. |año=1979 |título=The medieval river trade network of Russia revisited |publicación=Social Networks |volumen=1 |páginas=285-292}}</ref><ref name=WF13.c4>{{harvsp|Wasserman|Faust|2013|loc=«Grafos y matrices» (por Dawn Iacobucci), pp. 121-188.}}</ref>

Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de [[circuito]]s secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas como pueden ser el Dibujo computacional o en áreas de Ingeniería.

Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que se pueden obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos [[algoritmo]]s como puede ser el algoritmo de [[Robert W. Floyd|Floyd]].

Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como [[técnica de revisión y evaluación de programas]] (PERT) en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.

Una importante aplicación de la teoría de grafos es en el campo de la informática, ya que ha servido para la resolución de importantes y complejos algoritmos. Un claro ejemplo es el [[Algoritmo de Dijkstra]], utilizado para la determinación del camino más corto en el recorrido de un grafo con determinados pesos en sus vértices.

Dentro de este campo, un grafo es considerado un tipo de dato abstracto [[TAD]].

El científico estadounidense Donald Knuth estableció los grafos planos como base de determinados estudios y descubrimientos realizados por él.

Por otra parte, destaca el [[Algoritmo de Kruskal]], el cual nos permite buscar un subconjunto de aristas que incluye todos los vértices, estableciendo como mínimo el valor de las aristas.

Se emplea en problemas de control de producción, para proyectar redes de ordenadores, para diseñar módulos electrónicos modernos y proyectar sistemas físicos con parámetros localizados (mecánicos, acústicos y eléctricos).

Se usa para la solución de problemas de genética y problemas de automatización de la proyección (SAPR). Apoyo matemático de los sistemas modernos para el procesamiento de la información. Acude en las investigaciones nucleares (técnica de diagramas de Feynman).<ref>Gorbátov:''Fundamentos de la matemática discreta''</ref>

Los grafos son importantes en el estudio de la [[biología]] y hábitat. El vértice representa un hábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos de los animales o las migraciones. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat.
<gallery class="center">
Archivo:Diagrama Conceptual ejemplo.png|[[Mapa conceptual|Mapas conceptuales]]
Archivo:Madrid Metro Map.svg|Plano de estaciones del [[Metro (sistema de transporte)|metro]].
Archivo:West Midlands UK location map.svg|Plano de [[autopista]]s.
Archivo:CircuitoDosMallas.png|[[Circuito eléctrico]]
Archivo:Social-network.svg|[[Sociograma]] de una [[red social]]
Archivo:Fully topology.png|[[Topología de red]] de [[Computadora electrónica|computador]]es
Archivo:Ministry of Defence Guatemala organisation chart.svg|[[Organigrama]]s
Archivo:Monocrotophos isomers.png|[[Isomero]]s
Archivo:Gsm network architecture.png|[[Red de celdas|Arquitectura de redes]] de [[telefonía móvil]]
Archivo:Mitbat-2007-bracket-large.png|Draws de [[eliminación directa]] (ej: [[tenis]])
</gallery>

== Algoritmos importantes ==
{{columns-list|3|
* [[Búsqueda en anchura|Algoritmo de búsqueda en anchura (BFS)]]
* [[Búsqueda en profundidad|Algoritmo de búsqueda en profundidad (DFS)]]
* [[Algoritmo de búsqueda A*]]
* [[Algoritmo del vecino más cercano]]
* [[Ordenación topológica|Ordenación topológica de un grafo]]
* [[Algoritmo de cálculo de los componentes fuertemente conexos de un grafo]]
* [[Algoritmo de Dijkstra]]
* [[Algoritmo de Bellman-Ford]]
* [[Algoritmo de Prim]]
* [[Algoritmo de Ford-Fulkerson]]
* [[Algoritmo de Kruskal]]
* [[Algoritmo de Floyd-Warshall]]
}}

== Véase también ==
* [[Grafo]]
* [[Anexo:Galería de grafos]]
* [[:Categoría:Teóricos de grafos|Teóricos de grafos]]
* [[Teorema de König (teoría de grafos)]]
* [[Álgebra de grafos]]

== Referencias ==
{{listaref|2}}

== Bibliografía ==
* {{cita libro |apellido1=Wasserman |nombre1=Stanley |apellido2=Faust |nombre2=Katherine |título=Análisis de redes sociales: Métodos y aplicaciones |editorial=Centro de Investigaciones Sociológicas |ubicación=Madrid |año=2013 |año-original=1994 |oclc=871814053 |isbn=978-84-7476-631-8}}

== Enlaces externos ==
{{commonscat|Graph theory}}
* [[Wikilibros]] dispone de un texto de '''[[b:Glosario de teoría de grafos|Glosario de teoría de grafos]]'''
{{EL}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de grafos| ]]


text:
# Georgia en los Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016
Georgia estuvo representada en los Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016 por un total de 40 deportistas que compitieron en 12 deportes. El responsable del equipo olímpico es el Comité Nacional Olímpico Georgiano, así como las federaciones deportivas nacionales de cada deporte con participación.
El portador de la bandera en la ceremonia de apertura fue el yudoca Avtandil Chrikishvili.

## Medallistas
El equipo olímpico de Georgia obtuvo las siguientes medallas:
| Nombre                  | Deporte            | Competición |
| ----------------------- | ------------------ | ----------- |
| Oro                     |                    |             |
| Lasha Talajadze         | Halterofilia       | +105 kg M   |
| Vladimer Jinchegashvili | Lucha libre        | 57 kg M     |
| Plata                   |                    |             |
| Varlam Liparteliani     | Judo               | –90 kg M    |
| Bronce                  |                    |             |
| Irakli Turmanidze       | Halterofilia       | +105 kg M   |
| Lasha Shavdatuashvili   | Judo               | –73 kg M    |
| Shmagui Bolkvadze       | Lucha grecorromana | 66 kg M     |
| Gueno Petriashvili      | Lucha libre        | 125 kg M    |

wikitext:
{{Ficha de país en los Juegos Olímpicos
|CNO                = GEO
|nombreCOI          = [[Comité Nacional Olímpico Georgiano]]<br>([http://geonoc.org.ge/?lang_id=ENG&sec_id=1 pág. web])
|juegos   = verano 2016
|atletas  = 40
|deportes = 12
|portador_bandera= [[Avtandil Chrikishvili]]
|oro      = 2
|plata    = 1
|bronce   = 4
|total    = 7
|rank     = 38
}}
[[Georgia en los Juegos Olímpicos|Georgia]] estuvo representada en los [[Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016]] por un total de 40 deportistas que compitieron en 12 [[Deporte olímpico|deportes]]. El responsable del equipo olímpico es el [[Comité Nacional Olímpico Georgiano]], así como las federaciones deportivas nacionales de cada deporte con participación.

El portador de la bandera en la ceremonia de apertura fue el [[yudoca]] [[Avtandil Chrikishvili]].

==Medallistas==
El equipo olímpico de Georgia obtuvo las siguientes medallas:

{| class="wikitable" width=55%
|- align="center" bgcolor="lightsteelblue"
! Nombre !! Deporte !! Competición
|- bgcolor="lightsteelblue"
| colspan=3 align="center"| [[Archivo:Gouden medaille.svg|22px|Oro]] '''Oro'''
|-
| [[Lasha Talajadze]] || [[Halterofilia en los Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016|Halterofilia]] || +105 kg '''M'''
|-
| [[Vladimer Jinchegashvili]] || [[Lucha en los Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016|Lucha libre]] || 57 kg '''M'''
|- bgcolor="lightsteelblue"
| colspan=3 align="center"| [[Archivo:Zilveren medaille.svg|22px|Plata]] '''Plata'''
|-
| [[Varlam Liparteliani]] || [[Judo en los Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016|Judo]] || –90 kg '''M'''
|- bgcolor="lightsteelblue"
| colspan=3 align="center"| [[Archivo:Bronzen medaille.svg|22px|Bronce]] '''Bronce'''
|-
| [[Irakli Turmanidze]] || [[Halterofilia en los Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016|Halterofilia]] || +105 kg '''M'''
|-
| [[Lasha Shavdatuashvili]] || [[Judo en los Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016|Judo]] || –73 kg '''M'''
|-
| [[Shmagui Bolkvadze]] || [[Lucha en los Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016|Lucha grecorromana]] || 66 kg '''M'''
|-
| [[Gueno Petriashvili]] || [[Lucha en los Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016|Lucha libre]] || 125 kg '''M'''
|}

==Enlaces externos==
*[https://web.archive.org/web/20160825013034/https://www.rio2016.com/es/georgia Página de Río 2016].
*{{Enlace roto|1=[https://olympics.com/ioc/olympic-results Página del COI] |2=https://olympics.com/ioc/olympic-results }} {{en}}.
*[https://www.olympedia.org/countries/GEO/editions/59 ''olympedia.org''] {{en}}.

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Países en los Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016]]
[[Categoría:Georgia en los Juegos Olímpicos|V 2016]]
[[Categoría:Deporte en Georgia en 2016|Olimpicos]]

title: Georgia en los Juegos Olímpicos

Código COI: GEO

CON: Comité Nacional Olímpico Georgiano · (pág. web)

title: Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016

Deportistas: 40 en 12 deportes

Abanderado: Avtandil Chrikishvili

title: Historia olímpica

Otras apariciones: Imperio Ruso (1900–1912) · Unión Soviética (1952–1988) · Equipo Unificado (1992)

title: Abanderado

· 1 · · 4 · · 7


text:
# Breznica Našička
Breznica Našička es una localidad de Croacia en el ejido del municipio de Koška, condado de Osijek-Baranya.

## Geografía
Se encuentra a una altitud de 94 m s. n. m. a 235 km de la capital nacional, Zagreb.

## Demografía
En el censo 2011 el total de población de la localidad fue de 617 habitantes.
| Gráfica de población de Breznica Našička 1857-2011                  |
|                                                                     |
| Según los censos de población de la oficina estadística de Croacia. |

title: Breznica Našička

wikitext:
{{Ficha de entidad subnacional
|nombre                    = Breznica Našička
|nombre_oficial            = Breznica Našička
|país                      = Croacia
|unidad                    = Localidad
|tipo_superior_1           = [[Organización territorial de Croacia|Condado]]
|superior_1                = [[Condado de Osijek-Baranya|Osijek-Baranya]]
|tipo_superior_2           = [[Anexo:Ciudades y municipios de Croacia|Municipio]]
|superior_2                = [[Koška]]
|bandera                   = no
|escudo                    = no
|mapa                      =
|tamaño_mapa               =
|pie_mapa                  =
|imagen                    =
|pie_de_imagen             =
|mapa_loc                  = Croacia
|latd=|latm=|lats=|latNS=N
|longd=|longm=|longs=|longEW=E
|pie_mapa_loc              = Ubicación de Breznica Našička en Croacia
|dirigentes_títulos        =
|dirigentes_nombres        =
|elevación_media           = 94
|superficie                =
|población                 = 617
|población_año             = 2011
|población_post             = <ref name=census2011>[https://www.dzs.hr/Eng/censuses/census2011/results/htm/e01_01_01/E01_01_01.html Oficina estatal de estadísticas de Croacia.]</ref>
|densidad                  =
|horario                   = [[Huso horario|UTC +1]]
|horario_verano            = [[Huso horario|UTC +2]]
|página web                =
|fundación_fechas          =
|código_postal_nombre      = Código postal<ref>{{cita web |url=https://www.posta.hr/en/searching-localities-and-their-postal-codes/6619 |título=Searching Localities and Their Postal Codes |fechaacceso=17 de septiembre de 2019 |apellido= |nombre= |fecha= |sitioweb=https://www.posta.hr/en/ |idioma=inglés |cita= }}  </ref>
|cp                        = 31224
|prefijo_telefónico        = (+385)031<ref> [https://web.archive.org/web/20110720064604/http://www.t-com.hr/privatni/telefon/pozivi/pozivni/medumjesni.asp Prefijos telefónicos de Croacia.]</ref>
|nombre_código1            =
|código1                   =
}}

'''Breznica Našička''' es una localidad de [[Croacia]] en el ejido del municipio de [[Koška]], condado de [[Condado de Osijek-Baranya|Osijek-Baranya]].

==Geografía==

Se encuentra a una altitud de 94 [[Nivel del mar|{{esd|m s. n. m.}}]] a 235 km de la capital nacional, [[Zagreb]].

==Demografía==

En el censo 2011 el total de población de la localidad fue de 617 habitantes.<ref name="census2011"/>

{{Gráfica de evolución|nombre_completo=Gráfica de población de Breznica Našička 1857-2011|tipo=demográfica|1857|432|1869|459|1880|444|1890|522|1900|585|1910|502|1921|611|1931|676|1948|909|1953|899|1961|1000|1971|833|1981|692|1991|749|2001|671|2011|617|notas=
{{leyenda|#88c2cc|Según los [[censo de población|censos de población]] de la oficina estadística de Croacia.<ref>{{cita web |url=https://www.dzs.hr/App/PXWeb/PXWebHrv/Menu.aspx?px_type=PX&px_db=Naselja+i+stanovni%u0161tvo+Republike+Hrvatske&px_language=hr&rxid=fc9d580f-2229-4982-a72c-cdd3e96307d3 |título=Naselja i stanovništvo Republike Hrvatske |fechaacceso=17 de septiembre de 2019 |apellido= |nombre= |fecha= |sitioweb= |idioma=croata |cita= |fechaarchivo=7 de mayo de 2018 |urlarchivo=https://web.archive.org/web/20180507221853/https://www.dzs.hr/App/PXWeb/PXWebHrv/Menu.aspx?px_type=PX&px_db=Naselja+i+stanovni%u0161tvo+Republike+Hrvatske&px_language=hr&rxid=fc9d580f-2229-4982-a72c-cdd3e96307d3 |deadurl=yes }}</ref> }}
}}

==Referencias ==
{{listaref}}

==Enlaces externos==
* ''Este artículo contiene datos geográficos extraídos de [[Google Earth]]''.
{{control de autoridades}}

[[Categoría:Localidades del condado de Osijek-Baranya]]

title: Breznica Našička

Entidad: Localidad

• País: Croacia

• Condado: Osijek-Baranya

• Municipio: Koška

Huso horario: UTC +1

• en verano: UTC +2


text:
# Martin Braud
Martin Braud (Angoulême, 6 de enero de 1982) es un deportista francés que compitió en piragüismo en la modalidad de eslalon. Ganó dos medallas en el Campeonato Mundial de Piragüismo en Eslalon, plata en 2007 y bronce en 2005, y cinco medallas en el Campeonato Europeo de Piragüismo en Eslalon entre los años 2002 y 2006.

## Palmarés internacional
| Campeonato Mundial | Campeonato Mundial               | Campeonato Mundial | Campeonato Mundial |
| Año                | Lugar                            | Medalla            | Competición        |
| ------------------ | -------------------------------- | ------------------ | ------------------ |
| 2005               | Penrith (Australia)              | Medalla de bronce  | C2 por equipos     |
| 2007               | Foz do Iguaçu (Brasil)           | Medalla de plata   | C2 por equipos     |
| Campeonato Europeo |                                  |                    |                    |
| Año                | Lugar                            | Medalla            | Competición        |
| 2002               | Bratislava (Eslovaquia)          | Medalla de plata   | C2 por equipos     |
| 2004               | Skopie (Macedonia)               | Medalla de plata   | C2 individual      |
| 2005               | Tacen (Eslovenia)                | Medalla de bronce  | C2 por equipos     |
| 2006               | L'Argentière-la-Bessée (Francia) | Medalla de oro     | C2 individual      |
| 2006               | L'Argentière-la-Bessée (Francia) | Medalla de plata   | C2 por equipos     |

title: Martin Braud

wikitext:
{{Ficha de deportista
|nombre              = Martin Braud
|lugar nacimiento    = [[Angoulême]], [[Francia]]
|fecha nacimiento    = {{Fecha|6|1|1982|edad}}
|lugar fallecimiento =
|fecha fallecimiento =
|representante       =  {{FRA}}
|deporte             = [[Piragüismo en eslalon]]
|medallista olímpico =
|medallas            =
{{Medalla deportiva|[[Piragüismo en eslalon]] masculino}}
{{Tabla de medallas
| [[Campeonato Mundial de Piragüismo en Eslalon|Campeonato Mundial]] |0|1|1
| [[Campeonato Europeo de Piragüismo en Eslalon|Campeonato Europeo]] |1|3|1
}}
}}
'''Martin Braud''' ([[Angoulême]], 6 de enero de 1982) es un deportista [[Francia|francés]] que compitió en [[piragüismo]] en la modalidad de [[Piragüismo en eslalon|eslalon]].{{olympedia|fechaacceso=30 de abril de 2024}} Ganó dos medallas en el [[Campeonato Mundial de Piragüismo en Eslalon]], plata en [[Campeonato Mundial de Piragüismo en Eslalon de 2007|2007]] y bronce en [[Campeonato Mundial de Piragüismo en Eslalon de 2005|2005]], y cinco medallas en el [[Campeonato Europeo de Piragüismo en Eslalon]] entre los años [[Campeonato Europeo de Piragüismo en Eslalon de 2002|2002]] y [[Campeonato Europeo de Piragüismo en Eslalon de 2006|2006]].{{canoeresults|id=name=braud+ma|fechaacceso=30 de abril de 2024}}

==Palmarés internacional==
{| class="wikitable center col2izq" style="text-align:center;width:445px;"
|-
! colspan=4| [[Campeonato Mundial de Piragüismo en Eslalon|Campeonato Mundial]]
|-
! Año
! Lugar
! Medalla
! Competición
|-
| [[Campeonato Mundial de Piragüismo en Eslalon de 2005|2005]]
| [[Penrith]] {{CdP|AUS}}
| {{Med-b}}
| C2 por equipos
|-
| [[Campeonato Mundial de Piragüismo en Eslalon de 2007|2007]]
| [[Foz do Iguaçu]] {{CdP|BRA}}
| {{Med-p}}
| C2 por equipos
|-
! colspan=4| [[Campeonato Europeo de Piragüismo en Eslalon|Campeonato Europeo]]
|-
! Año
! Lugar
! Medalla
! Competición
|-
| [[Campeonato Europeo de Piragüismo en Eslalon de 2002|2002]]
| [[Bratislava]] {{CdP|SVK}}
| {{Med-p}}
| C2 por equipos
|-
| [[Campeonato Europeo de Piragüismo en Eslalon de 2004|2004]]
| [[Skopie]] {{CdP|MKD1}}
| {{Med-p}}
| C2 individual
|-
| [[Campeonato Europeo de Piragüismo en Eslalon de 2005|2005]]
| [[Tacen]] {{CdP|SLO}}
| {{Med-b}}
| C2 por equipos
|-
| [[Campeonato Europeo de Piragüismo en Eslalon de 2006|2006]]
| [[L'Argentière-la-Bessée]] {{CdP|FRA}}
| {{Med-o}}
| C2 individual
|-
| [[Campeonato Europeo de Piragüismo en Eslalon de 2006|2006]]
| [[L'Argentière-la-Bessée]] {{CdP|FRA}}
| {{Med-p}}
| C2 por equipos
|}

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
*Lista de medallistas olímpicos y mundiales en piragüismo (1936-2007): [https://web.archive.org/web/20100105013709/http://www.canoeicf.com/site/canoeint/if/downloads/result/Pages%201-41%20from%20Medal%20Winners%20ICF%20updated%202007-2.pdf?MenuID=Results%2F1107%2F0%2CMedal_winners_since_1936%2F1510%2F0 parte 1], [https://web.archive.org/web/20100105023154/http://canoeicf.com/site/canoeint/if/downloads/result/Pages%2042-83%20from%20Medal%20Winners%20ICF%20updated%202007.pdf?MenuID=Results%2F1107%2F0 parte 2]. [[Federación Internacional de Piragüismo]] {{en}}.

{{NF|1982||Braud, Martin}}
[[Categoría:Piragüistas en eslalon de Francia]]
[[Categoría:Nacidos en Angulema]]

title: Datos personales

Nacimiento: Angoulême, Francia · 6 de enero de 1982 (43 años)

title: Carrera deportiva

Representante de: Francia

Deporte: Piragüismo en eslalon

title: Piragüismo en eslalon masculino

Evento: O · P · B