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# Satz von Gauß-Markow
In der Stochastik ist der Satz von Gauß-Markow (in der Literatur ist auch die englische Transkription Markov zu finden, also Satz von Gauß-Markov) bzw. Satz von Gauß ein mathematischer Satz über die Klasse der linearen erwartungstreuen Schätzfunktionen. Er stellt eine theoretische Rechtfertigung der Methode der kleinsten Quadrate dar und ist nach den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und Andrei Andrejewitsch Markow benannt. Es wird in neuer Zeit vorgeschlagen, dass der Satz einfach Satz von Gauß heißen sollte, da die Zuschreibung zu Markow auf einem Irrtum beruht (siehe unten Abschnitt "Geschichte"). Der Satz besagt, dass in einem linearen Regressionsmodell dann ein bester linearer erwartungstreuer Schätzer, kurz BLES (englisch best linear unbiased estimator, kurz: BLUE) ist, wenn folgendes für Störgrößen gilt:
- sie haben einen Erwartungswert von null (Exogenität)
- die  Varianz der Störgrößen ist konstant (Homoskedastizität)
- die Störgrößen sind unkorreliert (Keine Autokorrelation)

Teilweise wird noch genannt, dass keine perfekte Multikollinearität bestehen darf.
Das sind die Annahmen des klassischen linearen Regressionsmodells, der Kleinste-Quadrate-Schätzer. Sind diese Voraussetzungen erfüllt und existiert ein solcher Schätzer, dass ist er der beste (BLUE). Hierbei bedeutet der „beste“, dass er – innerhalb der Klasse der linearen erwartungstreuen Schätzer – die „kleinste“ Kovarianzmatrix aufweist und somit minimalvariant ist. Die Störgrößen müssen nicht notwendigerweise normalverteilt sein. Sie müssen im Fall der verallgemeinerten Kleinste-Quadrate-Schätzung auch nicht unabhängig und identisch verteilt sein.

## Geschichte
Der Satz wurde im Jahr 1821 von Carl Friedrich Gauß bewiesen. Versionen seines Beweises wurden unter anderem von Helmert (1872), Czuber (1891) und Markow (1912) veröffentlicht. Jerzy Neyman, der die Arbeit von Gauß nicht kannte, benannte den Satz unter anderem nach Markow. Seitdem ist der Satz als Satz von Gauß-Markow bekannt. Da die heutige Bezeichnung vor allem auf der Unkenntnis Neymans von Gauß’ Beweis beruht, wird in neuer Zeit – vor allem in englischsprachiger Literatur – vorgeschlagen, den Satz allein nach Gauß zu benennen, etwa Satz von Gauß. Historische Informationen zum Satz von Gauß-Markow finden sich bei Seal (1967), Placket (1972), Stigler (1986) und in History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930 von Hald (1998).

## Formulierung des Satzes
In Worten lautet dieser Satz: Der Kleinste-Quadrate-Schätzer ist die beste lineare erwartungstreue Schätzfunktion, wenn die zufälligen Störgrößen (die folgenden Formeln beziehen sich auf die einfache lineare Regression):
- unkorreliert sind:
{\displaystyle \operatorname {Cov} (\varepsilon _{i},\varepsilon _{j})=\mathbb {E} [(\varepsilon _{i}-\mathbb {E} (\varepsilon _{i}))(\varepsilon _{j}-\mathbb {E} (\varepsilon _{j}))]=\mathbb {E} (\varepsilon _{i}\varepsilon _{j})=0\quad \forall i\neq j,\;i=1,\dotsc ,n,\;j=1,\dotsc ,n}.

unabhängige Zufallsvariablen sind immer auch unkorreliert. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Abwesenheit von Autokorrelation.
- im Mittel Null sind: Wenn das Modell einen – von Null verschiedenen – Achsenabschnitt enthält, ist es vernünftig, dass man zumindest fordert, dass der Mittelwert von {\displaystyle \varepsilon _{i}} in der Grundgesamtheit Null ist und sich die Schwankungen der einzelnen Störgrößen über die Gesamtheit der Beobachtungen ausgleichen. Mathematisch bedeutet das, dass der Erwartungswert der Störgrößen Null ist {\displaystyle \operatorname {E} (\varepsilon _{i})=0\quad ,i=1,\ldots ,n}. Diese Annahme macht keine Aussage über den Zusammenhang zwischen {\displaystyle x} und {\displaystyle \varepsilon }, sondern gibt lediglich eine Aussage über die Verteilung der unsystematischen Komponente in der Grundgesamtheit.[4] Dies bedeutet, dass das betrachte Modell im Mittel dem wahren Zusammenhang entspricht. Wäre der Erwartungswert nicht Null, dann würde man im Mittel einen falschen Zusammenhang schätzen. Zur Verletzung dieser Annahme kann es kommen, wenn eine relevante Variable im Regressionsmodell nicht berücksichtigt wurde (siehe Verzerrung durch ausgelassene Variablen).
- eine endliche konstante Varianz haben (Homoskedastizität):{\displaystyle \forall i:\operatorname {Var} (\varepsilon _{i})=\operatorname {Var} (Y_{i})=\sigma ^{2}=\mathrm {konst.} <\infty }

wenn die Varianz der Residuen (und somit die Varianz der erklärten Variablen selbst) für alle Ausprägungen der Regressoren gleich ist, liegt Homoskedastizität bzw. Varianzhomogenität vor.
Alle oben genannten Annahmen über die Störgrößen lassen sich so zusammenfassen:
{\displaystyle \forall i:\varepsilon _{i}\;{\sim }\;(0,\sigma ^{2})},
das heißt alle Störgrößen folgen der Verteilung {\displaystyle \varepsilon _{i}\;{\sim }\;(0,\sigma ^{2})} mit Erwartungswert {\displaystyle \mathbb {E} (\varepsilon _{i})=0} und der Varianz {\displaystyle \operatorname {Var} (\varepsilon _{i})=\sigma ^{2}}. Hierbei ist die Verteilung anfangs nicht näher spezifiziert.
Diese Annahmen werden auch als Gauß-Markow-Annahmen bezeichnet. In der Ökonometrie wird der Satz von Gauß-Markow oft abweichend dargestellt und es werden weitere Annahmen getroffen.

## Allgemeine Formulierung des Satzes von Gauß-Markow (regulärer Fall)
Als Ausgangslage betrachten wir ein typisches multiples lineares Regressionsmodell mit gegebenen Daten {\displaystyle \{y_{i},x_{ij}\}_{i=1,\dots ,n;j=1,\dots ,k}} für {\displaystyle n} statistische Einheiten und {\displaystyle k} Regressoren. Der Zusammenhang zwischen der abhängigen Variablen und den unabhängigen Variablen kann wie folgt dargestellt werden
{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\ldots +x_{ik}\beta _{k}+\varepsilon _{i}=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}+\varepsilon _{i},\quad i=1,2,\dotsc ,n}.
In Matrixnotation auch
{\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}_{(n\times 1)}\quad =\quad {\begin{pmatrix}1&x_{11}&x_{12}&\cdots &x_{1k}\\1&x_{21}&x_{22}&\cdots &x_{2k}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n1}&x_{n2}&\cdots &x_{nk}\end{pmatrix}}_{(n\times p)}\quad \cdot \quad {\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{k}\end{pmatrix}}_{(p\times 1)}\quad +\quad {\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\vdots \\\varepsilon _{n}\end{pmatrix}}_{(n\times 1)}}
mit {\displaystyle p=k+1}. In kompakter Schreibweise
{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}}.
Hier stellt {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} einen Vektor von unbekannten Parametern dar (bekannt als Regressionskoeffizienten), die mithilfe der Daten geschätzt werden müssen. Des Weiteren wird angenommen, dass die Störgrößen im Mittel Null sind: {\displaystyle \mathbb {E} [{\boldsymbol {\boldsymbol {\varepsilon }}}]=\mathbf {0} }, was bedeutet, dass wir davon ausgehen können, dass unser Modell im Mittel korrekt ist. Hierbei nimmt man von der Datenmatrix {\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{n\times p}} an, dass sie vollen (Spalten-)Rang hat, das heißt, es gilt {\displaystyle {\mbox{Rang}}(\mathbf {X} )=p}. Insbesondere ist dann {\displaystyle \mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} } eine reguläre, also invertierbare Matrix. Deshalb spricht man hier vom regulären Fall (s. Überschrift). Ferner nimmt man für die Kovarianzmatrix des Vektors der Störgrößen an, dass {\displaystyle {\mbox{Cov}}({\boldsymbol {\varepsilon }})=\mathbb {E} \left({\boldsymbol {\varepsilon }}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\top }\right)=\sigma ^{2}\mathbf {I} _{n}} gilt. Die Gauß-Markow-Annahmen lassen sich im multiplen Fall also zusammenfassen als
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\;\sim \;(\mathbf {0} ,\sigma ^{2}\mathbf {I} _{n})}
wobei der Erwartungswert der Störgrößen der Nullvektor {\displaystyle \mathbf {0} } und die Kovarianzmatrix den Erwartungswert des dyadischen Produkts der Störgrößen
{\displaystyle \mathbf {\Sigma } =\mathbb {E} ({\boldsymbol {\varepsilon }}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\top })={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0&\cdots &0\\0&\sigma ^{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\sigma ^{2}\end{pmatrix}}_{(n\times n)}=\sigma ^{2}\mathbf {I} _{n}} darstellt.
Diese Annahme ist die Homoskedastizitätsannahme im multiplen Fall.
Durch obige Spezifikation des linearen Modells erhält man damit für den Zufallsvektor {\displaystyle \mathbf {y} }
{\displaystyle \mathbf {y} \;\sim \;(\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }},\sigma ^{2}\mathbf {I} _{n})}.
Durch diese Annahmen erhält man:
1. Dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer für den wahren Parametervektor {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}, der {\displaystyle \mathbf {b} =\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} } lautet, ein minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer für {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} ist.
2. Dass die Kovarianzmatrix des Kleinste-Quadrate-Schätzers {\displaystyle {\mbox{Cov}}(\mathbf {b} )=\sigma ^{2}(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}} ist.
3. Dass die geschätzte Varianz der Störgrößen {\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}{n-p}}} ein erwartungstreuer Schätzer für die unbekannte Varianz der Störgrößen {\displaystyle \sigma ^{2}} ist.

### Minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer

#### Minimalvarianter
Der minimalvariante, bzw. „der Beste“ Schätzer zeichnet sich dadurch aus, dass er die „kleinste“ Kovarianzmatrix (bzgl. der Loewner-Halbordnung) aufweist (ist somit minimalvariant). Ein Schätzer der diese Eigenschaft aufweist wird deshalb auch minimalvarianter oder effizienter Schätzer genannt. Bei zusätzlicher Annahme von Erwartungstreue spricht man auch vom minimalvarianten erwartungstreuen Schätzer.
Jeder Schätzer aus der Klasse der linearen erwartungstreuen Schätzer lässt sich darstellen als
{\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\beta }}}=\mathbf {A} \mathbf {y} \;} (Linearität)
mit einer {\displaystyle (p\times n)}-Matrix {\displaystyle \mathbf {A} }. Ein Beispiel für einen Schätzer dieser Klasse ist der Kleinste-Quadrate-Schätzer {\displaystyle \mathbf {b} }.
Die Eigenschaft der Erwartungstreue besagt, dass die Schätzfunktion „im Mittel“ dem wahren Parametervektor entspricht
{\displaystyle \mathbb {E} ({\overline {\boldsymbol {\beta }}})={\boldsymbol {\beta }}}.
Unter den oben genannten Voraussetzungen gilt dann, für alle {\displaystyle (p\times 1)} Vektoren {\displaystyle \mathbf {R} _{1}}, die Ungleichung:
{\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {R} _{1}^{\top }\mathbf {b} )\;\leq \;\operatorname {Var} (\mathbf {R} _{1}^{\top }{\overline {\boldsymbol {\beta }}})} (Effizienzeigenschaft),
wobei {\displaystyle \mathbf {b} } der Kleinste-Quadrate-Schätzer ist, also der Schätzer, der mittels der Kleinste-Quadrate-Schätzung ermittelt wurde. Diese Effizienzeigenschaft kann auch umgeschrieben werden in
{\displaystyle \mathbf {R} _{1}^{\top }\operatorname {Cov} [\mathbf {b} ]\mathbf {R} _{1}\;\leq \;\mathbf {R} _{1}^{\top }\operatorname {Cov} [{\overline {\boldsymbol {\beta }}}]\mathbf {R} _{1}}
oder
{\displaystyle \mathbf {R} _{1}^{\top }\left(\operatorname {Cov} [{\overline {\boldsymbol {\beta }}}]-\operatorname {Cov} [\mathbf {b} ]\right)\mathbf {R} _{1}\;\geq \;0}.
Diese Eigenschaft wird positive Semidefinitheit genannt (siehe auch Kovarianzmatrix als Effizienzkriterium). Wenn also obige Ungleichung zutrifft, dann kann man sagen, dass {\displaystyle \mathbf {b} } besser ist als {\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\beta }}}}.

#### Linearität
Für den Kleinste-Quadrate-Schätzer gilt, dass er ebenfalls linear ist
{\displaystyle \mathbf {b} =\underbrace {(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }} _{:=\mathbf {A} }\mathbf {y} =\mathbf {A} \mathbf {y} }.
Die obige Ungleichung besagt, dass nach dem Satz von Gauß-Markow {\displaystyle \mathbf {b} } ein bester (nämlich minimalvarianter) linearer erwartungstreuer Schätzer, kurz BLES (englisch Best Linear Unbiased Estimator, kurz: BLUE) ist, also in der Klasse der linearen erwartungstreuen Schätzern die kleinste (Ko-)Varianz besitzt. Für diese Eigenschaft der Schätzfunktion {\displaystyle \mathbf {b} } braucht keine Verteilungsinformation der Störgröße vorzuliegen. Eine Steigerung der BLES-Eigenschaft stellt die sogenannte BES-Eigenschaft (BES für Bester erwartungstreuer Schätzer) dar, bei der die Beschränkung auf lineare Schätzer wegfällt. Oft stellt der Maximum-Likelihood-Schätzer eine Lösung dar, die BES ist. Tatsächlich ist der Kleinste-Quadrate-Schätzer {\displaystyle \mathbf {b} } bei normalverteilten Störgrößen ein Maximum-Likelihood-Schätzer und mit dem Satz von Lehmann-Scheffé kann die BES-Eigenschaft nachgewiesen werden.

## Beweis
Gegeben, dass der wahre Zusammenhang durch ein lineares Modell beschrieben wird, gilt es den Kleinste-Quadrate-Schätzer mit allen anderen linearen Schätzern zu vergleichen. Um einen Vergleich anstellen zu können, beschränkt man sich in der Analyse auf die Klasse der linearen und erwartungstreuen Schätzer. Jeder beliebige Schätzer dieser Klasse, neben dem Kleinste-Quadrate Schätzer {\displaystyle \mathbf {b} }, kann dargestellt werden als
{\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\beta }}}=\mathbf {A} \mathbf {y} \;} mit {\displaystyle \mathbf {A} \neq \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }}.
Falls {\displaystyle \mathbf {A} =\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }} erhält man den Kleinste-Quadrate-Schätzer {\displaystyle \mathbf {b} =(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} }. Die Klasse aller linearen Schätzer ist somit gegeben durch
{\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\beta }}}=\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} +\mathbf {A} \mathbf {y} -\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} =\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} +\underbrace {(\mathbf {A} -\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top })} _{=\mathbf {C} }\mathbf {y} =\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} +\mathbf {C} \mathbf {y} }, wobei die Matrix {\displaystyle \mathbf {C} } gegeben ist durch {\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} -\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }}
Nun gilt es Restriktionen für {\displaystyle \mathbf {C} } zu finden die sicherstellen, dass {\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\beta }}}} erwartungstreu für {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} ist. Ebenfalls muss die Kovarianzmatrix von {\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\beta }}}} gefunden werden. Der Erwartungswert von {\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\beta }}}} ergibt
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} ({\overline {\boldsymbol {\beta }}})&=\mathbb {E} (\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }(\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }})+\mathbf {C} (\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}))\\&=\mathbb {E} (\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }{\boldsymbol {\varepsilon }}+\mathbf {C} \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {C} {\boldsymbol {\varepsilon }})\\&={\boldsymbol {\beta }}+\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\underbrace {\mathbb {E} ({\boldsymbol {\varepsilon }})} _{=\mathbf {0} }+\mathbf {C} \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {C} \underbrace {\mathbb {E} ({\boldsymbol {\varepsilon }})} _{=\mathbf {0} }\\&={\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {C} \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}\end{aligned}}}
D. h. {\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\beta }}}} ist dann und nur dann erwartungstreu für {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}, wenn {\displaystyle \mathbf {C} \mathbf {X} =\mathbf {0} }, also gilt {\displaystyle \mathbb {E} ({\overline {\boldsymbol {\beta }}})={\boldsymbol {\beta }}\Longleftrightarrow \mathbf {C} \mathbf {X} =\mathbf {0} }.
Es folgt für die Kovarianzmatrix von  {\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\beta }}}}:
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {\beta }}}&=\operatorname {Cov} ({\overline {\boldsymbol {\beta }}})=\mathbb {E} \left\{\left[{\overline {\boldsymbol {\beta }}}-\mathbb {E} ({\overline {\boldsymbol {\beta }}})\right]\left[{\overline {\boldsymbol {\beta }}}-\mathbb {E} ({\overline {\boldsymbol {\beta }}})\right]^{\top }\right\}\\&=\mathbb {E} \left\{\left[\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }{\boldsymbol {\varepsilon }}+\mathbf {C} {\boldsymbol {\varepsilon }}\right]\left[\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }{\boldsymbol {\varepsilon }}+\mathbf {C} {\boldsymbol {\varepsilon }}\right]^{\top }\right\}\\&=\mathbb {E} \left\{\left[\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }{\boldsymbol {\varepsilon }}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\top }\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}+\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }{\boldsymbol {\varepsilon }}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\top }\mathbf {C} ^{\top }+\mathbf {C} {\boldsymbol {\varepsilon }}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\top }\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}+\mathbf {C} {\boldsymbol {\varepsilon }}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\top }\mathbf {C} ^{\top }\right]\right\}\\&=\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\sigma ^{2}\mathbf {I} _{n}\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}+\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\sigma ^{2}\mathbf {I} _{n}\mathbf {C} ^{\top }+\mathbf {C} \sigma ^{2}\mathbf {I} _{n}\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}+\mathbf {C} {\boldsymbol {\sigma }}^{2}\mathbf {I} _{n}\mathbf {C} ^{\top }\\&=\sigma ^{2}\left[\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}+\mathbf {C} \mathbf {C} ^{\top }\right]\end{aligned}}}
Daraus folgt
{\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {\beta }}}-\mathbf {\Sigma } _{\mathbf {b} }=\sigma ^{2}\mathbf {C} \mathbf {C} ^{\top }}
Diese Matrix wird immer positiv semidefinit sein, – unabhängig wie {\displaystyle \mathbf {C} } definiert ist – da eine Matrix multipliziert mit ihrer eigenen Transponierten immer positiv semidefinit ist.

## Singulärer Fall, schätzbare Funktionen
Wir betrachten nun den sog. singulären Fall, d. h. es gilt {\displaystyle {\mbox{Rang}}(\mathbf {X} )<p\;}. Dann ist auch {\displaystyle \mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} } nicht von vollem Rang, also nicht invertierbar. Der oben angegebene Kleinste-Quadrate-Schätzer {\displaystyle \mathbf {b} } existiert nicht. Man sagt, {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} ist nicht schätzbar bzw. nicht identifizierbar.
Der singuläre Fall tritt dann ein, wenn {\displaystyle n<p}, oder wenn nur in {\displaystyle q<p} verschiedenen Regressoreinstellungen beobachtet wird, oder wenn lineare Abhängigkeiten in der Datenmatrix {\displaystyle \mathbf {X} } vorliegen.
Sei nun {\displaystyle {\mbox{Rang}}(\mathbf {X} )=m<p}. Dann sind bestenfalls {\displaystyle m}-dimensionale Linearformen {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\beta }}} linear und erwartungstreu schätzbar, wobei {\displaystyle \mathbf {A} } eine {\displaystyle (m\times p)}-Matrix ist.

### Schätzbarkeitskriterium
{\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\beta }}} mit einer  {\displaystyle (s\times p)}-Matrix {\displaystyle \mathbf {A} ,s\leq m} ist schätzbar genau dann, wenn es eine  {\displaystyle (s\times n)}-Matrix {\displaystyle \mathbf {C} } gibt, so dass {\displaystyle \mathbf {C} \mathbf {X} =\mathbf {A} } gilt, d. h. wenn jeder Zeilenvektor von {\displaystyle \mathbf {A} } eine Linearkombination der Zeilenvektoren von {\displaystyle \mathbf {X} } ist. Siehe z. B.
Wesentlich eleganter kann das Schätzbarkeitskriterium mit Pseudoinversen formuliert werden. Dabei heißt {\displaystyle \mathbf {B} ^{-}} Pseudoinverse von {\displaystyle \mathbf {B} }, wenn {\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {B} ^{-}\mathbf {B} =\mathbf {B} } gilt.
{\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\beta }}} mit einer  {\displaystyle (s\times p)}-Matrix {\displaystyle \mathbf {A} ,s\leq m} ist schätzbar genau dann, wenn {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} =\mathbf {A} }. Dabei ist {\displaystyle (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-}} eine beliebige Pseudoinverse von {\displaystyle \mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} }. Siehe z. B.

#### Beispiel
Für die quadratische Regressionsgleichung {\displaystyle \ y=\beta _{0}+\beta _{1}x+\beta _{2}x^{2}+\varepsilon \ } wurden {\displaystyle \ n=4\ } Beobachtungen bei {\displaystyle \ x_{1}=0,\ x_{2}=0,\ x_{3}=1,\ x_{4}=1\ } durchgeführt. Damit ergibt sich
{\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}\ ;\ \operatorname {Rang} (\mathbf {X} )=2}.
Dann ist
{\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}={\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}+\beta _{2}\end{pmatrix}}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\beta }}\ ;\ \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\ ;\ {\boldsymbol {\beta }}={\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\beta _{2}\end{pmatrix}}}
schätzbar, weil die Zeilenvektoren von {\displaystyle \mathbf {A} } Linearkombinationen der Zeilenvektoren von {\displaystyle \mathbf {X} } sind. Beispielsweise ist der zweite Zeilenvektor von {\displaystyle \mathbf {A} } gleich der Differenz aus drittem und erstem Zeilenvektor von {\displaystyle \mathbf {X} }.
Hingegen ist
{\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}={\begin{pmatrix}\beta _{0}+\beta _{1}\\\beta _{2}\end{pmatrix}}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\beta }}\ ;\ \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
nicht schätzbar, weil sich keiner der Zeilenvektoren von {\displaystyle \mathbf {A} } als Linearkombination der der Zeilenvektoren von {\displaystyle \mathbf {X} } darstellen lässt.

### Satz von Gauß-Markow im singulären Fall
Sei {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\beta }}} schätzbar. Dann ist
{\displaystyle {\boldsymbol {g}}=\mathbf {A} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-}\mathbf {X} ^{\top }{\boldsymbol {y}}}
bester linearer erwartungstreuer Schätzer für {\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}}, wobei {\displaystyle (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-}} eine beliebige Pseudoinverse zu {\displaystyle \mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} } ist.
Der Schätzer {\displaystyle {\boldsymbol {g}}} kann auch ohne Pseudoinverse ausgedrückt werden:
{\displaystyle {\boldsymbol {g}}=\mathbf {A} {\boldsymbol {b}}}
Dabei ist {\displaystyle {\boldsymbol {b}}} eine beliebige Lösung des Normalgleichungssystems {\displaystyle \mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} {\boldsymbol {b}}=\mathbf {X} ^{\top }{\boldsymbol {y}}}.

## Verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung
Die verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung (VKQ-Schätzung), die von Aitken entwickelt wurde, erweitert der Satz von Gauß-Markow auf den Fall, bei dem der Vektor der Störgrößen eine nichtskalare Kovarianzmatrix hat, d. h. es gilt {\displaystyle \mathbf {\Sigma } \neq \sigma ^{2}\mathbf {I} _{n}}. Der VKQ-Schätzer ist ebenfalls BLUE.

title: Satz von Gauß-Markow

wikitext:
In der [[Stochastik]] ist der '''Satz von Gauß-Markow''' (in der Literatur ist auch die englische Transkription ''Markov'' zu finden, also ''Satz von Gauß-Markov'') bzw. ''Satz von Gauß'' ein [[Satz (Mathematik)|mathematischer Satz]] über die ''Klasse der linearen erwartungstreuen [[Schätzfunktion]]en''. Er stellt eine theoretische Rechtfertigung der [[Methode der kleinsten Quadrate]] dar und ist nach den Mathematikern [[Carl Friedrich Gauß]] und [[Andrei Andrejewitsch Markow (Mathematiker, 1856)|Andrei Andrejewitsch Markow]] benannt. Es wird in neuer Zeit vorgeschlagen, dass der Satz einfach ''Satz von Gauß'' heißen sollte, da die Zuschreibung zu Markow auf einem Irrtum beruht (siehe unten [[#Geschichte|Abschnitt "Geschichte"]]). Der Satz besagt, dass in einem [[lineares Modell|linearen Regressionsmodell]] dann ein '''bester linearer erwartungstreuer Schätzer''', kurz '''BLES'''<ref>[[International Statistical Institute]]: [http://isi.cbs.nl/glossary/term321.htm ''Glossary of statistical terms.'']</ref> ({{enS}} ''best linear unbiased estimator'', kurz: ''BLUE'') ist, wenn folgendes für [[Störgröße und Residuum|Störgrößen]] gilt:
* sie haben einen Erwartungswert von null ([[Exogenität]])
* die  Varianz der Störgrößen ist konstant ([[Homoskedastizität]])
* die Störgrößen sind [[Unkorreliertheit|unkorreliert]] (Keine [[Autokorrelation]])
Teilweise wird noch genannt, dass keine perfekte [[Multikollinearität]] bestehen darf.

Das sind die Annahmen des [[Klassisches lineares Modell der Normalregression#Klassisches lineares Modell|klassischen linearen Regressionsmodells]], der [[Methode der kleinsten Quadrate|Kleinste-Quadrate-Schätzer]]. Sind diese Voraussetzungen erfüllt und existiert ein solcher Schätzer, dass ist er der beste (BLUE). Hierbei bedeutet der „beste“, dass er – innerhalb der Klasse der linearen [[erwartungstreue]]n Schätzer – die „kleinste“ [[Kovarianzmatrix]] aufweist und somit minimalvariant ist. Die Störgrößen müssen nicht notwendigerweise [[Normalverteilung|normalverteilt]] sein. Sie müssen im Fall der [[Verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung|verallgemeinerten Kleinste-Quadrate-Schätzung]] auch nicht [[Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängig und identisch verteilt]] sein.

== Geschichte ==
Der Satz wurde im Jahr 1821 von [[Carl Friedrich Gauß]] bewiesen. Versionen seines Beweises wurden unter anderem von Helmert (1872), Czuber (1891) und [[Andrei Andrejewitsch Markow (Mathematiker, 1856)|Markow]] (1912) veröffentlicht. [[Jerzy Neyman]], der die Arbeit von Gauß nicht kannte, benannte den Satz unter anderem nach Markow. Seitdem ist der Satz als ''Satz von Gauß-Markow'' bekannt. Da die heutige Bezeichnung vor allem auf der Unkenntnis Neymans von Gauß’ Beweis beruht, wird in neuer Zeit – vor allem in englischsprachiger Literatur – vorgeschlagen, den Satz allein nach Gauß zu benennen, etwa ''Satz von Gauß''. Historische Informationen zum Satz von Gauß-Markow finden sich bei Seal (1967), Placket (1972), Stigler (1986) und in ''History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930'' von Hald (1998).<ref>Ulrich Kockelkorn: ''Lineare statistische Methoden.'' De Gruyter 2018,  ISBN 978-3-486-78782-5, S. 329 (abgerufen über [[Verlag Walter de Gruyter|De Gruyter]] Online).</ref>

== Formulierung des Satzes ==
In Worten lautet dieser Satz: Der [[Methode der kleinsten Quadrate|Kleinste-Quadrate-Schätzer]] ist die ''beste lineare erwartungstreue Schätzfunktion'', wenn die zufälligen Störgrößen (die folgenden Formeln beziehen sich auf die [[einfache lineare Regression]]):<ref name="Auer49">[[Ludwig von Auer]]: ''Ökonometrie. Eine Einführung.'' Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 6. durchges. u. aktualisierte Aufl. 2013, S. 49.</ref>

* [[Unkorreliertheit|unkorreliert]] sind:
*: <math>\operatorname{Cov}(\varepsilon_i, \varepsilon_j)= \mathbb{E}[(\varepsilon_i -  \mathbb{E}(\varepsilon_i))( \varepsilon_j -  \mathbb{E}( \varepsilon_j))]=  \mathbb{E}(\varepsilon_i \varepsilon_j) = 0 \quad \forall i \ne j,\; i=1,\dotsc,n,\; j=1,\dotsc,n</math>.
: unabhängige Zufallsvariablen sind immer auch unkorreliert. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Abwesenheit von [[Autokorrelation]].
* im Mittel Null sind: Wenn das Modell einen – von Null verschiedenen – Achsenabschnitt enthält, ist es vernünftig, dass man zumindest fordert, dass der [[Mittelwert]] von <math>\varepsilon_{i}</math> in der [[Grundgesamtheit]] Null ist und sich die Schwankungen der einzelnen Störgrößen über die Gesamtheit der Beobachtungen ausgleichen. Mathematisch bedeutet das, dass der [[Erwartungswert]] der Störgrößen Null ist <math>\operatorname{E}(\varepsilon_{i}) = 0 \quad , i = 1,\ldots,n</math>. Diese Annahme macht keine Aussage über den Zusammenhang zwischen <math>x</math> und <math>\varepsilon</math>, sondern gibt lediglich eine Aussage über die Verteilung der unsystematischen Komponente in der Grundgesamtheit.<ref>Jeffrey Marc Wooldridge: ''Introductory econometrics: A modern approach.'' 5. Auflage. Nelson Education 2015, S. 24.</ref> Dies bedeutet, dass das betrachte Modell im Mittel dem wahren Zusammenhang entspricht. Wäre der Erwartungswert nicht Null, dann würde man im Mittel einen falschen Zusammenhang schätzen. Zur Verletzung dieser Annahme kann es kommen, wenn eine relevante Variable im Regressionsmodell nicht berücksichtigt wurde (siehe [[Verzerrung durch ausgelassene Variablen]]).
* eine endliche konstante [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] haben ([[Homoskedastizität]]):<math> \forall i: \operatorname{Var}(\varepsilon_i) =\operatorname{Var}(Y_i)=\sigma^2 = \mathrm{konst.} < \infty</math>
: wenn die Varianz der Residuen (und somit die Varianz der erklärten Variablen selbst) für alle Ausprägungen der Regressoren gleich ist, liegt Homoskedastizität bzw. Varianzhomogenität vor.

Alle oben genannten Annahmen über die Störgrößen lassen sich so zusammenfassen:
:<math>\forall i: \varepsilon_i \; {\sim} \; (0,\sigma^2)</math>,
das heißt alle Störgrößen folgen der Verteilung <math>\varepsilon_i \; {\sim} \; (0,\sigma^2)</math> mit Erwartungswert <math> \mathbb{E}(\varepsilon_i) = 0</math> und der Varianz <math>\operatorname{Var}(\varepsilon_i) = \sigma^2</math>. Hierbei ist die Verteilung anfangs nicht näher spezifiziert.

Diese Annahmen werden auch als '''Gauß-Markow-Annahmen''' bezeichnet. In der [[Ökonometrie]] wird der Satz von Gauß-Markow oft abweichend dargestellt und es werden weitere Annahmen getroffen.

== Allgemeine Formulierung des Satzes von Gauß-Markow (regulärer Fall) ==
Als Ausgangslage betrachten wir ein typisches [[Multiple lineare Regression|multiples lineares Regressionsmodell]] mit gegebenen Daten <math>\{y_i,x_{ij}\}_{i=1, \dots, n;j=1, \dots, k}</math> für <math>n</math> [[statistische Einheit]]en und <math>k</math> Regressoren. Der Zusammenhang zwischen der abhängigen Variablen und den unabhängigen Variablen kann wie folgt dargestellt werden

:<math>y_i = \beta_0+ x_{i1} \beta_1 + x_{i2} \beta_2 + \ldots + x_{ik} \beta_k + \varepsilon_i = \mathbf x_{i}^{\top} \boldsymbol \beta + \varepsilon_i, \quad i=1, 2, \dotsc ,n</math>.

In Matrixnotation auch

:<math>
  \begin{pmatrix}
    y_1 \\
    y_2 \\
    \vdots \\
    y_n
  \end{pmatrix}_{(n \times 1)}\quad=\quad
\begin{pmatrix}
1 & x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1k}\\
1 & x_{21} &  x_{22} & \cdots & x_{2k}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & x_{n1} &  x_{n2} & \cdots  & x_{nk}
\end{pmatrix}_{(n \times p)}
\quad\cdot\quad
\begin{pmatrix}
    \beta_0 \\
    \beta_1 \\
    \vdots \\
    \beta_k
  \end{pmatrix}_{(p \times 1)}
\quad+\quad
  \begin{pmatrix}
    \varepsilon_1 \\
    \varepsilon_2 \\
    \vdots \\
    \varepsilon_n
  \end{pmatrix}_{(n \times 1)}
</math>

mit <math>p=k+1</math>. In kompakter Schreibweise

:<math>\mathbf y = \mathbf X \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol \varepsilon</math>.

Hier stellt <math>\boldsymbol\beta</math> einen Vektor von unbekannten Parametern dar (bekannt als [[Regressionskoeffizient]]en), die mithilfe der Daten geschätzt werden müssen. Des Weiteren wird angenommen, dass die Störgrößen im Mittel Null sind: <math>\mathbb{E}[\boldsymbol{\boldsymbol{\varepsilon}}]=\mathbf 0</math>, was bedeutet, dass wir davon ausgehen können, dass unser Modell im Mittel korrekt ist. Hierbei nimmt man von der [[Datenmatrix]] <math>\mathbf X \in \mathbb{R}^{n \times p}</math> an, dass sie vollen (Spalten-)[[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] hat, das heißt, es gilt <math>\mbox{Rang}(\mathbf{X})=p</math>. Insbesondere ist dann <math>\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X}</math> eine reguläre, also invertierbare Matrix. Deshalb spricht man hier vom ''regulären Fall'' (s. Überschrift). Ferner nimmt man für die [[Kovarianzmatrix]] des Vektors der Störgrößen an, dass <math>\mbox{Cov}(\boldsymbol{\varepsilon})=\mathbb{E}\left(\boldsymbol{\varepsilon}\boldsymbol{\varepsilon}^{\top} \right)=\sigma^2\mathbf I_n</math> gilt. Die Gauß-Markow-Annahmen lassen sich im multiplen Fall also zusammenfassen als

:<math>\boldsymbol \varepsilon\;\sim\; (\mathbf 0, \sigma^2 \mathbf I_n)</math>

wobei der Erwartungswert der Störgrößen der [[Nullvektor]] <math>\mathbf 0</math> und die Kovarianzmatrix den Erwartungswert des [[Dyadisches Produkt|dyadischen Produkts]] der Störgrößen

:<math>\mathbf{\Sigma} =  \mathbb{E}(\boldsymbol \varepsilon \boldsymbol \varepsilon^{\top} ) = \begin{pmatrix} \sigma^2  & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma^2  & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \sigma^2  \end{pmatrix}_{(n \times n)}= \sigma^2 \mathbf I_n</math> darstellt.

Diese Annahme ist die Homoskedastizitätsannahme im multiplen Fall.
Durch obige [[Spezifikation (Statistik)|Spezifikation]] des linearen Modells erhält man damit für den [[Zufallsvektor]] <math>\mathbf y</math>

:<math>\mathbf y \;\sim\; (\mathbf X \boldsymbol \beta, \sigma^2 \mathbf I_n)</math>.<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, [[Helmut Lütkepohl]], T.C. Lee. ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0-471-62414-1, second edition 1988, S. 202.</ref>

Durch diese Annahmen erhält man:
# Dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer für den wahren Parametervektor <math>\boldsymbol \beta</math>, der <math>\mathbf b = \left( \mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top} \mathbf{y}</math> lautet, ein minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer für <math>\boldsymbol\beta</math> ist.
# Dass die [[Kovarianzmatrix#Kovarianzmatrix des gewöhnlichen Kleinste-Quadrate-Schätzers|Kovarianzmatrix des Kleinste-Quadrate-Schätzers]] <math>\mbox{Cov}(\mathbf{b})= \sigma^2 (\mathbf X^{\top}  \mathbf X)^{-1}</math> ist.
# Dass die geschätzte Varianz der Störgrößen <math>\hat\sigma^2= \frac{\hat{\boldsymbol{\varepsilon}}^{\top}\hat\boldsymbol \varepsilon}{n-p}</math> ein [[Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen|erwartungstreuer Schätzer für die unbekannte Varianz der Störgrößen]] <math>\sigma^2</math> ist.

=== Minimalvarianter linearer erwartungstreuer Schätzer ===
==== Minimalvarianter ====
Der minimalvariante, bzw. „der Beste“ Schätzer zeichnet sich dadurch aus, dass er die „kleinste“ Kovarianzmatrix (bzgl. der [[Loewner-Halbordnung]]) aufweist (ist somit minimalvariant). Ein Schätzer der diese Eigenschaft aufweist wird deshalb auch minimalvarianter oder effizienter Schätzer genannt. Bei zusätzlicher Annahme von [[Erwartungstreue]] spricht man auch vom minimalvarianten erwartungstreuen Schätzer.

Jeder Schätzer aus der Klasse der linearen [[erwartungstreue]]n Schätzer lässt sich darstellen als

:<math>\overline{\boldsymbol\beta} =\mathbf  A\mathbf  y \;</math> (Linearität)

mit einer <math>(p \times n)</math>-Matrix <math>\mathbf  A </math>. Ein Beispiel für einen Schätzer dieser Klasse ist der Kleinste-Quadrate-Schätzer <math>\mathbf{b}</math>.

Die Eigenschaft der [[Erwartungstreue]] besagt, dass die Schätzfunktion „[[Erwartungswert|im Mittel]]“ dem wahren Parametervektor entspricht

:<math> \mathbb{E}(\overline{\boldsymbol\beta}) = \boldsymbol \beta </math>.

Unter den oben genannten Voraussetzungen gilt dann, für alle <math>(p \times 1)</math> Vektoren <math>\mathbf R_1</math>, die [[Ungleichung]]:

:<math>\operatorname{Var}(\mathbf R^{\top}_1 \mathbf b) \;\leq\;\operatorname{Var}(\mathbf R^{\top}_1 \overline{\boldsymbol\beta})</math> (Effizienzeigenschaft),

wobei <math>\mathbf b </math> der Kleinste-Quadrate-Schätzer ist, also der Schätzer, der mittels der [[Methode der kleinsten Quadrate|Kleinste-Quadrate-Schätzung]] ermittelt wurde. Diese Effizienzeigenschaft kann auch umgeschrieben werden in

:<math>\mathbf R^{\top}_1 \operatorname{Cov}[\mathbf b]\mathbf R_1  \;\leq\; \mathbf R^{\top}_1\operatorname{Cov}[\overline{ \boldsymbol \beta}]\mathbf R_1</math>

oder

:<math>\mathbf R^{\top}_1\left(\operatorname{Cov}[\overline{ \boldsymbol \beta}]- \operatorname{Cov}[\mathbf b]\right)\mathbf R_1  \;\geq\;0</math>.<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee. ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0-471-62414-1, second edition 1988, S. 203.</ref>

Diese Eigenschaft wird [[Definitheit#Definitheit von Matrizen|positive Semidefinitheit]] genannt (siehe auch [[Kovarianzmatrix#Kovarianzmatrix als Effizienzkriterium|Kovarianzmatrix als Effizienzkriterium]]). Wenn also obige Ungleichung zutrifft, dann kann man sagen, dass <math>\mathbf b</math> besser ist als <math>\overline{ \boldsymbol \beta}</math>.

==== Linearität ====
Für den Kleinste-Quadrate-Schätzer gilt, dass er ebenfalls linear ist

:<math>\mathbf b =\underbrace{(\mathbf{X}^{\top} \mathbf X )^{-1}\mathbf {X}^{\top} }_{:=\mathbf A} \mathbf y=\mathbf A \mathbf y</math>.

Die obige Ungleichung besagt, dass nach dem Satz von Gauß-Markow <math>\mathbf{b}</math> ein ''bester'' (nämlich minimalvarianter) ''linearer erwartungstreuer Schätzer'', kurz ''BLES''<ref>International Statistical Institute: [http://isi.cbs.nl/glossary/term321.htm ''Glossary of statistical terms.'']</ref> ({{enS}} ''Best Linear Unbiased Estimator'', kurz: ''BLUE'') ist, also in der Klasse der linearen erwartungstreuen Schätzern die kleinste (Ko-)Varianz besitzt. Für diese Eigenschaft der Schätzfunktion <math>\mathbf{b}</math> braucht keine Verteilungsinformation der Störgröße vorzuliegen. Eine Steigerung der BLES-Eigenschaft stellt die sogenannte ''BES-Eigenschaft'' (''BES'' für [[Bester erwartungstreuer Schätzer]]) dar, bei der die Beschränkung auf lineare Schätzer wegfällt. Oft stellt der [[Maximum-Likelihood-Schätzer]] eine Lösung dar, die BES ist. Tatsächlich ist der Kleinste-Quadrate-Schätzer <math>\mathbf{b}</math> bei [[Klassisches lineares Modell der Normalregression|normalverteilten Störgrößen]] ein Maximum-Likelihood-Schätzer und mit dem [[Satz von Lehmann-Scheffé]] kann die BES-Eigenschaft nachgewiesen werden.

== Beweis ==
Gegeben, dass der ''wahre Zusammenhang'' durch ein [[lineares Modell]] beschrieben wird, gilt es den Kleinste-Quadrate-Schätzer mit allen anderen linearen Schätzern zu vergleichen. Um einen Vergleich anstellen zu können, beschränkt man sich in der Analyse auf die Klasse der linearen und erwartungstreuen Schätzer. Jeder beliebige Schätzer dieser Klasse, neben dem Kleinste-Quadrate Schätzer <math>\mathbf b</math>, kann dargestellt werden als
:<math>\overline{\boldsymbol\beta} =\mathbf  A\mathbf  y \;</math> mit <math>\mathbf  A \ne  \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}</math>.

Falls <math>\mathbf  A =  \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}</math> erhält man den Kleinste-Quadrate-Schätzer <math>\mathbf b = (\mathbf{X}^\top \mathbf X )^{-1}\mathbf {X}^\top \mathbf y</math>. Die Klasse aller linearen Schätzer ist somit gegeben durch

:<math>\overline{\boldsymbol\beta} =\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}\mathbf  y +\mathbf  A\mathbf  y-\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}\mathbf  y=\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}\mathbf  y +\underbrace{(\mathbf  A-\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top})}_{= \mathbf{C}}\mathbf  y=\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}\mathbf  y+\mathbf{C}\mathbf  y</math>, wobei die Matrix <math>\mathbf{C}</math> gegeben ist durch <math>\mathbf{C}=\mathbf  A-\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}</math>

Nun gilt es Restriktionen für <math> \mathbf{C}</math> zu finden die sicherstellen, dass <math>\overline{\boldsymbol\beta}</math> [[erwartungstreu]] für <math>\boldsymbol\beta</math> ist. Ebenfalls muss die [[Kovarianzmatrix]] von <math>\overline{\boldsymbol\beta}</math> gefunden werden. Der [[Erwartungswert]] von <math>\overline{\boldsymbol\beta}</math> ergibt

:<math>\begin{align}
 \mathbb{E}(\overline{\boldsymbol\beta})& =\mathbb{E}(\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}(\mathbf X \boldsymbol \beta + \boldsymbol \varepsilon) +\mathbf{C}(\mathbf X \boldsymbol \beta + \boldsymbol \varepsilon))\\&=\mathbb{E}(\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}\mathbf X \boldsymbol \beta+\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}\boldsymbol \varepsilon+ \mathbf{C}\mathbf X \boldsymbol \beta +\mathbf{C}\boldsymbol \varepsilon)\\&=\boldsymbol \beta + \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}\underbrace{\mathbb{E}( \boldsymbol\varepsilon)}_{= \mathbf{0}}+ \mathbf{C}\mathbf X \boldsymbol \beta +\mathbf{C}\underbrace{\mathbb{E}(\boldsymbol \varepsilon)}_{= \mathbf{0}}
\\&=\boldsymbol \beta + \mathbf{C}\mathbf X \boldsymbol \beta
\end{align}</math>

D. h. <math>\overline{\boldsymbol\beta}</math> ist dann und nur dann erwartungstreu für <math>\boldsymbol\beta</math>, wenn <math>\mathbf{C}\mathbf X = \mathbf{0}</math>, also gilt <math>\mathbb{E}(\overline{\boldsymbol\beta})=\boldsymbol\beta\Longleftrightarrow \mathbf{C}\mathbf X = \mathbf{0}</math>.

Es folgt für die Kovarianzmatrix von  <math>\overline{\boldsymbol\beta}</math>:

:<math>\begin{align}\mathbf{\Sigma}_{\overline{\boldsymbol\beta}}& =\operatorname{Cov}(\overline{\boldsymbol\beta}) =\mathbb{E}\left\{ \left[\overline{\boldsymbol\beta}-\mathbb{E}(\overline{\boldsymbol\beta})\right]\left[\overline{\boldsymbol\beta}-\mathbb{E}(\overline{\boldsymbol\beta})\right]^{\top}\right\}\\&=\mathbb{E}\left\{\left[\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}\boldsymbol \varepsilon+\mathbf{C}\boldsymbol \varepsilon\right]\left[\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}\boldsymbol \varepsilon+\mathbf{C}\boldsymbol \varepsilon\right]^{\top}\right\}\\&=\mathbb{E}\left\{\left[\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}\boldsymbol \varepsilon \boldsymbol \varepsilon^{\top}\mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1}+\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1}\mathbf{X}^{\top}\boldsymbol \varepsilon \boldsymbol \varepsilon^{\top}\mathbf{C}^{\top}+\mathbf{C}\boldsymbol\varepsilon \boldsymbol \varepsilon^{\top}\mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1}+ \mathbf{C}\boldsymbol\varepsilon \boldsymbol \varepsilon^{\top} \mathbf{C}^{\top} \right]\right\}\\&=\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top} \sigma^2 \mathbf I_n \mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1}+\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1}\mathbf{X}^{\top} \sigma^2 \mathbf I_n\mathbf{C}^{\top}+\mathbf{C} \sigma^2 \mathbf I_n\mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1}+ \mathbf{C}\boldsymbol \sigma^2 \mathbf I_n  \mathbf{C}^{\top}\\&=\sigma^2  \left[\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1}+ \mathbf{C} \mathbf{C}^{\top}\right]\end{align}</math>

Daraus folgt

:<math>\mathbf{\Sigma}_{\overline{\boldsymbol\beta}} -\mathbf{\Sigma}_{\mathbf{b}}= \sigma^2 \mathbf{C} \mathbf{C}^{\top}</math><ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee. ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0-471-62414-1, second edition 1988, S. 205.</ref>

Diese Matrix wird immer positiv semidefinit sein, – unabhängig wie <math>\mathbf{C}</math> definiert ist – da eine Matrix multipliziert mit ihrer eigenen Transponierten immer positiv semidefinit ist.

== Singulärer Fall, schätzbare Funktionen ==

Wir betrachten nun den sog. ''singulären Fall'', d. h. es gilt <math>\mbox{Rang}(\mathbf{X})<p \;</math>. Dann ist auch <math>\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X}</math> nicht von vollem Rang, also nicht invertierbar. Der oben angegebene Kleinste-Quadrate-Schätzer <math>\mathbf b</math> existiert nicht. Man sagt, <math>\boldsymbol{\beta}</math> ist ''nicht schätzbar'' bzw. nicht [[Identifizierbarkeit|identifizierbar]].

Der singuläre Fall tritt dann ein, wenn <math>n<p</math>, oder wenn nur in <math>q<p</math> ''verschiedenen'' Regressoreinstellungen beobachtet wird, oder wenn lineare Abhängigkeiten in der Datenmatrix <math>\mathbf{X}</math> vorliegen.

Sei nun <math>\mbox{Rang}(\mathbf{X})=m<p</math>. Dann sind bestenfalls <math>m</math>-dimensionale Linearformen <math>\boldsymbol{\gamma}=\mathbf{A}\boldsymbol{\beta}</math> linear und erwartungstreu schätzbar, wobei <math>\mathbf{A}</math> eine <math>(m \times p)</math>-Matrix ist.

=== Schätzbarkeitskriterium ===
<math>\boldsymbol{\gamma}=\mathbf{A}\boldsymbol{\beta}</math> mit einer  <math>(s \times p)</math>-Matrix <math>\mathbf{A},s\leq m</math> ist schätzbar genau dann, wenn es eine  <math>(s \times n)</math>-Matrix <math>\mathbf{C}</math> gibt, so dass <math>\mathbf{C}\mathbf{X}=\mathbf{A}</math> gilt, d. h. wenn jeder [[Zeilenvektor]] von <math>\mathbf{A}</math> eine [[Linearkombination]] der Zeilenvektoren von <math>\mathbf{X}</math> ist. Siehe z. B.<ref>[[C. R. Rao]], [[Helge Toutenburg]],  Shalabh, C. Heumann: ''Linear Models and Generalizations'', Springer-Verlag 2008 (third edition)</ref>

Wesentlich eleganter kann das Schätzbarkeitskriterium mit [[Pseudoinverse]]n formuliert werden. Dabei heißt <math>\mathbf{B}^-</math> Pseudoinverse von <math>\mathbf{B}</math>, wenn <math>\mathbf{B}\mathbf{B}^-\mathbf{B}=\mathbf{B}</math> gilt.

<math>\boldsymbol{\gamma}=\mathbf{A}\boldsymbol{\beta}</math> mit einer  <math>(s \times p)</math>-Matrix <math>\mathbf{A},s\leq m</math> ist schätzbar genau dann, wenn <math>\mathbf{A}(\mathbf{X}^{\top}\mathbf{X})^-\mathbf{X}^{\top}\mathbf{X}=\mathbf{A}</math>. Dabei ist <math>(\mathbf{X}^{\top}\mathbf{X})^-</math> eine beliebige Pseudoinverse von <math>\mathbf{X}^{\top}\mathbf{X}</math>. Siehe z. B.<ref>[[Friedrich Pukelsheim|F. Pukelsheim]]: ''Optimal Design of Experiments'', Wiley, New York 1993</ref>

==== Beispiel ====
Für die quadratische Regressionsgleichung <math>\ y=\beta_0+\beta_1 x+ \beta_2x^2+\varepsilon\ </math> wurden <math>\ n=4\ </math> Beobachtungen bei <math>\ x_1=0,\ x_2=0,\ x_3=1,\ x_4=1\ </math> durchgeführt. Damit ergibt sich
:<math>\mathbf{X}=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0\\
 1 & 0 & 0\\
 1 & 1 & 1\\
 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\ ;\ \operatorname{Rang}(\mathbf{X}) = 2</math>.
Dann ist
:<math>\boldsymbol{\gamma}= \begin{pmatrix}
 \beta_0\\
 \beta_1+\beta_2
\end{pmatrix}= \mathbf{A}\boldsymbol{\beta}\ ;\ \mathbf{A}= \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\ ;\ \boldsymbol{\beta}= \begin{pmatrix}
 \beta_0\\
 \beta_1\\
 \beta_2
\end{pmatrix}</math>
schätzbar, weil die Zeilenvektoren von <math>\mathbf{A}</math> Linearkombinationen der Zeilenvektoren von <math>\mathbf{X}</math> sind. Beispielsweise ist der zweite Zeilenvektor von <math>\mathbf{A}</math> gleich der Differenz aus drittem und erstem Zeilenvektor von <math>\mathbf{X}</math>.

Hingegen ist
:<math>\boldsymbol{\gamma}= \begin{pmatrix}
 \beta_0+\beta_1\\
 \beta_2
\end{pmatrix}= \mathbf{A}\boldsymbol{\beta}\ ;\ \mathbf{A}= \begin{pmatrix}
 1 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>
nicht schätzbar, weil sich keiner der Zeilenvektoren von <math>\mathbf{A}</math> als Linearkombination der der Zeilenvektoren von <math>\mathbf{X}</math> darstellen lässt.

=== Satz von Gauß-Markow im singulären Fall ===
Sei <math>\boldsymbol{\gamma}=\mathbf{A}\boldsymbol{\beta}</math> schätzbar. Dann ist
:<math>\boldsymbol{g}=\mathbf{A}(\mathbf{X}^{\top}\mathbf{X})^-\mathbf{X}^{\top}\boldsymbol{y}</math>
bester linearer erwartungstreuer Schätzer für <math>\boldsymbol{\gamma}</math>, wobei <math>(\mathbf{X}^{\top}\mathbf{X})^-</math> eine beliebige Pseudoinverse zu <math>\mathbf{X}^{\top}\mathbf{X}</math> ist.

Der Schätzer <math>\boldsymbol{g}</math> kann auch ohne Pseudoinverse ausgedrückt werden:
:<math>\boldsymbol{g}=\mathbf{A}\boldsymbol{b}</math>
Dabei ist <math>\boldsymbol{b}</math> eine beliebige Lösung des [[Methode der kleinsten Quadrate|Normalgleichungssystems]] <math>\mathbf{X}^{\top}\mathbf{X}\boldsymbol{b}=\mathbf{X}^{\top}\boldsymbol{y}</math>.

== Verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung ==
Die [[verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung]] (VKQ-Schätzung), die von [[Alexander Aitken|Aitken]]<ref>{{cite journal |first=A. C. |last=Aitken |title=On Least Squares and Linear Combinations of Observations |journal=Proceedings of the Royal Society of Edinburgh |year=1935 |volume=55 |issue= |pages=42–48 }}</ref> entwickelt wurde, erweitert der Satz von Gauß-Markow auf den Fall, bei dem der Vektor der Störgrößen eine nichtskalare [[Kovarianzmatrix]] hat, d. h. es gilt <math>\mathbf{\Sigma} \ne \sigma^2 \mathbf I_n</math>.<ref>{{cite book |first=David S. |last=Huang |title=Regression and Econometric Methods |location=New York |publisher=John Wiley & Sons |year=1970 |isbn=0-471-41754-8 |pages=127–147 |url=https://books.google.com/books?id=5IxRAAAAMAAJ&pg=PA127 }}</ref> Der VKQ-Schätzer ist ebenfalls BLUE.

== Siehe auch ==
* [[Bester erwartungstreuer Schätzer]] (BES)
* [[Lineare Vorhersage|Beste lineare erwartungstreue Vorhersage]] (BLEV)
* [[Gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer]]
* [[Lokal minimaler Schätzer]]

== Weblinks ==
* Carolus Fridericus Gauss: ''Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae.'' In: ''Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores – Classis Physicae,'' Band 5 (1819–1822), Henricus Dieterich, Göttingen 1823, S. 33–90 ([http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN35283028X_0005_2NS Göttinger Digitalisierungszentrum]).
* A. A. Markoff: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung.'' 2. Auflage, 1912 ([http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=00930001&seq=5&frames=0&view=50 Cornell University Library]); ''siehe insb.'' [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=00930001&seq=&view=50&frames=0&pagenum=201 Kapitel 7]
* [http://jeff560.tripod.com/g.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (G)] ''zur Herkunft des Namens''

== Literatur ==
* George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee. ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0-471-62414-1, second edition 1988

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Statistik]]
[[Kategorie:Regressionsanalyse]]
[[Kategorie:Satz (Stochastik)|GaussMarkow]]
[[Kategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber|Satz von GaussMarkow]]


text:
# Droga wojewódzka 685
Die Droga wojewódzka 685 (DW 685) ist eine 60 Kilometer lange Droga wojewódzka (Woiwodschaftsstraße) in der polnischen Woiwodschaft Podlachien, die Zabłudów mit Kleszczele verbindet. Die Strecke liegt im Powiat Białostocki und im Powiat Hajnowski.

## Streckenverlauf
Woiwodschaft Podlachien, Powiat Białostocki
-  Zabłudów (DK 19)
-  Olszanka (DW 682)
- Żywkowo

Woiwodschaft Podlachien, Powiat Hajnowski
- Trześcianka
- Ancuty
- Narew
- Makówka
- Chrabostówka
-  Nowosady (DW 687)
- Dubiny
-  Hajnówka (Gajnowka) (DW 689)
- Pasieczniki Duże
- Istok
- Dubicze Cerkiewne
- Grabowiec
- Jelonka
-  Kleszczele (DK 66, DW 693)

wikiname: dewiki

title: Droga wojewódzka 685

in_language: de

wikitext:
{{Infobox hochrangige Straße
|LAND               = PL
|STRASSENTYP        = DW
|NUMMER             = 685
|ENUMMER            =
|GESAMTLÄNGE        = 60
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|PLANHINTERGRUND    =
|REGION             = * [[Woiwodschaft Podlachien]]
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Die '''Droga wojewódzka 685''' ('''DW 685''') ist eine 60 Kilometer lange [[Droga wojewódzka]] ([[Woiwodschaft]]sstraße) in der [[Polen|polnischen]] [[Woiwodschaft Podlachien]], die [[Zabłudów]] mit [[Kleszczele]] verbindet. Die Strecke liegt im [[Powiat Białostocki]] und im [[Powiat Hajnowski]].

== Streckenverlauf ==

;[[Woiwodschaft Podlachien]], [[Powiat Białostocki]]
:* [[Datei:AS-skrzyzowanie-icon.svg]] '''[[Zabłudów]]''' ([[Droga krajowa 19|DK 19]])
:* [[Datei:AS-skrzyzowanie-icon.svg]] '''[[Olszanka (Zabłudów)|Olszanka]]''' ([[Droga wojewódzka 682|DW 682]])
:* '''[[Żywkowo (Zabłudów)|Żywkowo]]'''
;Woiwodschaft Podlachien, [[Powiat Hajnowski]]
:* '''[[Trześcianka]]'''
:* '''[[Ancuty]]'''
:* '''[[Narew (Powiat Hajnowski)|Narew]]'''
:* '''[[Makówka (Narew)|Makówka]]'''
:* '''[[Chrabostówka]]'''
:* [[Datei:AS-skrzyzowanie-icon.svg]] '''[[Nowosady (Hajnówka)|Nowosady]]''' ([[Droga wojewódzka 687|DW 687]])
:* '''[[Dubiny]]'''
:* [[Datei:AS-skrzyzowanie-icon.svg]] '''[[Hajnówka]]''' (''Gajnowka'') ([[Droga wojewódzka 689|DW 689]])
:* '''[[Pasieczniki Duże]]'''
:* '''[[Istok (Dubicze Cerkiewne)|Istok]]'''
:* '''[[Dubicze Cerkiewne]]'''
:* '''[[Grabowiec (Dubicze Cerkiewne)|Grabowiec]]'''
:* '''[[Jelonka (Dubicze Cerkiewne)|Jelonka]]'''
:* [[Datei:AS-skrzyzowanie-icon.svg]] '''[[Kleszczele]]''' ([[Droga krajowa 66|DK 66]], [[Droga wojewódzka 693|DW 693]])

== Weblinks ==

* {{Internetquelle |url=https://conadrogach.pl/droga-wojewodzka/685/ |titel=DROGA WOJEWÓDZKA 685 – WAŻNE INFORMACJE |titelerg=DROGA WOJEWÓDZKA 685 – MAPA SAMOCHODOWA |werk=conadrogach.pl |hrsg=[[Conadrogach]] |seiten=3 |abruf=2020-01-18 |sprache=pl}}
* {{Internetquelle |url=https://conadrogach.pl/droga-wojewodzka/685/przebieg-drogi/ |titel=DROGA WOJEWÓDZKA 685 |titelerg=AKTUALNY PRZEBIEG DROGI WOJEWÓDZKIEJ 685 |werk=conadrogach.pl |hrsg=[[Conadrogach]] |seiten=3 |abruf=2020-01-18 |sprache=pl}}

{{Navigationsleiste Woiwodschaftsstraßen}}

{{SORTIERUNG:685}}
[[Kategorie:Droga wojewódzka]]
[[Kategorie:Woiwodschaftsstraße in der Woiwodschaft Podlachien]]

Gesamtlänge: 60 km

Woiwodschaft: - Woiwodschaft Podlachien


text:
# Iktebach
Der Iktebach ist ein knapp 10 km langer Zufluss zum Ellbach, in welchen er im Innenstadtbereich von Jülich im Bereich der sogenannten Promenade mündet. Der Ellbach wiederum mündet im Norden Jülichs in die Rur im Kreis Düren in Nordrhein-Westfalen, Deutschland. Derzeit fällt der Iktebach den größten Teil des Jahres trocken.

## Geographie

### Verlauf
Der Bach entspringt auf freiem Feld zwischen den Ortschaften Selhausen und Oberzier in der Nähe der Umspannanlage Oberzier. Er verläuft grob gesagt in nordwestliche Richtung.
Da sein Gebiet sehr flach ist, wäre ein mäandrierender Verlauf natürlich, allerdings wurde der Iktebach in seinem Oberlauf im Zuge landwirtschaftlicher Optimierungen (möglichst rechteckige Felder) und durch Flurbereinigungsmaßnahmen weitestgehend begradigt.
Lediglich in dem naturbelassenen Abschnitt im Bereich des Naturschutzgebiets Langenbroich-Stetternicher Wald, also zwischen Forschungszentrum und Bundeswehr-Mechatronikzentrum (früheres Bundesbahn-Ausbesserungswerk), zeigt er aufgrund des sehr geringen Gefälles deutliche Mäander. Im Bereich des Waldes teilt er sich sogar in zwei Arme auf, die sich jedoch an der Vogelsangstraße wieder vereinigen. In manchen Landkarten wird einer der beiden Arme als Iktegraben bezeichnet.
Sein weiterer Verlauf bis zur Mündung in Jülich ist wiederum weitgehend von menschlichen Eingriffen geprägt. Das hier wieder oft gradlinige Bachbett zeigt an, dass es schon 1873 beim Bau des Jülicher Bahnhofs passend verlegt wurde. Bereits um 1910 wurde es direkt hinter der Unterquerung der Bahnstrecke Jülich–Düren erneut verlegt, weil dort nun ein raumgreifendes Bahnbetriebswerk mit Ringlokschuppen und anderen Anlagen entstand. Nordwestlich davon erbaute man in den 1930er-Jahren die langgestreckte Eisenbahnersiedlung entlang der heutigen Friedrich-Ebert-Straße, in deren Mitte der dorthin verlegte Iktebach und ein Grünstreifen als belebendes Element die Wohnqualität steigerten. In diesem Bereich wird der Bach heute unterirdisch geführt, Kanaldeckel zeigen seine Lage an. Unmittelbar nördlich der Adolf-Fischer-Straße ist das Bachbett jedoch wieder erkennbar. Unter einer weiteren Straßenbrücke biegt er direkt vorm alten Hallenbad scharf nach links ab, um im Bereich der langgestreckten Grünanlage („Promenade“), welche den Ellbach säumt, in jenen einzumünden.

### Orte
Entlang des Iktebachs befinden sich diese Ortschaften im Kreis Düren:
- Selhausen
- Krauthausen
- Kirchholzer Hof (bei Daubenrath)
- Jülich

## Besonderheiten

### Dampflok-Versorgung
Der Iktebach diente unter anderem zur Versorgung kreiseigener Lokomotiven. Nahe dem Iktebach nahm die Jülicher Kreisbahn (JKB) 1912 ihren Ausgangsbahnhof in Betrieb. Da die JKB von der Staatsbahn unabhängig war, verfügte ihr Bahnhof über einen eigenen kleinen Lokschuppen sowie einen Wasserkran zur Versorgung der JKB-Dampflokomotiven mit dem zur Dampferzeugung notwendigen Wasser. Dieser wurde jedoch im Zweiten Weltkrieg zerstört. Anstatt ihn wieder aufzubauen, wurde etwas weiter südlich, wo die Bahn den Iktebach überquerte, unmittelbar neben dem Geländer der Brücke eine Vorrichtung installiert, mit welcher das Wasser direkt in die Wassertanks der Loks gepumpt werden konnte. Sie wurde über zwei Jahrzehnte lang regelmäßig genutzt, bis die JKB sich schließlich von ihren Dampfloks trennte.

### Wasser-Brücken aus Beton
1956 wurde die Kernforschungsanlage Jülich gegründet (heutiges Forschungszentrum Jülich), welche unweit nördlich vom Iktebach mitten im Wald errichtet wurde. Schon in den ersten Jahren erhielt sie einen Vorfluter, der sie mit der Rur verband. Der Wasserspiegel des Vorfluters liegt jedoch etwa 2 m niedriger als der des Iktebachs, so dass zur Kreuzung der beiden Gewässer ein Betontrog gebaut wurde.
Unmittelbar südlich der Zuckerfabrik Jülich, kurz vor Unterquerung der Bahngleise, wird der Krauthausen-Jülicher Mühlenteich in etwa 2 m Höhe über das Bett des Iktebachs hinübergeführt. Der Mühlenteich hat hier eine Breite von ca. 3 m und führt im Gegensatz zum Iktebach in aller Regel Wasser, welches bei Selhausen aus der Rur abgeschlagen und zum einen Teil bei Altenburg wieder in die Rur geleitet wird, zum anderen Teil in der Jülicher Kernstadt in den Ellbach und über diesen in die Rur fließt. (Auf diesem Wegabschnitt überquert auch der Mühlenteich den Forschungszentrums-Vorfluter in ca. 2 m Höhe, und zwar unmittelbar südlich des Werks Lorsbeck der Wellpappenfabrik Gissler & Pass.) Kurz nach der Fertigstellung des Überführungsbauwerks wurde die Einfassung undicht und weggespült, das Wasser des Mühlenteichs lief in den Iktebach und sorgte in dessen weiterem Verlauf für Hochwasser, dabei sind auch mehrere Keller vollgelaufen.

### Austrocknung
Während der Iktebach noch in den 1950er-Jahren ständig Wasser führte (man versorgte die Lokomotiven damit), ist er seit Ende der 1980er-Jahre, als die Grundwasserabsenkungen für den Tagebau Hambach begannen, die meiste Zeit des Jahres ausgetrocknet. Lediglich bei tagelangen ergiebigen Regenfällen sammelt sich in seinem Gewässerbett wieder Wasser an, insbesondere, wenn zusätzlich der Boden ausreichend durchgefroren ist. Dies ist in der klimatisch milden Kölner Bucht allerdings nur selten der Fall. Wenn indes der Tagebau Hambach in einigen Jahren aufgegeben wird, das Abpumpen von Grundwasser endet und das verbleibende Loch mit Wasser vollläuft, ist es gut denkbar, dass auch der Iktebach wieder Wasser führen wird. Vor diesem Hintergrund wird verständlich, dass die Straßenbrücke kurz vor der Mündung des Iktebachs in den Ellbach im Jahr 2019 nicht etwa abgerissen und zugeschüttet, sondern grundlegend erneuert wurde.

### Zwangsarbeiterlager
Im Zweiten Weltkrieg war der Iktebach Namensgeber für ein ganz in seiner Nähe befindliches Barackenlager ausländischer Zwangsarbeiter, die im Reichsbahn-Ausbesserungswerk (RAW) Jülich eingesetzt wurden. Das Lager befand sich an der heutigen Leo-Brandt-Straße direkt gegenüber vom Werk im Wald. Am 29. September 1944 kamen bei einem großangelegten Fliegerangriff alliierter Bomber mehrere Hundert dieser damals sogenannten „Ostarbeiter“ ums Leben, da der Angriff kurz nach Feierabend erfolgte und ein Großteil des ersten Bombenhagels nicht etwa das strategisch wichtige Werk, sondern die Unterkünfte der Zwangsarbeiter traf, die sich zu diesem Zeitpunkt gerade dort zum Essensempfang versammelt hatten. Die Friedensbewegung „Pax Christi“ errichtete an dieser Stelle am 31. Oktober 1985 eine Gedenkstätte. Sie ist mit einem orthodoxen Kreuz ausgestattet, da die meisten Opfer aus Russland und der Ukraine stammten.
73 Jahre nachdem die Wehrmacht dieses Gebiet vor den heranrückenden Amerikanern aufgab, kam es am Nachmittag des 21. März 2018 in der Nähe der Gedenkstätte am Fundament einer Baracke zur Explosion einer deutschen Artillerie-Sprenggranate des Kalibers 7,5 Zentimeter. Zwei junge Männer von 18 und 19 Jahren wurden dabei zum Teil schwer verletzt. Geschosse dieser Art wurden im Zweiten Weltkrieg gegen feindliche Panzer eingesetzt.

title: Iktebach

wikitext:
{{Infobox Fluss
| NAME= Iktebach
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| SORTNAME=
| LAGE=  [[Deutschland]]
* [[Nordrhein-Westfalen]]
** [[Kreis Düren]]
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Der '''Iktebach''' ist ein knapp 10 km langer [[Nebenfluss|Zufluss]] zum [[Ellebach|Ellbach]],<!-- In Jülich wird er Ellbach genannt, dort fließt er auch entlang der Ellbachstraße. --> in welchen er im Innenstadtbereich von [[Jülich]] im Bereich der sogenannten ''Promenade'' mündet. Der Ellbach wiederum mündet im Norden Jülichs in die [[Rur]] im [[Kreis Düren]] in [[Nordrhein-Westfalen]], [[Deutschland]]. Derzeit fällt der Iktebach den größten Teil des Jahres trocken.

== Geographie ==
=== Verlauf ===

[[Datei:Iktebach-Brücke Hambacher Weg.jpg|mini|links|[[Durchlass]] für den Iktebach unter der Straße [[Hambach (Niederzier)|Hambach]] – [[Selgersdorf]]]]
[[Datei:Iktebach-Durchlass beim Uranit 1984.jpg|mini|links|Iktebach zwischen Uranit und Selgersdorf (1984, die Äcker wurden inzwischen aufgeforstet)]]
Der Bach entspringt auf freiem Feld zwischen den Ortschaften [[Selhausen (Niederzier)|Selhausen]] und [[Oberzier]] in der Nähe der [[Umspannanlage Oberzier]]. Er verläuft grob gesagt in nordwestliche Richtung.

Da sein Gebiet sehr flach ist, wäre ein [[Mäander|mäandrierender]] Verlauf natürlich, allerdings wurde der Iktebach in seinem Oberlauf im Zuge landwirtschaftlicher Optimierungen (möglichst rechteckige Felder) und durch [[Flurbereinigung]]smaßnahmen weitestgehend begradigt.

Lediglich in dem naturbelassenen Abschnitt im Bereich des [[Naturschutzgebiet (Deutschland)|Naturschutzgebiets]] ''[[Langenbroich-Stetternicher Wald]]'', also zwischen [[Forschungszentrum Jülich|Forschungszentrum]] und Bundeswehr-Mechatronikzentrum (früheres [[Ausbesserungswerk Jülich|Bundesbahn-Ausbesserungswerk]]), zeigt er aufgrund des sehr geringen Gefälles deutliche Mäander. Im Bereich des Waldes teilt er sich sogar in zwei Arme auf, die sich jedoch an der Vogelsangstraße wieder vereinigen. In manchen Landkarten wird einer der beiden Arme als ''Iktegraben'' bezeichnet.

[[Datei:Umbauplan Bf Jülich Südteil 1910 1911.jpg|mini|links|Ausbauplan des Bahnhofs Jülich von 1910 mit Verlegung des Iktebachs (hier zusätzlich als ''Spießkalle'' bezeichnet)]]
[[Datei:Iktebach-Brücke mit Schild Bw Jülich.jpg|mini|links|Fußgängerbrücke über den Iktebach mit altem Eingangstor zum Bahnbetriebswerk Jülich]]

Sein weiterer Verlauf bis zur Mündung in Jülich ist wiederum weitgehend von menschlichen Eingriffen geprägt. Das hier wieder oft gradlinige Bachbett zeigt an, dass es schon 1873 beim Bau des [[Bahnhof Jülich|Jülicher Bahnhofs]] passend verlegt wurde. Bereits um 1910 wurde es direkt hinter der Unterquerung der [[Bahnstrecke Jülich–Düren]] erneut verlegt, weil dort nun ein raumgreifendes [[Bahnbetriebswerk]] mit [[Ringlokschuppen]] und anderen Anlagen entstand. Nordwestlich davon erbaute man in den 1930er-Jahren die langgestreckte Eisenbahnersiedlung entlang der heutigen Friedrich-Ebert-Straße, in deren Mitte der dorthin verlegte Iktebach und ein Grünstreifen als belebendes Element die Wohnqualität steigerten. In diesem Bereich wird der Bach heute unterirdisch geführt, Kanaldeckel zeigen seine Lage an. Unmittelbar nördlich der Adolf-Fischer-Straße ist das Bachbett jedoch wieder erkennbar. Unter einer weiteren Straßenbrücke biegt er direkt vorm alten Hallenbad scharf nach links ab, um im Bereich der langgestreckten Grünanlage („Promenade“), welche den Ellbach säumt, in jenen einzumünden.

=== Orte ===
Entlang des Iktebachs befinden sich diese [[Ortschaft]]en im Kreis Düren:

* [[Selhausen (Niederzier)|Selhausen]]
* [[Krauthausen (Niederzier)|Krauthausen]]
* Kirchholzer Hof (bei [[Daubenrath]])
* [[Jülich]]

== Besonderheiten ==

=== Dampflok-Versorgung ===
Der Iktebach diente unter anderem zur Versorgung kreiseigener Lokomotiven. Nahe dem Iktebach nahm die [[Jülicher Kreisbahn]] (JKB) 1912 ihren Ausgangsbahnhof in Betrieb. Da die JKB von der Staatsbahn unabhängig war, verfügte ihr Bahnhof über einen eigenen kleinen Lokschuppen sowie einen [[Wasserkran (Eisenbahn)|Wasserkran]] zur Versorgung der JKB-[[Dampflokomotive]]n mit dem zur Dampferzeugung notwendigen Wasser. Dieser wurde jedoch im [[Zweiter Weltkrieg|Zweiten Weltkrieg]] zerstört. Anstatt ihn wieder aufzubauen, wurde etwas weiter südlich, wo die Bahn den Iktebach überquerte, unmittelbar neben dem Geländer der Brücke eine Vorrichtung installiert, mit welcher das Wasser direkt in die Wassertanks der Loks gepumpt werden konnte.<ref name="JKB" /> Sie wurde über zwei Jahrzehnte lang regelmäßig genutzt,<ref name="Löttgers" /> bis die JKB sich schließlich von ihren Dampfloks trennte.

=== Wasser-Brücken aus Beton ===
[[Datei:Iktebach-Wasserbrücke über FZJ-Vorfluter.jpg|mini|Überführung des Iktebachs über den Vorfluter des Forschungszentrums]]
[[Datei:Muehlenteich ueber Iktebach vor ZuFa Juelich.jpg|mini|Überführung des Mühlenteichs über das trockene Bett des Iktebachs (vorne links), im Hintergrund die Zuckerfabrik]]
1956 wurde die Kernforschungsanlage Jülich gegründet (heutiges Forschungszentrum Jülich), welche unweit nördlich vom Iktebach mitten im Wald errichtet wurde. Schon in den ersten Jahren erhielt sie einen [[Vorfluter]], der sie mit der Rur verband. Der Wasserspiegel des Vorfluters liegt jedoch etwa 2 m niedriger als der des Iktebachs, so dass zur Kreuzung der beiden Gewässer ein Betontrog gebaut wurde.

Unmittelbar südlich der [[Zuckerfabrik Jülich]], kurz vor Unterquerung der Bahngleise, wird der [[Krauthausen-Jülicher Mühlenteich]] in etwa 2 m Höhe über das Bett des Iktebachs hinübergeführt. Der Mühlenteich hat hier eine Breite von ca. 3 m und führt im Gegensatz zum Iktebach in aller Regel Wasser, welches bei [[Selhausen (Niederzier)|Selhausen]] aus der Rur abgeschlagen und zum einen Teil bei [[Altenburg (Jülich)|Altenburg]] wieder in die Rur geleitet wird, zum anderen Teil in der Jülicher Kernstadt in den Ellbach und über diesen in die Rur fließt.<ref name="WVER-KJT" /> (Auf diesem Wegabschnitt überquert auch der Mühlenteich den Forschungszentrums-Vorfluter in ca. 2 m Höhe, und zwar unmittelbar südlich des Werks [[Lorsbeck]] der Wellpappenfabrik Gissler & Pass.) Kurz nach der Fertigstellung des Überführungsbauwerks wurde die Einfassung undicht und weggespült, das Wasser des Mühlenteichs lief in den Iktebach und sorgte in dessen weiterem Verlauf für Hochwasser, dabei sind auch mehrere Keller vollgelaufen.

=== Austrocknung ===
Während der Iktebach noch in den 1950er-Jahren ständig Wasser führte (man versorgte die Lokomotiven damit), ist er seit Ende der 1980er-Jahre, als die [[Grundwasserabsenkung]]en für den [[Tagebau Hambach]] begannen, die meiste Zeit des Jahres ausgetrocknet. Lediglich bei tagelangen ergiebigen Regenfällen sammelt sich in seinem [[Gewässerbett]] wieder Wasser an, insbesondere, wenn zusätzlich der Boden ausreichend durchgefroren ist. Dies ist in der klimatisch milden [[Kölner Bucht]] allerdings nur selten der Fall. Wenn indes der Tagebau Hambach in einigen Jahren aufgegeben wird, das Abpumpen von Grundwasser endet und das verbleibende Loch mit Wasser vollläuft, ist es gut denkbar, dass auch der Iktebach wieder Wasser führen wird. Vor diesem Hintergrund wird verständlich, dass die Straßenbrücke kurz vor der Mündung des Iktebachs in den Ellbach im Jahr 2019 nicht etwa abgerissen und zugeschüttet, sondern grundlegend erneuert wurde.<ref name="Brückenbau" />

=== Zwangsarbeiterlager ===
Im [[Zweiter Weltkrieg|Zweiten Weltkrieg]] war der Iktebach Namensgeber für ein ganz in seiner Nähe befindliches Barackenlager ausländischer Zwangsarbeiter, die im [[Ausbesserungswerk Jülich|Reichsbahn-Ausbesserungswerk (RAW) Jülich]] eingesetzt wurden. Das Lager befand sich an der heutigen [[Leo Brandt|Leo-Brandt]]-Straße direkt gegenüber vom Werk im Wald. Am 29. September 1944 kamen bei einem großangelegten Fliegerangriff alliierter Bomber mehrere Hundert dieser damals sogenannten „Ostarbeiter“ ums Leben, da der Angriff kurz nach Feierabend erfolgte und ein Großteil des ersten Bombenhagels nicht etwa das strategisch wichtige Werk, sondern die Unterkünfte der Zwangsarbeiter traf, die sich zu diesem Zeitpunkt gerade dort zum Essensempfang versammelt hatten. Die Friedensbewegung „[[Pax Christi]]“ errichtete an dieser Stelle am 31. Oktober 1985 eine Gedenkstätte. Sie ist mit einem [[Russisch-Orthodoxe Kirche|orthodoxen]] Kreuz ausgestattet, da die meisten Opfer aus Russland und der Ukraine stammten.<ref name="VKF" />

73 Jahre nachdem die Wehrmacht dieses Gebiet vor den heranrückenden Amerikanern aufgab, kam es am Nachmittag des 21. März 2018 in der Nähe der Gedenkstätte am Fundament einer Baracke zur Explosion einer deutschen [[Artillerie]]-Sprenggranate des Kalibers 7,5 Zentimeter. Zwei junge Männer von 18 und 19 Jahren wurden dabei zum Teil schwer verletzt. Geschosse dieser Art wurden im Zweiten Weltkrieg gegen feindliche Panzer eingesetzt.<ref name="AN1" />

== Weblinks ==
{{Commonscat|Iktebach}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="JKB">
{{Literatur
|Autor=Wolfgang Naß
|Titel=Die Jülicher Kreisbahn
|Verlag=Schweers + Wall
|Ort=Aachen
|Datum=1978
|Seiten=63}}
</ref>

<ref name="Löttgers">
{{Literatur
|Autor=Rolf Löttgers
|Titel=Die Kleinbahnzeit in Farbe
|TitelErg=Deutsche Privatbahnen in den sechziger Jahren
|Verlag=[[Franckh-Kosmos|Franckh]]
|Ort=Stuttgart
|Datum=1987
|Seiten=93}}
</ref>

<ref name="WVER-KJT">{{Internetquelle
|url=https://server.wver.de/index.php/gewaesser/fluesse/muehlenteiche
|titel=Die Mühlenteiche im Düren-Jülicher Land
|hrsg=Wasserverband Eifel-Rur
|abruf=2021-04-16
|archiv-datum=2021-04-16
|archiv-url=https://web.archive.org/web/20210416193949/https://server.wver.de/index.php/gewaesser/fluesse/muehlenteiche
|offline=ja
|archiv-bot=2025-07-15 22:46:56 InternetArchiveBot
}}</ref>

<ref name="VKF">
{{Internetquelle
|url=https://kriegsgraeberstaetten.volksbund.de/friedhof/juelich-iktebach-mahn-und-gedenkstaette-lager
|titel=Mahn- und Gedenkstätte Jülich, Lager Iktebach
|hrsg=[[Volksbund Deutsche Kriegsgräberfürsorge]] e.V.)
|abruf=2021-04-16}}
</ref>

<ref name="AN1">{{Internetquelle
|url=https://www.aachener-nachrichten.de/nrw-region/deutsche-granate-explodiert-am-forschungszentrum-juelich-zwei-verletzte_aid-24458647
|titel=Deutsche Granate explodiert am Forschungszentrum Jülich: Zwei Verletzte (Artikel der Aachener Nachrichten online vom 31. Januar 2021)
|zugriff=2021-04-15
}}</ref>

<ref name="Brückenbau">{{Internetquelle
|url=https://www.juelich.de/aktuelles?news=Neubau_der_Br_ue_cke_in_der_Friedrich_Ebert_Stra_ss_e
|titel=Neubau der Brücke in der Friedrich-Ebert-Straße
|hrsg=Stadt Jülich
|zugriff=2021-04-16
}}</ref>
</references>

[[Kategorie:Flusssystem Rur|1Ellebach]]
[[Kategorie:Fluss in Europa]]
[[Kategorie:Fluss in Nordrhein-Westfalen]]
[[Kategorie:Gewässer im Kreis Düren]]

Lage: Deutschland - Nordrhein-Westfalen - Kreis Düren

Flusssystem: Rhein

Abfluss über: Ellebach → Rur → Maas → Hollands Diep → Nordsee

Flussgebietseinheit: Maas

Quelle: zwischen Selhausen und Oberzier · 50° 51′ 50″ N, 6° 27′ 14″ O

Quellhöhe: 109 m ü. NHN

Mündung: in Jülich in den EllebachKoordinaten: 50° 55′ 6″ N, 6° 21′ 35″ O · 50° 55′ 6″ N, 6° 21′ 35″ O

Mündungshöhe: 81 m ü. NHN

Mittelstädte: Jülich

Gemeinden: Niederzier


text:
# Cento
Ein Cento (altgr. ὁ κέντρων, dt. der C., Pl. die Centos oder die Centones) ist ein Text, der ausschließlich oder zumindest zum größten Teil aus Textpartikeln (Zitaten) eines anderen Textes zusammengesetzt ist (Flickengedicht), siehe auch Intertextualität. Dabei verlieren die zitierten Passagen regelmäßig ihren bisherigen Kontext und erhalten durch die Zusammensetzung einen neuen Kontext.
Die Neuanordnung kann einen parodistischen Effekt bewirken, wenn die Zitate durch ihre neue Aufeinanderfolge einen überraschenden, travestieartigen Sinn erhalten oder Satzteile bekannter Zitate („Ihr naht euch wieder, schwankende Gestalten“) in variierender Form zusammengesetzt werden („Ihr naht euch wieder? In die Ecke, Besen!“ aus Edwin Bormanns Goethe-Quintessenz).
Aufgrund der notwendigen Bezugnahme des Centos auf andere, regelmäßig sehr bekannte Texte wird der Cento nicht nur unter dem Gesichtspunkt der Parodie, sondern auch hinsichtlich seines intertextuellen Charakters erörtert.

## Begriffsgeschichte
Das griechische κέντ(ρ)ov/ként(r)on bezeichnete ursprünglich eine aus bunten Flicken zusammengesetzte Decke oder Harlekinsjacke. Diese Bedeutung ist erstmals bei Plautus und Cato d. Ä. im Lateinischen belegt. Die Verwendung des Begriffs als ‚Flickengedicht‘ findet sich zuerst bei christlichen Autoren. Tertullian nennt Homer-Centonen Werke, die Einzelteile aus der Dichtung Homers übernehmen. Sie fügten sie „nach Art eines Cento“ zu einem neuen Ganzen zusammen. Isidor von Sevillas Definition beinhaltet zusätzlich, dass dieses Verfahren für alle möglichen Stoffe geeignet sei.

## Beispiele
- Hosidius Geta: Medea
- Cento Probae
- Bertram Reinecke: Sleutel voor de hoogduitsche Spraakkunst

title: Cento

wikitext:
{{Dieser Artikel| behandelt ''Cento'' als Literaturgattung. Für andere Bedeutungen siehe [[Cento (Begriffsklärung)]].}}

Ein '''Cento''' (altgr. ὁ κέντρων, dt. ''der'' C., Pl. die Centos oder die Centones) ist ein Text, der ausschließlich oder zumindest zum größten Teil aus Textpartikeln ([[Zitat]]en) eines anderen Textes zusammengesetzt ist (Flickengedicht), siehe auch [[Intertextualität]]. Dabei verlieren die zitierten Passagen regelmäßig ihren bisherigen Kontext und erhalten durch die Zusammensetzung einen neuen Kontext.

Die Neuanordnung kann einen [[Parodie|parodistischen]] Effekt bewirken, wenn die Zitate durch ihre neue Aufeinanderfolge einen überraschenden, [[Travestie (Literatur)|travestieartigen]] Sinn erhalten oder Satzteile bekannter Zitate („Ihr naht euch wieder, schwankende Gestalten“) in variierender Form zusammengesetzt werden („Ihr naht euch wieder? In die Ecke, Besen!“ aus [[Edwin Bormann]]s ''Goethe-Quintessenz'').

Aufgrund der notwendigen Bezugnahme des Centos auf andere, regelmäßig sehr bekannte Texte wird der Cento nicht nur unter dem Gesichtspunkt der Parodie, sondern auch hinsichtlich seines intertextuellen Charakters erörtert.

== Begriffsgeschichte ==
Das griechische κέντ(ρ)ov/ként(r)on bezeichnete ursprünglich eine aus bunten [[Flicken]] zusammengesetzte Decke oder Harlekinsjacke. Diese Bedeutung ist erstmals bei [[Plautus]] und [[Marcus Porcius Cato der Ältere|Cato d. Ä.]] im Lateinischen belegt. Die Verwendung des Begriffs als ‚Flickengedicht‘ findet sich zuerst bei christlichen Autoren. [[Tertullian]] nennt Homer-Centonen Werke, die Einzelteile aus der Dichtung [[Homer]]s übernehmen. Sie fügten sie „nach Art eines Cento“ zu einem neuen Ganzen zusammen. [[Isidor von Sevilla]]s Definition beinhaltet zusätzlich, dass dieses Verfahren für alle möglichen Stoffe geeignet sei.<ref>Christoph Hoch, Franz Kunzmann: ''Cento.'' In: [[Gert Ueding]] (Hrsg.): ''[[Historisches Wörterbuch der Rhetorik]].'' Band 2: ''Bie – Eul.'' Niemeyer, Tübingen 1994, ISBN 3-484-68102-0, Sp. 148–157.</ref>

== Beispiele ==
* [[Hosidius Geta]]: ''Medea''
* ''[[Cento Probae]]''
*''Bertram Reinecke: Sleutel voor de hoogduitsche Spraakkunst''

== Literatur ==
* [[Theodor Verweyen]], Gunther Witting: ''The Cento. A Form of Intertextuality from Montage to Parody.'' In: Heinrich F. Plett (Hrsg.): ''Intertextuality'' (= ''Research in Text Theory.'' 15). de Gruyter, Berlin u. a. 1991, ISBN 3-11-011637-5, S. 165–178.
* Johannes Amann-Bubenik: ''Centonendichtung als Habsburg-Panegyrik.'' In: ''[[Humanistica Lovaniensia]].'' Band 48, 1999, S. 235–250, {{JSTOR|23973808}}.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Literarischer Begriff]]
[[Kategorie:Literaturgattung]]
[[Kategorie:Parodie]]
[[Kategorie:Lyrische Form]]


text:
# Zachariah Ditetso
Zachariah Ditetso (* 8. August 1964) ist ein ehemaliger botswanischer Langstreckenläufer.

## Sport
Ditetso nahm an den Olympischen Sommerspielen 1992 in Barcelona teil. Im Wettkampf über 5000 m schied er im Vorlauf aus.

title: Zachariah Ditetso

wikitext:
{{Infobox Leichtathlet
<!-- Allgemeine Informationen -->
| kurzname = Zachariah Ditetso
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| geburtstag = 8. August 1964
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<!-- Karriere -->
| disziplin = [[Langstreckenlauf]]
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<!-- Status-Kürzel: a für aktiv, g für gesperrt, n für nicht aktiv, v für verstorben, z für zurückgetreten -->
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| update =
}}
'''Zachariah Ditetso''' (* [[8. August]] [[1964]]) ist ein ehemaliger [[Botswana|botswanischer]] [[Langstreckenlauf|Langstreckenläufer]].

== Sport ==
Ditetso nahm an den [[Olympische Sommerspiele 1992/Leichtathletik|Olympischen Sommerspielen 1992]] in [[Barcelona]] teil. Im [[Olympische Sommerspiele 1988/Leichtathletik – 5000 m (Männer)|Wettkampf über 5000 m]] schied er im Vorlauf aus.

== Weblinks ==
* {{Olympedia}}
* [https://olympics.com/en/athletes/zachariah-ditetso olympics.com]
* {{World Athletics|14555256|Zachariah Ditetso}}

{{Normdaten|TYP=p|GND=|GNDfehlt=ja|GNDCheck=2024-12-03}}

{{SORTIERUNG:Ditetso, Zachariah}}
[[Kategorie:5000-Meter-Läufer (Botswana)]]
[[Kategorie:10.000-Meter-Läufer (Botswana)]]
[[Kategorie:Crossläufer (Botswana)]]
[[Kategorie:Olympiateilnehmer (Botswana)]]
[[Kategorie:Teilnehmer der Olympischen Sommerspiele 1992]]
[[Kategorie:Botswaner]]
[[Kategorie:Geboren 1964]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Ditetso, Zachariah
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|KURZBESCHREIBUNG=botswanischer Langstreckenläufer
|GEBURTSDATUM=8. August 1964
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title: Karriere

Disziplin: Langstreckenlauf

Status: zurückgetreten


text:
# Gemeinsame Geschäftsordnung der Bundesministerien
| Basisdaten                                            | Basisdaten                                        |
| ----------------------------------------------------- | ------------------------------------------------- |
| Titel:                                                | Gemeinsame Geschäftsordnung der Bundesministerien |
| Abkürzung:                                            | GGO                                               |
| Verkündungstag:                                       | 30. August 2000 (GMBl. S. 526 (Nr. 28))           |
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| Letzte Änderung durch:                                | Beschl. vom 15.05.2024 (GMBl 2024 Nr. 19, S. 386) |
| Inkrafttreten der letzten Änderung:                   | 1. Juni 2024                                      |
| Weblink                                               | Text der GGO                                      |
| Bitte beachten Sie den Hinweis zur geltenden Fassung! |                                                   |

Die Gemeinsame Geschäftsordnung der Bundesministerien (GGO) ist die Geschäftsordnung, die die Organisation und die Verfahren innerhalb der deutschen Bundesministerien, der Ministerien untereinander sowie ihre Zusammenarbeit mit den anderen Verfassungsorganen regelt. Zudem gibt sie das Verfahren zur Erarbeitung von Gesetzesentwürfen der Bundesministerien (siehe auch Regierungsentwurf) vor.
Die derzeit aktuelle GGO wurde von der Bundesregierung in der Kabinettssitzung vom 26. Juni 2000 im Rahmen des Programms Moderner Staat – Moderne Verwaltung beschlossen und ist seit dem 1. September 2000 in Kraft. Sie ist ein Schritt zur Deregulierung und zum Bürokratieabbau und ersetzt die im Laufe der Zeit durch zahlreiche Ergänzungen, Anpassungen und Erweiterungen in ihrem Umfang stets angewachsene und schwer handhabbar gewordene bis dahin gültige GGO, die aus der GGO I (Allgemeiner Teil) und der GGO II (Besonderer Teil) bestand. Zudem ersetzt sie auch die Empfehlung zur Nutzung elektronischer Kommunikationssysteme unter Berücksichtigung der Gemeinsamen Geschäftsordnung I, die ebenfalls außer Kraft trat. Die neue GGO wurde von einer interministeriellen Arbeitsgruppe unter Leitung des Bundesministeriums des Innern erarbeitet und 1999 als erster Entwurf vorgelegt. Dieser wurde in Zusammenarbeit mit allen Ressorts überarbeitet und in der schließlich entstandenen Fassung vom Kabinett verabschiedet und im Gemeinsamen Ministerialblatt veröffentlicht.
Die GGO ist in sieben Kapitel (Allgemeines; Organisationsgrundsätze; Aufbauorganisation; Führung, Arbeitsablauf; Zusammenarbeit; Rechtsetzung; Schlussbestimmungen) unterteilt und beinhaltet elf Anlagen.
Anlage 2 zu § 13 Abs. 2 GGO enthält beispielsweise Regelungen, in welcher Tintenfarbe Geschäftsgangsvermerke in Schriftstücken zur Markierung der Hierarchie angebracht werden.

## Änderungen
Um mehr Bürgernähe und Transparenz zu schaffen, regelt § 7 Abs. 4 GGO, dass die Bundesministerien ihren organisatorischen Aufbau (Geschäftsverteilungsplan, Organigramm) zu veröffentlichen haben. Eine ähnliche, alle Bundesbehörden betreffende Soll-Vorschrift findet sich in § 11 Abs. 2 und 3 des seit dem 1. Januar 2006 rechtskräftigen IFG.
Bundesministerien und nachgeordnete Behörden eines Bundesministeriums eines anderen Geschäftsbereiches können nun unmittelbar zusammenarbeiten (§ 26 Abs. 1 Satz 1 GGO; siehe auch Fayolsche Brücke) und müssen nicht mehr wie bisher den Weg über das jeweilige Bundesministerium (Einliniensystem) nehmen. Durch diese Neuregelung werden die Kommunikationswege verkürzt.
Bisher im besonderen Teil der GGO (GGO II) enthaltene Detailvorschriften zur Rechtsförmlichkeit sind unter Verweis auf das vom Bundesministerium der Justiz herausgegebene Handbuch zur Rechtsförmlichkeit (§ 42 Abs. 4 GGO) weggefallen. Neu eingeführt wurden die Regelungen zur durchzuführenden Gesetzesfolgenabschätzung (§ 44 GGO). Siehe auch Gesetzgebungslehre.
Zudem schuf die neue GGO auch die Voraussetzungen, um Gesetzesvorhaben im Internet zur Diskussion zu stellen (§ 48 Abs. 3 GGO).
Seit 2006 regelt die GGO auch die Zusammenarbeit mit dem Normenkontrollrat der Bundesregierung.
Die Bundesregierung hat am 17. August 2011 die Änderung der GGO beschlossen.
Die zum 1. September 2011 in Kraft getretenen Änderungen zielen vor allem darauf ab, das gesetzlich erweiterte Mandat des Nationalen Normenkontrollrats in der GGO abzubilden. Zukünftig wird für neue Regelungsvorhaben der Bundesregierung der gesamte Aufwand abgeschätzt und ausgewiesen, der Bürgerinnen und Bürgern, Wirtschaft und Verwaltung aus der Befolgung entsteht (Erfüllungsaufwand). Das geht über die Informationspflichten hinaus. Der Aufbau des Vorblatts, das Regelungsvorhaben vorangestellt wird, hat sich dadurch ebenfalls geändert. Mit der Änderung wird zudem ein Beschluss der Gemeindefinanzkommission zur privilegierten Beteiligung und Anhörung der kommunalen Spitzenverbände umgesetzt.

wikitext:
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| Titel: || Gemeinsame Geschäftsordnung
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(GMBl 2024 Nr. 19, S. 386)<ref>{{Internetquelle |url=https://www.gmbl-online.de/browse/document/2ac5de25-74bd-34bc-9ad4-3bc37a4e6be7 |titel=Gemeinsame Ministerialblatt (GMBl) - Inhalt Ausgabe Nr. 19/2024 |werk=Gemeinsame Ministerialblatt (GMBl) |hrsg=[[Bundesministerium des Innern und für Heimat]] |sprache=de |abruf=2025-04-12}}</ref>
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| colspan="2" style="background-color:#ffffff;" |Bitte beachten Sie den [[Wikipedia:Hinweis zur geltenden Gesetzesfassung|Hinweis zur geltenden Fassung]]!
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Die '''Gemeinsame Geschäftsordnung der Bundesministerien''' ('''GGO''') ist die [[Geschäftsordnung]], die die Organisation und die Verfahren innerhalb der [[Bundesministerium (Deutschland)|deutschen Bundesministerien]], der Ministerien untereinander sowie ihre Zusammenarbeit mit den anderen [[Verfassungsorgan]]en regelt. Zudem gibt sie das Verfahren zur Erarbeitung von [[Gesetzesentwurf|Gesetzesentwürfen]] der Bundesministerien (siehe auch [[Regierungsentwurf]]) vor.

Die derzeit aktuelle GGO wurde von der [[Bundesregierung (Deutschland)|Bundesregierung]] in der Kabinettssitzung vom 26. Juni 2000 im Rahmen des Programms ''Moderner Staat – Moderne Verwaltung'' beschlossen und ist seit dem 1. September 2000 in Kraft. Sie ist ein Schritt zur [[Deregulierung]] und zum [[Bürokratieabbau]] und ersetzt die im Laufe der Zeit durch zahlreiche Ergänzungen, Anpassungen und Erweiterungen in ihrem Umfang stets angewachsene und schwer handhabbar gewordene bis dahin gültige GGO, die aus der GGO I (Allgemeiner Teil) und der GGO II (Besonderer Teil) bestand. Zudem ersetzt sie auch die ''Empfehlung zur Nutzung elektronischer Kommunikationssysteme unter Berücksichtigung der Gemeinsamen Geschäftsordnung I'', die ebenfalls außer Kraft trat. Die neue GGO wurde von einer interministeriellen Arbeitsgruppe unter Leitung des [[Bundesministerium des Innern|Bundesministeriums des Innern]] erarbeitet und 1999 als erster Entwurf vorgelegt. Dieser wurde in Zusammenarbeit mit allen Ressorts überarbeitet und in der schließlich entstandenen Fassung vom Kabinett verabschiedet und im [[Gemeinsames Ministerialblatt|Gemeinsamen Ministerialblatt]] veröffentlicht.

Die GGO ist in sieben Kapitel (Allgemeines; Organisationsgrundsätze; [[Aufbauorganisation]]; Führung, Arbeitsablauf; Zusammenarbeit; Rechtsetzung; Schlussbestimmungen) unterteilt und beinhaltet elf Anlagen.

Anlage 2 zu § 13 Abs. 2 GGO enthält beispielsweise Regelungen, in welcher Tintenfarbe [[Geschäftsgang|Geschäftsgangs]]vermerke in Schriftstücken zur [[Tinte#Markierung der Hierarchie|Markierung der Hierarchie]] angebracht werden.

== Änderungen ==
Um mehr Bürgernähe und [[Verwaltungstransparenz|Transparenz]] zu schaffen, regelt § 7 Abs. 4 GGO, dass die Bundesministerien ihren [[Verwaltungsorganisation|organisatorischen Aufbau]] ([[Geschäftsverteilungsplan]], [[Organigramm]]) zu veröffentlichen haben. Eine ähnliche, alle Bundesbehörden betreffende Soll-Vorschrift findet sich in § 11 Abs. 2 und 3 des seit dem 1. Januar 2006 rechtskräftigen [[Gesetz zur Regelung des Zugangs zu Informationen des Bundes|IFG]].

Bundesministerien und nachgeordnete Behörden eines Bundesministeriums eines anderen Geschäftsbereiches können nun unmittelbar zusammenarbeiten (§ 26 Abs. 1 Satz 1 GGO; siehe auch [[Fayolsche Brücke]]) und müssen nicht mehr wie bisher den Weg über das jeweilige Bundesministerium ([[Einliniensystem]]) nehmen. Durch diese Neuregelung werden die Kommunikationswege verkürzt.

Bisher im besonderen Teil der GGO (GGO II) enthaltene Detailvorschriften zur Rechtsförmlichkeit sind unter Verweis auf das vom [[Bundesministerium der Justiz]] herausgegebene ''Handbuch zur [[Rechtsförmlichkeit]]'' (§ 42 Abs. 4 GGO) weggefallen. Neu eingeführt wurden die Regelungen zur durchzuführenden [[Gesetzesfolgenabschätzung]] (§ 44 GGO). Siehe auch [[Gesetzgebungslehre]].

Zudem schuf die neue GGO auch die Voraussetzungen, um Gesetzesvorhaben im Internet zur Diskussion zu stellen (§ 48 Abs. 3 GGO).

Seit 2006 regelt die GGO auch die Zusammenarbeit mit dem [[Normenkontrollrat]] der Bundesregierung.

Die Bundesregierung hat am 17. August 2011 die Änderung der GGO beschlossen.
Die zum 1. September 2011 in Kraft getretenen Änderungen zielen vor allem darauf ab, das gesetzlich erweiterte Mandat des Nationalen Normenkontrollrats in der GGO abzubilden. Zukünftig wird für neue Regelungsvorhaben der Bundesregierung der gesamte Aufwand abgeschätzt und ausgewiesen, der Bürgerinnen und Bürgern, Wirtschaft und Verwaltung aus der Befolgung entsteht (Erfüllungsaufwand). Das geht über die Informationspflichten hinaus. Der Aufbau des Vorblatts, das Regelungsvorhaben vorangestellt wird, hat sich dadurch ebenfalls geändert. Mit der Änderung wird zudem ein Beschluss der Gemeindefinanzkommission zur privilegierten Beteiligung und Anhörung der kommunalen Spitzenverbände umgesetzt.<ref>{{Webarchiv|text=Zitat aus der entsprechenden Mitteilung des Bundesministerium des Innern vom 5. Oktober 2011 |url=http://www.bmi.bund.de/SharedDocs/Kurzmeldungen/DE/2011/10/ggo.html |wayback=20111010021214 }}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Geschäftsordnung der Bundesregierung]] (GOBReg)
* [[Geschäftsordnung des Deutschen Bundestages]] (GOBT)
* [[Geschäftsordnung des Bundesrates (Deutschland)]] (GOBR)
* [[Geschäftsordnung für den Gemeinsamen Ausschuß]] (GemAusGO)
* [[Geschäftsordnung des Bundesverfassungsgerichts]] (GOBVerfG)

== Einzelnachweise ==
<references responsive />

{{Rechtshinweis}}

{{SORTIERUNG:Gemeinsame Geschaftsordnung der Bundesministerien}}
[[Kategorie:Staatsorganisationsrecht (Deutschland)]]
[[Kategorie:Verwaltungswissenschaft]]
[[Kategorie:Bundesministerium (Deutschland)|!]]


text:
# Hakuto-R M2
Hakuto-R M2 war der zweite Einsatz eines Hakuto-R-Mondlanders des japanischen Raumfahrtunternehmens ispace. Der Lander wurde am 15. Januar 2025 mit einer Falcon-9-Rakete von SpaceX gestartet und erreichte wie geplant am 5. Juni 2025 die Mondoberfläche, schlug aber infolge einer fehlerhaften Laserhöhenmessung hart auf. Die Hauptziele dieser Mission waren die Erprobung eines selbstgebauten Rovers sowie der Transport weiterer Nutzlasten zur Mondoberfläche. Darüber hinaus sollten die gesammelten Daten dazu genutzt werden, das geplante nachfolgende Landermodell APEX zu verbessern.

## Nutzlasten
Die folgenden auf dem Lander mitzuführenden Nutzlasten wurden im November 2023 bekanntgegeben:
- Ein durch ispace EU entwickelter Kleinrover.[9]

- Ein Elektrolyseur des Unternehmens Takasago Thermal Engineering.

- LunaGlena: Ein Experiment des Unternehmens Euglena zur Nahrungsproduktion durch Mikroalgen.

- Ein Strahlungsmessgerät der Nationalen Zentraluniversität in Taiwan.

- Eine Plakette des Unternehmens Bandai Namco.

title: Hakuto-R M2

wikitext:
{{Infobox Sonde
| Bild = Maquette de Hakuto-R IAC 2022.jpg
| Bildunterschrift = Modell von Hakuto-R (2022)
| nssdc_id =
| Missionsziel = [[Erdmond]]
| Auftraggeber = [[ispace]]
| Traegerrakete = [[Falcon 9]]<ref>{{Internetquelle |url=https://ispace-inc.com/news/?p=1636 |titel=Commercial Lunar Exploration Program “HAKUTO-R” Reveals Final Design and Plan for ‘Mission 1’ Lunar Lander |datum=2020-07-30 |sprache=en |abruf=2022-05-17}}</ref>
| Startmasse = ca. 1000 kg
| Instrumente =
| Startdatum = 15. Januar 2025, 06:31 UTC<ref name="start">{{Internetquelle |autor= Justin Davenport |hrsg=nasaspaceflight.com |url=https://www.nasaspaceflight.com/2025/01/blue-ghost-hakuto-r-launch/ |sprache=en |titel=Falcon 9 launches two landers to the Moon on the same mission |datum=2025-01-14 |abruf=2025-02-03}}</ref>
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| Verlauf = {{ZL|Typ=Start|Datum=15. Januar 2025 |Text=Start}}
{{ZL|Typ=Marke|Datum=7. Mai 2025|Text=Eintritt in einen Mondorbit<ref>[https://x.com/ispace_inc/status/1920048460008714417 X-Nachricht] von ispace, 7. Mai 2025.</ref>}}
{{ZL|Typ=Ende|Datum=5. Juni 2025|Text=Aufprall auf der Mondoberfläche}}
}}

'''Hakuto-R M2''' war der zweite Einsatz eines ''Hakuto-R''-Mondlanders des japanischen Raumfahrtunternehmens [[ispace]]. Der Lander wurde am 15. Januar 2025 mit einer [[Falcon 9|Falcon-9]]-Rakete von [[SpaceX]] gestartet und erreichte wie geplant am 5. Juni 2025 die Mondoberfläche, schlug aber infolge einer fehlerhaften [[Elektrooptische Entfernungsmessung|Laserhöhenmessung]] hart auf.<ref>''[https://spacenews.com/second-ispace-lunar-lander-presumed-lost/ Second ispace lunar lander presumed lost].'' Spacenews, 5. Juni 2025.</ref> Die Hauptziele dieser Mission waren die Erprobung eines selbstgebauten [[Rover (Raumfahrt)|Rovers]] sowie der Transport weiterer Nutzlasten zur Mondoberfläche. Darüber hinaus sollten die gesammelten Daten dazu genutzt werden, das geplante nachfolgende Landermodell [[APEX (Mondlander)|APEX]] zu verbessern.<ref name=":0" /><ref>{{Internetquelle |url=https://ispace-inc.com/news-en/?p=4781 |titel=U.S. Announces new U.S. Headquarters, Unveils APEX 1.0 Lunar Lander, Provides Updates on Mission 3 |hrsg=ispace |datum=2023-09-28 |sprache=en |abruf=2023-10-14}}</ref>

== Nutzlasten ==
Die folgenden auf dem Lander mitzuführenden Nutzlasten wurden im November 2023 bekanntgegeben:<ref name=":0">{{Internetquelle |url=https://ispace-inc.com/news-en/?p=4401 |titel=ispace Releases Updates on Progress of Mission 2 and Mission 3 |sprache=en |abruf=2023-03-11}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://www.youtube.com/watch?v=V5Xf7POM3qQ |titel=ispace HAKUTO-R Mission 2 Press Conference |sprache= |abruf=2023-11-16}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://ispace-inc.com/news-en/?p=4954 |titel=ispace Announces Mission 2 with Unveiling of Micro Rover Design |sprache=en |abruf=2023-11-16}}</ref>

* Ein durch ''ispace EU'' entwickelter Kleinrover.<ref>{{Internetquelle |url=https://ispace-inc.com/region-eu |titel=WHO WE ARE |sprache=en |abruf=2023-10-16}}</ref>

* Ein [[Elektrolyseur]] des Unternehmens ''Takasago Thermal Engineering''.

* ''LunaGlena:'' Ein Experiment des Unternehmens ''Euglena'' zur Nahrungsproduktion durch [[Mikroalgen]].

* Ein [[Strahlungsmessgerät]] der Nationalen Zentraluniversität in [[Republik China (Taiwan)|Taiwan]].

* Eine Plakette des Unternehmens [[Bandai Namco]].

== Weblinks ==
* [https://ispace-inc.com/missions Projekt-Homepage der Firma ispace] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Mondsonden}}

[[Kategorie:Raumfahrtmission 2025]]
[[Kategorie:Japanische Raumfahrt]]
[[Kategorie:Gescheiterte Raumfahrtmission]]

title: Hakuto-R M2

Missionsziel: Erdmond

Auftraggeber: ispace

Trägerrakete: Falcon 9

title: Verlauf der Mission