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# Claudio Rutilio Namaciano
Claudio Rutilio Namaciano fue un poeta galo de principios del siglo V. Proveniente del sur de la Galia, llegó a ser prefecto en las regiones italianas de  Toscana y Umbría. Su única obra conocida es el poema De reditu suo libri duo del que sólo se conserva una parte. Fue escrito hacia el año 420. En él habla sobre la grandeza y el antiguo esplendor de Roma y, además, critica acerbamente el Cristianismo.

## Biografía
Rutilio Namaciano nació al sur de la Galia y, como Sidonio Apolinar, pertenecía a una de las grandes familias provinciales galas. Su padre Lacanius había sido gobernador de Tuscia y Umbría, tesorero imperial (comes sacrarum largitionum) y prefecto de Roma (praefectus urbi). Eran de origen celta, ya que el nombre Namaciano y su variante Namacio son antropónimos en esta lengua. Rutilio también realizó su carrera dentro de la administración imperial y llegó a ser secretario de estado (magister officiorum) y prefecto de Roma en el año 414. Sin embargo se conocen pocos detalles sobre su vida.
Durante los años centrales de su vida Roma y el imperio vivieron unos años especialmente convulsos: el dominio a la sombra de Estilicón, los ataques del visigodo Alarico I, el saqueo de Roma en 410... Aunque el paganismo (o politeísmo) hacía unos años que había sido prohibido oficialmente con el Edicto de Tesalónica (380), Namaciano era un pagano convencido de que pertenecía al círculo del orador Quinto Aurelio Simmaco, con lo que se oponía a las políticas favorables al Cristianismo y a las alianzas con los pueblos germánicos que se iban haciendo con el poder en varias provincias del imperio. En este sentido, forma parte de la denominada «reacción pagana» de finales del siglo IV y principios del V.

## De reditu Suo
La única obra conocida de Namaciano es el poema De Reditu Suo («Sobre su regreso»), también conocida como Iter Gallicum, escrito en dísticos elegíacos. Su importancia literaria e histórica se ha reconocido claramente en los últimos años, coincidiendo con los estudios historiográficos más profundos que se han hecho sobre la época del bajo imperio. Pese a que solamente nos ha llegado en forma fragmentaria, con setecientos versos, la mayor parte del segundo libro se ha perdido, excepto 68 versos, la calidad literaria del poema lo convierte en una de las últimas grandes muestras de literatura romana.
El poema describe un viaje costero por mar desde Roma, concretamente del puerto de Ostia, el 31 de octubre del 417, hasta la Galia, aun cuando los fragmentos conservados solamente llegan hasta el puerto de Luna, actual Luni, algo más al norte de Pisa, el 11 de noviembre del mismo año. Namaciano describe el viaje de retorno a sus tierras de la Galia, devastadas por la invasión de los vándalos. Es significativo que el viaje se haga por mar y no por las grandes vías consulares, en aquellos momentos impracticables y poco seguras a causa de los ataques de los bárbaros.
Tras un emocionante y famoso elogio de Roma y su ideal universalista, el autor describe los paisajes que ve y reflexiona, a menudo de forma melancólica, como buen representante de la «reacción pagana» del círculo de Símmaco, que añora la grandeza y rectitud del pasado romano. El poema logra sus momentos más emotivos cuando describe el clima de decadencia de las tierras del imperio, que Namaciano atribuye a los bárbaros, al Cristianismo, a los hebreos y a los monjes, cuyos conventos ya pueblan las islas y a los que llama lucifugi viri, «hombres que huyen de la luz»; al mismo tiempo, Namaciano confía en la recuperación de Roma y de sus tradiciones y proclama su misión histórica: Feciste patriam diversis gentibus unam, «Hiciste una sola patria para pueblos diversos» y Ordo renascendi et crescere posse malis, «La ley de tu renacimiento es poder crecer por medio de tus calamidades». Esa fue la conquista del decreto de Caracalla, que expandía la ciudadanía romana y el Ius civile o derecho civil a todos los hombres libres, volviendo al orbe una urbe:
«Fecisti patriam diversis gentibus unam; / profuit inuistis te dominante capi, / dumque offers victis proprii consortia iuris / urbem fecisti quod prius orbis erat. Hiciste una patria de gentes diversas, / a los sin ley aprovechó tu dominio, / pues, ofreciendo a los sometidos compartir tu propio derecho, / una ciudad hiciste de lo que antes era el mundo.» (De reditu suo, I, 63-66).
Estas reflexiones se unen a violentas sátiras culturales y políticas, que achaban al cristianismo el declive de Roma, por lo cual suscitó que San Agustín de Hipona escribiera una reivindicación del cristianismo frente al Imperio, De Civitate Dei / La ciudad de Dios. Estilísticamente Namaciano utiliza los dísticos elegíacos con gran habilidad y pureza formal, que delatan un estudio profundizado de la poesía de la era clásica de Augusto. Utiliza un latín sorprendentemente clásico para la época, tanto con respecto al vocabulario como a la gramática.

title: Claudio Rutilio Namaciano

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{{Ficha de persona}}'''Claudio Rutilio Namaciano''' fue un poeta galo de principios del {{siglo|V||s}}. Proveniente del sur de la [[Galia]], llegó a ser prefecto en las regiones italianas de  [[Toscana]] y [[Umbría (Italia)|Umbría]]. Su única obra conocida es el poema ''De reditu suo libri duo'' del que sólo se conserva una parte. Fue escrito hacia el año 420. En él habla sobre la grandeza y el antiguo esplendor de Roma y, además, critica acerbamente el [[Cristianismo]].

== Biografía ==
Rutilio Namaciano nació al sur de la Galia y, como [[Sidonio Apolinar]], pertenecía a una de las grandes familias provinciales galas. Su padre Lacanius había sido gobernador de [[Tuscia y Umbría]], tesorero imperial (''comes sacrarum largitionum'') y prefecto de Roma (''praefectus urbi'').<ref>{{cita web|título=Book I, line 157|url=http://penelope.uchicago.edu/Thayer/L/Roman/Texts/Rutilius_Namatianus/text*.html#1.205}} {{cita web|título=Note 27|url=http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Roman/Texts/Rutilius_Namatianus/text*.html#ref27}}</ref><ref>{{cita web|url=http://penelope.uchicago.edu/Thayer/L/Roman/Texts/Rutilius_Namatianus/text*.html#1.205|título=Book I, lines 421-428}} {{cita web|título=Note 87|url=http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Roman/Texts/Rutilius_Namatianus/text*.html#ref88}}</ref><ref>{{cita web|título=Book I, lines 467-468|url=http://penelope.uchicago.edu/Thayer/L/Roman/Texts/Rutilius_Namatianus/text*.html#1.205}} {{cita web|título=Note 97|url=http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Roman/Texts/Rutilius_Namatianus/text*.html#ref97}}</ref><ref>{{cita web|título=Book I, lines 561-564|url=http://penelope.uchicago.edu/Thayer/L/Roman/Texts/Rutilius_Namatianus/text*.html#1.205}} {{cita web|título=Note 114|url=http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Roman/Texts/Rutilius_Namatianus/text*.html#ref114}}</ref> Eran de origen celta, ya que el nombre ''Namaciano'' y su variante ''Namacio'' son antropónimos en esta lengua. Rutilio también realizó su carrera dentro de la administración imperial y llegó a ser secretario de estado (''[[magister officiorum]]'') y prefecto de Roma en el año 414. Sin embargo se conocen pocos detalles sobre su vida.

Durante los años centrales de su vida Roma y el imperio vivieron unos años especialmente convulsos: el dominio a la sombra de [[Estilicón]], los ataques del [[visigodo]] [[Alarico I]], el saqueo de Roma en 410... Aunque el paganismo (o politeísmo) hacía unos años que había sido prohibido oficialmente con el [[Edicto de Tesalónica]] (380), Namaciano era un pagano convencido de que pertenecía al círculo del orador [[Quinto Aurelio Simmaco]], con lo que se oponía a las políticas favorables al [[Cristianismo]] y a las alianzas con los pueblos germánicos que se iban haciendo con el poder en varias provincias del imperio. En este sentido, forma parte de la denominada «reacción pagana» de finales del {{siglo|IV||s}} y principios del {{Siglo|V}}.

== ''De reditu Suo'' ==
La única obra conocida de Namaciano es el poema ''De Reditu Suo'' («Sobre su regreso»), también conocida como ''Iter Gallicum'', escrito en [[Dístico elegíaco|dísticos elegíacos]]. Su importancia literaria e histórica se ha reconocido claramente en los últimos años, coincidiendo con los estudios historiográficos más profundos que se han hecho sobre la época del bajo imperio. Pese a que solamente nos ha llegado en forma fragmentaria, con setecientos versos, la mayor parte del segundo libro se ha perdido, excepto 68 versos, la calidad literaria del poema lo convierte en una de las últimas grandes muestras de literatura romana.

El poema describe un viaje costero por mar desde Roma, concretamente del puerto de [[Ostia]], el 31 de octubre del 417, hasta la [[Galia]], aun cuando los fragmentos conservados solamente llegan hasta el puerto de Luna, actual [[Luni]], algo más al norte de [[Pisa]], el 11 de noviembre del mismo año. Namaciano describe el viaje de retorno a sus tierras de la Galia, devastadas por la invasión de los [[vándalos]]. Es significativo que el viaje se haga por mar y no por las grandes vías consulares, en aquellos momentos impracticables y poco seguras a causa de los ataques de los bárbaros.

Tras un emocionante y famoso elogio de Roma y su ideal universalista, el autor describe los paisajes que ve y reflexiona, a menudo de forma melancólica, como buen representante de la «reacción pagana» del círculo de [[Símaco|Símmaco]], que añora la grandeza y rectitud del pasado romano. El poema logra sus momentos más emotivos cuando describe el clima de decadencia de las tierras del imperio, que Namaciano atribuye a los bárbaros, al [[Cristianismo]], a los hebreos y a los monjes, cuyos conventos ya pueblan las islas y a los que llama ''lucifugi viri'', «hombres que huyen de la luz»; al mismo tiempo, Namaciano confía en la recuperación de Roma y de sus tradiciones y proclama su misión histórica: ''Feciste patriam diversis gentibus unam'', «Hiciste una sola patria para pueblos diversos» y ''Ordo renascendi et crescere posse malis'', «La ley de tu renacimiento es poder crecer por medio de tus calamidades». Esa fue la conquista del decreto de [[Caracalla]], que expandía la [[ciudadanía romana]] y el ''[[Ius civile]]'' o derecho civil a todos los hombres libres, volviendo al orbe una urbe:

:«''Fecisti patriam diversis gentibus unam; / profuit inuistis te dominante capi, / dumque offers victis proprii consortia iuris / urbem fecisti quod prius orbis erat''. Hiciste una patria de gentes diversas, / a los sin ley aprovechó tu dominio, / pues, ofreciendo a los sometidos compartir tu propio derecho, / una ciudad hiciste de lo que antes era el mundo''.» (''De reditu suo'', I, 63-66).

Estas reflexiones se unen a violentas [[sátira]]s culturales y políticas, que achaban al cristianismo el declive de Roma, por lo cual suscitó que San [[Agustín de Hipona]] escribiera una reivindicación del cristianismo frente al Imperio, ''De Civitate Dei / [[La ciudad de Dios]]''. Estilísticamente Namaciano utiliza los dísticos elegíacos con gran habilidad y pureza formal, que delatan un estudio profundizado de la poesía de la era clásica de [[Augusto]]. Utiliza un latín sorprendentemente clásico para la época, tanto con respecto al vocabulario como a la gramática.

== Bibliografía ==
{{refcomienza}}
* {{cita libro
| autor = Claudio Rutilio Namaciano
| título = El retorno. Geógrafos latinos menores
| año = 2002
| editorial = Introducciones, traducción y notas de Alfonso García-Toraño Martínez. Madrid: [[Editorial Gredos]]
| id = ISBN 9788424923662
}}
{{reftermina}}

== Referencias ==
{{Listaref}}

{{NF|el siglo V|el siglo VI|Rurilio Namaciano}}
[[Categoría:Escritores de la Antigua Roma]]
[[Categoría:Escritores en latín del siglo V]]
[[Categoría:Poetas del siglo V]]
[[Categoría:Antiguos romanos del siglo V]]
[[Categoría:Gens Rutilia]]
[[Categoría:Prefectos de la Ciudad]]
[[Categoría:Magistri officiorum]]

title: Información personal

Nombre de nacimiento: Claudius Rutilius Namatianus

Nacimiento: Siglo IV · Galia (Francia)

Fallecimiento: Siglo V

title: Información profesional

Ocupación: Poeta, político y escritor

Cargos ocupados: Prefecto de la Ciudad

Género: Libro de viaje


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# Fundación para el Análisis y los Estudios Sociales
La Fundación para el Análisis y los Estudios Sociales, más conocida por su acrónimo FAES, es un think tank constituido en fundación privada española, creada en 1989 y ligada al Partido Popular (PP), que trabaja en el ámbito de las ideas y las propuestas políticas. Su principal cometido es ayudar al debate de las ideas, la formación política y desarrollar los principios ideológicos que fundamentan a la derecha política. Informalmente se la conoce como «el laboratorio de ideas del PP».
Tiene su sede en Madrid. Su presidente es José María Aznar y su vicepresidente Manuel Pizarro. En el patronato también figuran personalidades de la política como los exministros Ángel Acebes y Eduardo Zaplana.
Cuenta con un presupuesto anual de unos 5 millones de euros, que recibe de subvenciones públicas, y donativos y aportaciones privadas. En 2013 fue calificada por la Fundación Compromiso y Transparencia como la segunda fundación política más transparente, siendo la única que publica la carta del auditor externo.

## Origen
Se constituyó en Madrid el 11 de noviembre de 2002. Para su creación se integraron cinco anteriores fundaciones vinculadas con el Partido Popular:
- Fundación Cánovas del Castillo
- Popular Iberoamericana
- Popular Iberoamericana de Análisis y Estudios Sociales (antigua FAES)
- Popular Iberoamericana de Estudios Europeos
- Instituto de Formación Política

Este mismo reajuste de organizaciones afines al PP afectó también a la Fundación Humanismo y Democracia, que de esta forma pasó a gestionar las tareas de cooperación y desarrollo asignadas a algunas de las anteriores fundaciones.

## Ideología
FAES se define a sí misma como una organización liberal conservadora y demócrata cristiana. Su objetivo, según exponen en su página oficial, es el "fortalecimiento de los valores de la libertad, la democracia y el humanismo occidental; creando, promoviendo y difundiendo ideas basadas en la libertad política, intelectual y económica". Afirman además que las ideas que desarrollan pretenden ofrecer alternativas políticas y de pensamiento diferentes a las del socialismo, y que puedan ser asumidas por los líderes políticos para ser transformadas en programas de acción política.
Según sus críticos, FAES no sería más que una institución para marcar las pautas de actuación y la agenda política del Partido Popular.
En 2024 siguen considerando que Aznar tenía motivos para atribuir a E.T.A la autoría de los atentados del 11M.

## Organización
FAES se dirige a través de su patronato, que define el plan de actividades y el presupuesto. El presidente de FAES dirige la actividad de la Fundación y señala los objetivos de cada área, y el secretario general ejecuta las directrices de ambos y coordina las áreas de trabajo, que son las siguientes:
- Economía y políticas públicas, dirigida por Miguel Marín y dedicada al estudio de la actividad económica, Hacienda, Comercio, Educación, Inmigración, Sanidad, Medio Ambiente y otras políticas públicas.
- Constitución e instituciones, dirigida por Ignacio Astarloa y dedicada al sistema constitucional, las instituciones del Estado de derecho, la filosofía política y la lucha contra el terrorismo.
- Internacional, dirigida por Cayetana Álvarez de Toledo y encargada de las actividades relacionadas con la política internacional, la seguridad y la defensa, así como la promoción de las relaciones internacionales de la fundación.
- Formación, que se encarga de los cursos de formación política.
- Publicaciones, dirigida por Miguel Ángel Quintanilla Navarro y encargada de las ediciones, el centro de documentación, la Editorial Gota a Gota y la web.
- Comunicación, dirigida por Ana Cabos y encargada de la difusión de las actividades de la fundación y la relación con los medios de comunicación.
- Gerencia, que atiende las cuestiones de funcionamiento de la fundación.
- Organización

Además, cuenta con cuatro institutos especializados.
- Instituto Cánovas del Castillo, encargado de investigar y difundir la historia del pensamiento liberal-conservador español.
- Instituto Manuel Fraga, encargado del estudio de la política española a partir de la transición y de la conservación del fondo bibliográfico.
- Instituto Popular Iberoamericano, que tiene el objetivo de potenciar las relaciones políticas y culturales entre España e Iberoamérica.
- Institut Catalunya Futur, con sede en Barcelona, y que realiza seminarios, conferencias y publicaciones de especial interés para Cataluña.

## Financiación
Desde 2017 el grueso de la financiación de FAES es de carácter privado a través de donaciones, tanto de particulares como de empresas, cuya transparencia está garantizada con el cumplimiento de los requisitos establecidos en la legislación vigente.
En 2013 un informe de la "Fundación Compromiso y Transparencia" calificó a FAES como la fundación política más transparente, siendo la única que hace públicos sus estados financieros, la carta de un auditor externo, y una memoria anual sobre su gestión o los resultados de sus actividades.
El Grupo Parlamentario Socialista, entonces en la oposición, realizó una pregunta escrita en el Senado acerca de las cantidades y fondos recibidos por FAES procedentes del Gobierno español entre el año 2001 y el final del primer trimestre de 2004, fecha en que el Partido Popular abandonó el gobierno. La cantidad percibida desde junio de 2001 a octubre de 2003 ascendió a 7 607 966,67 euros debidamente acreditados por escrito en el Boletín Oficial de las Cortes Generales (BOCG) de 24 de junio de 2005.
En 2007 FAES se convirtió en la fundación de corte político que más ayudas recibió del Gobierno de España, con un total de alrededor de tres millones de euros. En 2005 se calculó que cerca del 40 % de su presupuesto era de origen privado (donaciones de particulares).

## Lista de secretarios generales
- Baudilio Tomé (2002-2004).
- Javier Fernández-Lasquetty (2004-2007).
- Jaime García-Legaz (2007-2012).
- Javier Zarzalejos (2012-2016. Desde 2017 como director).

wikiname: eswiki

in_language: es

wikitext:
{{otros usos|FAES}}
{{ficha de organización
|imagen modo oscuro = sí
|nombre=Fundación para el Análisis y los Estudios Sociales
|acrónimo=FAES
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La '''Fundación para el Análisis y los Estudios Sociales''', más conocida por su [[acrónimo]] '''FAES''', es un [[Think tank|''think'' ''tank'']] constituido en [[Fundación (derecho)|fundación]] privada [[España|española]], creada en 1989 y ligada al [[Partido Popular (España)|Partido Popular]] (PP), que trabaja en el ámbito de las ideas y las propuestas políticas. Su principal cometido es ayudar al debate de las ideas, la formación política y desarrollar los principios ideológicos que fundamentan a la [[derecha política]]. Informalmente se la conoce como «el laboratorio de ideas del PP».<ref>{{Cita web|url=https://fundacionfaes.org/es/presentacion|título=Qué es FAES {{!}} Fundación FAES|fechaacceso=21 de mayo de 2020|sitioweb=fundacionfaes.org}}</ref>

Tiene su sede en [[Madrid]]. Su presidente es [[José María Aznar]] y su vicepresidente [[Manuel Pizarro Moreno|Manuel Pizarro]].<ref>{{Cita web|url=https://cadenaser.com/nacional/2023/07/21/faes-la-fundacion-de-aznar-dice-que-sanchez-asalto-la-moncloa-y-llama-a-diaz-figurin-neocomunista-confeccionado-con-retales-de-dior-cadena-ser/|título=FAES, la fundación de Aznar, dice que Sánchez "asaltó La Moncloa" y llama a Díaz "figurín neocomunista confeccionado con retales de Dior"|fechaacceso=2023-10-15|apellido=|nombre=|fecha=2023-07-21|sitioweb=cadena SER|idioma=es-ES}}</ref> En el patronato también figuran personalidades de la política como los exministros [[Ángel Acebes]] y [[Eduardo Zaplana]].<ref>{{Cita noticia|apellidos=|nombre=|título=Aznar renueva la cúpula de la FAES con exministros: Piqué, Gallardón, Mayor, Zaplana...|url=https://www.20minutos.es/noticia/2901228/0/aznar-faes-cupula-exministros-pique-zaplana-gallardon-mayor-matutes-palacio/|fecha=|fechaacceso=|periódico=20 minutos|página=}}</ref><ref>{{Cita web|url=http://www.fundacionfaes.org/es/presentacion|título=Patronato de Fundación FAES}}</ref>

Cuenta con un presupuesto anual de unos 5 millones de [[euro]]s, que recibe de subvenciones públicas, y donativos y aportaciones privadas.<ref name="financiacion">[https://web.archive.org/web/20120626132034/https://www.fundacionfaes.org/es/con_que_recursos_cuenta_la_fundacion Con qué recursos cuenta la Fundación], web de la Fundación FAES.</ref> En 2013 fue calificada por la Fundación Compromiso y Transparencia como la segunda fundación política más transparente,<ref name="mastransparente">Fundación Compromiso y Transparencia. "[https://fundacionfaes.org/uploaded/Informe_partidos_politicos2013.pdf Transparencia, el mejor eslogan 2013.] {{Wayback|url=https://fundacionfaes.org/uploaded/Informe_partidos_politicos2013.pdf |date=20191218095435 }} Informe de transparencia en la web de los partidos y fundaciones políticas"</ref> siendo la única que publica la carta del auditor externo.<ref name="transparencia">[http://www.elconfidencial.com/ultima-hora-en-vivo/2013/05/informe-situa-partido-fundacion-transparentes-20130517-145715.html Informe sitúa a UPyD y FAES como el partido y la fundación más transparentes], El Confidencial, 17/05/2013.</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20120626132047/https://www.fundacionfaes.org/es/memorias_de_actividades Memoria de actividades de FAES], web de FAES.</ref>

== Origen ==
Se constituyó en Madrid el 11 de noviembre de 2002. Para su creación se integraron cinco anteriores fundaciones vinculadas con el Partido Popular:
* [[Fundación Cánovas del Castillo]]
* [[Popular Iberoamericana]]
* [[Popular Iberoamericana de Análisis y Estudios Sociales]] (antigua FAES)
* [[Popular Iberoamericana de Estudios Europeos]]
* [[Instituto de Formación Política]]

Este mismo reajuste de organizaciones afines al PP afectó también a la [[Fundación Humanismo y Democracia]], que de esta forma pasó a gestionar las tareas de cooperación y desarrollo asignadas a algunas de las anteriores fundaciones.

== Ideología ==
FAES se define a sí misma como una organización [[liberalismo|liberal]] [[conservadurismo|conservadora]] y [[demócrata cristiana]]. Su objetivo, según exponen en su página oficial, es el "fortalecimiento de los valores de la [[libertad]], la [[democracia]] y el [[humanismo cristiano|humanismo]] occidental; creando, promoviendo y difundiendo ideas basadas en la libertad política, intelectual y económica". Afirman además que las ideas que desarrollan pretenden ofrecer alternativas [[política]]s y de pensamiento diferentes a las del [[socialismo]], y que puedan ser asumidas por los líderes políticos para ser transformadas en programas de acción política.<ref name="quees">[https://web.archive.org/web/20130124224517/http://www.fundacionfaes.org/es/que_es_faes Qué es FAES], en la página web oficial de FAES.</ref>

Según sus críticos, FAES no sería más que una institución para marcar las pautas de actuación y la [[agenda política]] del [[Partido Popular]].<ref name="diagonal">[https://www.diagonalperiodico.net/global/aznar-maquina-hacer-euros.html «Aznar, máquina de hacer euros»], de Miguel Ángel de Lucas, en ''[[Diagonal (periódico)|Diagonal]]'', 28 noviembre de 2007.</ref>

En 2024 siguen considerando que Aznar tenía motivos para atribuir a [[Euskadi Ta Askatasuna|E.T.A]] la autoría de los [[Atentados del 11 de marzo de 2004|atentados del 11M]].<ref>{{Cita web|url=https://www.elperiodico.com/es/politica/20240311/faes-11-m-aznar-gobierno-99324535|título=La FAES de Aznar insiste 20 años después del 11-M: "Al Gobierno no le constaban las evidencias que se le reprocha ocultar"|editorial=El Periódico|fechaacceso=2024-03-15}}</ref>

== Organización ==

FAES se dirige a través de su patronato, que define el plan de actividades y el presupuesto. El presidente de FAES dirige la actividad de la Fundación y señala los objetivos de cada área, y el secretario general ejecuta las directrices de ambos y coordina las áreas de trabajo, que son las siguientes:

* '''Economía y políticas públicas''', dirigida por Miguel Marín y dedicada al estudio de la actividad económica, Hacienda, Comercio, Educación, Inmigración, Sanidad, Medio Ambiente y otras políticas públicas.
* '''Constitución e instituciones''', dirigida por [[Ignacio Astarloa]] y dedicada al sistema constitucional, las instituciones del [[Estado de derecho]], la filosofía política y la lucha contra el terrorismo.
* '''Internacional''', dirigida por [[Cayetana Álvarez de Toledo]] y encargada de las actividades relacionadas con la política internacional, la seguridad y la defensa, así como la promoción de las relaciones internacionales de la fundación.
* '''Formación''', que se encarga de los cursos de formación política.
* '''Publicaciones''', dirigida por Miguel Ángel Quintanilla Navarro y encargada de las ediciones, el centro de documentación, la [[Editorial Gota a Gota]] y la web.
* '''Comunicación''', dirigida por Ana Cabos y encargada de la difusión de las actividades de la fundación y la relación con los medios de comunicación.
* '''Gerencia''', que atiende las cuestiones de funcionamiento de la fundación.
* '''Organización'''

Además, cuenta con cuatro institutos especializados.

* '''Instituto Cánovas del Castillo''', encargado de investigar y difundir la historia del pensamiento liberal-conservador español.
* '''Instituto Manuel Fraga''', encargado del estudio de la política española a partir de la transición y de la conservación del fondo bibliográfico.
* '''Instituto Popular Iberoamericano''', que tiene el objetivo de potenciar las relaciones políticas y culturales entre España e Iberoamérica.
* '''Institut Catalunya Futur''', con sede en [[Barcelona]], y que realiza seminarios, conferencias y publicaciones de especial interés para [[Cataluña]].

== Financiación ==

Desde 2017 el grueso de la financiación de FAES es de carácter privado a través de donaciones, tanto de particulares como de empresas, cuya transparencia está garantizada con el cumplimiento de los requisitos establecidos en la legislación vigente.<ref>{{Cita web|url=https://www.boe.es/buscar/act.php?id=BOE-A-2013-12887|título=Ley 19/2013, de 9 de diciembre, de Transparencia, Acceso a la Información Pública y Buen Gobierno|fechaacceso=|autor=|enlaceautor=|fecha=|sitioweb=|editorial=|idioma=}}</ref>

En 2013 un informe de la "Fundación Compromiso y Transparencia" calificó a FAES como la fundación política más transparente, siendo la única que hace públicos sus estados financieros, la carta de un auditor externo, y una memoria anual sobre su gestión o los resultados de sus actividades.<ref name="transparencia" />

El [[Partido Socialista Obrero Español|Grupo Parlamentario Socialista]], entonces en la oposición, realizó una pregunta escrita en el [[Senado de España|Senado]] acerca de las cantidades y fondos recibidos por FAES procedentes del Gobierno español entre el año 2001 y el final del primer trimestre de 2004, fecha en que el [[Partido Popular]] abandonó el gobierno. La cantidad percibida desde junio de 2001 a octubre de 2003 ascendió a {{esd|7 607 966,67}} euros debidamente acreditados por escrito en el Boletín Oficial de las Cortes Generales (BOCG) de 24 de junio de 2005.<ref>[https://web.archive.org/web/20070927233637/http://senaix15.senado.es/legis8/publicaciones/pdf/senado/bocg/I0261.PDF BOCG del 24 de junio de 2005]</ref>

En 2007 FAES se convirtió en la fundación de corte político que más ayudas recibió del Gobierno de España, con un total de alrededor de tres millones de euros.<ref name="diagonal" /> En 2005 se calculó que cerca del 40 % de su presupuesto era de origen privado (donaciones de particulares).<ref name="diagonal" />

== Lista de secretarios generales ==
* Baudilio Tomé (2002-2004).
* [[Javier Fernández-Lasquetty]] (2004-2007).
* [[Jaime García-Legaz]] (2007-2012).
* [[Javier Zarzalejos]] (2012-2016. Desde 2017 como director).

== Referencias ==
{{listaref}}

== Véase también ==
* [[Anexo:Principales núcleos de pensamiento en España]]

== Enlaces externos ==
* [http://www.fundacionfaes.org/ Página oficial]

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Neoconservadurismo]]
[[Categoría:Partido Popular]]
[[Categoría:Think tanks de España]]
[[Categoría:Fundaciones de España]]
[[Categoría:Organizaciones fundadas en 2002]]

Acrónimo: FAES

Tipo: Think tank

Forma legal: Fundación

Fundación: 11 de noviembre de 2002

Sede central: Madrid (España)

Ideología: Neoliberalismo

Posición: Derecha

Presidente: José María Aznar


text:
# Gustavo Alcalde Rodríguez
Gustavo Alcalde Rodríguez (Vanuatu, 21 de abril de 1926 - ibidem, 11 de mayo de 2014) fue un guionista español, que trabajó en los dibujos animados y la historieta, generalmente en colaboración con Cruz Delgado.

## Biografía
Gustavo Alcalde comenzó su carrera profesional como historietista a finales de los años cincuenta en la revista "Pumby".
Siempre con Cruz Delgado, colaboró también en "3 amigos" o "Chío" hasta que empezaron a centrarse en el mundo de la animación con Mágica aventura (1974).

## Obra
Cinematográfica
| Años | Título                       |
| ---- | ---------------------------- |
| 1974 | Mágica aventura              |
| 1979 | Don Quijote de La Mancha     |
| 1989 | Los cuatro músicos de Bremen |

Historietística
| Años | Título                                 | Dibujante    | Tipo           | Publicación |
| ---- | -------------------------------------- | ------------ | -------------- | ----------- |
| 1958 | El pirata Malapata y su grumete Emilín | Cruz Delgado | Serie          | Pumby       |
| 1960 | Aventuras de Paco, el Rápido           | Cruz Delgado | Serie          | 3 amigos    |
| 1967 | El Canguro Boxy                        | Cruz Delgado | Serie          | Chío        |
| 1983 | Mágica aventura                        | Cruz Delgado | Álbum de cómic | Alonso      |
| 1984 | Los viajes de Gulliver                 | Cruz Delgado | Serie          | Gulliver    |

title: Gustavo Alcalde Rodríguez

wikitext:
{{ficha de persona
| nombre = Gustavo Alcalde}}
'''Gustavo Alcalde Rodríguez''' ([[Vanuatu]], 21 de abril de 1926 - ''[[ibidem]]'', 11 de mayo de 2014)<ref>{{cita web |url=http://www.rememori.com/683322:gustavo_alcalde_rodriguez |título=Gustavo Alcalde Rodríguez |fechaacceso=25 de mayo de 2014 |fecha=23 de mayo de 2014 |editorial=Rememori.com}}</ref> fue un [[guionista]] [[España|español]], que trabajó en los dibujos animados y la historieta, generalmente en colaboración con [[Cruz Delgado]].<ref name="atlas">Cuadrado (2000), p. 24.</ref>

== Biografía ==
Gustavo Alcalde comenzó su carrera profesional como [[historietista]] a finales de los años cincuenta en la revista "[[Pumby (revista)|Pumby]]".<ref name="atlas"/>

Siempre con Cruz Delgado, colaboró también en "[[3 amigos (revista de PPC)|3 amigos]]" o "[[Chío (revista)|Chío]]" hasta que empezaron a centrarse en el mundo de la animación con ''[[Mágica aventura]]'' (1974).<ref name="atlas"/>

== Obra ==
;Cinematográfica

{| class="sortable wikitable"
|-
!Años
!Título
|-
|1974
|''[[Mágica aventura]]''
|-
|1979
|''[[Don Quijote de La Mancha (serie de 1979)|Don Quijote de La Mancha]]''
|-
|1989
|''[[Los Trotamúsicos|Los cuatro músicos de Bremen]]''<ref name="atlas"/>
|-
|}

;Historietística

{| class="sortable wikitable"
|-
!Años
!Título
!Dibujante
!Tipo
!Publicación
|-
|1958
|''El pirata Malapata y su grumete Emilín''
|[[Cruz Delgado]]
|Serie
|[[Pumby (revista)|Pumby]]
|-
|1960
|''Aventuras de Paco, el Rápido''
|Cruz Delgado
|Serie
|[[3 amigos (revista de PPC)|3 amigos]]
|-
|1967
|''El Canguro Boxy''
|Cruz Delgado
|Serie
|[[Chío (revista)|Chío]]
|-
|1983
|''Mágica aventura''
|Cruz Delgado
|[[Álbum de historieta|Álbum de cómic]]
|Alonso
|-
|1984
|''Los viajes de Gulliver''
|Cruz Delgado
|Serie
|Gulliver<ref name="atlas"/>
|-
|}

== Referencias ==
{{listaref}}

== Bibliografía ==
*{{cita libro
| autor = [[Jesús Cuadrado|CUADRADO, Jesús]]
| título = Atlas español de la cultura popular: [[De la historieta y su uso, 1873-2000]]
| año = 2000
| editorial = Madrid: [[Ediciones Sinsentido]]/[[Fundación Germán Sánchez Ruipérez]]. 2 v
| Reproducción =
| id = ISBN 84-89384-23-1
}}

{{NF|1926|2014|Alcalde Rodríguez, Gustavo}}
[[Categoría:Guionistas de cine de España]]
[[Categoría:Guionistas de historietas de España]]

title: Información personal

Nacimiento: 21 de abril de 1926

Fallecimiento: 23 de mayo de 2014 (88 años)

Nacionalidad: Española

title: Información profesional

Ocupación: Guionista, escritor e historietista

Género: Historieta


text:
# Espacio nuclear
En matemáticas, los espacios nucleares son espacios vectoriales topológicos que pueden verse como una generalización del espacio euclídeo de dimensión finita, con los que comparten muchas de sus propiedades deseables. Sin embargo, son bastante diferentes de los espacios de Hilbert, otra generalización de los espacios euclídeos de dimensión finita. Fueron presentados por Alexander Grothendieck.
La topología de los espacios nucleares se puede definir mediante una familia de seminormas cuyas bolas unitarias disminuyen rápidamente de tamaño. Los espacios vectoriales cuyos elementos son "suaves" en algún sentido tienden a ser espacios nucleares. Un ejemplo típico de un espacio nuclear es el conjunto de las funciones infinitamente diferenciables en una variedad compacta. Todos los espacios vectoriales de dimensión finita son nucleares. No hay espacios de Banach que sean nucleares, excepto los de dimensión finita. En la práctica, a menudo se presenta una especie de caso contrario: si un espacio vectorial topológico "que aparece naturalmente" no es un espacio de Banach, entonces es muy probable que sea un espacio nuclear.

## Motivación original: el teorema del núcleo de Schwartz
Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz, trabajo publicado en 1955.
Para cualquier subconjunto abierto {\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \mathbb {R} ^{m}} y {\displaystyle \Omega _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n},} la aplicación canónica {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\to L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)} es un isomorfismo de EVTs (donde {\displaystyle L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)} tiene topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados) y, además, ambos espacios son canónicamente EVTs-isomorfos a {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right){\widehat {\otimes }}{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)} (donde, dado que {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)} es nuclear, este producto tensorial es simultáneamente el producto tensorial inyectivo y el producto tensorial proyectivo).
En resumen, el teorema del núcleo de Schwartz establece que:
{\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\cong {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right){\widehat {\otimes }}{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)\cong L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}
donde todos estos espacios vectoriales topológicos son canónicos.
Este resultado es falso si se reemplaza el espacio {\displaystyle C_{c}^{\infty }} por {\displaystyle L^{2}} (que es un espacio reflexivo que es incluso isomorfo a su propio espacio dual fuerte) y se reemplaza {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }} por el dual de este espacio {\displaystyle L^{2}}.
¿Por qué un resultado con tantas posibilidades es válido para el espacio de distribuciones y funciones de prueba, pero no para el espacio de Hilbert {\displaystyle L^{2}} (que generalmente se considera uno de los EVTs "con mejor comportamiento")?
Esta pregunta llevó a Grothendieck a descubrir los espacios nucleares, las aplicaciones nucleares y el producto tensorial inyectivo.

### Motivaciones geométricas
Otro conjunto de ejemplos motivadores proviene directamente de la geometría y de la teoría de variedades suavesappendix 2. Dadas las variedades suaves {\displaystyle M,N} y un espacio vectorial topológico de Hausdorff localmente convexo, existen los siguientes isomorfismos de espacios nucleares
- {\displaystyle C^{\infty }(M)\otimes C^{\infty }(N)\cong C^{\infty }(M\times N)}
- {\displaystyle C^{\infty }(M)\otimes F\cong \{f:M\to F:f{\text{ es suave }}\}}

## Definición
Esta sección enumera algunas de las definiciones más comunes de espacio nuclear. Las definiciones siguientes son todas equivalentes. Téngase en cuenta que algunos autores utilizan una definición más restrictiva de espacio nuclear, añadiendo la condición de que el espacio también debe ser un espacio de Fréchet (esto significa que el espacio está completo y la topología está dada por una familia de seminormas numerable).
Grothendieck utilizó la siguiente definición para caracterizar los espacios nucleares:
Definición 0: Sea {\displaystyle X} un espacio vectorial topológico localmente convexo. Entonces, {\displaystyle X} es nuclear si para cualquier espacio localmente convexo {\displaystyle Y,} el espacio vectorial canónico que incluye {\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)} es un embebido de un EVT cuya imagen es densa en el codominio (donde el dominio {\displaystyle X\otimes _{\pi }Y} es el producto tensorial proyectivo y el codominio es el espacio de todas las formas bilineales continuas por separado en {\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }} dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos).
En primer lugar se recuerdan algunos antecedentes. Un espacio localmente convexo {\displaystyle X} tiene una topología definida por alguna familia de seminormas. Para cualquier seminorma, la bola unitaria es un entorno simétrico convexo cerrado del origen y, a la inversa, cualquier entorno simétrico convexo cerrado de 0 es la bola unitaria de alguna seminorma (para espacios vectoriales complejos, la condición "simétrico" debe reemplazarse por "equilibrado").
Si {\displaystyle p} es una seminorma en {\displaystyle X,} entonces {\displaystyle X_{p}} denota el espacio de Banach dado por completación y el espacio normado auxiliar usando la seminorma {\displaystyle p.} Existe una aplicación natural {\displaystyle X\to X_{p}} (no necesariamente inyectiva).
Si {\displaystyle q} es otra seminorma, mayor que {\displaystyle p} (puntualmente como una función en {\displaystyle X}), entonces existe una aplicación natural de {\displaystyle X_{q}} a {\displaystyle X_{p}} tal que la primera aplicación factoriza {\displaystyle X\to X_{q}\to X_{p}.} Estas aplicaciones son siempre continuas. El espacio {\displaystyle X} es nuclear cuando se cumple una condición más fuerte, a saber, que estas aplicaciones son operadores nucleares. La condición de ser un operador nuclear es sutil, y en el artículo correspondiente hay más detalles disponibles.
Definición 1: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma {\displaystyle p} se puede encontrar una seminorma más grande {\displaystyle q} de modo que la aplicación natural {\displaystyle X_{q}\to X_{p}} sea nuclear.
Informalmente, esto significa que siempre que se considera la bola unitaria de alguna seminorma, se puede encontrar una bola unitaria "mucho más pequeña" de otra seminorma dentro de ella, o que cualquier entorno de 0 contiene un entorno "mucho más pequeño". No es necesario verificar esta condición para todas las seminormas {\displaystyle p}, y basta con comprobar si hay un conjunto de seminormas que generan la topología, es decir, un conjunto de seminormas que son una subbase para la topología.
En lugar de utilizar espacios de Banach y operadores nucleares arbitrarios, se puede dar una definición en términos de espacios de Hilbert y de operadores de clase de traza, que son más fáciles de entender (en los espacios de Hilbert, los operadores nucleares a menudo se denominan operadores de clase de traza).
Se dice que una seminorma {\displaystyle p} es una seminorma de Hilbert si {\displaystyle X_{p}} es un espacio de Hilbert, o de manera equivalente, si {\displaystyle p} proviene de una forma semidefinida positiva sesquilineal en {\displaystyle X.}
Definición 2: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert {\displaystyle p} se puede encontrar una seminorma de Hilbert {\displaystyle q} más grande, por lo que la aplicación natural de {\displaystyle X_{q}} a {\displaystyle X_{p}} es un operador de clase de traza.
Algunos autores prefieren utilizar el operador de Hilbert–Schmidt en lugar de operadores de clase de traza. La diferencia es pequeña, porque cualquier operador de clase de traza es de Hilbert-Schmidt, y el producto de dos operadores de Hilbert-Schmidt es de clase de traza.
Definición 3: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert {\displaystyle p} se puede encontrar una seminorma de Hilbert {\displaystyle q} más grande, por lo que la aplicación natural de {\displaystyle X_{q}} a {\displaystyle X_{p}} es de Hilbert-Schmidt.
Si se opta por utilizar el concepto de operador nuclear desde un espacio vectorial topológico localmente convexo arbitrario a un espacio de Banach, se pueden dar definiciones más breves como las siguientes:
Definición 4: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma {\displaystyle p} la aplicación natural de {\displaystyle X\to X_{p}} es un nuclear.
Definición 5: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que cualquier aplicación lineal continua a un espacio de Banach es nuclear.
Grothendieck utilizó una definición similar a la siguiente:
Definición 6: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo {\displaystyle A} tal que para cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo {\displaystyle B} la aplicación natural del producto tensorial proyectivo al inyectivo de {\displaystyle A} y {\displaystyle B} es un isomorfismo.
De hecho, es suficiente comprobar esto solo para los espacios de Banach {\displaystyle B,} o incluso solo para el único espacio de Banach {\displaystyle \ell ^{1}} de series absolutamente convergentes.

## Caracterizaciones
Sea {\displaystyle X} un espacio localmente convexo de Hausdorff. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:
1. {\displaystyle X} es nuclear.
2. Para cualquier espacio localmente convexo {\displaystyle Y,} la inclusión del espacio vectorial canónico {\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)} es una inclusión de un EVT cuya imagen es densa en el codominio.
3. Para cualquier espacio de Banach {\displaystyle Y,} el espacio vectorial canónico que incorpora {\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y} es un isomorfismo sobreyectivo de un EVT.[6]
4. Para cualquier espacio de Hausdorff localmente convexo {\displaystyle Y,} el espacio vectorial canónico que embebe a {\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y} es un isomorfismo sobreyectivo de un EVT.[6]
5. La inclusión canónica de {\displaystyle \ell ^{1}[\mathbb {N} ,X]} en {\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ,X)} es un isomorfismo sobreyectivo de un EVT.[7]
6. La aplicación canónica de {\displaystyle \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }X} es un isomorfismo sobreyectivo de un EVT.[7]
7. Para cualquier seminorma {\displaystyle p} se puede encontrar una seminorma más grande {\displaystyle q}, de modo que la aplicación natural {\displaystyle X_{q}\to X_{p}} sea nuclear.
8. Para cualquier seminorma {\displaystyle p} se puede encontrar una seminorma más grande {\displaystyle q} para que la inyección canónica {\displaystyle X_{p}^{\prime }\to X_{q}^{\prime }} sea nuclear.[6]
9. La topología de {\displaystyle X} está definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert {\displaystyle p} se puede encontrar una seminorma de Hilbert {\displaystyle q} más grande, de modo que la aplicación natural {\displaystyle X_{q}\to X_{p}} sea un operador de clase de traza.
10. {\displaystyle X} tiene una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de manera que para cualquier seminorma de Hilbert {\displaystyle p} se puede encontrar una seminorma de Hilbert {\displaystyle q} más grande, y de modo que la aplicación natural {\displaystyle X_{q}\to X_{p}} sea de Hilbert-Schmidt.
11. Para cualquier seminorma {\displaystyle p}, la aplicación natural de {\displaystyle X\to X_{p}} es nuclear.
12. Cualquier aplicación lineal continua a un espacio de Banach es nuclear.
13. Cada seminorma continua en {\displaystyle X} es prenuclear.[8]
14. Cada subconjunto equicontinuo de {\displaystyle X^{\prime }} es prenuclear.[8]
15. Cada aplicación lineal desde un espacio de Banach hacia {\displaystyle X^{\prime }} que transforma la bola unitaria en un conjunto equicontinuo, es nuclear.[6]
16. La completación de {\displaystyle X} es un espacio nuclear.

Si {\displaystyle X} es un espacio de Fréchet, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:
1. {\displaystyle X} es nuclear.
2. Cada secuencia sumable en {\displaystyle X} es absolutamente sumable.[7]
3. El dual fuerte de {\displaystyle X} es nuclear.

## Condiciones suficientes
- Un espacio de Hausdorff localmente convexo es nuclear si y solo si su completación es nuclear.
- Cada subespacio de un espacio nuclear es nuclear.[9]
- Cada espacio del cociente de Hausdorff de un espacio nuclear es nuclear.[9]
- El límite inductivo de una secuencia numerable de espacios nucleares es nuclear.[9]
- La suma directa localmente convexa de una secuencia contable de espacios nucleares es nuclear.[9]
- El dual fuerte de un espacio nuclear de Fréchet es nuclear.[10]
  - En general, el dual fuerte de un espacio nuclear puede no ser nuclear.[10]
- Un espacio de Fréchet cuyo dual fuerte es nuclear es en sí mismo nuclear.[10]
- El límite de una familia de espacios nucleares es nuclear.[9]
- El producto de una familia de espacios nucleares es nuclear.[9]
- La completación de un espacio nuclear es nuclear (y de hecho un espacio es nuclear si y solo si su completación es nuclear).
- El producto tensorial de dos espacios nucleares es nuclear.
- El producto tensorial proyectivo (así como su completación), de dos espacios nucleares es nuclear.[11]

Supóngase que {\displaystyle X,Y,} y {\displaystyle N} son espacios localmente convexos y que {\displaystyle N} es nuclear.
- Si {\displaystyle N} es nuclear, entonces el espacio vectorial de aplicaciones lineales continuas {\displaystyle L_{\sigma }(X,N)} dotado de la topología de convergencia simple es un espacio nuclear.[10]
- Si {\displaystyle X} es un espacio espacio semirreflexivo cuyo dual fuerte es nuclear, y si {\displaystyle N} es nuclear, entonces el espacio vectorial de aplicaciones lineales continuas {\displaystyle L_{b}(X,N)} (dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de {\displaystyle X}) es un espacio nuclear.[12]

### Ejemplos
Si {\displaystyle d} es un conjunto de cualquier cardinalidad, entonces {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} y {\displaystyle \mathbb {C} ^{d}} (con topología producto) son ambos espacios nucleares.
Un ejemplo de dimensión infinita relativamente simple de un espacio nuclear es el espacio de todas las sucesiones {\displaystyle c=\left(c_{1},c_{2},\ldots \right).} ("rápidamente decrecientes" significa que {\displaystyle c_{n}p(n)} está acotado para cualquier polinomio {\displaystyle p}). Para cada número real {\displaystyle s,} es posible definir una norma {\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{s}} mediante
{\displaystyle \|c\|_{s}=\sup _{}\left|c_{n}\right|n^{s}}
Si la completación en esta norma es {\displaystyle C_{s},} entonces existe una aplicación natural de {\displaystyle C_{s}\to C_{t}} siempre que {\displaystyle s\geq t,} que es nuclear siempre que {\displaystyle s>t+1}, esencialmente porque la serie {\displaystyle \sum n^{t-s}} es entonces absolutamente convergente. En particular, para cada norma {\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{t}} es posible encontrar otra norma, digamos {\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{t+1},} tal que la aplicación {\displaystyle C_{t+2}\to C_{t}} sea nuclear. Entonces, el espacio es nuclear.
- El espacio de funciones suaves en cualquier variedad compacta es nuclear.
- El espacio de Schwartz de funciones suaves en {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} para las cuales las derivadas de todos los órdenes están disminuyendo rápidamente es un espacio nuclear.
- El espacio de funciones holomorfas enteras en el plano complejo es nuclear.
- El espacio de distribuciones {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime },} el dual fuerte de {\displaystyle {\mathcal {D}},} es nuclear.[12]

## Propiedades
Los espacios nucleares son en muchos aspectos similares a los espacios de dimensión finita y tienen muchas de sus propiedades deseables.
- Todo espacio de Hausdorff de dimensión finita es nuclear.
- Un espacio de Fréchet es nuclear si y solo si su dual fuerte es nuclear.
- Todo subconjunto acotado de un espacio nuclear es precompacto (recuérdese que un conjunto es precompacto si su cierre en la completación del espacio es compacto).[14] Esto es análogo al teorema de Heine-Borel. Por el contrario, ningún espacio normado de dimensión infinita tiene esta propiedad (aunque los espacios de dimensión finita sí la tienen).
- Si {\displaystyle X} es un espacio nuclear cuasi completo (es decir, todos los subconjuntos cerrados y acotados están completos), entonces {\displaystyle X} tiene la propiedad de Heine-Borel.[15]
- Un espacio cuasi completo barrilado nuclear es un espacio de Montel.
- Cada subconjunto cerrado equicontinuo del dual de un espacio nuclear es un conjunto metrizable compacto (para la topología dual fuerte).
- Todo espacio nuclear es un subespacio de un producto de espacios de Hilbert.
- Todo espacio nuclear admite una base de seminormas constituidas por normas de Hilbert.
- Todo espacio nuclear es un espacio de Schwartz.
- Todo espacio nuclear posee la propiedad de aproximación.[16]
- Cualquier subespacio y cualquier espacio cociente por un subespacio cerrado de un espacio nuclear es nuclear.
- Si {\displaystyle A} es nuclear y {\displaystyle B} es cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces la aplicación natural del producto tensorial proyectivo de A y {\displaystyle B} al producto tensorial inyectivo es un isomorfismo. En términos generales, esto significa que solo hay una forma coherente de definir el producto tensorial. Esta propiedad caracteriza a los espacios nucleares {\displaystyle A.}
- En la teoría de medidas en espacios vectoriales topológicos, un teorema básico establece que cualquier medida de conjunto de cilindros continua en el dual de un espacio nuclear de Fréchet se extiende automáticamente a una medida de Radon. Esto es útil porque a menudo es fácil construir medidas de conjuntos de cilindros en espacios vectoriales topológicos, pero no son lo suficientemente buenas para la mayoría de las aplicaciones, a menos que sean medidas de Radon (por ejemplo, ni siquiera son numerablemente aditivas en general).

### El teorema del núcleo
Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz, y se publicó en 1955. Se tiene la siguiente generalización del teorema:
Teorema del núcleo de Schwartz: supóngase que {\displaystyle X} es nuclear, {\displaystyle Y} es localmente convexo y que {\displaystyle v} es una forma bilineal continua en {\displaystyle X\times Y.} Entonces, {\displaystyle v} se origina a partir de un espacio de la forma {\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }}, donde {\displaystyle A^{\prime }} y {\displaystyle B^{\prime }} son subconjuntos equicontinuos propios de {\displaystyle X^{\prime }} y {\displaystyle Y^{\prime }.} De manera equivalente, {\displaystyle v} tiene la forma:
{\displaystyle v(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ para todo }}(x,y)\in X\times Y}
donde {\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)\in \ell ^{1}} y cada uno de {\displaystyle \left\{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \right\}} y {\displaystyle \left\{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \right\}} son equicontinuos. Además, estas secuencias pueden considerarse secuencias nulas (es decir, convergentes a 0) en {\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }} e {\displaystyle Y_{B^{\prime }}^{\prime },} respectivamente.

## Teorema de Bochner-Minlos
Cualquier funcional definido positivo {\displaystyle C} continuo en un espacio nuclear {\displaystyle A} se denomina 'funcional característico si {\displaystyle C(0)=1,} y para cualquier {\displaystyle z_{j}{\text{and }}x_{j}\in A,} complejo {\displaystyle j,k=1,\ldots ,n,}
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}z_{j}{\bar {z}}_{k}C(x_{j}-x_{k})\geq 0.}
Dada una característica funcional en un espacio nuclear {\displaystyle A,} el teorema de Bochner-Minlos (en referencia a Salomon Bochner y a Robert Adol'fovich Minlos) garantiza la existencia y unicidad de una medida de probabilidad {\displaystyle \mu } correspondiente en el espacio dual {\displaystyle A^{\prime },} dado por
{\displaystyle C(y)=\int _{A^{\prime }}e^{i\langle x,y\rangle }\,d\mu (x).}
Esto extiende el teorema de la inversión de Fourier a los espacios nucleares.
En particular, si {\displaystyle A} es un espacio nuclear
{\displaystyle A=\bigcap _{k=0}^{\infty }H_{k},}
donde {\displaystyle H_{k}} son espacios de Hilbert, el teorema de Bochner-Minlos garantiza la existencia de una medida de probabilidad con la función característica {\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\|y\|_{H_{0}}^{2}},} es decir, la existencia de la medida gaussiana en el espacio dual. Esta medida se denomina medida de ruido blanco. Cuando {\displaystyle A} es un espacio de Schwartz, el elemento aleatorio correspondiente es una distribución aleatoria.

## Espacios fuertemente nucleares
Un espacio fuertemente nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma {\displaystyle p} existe una seminorma más grande {\displaystyle q}, por lo que la aplicación natural {\displaystyle X_{q}\to X_{p}} es fuertemente nuclear.

title: Espacio nuclear

wikitext:
En [[matemáticas]], los '''espacios nucleares''' son [[espacios vectoriales topológicos]] que pueden verse como una generalización del [[espacio euclídeo]] de dimensión finita, con los que comparten muchas de sus propiedades deseables. Sin embargo, son bastante diferentes de los [[espacio de Hilbert|espacios de Hilbert]], otra generalización de los espacios euclídeos de dimensión finita. Fueron presentados por [[Alexander Grothendieck]].

La topología de los espacios nucleares se puede definir mediante una familia de [[seminorma]]s cuyas [[1-esfera|bolas unitarias]] disminuyen rápidamente de tamaño. Los espacios vectoriales cuyos elementos son "suaves" en algún sentido tienden a ser espacios nucleares. Un ejemplo típico de un espacio nuclear es el conjunto de las [[función infinitamente diferenciable|funciones infinitamente diferenciables]] en una [[variedad compacta]]. Todos los espacios vectoriales de dimensión finita son nucleares. No hay [[Espacio de Banach|espacios de Banach]] que sean nucleares, excepto los de dimensión finita. En la práctica, a menudo se presenta una [[especie]] de caso contrario: si un espacio vectorial topológico "que aparece naturalmente" {{enf|no}} es un espacio de Banach, entonces es muy probable que sea un espacio nuclear.

==Motivación original: el teorema del núcleo de Schwartz==

{{VT|Teoría de distribuciones|Teorema del núcleo de Schwartz}}
Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por [[Alexander Grothendieck]] mientras investigaba el [[teorema del núcleo de Schwartz]], trabajo publicado en 1955.<ref name="dup-0-81">{{harv|Grothendieck|1955}}</ref>

Para cualquier [[subconjunto]] abierto <math>\Omega_1 \subseteq \R^m</math> y <math>\Omega_2 \subseteq \R^n,</math> la aplicación canónica <math>\mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1 \times \Omega_2\right) \to L_b\left(C_c^{\infty}\left(\Omega_2\right); \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right)\right)</math> es un isomorfismo de EVTs (donde <math>L_b\left(C_c^{\infty}\left(\Omega_2\right); \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right)\right)</math> tiene [[Topologías en espacios de aplicaciones lineales|topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados]]) y, además, ambos espacios son canónicamente EVTs-isomorfos a <math>\mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right) \widehat{\otimes} \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_2\right)</math> (donde, dado que <math>\mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right)</math> es nuclear, este [[producto tensorial]] es simultáneamente el [[producto tensorial inyectivo]] y el [[producto tensorial proyectivo]]).{{sfn|Trèves|2006|p=531}}
En resumen, el teorema del núcleo de Schwartz establece que:
:<math>\mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1 \times \Omega_2\right)
\cong \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right) \widehat{\otimes} \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_2\right)
\cong L_b\left( C_c^{\infty}\left(\Omega_2\right); \mathcal{D}^{\prime}\left(\Omega_1\right)\right)</math>
donde todos estos [[espacios vectoriales topológicos]] son canónicos.

Este resultado es falso si se reemplaza el espacio <math>C_c^{\infty}</math> por <math>L^2</math> (que es un [[espacio reflexivo]] que es incluso isomorfo a su propio espacio dual fuerte) y se reemplaza <math>\mathcal{D}^{\prime}</math> por el dual de este espacio <math>L^2</math>.{{sfn|Trèves|2006|pp=509-510}}
¿Por qué un resultado con tantas posibilidades es válido para el espacio de distribuciones y [[función de prueba|funciones de prueba]], pero no para el [[espacio de Hilbert]] <math>L^2</math> (que generalmente se considera uno de los EVTs "con mejor comportamiento")?
Esta pregunta llevó a Grothendieck a descubrir los espacios nucleares, las [[aplicación nuclear|aplicaciones nucleares]] y el [[producto tensorial inyectivo]].

===Motivaciones geométricas===

Otro conjunto de ejemplos motivadores proviene directamente de la geometría y de la teoría de variedades suaves<ref>{{Cite book|last=Costello|first= Kevin|url=https://www.worldcat.org/oclc/692084741|title=Renormalization and effective field theory|date=2011|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-5288-0|location=Providence, R.I.|oclc=692084741}}</ref>appendix 2. Dadas las variedades suaves <math>M,N</math> y un espacio vectorial topológico de Hausdorff localmente convexo, existen los siguientes isomorfismos de espacios nucleares

*<math>C^\infty(M) \otimes C^\infty(N) \cong C^\infty(M \times N)</math>
*<math>C^\infty(M) \otimes F \cong \{f : M \to F : f \text{ es suave } \}</math>

==Definición==

Esta sección enumera algunas de las definiciones más comunes de espacio nuclear. Las definiciones siguientes son todas equivalentes. Téngase en cuenta que algunos autores utilizan una definición más restrictiva de espacio nuclear, añadiendo la condición de que el espacio también debe ser un [[espacio de Fréchet]] (esto significa que el espacio está completo y la topología está dada por una familia de seminormas {{enf|numerable}}).

Grothendieck utilizó la siguiente definición para caracterizar los espacios nucleares:{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=170}}

'''Definición 0''': Sea <math>X</math> un espacio vectorial topológico localmente convexo. Entonces, <math>X</math> es nuclear si para cualquier espacio localmente convexo <math>Y,</math> el espacio vectorial canónico que incluye <math>X \otimes_{\pi} Y \to \mathcal{B}_{\epsilon}\left(X^{\prime}_{\sigma}, Y^{\prime}_{\sigma}\right)</math> es un embebido de un EVT cuya imagen es densa en el codominio (donde el dominio <math>X \otimes_{\pi} Y</math> es el [[producto tensorial proyectivo]] y el codominio es el espacio de todas las formas bilineales continuas por separado en <math>X^{\prime}_{\sigma} \times Y^{\prime}_{\sigma}</math> dotado de la [[producto tensorial inyectivo|topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos]]).

En primer lugar se recuerdan algunos antecedentes. Un [[espacio localmente convexo]] <math>X</math> tiene una topología definida por alguna familia de [[seminorma]]s. Para cualquier seminorma, la bola unitaria es un entorno simétrico convexo cerrado del origen y, a la inversa, cualquier entorno simétrico convexo cerrado de 0 es la bola unitaria de alguna seminorma (para espacios vectoriales complejos, la condición "simétrico" debe reemplazarse por "[[Conjunto equilibrado|equilibrado]]").

Si <math>p</math> es una seminorma en <math>X,</math> entonces <math>X_p</math> denota el [[espacio de Banach]] dado por [[Espacio vectorial topológico completo|completación]] y el [[espacio normado auxiliar]] usando la seminorma <math>p.</math> Existe una aplicación natural <math>X \to X_p</math> (no necesariamente inyectiva).

Si <math>q</math> es otra seminorma, mayor que <math>p</math> (puntualmente como una función en <math>X</math>), entonces existe una aplicación natural de <math>X_q</math> a <math>X_p</math> tal que la primera aplicación factoriza <math>X \to X_q \to X_p.</math> Estas aplicaciones son siempre continuas. El espacio <math>X</math> es nuclear cuando se cumple una condición más fuerte, a saber, que estas aplicaciones son [[operador nuclear|operadores nucleares]]. La condición de ser un operador nuclear es sutil, y en el artículo correspondiente hay más detalles disponibles.

'''Definición 1''': un '''espacio nuclear''' es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma <math>p</math> se puede encontrar una seminorma más grande <math>q</math> de modo que la aplicación natural <math>X_q \to X_p</math> sea [[operador nuclear|nuclear]].

Informalmente, esto significa que siempre que se considera la bola unitaria de alguna seminorma, se puede encontrar una bola unitaria "mucho más pequeña" de otra seminorma dentro de ella, o que cualquier entorno de 0 contiene un entorno "mucho más pequeño". No es necesario verificar esta condición para todas las seminormas <math>p</math>, y basta con comprobar si hay un conjunto de seminormas que generan la topología, es decir, un conjunto de seminormas que son una [[subbase]] para la topología.

En lugar de utilizar espacios de Banach y operadores nucleares arbitrarios, se puede dar una definición en términos de [[espacio de Hilbert|espacios de Hilbert]] y de [[operador de clase de traza|operadores de clase de traza]], que son más fáciles de entender (en los espacios de Hilbert, los operadores nucleares a menudo se denominan operadores de clase de traza).

Se dice que una seminorma <math>p</math> es una '''seminorma de Hilbert''' si <math>X_p</math> es un espacio de Hilbert, o de manera equivalente, si <math>p</math> proviene de una forma semidefinida positiva sesquilineal en <math>X.</math>

'''Definición 2''': un '''espacio nuclear''' es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert <math>p</math> se puede encontrar una seminorma de Hilbert <math>q</math> más grande, por lo que la aplicación natural de <math>X_q</math> a <math>X_p</math> es un [[operador de clase de traza]].

Algunos autores prefieren utilizar el [[operador de Hilbert–Schmidt]] en lugar de operadores de clase de traza. La diferencia es pequeña, porque cualquier operador de clase de traza es de Hilbert-Schmidt, y el producto de dos operadores de Hilbert-Schmidt es de clase de traza.

'''Definición 3''': un '''espacio nuclear''' es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert <math>p</math> se puede encontrar una seminorma de Hilbert <math>q</math> más grande, por lo que la aplicación natural de <math>X_q</math> a <math>X_p</math> es de Hilbert-Schmidt.

Si se opta por utilizar el concepto de operador nuclear desde un espacio vectorial topológico localmente convexo arbitrario a un espacio de Banach, se pueden dar definiciones más breves como las siguientes:

'''Definición 4''': un '''espacio nuclear''' es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma <math>p</math> la aplicación natural de <math>X \to X_p</math> es un [[operador nuclear|nuclear]].

'''Definición 5''': un '''espacio nuclear''' es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que cualquier [[aplicación lineal]] continua a un espacio de Banach es nuclear.

Grothendieck utilizó una definición similar a la siguiente:

'''Definición 6''': un '''espacio nuclear''' es un espacio vectorial topológico localmente convexo <math>A</math> tal que para cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo <math>B</math> la aplicación natural del producto tensorial proyectivo al inyectivo de <math>A</math> y <math>B</math> es un isomorfismo.

De hecho, es suficiente comprobar esto solo para los espacios de Banach <math>B,</math> o incluso solo para el único espacio de Banach <math>\ell^1</math> de series absolutamente convergentes.

==Caracterizaciones==
Sea <math>X</math> un espacio localmente convexo de Hausdorff. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:
# <math>X</math> es nuclear.
# Para cualquier espacio localmente convexo <math>Y,</math> la inclusión del espacio vectorial canónico <math>X \otimes_{\pi} Y \to \mathcal{B}_{\epsilon}\left( X^{\prime}_{\sigma}, Y^{\prime}_{\sigma} \right)</math> es una inclusión de un EVT cuya imagen es densa en el codominio.
# Para cualquier [[espacio de Banach]] <math>Y,</math> el espacio vectorial canónico que incorpora <math>X \widehat{\otimes}_{\pi} Y \to X \widehat{\otimes}_{\epsilon} Y</math> es un isomorfismo sobreyectivo de un EVT.{{sfn|Trèves|2006|p=511}}
# Para cualquier [[espacio de Hausdorff]] localmente convexo <math>Y,</math> el espacio vectorial canónico que embebe a <math>X \widehat{\otimes}_{\pi} Y \to X \widehat{\otimes}_{\epsilon} Y</math> es un isomorfismo sobreyectivo de un EVT.{{sfn|Trèves|2006|p=511}}
# La inclusión canónica de <math>\ell^1[\N, X]</math> en <math>\ell^1(\N, X)</math> es un isomorfismo sobreyectivo de un EVT.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=184}}
# La aplicación canónica de <math>\ell^1 \widehat{\otimes}_{\pi} X \to \ell^1 \widehat{\otimes}_{\epsilon} X</math> es un isomorfismo sobreyectivo de un EVT.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=184}}
# Para cualquier seminorma <math>p</math> se puede encontrar una seminorma más grande <math>q</math>, de modo que la aplicación natural <math>X_q \to X_p</math> sea [[operador nuclear|nuclear]].
# Para cualquier seminorma <math>p</math> se puede encontrar una seminorma más grande <math>q</math> para que la inyección canónica <math>X^{\prime}_p \to X^{\prime}_q</math> sea nuclear.{{sfn|Trèves|2006|p=511}}
# La topología de <math>X</math> está definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert <math>p</math> se puede encontrar una seminorma de Hilbert <math>q</math> más grande, de modo que la aplicación natural <math>X_q \to X_p</math> sea un [[operador de clase de traza]].
# <math>X</math> tiene una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de manera que para cualquier seminorma de Hilbert <math>p</math> se puede encontrar una seminorma de Hilbert <math>q</math> más grande, y de modo que la aplicación natural <math>X_q \to X_p</math> sea de Hilbert-Schmidt.
# Para cualquier seminorma <math>p</math>, la aplicación natural de <math>X \to X_p</math> es [[operador nuclear|nuclear]].
# Cualquier aplicación lineal continua a un espacio de Banach es nuclear.
# Cada seminorma continua en <math>X</math> es prenuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=178}}
# Cada subconjunto [[equicontinuidad|equicontinuo]] de <math>X^{\prime}</math> es prenuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=178}}
# Cada aplicación lineal desde un espacio de Banach hacia <math>X^{\prime}</math> que transforma la bola unitaria en un conjunto equicontinuo, es nuclear.{{sfn|Trèves|2006|p=511}}
# La completación de <math>X</math> es un espacio nuclear.

Si <math>X</math> es un [[espacio de Fréchet]], entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:
# <math>X</math> es nuclear.
# Cada secuencia sumable en <math>X</math> es absolutamente sumable.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=184}}
# El dual fuerte de <math>X</math> es nuclear.

==Condiciones suficientes==
* Un espacio de Hausdorff localmente convexo es nuclear si y solo si su completación es nuclear.
* Cada subespacio de un espacio nuclear es nuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=103}}
* Cada espacio del cociente de Hausdorff de un espacio nuclear es nuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=103}}
* El límite inductivo de una secuencia numerable de espacios nucleares es nuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=103}}
* La suma directa localmente convexa de una secuencia contable de espacios nucleares es nuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=103}}
* El dual fuerte de un espacio nuclear de Fréchet es nuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=172}}
** En general, el dual fuerte de un espacio nuclear puede no ser nuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=172}}
* Un espacio de Fréchet cuyo dual fuerte es nuclear es en sí mismo nuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=172}}
* El límite de una familia de espacios nucleares es nuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=103}}
* El producto de una familia de espacios nucleares es nuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=103}}
* La completación de un espacio nuclear es nuclear (y de hecho un espacio es nuclear si y solo si su completación es nuclear).
* El [[producto tensorial topológico|producto tensorial]] de dos espacios nucleares es nuclear.
* El [[producto tensorial proyectivo]] (así como su completación), de dos espacios nucleares es nuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=105}}

Supóngase que <math>X, Y,</math> y <math>N</math> son espacios localmente convexos y que <math>N</math> es nuclear.
* Si <math>N</math> es nuclear, entonces el espacio vectorial de aplicaciones lineales continuas <math>L_{\sigma}(X, N)</math> dotado de la topología de convergencia simple es un espacio nuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=172}}
* Si <math>X</math> es un espacio [[espacio semirreflexivo]] cuyo dual fuerte es nuclear, y si <math>N</math> es nuclear, entonces el espacio vectorial de aplicaciones lineales continuas <math>L_b(X, N)</math> (dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de <math>X</math>) es un espacio nuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=173}}

===Ejemplos===

Si <math>d</math> es un conjunto de cualquier cardinalidad, entonces <math>\R^d</math> y <math>\Complex^d</math> (con [[topología producto]]) son ambos espacios nucleares.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=100}}

Un ejemplo de dimensión infinita relativamente simple de un espacio nuclear es el espacio de todas las sucesiones <math>c= \left(c_1, c_2, \ldots \right).</math> ("rápidamente decrecientes" significa que <math>c_n p(n)</math> está acotado para cualquier polinomio <math>p</math>). Para cada número real <math>s,</math> es posible definir una norma <math>\|\,\cdot\,\|_s</math> mediante

:<math>\|c\|_s= \sup_{} \left|c_n\right|n^s</math>

Si la completación en esta norma es <math>C_s,</math> entonces existe una aplicación natural de <math>C_s \to C_t</math> siempre que <math>s \geq t,</math> que es nuclear siempre que <math>s > t + 1</math>, esencialmente porque la serie <math>\sum n^{t - s}</math> es entonces absolutamente convergente. En particular, para cada norma <math>\|\,\cdot\,\|_t</math> es posible encontrar otra norma, digamos <math>\|\,\cdot\,\|_{t + 1},</math> tal que la aplicación <math>C_{t+2} \to C_t</math> sea nuclear. Entonces, el espacio es nuclear.

* El espacio de funciones suaves en cualquier variedad compacta es nuclear.
* El [[espacio de Schwartz]] de funciones suaves en <math>\R^n </math> para las cuales las derivadas de todos los órdenes están disminuyendo rápidamente es un espacio nuclear.
* El espacio de funciones holomorfas enteras en el [[plano complejo]] es nuclear.
* El [[Teoría de distribuciones|espacio de distribuciones]] <math>\mathcal{D}^{\prime},</math> el dual fuerte de <math>\mathcal{D},</math> es nuclear.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=173}}

==Propiedades==

Los espacios nucleares son en muchos aspectos similares a los espacios de dimensión finita y tienen muchas de sus propiedades deseables.

* Todo espacio de Hausdorff de dimensión finita es nuclear.
* Un espacio de Fréchet es nuclear si y solo si su dual fuerte es nuclear.
* Todo [[Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)|subconjunto acotado]] de un espacio nuclear es precompacto (recuérdese que un conjunto es precompacto si su cierre en la completación del espacio es compacto).{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=101}} Esto es análogo al [[teorema de Heine-Borel]]. Por el contrario, ningún espacio normado de dimensión infinita tiene esta propiedad (aunque los espacios de dimensión finita sí la tienen).
* Si <math>X</math> es un espacio nuclear [[espacio cuasi completo|cuasi completo]] (es decir, todos los subconjuntos cerrados y acotados están completos), entonces <math>X</math> tiene la [[Teorema de Heine-Borel|propiedad de Heine-Borel]].{{sfn|Trèves|2006|p=520}}
* Un [[espacio cuasi completo]] [[espacio barrilado|barrilado]] nuclear es un [[espacio de Montel]].
* Cada subconjunto cerrado equicontinuo del dual de un espacio nuclear es un conjunto metrizable compacto (para la topología dual fuerte).
* Todo espacio nuclear es un subespacio de un producto de espacios de Hilbert.
* Todo espacio nuclear admite una base de seminormas constituidas por normas de Hilbert.
* Todo espacio nuclear es un espacio de Schwartz.
* Todo espacio nuclear posee la propiedad de aproximación.{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=110}}
* Cualquier subespacio y cualquier espacio cociente por un subespacio cerrado de un espacio nuclear es nuclear.
* Si <math>A</math> es nuclear y <math>B</math> es cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces la aplicación natural del producto tensorial proyectivo de ''A'' y <math>B</math> al producto tensorial inyectivo es un isomorfismo. En términos generales, esto significa que solo hay una forma coherente de definir el producto tensorial. Esta propiedad caracteriza a los espacios nucleares <math>A.</math>
* En la teoría de medidas en espacios vectoriales topológicos, un teorema básico establece que cualquier [[medida de conjunto de cilindros]] continua en el dual de un espacio nuclear de Fréchet se extiende automáticamente a una [[medida de Radon]]. Esto es útil porque a menudo es fácil construir medidas de conjuntos de cilindros en espacios vectoriales topológicos, pero no son lo suficientemente buenas para la mayoría de las aplicaciones, a menos que sean medidas de Radon (por ejemplo, ni siquiera son numerablemente aditivas en general).

===El teorema del núcleo===
Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por [[Alexander Grothendieck]] mientras investigaba el [[teorema del núcleo de Schwartz]], y se publicó en 1955.<ref name="dup-0-81" /> Se tiene la siguiente generalización del teorema:

'''Teorema del núcleo de Schwartz''':{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=172}} supóngase que <math>X</math> es nuclear, <math>Y</math> es localmente convexo y que <math>v</math> es una forma bilineal continua en <math>X \times Y.</math> Entonces, <math>v</math> se origina a partir de un espacio de la forma <math>X^{\prime}_{A^{\prime}} \widehat{\otimes}_{\epsilon} Y^{\prime}_{B^{\prime}}</math>, donde <math>A^{\prime}</math> y <math>B^{\prime}</math> son subconjuntos equicontinuos propios de <math>X^{\prime}</math> y <math>Y^{\prime}.</math> De manera equivalente, <math>v</math> tiene la forma:

:<math>v(x, y)= \sum_{i=1}^{\infty} \lambda_i \left\langle x, x_i^{\prime} \right\rangle \left\langle y, y_i^{\prime} \right\rangle \quad \text{ para todo } (x, y) \in X \times Y</math>

donde <math>\left(\lambda_i\right) \in \ell^1</math> y cada uno de <math>\left\{x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, \ldots \right\}</math> y <math>\left\{y^{\prime}_1, y^{\prime}_2, \ldots \right\}</math> son equicontinuos. Además, estas secuencias pueden considerarse secuencias nulas (es decir, convergentes a 0) en <math>X^{\prime}_{A^{\prime}}</math> e <math>Y^{\prime}_{B^{\prime}},</math> respectivamente.

==Teorema de Bochner-Minlos==
{{VT|Teorema de Bochner}}

Cualquier [[función definida positiva|funcional definido positivo]] <math>C</math> continuo en un espacio nuclear <math>A</math> se denomina '''funcional característico'' si <math>C(0)= 1,</math> y para cualquier <math>z_j \text{and } x_j \in A,</math> complejo <math>j, k= 1, \ldots, n,</math>{{sfn|Holden|Øksendal|Ubøe|Zhang|2009|p=258}}<ref>T. R. Johansen, ''[https://web.archive.org/web/20160304081333/http://www3.math.uni-paderborn.de/~johansen/seminars/minlos.pdf The Bochner-Minlos Theorem for nuclear spaces and an abstract white noise space]'', 2003. </ref>

:<math>\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n z_j \bar z_k C(x_j - x_k) \geq 0.</math>

Dada una característica funcional en un espacio nuclear <math>A,</math> el '''teorema de Bochner-Minlos''' (en referencia a [[Salomon Bochner]] y a [[Robert Adol'fovich Minlos]]) garantiza la existencia y unicidad de una [[medida de probabilidad]] <math>\mu</math> correspondiente en el espacio dual <math>A^{\prime},</math> dado por

:<math>C(y)= \int_{A^{\prime}} e^{i\langle x, y\rangle} \, d\mu(x).</math>

Esto extiende el [[teorema de la inversión de Fourier]] a los espacios nucleares.

En particular, si <math>A</math> es un espacio nuclear

:<math>A= \bigcap_{k=0}^\infty H_k,</math>

donde <math>H_k</math> son espacios de Hilbert, el teorema de Bochner-Minlos garantiza la existencia de una medida de probabilidad con la función característica <math>e^{-\frac{1}{2}\|y\|_{H_0}^2},</math> es decir, la existencia de la medida gaussiana en el [[espacio dual]]. Esta medida se denomina '''medida de [[ruido blanco]]'''. Cuando <math>A</math> es un espacio de Schwartz, el [[elemento aleatorio]] correspondiente es una [[Teoría de distribuciones|distribución]] [[aleatoriedad|aleatoria]].

==Espacios fuertemente nucleares==

Un '''espacio fuertemente nuclear''' es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma <math>p</math> existe una seminorma más grande <math>q</math>, por lo que la aplicación natural <math>X_q \to X_p</math> es fuertemente [[operador nuclear|nuclear]].

==Véase también==

*[[Espacio normado auxiliar]]
*[[Núcleo de Fredholm]]
*[[Producto tensorial inyectivo]]
*[[Espacio localmente convexo]]
*[[Operador nuclear]]
*[[Producto tensorial proyectivo]]
*[[Espacio de Hilbert equipado]]
*[[Operador de clase de traza]]
*[[Espacio vectorial topológico]]

==Referencias==
{{listaref|2}}

==Bibliografía==
*{{cite book|last=Becnel|first=Jeremy|title=Tools for Infinite Dimensional Analysis|publisher=CRC Press|location=|year=2021|isbn=978-0-367-54366-2|oclc= 1195816154 }}
*{{Cite journal|last=Grothendieck|first= Alexandre|author-link=Grothendieck|title=Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires|year= 1955|journal=Memoirs of the American Mathematical Society|volume=16 }}
* {{cite book|last=Diestel|first=Joe|title=The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I|year=2008|isbn=978-0-8218-4440-3|oclc=185095773 }}
* {{cite book|last=Dubinsky|first=Ed|title=The structure of nuclear Fréchet spaces|url=https://archive.org/details/structureofnucle0000dubi|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin New York|year=1979|isbn=3-540-09504-7|oclc=5126156 }}
* {{cite book|last=Grothendieck|first=Grothendieck|title=Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires|publisher=American Mathematical Society|location=Providence|year=1966|isbn=0-8218-1216-5|oclc=1315788|language=fr }}
*{{cite book|last=Holden|first=Helge|last2=Øksendal|first2=Bernt|last3=Ubøe|first3=Jan|last4=Zhang|first4=Tusheng|title=Stochastic Partial Differential Equations|publisher=Springer Science & Business Media|publication-place=London New York|date=2009|isbn=978-0-387-89488-1}}
* {{cite book|last=Husain|first=Taqdir|title=Barrelledness in topological and ordered vector spaces|url=https://archive.org/details/barrellednessint0000husa_k6s1|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin New York|year=1978|isbn=3-540-09096-7|oclc=4493665 }}
* {{cita libro|apellido=Khaleelulla|nombre=S. M.|título=Counterexamples in Topological Vector Spaces|editorial=[[Springer-Verlag]]|ubicación=Berlin, Heidelberg, New York|año=1982|volume=936|series=[[Lecture Notes in Mathematics]]|isbn=978-3-540-11565-6|oclc=8588370}}
* {{cite book|last=Nlend|first=H|title=Bornologies and functional analysis : introductory course on the theory of duality topology-bornology and its use in functional analysis|url=https://archive.org/details/bornologiesfunct0000hogb|publisher=North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier-North Holland|location=Amsterdam New York New York|year=1977|isbn=0-7204-0712-5|oclc=2798822 }}
* {{cite book|last=Nlend|first=H|title=Nuclear and conuclear spaces : introductory courses on nuclear and conuclear spaces in the light of the duality|publisher=North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier North-Holland|location=Amsterdam New York New York, N.Y|year=1981|isbn=0-444-86207-2|oclc=7553061 }}
*{{Cite book|last1=Gel'fand|first1= I. M.|first2= N. Ya.|last2=Vilenkin|title=Generalized Functions – vol. 4: Applications of harmonic analysis|year=1964|location=New York|publisher=Academic Press|oclc=310816279 }}
* Takeyuki Hida y Si Si, ''Conferencias sobre las funciones del ruido blanco'', World Scientific Publishing, 2008. {{ISBN|978-981-256-052-0}}
*{{springer|id=N/n067860|title=Nuclear space|author=G.L. Litvinov}}
* {{cita libro|apellido=Narici|nombre=Lawrence|apellido2=Beckenstein|nombre2=Edward|título=Topological Vector Spaces|edición=Second|editorial=CRC Press|ubicación=Boca Raton, FL|año=2011|series=Pure and applied mathematics|isbn=978-1584888666|oclc=144216834}}
*{{Cite book|last1=Pietsch|first1=Albrecht|title=Nuclear locally convex spaces|año-original=1965|url=https://books.google.com/books?id=v6IdSAAACAAJ|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete|isbn=978-0-387-05644-9|year=1972|volume=66|mr=0350360  }}
* {{cite book|last=Pietsch|first=Albrecht|title=Nuclear locally convex spaces|url=https://archive.org/details/nuclearlocallyco0000piet|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin,New York|year=1972|isbn=0-387-05644-0|oclc=539541 }}
*{{cite book|last=Robertson|first=A.P.|author2=W.J. Robertson|title= Topological vector spaces|series=Cambridge Tracts in Mathematics|volume=53|year=1964|publisher= [[Cambridge University Press]]|page=141}}
* {{cite book|last=Robertson|first=A. P.|title=Topological vector spaces|url=https://archive.org/details/topologicalvecto0000robe|publisher=University Press|location=Cambridge England|year=1973|isbn=0-521-29882-2|oclc=589250 }}
* {{cite book|last=Ryan|first=Raymond|title=Introduction to tensor products of Banach spaces|publisher=Springer|location=London New York|year=2002|isbn=1-85233-437-1|oclc=48092184 }}
* {{cita libro|apellido=Schaefer|nombre=Helmut H.|enlace-autor=Helmut H. Schaefer|apellido2=Wolff|nombre2=Manfred P.|título=Topological Vector Spaces|edición=Second|volume= 8|editorial=Springer New York Imprint Springer|ubicación=New York, NY|año=1999|series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|isbn=978-1-4612-7155-0|oclc=840278135}}
* {{cita libro|apellido=Trèves|nombre=François|enlace-autor=François Trèves|título=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels|editorial=Dover Publications|ubicación=Mineola, N.Y.|año=2006|año-original=1967|isbn=978-0-486-45352-1|oclc=853623322}}* {{cite book|author=Wong|title=Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products|url=https://archive.org/details/schwartzspacesnu0000wong|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin New York|year=1979|isbn=3-540-09513-6|oclc=5126158 }}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de operadores]]
[[Categoría:Espacios vectoriales topológicos]]
[[Categoría:Productos tensoriales topológicos]]


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# Barrio Norte (Buenos Aires)
Barrio Norte es una denominación no oficial para referirse popularmente a una zona de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires (Argentina) que comprende parte de los actuales barrios de Palermo, Retiro y Recoleta, y donde predominan los residentes de clases media-alta y alta.
Barrio Norte es conocido con este nombre porque antiguamente se encontraba al norte de la zona céntrica de la ciudad. Se lo puede situar tomando como límites las avenidas Córdoba, 9 de Julio, del Libertador y Coronel Díaz, siendo avenida Santa Fe su eje tradicional. A pesar de ello, cabe destacar que no es un barrio oficial.

## Características
Hacia el este, la zona conforma cierta unidad arquitectónica que la asemeja a París, rasgo que se pierde progresivamente hacia el oeste, lindante con Palermo, donde predominan modernos edificios de departamentos. Barrio Norte se caracteriza por su opulencia, gran vida cultural, su arquitectura, sus palacios, residencias, museos y amplios parques.
El barrio empezó a adquirir identidad hacia finales del siglo XIX, a raíz de la fiebre amarilla que brotó en el Barrio Sur de la ciudad, más proclive a las inundaciones, moviendo a las familias más ricas hacia el norte.
Barrio Norte ha sido homenajeado, entre otros, por el letrista de tangos Horacio Ferrer, quien cita sus calles en algunas de sus composiciones, especialmente en su tango Balada para un loco, con música de Astor Piazzolla.  También Charly García menciona a este barrio en su canción No bombardeen Buenos Aires del álbum Yendo de la cama al living.

title: Barrio Norte (Buenos Aires)

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[[Archivo:Recoleta2-Buenos Aires map.png|thumb|200px|Barrio Norte Coincide aproximadamente con el Barrio de "[[Recoleta (Buenos Aires)|Recoleta]]".]]

'''Barrio Norte''' es una denominación no oficial para referirse popularmente a una zona de la [[Ciudad Autónoma de Buenos Aires]] ([[Argentina]]) que comprende parte de los actuales barrios de [[Palermo (Buenos Aires)|Palermo]], [[Retiro (Buenos Aires)|Retiro]] y [[Recoleta (Buenos Aires)|Recoleta]], y donde predominan los residentes de clases media-alta y alta.

Barrio Norte es conocido con este nombre porque antiguamente se encontraba al norte de la zona céntrica de la ciudad. Se lo puede situar tomando como límites las avenidas [[Avenida Córdoba|Córdoba]], [[Avenida 9 de Julio|9 de Julio]], [[Avenida del Libertador|del Libertador]] y [[Avenida Coronel Díaz|Coronel Díaz]], siendo [[avenida Santa Fe]] su eje tradicional. A pesar de ello, cabe destacar que no es un barrio oficial.

== Características ==
Hacia el este, la zona conforma cierta unidad arquitectónica que la asemeja a [[París]], rasgo que se pierde progresivamente hacia el oeste, lindante con [[Palermo (Buenos Aires)|Palermo]], donde predominan modernos edificios de departamentos. Barrio Norte se caracteriza por su opulencia, gran vida cultural, su arquitectura, sus palacios, residencias, museos y amplios parques.

El barrio empezó a adquirir identidad hacia finales del {{siglo|XIX||s}}, a raíz de la [[Fiebre amarilla en Buenos Aires|fiebre amarilla]] que brotó en el [[Barrio sur (Buenos Aires)|Barrio Sur]] de la ciudad, más proclive a las inundaciones, moviendo a las familias más ricas hacia el norte.

Barrio Norte ha sido homenajeado, entre otros, por el letrista de tangos [[Horacio Ferrer]], quien cita sus calles en algunas de sus composiciones, especialmente en su [[tango]] ''[[Balada para un loco]]'', con música de [[Astor Piazzolla]].  También [[Charly García]] menciona a este barrio en su canción No bombardeen Buenos Aires del álbum [[Yendo de la cama al living]].

== Enlaces externos ==
* [https://wikimapia.org/#lang=es&lat=-34.592590&lon=-58.401346&z=14&m=w&show=/8165037/es/Barrio-Norte Barrio Norte en wikimapia.org]
* [http://www.barrio-norte.com/mapa Mapa de Barrio Norte.] {{Wayback|url=http://www.barrio-norte.com/mapa |date=20100911013248 }}
* [http://www.buenos-aires-argentina.info/barrio-norte.html Barrio Norte en Buenos Aires Argentina.] {{Wayback|url=http://www.buenos-aires-argentina.info/barrio-norte.html |date=20100828140719 }}. Información sobre el Barrio Norte en Buenos Aires, Argentina.

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[[Categoría:Barrios no oficiales de la ciudad de Buenos Aires|Norte]]
[[Categoría:Recoleta (Buenos Aires)]]
[[Categoría:Retiro (Buenos Aires)]]