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# Arkussinus und Arkuskosinus
Der Arkussinus – geschrieben {\displaystyle \arcsin } oder {\displaystyle \operatorname {asin} } – und der Arkuskosinus (oder auch Arkuscosinus) – geschrieben {\displaystyle \arccos } oder {\displaystyle \operatorname {acos} } – sind Umkehrfunktionen der (geeignet) eingeschränkten Sinus- bzw. Kosinusfunktion. Sinus und Kosinus sind Funktionen, die einen Winkel auf einen Wert im Intervall {\displaystyle [-1,1]} abbilden; als deren Umkehrfunktionen bilden Arkussinus und Arkuskosinus einen Wert aus {\displaystyle [-1,1]} wieder auf einen zugehörigen Winkel ab. Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, gibt es aber zu jedem Wert aus {\displaystyle [-1,1]} unendlich viele zugehörige Winkel. Daher wird zur Umkehrung von Sinus und Kosinus deren Definitionsmenge auf das Intervall {\displaystyle [-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}]} für Sinus und auf {\displaystyle [0,\pi ]} für Kosinus eingeschränkt. Sinus und Kosinus sind auf diesen Intervallen streng monoton und daher umkehrbar.
Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des (ebenfalls geeignet eingeschränkten) Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise {\displaystyle f^{-1}} beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen {\displaystyle \sin ^{-1}} und {\displaystyle \cos ^{-1}} die klassische Schreibweise {\displaystyle \arcsin } bzw. {\displaystyle \arccos } zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwerten des Sinus und Kosinus (Kosekans und Sekans) führen kann.

## Definitionen
Im wissenschaftlichen Bereich werden Winkel im Bogenmaß angegeben. Mit dieser Maßeinheit ist die Sinusfunktion {\displaystyle 2\pi }-periodisch. Da sie innerhalb einer Periode nicht injektiv ist, muss ihr Definitionsbereich geeignet eingeschränkt werden, um eine umkehrbar-eindeutige Funktion zu erhalten. Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten, weshalb man von Zweigen des Arkussinus spricht. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert)
{\displaystyle \arcsin \colon [-1,1]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],}
die Umkehrfunktion der Einschränkung der Sinusfunktion auf das Intervall {\displaystyle \left[-\pi /2,\pi /2\right]}, betrachtet.
Analog zum Arkussinus wird der Hauptzweig des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion der Einschränkung der Kosinusfunktion auf das Intervall {\displaystyle [0,\pi ]} definiert. Dies ergibt mit
{\displaystyle \arccos \colon [-1,1]\to [0,\pi ]}
ebenfalls eine bijektive Funktion. Mittels
{\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}}
lassen sich diese beiden Funktionen ineinander umrechnen.
In den Anwendungsdisziplinen und insbesondere im technischen Bereich werden Winkel häufig in Grad gemessen. Der Hauptzweig der Sinusfunktion ist dann das Intervall {\displaystyle \left[-90^{\circ },90^{\circ }\right]} und der Hauptzweig der Kosinusfunktion das Intervall {\displaystyle \left[0,180^{\circ }\right]}. Entsprechend lauten die Wertebereiche des Arkussinus und Arkuskosinus.

## Eigenschaften
|                  | Arkussinus                                                                                | Arkuskosinus                                                                                |
| ---------------- | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ |
| Funktionsgraph   | Arcsin                                                                                | Arccos                                                                                |
| Definitionsmenge | {\displaystyle [-1,1]}                                                                                | {\displaystyle [-1,1]}                                                                                |
| Bildmenge        | {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}                                                                                | {\displaystyle [0,\pi ]}                                                                                |
| Monotonie        | streng monoton steigend                                                                                | streng monoton fallend                                                                                |
| Symmetrien       | Ungerade Funktion (Punktsymmetrie zu {\displaystyle (0,0)}): {\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin(x)}                                                                       | Punktsymmetrie zu {\displaystyle \left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right)\colon } {\displaystyle \arccos(x)=\pi -\arccos(-x)}                     |
| Asymptoten       | keine                                                                                | keine                                                                                |
| Nullstellen      | Eine Nullstelle bei {\displaystyle x=0}                                                                                | Eine Nullstelle bei {\displaystyle x=1}                                                                                |
| Sprungstellen    | keine                                                                                | keine                                                                                |
| Polstellen       | keine                                                                                | keine                                                                                |
| Extrema          | Globales Maximum {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}} an der Stelle {\displaystyle 1}, globales Minimum {\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}} an der Stelle {\displaystyle -1} | Globales Maximum {\displaystyle \pi } an der Stelle {\displaystyle -1}, globales Minimum {\displaystyle 0} an der Stelle {\displaystyle 1} |
| Wendepunkte      | {\displaystyle (0,0)}                                                                                | {\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}                                                                                |

## Formeln für negative Argumente
Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:
{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin(x)}
{\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos(x)}

## Reihenentwicklungen
Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Entwickeln der Ableitung in eine binomische Reihe und anschließende Integration, sie ist gegeben durch:
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {x^{2k+1}}{4^{k}(2k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (k)}{4^{k}(2k+1)}}\,x^{2k+1}=\\&={x+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{7}}{7}}+\dotsb }\end{aligned}}}
Die Taylorreihe des Arkuskosinus ergibt sich aus der Beziehung {\displaystyle \arccos x={\tfrac {\pi }{2}}-\arcsin x}:
{\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {x^{2k+1}}{4^{k}(2k+1)}}}
Beide Reihen haben den Konvergenzradius 1.
Der Ausdruck {\displaystyle k!!} bezeichnet dabei die Doppelfakultät und mit dem Ausdruck CBC wird der Zentralbinomialkoeffizient bezeichnet:
{\displaystyle \operatorname {CBC} (x)={2x \choose x}={\frac {(2x)!}{(x!)^{2}}}={\frac {\Pi (2x)}{\Pi (x)^{2}}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{2}\left(1+{\frac {2x}{n}}\right)^{-1}\right]}
So wird der Zentralbinomialkoeffizient mit Hilfe von der Fakultätsfunktion beziehungsweise der Gaußschen Pifunktion definiert.
Im Gegensatz zum Arkussinus selbst hat das Quadrat des Arkussinus in dessen MacLaurinschen Reihe den Zentralbinomialkoeffizienten nicht im Zähler, sondern im Nenner:
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)^{2}&=\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {2^{2n-1}}{n^{2}\operatorname {CBC} (n)}}\,x^{2n}=\\&={x^{2}+{\frac {1}{3}}\cdot x^{4}+{\frac {8}{45}}\cdot x^{6}+{\frac {4}{35}}\cdot x^{8}+\dotsb }\end{aligned}}}
Das Gleiche gilt somit auch für den Quotienten aus Arkussinus und Pythagoräischer Gegenstückfunktion:
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\arcsin(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {2^{2n-1}}{n\operatorname {CBC} (n)}}\,x^{2n-1}\\&={x+{\frac {2}{3}}\cdot x^{3}+{\frac {8}{15}}\cdot x^{5}+{\frac {16}{35}}\cdot x^{7}+\dotsb }\end{aligned}}}

## Verkettungen mit Sinus und Kosinus
Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:
{\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}, denn für {\displaystyle y=\arccos(x)} gilt {\displaystyle y\in \left[0,{\pi }\right]} und {\displaystyle \sin(y)={\sqrt {1-\cos ^{2}(y)}}}.
{\displaystyle \cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}, denn für {\displaystyle y=\arcsin(x)} gilt {\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} und {\displaystyle \cos(y)={\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}}.
{\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}, denn für {\displaystyle y=\arctan(x)} gilt {\displaystyle y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[} und {\displaystyle \sin(y)={\frac {\tan(y)}{\sqrt {1+\tan ^{2}(y)}}}}.
{\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}, denn für {\displaystyle y=\arctan(x)} gilt {\displaystyle y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[} und {\displaystyle \cos(y)={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(y)}}}}.

## Beziehung zum Arkustangens
Von besonderer Bedeutung in älteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion sind folgende Beziehungen, die es ermöglichen, den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen. Aufgrund obiger Formeln gilt
{\displaystyle \arcsin(x)=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}
{\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}
für {\displaystyle |x|<1.} Definiert man {\displaystyle \arctan \left({\tfrac {1}{0}}\right):=\lim _{t\to \infty }\arctan(t)={\tfrac {\pi }{2}},} so werden diese beiden Gleichungen auch für {\displaystyle x=\pm 1} richtig. Alternativ dazu kann man auch
{\displaystyle \arcsin(x)=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)}
{\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)}
verwenden, was sich aus Obigem durch Anwenden der Funktionalgleichung des Arkustangens ergibt und für {\displaystyle |x|\leq 1} gilt. Für {\displaystyle -1<x\leq 1} lässt sich Letzteres auch zu
{\displaystyle \arccos(x)=2\arctan \left({\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}
vereinfachen.

## Additionstheoreme
Die Additionstheoreme für Arkussinus und Arkuskosinus erhält man mit Hilfe der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus:
{\displaystyle \arcsin x+\arcsin y=\left\{{\begin{array}{rcrl}\arcsin(\sin(\arcsin x+\arcsin y))&=&\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad xy\leq 0\quad {\text{oder}}\quad x^{2}+y^{2}\leq 1\\\pi -\arcsin(\sin(\arcsin x+\arcsin y))&=&\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad x>0\quad {\text{und}}\quad y>0\quad {\text{und}}\quad x^{2}+y^{2}>1\\-\pi -\arcsin(\sin(\arcsin x+\arcsin y))&=&-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad x<0\quad {\text{und}}\quad y<0\quad {\text{und}}\quad x^{2}+y^{2}>1\\\end{array}}\right.}{\displaystyle \arccos x+\arccos y=\left\{{\begin{array}{rcrl}\arccos(\cos(\arccos x+\arccos y))&=&\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad x+y\geq 0\\2\pi -\arccos(\cos(\arccos x+\arccos y))&=&2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad x+y<0\\\end{array}}\right.}
Daraus folgt insbesondere für doppelte Funktionswerte
{\displaystyle 2\arcsin x=\left\{{\begin{array}{rl}\arcsin \left(2x{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad 2x^{2}\leq 1\\\pi -\arcsin \left(2x{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad x>0\quad {\text{und}}\quad 2x^{2}>1\\-\pi -\arcsin \left(2x{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{\text{wenn}}\quad x<0\quad {\text{und}}\quad 2x^{2}>1\\\end{array}}\right.}
{\displaystyle 2\arccos x=\left\{{\begin{array}{rl}\arccos \left(2x^{2}-1\right)&{\text{wenn}}\quad x\geq 0\\2\pi -\arccos \left(2x^{2}-1\right)&{\text{wenn}}\quad x<0\\\end{array}}\right.}

## Ableitungen
Arkussinus
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1}
Arkuskosinus
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1}
Umrechnung
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)}

## Integrale

### Standardisierte Integraldarstellungen
Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:
{\displaystyle \arcsin(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}\,\mathrm {d} y}
{\displaystyle \arccos(x)=\int \limits _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}\,\mathrm {d} y}

### Integralidentität mit dem Logarithmus Naturalis
Auch mit dem Logarithmus Naturalis kann für den Arkussinus eine Integralidentität aufgestellt werden:
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int \limits _{0}^{1}{\frac {4\,(y^{2}+1)}{\pi {\bigl [}(y^{2}+1)^{2}-4\,x^{2}y^{2}{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y}
Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich {\displaystyle x} entsteht folgende Formel:
| {\displaystyle \arcsin(x)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{\pi \,y}}\ln {\biggl (}{\frac {y^{2}+2xy+1}{y^{2}-2xy+1}}{\biggr )}\,\mathrm {d} y} |
Die nun gezeigte Integralidentität wurde durch den Mathematiker James Harper entdeckt und in seinen Werken A simple proof of {\displaystyle 1+1/2^{2}+1/3^{2}+\ldots =\pi ^{2}/6} und Another simple proof of {\displaystyle 1+1/2^{2}+1/3^{2}+\ldots =\pi ^{2}/6} aus dem Jahre 2003 behandelt. James Harper löste damit unter anderem das Basler Problem und konnte einige weitere Integralidentitäten aufstellen, welche das Bindeglied zwischen den Arkusfunktionen und den Areafunktionen beziehungsweise Logarithmusfunktionen darstellen. Beispielsweise gilt folgendes Integral:
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{y}}\ln {\biggl (}{\frac {y^{2}+y+1}{y^{2}-y+1}}{\biggr )}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
Eine analoge Integralidentität nach demselben Grundmuster kann für das Quadrat des Arkuskosinus hervorgebracht werden:
| {\displaystyle \arccos(x)^{2}={\frac {\pi ^{2}}{3}}-\int \limits _{0}^{1}{\frac {2}{y}}\ln(y^{2}+2xy+1)\,\mathrm {d} y} |

### Integralidentität mit dem Areatangens Hyperbolicus
Und mit dem Areatangens Hyperbolicus kann für den Arkussinus eine Integralidentität aufgestellt werden:
{\displaystyle {\frac {2\arcsin(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int \limits _{0}^{1}{\frac {2\,x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-x^{2}y^{2})}}}\,\mathrm {d} y}
Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich {\displaystyle x} entsteht folgende Formel:
| {\displaystyle \arcsin(x)^{2}=\int \limits _{0}^{1}{\frac {2}{y}}\left[\operatorname {artanh} {\bigl (}y{\bigr )}-\operatorname {artanh} \left({\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}\right)\right]\,\mathrm {d} y} |
Wenn der Grenzwert von dieser Identität für {\displaystyle x=1} berechnet wird, dann entsteht für dieses Integral über den Areatangens Hyperbolicus folgende Identität:
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{y}}\,\operatorname {artanh} (y)\,\mathrm {d} y={\frac {\pi ^{2}}{8}}}
Und mit dieser Formel kann das Basler Problem bewiesen werden:
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{y}}\,\operatorname {artanh} (y)\,\mathrm {d} y=\int \limits _{0}^{1}{\biggl (}{\frac {1}{y}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\,y^{2n-1}{\biggr )}\,\mathrm {d} y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}}
Daraus folgt:
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}

### Stammfunktionen von Arkussinus und Arkuskosinus
Arkussinus
{\displaystyle \int \arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)\,\mathrm {d} x=x\,\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
Arkuskosinus
{\displaystyle \int \arccos \left({\frac {x}{a}}\right)\,\mathrm {d} x=x\,\arccos \left({\frac {x}{a}}\right)-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}

### Stammfunktion des kardinalisierten Arkussinus
Wenn der Arkussinus durch die identische Abbildungsfunktion geteilt wird, dann stellt diese Funktion den kardinalisierten Arkussinus dar.
Die ursprüngliche Stammfunktion des kardinalisierten Arkussinus ist das sogenannte Arkussinusintegral und dies ist eine nicht elementare Funktion:
{\displaystyle \int \limits _{0}^{x}{\frac {1}{y}}\arcsin(y)\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {1}{z}}\arcsin(xz)\,\mathrm {d} z=\operatorname {Si} _{2}(x)}
Nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung gilt somit:
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {Si} _{2}(x)={\frac {1}{x}}\arcsin(x)}das bekannteste Beispiel für einen Wert dieser Stammfunktion:
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\arcsin(x)\,\mathrm {d} x=\operatorname {Si} _{2}(1)={\frac {\pi }{2}}\ln(2)}
Mit dem Satz von Fubini kann der nun genannte Wert des Integrals bewiesen werden:
{\displaystyle \operatorname {Si} _{2}(1)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\arcsin(x)\,\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=}
{\displaystyle =\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int \limits _{0}^{1}{\frac {\pi \,y}{2{\sqrt {1-y^{2}}}(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,)}}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi }{2}}\ln(2)}
Mit diesem Arkussinusintegral kann ebenso das sogenannte Arkustangensintegral direkt erzeugt werden:
{\displaystyle 2\,\mathrm {Ti} _{2}{\bigl [}x(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-1}{\bigr ]}=4\,\mathrm {Si} _{2}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+x}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-x}}\,{\bigr )}-\mathrm {Si} _{2}(x)}

## Komplexe Argumente
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(a+b\,\mathrm {i} )=\quad {\frac {\operatorname {sgn^{+}} {a}}{2}}\cdot \arccos &\left({\sqrt {(a^{2}+b^{2}-1)^{2}+4b^{2}}}-(a^{2}+b^{2})\right)\\+\;\mathrm {i} \cdot {\frac {\operatorname {sgn^{+}} {b}}{2}}\cdot \operatorname {arcosh} &\left({\sqrt {(a^{2}+b^{2}-1)^{2}+4b^{2}}}+(a^{2}+b^{2})\right)\end{aligned}}}   mit {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
{\displaystyle \arccos(a+b\,\mathrm {i} )={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(a+b\,\mathrm {i} )}
Zur Funktion {\displaystyle \operatorname {arcosh} } siehe Areakosinus hyperbolicus, und für die Funktion {\displaystyle \operatorname {sgn^{+}} \colon \mathbb {R} \to \{-1,1\}} gilt
{\displaystyle \operatorname {sgn^{+}} (x):=2\cdot \Theta (x)-1={\begin{cases}+1&{\text{für }}x\geq 0\\-1&{\text{für }}x<0\end{cases}}}
mit der Heaviside-Funktion {\displaystyle \Theta }.

### Wichtige Funktionswerte
Siehe auch: Sinus und Kosinus: Wichtige Funktionswerte
Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden Arkusfunktionen auf.
| {\displaystyle x}                         | {\displaystyle \arcsin(x)}  | {\displaystyle \arcsin(x)}        | {\displaystyle \arccos(x)}  | {\displaystyle \arccos(x)}        |
| ----------------------------------------- | --------------------------- | --------------------------------- | --------------------------- | --------------------------------- |
| {\displaystyle 0}                         | {\displaystyle 0^{\circ }}  | {\displaystyle 0}                 | {\displaystyle 90^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} |
| {\displaystyle {\frac {1}{2}}}            | {\displaystyle 30^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} | {\displaystyle 60^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} |
| {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}} | {\displaystyle 45^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} | {\displaystyle 45^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} |
| {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}} | {\displaystyle 60^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} | {\displaystyle 30^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} |
| {\displaystyle 1}                         | {\displaystyle 90^{\circ }} | {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} | {\displaystyle 0^{\circ }}  | {\displaystyle 0}                 |

Weitere wichtige Werte sind:
| {\displaystyle x}                                         | {\displaystyle \arcsin(x)}  | {\displaystyle \arcsin(x)}           | {\displaystyle \arccos(x)}  | {\displaystyle \arccos(x)}           |
| --------------------------------------------------------- | --------------------------- | ------------------------------------ | --------------------------- | ------------------------------------ |
| {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}  | {\displaystyle 15^{\circ }} | {\displaystyle {\tfrac {\pi }{12}}}  | {\displaystyle 75^{\circ }} | {\displaystyle {\tfrac {5\pi }{12}}} |
| {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)} | {\displaystyle 18^{\circ }} | {\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}  | {\displaystyle 72^{\circ }} | {\displaystyle {\tfrac {2\pi }{5}}}  |
| {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}  | {\displaystyle 36^{\circ }} | {\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}   | {\displaystyle 54^{\circ }} | {\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}} |
| {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)} | {\displaystyle 54^{\circ }} | {\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}} | {\displaystyle 36^{\circ }} | {\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}   |
| {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}  | {\displaystyle 72^{\circ }} | {\displaystyle {\tfrac {2\pi }{5}}}  | {\displaystyle 18^{\circ }} | {\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}  |
| {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}  | {\displaystyle 75^{\circ }} | {\displaystyle {\tfrac {5\pi }{12}}} | {\displaystyle 15^{\circ }} | {\displaystyle {\tfrac {\pi }{12}}}  |

### Kettenbruchdarstellung des Arkussinus
H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Darstellung als Kettenbruch:
{\displaystyle \arcsin(x)={\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{5-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{7-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{9-{\cfrac {5\cdot 6x^{2}}{11-\ldots }}}}}}}}}}}}}

### Komplexe Funktion
Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:
{\displaystyle \arcsin z=-\mathrm {i} \,\ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}
{\displaystyle \arccos z=-\mathrm {i} \,\ln \left(z+\mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}}\right)}
Diese beiden Formeln kann man wie folgt herleiten:
Für {\displaystyle \arcsin z}:
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2\mathrm {i} }}\\{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2\mathrm {i} }}&=z\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-{\frac {1}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}}&=2z\mathrm {i} \\(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}-1&=2z\mathrm {i} \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\\(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}-2z\mathrm {i} \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-1&=0\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=-{\frac {-2z\mathrm {i} }{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {-2z\mathrm {i} }{2}}\right)^{2}-(-1)}}\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\\mathrm {i} x&=\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\\x&={\frac {\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})}{\mathrm {i} }}\\x&={\frac {\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\,\mathrm {i} }{\mathrm {i} ^{2}}}\\x&={\frac {\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\,\mathrm {i} }{-1}}\\x&=-\mathrm {i} \,\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\\\arcsin z&=-\mathrm {i} \,\ln(z\mathrm {i} \pm {\sqrt {1-z^{2}}})\\\end{aligned}}}
Für {\displaystyle \arccos z}:
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}\\{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}&=z\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+{\frac {1}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}}&=2z\\(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}+1&=2z\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\\(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})^{2}-2z\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+1&=0\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=-{\frac {-2z}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {-2z}{2}}\right)^{2}-1)}}\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=z\pm {\sqrt {z^{2}-1}}\\\mathrm {i} x&=\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\\x&={\frac {\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})}{\mathrm {i} }}\\x&={\frac {\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\,\mathrm {i} }{\mathrm {i} ^{2}}}\\x&={\frac {\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\,\mathrm {i} }{-1}}\\x&=-\mathrm {i} \,\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\\\arccos z&=-\mathrm {i} \,\ln(z\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}})\\\end{aligned}}}

title: Arkussinus und Arkuskosinus

wikitext:
[[Datei:Arcsine Arccosine.svg|mini|180px|right|
Arkussinus und Arkuskosinus im [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]]
{{Farblegende|#ff2222|arcsin (''x'')}}
{{Farblegende|#2222ff|arccos (''x'')}}
]][[Datei:01 Umkehrfunktion.svg|mini|hochkant=1.7|Beispiel: Umkehrung der Kosinus- und Sinusfunktion<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Zeuge |Titel=Nützliche und schöne Geometrie |TitelErg=3.3 Die Umkehrfunktionen |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-63831-6 |Seiten=46}}</ref>]]

Der '''Arkussinus''' – geschrieben <math>\arcsin</math> oder <math>\operatorname{asin}</math> – und der '''Arkuskosinus''' (oder auch '''Arkuscosinus''') – geschrieben <math>\arccos</math> oder <math>\operatorname{acos}</math> – sind [[Umkehrfunktion]]en der (geeignet) [[Einschränkung|eingeschränkten]] [[Sinus und Kosinus|Sinus- bzw. Kosinusfunktion]]. Sinus und Kosinus sind Funktionen, die einen Winkel auf einen Wert im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[-1,1]</math> abbilden; als deren Umkehrfunktionen bilden Arkussinus und Arkuskosinus einen Wert aus <math>[-1,1]</math> wieder auf einen zugehörigen Winkel ab. Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, gibt es aber zu jedem Wert aus <math>[-1,1]</math> unendlich viele zugehörige Winkel. Daher wird zur Umkehrung von Sinus und Kosinus deren [[Definitionsmenge]] auf das Intervall <math>[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]</math> für Sinus und auf <math>[0,\pi]</math> für Kosinus eingeschränkt. Sinus und Kosinus sind auf diesen Intervallen streng monoton und daher umkehrbar.

Zusammen mit dem [[Arkustangens]] als Umkehrfunktion des (ebenfalls geeignet eingeschränkten) [[Tangens]] bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der [[Arkusfunktion]]en. Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise <math>f^{-1}</math> beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen <math>\sin^{-1}</math> und <math>\cos^{-1}</math> die klassische Schreibweise <math>\arcsin</math> bzw. <math>\arccos</math> zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den [[Kehrwert]]en des Sinus und Kosinus ([[Sekans und Kosekans|Kosekans und Sekans]]) führen kann.<ref>{{MathWorld |id=InverseTrigonometricFunctions |title=Inverse Trigonometric Functions}}</ref>

== Definitionen ==
Im wissenschaftlichen Bereich werden Winkel im [[Radiant (Einheit)|Bogenmaß]] angegeben.<ref>{{Literatur |Autor=Tilo Arens et al. |Titel=Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-64388-4 |Seiten=126 |Abruf=}}</ref> Mit dieser Maßeinheit ist die Sinusfunktion <math>2\pi</math>-[[Periodische Funktion|periodisch]]. Da sie innerhalb einer [[Periodische Funktion|Periode]] nicht [[Injektivität|injektiv]] ist, muss ihr Definitionsbereich geeignet eingeschränkt werden, um eine umkehrbar-eindeutige Funktion zu erhalten. Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten, weshalb man von ''Zweigen'' des Arkussinus spricht. Meist wird der ''Hauptzweig'' (oder ''Hauptwert'')
:<math>\arcsin \colon [-1,1] \to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],</math>
die Umkehrfunktion der [[Einschränkung (Mathematik)|Einschränkung]] der Sinusfunktion auf das Intervall <math>\left[-\pi/2,\pi/2\right]</math>, betrachtet.

Analog zum Arkussinus wird der Hauptzweig des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion der Einschränkung der Kosinusfunktion auf das Intervall <math>[0, \pi]</math> definiert. Dies ergibt mit
:<math>\arccos \colon [-1,1] \to [0,\pi]</math>
ebenfalls eine [[bijektiv]]e Funktion. Mittels
:<math>\arccos(x) + \arcsin(x) = \frac{\pi}{2}</math>
lassen sich diese beiden Funktionen ineinander umrechnen.

In den Anwendungsdisziplinen und insbesondere im technischen Bereich werden Winkel häufig in [[Grad (Winkel)|Grad]] gemessen. Der Hauptzweig der Sinusfunktion ist dann das Intervall <math>\left[-90^\circ, 90^\circ \right]</math> und der Hauptzweig der Kosinusfunktion das Intervall <math>\left[0, 180^\circ \right]</math>. Entsprechend lauten die Wertebereiche des Arkussinus und Arkuskosinus.

== Eigenschaften ==
{| class="wikitable"
|-class="hintergrundfarbe6"
!
!Arkussinus
!Arkuskosinus
|-
! [[Funktionsgraph]]
| [[Datei:Mplwp arcsin piaxis.svg|250px|Arcsin]]
| [[Datei:Mplwp arccos piaxis.svg|250px|Arccos]]
|-
! [[Definitionsmenge]]
| <math>[-1,1]</math>
| <math>[-1,1]</math>
|-
! [[Bildmenge]]
| <math>\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math>
| <math>[0,\pi]</math>
|-
! [[Monotone Funktion|Monotonie]]
| streng monoton steigend
| streng monoton fallend
|-
! [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]]
| [[Ungerade Funktion]] ([[Punktsymmetrie]] zu <math>(0,0)</math>):
<math>\arcsin(-x) = -\arcsin(x)</math>
| Punktsymmetrie zu <math>\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)\colon</math>
<math>\arccos(x) = \pi - \arccos(-x)</math>
|-
! [[Asymptote]]n
| keine
| keine
|-
! [[Nullstelle]]n
|Eine Nullstelle bei <math>x = 0</math>
|Eine Nullstelle bei <math>x = 1</math>
|-
! [[Sprungstelle]]n
| keine
| keine
|-
! [[Polstelle]]n
| keine
| keine
|-
! [[Extremum|Extrema]]
| Globales Maximum <math>\tfrac{\pi}{2}</math> an der Stelle <math>1</math>,
globales Minimum <math>-\tfrac{\pi}{2}</math> an der Stelle <math>-1</math>
| Globales Maximum <math>\pi</math> an der Stelle <math>-1</math>,
globales Minimum <math>0</math> an der Stelle <math>1</math>
|-
! [[Wendepunkt]]e
|<math>(0,0)</math>
|<math>\left(0,\frac{\pi}{2}\right)</math>
|}

== Formeln für negative Argumente ==
Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:
: <math>\arcsin(-x) = -\arcsin(x)</math>
: <math>\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)</math>

== Reihenentwicklungen ==
{{Belege fehlen|1=|2=Dieser Abschnitt}}
Die [[Taylorreihe]] des Arkussinus erhält man durch Entwickeln der Ableitung in eine [[binomische Reihe]] und anschließende Integration, sie ist gegeben durch:<ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=1079}}</ref>
: <math>\begin{align}\arcsin(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{2k}{k} \frac{x^{2k+1}}{4^{k}(2k+1)} = \sum_{k = 0}^{\infty} \,\frac{\operatorname{CBC}(k)}{4^{k}(2k + 1)} \,x^{2k + 1} = \\
&= {x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{x^7}{7} + \dotsb}
\end{align}</math>

Die [[Taylorreihe]] des Arkuskosinus ergibt sich aus der Beziehung <math>\arccos x = \tfrac{\pi}{2} - \arcsin x</math>:
: <math>\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} \frac{x^{2k+1}}{4^k(2k+1)}</math>

Beide Reihen haben den [[Konvergenzradius]] 1.

Der Ausdruck <math>k!!</math> bezeichnet dabei die [[Fakultät (Mathematik)#Doppelfakultät|Doppelfakultät]] und mit dem Ausdruck CBC wird der [[Mittlerer Binomialkoeffizient|Zentralbinomialkoeffizient]] bezeichnet:

: <math>\operatorname{CBC}(x) = {2x \choose x} = \frac{(2x)!}{(x!)^2} = \frac{\Pi(2x)}{\Pi(x)^2} = \prod_{n = 1}^{\infty} \left[ \left(1 + \frac{x}{n}\right)^2 \left(1 + \frac{2x}{n}\right)^{-1} \right]</math>

So wird der Zentralbinomialkoeffizient mit Hilfe von der [[Fakultät (Mathematik)|Fakultätsfunktion]] beziehungsweise der ''Gaußschen Pifunktion'' definiert.

Im Gegensatz zum Arkussinus selbst hat das Quadrat des Arkussinus in dessen [[Maclaurinsche Reihe|MacLaurinschen Reihe]] den ''Zentralbinomialkoeffizienten''<ref>Derrick Henry Lehmer: ''Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient''. Volume 92, 1985. Seite 452</ref> nicht im Zähler, sondern im Nenner:
: <math>\begin{align}\arcsin(x)^2 &= \sum_{n = 1}^{\infty} \,\frac{2^{2n-1}}{n^2 \operatorname{CBC}(n)} \,x^{2n} = \\
&= {x^2 + \frac{1}{3} \cdot x^4 + \frac{8}{45} \cdot x^6 + \frac{4}{35} \cdot x^8 + \dotsb} \end{align}</math>
Das Gleiche gilt somit auch für den Quotienten aus Arkussinus und Pythagoräischer Gegenstückfunktion:
: <math>\begin{align}\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}} &= \sum_{n = 1}^{\infty} \,\frac{2^{2n - 1}}{n \operatorname{CBC}(n)} \,x^{2n - 1} \\
&= {x + \frac{2}{3} \cdot x^3 + \frac{8}{15} \cdot x^5 + \frac{16}{35} \cdot x^7 + \dotsb} \end{align}</math>

== Verkettungen mit Sinus und Kosinus ==
Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:
: <math>\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}</math>, denn für <math>y = \arccos(x)</math> gilt <math>y \in \left[0,{\pi}\right]</math> und <math>\sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)}</math>.
: <math>\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}</math>, denn für <math>y = \arcsin(x)</math> gilt <math>y \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]</math> und <math>\cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)}</math>.
: <math>\sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}</math>, denn für <math>y = \arctan(x)</math> gilt <math>y \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[</math> und <math>\sin(y) = \frac{\tan(y)}{\sqrt{1 + \tan^2(y)}}</math>.
: <math>\cos(\arctan(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}</math>, denn für <math>y = \arctan(x)</math> gilt <math>y \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[</math> und <math>\cos(y) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(y)}}</math>.

== Beziehung zum Arkustangens ==
Von besonderer Bedeutung in älteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion sind folgende Beziehungen, die es ermöglichen, den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen. Aufgrund obiger Formeln gilt
: <math>\arcsin(x) = \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)</math>
: <math>\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)</math>
für <math>|x|<1.</math> Definiert man <math>\arctan\left(\tfrac{1}{0}\right) := \lim_{t \to \infty} \arctan(t) = \tfrac{\pi}{2},</math> so werden diese beiden Gleichungen auch für <math>x = \pm1</math> richtig. Alternativ dazu kann man auch
: <math>\arcsin(x) = 2\arctan\left(\frac x{1 + \sqrt{1 - x^2}}\right)</math>
: <math>\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - 2\arctan\left(\frac x{1 + \sqrt{1 - x^2}}\right)</math>
verwenden, was sich aus Obigem durch Anwenden der [[Arkustangens und Arkuskotangens#Funktionalgleichungen|Funktionalgleichung des Arkustangens]] ergibt und für <math>|x| \le 1</math> gilt. Für <math>-1 < x \le 1</math> lässt sich Letzteres auch zu
: <math>\arccos(x) = 2\arctan\left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right)</math>
vereinfachen.

== Additionstheoreme ==
{{Hauptartikel|Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme für Arkusfunktionen|titel1=Additionstheoreme für Arkusfunktionen (Trigonometrie)}}

Die Additionstheoreme für Arkussinus und Arkuskosinus erhält man mit Hilfe der [[Sinus und Kosinus#Additionstheoreme|Additionstheoreme für Sinus und Kosinus]]:
: <math>\arcsin x + \arcsin y = \left\{\begin{array}{rcrl}
    \arcsin(\sin(\arcsin x + \arcsin y)) & = & \arcsin\left(x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2}\right) & \text{wenn}\quad xy \leq 0 \quad\text{oder}\quad x^2+y^2 \leq 1 \\
    \pi - \arcsin(\sin(\arcsin x + \arcsin y)) & = & \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1 - y^2}+ y\sqrt{1 - x^2}\right) & \text{wenn}\quad x > 0 \quad\text{und}\quad y > 0 \quad\text{und}\quad x^2 + y^2 > 1 \\
    -\pi - \arcsin(\sin(\arcsin x + \arcsin y)) & = & -\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2}\right) & \text{wenn}\quad x < 0 \quad\text{und}\quad y < 0 \quad\text{und}\quad x^2 + y^2 > 1 \\
\end{array}\right.</math><math>\arccos x + \arccos y = \left\{\begin{array}{rcrl}
    \arccos(\cos(\arccos x + \arccos y)) & = & \arccos\left(xy - \sqrt{1 - x^2}\sqrt{1 - y^2}\right) & \text{wenn}\quad x + y \geq 0 \\
    2\pi - \arccos(\cos(\arccos x + \arccos y)) & = & 2\pi - \arccos\left(xy - \sqrt{1 - x^2}\sqrt{1 - y^2}\right) & \text{wenn}\quad x + y < 0 \\
\end{array}\right.</math>

Daraus folgt insbesondere für doppelte Funktionswerte
: <math>2\arcsin x = \left\{\begin{array}{rl}
    \arcsin\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) & \text{wenn}\quad 2x^2 \leq 1 \\
     \pi - \arcsin\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) & \text{wenn}\quad x > 0 \quad\text{und}\quad 2x^2 > 1 \\
    -\pi - \arcsin\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right) & \text{wenn}\quad x < 0 \quad\text{und}\quad 2x^2 > 1 \\
\end{array}\right.</math>
: <math>2\arccos x = \left\{\begin{array}{rl}
    \arccos\left(2x^2 - 1\right) & \text{wenn}\quad x \geq 0 \\
    2\pi - \arccos\left(2x^2 - 1\right) & \text{wenn}\quad x < 0 \\
\end{array}\right.</math>

== Ableitungen ==
;Arkussinus:
: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin(x) =  \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1</math>

;Arkuskosinus:
: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1</math>

;Umrechnung:
: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x) = -\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin(x)</math>

== Integrale ==
=== Standardisierte Integraldarstellungen ===
Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:
: <math>\arcsin(x) = \int \limits_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}} = \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2 y^2}} \,\mathrm{d}y</math>
: <math>\arccos(x) = \int \limits_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}} = \frac{\pi}{2} - \int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2 y^2}} \,\mathrm{d}y </math>

=== Integralidentität mit dem Logarithmus Naturalis ===
Auch mit dem [[Logarithmus|Logarithmus Naturalis]] kann für den Arkussinus eine Integralidentität aufgestellt werden:
:<math>
\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \int\limits_{0}^{1} \frac{4\,(y^2 + 1)}{\pi \bigl[(y^2 + 1)^2 - 4\,x^2 y^2\bigr]} \,\mathrm{d}y
</math>
Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich <math>x</math> entsteht folgende Formel:
: {| class="wikitable"
|<math> \arcsin(x) = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\pi \,y} \ln\biggl(\frac{y^2 + 2xy + 1}{y^2 - 2xy + 1}\biggr) \,\mathrm{d}y
</math>
|}

Die nun gezeigte Integralidentität wurde durch den Mathematiker James Harper entdeckt und in seinen Werken ''A simple proof of <math>1 + 1/2^2 + 1/3^2 + \ldots = \pi^2/6</math>'' und ''Another simple proof of <math>1 + 1/2^2 + 1/3^2 + \ldots = \pi^2/6</math>''<ref>James D.Harper, ''Another simple proof of <math>1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots=\frac {\pi^2}{6}</math>'', American Mathematical Monthly, Band 110, Nr. 6, 2003, S. 540–541</ref> aus dem Jahre 2003 behandelt. James Harper löste damit unter anderem das [[Basler Problem]] und konnte einige weitere Integralidentitäten aufstellen, welche das Bindeglied zwischen den Arkusfunktionen und den Areafunktionen beziehungsweise Logarithmusfunktionen darstellen. Beispielsweise gilt folgendes Integral:
: <math>
\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{y} \ln\biggl(\frac{y^2 + y + 1}{y^2 - y + 1}\biggr) \,\mathrm{d}y = \frac{\pi^2}{6}
</math>
Eine analoge Integralidentität nach demselben Grundmuster kann für das Quadrat des Arkuskosinus hervorgebracht werden:
: {| class="wikitable"
|<math> \arccos(x)^2 = \frac{\pi^2}{3} - \int\limits_{0}^{1} \frac{2}{y} \ln(y^2 + 2xy + 1) \,\mathrm{d}y
</math>
|}

=== Integralidentität mit dem Areatangens Hyperbolicus ===
{{Belege fehlen|1=|2=Dieser Abschnitt}}
Und mit dem [[Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus|Areatangens Hyperbolicus]] kann für den Arkussinus eine Integralidentität aufgestellt werden:
:<math>
\frac{2\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}} = \int\limits_{0}^{1} \frac{2\,x}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - x^2 y^2)}} \,\mathrm{d}y
</math>
Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich <math>x</math> entsteht folgende Formel:
: {| class="wikitable"
|<math> \arcsin(x)^2 = \int\limits_{0}^{1} \frac{2}{y} \left[\operatorname{artanh}\bigl(y\bigr) - \operatorname{artanh}\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}\,y}{\sqrt{1 - x^2 y^2}}\right)\right] \,\mathrm{d}y
</math>
|}
Wenn der Grenzwert von dieser Identität für <math>x = 1</math> berechnet wird, dann entsteht für dieses Integral über den [[Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus|Areatangens Hyperbolicus]] folgende Identität:
: <math>
\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{y} \,\operatorname{artanh}(y) \,\mathrm{d}y = \frac{\pi^2}{8}
</math>
Und mit dieser Formel kann das [[Basler Problem]] bewiesen werden:
: <math>
\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{y} \,\operatorname{artanh}(y) \,\mathrm{d}y = \int\limits_{0}^{1} \biggl(\frac{1}{y}\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2n - 1} \,y^{2n - 1}\biggr) \,\mathrm{d}y = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2n - 1)^2}
</math>
Daraus folgt:
: <math>
\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2n - 1)^2} = \frac{\pi^2}{8}
</math>

=== Stammfunktionen von Arkussinus und Arkuskosinus ===
;Arkussinus:
: <math>\int \arcsin\left(\frac{x}{a}\right)\, \mathrm dx = x\, \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + \sqrt{a^2 - x^2} + C</math>

;Arkuskosinus:
: <math>\int \arccos\left(\frac{x}{a}\right)\, \mathrm dx = x\, \arccos\left(\frac{x}{a}\right) - \sqrt{a^2 - x^2} + C</math>

=== Stammfunktion des kardinalisierten Arkussinus ===
{{Belege fehlen|1=|2=Dieser Abschnitt}}
Wenn der Arkussinus durch die identische Abbildungsfunktion geteilt wird, dann stellt diese Funktion den ''kardinalisierten'' Arkussinus dar.

Die ursprüngliche Stammfunktion des kardinalisierten Arkussinus ist das sogenannte [[Arkustangensintegral#Arkussinusintegral|Arkussinusintegral]] und dies ist eine nicht elementare Funktion:

: <math>\int\limits_{0}^{x} \frac{1}{y}\arcsin(y) \,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \frac{1}{z}\arcsin(xz) \,\mathrm{d}z =\operatorname{Si}_{2}(x) </math>

Nach dem [[Fundamentalsatz der Analysis|Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung]] gilt somit:

: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{Si}_{2}(x) = \frac{1}{x}\arcsin(x) </math>das bekannteste Beispiel für einen Wert dieser Stammfunktion:

: <math>\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x}\arcsin(x) \, \mathrm dx =\operatorname{Si}_{2}(1) =\frac{\pi}{2}\ln(2)</math>

Mit dem [[Satz von Fubini]] kann der nun genannte Wert des Integrals bewiesen werden:

: <math>\operatorname{Si}_{2}(1) = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x}\arcsin(x) \,\mathrm{d}x = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-x^2}\,y}{(1-x^2 y^2)\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x =</math>
: <math>=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-x^2}\,y}{(1-x^2 y^2)\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y =\int\limits_{0}^{1} \frac{\pi\,y}{2\sqrt{1-y^2}(1+\sqrt{1-y^2}\,)} \,\mathrm{d}y = \frac{\pi}{2}\ln(2)</math>

Mit diesem Arkussinusintegral kann ebenso das sogenannte ''Arkustangensintegral'' direkt erzeugt werden:

: <math>2\,\mathrm{Ti}_{2}\bigl[x(1 + \sqrt{1-x^2})^{-1}\bigr] =4\,\mathrm{Si}_{2}\bigl(\tfrac{1}{2}\sqrt{1+x} - \tfrac{1}{2}\sqrt{1-x}\,\bigr) - \mathrm{Si}_{2}(x)</math>

== Komplexe Argumente ==
: <math>\begin{align}
\arcsin(a + b\,\mathrm{i}) = \quad \frac{\operatorname{sgn^+}{a}}{2} \cdot \arccos & \left(\sqrt{(a^2 + b^2 - 1)^2 + 4b^2} - (a^2 + b^2)\right) \\
+\;\mathrm{i} \cdot \frac{\operatorname{sgn^+}{b}}{2} \cdot \operatorname{arcosh} & \left(\sqrt{(a^2 + b^2 - 1)^2 + 4b^2} + (a^2+b^2)\right)
\end{align}</math>   mit <math>a, b \in \mathbb{R}</math>
: <math>\arccos(a + b\,\mathrm{i}) = \frac\pi2 - \arcsin(a + b\,\mathrm{i})</math>

Zur Funktion <math>\operatorname{arcosh}</math> siehe [[Areakosinus hyperbolicus]], und für die Funktion <math>\operatorname{sgn^+} \colon \R \to \{-1, 1\}</math> gilt
:<math>\operatorname{sgn^+}(x) := 2\cdot\Theta(x)-1 = \begin{cases} +1 & \text{für } x \ge 0 \\ -1 & \text{für } x < 0 \end{cases}</math>
mit der [[Heaviside-Funktion]] <math>\Theta</math>.

== Anmerkungen ==
=== Wichtige Funktionswerte ===
''Siehe auch: [[Sinus und Kosinus#Wichtigste Funktionswerte|Sinus und Kosinus: Wichtige Funktionswerte]]''

Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden [[Arkusfunktion]]en auf.
{| class="wikitable"
!<math>x</math>
! colspan="2" |<math>\arcsin(x)</math>
! colspan="2" |<math>\arccos(x)</math>
|-
|<math>0</math>
|<math>0^\circ</math>
|<math>0</math>
|<math>90^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|-
|<math>\frac{1}{2}</math>
|<math>30^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{6}</math>
|<math>60^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{3}</math>
|-
|<math>\frac12\sqrt2</math>
|<math>45^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{4}</math>
|<math>45^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{4}</math>
|-
|<math>\frac12\sqrt3</math>
|<math>60^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{3}</math>
|<math>30^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{6}</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>90^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|<math>0^\circ</math>
|<math>0</math>
|-
|}
Weitere wichtige Werte sind:
{| class="wikitable"
!<math>x</math>
! colspan="2" |<math>\arcsin(x)</math>
! colspan="2" |<math>\arccos(x)</math>
|-
|<math>\tfrac14(\sqrt{6} - \sqrt{2})</math>
|<math>15^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{12}</math>
|<math>75^\circ</math>
|<math>\tfrac{5\pi}{12}</math>
|-
|<math>\tfrac{1}{4}\left(\sqrt{5} - 1\right)</math>
|<math>18^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{10}</math>
|<math>72^\circ</math>
|<math>\tfrac{2\pi}{5}</math>
|-
|<math>\tfrac{1}{4} \sqrt{10 - 2\sqrt{5}}</math>
|<math>36^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{5}</math>
|<math>54^\circ</math>
|<math>\tfrac{3\pi}{10}</math>
|-
|<math>\tfrac{1}{4} \left(1 + \sqrt{5}\right)</math>
|<math>54^\circ</math>
|<math>\tfrac{3\pi}{10}</math>
|<math>36^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{5}</math>
|-
|<math>\tfrac{1}{4} \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}</math>
|<math>72^\circ</math>
|<math>\tfrac{2\pi}{5}</math>
|<math>18^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{10}</math>
|-
|<math>\tfrac14(\sqrt{6} + \sqrt{2})</math>
|<math>75^\circ</math>
|<math>\tfrac{5\pi}{12}</math>
|<math>15^\circ</math>
|<math>\tfrac{\pi}{12}</math>
|}

=== Kettenbruchdarstellung des Arkussinus ===
H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Darstellung als [[Kettenbruch]]:
: <math>\arcsin(x) = \frac{x\sqrt{1 - x^2}}{1 - \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 - \cfrac{1 \cdot 2x^2}{5 - \cfrac{3 \cdot 4x^2}{7 - \cfrac{3 \cdot 4x^2}{9 - \cfrac{5 \cdot 6x^2}{11 - \ldots}}}}}}</math>

=== Komplexe Funktion ===
Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen [[Logarithmus]] ausdrücken:
: <math>\arcsin z = -\mathrm{i}\,\ln\left(\mathrm i z + \sqrt{1 - z^2}\right)</math>
: <math>\arccos z = -\mathrm{i}\,\ln\left(z + \mathrm i \sqrt{1 - z^2}\right)</math>
Diese beiden Formeln kann man wie folgt herleiten:

Für <math>\arcsin z</math>:
: <math>\begin{align}
\sin(x) &= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}\\
\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}} &= z\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \frac{1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}} &= 2z\mathrm{i}\\
(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x})^2 - 1 &= 2z\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\\
(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x})^2 - 2z\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - 1 &= 0\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} &= -\frac{-2z\mathrm{i}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2z\mathrm{i}}{2}\right)^2 - (-1)}\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} &= z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2}\\
\mathrm{i}x &= \ln(z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2})\\
x &= \frac{\ln(z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2})}{\mathrm{i}}\\
x &= \frac{\ln(z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2})\,\mathrm{i}}{\mathrm{i}^2}\\
x &= \frac{\ln(z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2})\,\mathrm{i}}{-1}\\
x &= -\mathrm{i}\,\ln(z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2})\\
\arcsin z &= -\mathrm{i}\,\ln(z\mathrm{i} \pm \sqrt{1 - z^2})\\
\end{align}</math>

Für <math>\arccos z</math>:
: <math>\begin{align}
\cos(x) &= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}\\
\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2} &= z\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \frac{1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}} &= 2z\\
(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x})^2 + 1 &= 2z\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\\
(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x})^2 - 2z\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + 1 &= 0\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} &= -\frac{-2z}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2z}{2}\right)^2 - 1)}\\
\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} &= z \pm \sqrt{z^2 - 1}\\
\mathrm{i}x &= \ln(z \pm \mathrm{i}\sqrt{1 - z^2})\\
x &= \frac{\ln(z \pm \mathrm{i}\sqrt{1 - z^2})}{\mathrm{i}}\\
x &= \frac{\ln(z \pm \mathrm{i}\sqrt{1 - z^2})\,\mathrm{i}}{\mathrm{i}^2}\\
x &= \frac{\ln(z \pm \mathrm{i}\sqrt{1 - z^2})\,\mathrm{i}}{-1}\\
x &= -\mathrm{i}\,\ln(z \pm \mathrm{i}\sqrt{1 - z^2})\\
\arccos z &= -\mathrm{i}\,\ln(z \pm \mathrm{i}\sqrt{1 - z^2})\\
\end{align}</math>

== Siehe auch ==
* [[Formelsammlung Trigonometrie]]
* [[Trigonometrische Funktion]]en

== Literatur ==
* Ilja Bronstein, Konstantin Semendjajew: ''[[Taschenbuch der Mathematik]].'' B.G. Teubner, Stuttgart 1991. ISBN 3-87144-492-8.

* {{Literatur |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Hrsg=[[Ilja Nikolajewitsch Bronstein|I. N. Bronstein]], [[K. A. Semendjajev]], G. Musiol, H. Mühlig |Auflage=7., vollständig überarbeitete und ergänzte |Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]] |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 |ISBN=978-3-8171-2007-9 |Seiten=85–88}}
* G.Huvent: ''Autour de la primitive de tp coth (αt/2)''. 3. Februar 2002. Seite 5

* James D. Harper: ''A simple proof of <math>1 + 1/2^2 + 1/3^2 + \ldots = \pi^2/6</math>'' The American Mathematical Monthly 109(6) (Jun. – Jul., 2003) 540–541.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion]]

[[en:Inverse trigonometric function]]


text:
# Bernhard Swartewolt
Bernhard Swartewolt (* im 14. Jahrhundert; † vor August 1413) war ein römisch-katholischer Geistlicher und Domherr in Münster.

## Leben
Bernhard Swartewolt war der Sohn des Gerd Swartewolt und findet als Domherr zu Münster erstmals am 14. Juli 1406 urkundliche Erwähnung. Er hatte ein Studium in Bologna absolviert und wurde 1411 zum Propst von St. Mauritz in Münster gewählt. Der Papst erteilte am 14. Dezember 1411 die Zusage auf das mit der Propstei verbundene Archidiakonat Billerbeck und der dazu gehörenden bischöflichen Kaplanei, nachdem Heinrich von Solms verstorben war. Swartewolt war Kaplan in Flechum und Fresenburg.

wikiname: dewiki

title: Bernhard Swartewolt

in_language: de

wikitext:
'''Bernhard Swartewolt''' (* im 14. Jahrhundert; † vor [[August]] [[1413]]) war ein römisch-katholischer Geistlicher und [[Domherr]] in [[St.-Paulus-Dom (Münster)|Münster]].

== Leben ==
Bernhard Swartewolt war der Sohn des Gerd Swartewolt und findet als Domherr zu Münster erstmals am 14. Juli 1406 urkundliche Erwähnung. Er hatte ein Studium in [[Universität Bologna|Bologna]] absolviert und wurde 1411 zum [[Propst]] von [[St.-Mauritz-Kirche (Münster)|St. Mauritz in Münster]] gewählt. Der [[Gregor XII.|Papst]] erteilte am 14. Dezember 1411 die Zusage auf das mit der Propstei verbundene [[Archidiakonat]] Billerbeck und der dazu gehörenden bischöflichen Kaplanei, nachdem [[Heinrich von Solms]] verstorben war. Swartewolt war Kaplan in [[Haselünne|Flechum]] und [[Fresenburg]].

== Quellen ==
* Das Bistum Münster 4,2. ([[Germania Sacra]] NF 17.2) ''Das Domstift St. Paulus zu Münster'', bearbeitet von Wilhelm Kohl, herausgegeben vom Max-Planck-Institut für Geschichte, Göttingen, Verlag: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin/New York, ISBN 978-3-11-008508-2, [http://personendatenbank.germania-sacra.de/books/view/26 Germania Sacra NF 17,2] Biografien der Domherren Seite 19ff. Digitalisat.

== Weblinks ==
* [http://germania-sacra-datenbank.uni-goettingen.de/index/gsn/061-00613-001 ''Bernhard Swartewolt''] Personendatenbank bei [[Germania Sacra]]
* [http://germania-sacra-datenbank.uni-goettingen.de/persons/index?name=swartewolt ''Swartewolt''] Personendatenbank bei [[Germania Sacra]]

{{SORTIERUNG:Swartewolt, Bernhard}}
[[Kategorie:Römisch-katholischer Geistlicher (14. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Römisch-katholischer Geistlicher (15. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Domherr (Münster)]]
[[Kategorie:Geboren im 14. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Gestorben im 15. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Deutscher]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Swartewolt, Bernhard
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=Domherr in Münster und Osnabrück
|GEBURTSDATUM=14. Jahrhundert
|GEBURTSORT=
|STERBEDATUM=vor August 1413
|STERBEORT=
}}


text:
# Magnus Jonsson (Fußballspieler)
Magnus Jonsson (* 23. September 1977) ist ein schwedischer Fußballspieler. Der Torwart stieg mit BK Häcken 2004 in die Allsvenskan auf und bestritt anschließend acht Erstligaspiele, ab 2007 war er häufiger vereinslos.

## Werdegang
Jonsson begann mit dem Fußballspielen bei Gunnilse IS. Beim Göteborger Klub rückte er 1997 in den Kader der zweitklassig antretenden Männermannschaft auf. Nachdem er mit dem Verein am Ende der Zweitligaspielzeit 2000 als Tabellenletzter abgestiegen war, schloss er sich ein Jahr später dem Lokalrivalen BK Häcken an, der aus der Allsvenskan abgestiegen war.
Bei BK Häcken kämpfte Jonsson mit Christoffer Källqvist um den Stammplatz zwischen den Pfosten. Das Duell konnte er in weiten Teilen für sich entscheiden und in der Zweitligaspielzeit 2003 kam er in 23 der 30 Saisonspiele zum Einsatz. Anschließend verdrängte ihn sein Konkurrent, so dass er in der folgenden Spielzeit nur mit einem Saisoneinsatz zum Wiederaufstieg des Klubs in die Allsvenskan beitrug. Hier blieb er eine weitere Spielzeit als Ersatzmann, ehe er Ende 2005 dem Klub den Rücken kehrte.
Jonsson heuerte zur Zweitligaspielzeit 2006 bei IFK Norrköping an. Mit der von Mats Jingblad betreuten Mannschaft verpasste er als Tabellenvierter knapp einen Aufstiegsplatz. Daraufhin zog er eine vertraglich vereinbarte Option, die ihm die Vertragsauflösung ermöglichte.
Nachdem seinem ehemaligen Klub BK Häcken in der folgenden Spielzeit verletzungsbedingt die Torhüter ausfielen, sprang er ein und bestritt zwei weitere Spiele für den Klub. Im Juli lief er einmal für seinen Heimatklub Gunnilse IS auf, ehe er im Oktober von Hammarby IF für den UEFA-Pokal verpflichtet wurde, da sich dort mit Erland Hellström und Benny Lekström die beiden regulären Torhüter verletzt hatten. Sein Vertrag war nur für das Europapokalrundenspiel gegen den portugiesischen Klub Sporting Braga gültig.
Anschließend blieb Jonsson vertraglos, ehe er im November 2008 einen ab der Erstliga-Spielzeit 2009 gültigen Vertrag bei  GAIS unterschrieb. Beim Göteborger Klub wurde er Ersatzmann des vormaligen Nationaltorhüters Dime Jankulovski. Bei der 2:4-Niederlage im Pokalspiel gegen Landskrona BoIS im April 2009 kam er zu seinem Pflichtspieldebüt, in der Liga saß er regelmäßig lediglich auf der Ersatzbank und blieb ohne Spieleinsatz. 2010 verpflichtete der Klub mit dem Finnen Henri Sillanpää einen weiteren Torhüter, so dass er in der Rangfolge weiter abstieg. Nach Ablaufen seines Vertrages Ende 2010 war er vereinslos.

title: Magnus Jonsson (Fußballspieler)

wikitext:
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'''Magnus Jonsson''' (* [[23. September]] [[1977]]) ist ein [[Schweden|schwedischer]] [[Fußball]]spieler. Der [[Torwart]] stieg mit [[BK Häcken]] 2004 in die [[Fotbollsallsvenskan|Allsvenskan]] auf und bestritt anschließend acht Erstligaspiele, ab 2007 war er häufiger vereinslos.

== Werdegang ==
Jonsson begann mit dem Fußballspielen bei [[Gunnilse IS]]. Beim Göteborger Klub rückte er 1997 in den Kader der zweitklassig antretenden Männermannschaft auf. Nachdem er mit dem Verein am Ende der [[Superettan 2000|Zweitligaspielzeit 2000]] als Tabellenletzter abgestiegen war, schloss er sich ein Jahr später dem Lokalrivalen [[BK Häcken]] an, der aus der Allsvenskan abgestiegen war.

Bei BK Häcken kämpfte Jonsson mit [[Christoffer Källqvist]] um den Stammplatz zwischen den Pfosten. Das Duell konnte er in weiten Teilen für sich entscheiden und in der [[Superettan 2003|Zweitligaspielzeit 2003]] kam er in 23 der 30 Saisonspiele zum Einsatz. Anschließend verdrängte ihn sein Konkurrent, so dass er in der folgenden Spielzeit nur mit einem Saisoneinsatz zum Wiederaufstieg des Klubs in die Allsvenskan beitrug. Hier blieb er eine weitere Spielzeit als Ersatzmann, ehe er Ende 2005 dem Klub den Rücken kehrte.

Jonsson heuerte zur [[Superettan 2006|Zweitligaspielzeit 2006]] bei [[IFK Norrköping]] an. Mit der von [[Mats Jingblad]] betreuten Mannschaft verpasste er als Tabellenvierter knapp einen Aufstiegsplatz. Daraufhin zog er eine vertraglich vereinbarte Option, die ihm die Vertragsauflösung ermöglichte.<ref>[http://www.sr.se/cgi-bin/ostergotland/nyheter/artikel.asp?artikel=1063879 sr.se: „Målvakt Jonsson lämnar IFK“]{{Toter Link |date=2019-04 |url=http://www.sr.se/cgi-bin/ostergotland/nyheter/artikel.asp?artikel=1063879 |archivebot=2019-04-29 02:55:46 InternetArchiveBot}} (abgerufen am 25. Juli 2009)</ref>

Nachdem seinem ehemaligen Klub BK Häcken in der folgenden Spielzeit verletzungsbedingt die Torhüter ausfielen, sprang er ein und bestritt zwei weitere Spiele für den Klub. Im Juli lief er einmal für seinen Heimatklub Gunnilse IS auf, ehe er im Oktober von [[Hammarby IF]] für den [[UEFA Europa League|UEFA-Pokal]] verpflichtet wurde, da sich dort mit [[Erland Hellström]] und [[Benny Lekström]] die beiden regulären Torhüter verletzt hatten.<ref>[http://mobil.sr.se/site/index.aspx?groupid=3796&artikel=1634810&unitID=83 mobil.sr.se: „Magnus Jonsson ny målvakt i Hammarby“]{{Toter Link |date=2019-04 |url=http://mobil.sr.se/site/index.aspx?groupid=3796&artikel=1634810&unitID=83 |archivebot=2019-04-29 02:55:46 InternetArchiveBot}} (abgerufen am 25. Juli 2009)</ref> Sein Vertrag war nur für das Europapokalrundenspiel gegen den portugiesischen Klub [[Sporting Braga]] gültig.<ref>[http://www.dn.se/sport/fotboll/direkt-in-i-hetluften-1.655808 dn.se: „Direkt in i hetluften“] (abgerufen am 25. Juli 2009)</ref>

Anschließend blieb Jonsson vertraglos, ehe er im November 2008 einen ab der [[Fotbollsallsvenskan 2009|Erstliga-Spielzeit 2009]] gültigen Vertrag bei  [[GAIS Göteborg|GAIS]] unterschrieb.<ref>{{Webarchiv |url=http://www.gais.se/fotboll/gais.nsf/0/253B881091DED578C12574F6005FB16E |wayback=20081208053532 |text=gais.se: „Magnus Jonsson klar för GAIS“ |archiv-bot=2019-04-29 02:55:46 InternetArchiveBot}} (abgerufen am 25. Juli 2009)</ref> Beim Göteborger Klub wurde er Ersatzmann des vormaligen Nationaltorhüters [[Dime Jankulovski]]. Bei der 2:4-Niederlage im [[Schwedischer Fußballpokal der Männer|Pokalspiel]] gegen [[Landskrona BoIS]] im April 2009 kam er zu seinem Pflichtspieldebüt, in der Liga saß er regelmäßig lediglich auf der Ersatzbank und blieb ohne Spieleinsatz. 2010 verpflichtete der Klub mit dem Finnen [[Henri Sillanpää]] einen weiteren Torhüter, so dass er in der Rangfolge weiter abstieg. Nach Ablaufen seines Vertrages Ende 2010 war er vereinslos.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [http://www.gais.se/fotboll/gais.nsf/0/AEDE541D890AF399C12574F6006029CE?OpenDocument Magnus Jonsson] auf der Vereinsseite von GAIS
* {{Webarchiv |url=http://svenskfotboll.se/allsvenskan/person/?playerid=3132 |wayback=20160304215539 |text=Magnus Jonsson}} in der Datenbank des schwedischen Fußballverbands
* {{Weltfussball|magnus-jonsson}}

{{SORTIERUNG:Jonsson, Magnus}}
[[Kategorie:Fußballtorhüter (GAIS Göteborg)]]
[[Kategorie:Fußballtorhüter (BK Häcken)]]
[[Kategorie:Fußballtorhüter (IFK Norrköping)]]
[[Kategorie:Fußballspieler (Gunnilse IS)]]
[[Kategorie:Fußballtorhüter (Hammarby IF)]]
[[Kategorie:Schwede]]
[[Kategorie:Geboren 1977]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Jonsson, Magnus
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|STERBEORT=
}}

title: Personalia

Geburtstag: 23. September 1977

Position: Torwart

title: Junioren

Jahre: Station

title: Herren

Jahre: Station · Spiele (Tore)1

Gunnilse IS

BK Häcken · 47 (0)

IFK Norrköping · 27 (0)

BK Häcken · 2 (0)
Gunnilse IS · 1 (0)
Hammarby IF · 0 (0)

GAIS · 0 (0)

Herren: 1 Angegeben sind nur Ligaspiele. · Stand: 31. Juli 2012


text:
# Loch Duich
Loch Duich (schottisch-gälisch Loch Dubhthaich) ist eine Meeresbucht an der Westküste Schottlands in den Northwest Highlands. In Schottland werden diese Meeresbuchten sea lochs genannt.
Der Loch Duich wird durch die Meeresarme Loch Alsh und Loch Long gespeist. Die Bucht ist ungefähr 8,5 Kilometer lang und im Durchschnitt 1,5 Kilometer breit.
Auf einer kleinen Insel im Loch Duich in der Nähe der Ortschaft Dornie befindet sich das bekannte Eilean Donan Castle, das mit einer steinernen Fußgängerbrücke mit dem Festland verbunden ist.
Die Hauptstraße A87 führt über mehrere Kilometer am nordöstlichen Ufer entlang.

## Geschichte
Diarmaid’s Grave ist eine Steinsetzung auf einer Landzunge. Das Souterrain von Allt an Inbhir liegt an der Südseite bei Letterfearn.
Im Jahr 1719 wurden viele Gehöfte entlang der Bucht durch britische Streitkräfte niedergebrannt, kurz bevor die Schlacht von Glen Shiel zwischen britischen Regierungstruppen und einer Allianz von Jakobiten und Spaniern begann.

title: Loch Duich

wikitext:
{{Infobox Bucht
|NAME= Loch Duich
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|BILD1= Kint.jpg
|BILD1-TEXT= ''Loch Duich'' von Nordwesten gesehen, mit dem [[Eilean Donan Castle]] (kleine Insel im mittleren Vordergrund), ''Loch Long'' (Vordergrund links) und dem ''Loch Alsh'' (Vordergrund rechts)
<!--|BILD2= Panorama Eilean Donan Castle 2005-05-14.jpg
|BILD2-TEXT= ''Loch Duich'' und [[Eilean Donan Castle]] mit den Bergen der Insel [[Skye]] im linken Hintergrund-->
|GEWÄSSER= The Minch
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}}
'''Loch Duich''' ([[schottisch-gälische Sprache|schottisch-gälisch]] ''Loch Dubhthaich'') ist eine Meeresbucht an der Westküste [[Schottland]]s in den [[Northwest Highlands]]. In Schottland werden diese Meeresbuchten ''[[sea loch]]s'' genannt.

Der ''Loch Duich'' wird durch die Meeresarme [[Loch Alsh]] und [[Loch Long (Highland)|Loch Long]] gespeist. Die Bucht ist ungefähr 8,5 Kilometer lang und im Durchschnitt 1,5 Kilometer breit.

Auf einer kleinen Insel im ''Loch Duich'' in der Nähe der Ortschaft [[Dornie]] befindet sich das bekannte [[Eilean Donan Castle]], das mit einer steinernen Fußgängerbrücke mit dem Festland verbunden ist.

Die Hauptstraße [[A87 road|A87]] führt über mehrere Kilometer am nordöstlichen Ufer entlang.

== Geschichte ==
[[Diarmaid’s Grave]] ist eine [[Steinsetzung]] auf einer Landzunge. Das [[Souterrain (Archäologie)|Souterrain]] von [[Allt an Inbhir]] liegt an der Südseite bei Letterfearn.
Im Jahr 1719 wurden viele Gehöfte entlang der Bucht durch britische Streitkräfte niedergebrannt, kurz bevor die [[Schlacht von Glen Shiel]] zwischen britischen Regierungstruppen und einer Allianz von [[Jakobiten]] und [[Spanien|Spaniern]] begann.

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
*[https://www.schottland-wegweiser.de/schottland_seen_lochduich.html Loch Duich auf schottland-wegweiser.de]

[[Datei:Panorama Eilean Donan Castle 2005-05-14.jpg|mini|links|''Loch Duich'' und [[Eilean Donan Castle]] mit den Bergen der Insel [[Skye]] im linken Hintergrund]]

{{SORTIERUNG:Duich}}
[[Kategorie:Bucht in Highland (Council Area)]]
[[Kategorie:Bucht in Europa]]
[[Kategorie:Bucht (Schottische See)]]

title: Loch Duich

Gewässer: The Minch

Landmasse: Großbritannien (Insel)

Breite: ca. 1,5 km

Länge: ca. 8,5 km


text:
# Sandro Scheer
Sandro Scheer (* 1978 in Jena) ist ein deutscher Politiker (AfD). Er ist seit April 2025 Mitglied des Landtags von Baden-Württemberg.

## Leben
Scheer war Offizier bei der Bundeswehr. Bis zu seinem Einzug in den Landtag war er als Referent eines Bundestagsabgeordneten tätig. Scheer betrieb einen Gebrauchtwagenhandel in Ebersbach a.d.Fils.
Scheer ist verheiratet, dreifacher Vater und lebt in Ebersbach an der Fils.

## Politik
Scheer ist Mitglied der AfD. Er ist Vorsitzender des AfD-Kreisverbandes Göppingen und Mitglied des Landesvorstands der AfD Baden-Württemberg. Seit 2024 ist er Mitglied des Gemeinderats von Ebersbach, des Kreistags des Landkreises Göppingen und der Regionalversammlung des Verbands Region Stuttgart.
Scheer stand in der Kritik weil er mit einer angeblichen Doktorin als neues Mitglied der AfD Göppingen warb. Wie sich herausstellte, handelte es sich um ein von ihm mit KI generiertes Fakebild.
Bei der Landtagswahl in Baden-Württemberg 2021 kandidierte Scheer als Ersatzkandidat von Hans-Jürgen Goßner im Landtagswahlkreis Göppingen. Er rückte am 1. April 2025 für Goßner nach dessen Mandatsverzicht in den Landtag nach.

## Strafverfahren
Scheer musste sich 2019 wegen des Vorwurfs der üblen Nachrede vor dem Amtsgericht Esslingen am Neckar verantworten. Er hatte im April 2018 – kurz nach der Amokfahrt in Münster – auf Facebook ein Bild eines Mannes mit iranischen Wurzeln gepostet, das mit folgendem Text überschrieben war: „Das ist nun also Jens R. Deutscher. Ich erinnere mich noch sehr gut an Anis Amri. Da war auch mehrere Tage ein polnischer LKW Fahrer der Täter hätte man den Verantwortlichen geglaubt.“ Der Mann auf dem Bild hatte mit der Tat in Münster allerdings nichts zu tun. Scheer wurde im Prozess von Dubravko Mandic anwaltlich vertreten. Scheer wurde schließlich vom Richter mit Vorbehalt einer Geldstrafe verwarnt.

title: Sandro Scheer

wikitext:
'''Sandro Scheer''' (* [[1978]] in [[Jena]]) ist ein [[Deutschland|deutscher]] [[Politiker]] ([[Alternative für Deutschland|AfD]]). Er ist seit April 2025 Mitglied des [[Landtag von Baden-Württemberg|Landtags von Baden-Württemberg]].

== Leben ==
Scheer war [[Offizier (Bundeswehr)|Offizier]] bei der [[Bundeswehr]]. Bis zu seinem Einzug in den Landtag war er als Referent eines Bundestagsabgeordneten tätig. Scheer betrieb einen Gebrauchtwagenhandel<ref>https://branchenbuch.meinestadt.de/ebersbach-an-der-fils/company/13201119</ref> in Ebersbach a.d.Fils.

Scheer ist verheiratet, dreifacher Vater und lebt in [[Ebersbach an der Fils]].

== Politik ==
Scheer ist Mitglied der AfD. Er ist Vorsitzender des AfD-Kreisverbandes [[Landkreis Göppingen|Göppingen]] und Mitglied des Landesvorstands der [[AfD Baden-Württemberg]]. Seit [[Kommunalwahlen in Baden-Württemberg 2024|2024]] ist er Mitglied des [[Gemeinderat (Deutschland)|Gemeinderats]] von Ebersbach, des [[Kreistag]]s des Landkreises Göppingen und der [[Regionalversammlung des Verbands Region Stuttgart]].

Scheer stand in der Kritik weil er mit einer angeblichen Doktorin als neues Mitglied der AfD Göppingen warb. Wie sich herausstellte, handelte es sich um ein von ihm mit KI generiertes [https://www.aachener-zeitung.de/politik/wahlkampf-mit-fake-fotos-afd-goeppingen-wirbt-mit-ki-bild/9593842.html Fakebild].<ref>{{Internetquelle |url=https://www.aachener-zeitung.de/politik/wahlkampf-mit-fake-fotos-afd-goeppingen-wirbt-mit-ki-bild/9593842.html |titel=Wahlkampf mit Fake-Fotos? AfD Göppingen wirbt mit KI-Bild |datum=2024-03-21 |sprache=de-DE |abruf=2025-08-03}}</ref>

Bei der [[Landtagswahl in Baden-Württemberg 2021]] kandidierte Scheer als Ersatzkandidat von [[Hans-Jürgen Goßner]] im [[Landtagswahlkreis Göppingen]]. Er rückte am 1. April 2025 für Goßner nach dessen Mandatsverzicht in den Landtag nach.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.presseportal.de/pm/127902/6003379 |titel=Sandro Scheer MdL neues Mitglied der AfD-Landtagsfraktion |werk=presseportal.de |datum=2025-04-01 |abruf=2025-04-01}}</ref>

== Strafverfahren ==
Scheer musste sich 2019 wegen des Vorwurfs der [[Üble Nachrede (Deutschland)|üblen Nachrede]] vor dem [[Amtsgericht Esslingen am Neckar]] verantworten. Er hatte im April 2018 – kurz nach der [[Amokfahrt in Münster]] – auf [[Facebook]] ein Bild eines Mannes mit iranischen Wurzeln gepostet, das mit folgendem Text überschrieben war: „Das ist nun also Jens R. Deutscher. Ich erinnere mich noch sehr gut an [[Anis Amri]]. Da war auch mehrere Tage ein polnischer LKW Fahrer der Täter hätte man den Verantwortlichen geglaubt.“ Der Mann auf dem Bild hatte mit der Tat in Münster allerdings nichts zu tun. Scheer wurde im Prozess von [[Dubravko Mandic]] anwaltlich vertreten. Scheer wurde schließlich vom Richter mit Vorbehalt einer Geldstrafe verwarnt.<ref>{{Internetquelle |autor=Julia Theermann |url=https://www.esslinger-zeitung.de/inhalt.mann-wegen-uebler-nachrede-vor-gericht-afd-politiker-aus-ebersbach-verwarnt.f9350135-d674-4b87-bb9d-218511aa0128.html |titel=Mann wegen übler Nachrede vor Gericht: AfD-Politiker aus Ebersbach verwarnt |werk=esslinger-zeitung.de |datum=2019-09-03 |abruf=2025-04-01}}</ref>

== Weblinks ==
* [https://www.landtag-bw.de/de/der-landtag/abgeordnete/abgeordnetenprofile/sandro-scheer-565628 Abgeordnetenprofil von Sandro Scheer] auf der Website des Landtags von Baden-Württemberg

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Scheer, Sandro}}
[[Kategorie:AfD-Mitglied]]
[[Kategorie:Landtagsabgeordneter (Baden-Württemberg)]]
[[Kategorie:Politiker (21. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Kommunalpolitiker (Landkreis Göppingen)]]
[[Kategorie:Militärperson (Heer der Bundeswehr)]]
[[Kategorie:Deutscher]]
[[Kategorie:DDR-Bürger]]
[[Kategorie:Geboren 1978]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Scheer, Sandro
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=deutscher Politiker (AfD)
|GEBURTSDATUM=1978
|GEBURTSORT=[[Jena]]
|STERBEDATUM=
|STERBEORT=
}}


text:
# European Nations Challenge Cup
Der European Nations Challenge Cup war ein Mannschaftsturnier im Squash auf europäischer Ebene.

## Geschichte
Das von 2003 bis 2010 ausgetragene Turnier war von der European Squash Federation für schwächere Nationalmannschaften konzipiert worden, um diesen eine Möglichkeit zu geben, sich mit ähnlich starken Mannschaften messen zu können bzw. diese an internationales Niveau heranzuführen. Es diente in seinen acht Auflagen als Unterbau der Europameisterschaften, ehe ab 2011 die Europameisterschaften auch mit einer zusätzlichen Division 3 ausgespielt wurden, in denen Mannschaften spielten, die zuvor im European Nations Challenge Cup aktiv waren. Mannschaften, die in den letzten fünf Jahren unter die besten 16 bei den Europameisterschaften kamen sowie Mannschaften, die in diesem Zeitraum zweimal den European Nations Challenge Cup gewinnen konnten, waren von der Teilnahme ausgeschlossen. Sämtliche Austragungen fanden in Mitteleuropa statt.
Bei den Herren konnte keine Mannschaft das Turnier mehr als einmal gewinnen. Die Ukraine war mit vier Teilnahmen jedoch am öftesten im Finale vertreten. In der Damenkonkurrenz gelang Malta sowohl 2007 als auch 2009 der Titelgewinn.

## Sieger

### Herren
| Jahr | Austragungsort | Sieger    | Finalist  |
| ---- | -------------- | --------- | --------- |
| 2003 | Bratislava     |           |           |
| 2004 | Ljubljana      | Slowenien |           |
| 2005 | Tallinn        | Slowakei  | Ukraine   |
| 2006 | Warschau       | Norwegen  | Ukraine   |
| 2007 | Riga           | Estland   | Gibraltar |
| 2008 | Budapest       | Kroatien  | Serbien   |
| 2009 | Posen          | Ukraine   | Zypern    |
| 2010 | Warschau       | Serbien   | Ukraine   |

### Damen
| Jahr | Austragungsort | Sieger   | Finalist    |
| ---- | -------------- | -------- | ----------- |
| 2003 | Bratislava     |          |             |
| 2004 | Ljubljana      | Slowakei |             |
| 2005 | Tallinn        | Norwegen | Russland    |
| 2006 | Warschau       | Estland  | Polen       |
| 2007 | Riga           | Malta    | Isle of Man |
| 2008 | Budapest       | Ungarn   | Polen       |
| 2009 | Posen          | Malta    | Zypern      |
| 2010 | Warschau       | Polen    | Zypern      |

title: European Nations Challenge Cup

wikitext:
Der '''European Nations Challenge Cup''' war ein Mannschaftsturnier im [[Squash]] auf europäischer Ebene.

== Geschichte ==
Das von 2003 bis 2010 ausgetragene Turnier war von der [[European Squash Federation]] für schwächere Nationalmannschaften konzipiert worden, um diesen eine Möglichkeit zu geben, sich mit ähnlich starken Mannschaften messen zu können bzw. diese an internationales Niveau heranzuführen. Es diente in seinen acht Auflagen als Unterbau der [[Squash-Europameisterschaft|Europameisterschaften]], ehe ab 2011 die Europameisterschaften auch mit einer zusätzlichen Division 3 ausgespielt wurden, in denen Mannschaften spielten, die zuvor im European Nations Challenge Cup aktiv waren. Mannschaften, die in den letzten fünf Jahren unter die besten 16 bei den Europameisterschaften kamen sowie Mannschaften, die in diesem Zeitraum zweimal den European Nations Challenge Cup gewinnen konnten, waren von der Teilnahme ausgeschlossen.<ref>{{Internetquelle|url=https://www.squashweb.nl/world-squash-archief-archief-128/1605-slovakia-a-norway-win-european-nations-challenge-cup-titles|sprache=en|abruf=2022-04-08|werk=squashweb.nl|titel=Slovakia & Norway Win European Nations Challenge Cup Titles|datum=2005-11-30}}</ref> Sämtliche Austragungen fanden in [[Mitteleuropa]] statt.

Bei den Herren konnte keine Mannschaft das Turnier mehr als einmal gewinnen. Die [[Ukrainische Squashnationalmannschaft|Ukraine]] war mit vier Teilnahmen jedoch am öftesten im Finale vertreten. In der Damenkonkurrenz gelang [[Maltesische Squashnationalmannschaft|Malta]] sowohl [[European Nations Challenge Cup 2007|2007]] als auch [[European Nations Challenge Cup 2009|2009]] der Titelgewinn.

== Sieger ==
=== Herren ===
{| class="wikitable"
|-
! Jahr
! Austragungsort
! Sieger
! Finalist
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2003|2003]]
| {{SVK|#}} [[Bratislava]]
|
|
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2004|2004]]
| {{SVN|#}} [[Ljubljana]]
| {{SVN|Slowenische Squashnationalmannschaft}}
|
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2005|2005]]
| {{EST|#}} [[Tallinn]]
| {{SVK|Slowakische Squashnationalmannschaft}}
| {{UKR|Ukrainische Squashnationalmannschaft}}
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2006|2006]]
| {{POL|#}} [[Warschau]]
| {{NOR|Norwegische Squashnationalmannschaft}}
| {{UKR|Ukrainische Squashnationalmannschaft}}
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2007|2007]]
| {{LVA|#}} [[Riga]]
| {{EST|Estnische Squashnationalmannschaft}}
| {{GIB|Gibraltarische Squashnationalmannschaft}}
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2008|2008]]
| {{HUN|#}} [[Budapest]]
| {{HRV|Kroatische Squashnationalmannschaft}}
| {{SRB|Serbische Squashnationalmannschaft}}
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2009|2009]]
| {{POL|#}} [[Posen]]
| {{UKR|Ukrainische Squashnationalmannschaft}}
| {{CYP|Zyprische Squashnationalmannschaft}}
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2010|2010]]
| {{POL|#}} Warschau
| {{SRB|Serbische Squashnationalmannschaft}}
| {{UKR|Ukrainische Squashnationalmannschaft}}
|}

=== Damen ===
{| class="wikitable"
|-
! Jahr
! Austragungsort
! Sieger
! Finalist
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2003|2003]]
| {{SVK|#}} [[Bratislava]]
|
|
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2004|2004]]
| {{SVN|#}} [[Ljubljana]]
| {{SVK|Slowakische Squashnationalmannschaft}}
|
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2005|2005]]
| {{EST|#}} [[Tallinn]]
| {{NOR|Norwegische Squashnationalmannschaft}}
| {{RUS|Russische Squashnationalmannschaft}}
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2006|2006]]
| {{POL|#}} [[Warschau]]
| {{EST|Estnische Squashnationalmannschaft}}
| {{POL|Polnische Squashnationalmannschaft}}
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2007|2007]]
| {{LVA|#}} [[Riga]]
| {{MLT|Maltesische Squashnationalmannschaft}}
| {{IMN|Squashnationalmannschaft der Isle of Man}}
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2008|2008]]
| {{HUN|#}} [[Budapest]]
| {{HUN|Ungarische Squashnationalmannschaft}}
| {{POL|Polnische Squashnationalmannschaft}}
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2009|2009]]
| {{POL|#}} [[Posen]]
| {{MLT|Maltesische Squashnationalmannschaft}}
| {{CYP|Zyprische Squashnationalmannschaft}}
|-
| [[European Nations Challenge Cup 2010|2010]]
| {{POL|#}} Warschau
| {{POL|Polnische Squashnationalmannschaft}}
| {{CYP|Zyprische Squashnationalmannschaft}}
|}

== Weblinks ==
* [https://www.squashinfo.com/history/617/mens/european-nations-challenge-cup Ergebnisse der Herrenmannschaften] auf squashinfo.com (englisch)
* [https://www.squashinfo.com/history/617/womens/european-nations-challenge-cup Ergebnisse der Damenmannschaften] auf squashinfo.com (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste European Nations Challenge Cup}}

[[Kategorie:European Nations Challenge Cup| ]]
[[Kategorie:Squash-Europameisterschaft| ]]
[[Kategorie:Erstveranstaltung 2003]]
[[Kategorie:Letzte Veranstaltung 2010]]


text:
# Sommerhaus Wittenhof
Sommerhaus Wittenhof war ein Sommerhaus in Tallinn, welches heutzutage an der Kreuzung der Straßen Endlastraße, Keemiastraße, Väljastraße und Mustamäestraße besteht (Endlastraße 77).
Ursprünglich hieß das Haus Meuslershof, welches nach der Familie Meusler benannt wurde. Im Jahre 1737 wurde das Haus von Jürgen Witte gekauft, ein Mitglied der Großen Gilde, der Bürgermeister Tallinns, und das Haus wurde umbenannt in Wittenhof.
Zu Beginn des 19. Jahrhunderts wurde das Haus von Bernhard Johann Meier erworben und das Haus wurde in Meiersdorf umbenannt. Darauf wurde das Haus von Oberstleutnant N. Nejelev erworben und darin wurde das Restaurant Cap de bonne Esperence (Kap der guten Hoffnung) eröffnet. Im Besitz von N. Nejeloff (Nejelev), wurde das Sommerhaus Wittenhof eine Badeanstalt mit angeschlossenem Restaurant. Nebst anderen Tätigkeiten war es möglich heiße und kalte Seebäder als Behandlungszweck zu nehmen.
Im Jahre 1842 kaufte der Pharmazeut Ernst August Bienert das ehemalige Kap der guten Hoffnung zusammen mit dem angrenzenden Grundstück. In den 1870er Jahren wurden der Aussichtspunkt und die Pavillons des Hauses und Restaurant abgerissen. Nur das Hauptgebäude und die Nebengebäude wurden erhalten.
Im Jahre 1904 kaufte Albert Koba das Sommerhaus Wittenhof mit zum Teil erhaltenen Gebäuden, teilte dieses und verkaufte es in Stücken, und dies leitete den Beginn der Lilleküla-Siedlung ein.
Im Jahre 1913 wurde dort die Gießerei Pumpjansky und Levin gegründet. Kurz darauf folgten die Estnische Leder- und Schuhfabrik, die Chromlederfabrik der AS Union (estnische Textilfabrik gegr. 1921) und während der estnischen sozialistischen Sowjetrepublik die Leder- und Schuhfabrik Kommunaar.
Während des Kommunismus wurde das Sommerhaus in ein Wohnhaus umgewandelt, in dem kommunistische Arbeiter untergebracht wurden. Zu Beginn des 21. Jahrhunderts war die Schuhindustrie Polaria in der Gegend tätig.

title: Sommerhaus Wittenhof

wikitext:
{{Belege fehlen}}

'''Sommerhaus Wittenhof''' war ein [[Ferienhaus|Sommerhaus]] in [[Tallinn]], welches heutzutage an der Kreuzung der Straßen Endlastraße, Keemiastraße, Väljastraße und Mustamäestraße<ref name="Tallinna entsüklopeedia">[[Tallinna entsüklopeedia]]. II köide N–Ü. Tallinn: [[Eesti Entsüklopeediakirjastuse AS]], 2004. S. 336</ref> besteht (Endlastraße 77<ref>[[Josef Kats]], [http://www.kakonsultatsioonid.ee/images/2014_juuli_leht.pdf Wittenhofi mõisa Hea Lootus], [[Kristiine Leht]], juuli 2014</ref>).
[[Datei:Tallinna linnaplaan, 1876.png|mini|Sommerhaus Wittenhof (''Wittenhof'') Stadtplan Tallinn Jahr 1876, entlang der [[Paldiski maantee|Straße von Baltischport]] (''Strasse von Baltischport'')]]
Ursprünglich hieß das Haus ''Meuslershof'', welches nach der Familie Meusler benannt wurde. Im Jahre 1737 wurde das Haus von Jürgen Witte gekauft, ein Mitglied der ''Großen Gilde'', der Bürgermeister Tallinns, und das Haus wurde umbenannt in '''Wittenhof'''.<ref name="Tallinna entsüklopeedia" />

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts wurde das Haus von Bernhard Johann Meier erworben und das Haus wurde in Meiersdorf umbenannt<ref>[[Josef Kats]], [http://www.kakonsultatsioonid.ee/images/2014_juuli_leht.pdf Wittenhofi mõisa Hea Lootus], [[Kristiine Leht]], juuli 2014</ref>. Darauf wurde das Haus von Oberstleutnant N. Nejelev erworben und darin wurde das Restaurant ''Cap de bonne Esperence'' (Kap der guten Hoffnung)<ref>[[Jaak Juske]], [http://jaakjuske.blogspot.com/2014/08/tallinna-suvemoisade-kadunud-maailm.html Tallinna suvemõisate kadunud maailm], Jaak Juske blogi (abgerufen am 15. Oktober 2020)</ref><ref>[[Jaak Juske]], [https://www.adaur.ee/ajaloorubriik-tallinna-suvemoisade-kadunud-maailm/ Ajaloorubriik: Tallinna suvemõisade kadunud maailm], Jaak Juske (abgerufen am 23. Oktober 2022)</ref> eröffnet. Im Besitz von N. Nejeloff (Nejelev), wurde das Sommerhaus Wittenhof eine Badeanstalt mit angeschlossenem Restaurant. Nebst anderen Tätigkeiten war es möglich heiße und kalte Seebäder als Behandlungszweck zu nehmen.

Im Jahre 1842 kaufte der Pharmazeut Ernst August Bienert das ehemalige Kap der guten Hoffnung zusammen mit dem angrenzenden Grundstück. In den 1870er Jahren wurden der Aussichtspunkt und die Pavillons des Hauses und Restaurant abgerissen. Nur das Hauptgebäude und die Nebengebäude wurden erhalten.
[[Datei:Endla 77.jpg|mini|links|Gutshaus Endlastraße 77]]
Im Jahre 1904 kaufte [[Albert Koba]] das Sommerhaus Wittenhof mit zum Teil erhaltenen Gebäuden, teilte dieses und verkaufte es in Stücken, und dies leitete den Beginn der [[Lilleküla]]-Siedlung ein.<ref>"Kristiine suvemõisad", Kristiine Leht nr 7(68), 22. Juni 2006</ref>

Im Jahre 1913 wurde dort die Gießerei Pumpjansky und Levin gegründet. Kurz darauf folgten die Estnische Leder- und Schuhfabrik, die Chromlederfabrik der AS Union<ref>[https://dea.digar.ee/cgi-bin/dea?a=d&d=AKriigiteataja19400726.2.4 771. Natsionaliseerimisele kuuluvad tööstusettevõtted.], Riigi Teataja, nr. 81, 26 juuli 1940</ref> (estnische Textilfabrik gegr. 1921) und während der estnischen sozialistischen Sowjetrepublik die Leder- und Schuhfabrik Kommunaar.

Während des Kommunismus wurde das Sommerhaus in ein Wohnhaus umgewandelt, in dem kommunistische Arbeiter untergebracht wurden. Zu Beginn des 21. Jahrhunderts war die Schuhindustrie Polaria in der Gegend tätig.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Wittenhof summer manor}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Coordinate|NS=59.428682|EW=24.704811|type=landmark|region=EE}}

[[Kategorie:Bauwerk in Tallinn]]
[[Kategorie:Sommerhaus|Witt]]


text:
# Hot Love (Film)
Hot Love ist ein deutscher Kurz-Horrorfilm von Jörg Buttgereit aus dem Jahr 1985.

## Handlung
Ein junger Mann lernt auf der Party Marion kennen. Die beiden verlieben sich und die Beziehung wird immer enger, die beiden schwören sich ewige Liebe und schenken sich symbolisch ihre Herzen. Voller Glück freut sich der Mann darauf seine Freundin wieder zu sehen, als er sie plötzlich in den Armen eines anderen Mannes beobachtet, wie sie sich küssen. Er dringt in die Wohnung von Marion ein, doch ihr neuer Freund, deutlich muskulöser als er, verprügelt ihn. Er schwört Rache. Etwas später lauert er Marion auf und schlägt sie nieder. Anschließend vergewaltigt er sie. Als ihr neuer Freund davon erfährt macht er sich auf den Weg zur Wohnung des Mannes. Dieser hat sich jedoch in der Zwischenzeit selbst gerichtet.
Neun Monate später kommt ein schrecklich deformiertes Kind zur Welt, das aus der Vergewaltigung entstanden ist. Als sich Marion und ihr neuer Freund bei einem Horrorfilm amüsieren mutiert das Baby in ein grässliches Monster und tötet die beiden. Der Mann wird mit einer zerbrochenen Jack-Daniels-Flasche erstochen. Die Frau wird zunächst mit einer Axt getötet, bis das Monster ihr das Herz herausreißt. Damit ist die Rache vollendet.

## Hintergrund
Hot Love entstand zwei Jahre vor Nekromantik und bearbeitete ein ähnlich makaberes Thema. Der Film enthält einige Splattereffekte, die jedoch noch nicht so ausgereift sind, wie bei Buttgereits späteren Werken. Buttgereit war kurz vorher von der Filmhochschule abgelehnt worden und brachte sich die Spezial-Effekte bei, als er als Fensterdekorateur arbeitete und mit verschiedenen Materialien umgehen musste. es war einer seiner letzten Filme, die nicht ernst waren, sondern eher komödiantisch wirken sollten.
Die Premiere des Films fand am 20. November 1985 im Berliner Programmkino Sputnik statt. In einem separat gedrehten Film zur Premiere sind unter anderem Farin Urlaub und Bela B von Die Ärzte zu sehen, die den Film loben.
Hot Love wurde zunächst als Eigenproduktion von JB Films auf VHS verlegt. Das VHS-Tape enthielt außerdem weitere Filme von Buttgereit aus den Jahren 1981 bis 1985. Media Target veröffentlichte später eine DVD- und eine Blu-Ray-Fassung des Films. Er ist zudem zusammen mit Nekromantik (1987), Der Todesking (1989), Nekromantik 2 (1991) und Schramm (1993) Teil der Todeskollektion.

## Kritiken
Marcus Stiglegger vergab 3,5 von 5 Sternen und schrieb im Ikonen-Magazin: „Die transgressiven Liebesfilme Nekromantik 1 und 2 sowie der Serialkiller-Thriller Schramm machten den Berliner Filmemacher Jörg Buttgereit zur Genrelegende. Nicht weniger legendär sind seine frühen Kurzfilme, die für die ausgeprägte und anarchistische Super-8-Szene Berlins zu Beginn der 80er Jahre stehen: Mein Papi (später preisgekrönt),  Horror Heaven (in der bekannte Genremuster ironisch reinszeniert werden), Captain Berlin (1982) und natürlich das erste Langfilmprojekt Hot Love (1985), in dem neben die ironischen Elemente erstmals auch 'blutige Exzesse' treten.“
Haiko Herden schrieb in seinem Filmlexikon: „Hier wird Buttgereit´s Vorliebe für das Eklige langsam sichtbar, Hot Love" hat ein paar Splatter-Effekte, die später in Nekromantik aber deutlich besser umgesetzt wurden. Auch die musikalische Untermalung läßt an seine späteren Werke erinnern und klingt nach Der Todesking oder Nekromantik. Bei Hot Love, bei dem der Regisseur sicherlich irgendwo im Hinterkopf Eraserhead im Sinn hatte, handelt es sich übrigens um einen 28-Minuten-Kurzfilm, den man auf einer Buttgereit-Kurzfilmsammlung sehen kann.“
In seinem selbst verlegten Buch Die Angst sitzt neben dir vergab Frank Trebbin drei von fünf Punkten und lobte den Film als „(deutsches) Fan-Kino vom Feinsten. Ungeachtet seiner technischen Mängel, die bei einer solchen No-Budget-Produktion unvermeidlich sind, variiert und kombiniert „Hot Love“ gängige Schablonen und Klischees des Genres, ohne dabei die Eigenständigkeit der Geschichte und seine Erzählform zu verlieren. In der knappen halben Stunde Laufzeit wird mehr Energie und Enthusiasmus versprüht, als in den meisten Billigfilmen, die uns aus den USA erreichen.“

title: Hot Love (Film)

wikitext:
{{Infobox Film
| Bild                   =
| Deutscher Titel        =
| Originaltitel          = Hot Love
| Produktionsland        = Deutschland
| Originalsprache        = Deutsch
| Erscheinungsjahr       = 1985
| Länge                  = 30
| FSK                    = 18
| JMK                    =
| Regie                  = [[Jörg Buttgereit]]
| Drehbuch               = Jörg Buttgereit
| Produzent              =
| Musik                  = * [[Bernd Daktari Lorenz]]
* [[John Boy Walton]]
| Kamera                 = [[Björn Zielaskowski]]
| Schnitt                = Jörg Buttgereit
| Besetzung              = * Bernd Daktari Lorenz
* [[Marion Koob]]
* Jörg Buttgereit
* [[Franz Rodenkirchen]]
}}
'''Hot Love''' ist ein deutscher [[Kurzfilm|Kurz]]-[[Horrorfilm]] von [[Jörg Buttgereit]] aus dem Jahr 1985.

== Handlung ==
Ein junger Mann lernt auf der Party Marion kennen. Die beiden verlieben sich und die Beziehung wird immer enger, die beiden schwören sich ewige Liebe und schenken sich symbolisch ihre Herzen. Voller Glück freut sich der Mann darauf seine Freundin wieder zu sehen, als er sie plötzlich in den Armen eines anderen Mannes beobachtet, wie sie sich küssen. Er dringt in die Wohnung von Marion ein, doch ihr neuer Freund, deutlich muskulöser als er, verprügelt ihn. Er schwört Rache. Etwas später lauert er Marion auf und schlägt sie nieder. Anschließend vergewaltigt er sie. Als ihr neuer Freund davon erfährt macht er sich auf den Weg zur Wohnung des Mannes. Dieser hat sich jedoch in der Zwischenzeit selbst gerichtet.

Neun Monate später kommt ein schrecklich deformiertes Kind zur Welt, das aus der Vergewaltigung entstanden ist. Als sich Marion und ihr neuer Freund bei einem Horrorfilm amüsieren mutiert das Baby in ein grässliches Monster und tötet die beiden. Der Mann wird mit einer zerbrochenen Jack-Daniels-Flasche erstochen. Die Frau wird zunächst mit einer Axt getötet, bis das Monster ihr das Herz herausreißt. Damit ist die Rache vollendet.

== Hintergrund ==
''Hot Love'' entstand zwei Jahre vor ''[[Nekromantik]]'' und bearbeitete ein ähnlich makaberes Thema. Der Film enthält einige [[Splatterfilm|Splattereffekte]], die jedoch noch nicht so ausgereift sind, wie bei Buttgereits späteren Werken. Buttgereit war kurz vorher von der Filmhochschule abgelehnt worden und brachte sich die Spezial-Effekte bei, als er als Fensterdekorateur arbeitete und mit verschiedenen Materialien umgehen musste. es war einer seiner letzten Filme, die nicht ernst waren, sondern eher komödiantisch wirken sollten.<ref>{{Literatur |Autor=Matthew Edwards |Titel=Twisted Visions: Interviews with Cult Horror Filmmakers |Verlag=McFarland |Datum=2017 |ISBN=978-1-4766-6376-0 |Seiten=127 |Online=https://books.google.com/books?id=s20pDwAAQBAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PT135&dq=Hot+Love+Buttgereit&hl=de |Abruf=2023-06-06}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Ernest Mathijs, Xavier Mendik |Titel=Alternative Europe: Eurotrash and Exploitation Cinema Since 1945 |Verlag=Wallflower Press |Datum=2004 |ISBN=1-903364-93-0 |Seiten=194 |Online=https://books.google.com/books?id=H8kmu4hmTx4C&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PT95&dq=Hot+Love+Buttgereit&hl=de |Abruf=2023-06-06}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Scott Aaron Stine |Titel=The Gorehound's Guide to Splatter Films of the 1980s |Verlag=McFarland |Datum=2015 |ISBN=978-1-4766-1132-7 |Seiten=153f. |Online=https://books.google.com/books?id=jzKSCgAAQBAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA152&dq=Hot+Love+Buttgereit&hl=de |Abruf=2023-06-06}}</ref>

Die Premiere des Films fand am 20. November 1985 im Berliner Programmkino [[Liste der Kinos in Berlin-Kreuzberg#S|Sputnik]] statt. In einem separat gedrehten Film zur Premiere sind unter anderem [[Farin Urlaub]] und [[Bela B]] von [[Die Ärzte]] zu sehen, die den Film loben.<ref name=":0">{{Internetquelle |autor=Haiko Herden |url=http://www.haikosfilmlexikon.de/index.php?nfm=film2408 |titel=Jörg Buttgereit's Hot Love |werk=Haikos Filmlexikon |abruf=2023-06-06}}</ref><ref>Video zur Premiere auf: ''Die Todeskollektion.'' DVD-Box. Media-Target: 2018.</ref>

''Hot Love'' wurde zunächst als Eigenproduktion von JB Films auf VHS verlegt. Das VHS-Tape enthielt außerdem weitere Filme von Buttgereit aus den Jahren 1981 bis 1985. Media Target veröffentlichte später eine DVD- und eine Blu-Ray-Fassung des Films. Er ist zudem zusammen mit ''[[Nekromantik]]'' (1987''), [[Der Todesking]]'' (1989)'', [[Nekromantik 2]]'' (1991) und [[Schramm (Film)|''Schramm'']] (1993) Teil der Todeskollektion.<ref>{{OFDb|1165|Hot Love|abruf=2023-06-06}}</ref>

== Kritiken ==
[[Marcus Stiglegger]] vergab 3,5 von 5 Sternen und schrieb im Ikonen-Magazin: „Die transgressiven Liebesfilme ''Nekromantik 1'' und ''2'' sowie der Serialkiller-Thriller ''Schramm'' machten den Berliner Filmemacher Jörg Buttgereit zur Genrelegende. Nicht weniger legendär sind seine frühen Kurzfilme, die für die ausgeprägte und anarchistische Super-8-Szene Berlins zu Beginn der 80er Jahre stehen: ''[[Mein Papi]]'' (später preisgekrönt),  ''[[Horror Heaven]]'' (in der bekannte Genremuster ironisch reinszeniert werden), ''[[Captain Berlin]]'' (1982) und natürlich das erste Langfilmprojekt ''Hot Love'' (1985), in dem neben die ironischen Elemente erstmals auch 'blutige Exzesse' treten.“<ref>{{Internetquelle |url=http://www.ikonenmagazin.de/rezension/Hotlove.htm |titel=: IKONEN : Rezension Hot Love Jörg Buttgereit Alexander Kluge Bela B. Felsenheimer Marcus Stiglegger Melanie Dietz |abruf=2023-06-06}}</ref>

Haiko Herden schrieb in seinem Filmlexikon: „Hier wird Buttgereit´s Vorliebe für das Eklige langsam sichtbar, ''Hot Love''" hat ein paar Splatter-Effekte, die später in ''Nekromantik'' aber deutlich besser umgesetzt wurden. Auch die musikalische Untermalung läßt an seine späteren Werke erinnern und klingt nach ''Der Todesking'' oder ''Nekromantik''. Bei ''Hot Love'', bei dem der Regisseur sicherlich irgendwo im Hinterkopf ''[[Eraserhead]]'' im Sinn hatte, handelt es sich übrigens um einen 28-Minuten-Kurzfilm, den man auf einer Buttgereit-Kurzfilmsammlung sehen kann.“<ref name=":0" />

In seinem selbst verlegten Buch ''Die Angst sitzt neben dir'' vergab [[Frank Trebbin]] drei von fünf Punkten und lobte den Film als „(deutsches) Fan-Kino vom Feinsten. Ungeachtet seiner technischen Mängel, die bei einer solchen No-Budget-Produktion unvermeidlich sind, variiert und kombiniert „Hot Love“ gängige Schablonen und Klischees des Genres, ohne dabei die Eigenständigkeit der Geschichte und seine Erzählform zu verlieren. In der knappen halben Stunde Laufzeit wird mehr Energie und Enthusiasmus versprüht, als in den meisten Billigfilmen, die uns aus den USA erreichen.“<ref>{{Internetquelle |url=https://www.ofdb.de/film/1165,500637,Hot-Love/trebbin/ |titel=OFDb - Hot Love (1985) - Die offizielle Kritik von Frank Trebbin |abruf=2023-06-06}}</ref>

== Weblinks ==

* {{IMDb|tt0269338}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Deutscher Film]]
[[Kategorie:Splatterfilm]]
[[Kategorie:Kurzfilm]]
[[Kategorie:Filmtitel 1985]]
[[Kategorie:Independentfilm]]
[[Kategorie:Horrorkomödie]]

title: Stab

Regie: Jörg Buttgereit

Drehbuch: Jörg Buttgereit

Musik: - Bernd Daktari Lorenz - John Boy Walton

Kamera: Björn Zielaskowski

Schnitt: Jörg Buttgereit

title: Besetzung

Besetzung: - Bernd Daktari Lorenz - Marion Koob - Jörg Buttgereit - Franz Rodenkirchen