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# Fiat 130
Der Fiat 130 ist ein Pkw mit Sechszylinder-V-Motoren, der von Fiat zwischen Anfang 1969 und Ende 1977 hergestellt wurde. Mit diesem Modell trat Fiat nach langer Abwesenheit wieder in die Oberklasse ein. Außer den serienmäßig gebauten viertürigen Limousinen und zweitürigen Coupés (zusammen knapp 19.500 Fahrzeuge) entstanden auch verschiedene Sonderaufbauten.

## Varianten

### 130 Limousine
Im Frühjahr 1969 kam die Limousine auf den Markt. In der ersten Version diente ein V6-Motor mit 2,9 Litern Hubraum und anfangs 103 kW (140 PS), später mit 118 kW (160 PS) als Antriebsquelle. Mit einer um 6 mm vergrößerten Bohrung und damit 3,2 Liter Hubraum leistete er in der zweiten Serie ab Frühjahr 1971 sowie im Coupé 121 kW (165 PS). Den Motor hatte Aurelio Lampredi entworfen, es handelt sich dabei aber nicht um den Motor des Ferrari Dino, wie vielfach behauptet. Lampredi hatte unter anderem auch bei Ferrari gearbeitet.
Der Motorblock aus Grauguss hat einen Bankwinkel von sechzig Grad; die Zylinderköpfe sind aus einer Aluminiumlegierung und haben pro Zylinderbank eine von einem Zahnriemen angetriebene obenliegende Nockenwelle. Die Köpfe sind eine typische Lampredi-Konstruktion der damaligen Zeit und denen des Vierzylindermotors für den Fiat 128 sehr ähnlich. Sie sind zweiteilig ausgeführt, ein Gussteil trägt die keilförmigen Brennräume und die Gaskanäle, Ventilsitze und parallel hängenden Ventile, ein zweites trägt die Nockenwelle mit ihrer Lagerung. Das Ventilspiel wird durch oben in die Tassenstößel eingelegte Distanzplättchen eingestellt und folgt damit der für Fiat patentierten Lampredi-Entwicklung. Da die Ventile nicht in der Zylinderachse stehen, sondern schräg dazu und bei Sicht entlang der Motorlängsachse ins Innere des Zylinder-V hinein schräg, ergibt sich für die Auslasskanäle des Motors mit einem sehr kleinen Radius im Zylinderkopf eine ungünstige Gasführung. Dies führte dazu, dass dieser Motor keine herausragende Leistungsabgabe erreichte. Nicht einmal die Sportvariante im Abarth SE 030 für den Giro d’Italia, ein Wettbewerbsfahrzeug auf Basis des gleichzeitig entwickelten Lancia Montecarlo, kam mit 3,6 Litern Hubraum über 265 PS (195 kW) hinaus.
Die Karosserie der Limousine wurde in Fiats eigenem Centro Stile entworfen; verantwortlicher Designer war dessen Leiter Felice Mario Boano. Die Form war aus den Linien des Fiat 128 entwickelt; die Karosserie des 130 trug allerdings wesentlich mehr Chromschmuck. Boanos Entwurf war von Beginn an Gegenstand teilweise harter Kritik. Auch heute noch wird die Limousine von einigen Autoren als „stilistisch verfehlt“ oder „barock und schwülstig“ beschrieben. Gänzlich anders fiel das Urteil der ostdeutschen Fachzeitschrift KFT aus, die die Formgestaltung als klar und zweckgerecht bewertete. Auffällig war die ausgesprochen niedrige Gürtellinie. Die Karosserie war 4750 mm lang, 1803 mm breit, 1473 mm hoch und wog zwischen 1474 und 1615 kg.
Alle Räder sind einzeln aufgehängt. Die Vorderräder werden von je einem Querlenker und einem Dämpferbein geführt, mit längsliegenden Torsionsfederstäben und Querstabilisator. Die Hinterräder werden von Dämpferbeinen und sehr langen diagonal angeordneten Lenkern, auf den sich die Schraubenfedern abstützen, den Antriebswellen und einem weiteren Querlenker, der zum Einstellen der Vorspur verstellbar ist, geführt. Vorne wie hinten sind Querstabilisatoren eingebaut. Der Fiat 130 hat eine Zweikreisbremse mit Bremskraftverstärker und Bremskraftregler für die Hinterräder und Scheibenbremsen an allen Rädern.
Der 130 konnte auf Wunsch mit zahlreichen Extras ausgerüstet werden: Klimaanlage, elektrische Fensterheber, Sperrdifferential, Leichtmetallräder, Transistorzündung, Lederausstattung und Automatikgetriebe.
Allerdings fehlte es wohl zumindest in Deutschland an entsprechend vorbereiteten Händlern, die ein solch luxuriöses Modell anbieten und warten konnten, weshalb der 130 nicht sehr erfolgreich war. Daran änderte auch die technische Überarbeitung im Frühjahr 1971 und der dabei eingeführte größere 3,2-Liter-Motor mit 121 kW (165 PS) nichts. Nach rund 15.000 produzierten Exemplaren wurde die Limousine zum Jahresende 1976 schließlich aus dem Angebot genommen.

### 130 Coupé
Das Fiat 130 Coupé wurde ab Frühjahr 1971 in kleiner Stückzahl bei Pininfarina produziert.
Mit 3238 cm3 Hubraum leistete der Motor 121 kW (165 PS).
Das Coupé ist bei Pininfarina entworfen worden; ausführende Designer waren Paolo Martin und Leonardo Fioravanti. Dieses Auto gilt bis heute als Design-Meilenstein. Wesentliche Merkmale des Entwurfs finden sich beim ebenfalls von Pininfarina entworfenen Rolls-Royce Camargue wieder. Die Maße des Coupés betrugen L × B × H = 4842 mm × 1760 mm × 1378 mm, das Gewicht lag zwischen 1559 und 1600 kg.
Ungeachtet dessen war das 130 Coupé jedoch kein wirtschaftlicher Erfolg. Es fanden sich nicht genug Kunden für ein derart teures Fahrzeug, das unter der Marke Fiat verkauft wurde.
Ende 1977 wurde die Produktion nach knapp 4500 Exemplaren eingestellt.

### Besondere Aufbauten

#### Werksaufbauten
Fiat fertigte Anfang der siebziger Jahre einen Prototyp für einen Kombi, der nicht in Serie ging. Basis war die Limousine.

#### Pininfarina-Entwürfe
Pininfarina leitete in den 1970er-Jahren zwei Sondermodelle von seinem Coupé-Entwurf ab, die jeweils Einzelstücke blieben:
- Der Fiat 130 Maremma war ein dreitüriger Sportkombi im Stil eines Shooting Brakes. Das Fahrzeug trug hinter der B-Säule eine großflächige Verglasung. Die Kofferraumklappe war stark geneigt und öffnete weit.[5]
- Der Fiat 130 Opera war eine viertürige Stufenhecklimousine, die das Design des 130 Coupés konsequent fortschrieb. Der Wagen wurde allgemein als deutlich eleganter empfunden als die Limousine von Fiat; gleichwohl wurde die Serienproduktion nicht aufgenommen.

#### Weitere Aufbauten
- Officine Introzzi aus dem norditalienischen Lipomo fertigte in den späten 1970er-Jahren mindestens einen Kombi auf der Basis der Werkslimousine, der Seitenverkleidungen aus Holzimitat trug und den Stil amerikanischer „Woodies“ imitierte[6].
- Die Carrozzeria Pilato stellte fünf Bestattungsfahrzeuge auf der Basis der Werkslimousine her; die Carrozzeria Casale produzierte mindestens ein Bestattungsfahrzeug auf der Grundlage des 130 Coupé.

## Fiat 130 im Kino
Ein blaues Fiat 130 Coupé ist in dem Film Sie nannten ihn Plattfuß mit Bud Spencer aus dem Jahr 1973 zu sehen. Der Wagen wurde für eine Verfolgungsjagd durch Neapel eingesetzt, Kommissar Rizzo – genannt Plattfuß – verfolgte damit einen Lamborghini Espada. Man kann deutlich erkennen, dass der Wagen mit Automatikgetriebe ausgestattet gewesen ist und ein Turiner Kennzeichen (TO für Torino) besessen hat. Es liegt nahe, auch anhand der Dialoge, dass der Hersteller versucht hatte, das Kaufinteresse und das Image der Marke Fiat in der Oberklasse zu verbessern.
Ebenfalls in einem Bud-Spencer-Film mit deutschem Titel Plattfuß räumt auf oder auch bekannt als Plattfuß in Hong Kong aus dem Jahr 1975 ist eine silberne Fiat-130-Limousine zu sehen. Der Wagen wurde für eine Beschattungsfahrt durch Neapel eingesetzt, Kommissar Rizzo – genannt Plattfuß – mit seinem am Steuer sitzenden Assistenten und 2 weiteren Insassen verfolgten damit ein Porsche 911 Coupé.

## Fiat 130 im TV-Film
Ein Fiat 130 spielte in der ARD-Krimireihe Tatort bis 2018 eine Nebenrolle: Kommissar Kopper aus dem Tatort Ludwigshafen am Rhein fuhr als Dienstwagen eine Fiat-130-Limousine der zweiten Serie (Baujahr 1971).

## Technische Daten
| Technische Daten Fiat 130                   |                                                                                |                                                                                |                                                                                |
| Fiat 130:                                   | Limousine 2900                                                                                | Limousine 3200                                                                                | Coupé 3200                                                                                |
| Motor:                                      | 6-Zylinder-V-Motor (Viertakt), Gabelwinkel 60°                                                      | 6-Zylinder-V-Motor (Viertakt), Gabelwinkel 60°                                                      | 6-Zylinder-V-Motor (Viertakt), Gabelwinkel 60°                                                      |
| Hubraum:                                    | 2866 cm³                                                                                | 3238 cm³                                                                                | 3238 cm³                                                                                |
| Bohrung × Hub:                              | 96 × 66 mm                                                                                | 102 × 66 mm                                                                                | 102 × 66 mm                                                                                |
| Leistung bei 1/min:                         | 118 kW (160 PS) bei 5800                                                                            | 121 kW (165 PS) bei 5600                                                                            | 121 kW (165 PS) bei 5600                                                                            |
| Max. Drehmoment bei 1/min:                  | 226 Nm bei 3400                                                                                | 260 Nm bei 3400                                                                                | 260 Nm bei 3400                                                                                |
| Verdichtung:                                | 9,0:1                                                                                | 9,0:1                                                                                | 9,0:1                                                                                |
| Gemischaufbereitung:                        | 1 Fallstrom-Doppelvergaser Weber 45 DFC                                                             | 1 Fallstrom-Doppelvergaser Weber 45 DFC                                                             | 1 Fallstrom-Doppelvergaser Weber 45 DFC                                                             |
| Ventilsteuerung:                            | eine obenliegende Nockenwelle je Zylinderbank, Zahnriemen                                           | eine obenliegende Nockenwelle je Zylinderbank, Zahnriemen                                           | eine obenliegende Nockenwelle je Zylinderbank, Zahnriemen                                           |
| Kühlung:                                    | Wasserkühlung                                                                                | Wasserkühlung                                                                                | Wasserkühlung                                                                                |
| Getriebe:                                   | ZF-5-Gang-Getriebe, Mittelschaltung a.W. Borg-Warner-Dreigangautomatik (Model 12)                   | ZF-5-Gang-Getriebe, Mittelschaltung a.W. Borg-Warner-Dreigangautomatik (Model 12)                   | ZF-5-Gang-Getriebe, Mittelschaltung a.W. Borg-Warner-Dreigangautomatik (Model 12)                   |
| Radaufhängung vorn:                         | Dämpferbeine, Querlenker, Drehstabfedern, Stabilisator                                              | Dämpferbeine, Querlenker, Drehstabfedern, Stabilisator                                              | Dämpferbeine, Querlenker, Drehstabfedern, Stabilisator                                              |
| Radaufhängung hinten:                       | je ein Schräg- und zwei Querlenker, Dämpferbeine, Schraubenfedern (ähnlich der Camuffo-Hinterachse) | je ein Schräg- und zwei Querlenker, Dämpferbeine, Schraubenfedern (ähnlich der Camuffo-Hinterachse) | je ein Schräg- und zwei Querlenker, Dämpferbeine, Schraubenfedern (ähnlich der Camuffo-Hinterachse) |
| Bremsen:                                    | vier Scheibenbremsen (Durchmesser v/h 27,5/26,25 cm), Bremskraftverstärker                          | vier Scheibenbremsen (Durchmesser v/h 27,5/26,25 cm), Bremskraftverstärker                          | vier Scheibenbremsen (Durchmesser v/h 27,5/26,25 cm), Bremskraftverstärker                          |
| Lenkung:                                    | ZF-Kugelumlauflenkung, hydraulisch servounterstützt                                                 | ZF-Kugelumlauflenkung, hydraulisch servounterstützt                                                 | ZF-Kugelumlauflenkung, hydraulisch servounterstützt                                                 |
| Karosserie:                                 | Stahlblech, selbsttragend                                                                           | Stahlblech, selbsttragend                                                                           | Stahlblech, selbsttragend                                                                           |
| Spurweite vorn/hinten:                      | 1450/1455 mm                                                                                | 1470/1465 mm                                                                                | 1470/1465 mm                                                                                |
| Radstand:                                   | 2720 mm                                                                                | 2720 mm                                                                                | 2720 mm                                                                                |
| Abmessungen:                                | 4750 × 1805 × 1475 mm                                                                               | 4750 × 1805 × 1475 mm                                                                               | 4840 × 1760 × 1380 mm                                                                               |
| Leergewicht:                                | 1510 kg                                                                                | 1570 kg                                                                                | 1600 kg                                                                                |
| Höchstgeschwindigkeit:                      | ca. 185 km/h                                                                                | 190 km/h                                                                                | 195 km/h                                                                                |
| 0–100 km/h:                                 | nicht angegeben                                                                                | nicht angegeben                                                                                | nicht angegeben                                                                                |
| Verbrauch (Liter/100 Kilometer, CUNA-Norm): | 15,0 S                                                                                | 15,2 S                                                                                | 15,2 S                                                                                |
| Preis (DM, 1971/72): (SFr, 1971/72)         | 19.300 24.940                                                                                | 20.980 28.150                                                                                | 30.300 39.250                                                                                |

title: Fiat 130

wikitext:
{{Infobox PKW-Modell
| Marke      = [[Fiat (Marke)|Fiat]]
| Modell     = 130
| Bild       = 1975 Fiat 130 Saloon (10815545196).jpg
| Bild zeigt = Fiat 130 (1969–1976)
| von        = 1969
| bis        = 1977
| Klasse     = [[Oberklasse]]
| Versionen  = [[Limousine]], [[Coupé]]
| Motoren    = [[Ottomotor]]en:
2,9–3,2 Liter
(103–121 kW)
| Länge      = 4750–4842
| Breite     = 1760–1803
| Höhe       = 1378–1473
| Radstand   = 2720
| Gewicht    = 1474–1615
| Vorgänger  =
| Nachfolger =
}}
Der '''Fiat 130''' ist ein Pkw mit [[Sechszylinder]]-[[V-Motor]]en, der von [[Fiat S.p.A.|Fiat]] zwischen Anfang 1969 und Ende 1977 hergestellt wurde. Mit diesem Modell trat Fiat nach langer Abwesenheit wieder in die [[Oberklasse]] ein. Außer den serienmäßig gebauten viertürigen [[Limousine]]n und zweitürigen [[Coupé]]s (zusammen knapp 19.500 Fahrzeuge) entstanden auch verschiedene Sonderaufbauten.

== Varianten ==
=== 130 Limousine ===
[[Datei:1975 Fiat 130 (10815841303).jpg|mini|links|Heckansicht]]
Im Frühjahr 1969 kam die Limousine auf den Markt. In der ersten Version diente ein V6-Motor mit 2,9 Litern [[Hubraum]] und anfangs 103 kW (140 PS), später mit 118 kW (160 PS) als Antriebsquelle. Mit einer um 6 mm vergrößerten [[Zylinderbohrung|Bohrung]] und damit 3,2 Liter Hubraum leistete er in der zweiten Serie ab Frühjahr 1971 sowie im Coupé 121 kW (165 PS). Den Motor hatte [[Aurelio Lampredi]] entworfen, es handelt sich dabei aber nicht um den Motor des [[Ferrari Dino]], wie vielfach behauptet. Lampredi hatte unter anderem auch bei Ferrari gearbeitet.

Der Motorblock aus [[Grauguss]] hat einen [[Bankwinkel]] von sechzig Grad; die Zylinderköpfe sind aus einer [[Aluminiumlegierung]] und haben pro [[Zylinderbank]] eine von einem [[Zahnriemen]] angetriebene [[OHC-Ventilsteuerung|obenliegende Nockenwelle]]. Die Köpfe sind eine typische Lampredi-Konstruktion der damaligen Zeit und denen des Vierzylindermotors für den [[Fiat 128]] sehr ähnlich. Sie sind zweiteilig ausgeführt, ein Gussteil trägt die keilförmigen Brennräume und die Gaskanäle, Ventilsitze und parallel hängenden Ventile, ein zweites trägt die Nockenwelle mit ihrer Lagerung. Das Ventilspiel wird durch oben in die [[Tassenstößel]] eingelegte Distanzplättchen eingestellt und folgt damit der für Fiat patentierten Lampredi-Entwicklung. Da die Ventile nicht in der Zylinderachse stehen, sondern schräg dazu und bei Sicht entlang der Motorlängsachse ins Innere des Zylinder-V hinein schräg, ergibt sich für die Auslasskanäle des Motors mit einem sehr kleinen Radius im Zylinderkopf eine ungünstige Gasführung. Dies führte dazu, dass dieser Motor keine herausragende Leistungsabgabe erreichte. Nicht einmal die Sportvariante im Abarth SE 030 für den Giro d’Italia, ein Wettbewerbsfahrzeug auf Basis des gleichzeitig entwickelten Lancia Montecarlo, kam mit 3,6 Litern Hubraum über 265 PS (195 kW) hinaus.

Die Karosserie der Limousine wurde in Fiats eigenem Centro Stile entworfen; verantwortlicher Designer war dessen Leiter [[Felice Mario Boano]].<ref>Oldtimer Markt, Heft 4/1995, S. 11.</ref> Die Form war aus den Linien des [[Fiat 128]] entwickelt; die Karosserie des 130 trug allerdings wesentlich mehr Chromschmuck. Boanos Entwurf war von Beginn an Gegenstand teilweise harter Kritik. Auch heute noch wird die Limousine von einigen Autoren als „stilistisch verfehlt“<ref>Brazendale, S. 211.</ref> oder „barock und schwülstig“<ref>Vgl. ''Motor Klassik'', Heft 3/2006, S. 34.</ref> beschrieben. Gänzlich anders fiel das Urteil der ostdeutschen Fachzeitschrift [[KFT]] aus, die die Formgestaltung als klar und zweckgerecht bewertete.<ref name=KFT69>''Neuheiten in Genf.'' In: [[KFT|Kraftfahrzeugtechnik]] 5/1969, S. 150–151 und 12/1970, S. 372–373.</ref> Auffällig war die ausgesprochen niedrige Gürtellinie. Die Karosserie war 4750 mm lang, 1803 mm breit, 1473 mm hoch und wog zwischen 1474 und 1615 kg.

Alle Räder sind einzeln aufgehängt. Die Vorderräder werden von je einem [[Querlenker]] und einem [[Dämpferbein]] geführt, mit längsliegenden [[Drehstabfeder#Zur Federung von Fahrzeugen|Torsionsfederstäben]] und [[Stabilisator (Automobil)|Querstabilisator]]. Die Hinterräder werden von Dämpferbeinen und sehr langen diagonal angeordneten Lenkern, auf den sich die Schraubenfedern abstützen, den Antriebswellen und einem weiteren Querlenker, der zum Einstellen der Vorspur verstellbar ist, geführt. Vorne wie hinten sind [[Stabilisator (Automobil)|Querstabilisatoren]] eingebaut. Der Fiat 130 hat eine [[Zweikreisbremse]] mit Bremskraftverstärker und Bremskraftregler für die Hinterräder und [[Scheibenbremse]]n an allen Rädern.<ref name=KFT69/>

Der 130 konnte auf Wunsch mit zahlreichen Extras ausgerüstet werden: Klimaanlage, elektrische Fensterheber, Sperrdifferential, Leichtmetallräder, Transistorzündung, Lederausstattung und Automatikgetriebe.

Allerdings fehlte es wohl zumindest in Deutschland an entsprechend vorbereiteten Händlern, die ein solch luxuriöses Modell anbieten und warten konnten, weshalb der 130 nicht sehr erfolgreich war. Daran änderte auch die technische Überarbeitung im Frühjahr 1971 und der dabei eingeführte größere 3,2-Liter-Motor mit 121 kW (165 PS) nichts. Nach rund 15.000 produzierten Exemplaren wurde die Limousine zum Jahresende 1976 schließlich aus dem Angebot genommen.
[[Datei:Fiat 130 Coupé 1972.JPG|mini|Fiat 130 Coupé (1971–1977)]]

=== 130 Coupé ===
{{Hauptartikel|Fiat 130 Coupé}}

Das Fiat 130 Coupé wurde ab Frühjahr 1971 in kleiner Stückzahl bei [[Pininfarina]] produziert.
Mit 3238 cm3 Hubraum leistete der Motor 121 kW (165 PS).

Das Coupé ist bei Pininfarina entworfen worden; ausführende Designer waren [[Paolo Martin]] und [[Leonardo Fioravanti (Designer)|Leonardo Fioravanti]]. Dieses Auto gilt bis heute als Design-Meilenstein. Wesentliche Merkmale des Entwurfs finden sich beim ebenfalls von Pininfarina entworfenen [[Rolls-Royce Camargue]] wieder. Die Maße des Coupés betrugen L × B × H = 4842 mm × 1760 mm × 1378 mm, das Gewicht lag zwischen 1559 und 1600 kg.

Ungeachtet dessen war das 130 Coupé jedoch kein wirtschaftlicher Erfolg. Es fanden sich nicht genug Kunden für ein derart teures Fahrzeug, das unter der Marke Fiat verkauft wurde.

Ende 1977 wurde die Produktion nach knapp 4500 Exemplaren eingestellt.

=== Besondere Aufbauten ===
[[Datei:Fiat130combi.jpg|mini|Fiat 130 Kombi (Prototyp)]]

==== Werksaufbauten ====
Fiat fertigte Anfang der siebziger Jahre einen Prototyp für einen Kombi, der nicht in Serie ging. Basis war die Limousine.

==== Pininfarina-Entwürfe ====
Pininfarina leitete in den 1970er-Jahren zwei Sondermodelle von seinem Coupé-Entwurf ab, die jeweils Einzelstücke blieben:

* Der ''Fiat 130 Maremma'' war ein dreitüriger Sportkombi im Stil eines [[Shooting Brake]]s. Das Fahrzeug trug hinter der B-Säule eine großflächige Verglasung. Die Kofferraumklappe war stark geneigt und öffnete weit.<ref>[https://www.coachbuild.com/index.php/encyclopedia/coachbuilders-models/item/pininfarina-fiat-130-maremma Bilder des Fiat 130 Maremma auf www.coachbuild.com]</ref>
* Der Fiat 130 Opera war eine viertürige Stufenhecklimousine, die das Design des 130 Coupés konsequent fortschrieb. Der Wagen wurde allgemein als deutlich eleganter empfunden als die Limousine von Fiat; gleichwohl wurde die Serienproduktion nicht aufgenommen.

==== Weitere Aufbauten ====
* [[Officine Introzzi]] aus dem norditalienischen [[Lipomo]] fertigte in den späten 1970er-Jahren mindestens einen Kombi auf der Basis der Werkslimousine, der Seitenverkleidungen aus Holzimitat trug und den Stil amerikanischer „Woodies“ imitierte<ref>auto katalog, Ausgabe 1983/84 mit Abbildung</ref>.
* Die ''Carrozzeria Pilato'' stellte fünf Bestattungsfahrzeuge auf der Basis der Werkslimousine her; die ''Carrozzeria Casale'' produzierte mindestens ein Bestattungsfahrzeug auf der Grundlage des 130 Coupé.

== Fiat 130 im Kino ==
Ein blaues [[Fiat 130 Coupé]] ist in dem Film [[Sie nannten ihn Plattfuß]] mit [[Bud Spencer]] aus dem Jahr 1973 zu sehen. Der Wagen wurde für eine Verfolgungsjagd durch [[Neapel]] eingesetzt, Kommissar Rizzo – genannt Plattfuß – verfolgte damit einen [[Lamborghini Espada]]. Man kann deutlich erkennen, dass der Wagen mit Automatikgetriebe ausgestattet gewesen ist und ein Turiner Kennzeichen (TO für Torino) besessen hat. Es liegt nahe, auch anhand der Dialoge, dass der Hersteller versucht hatte, das Kaufinteresse und das Image der Marke Fiat in der Oberklasse zu verbessern.

Ebenfalls in einem [[Bud Spencer|Bud-Spencer]]-Film mit deutschem Titel [[Plattfuß räumt auf]] oder auch bekannt als Plattfuß in Hong Kong aus dem Jahr 1975 ist eine silberne Fiat-130-Limousine zu sehen. Der Wagen wurde für eine Beschattungsfahrt durch [[Neapel]] eingesetzt, Kommissar Rizzo – genannt Plattfuß – mit seinem am Steuer sitzenden Assistenten und 2 weiteren Insassen verfolgten damit ein [[Porsche 911]] Coupé.

== Fiat 130 im TV-Film  ==
Ein Fiat 130 spielte in der [[ARD]]-Krimireihe ''[[Tatort (Fernsehreihe)|Tatort]]'' bis 2018 eine Nebenrolle: Kommissar [[Odenthal und Kopper|Kopper]] aus dem Tatort [[Ludwigshafen am Rhein]] fuhr als Dienstwagen eine Fiat-130-Limousine der zweiten Serie (Baujahr 1971).<ref>[https://www.focus.de/auto/gebrauchtwagen/oldtimer/fiat/coole-karre-kommissar-kopper-fiat-130_id_2244320.html Fiat 130: Coole Karre, Kommissar Kopper; Artikel von focus.de]</ref><ref>{{Webarchiv|url=http://www.n24.de/n24/Nachrichten/Auto-Verkehr/d/924498/das-geheimnis-des-kommissars---der-fiat-130.html|wayback=20160713165822|text=Das Geheimnis des Kommissars - Der Fiat 130; Artikel bei n24.de}}</ref><ref>[https://www.autobild.de/klassik/artikel/tatort-autos-im-polizei-einsatz-5473697.html Die schönsten Oldtimer am "Tatort"; Artikel bei autobild.de]</ref>

== Technische Daten ==
{{Klappleiste/Anfang|style-kopf=text-align:left;|TITEL=Technische Daten Fiat 130}}
{| class="wikitable"
|- style="background:#FFDEAD"
| colspan="4" align="center" | '''Technische Daten Fiat 130'''
|- style="background:#FFDEAD"
! width="19%"|Fiat 130:
! width="27%"|Limousine 2900
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! width="27%"|Coupé 3200
|- style="background:#EEEEEE"
| Motor:  || colspan="3" align="center" |6-Zylinder-V-Motor (Viertakt), Gabelwinkel 60°
|- style="background:#EEEEEE"
| Hubraum:  || align="center" |2866 cm³ || colspan="2" align="center" |3238 cm³
|- style="background:#EEEEEE"
| Bohrung × Hub:  || align="center" |96 × 66 mm || colspan="2" align="center" |102 × 66 mm
|- style="background:#EEEEEE"
| Leistung bei 1/min:  || align="center" |118 kW
(160 PS)
bei 5800 || colspan="2" align="center" |121 kW
(165 PS)
bei 5600
|- style="background:#EEEEEE"
| Max. Drehmoment bei 1/min:  || align="center" |226 Nm bei 3400 || colspan="2" align="center" |260 Nm bei 3400
|- style="background:#EEEEEE"
| Verdichtung:  || colspan="3" align="center" |9,0:1
|- style="background:#EEEEEE"
| Gemischaufbereitung:  || colspan="3" align="center" |1 Fallstrom-[[Doppelvergaser]] [[Weber-Vergaser|Weber]] 45 DFC
|- style="background:#EEEEEE"
| Ventilsteuerung:  || colspan="3" align="center" | eine obenliegende Nockenwelle je Zylinderbank, Zahnriemen
|- style="background:#EEEEEE"
| Kühlung:  || colspan="3" align="center" |Wasserkühlung
|- style="background:#EEEEEE"
| Getriebe:  || colspan="3" align="center" | [[ZF (Unternehmen)|ZF]]-5-Gang-Getriebe, Mittelschaltung
a.W. [[Borg-Warner]]-Dreigangautomatik (Model 12)
|- style="background:#EEEEEE"
| Radaufhängung vorn:  || colspan="3" align="center" | [[Dämpferbein]]e, Querlenker, [[Drehstabfeder]]n, [[Stabilisator (Automobil)|Stabilisator]]<ref>https://kfz-tech.de/Bilder/Hersteller/Fiat/Fiat13012.jpg Zeichnung der Vorderachse</ref>
|- style="background:#EEEEEE"
| Radaufhängung hinten:  || colspan="3" align="center" |je ein Schräg- und zwei Querlenker, Dämpferbeine, Schraubenfedern (ähnlich der [[Camuffo-Hinterachse]])
|- style="background:#EEEEEE"
| Bremsen:  || colspan="3" align="center" | vier [[Scheibenbremse]]n (Durchmesser v/h 27,5/26,25 cm), [[Bremskraftverstärker]]
|- style="background:#EEEEEE"
| Lenkung:  || colspan="3" align="center" | ZF-[[Lenkgetriebe#Kugelumlauflenkung|Kugelumlauflenkung]], hydraulisch [[Servolenkung|servounterstützt]]
|- style="background:#EEEEEE"
| Karosserie:  || colspan="3" align="center" | Stahlblech, selbsttragend
|- style="background:#EEEEEE"
| Spurweite vorn/hinten:  || align="center" |1450/1455 mm || colspan="2" align="center" |1470/1465 mm
|- style="background:#EEEEEE"
| Radstand:  || colspan="3" align="center" |2720 mm
|- style="background:#EEEEEE"
| Abmessungen:  || colspan="2" align="center" | 4750 × 1805 × 1475 mm || align="center" | 4840 × 1760 × 1380 mm
|- style="background:#EEEEEE"
| Leergewicht:  || align="center" |1510 kg || align="center" |1570 kg || align="center" |1600 kg
|- style="background:#EEEEEE"
| Höchstgeschwindigkeit:  || align="center" |ca. 185 km/h|| align="center" |190 km/h || align="center" |195 km/h
|- style="background:#EEEEEE"
| 0–100 km/h:  || colspan="3" align="center" |nicht angegeben
|- style="background:#EEEEEE"
| Verbrauch (Liter/100 Kilometer, CUNA-Norm):  || align="center" |15,0 S || colspan="2" align="center" |15,2 S
|- style="background:#EEEEEE"
| Preis (DM, 1971/72):
(SFr, 1971/72)  || align="center" |19.300
24.940 || align="center" |20.980
28.150|| align="center" |30.300
39.250
|}
{{Klappleiste/Ende}}

== Literatur ==
* ''[[Automobil Revue]]'', Katalognummern 1971, 1973 (technische Daten und Preise)
* Dieter Günther: ''Abgehoben''. Modellgeschichte der Fiat 130 Limousine und des Fiat 130 Coupés. In: ''Oldtimer Markt'', Heft 4/1995, S. 8 ff.
* Kevin Brazendale: ''The Encyclopedia of classic cars''. Advanced Marketing Services, London 1999, ISBN 1-57145-182-X (engl.)

== Weblinks ==
{{Commonscat}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Fiat-Modelle}}

{{SORTIERUNG:Fiat 0130}}
[[Kategorie:Fiat-Automobil|#:::130]]
[[Kategorie:Limousine]]
[[Kategorie:Coupé]]

title: 130

Klasse: Oberklasse

Karosserieversionen: Limousine, Coupé

Motoren: Ottomotoren: · 2,9–3,2 Liter · (103–121 kW)


text:
# Igor Laikert
Igor Laikert (* 27. Februar 1991 in Zenica) ist ein bosnischer Skirennläufer.

## Weltcup
Im Weltcup fuhr Laikert seit der Saison 2010/11. Im Weltcup nahm er ausschließlich im Slalom und im Riesenslalom teil. Sein Weltcupdebüt gab er am 6. Januar 2011 im Slalom von Zagreb, Kroatien. Er konnte sich jedoch nicht für den zweiten Durchgang qualifizieren. In den nächsten drei Jahren fuhr er nur in Zagreb. Danach nahm er 2014 in Bormio, Kitzbühel und Kranjska Gora teil. Seinen ersten Riesenslalom fuhr Laikert am 26. Oktober 2014 in Sölden, den zweiten und zugleich sein letztes Weltcup-Rennen am 25. Oktober 2015 ebenfalls in Sölden. Laikert konnte nie im Weltcup punkten.

## Großereignisse
Laikert nahm erstmals bei einem Großereignis bei den Weltmeisterschaften 2011 in Garmisch-Partenkirchen teil. Dort erreichte er in der Kombination den 23. Platz. Sonst startete er in der Abfahrt und im Super-G. 2013 in Schladming nahm er in allen Disziplinen, außer dem Riesenslalom, teil, erreichte jedoch nur in der Kombination einen Platz in den Top 30. 2014 nahm Laikert an den Olympischen Winterspielen 2014 in Sotschi teil. Er startete in jeder Disziplin, konnte jedoch abermals nur in der Kombination in die Top 30 gelangen. Bei den Weltmeisterschaften 2015 in den USA konnte er keine nennenswerten Erfolge feiern. An den Weltmeisterschaften 2017 in St. Moritz schied er sowohl im Riesenslalom als auch im Slalom jeweils im 2. Lauf des Qualifikations-Rennens aus.

## Erfolge
- Bosnischer Slalom-Staatsmeister 2011

wikiname: dewiki

title: Igor Laikert

in_language: de

wikitext:
{{Infobox Alpiner Skirennläufer
<!-- Allgemeine Informationen -->
| kurzname = Igor Laikert
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'''Igor Laikert''' (* [[27. Februar]] [[1991]] in [[Zenica]]) ist ein [[Bosnien und Herzegowina|bosnischer]] [[Ski Alpin|Skirennläufer]].

== Weltcup ==
Im [[Alpiner Skiweltcup|Weltcup]] fuhr Laikert seit der [[Alpiner Skiweltcup 2010/11|Saison 2010/11]]. Im Weltcup nahm er ausschließlich im [[Slalom]] und im [[Riesenslalom]] teil. Sein Weltcupdebüt gab er am 6. Januar 2011 im Slalom von [[Zagreb]], [[Kroatien]]. Er konnte sich jedoch nicht für den zweiten Durchgang qualifizieren. In den nächsten drei Jahren fuhr er nur in Zagreb. Danach nahm er 2014 in [[Bormio]], [[Kitzbühel]] und [[Kranjska Gora]] teil. Seinen ersten Riesenslalom fuhr Laikert am 26. Oktober 2014 in [[Sölden]], den zweiten und zugleich sein letztes Weltcup-Rennen am 25. Oktober 2015 ebenfalls in Sölden. Laikert konnte nie im Weltcup punkten.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.fis-ski.com/DB/general/athlete-biography.html?sectorcode=AL&seasoncode=&competitorid=127615&type=result&categorycode=WC&sort=&place=&disciplinecode=&position=&limit=100 |titel=Athleteninformation Igor Laikert |hrsg=Fédération Internationale de Ski (FIS) |abruf=2024-02-21}}</ref>

== Großereignisse ==
Laikert nahm erstmals bei einem Großereignis bei den [[Alpine Skiweltmeisterschaften 2011|Weltmeisterschaften 2011]] in [[Garmisch-Partenkirchen]] teil. Dort erreichte er in der [[Alpine Kombination|Kombination]] den 23. Platz. Sonst startete er in der [[Abfahrt]] und im [[Super-G]]. [[Alpine Skiweltmeisterschaften 2013|2013]] in [[Schladming]] nahm er in allen Disziplinen, außer dem Riesenslalom, teil, erreichte jedoch nur in der Kombination einen Platz in den Top 30. 2014 nahm Laikert an den [[Olympische Winterspiele 2014|Olympischen Winterspielen 2014]] in [[Sotschi]] teil. Er startete in jeder Disziplin, konnte jedoch abermals nur in der Kombination in die Top 30 gelangen. Bei den [[Alpine Skiweltmeisterschaften 2015|Weltmeisterschaften 2015]] in den [[Vereinigte Staaten|USA]] konnte er keine nennenswerten Erfolge feiern. An den [[Alpine Skiweltmeisterschaften 2017|Weltmeisterschaften 2017]] in [[St. Moritz]] schied er sowohl im Riesenslalom als auch im Slalom jeweils im 2. Lauf des Qualifikations-Rennens aus.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.fis-ski.com/DB/general/results.html?sectorcode=AL&competitorid=127615&raceid=86894 |titel=Rangliste Riesenslalom |hrsg=Fédération Internationale de Ski (FIS) |datum=2017-02-17 |abruf=2024-02-21}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://www.fis-ski.com/DB/general/results.html?sectorcode=AL&competitorid=127615&raceid=86897 |titel=Rangliste Slalom |hrsg=Fédération Internationale de Ski (FIS) |datum=2017-02-19 |abruf=2024-02-21}}</ref>

== Erfolge ==
* [[Bosnien und Herzegowina|Bosnischer]] Slalom-Staatsmeister 2011

== Weblinks ==
* {{FISDB|AL|127615}}
* {{SKIDB|igor_laikert_bih_710320}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Laikert, Igor}}
[[Kategorie:Alpiner Skirennläufer (Bosnien und Herzegowina)]]
[[Kategorie:Bosnisch-herzegowinischer Meister (Ski Alpin)]]
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[[Kategorie:Teilnehmer einer Alpinen Skiweltmeisterschaft]]
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[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Laikert, Igor
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=bosnischer Skirennläufer
|GEBURTSDATUM=27. Februar 1991
|GEBURTSORT=[[Zenica]], [[SFR Jugoslawien]]
|STERBEDATUM=
|STERBEORT=
}}

title: Karriere

Disziplin: Abfahrt, Super-G, Riesenslalom, · Slalom, Kombination

Status: nicht aktiv

Karriere:
Platzierungen im Alpinen Skiweltcup
letzte Änderung: 6. Dezember 2015


text:
# Amblyptilia acanthadactyla
Amblyptilia acanthadactyla ist ein Schmetterling aus der Familie der Federmotten (Pterophoridae). Die Art wurde von Jacob Hübner im Jahr 1813 als Alucita acanthadactyla erstbeschrieben. Der lateinische Artname acanthadactyla setzt sich aus den aus dem Altgriechischen stammenden Wortteilen acantha „Dorn“ und dactylus „Finger“ zusammen.

## Taxonomie
In der Literatur finden sich folgende Synonyme:
- Amblyptilia calaminthae Frey, 1886
- Amblyptilia tetralicella Hofmann, 1895

## Merkmale
Die Flügelspannweite variiert zwischen 17 und 23 mm. Die hauptsächlich rotbraun und weiß gefärbten Schmetterlinge weisen schwarzbraune Flecken auf. In Ruhestellung mit ausgebreiteten Flügeln verdecken die Vorderflügel die Hinterflügel. Die Vorderflügel weisen zwei auffällige Flecke bestehend aus schwarzbraunen Schuppen auf. Die Hinterflügel sind in drei fingerähnliche Teilflügel aufgespalten, die im vorderen Bereich hellbraun gefärbt sind und entlang des Hinterrandes hell-beigene lange Fransen aufweisen. Der hinterste der Teilflügel besitzt unweit der Spitze am Hinterrand einen schwarzbraunen dreiecksförmigen Fleck.
Eine ähnliche Art ist Amblyptilia punctidactyla. Die Fleckenmusterung ist jedoch abweichend. Außerdem besitzt A. acanthadactyla eine rotbraune Färbung, A. punctidactyla dagegen eine graubraune.
Die länglich-ovalen Eier sind hellgrün gefärbt. Die Farbe der Raupen variiert von hellgrün, gelblich bis rotgelb. Die Kopfkapsel ist beigefarben. Die Raupen weisen längere weiße Härchen auf.

## Verbreitung
Die Art ist westpaläarktisch verbreitet. Das Vorkommen reicht im Norden bis nach Fennoskandinavien, auf die Britischen Inseln sowie bis nach Färöer und Island. Im Süden erstreckt sich das Verbreitungsgebiet über den Mittelmeerraum (Iberische Halbinsel, die größeren Mittelmeerinseln, Israel). Auf Madeira, auf den Azoren sowie auf den Kanarischen Inseln ist die Art ebenfalls vertreten. Im Osten gibt es Funde aus Karelien, der Krim und dem Kaukasus. Die Art gilt in Europa als allgemein häufig und weit verbreitet.

## Lebensweise
Die Schmetterlinge findet man gewöhnlich in Heidelandschaften, an Waldrändern, in Offenland- und Heckenbiotopen sowie in Gärten. Die Art bildet zwei Generationen im Jahr. Die Flugzeit der ersten Generation liegt im Juli. Die Imagines der zweiten Generation erscheinen im September. Sie überwintern und fliegen im Frühjahr noch bis in den Mai. Die Schmetterlinge werden nachts von Lichtquellen angelockt. Die Raupen beobachtet man im Juni und im August an ihren Nahrungspflanzen. Sie besitzen ein breites Nahrungsspektrum. Als Futterpflanzen werden u. a. genannt:
- Besenheide (Calluna)
- Eberwurzen (Carlina)
- Gänsefüße (Chenopodium)
- Bergminzen (Clinopodium)
- Heidekräuter (Erica)
- Augentrost (Euphrasia)
- Storchschnäbel (Geranium)
- Minzen (Mentha)
- Hauhecheln (Ononis)
- Salbei (Salvia)
- Wald-Ziest (Stachys sylvatica)
- Salbei-Gamander (Teucrium scorodonia)
- Heidelbeeren (Vaccinium)

Die Stürzpuppe hängt frei baumelnd mit Häkchen an einer Gespinstverankerung, häufig an einem Blatt oder am Stamm einer Raupenfutterpflanze. Trotz optischer Tarnung sind die Raupen der Sommergeneration offenbar von einer hohen Parasitierungsrate betroffen.

title: Amblyptilia acanthadactyla

wikitext:
{{Taxobox
| Taxon_WissName   = Amblyptilia acanthadactyla
| Taxon_Rang       = Art
| Taxon_Autor      = ([[Jacob Hübner|Hübner]], 1813)
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| Taxon4_WissName  = Pterophorinae
| Taxon4_Rang      = Unterfamilie
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| Taxon5_WissName  = Pterophoridae
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| Bild             = Amblyptilia acanthadactyla (7928702622).jpg
| Bildbeschreibung =
}}
[[Datei:Amblyptilia acanthadactyla, Tir Stent, North Wales, Sept 2009 (19699549596).jpg|mini|]]
[[Datei:2022 11 04 Amblyptilia acanthadactyla.jpg|mini|''Amblyptilia acanthadactyla'' Anfang November an Besenheide]]
'''''Amblyptilia acanthadactyla''''' ist ein [[Schmetterlinge|Schmetterling]] aus der [[Familie (Biologie)|Familie]] der [[Federmotten]] (Pterophoridae). Die Art wurde von [[Jacob Hübner]] im Jahr 1813 als ''Alucita acanthadactyla'' [[Erstbeschreiber|erstbeschrieben]].<ref name="faunaeur" /> Der [[Latein|lateinische]] [[Epitheton|Artname]] ''acanthadactyla'' setzt sich aus den aus dem [[Altgriechische Sprache|Altgriechischen]] stammenden Wortteilen ''acantha'' „Dorn“ und ''dactylus'' „Finger“ zusammen.

== Taxonomie ==
In der Literatur finden sich folgende [[Synonym (Taxonomie)|Synonyme]]:<ref name="biolib" />
* ''Amblyptilia calaminthae'' {{person|Frey}}, 1886
* ''Amblyptilia tetralicella'' {{person|Hofmann}}, 1895

== Merkmale ==
Die [[Flügelspannweite]] variiert zwischen 17 und 23 mm.<ref name="ukmoths" /> Die hauptsächlich rotbraun und weiß gefärbten Schmetterlinge weisen schwarzbraune Flecken auf. In Ruhestellung mit ausgebreiteten [[Flügel (Schmetterling)|Flügeln]] verdecken die Vorderflügel die Hinterflügel. Die Vorderflügel weisen zwei auffällige Flecke bestehend aus schwarzbraunen [[Schuppe (Schmetterling)|Schuppen]] auf.<ref name="ukmoths" /> Die Hinterflügel sind in drei fingerähnliche Teilflügel aufgespalten, die im vorderen Bereich hellbraun gefärbt sind und entlang des Hinterrandes hell-beigene lange Fransen aufweisen. Der hinterste der Teilflügel besitzt unweit der Spitze am Hinterrand einen schwarzbraunen dreiecksförmigen Fleck.

Eine ähnliche Art ist ''[[Amblyptilia punctidactyla]]''. Die Fleckenmusterung ist jedoch abweichend. Außerdem besitzt ''A. acanthadactyla'' eine rotbraune Färbung, ''A. punctidactyla'' dagegen eine graubraune.<ref name="ukmoths" />

Die länglich-ovalen Eier sind hellgrün gefärbt. Die Farbe der [[Raupe (Schmetterling)|Raupen]] variiert von hellgrün, gelblich bis rotgelb. Die Kopfkapsel ist beigefarben. Die Raupen weisen längere weiße Härchen auf.

== Verbreitung ==
Die Art ist [[Paläarktis|westpaläarktisch]] verbreitet. Das Vorkommen reicht im Norden bis nach [[Fennoskandinavien]], auf die [[Britische Inseln|Britischen Inseln]] sowie bis nach [[Färöer]] und [[Island]].<ref name="faunaeur" /> Im Süden erstreckt sich das Verbreitungsgebiet über den Mittelmeerraum ([[Iberische Halbinsel]], die größeren Mittelmeerinseln, Israel). Auf [[Madeira]], auf den [[Azoren]] sowie auf den [[Kanarische Inseln|Kanarischen Inseln]] ist die Art ebenfalls vertreten.<ref name="faunaeur" /> Im Osten gibt es Funde aus [[Karelien]], der [[Krim]] und dem [[Kaukasus]]. Die Art gilt in Europa als allgemein häufig und weit verbreitet.

== Lebensweise ==
Die Schmetterlinge findet man gewöhnlich in Heidelandschaften, an Waldrändern, in Offenland- und Heckenbiotopen sowie in Gärten. Die Art bildet zwei [[Voltinismus|Generationen]] im Jahr. Die Flugzeit der ersten Generation liegt im Juli. Die [[Imago (Zoologie)|Imagines]] der zweiten Generation erscheinen im September. Sie überwintern und fliegen im Frühjahr noch bis in den Mai. Die Schmetterlinge werden nachts von Lichtquellen angelockt.<ref name="ukmoths" /> Die Raupen beobachtet man im Juni und im August an ihren Nahrungspflanzen. Sie besitzen ein breites Nahrungsspektrum. Als Futterpflanzen werden u. a. genannt:<ref name="ukmoths" /><ref name="biolib" /><ref name="ukmoths" />
* [[Besenheide]] (''Calluna'')
* [[Eberwurzen]] (''Carlina'')
* [[Gänsefüße]] (''Chenopodium'')
* [[Bergminzen]] (''Clinopodium'')
* [[Heidekräuter]] (''Erica'')
* [[Augentrost]] (''Euphrasia'')
* [[Storchschnäbel]] (''Geranium'')
* [[Minzen]] (''Mentha'')
* [[Hauhecheln]] (''Ononis'')
* [[Salbei]] (''Salvia'')
* [[Wald-Ziest]] (''Stachys sylvatica'')
* [[Salbei-Gamander]] (''Teucrium scorodonia'')
* [[Heidelbeeren]] (''Vaccinium'')

Die [[Puppe (Schmetterling)|Stürzpuppe]] hängt frei baumelnd mit Häkchen an einer Gespinstverankerung, häufig an einem Blatt oder am Stamm einer Raupenfutterpflanze. Trotz optischer Tarnung sind die Raupen der Sommergeneration offenbar von einer hohen [[Parasitoid|Parasitierungsrate]] betroffen.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="faunaeur">{{FaunaEuropaea|ID= 49c9992d-f54e-4325-8c6e-3bbc9b964a5a | WissName= Amblyptilia acanthadactyla | Rang=Art | Download= 2022-11-05 }}</ref>
<ref name="biolib">
{{Internetquelle
 |url= https://www.biolib.cz/en/taxon/id49741/
 |titel= species Beautiful Plume, Amblyptilia acanthadactyla (Hübner, 1813)
 |hrsg= www.biolib.cz
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 |abruf=2022-11-05}}</ref>
<ref name="ukmoths">
{{Internetquelle
 |url= https://ukmoths.org.uk/species/Amblyptilia-acanthadactyla/
 |titel= Beautiful Plume Amblyptilia acanthadactyla
 |hrsg= ukmoths.org.uk
 |sprache=en
 |abruf=2022-11-05}}</ref>
</references>

== Weblinks ==
{{Commonscat|Amblyptilia acanthadactyla|''Amblyptilia acanthadactyla''}}
* [https://lepiforum.org/wiki/page/Amblyptilia_acanthadactyla ''Amblyptilia acanthadactyla''] bei lepiforum.org
* [https://www.norfolkmoths.co.uk/micros.php?bf=14970 ''Amblyptilia acanthadactyla''] bei www.norfolkmoths.co.uk
* [https://www.gbif.org/species/1859285 ''Amblyptilia acanthadactyla''] bei www.gbif.org

[[Kategorie:Federmotten]]
[[Kategorie:Pterophoridae]]

title: Amblyptilia acanthadactyla

Ordnung: Schmetterlinge (Lepidoptera)

Familie: Federmotten (Pterophoridae)

Unterfamilie: Pterophorinae

Tribus: Platyptiliini

Gattung: Amblyptilia

Art: Amblyptilia acanthadactyla


text:
# Symmetrische Gleichung
Eine symmetrische Gleichung, symmetrisches Polynom, reziproke Gleichung oder selbstreziprokes Polynom ist eine polynomiale (ganzrationale) Gleichung, deren Koeffizientenfolge symmetrisch ist. Leonhard Euler hat diesen Gleichungstyp als reziproke Gleichung bezeichnet, da die Substitution von  {\displaystyle \textstyle x} durch {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}} nach einfachen Umformungen wieder auf dieselbe Gleichung führt. Daneben ist mit jeder Nullstelle {\displaystyle \textstyle x} auch {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}} eine Nullstelle der Gleichung. Sind die Koeffizienten dem Betrag nach symmetrisch, unterscheiden sich aber nach dem Vorzeichen, spricht man von einer antisymmetrischen Gleichung.

## Definition
Eine polynomiale Gleichung {\displaystyle n}-ten Grades
{\displaystyle a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dotsb +a_{1}\cdot x+a_{0}=0}
heißt
- symmetrisch, palindromisch[1] (engl.: palindromic polynomial oder auch self-reciprocal), wenn {\displaystyle a_{k}=a_{n-k}} für alle {\displaystyle k=0,1,\dotsc ,n} gilt,
- antisymmetrisch oder antipalindromisch, wenn  {\displaystyle a_{k}=-a_{n-k}} für alle {\displaystyle k=0,1,\dotsc ,n} gilt.

Außerdem gilt im
- symmetrischen Fall {\displaystyle p(x)=x^{n}\cdot p\left({\frac {1}{x}}\right)=a_{0}\cdot x^{n}+a_{1}\cdot x^{n-1}+\dotsb +a_{1}\cdot x+a_{0}}
- antisymmetrischen Fall {\displaystyle p(x)=-x^{n}\cdot p\left({\frac {1}{x}}\right)=a_{0}\cdot x^{n}+a_{1}\cdot x^{n-1}+\dotsb -a_{1}\cdot x-a_{0}}

## Eigenschaften
Betrachtet man das symmetrische Polynom
{\displaystyle a_{0}\cdot x^{n}+a_{1}\cdot x^{n-1}+\dotsb +a_{1}\cdot x+a_{0}=0\qquad } (1)
und substituiert {\displaystyle \textstyle x:={\frac {1}{x}}}
{\displaystyle a_{0}\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)^{n}+a_{1}\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)^{n-1}+\dotsb +a_{1}\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)+a_{0}=0\qquad } (2)
so wird durch Multiplikation mit {\displaystyle \textstyle x^{n}} Gleichung (2) wieder die ursprüngliche Gleichung (1) überführt.
Aus dieser Äquivalenz folgt die von Euler erkannte reziproke Eigenschaft, dass mit {\displaystyle \textstyle x} auch {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}} eine Nullstelle einer symmetrischen Gleichung sein muss.
Weiterhin gilt mit {\displaystyle p(x)=a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dotsb +a_{1}\cdot x+a_{0}}, wobei {\displaystyle p(x)} ein Polynom vom Grad {\displaystyle n} mit reellen oder komplexen Koeffizienten ist:
- Wenn {\displaystyle p(x)} palindromisch oder antipalindromisch ist, ist {\displaystyle \textstyle a_{0}\neq 0}
- Wegen {\displaystyle \textstyle a_{0}\neq 0} kann {\displaystyle \textstyle x=0} nie eine Nullstelle sein
- Wenn {\displaystyle p(x)} antipalindromisch und {\displaystyle n} gerade ist, gilt {\displaystyle a_{n/2}=0}.
- Wenn {\displaystyle p(x)} palindromisch und {\displaystyle n} ungerade ist, gilt {\displaystyle p(-1)=0}. Wenn {\displaystyle p(x)} antipalindromisch ist, gilt {\displaystyle p(1)=0}.
- Wenn {\displaystyle p(x)} palindromisch oder antipalindromisch und {\displaystyle p(x_{0})=0} ist, so ist {\displaystyle x_{0}\neq 0} und {\displaystyle \textstyle p({\frac {1}{x_{0}}})=0}. {\displaystyle x_{0}} und {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x_{0}}}} sind dann Nullstellen derselben Vielfachheit der (anti-)symmetrischen Gleichung {\displaystyle p(x)=0}.
- Sind {\displaystyle p(x)} und {\displaystyle q(x)} palindromische Polynome, so ist auch das Produkt {\displaystyle p(x)\cdot q(x)} palindromisch. Sind beide Faktoren antipalindromisch, so ist das Produkt ebenfalls palindromisch. Ist ein Faktor palindromisch und der andere antipalindromisch, so ist das Produkt antipalindromisch.
- Sind {\displaystyle p(x)} und {\displaystyle p(x)\cdot q(x)} palindromische oder antipalindromische Polynome, so ist auch {\displaystyle q(x)} palindromisch oder antipalindromisch.
- Ist mit jeder Nullstelle {\displaystyle x_{0}} der Gleichung {\displaystyle p(x)=0} auch der Reziprokwert {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x_{0}}}} eine Nullstelle der Gleichung mit derselben Vielfachheit wie {\displaystyle x_{0}}, dann ist die Gleichung symmetrisch oder antisymmetrisch.
- Ist {\displaystyle r(x)} ein Polynom vom Grad {\displaystyle m}, so ist {\displaystyle x^{m}\cdot r\left(x+{\tfrac {1}{x}}\right)} ein palindromisches und {\displaystyle x^{m}\cdot r\left(x-{\tfrac {1}{x}}\right)} ein antipalindromisches Polynom vom Grad {\displaystyle \textstyle 2\cdot m}.
- Ist {\displaystyle p(x)} ein palindromisches (bzw. antipalindromisches) Polynom vom Grad {\displaystyle \textstyle n=2\cdot m}, so existiert genau ein Polynom {\displaystyle r(x)} vom Grad {\displaystyle m} mit {\displaystyle p(x)=x^{m}\cdot r\left(x+{\tfrac {1}{x}}\right)} (bzw. {\displaystyle p(x)=x^{m}\cdot r\left(x-{\tfrac {1}{x}}\right)}).
- Wenn alle Koeffizienten {\displaystyle a_{i}} reell sind und alle komplexen Nullstellen von {\displaystyle p(x)} den Betrag 1 haben, dann ist {\displaystyle p(x)} palindromisch oder antipalindromisch.[2]

### Anwendungsgebiete (Beispiele)
- Die Kreisteilungspolynome sind symmetrisch.
- Alexanderpolynome von Knoten (siehe Knotentheorie) sind symmetrisch. Für ein Alexander-Polynom der Form {\displaystyle c_{0}+c_{1}\cdot t+\cdots +c_{0}\cdot t^{n}} führt (nach Skalierung mit {\displaystyle t^{-n/2}}) die Substitution {\displaystyle \textstyle z^{2}:=t+{\frac {1}{t}}-2} auf das Conway-Polynom, ein spezielles Alexander-Polynom.

## Allgemeine Lösungsstrategien
Für allgemeine Gleichungen ab dem 5. Grad existiert keine allgemeine Lösungsformel zur Bestimmung der Nullstellen mehr. Symmetrische und antisymmetrische Gleichungen können dagegen aufgrund ihrer speziellen Eigenschaften bis zum 9. Grade auf Gleichungen bis 4. Grades zurückgeführt werden.

### Symmetrische Gleichungen
Aus dem verallgemeinerten Wurzelsatz von Vieta lässt sich allgemein ableiten, dass bei einem Polynom {\displaystyle \textstyle a_{0}=(-1)^{n}\cdot a_{n}\cdot x_{1}\cdot x_{2}\dotsm x_{n}} ist, also dass in {\displaystyle \textstyle a_{0}} das Produkt aller Nullstellen steckt. Bei einer symmetrischen Gleichung vom Grad {\displaystyle \textstyle n} ist der Koeffizient {\displaystyle \textstyle a_{n}\neq 0} und aus der Symmetrie der Koeffizienten folgt auch, dass {\displaystyle \textstyle a_{0}\neq 0}. Daher kann {\displaystyle \textstyle x=0} nie Nullstelle einer symmetrischen Gleichung sein kann, weil sonst {\displaystyle \textstyle a_{0}=0\neq a_{n}} sein müsste.

#### Symmetrischen Gleichungen ungeraden Grades
Bringt man die symmetrische Gleichung auf Normalform, d. h. ist der Koeffizient der höchsten Potenz {\displaystyle \textstyle a_{n}=1}, so folgt daraus, dass auch der Koeffizient des absoluten Gliedes {\displaystyle \textstyle a_{0}=1} ist. Aus der oben gegebenen Darstellung von {\displaystyle \textstyle a_{0}} nach Vieta folgt, dass die Nullstellen paarweise reziprok zueinander sind und das Produkt dieser Paare jeweils mit dem Faktor 1 zu {\displaystyle \textstyle a_{0}} beiträgt. Die verbliebene Nullstelle muss bei ungeradem Grad und reellen Koeffizienten stets {\displaystyle \textstyle -{\frac {a_{0}}{a_{n}}}=-1} sein. Der entsprechende Linearfaktor {\displaystyle \textstyle (x+1)} wird mit Hilfe der Polynomdivision abdividiert, so dass eine symmetrische Gleichung mit einem um eins erniedrigten, geraden Grad entsteht.

#### Symmetrischen Gleichungen geraden Grades
Die allgemeine Lösungsstrategie für symmetrische Gleichungen mit geradem Grad {\displaystyle n} und reellen Koeffizienten beruht auf folgenden Schritten:
1. Division aller Glieder des Polynoms durch {\displaystyle \textstyle x^{\frac {n}{2}}}
2. Zusammenfassen der Glieder mit gleichem Koeffizienten und Ausklammern des Koeffizienten {\displaystyle a_{i}=a_{n-i}}
3. Substitution {\displaystyle \textstyle (x^{i}+{\frac {1}{x^{i}}})} anwenden, siehe Abschnitt Substitutionen
4. Ausmultiplizieren führt zu einem Polynom in {\displaystyle u} vom Grad {\displaystyle \textstyle {\frac {n}{2}}}
5. Nullstellen für {\displaystyle u} berechnen
6. Einsetzen jeder Nullstelle von {\displaystyle u} in die Substitutionsgleichung {\displaystyle \textstyle (x+{\frac {1}{x}})=u} und Auflösung nach {\displaystyle x}, so dass mit jedem {\displaystyle u} zwei Nullstellen {\displaystyle x} aus der Gleichung {\displaystyle x^{2}-u\cdot x+1=0} bestimmt werden können.

#### Substitutionen
Für die Berechnung werden folgende Substitutionen verwendet:
{\displaystyle {\begin{aligned}x\;+\ {\frac {1}{x}}\ &=u\\x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}&=u^{2}-2\\x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}&=u^{3}-3\cdot u\\x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}&=u^{4}-4\cdot u^{2}+2\\\end{aligned}}}
Weitere Substitutionen für Potenzen ab {\displaystyle \textstyle n\geq 2} lassen sich mit der folgenden Rekursionsformel aus bereits bekannten Substitutionen ermitteln:
{\displaystyle x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}=\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\cdot \left(x^{n-1}+{\frac {1}{x^{n-1}}}\right)-\left(x^{n-2}+{\frac {1}{x^{n-2}}}\right)}

#### Resubstitution zur Berechnung der Nullstellen
Sobald man eine Nullstelle {\displaystyle u_{i}} gefunden hat, löst man die einfachste Substitutionsgleichung {\displaystyle \textstyle (x+{\frac {1}{x}})=u} nach {\displaystyle \textstyle x}  auf. Dadurch ergeben sich für jedes {\displaystyle \textstyle u_{i}} zwei Nullstellen für {\displaystyle \textstyle x} aus der quadratischen Gleichung:
{\displaystyle x^{2}-u_{i}\cdot x+1=0}
Aus der Symmetrie dieser Gleichung und weil das absolute Glied dieser quadratischen Gleichung in Normalform 1 ist, folgt aus dem Vietaschen Wurzelsatz, dass die beiden Nullstellen dieser quadratischen Gleichung zueinander reziprok sein müssen. Die Nullstellen ergeben sich nach der p-q-Formel zu:
{\displaystyle x_{1/2}={\frac {1}{2}}\cdot \left(u_{i}\pm {\sqrt {u_{i}^{2}-4}}\right)} mit  {\displaystyle x_{1}={\frac {1}{x_{2}}}}.

### Antisymmetrische Gleichungen
Bei antisymmetrischen Gleichungen vom Grade {\displaystyle \textstyle n} gibt es bei ungeradem  {\displaystyle \textstyle n} zu jedem Koeffizienten das negative Gegenstück, so dass {\displaystyle \textstyle a_{i}+a_{n-i}=0} gilt. Bei antisymmetrischen Gleichungen geraden Grades gibt es jedoch nur einen mittleren Koeffizienten, der für den folgenden Lösungsweg Null sein muss ({\displaystyle \textstyle a_{n/2}=0}), siehe auch Abschnitt ‘Eigenschaften’.

#### Antisymmetrische Gleichungen ungeraden Grades
Aus dem Vietaschen Wurzelsatz lässt sich ableiten, dass asymmetrische Gleichungen bei ungeradem Grad {\displaystyle \textstyle n} und reellen Koeffizienten stets {\displaystyle \textstyle -{\frac {a_{0}}{a_{n}}}=+1} sein muss. Der entsprechende Linearfaktor {\displaystyle \textstyle (x-1)} wird mit Hilfe der Polynomdivision abdividiert, so dass eine Gleichung von geraden Grade {\displaystyle \textstyle n-1}  entsteht.

#### Antisymmetrische Gleichungen geraden Grades
Betrachtet man den Lösungsweg am Beispiel einer Gleichung 8. Grades, so ist die Ausgangsgleichung folgendermaßen aufgebaut:
{\displaystyle a\cdot x^{8}+b\cdot x^{7}+c\cdot x^{6}+d\cdot x^{5}+0\cdot x^{4}-d\cdot x^{3}-c\cdot x^{2}-b\cdot x-a=0}
Nun werden die zusammengehörigen Koeffizienten ausgeklammert, so dass nach Division durch {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x^{4}}}} und umordnen die folgende Darstellung ergibt
{\displaystyle a\cdot \left(x^{4}-{\frac {1}{x^{4}}}\right)+b\cdot \left(x^{3}-{\frac {1}{x^{3}}}\right)+c\cdot \left(x^{2}-{\frac {1}{x^{2}}}\right)+d\cdot \left(x-{\frac {1}{x}}\right)=0}
Hier lässt sich sofort der Faktor {\displaystyle \textstyle x-{\frac {1}{x}}} ausklammern und die Gleichung faktorisieren:
{\displaystyle \left(x-{\frac {1}{x}}\right)\cdot {\Bigg (}a\cdot \left(x^{3}+x+{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}\right)+b\cdot \left(x^{2}+1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+c\cdot \left(x+{\frac {1}{x}}\right)+d{\Bigg )}=0}
Der Faktor {\displaystyle \textstyle x-{\frac {1}{x}}} offenbart bereits zwei Nullstellen der antisymmetrischen Gleichung geraden Grades, nämlich –1 und +1.
Der andere Faktor wird zunächst auf die Form einer kubischen Gleichung gebracht und so wie bei der symmetrischen Gleichung zusammengefasst:
{\displaystyle a\cdot \left(x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}\right)+a\cdot \left(x+{\frac {1}{x}}\right)+b\cdot \left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+b+c\cdot \left(x+{\frac {1}{x}}\right)+d=0\qquad \Leftrightarrow }
{\displaystyle a\cdot \left(x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}\right)+b\cdot \left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+(a+c)\cdot \left(x+{\frac {1}{x}}\right)+(b+d)=0}
Wendet man die von der symmetrischen Gleichung bekannten Substitutionen mit {\displaystyle \textstyle u} an, ergibt sich:
{\displaystyle a\cdot \left(u^{3}-3\cdot u\right)+b\cdot \left(u^{2}-2\right)+(a+c)\cdot u+b+d=0}
Der weitere Lösungsweg entspricht dem der symmetrischen Gleichung.

### Andere reziproke Gleichungen
Für reziproke Gleichungen, bei denen neben jedem {\displaystyle \textstyle x_{i}} auch immer {\displaystyle \textstyle -{\frac {1}{x_{i}}}} eine Nullstelle ist, lassen sich Substitutionen konstruieren und damit Nullstellen berechnen.
Dazu eignet sich die Substitution
{\displaystyle x-{\frac {1}{x}}=u}
Mit den bereits beschriebenen Methoden können Substitutionen von höheren Potenzen ermittelt werden:
{\displaystyle x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=u^{2}+2;\qquad x^{3}-{\frac {1}{x^{3}}}=u^{3}+3\cdot u;\qquad x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}=u^{4}+4\cdot u^{2}+2}
Wie sich hier zeigt, ist {\displaystyle \textstyle x^{2\cdot n}+{\frac {1}{x^{2\cdot n}}}} für die geraden Potenzen von {\displaystyle x} eine Summe, keine Differenz.
Damit lassen sich beispielsweise folgende spezielle Gleichungstypen lösen:
{\displaystyle x^{4}\pm a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}\mp a\cdot x+1=0}
{\displaystyle x^{6}\pm a\cdot x^{5}+b\cdot x^{4}+c\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}\mp a\cdot x+1=0}
{\displaystyle x^{8}\pm a\cdot x^{7}+b\cdot x^{6}\pm c\cdot x^{5}+d\cdot x^{4}\mp c\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}\mp a\cdot x+1=0}
Wie an den Beispielen leicht zu erkennen ist, haben diese Gleichungen nicht die Struktur einer antisymmetrischen Gleichung im Sinne der oben gegebenen Definition. Die Lösung durch Substitution ist nur möglich, wenn ungleiche Vorzeichen stets und nur bei den Koeffizienten von ungeraden Potenzen auftreten.

## Lösungsformeln für spezielle Gleichungen
Die folgenden Beispiele zeigen, wie die Substitution auf eine Gleichung in {\displaystyle \textstyle u} führt.

### Symmetrische Gleichung 4. Grades
Für eine quartische Gleichung
{\displaystyle a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+b\cdot x+a=0}
ergibt sich nach Division durch {\displaystyle x^{2}} und Zusammenfassung der Glieder:
{\displaystyle a\cdot \left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+b\cdot \left(x+{\frac {1}{x}}\right)+c=0}
Nach der Substitution mit {\displaystyle \textstyle (x+{\frac {1}{x}})=u} und {\displaystyle \textstyle (x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})=u^{2}-2} ergibt sich die quadratische Gleichung in {\displaystyle u}:
{\displaystyle a\cdot u^{2}+b\cdot u+c-2\cdot a=0}
Daraus ermittelt man die beiden Nullstellen {\displaystyle u_{1}} und {\displaystyle u_{2}}. Im nächsten Schritt wird die Substitution rückgängig gemacht und alle vier Nullstellen {\displaystyle \textstyle x_{i}} der quartischen Gleichung durch Auflösung von  {\displaystyle \textstyle (x_{i}+{\frac {1}{x_{i}}})=u} für jedes der beiden {\displaystyle \textstyle u} berechnet.
Beispiel: Die Gleichung {\displaystyle \textstyle 6x^{4}-5x^{3}-38x^{2}-5x+6=0} wird durch die gezeigte Substitution zur quadratischen Gleichung {\displaystyle \textstyle 6u^{2}-5u-50=0}. Daraus ergeben sich die Nullstellen {\displaystyle \textstyle u_{1}={\frac {10}{3}}} und {\displaystyle \textstyle u_{2}=-{\frac {5}{2}}}.
Für die Resubstitution sucht man sich die einfachste Gleichung aus, nämlich {\displaystyle \textstyle (x+{\frac {1}{x}})=u}, formt sie zur quadratischen Gleichung  {\displaystyle \textstyle x^{2}-u\cdot x+1=0} um und setzt {\displaystyle \textstyle u_{1}} und {\displaystyle \textstyle u_{2}} ein:
- Mit {\displaystyle \textstyle u_{1}} ergibt sich {\displaystyle \textstyle x^{2}-{\frac {10}{3}}\cdot x+1=0} und die Nullstellen 3 und {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}
- Mit {\displaystyle \textstyle u_{2}} ergibt sich {\displaystyle \textstyle x^{2}+{\frac {5}{2}}\cdot x+1=0} und die Nullstellen −2, {\displaystyle \textstyle -{\frac {1}{2}}}

Dies sind auch die Nullstellen der quartischen Ausgangsgleichung.

### Symmetrische Gleichung 6. Grades
Für eine Gleichung 6. Grades in Normalform
{\displaystyle x^{6}+a\cdot x^{5}+b\cdot x^{4}+c\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+a\cdot x+1=0}
ergibt sich nach Division durch {\displaystyle x^{2}} und Zusammenfassung der Glieder:
{\displaystyle \left(x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}\right)+a\cdot \left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+b\cdot \left(x+{\frac {1}{x}}\right)+c=0}
Nach der Substitution mit {\displaystyle \textstyle (x+{\frac {1}{x}})=u} und {\displaystyle \textstyle (x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})=u^{2}-2} und {\displaystyle \textstyle (x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}})=u^{3}-3\cdot u} ergibt sich die kubische Gleichung in {\displaystyle u}:
{\displaystyle u^{3}+a\cdot u^{2}+(b-3)\cdot u-2\cdot a+c=0}
Daraus ermittelt man die Nullstellen {\displaystyle u_{1}}, {\displaystyle u_{2}} und {\displaystyle u_{3}} mit Hilfe der Lösungsformeln für die kubischen Gleichung.

### Symmetrische Gleichung 8. Grades
Für eine Gleichung 8. Grades in Normalform
{\displaystyle x^{8}+a\cdot x^{7}+b\cdot x^{6}+c\cdot x^{5}+d\cdot x^{4}+c\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+a\cdot x+1=0}
ergibt sich nach Division durch {\displaystyle x^{2}} und Zusammenfassung der Glieder:
{\displaystyle \left(x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)+a\cdot \left(x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}\right)+b\cdot \left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+c\cdot \left(x+{\frac {1}{x}}\right)+d=0}
Nach der Substitution mit {\displaystyle \textstyle (x+{\frac {1}{x}})=u} und {\displaystyle \textstyle (x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})=u^{2}-2}, {\displaystyle \textstyle (x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}})=u^{3}-3\cdot u} und {\displaystyle \textstyle (x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}})=u^{4}-4\cdot u^{2}+2} ergibt sich die quartische Gleichung in {\displaystyle u}:
{\displaystyle u^{4}+a\cdot u^{3}+(b-4)\cdot u^{2}+(c-3\cdot a)\cdot u-2\cdot b+d+2=0}
Daraus ermittelt man die Nullstellen {\displaystyle u_{1}}, {\displaystyle u_{2}}, {\displaystyle u_{3}} und {\displaystyle u_{4}} mit Hilfe der Lösungsformeln für die quartische Gleichung.

### Weitere Beispiele
- Die Nullstellen der quadratischen Gleichung lassen sich mit den bekannten Lösungsformeln am schnellsten bestimmen.
- Bei symmetrischen kubischen Gleichungen  mit reellen Koeffizienten ist −1 eine Nullstelle. Danach führt eine Polynomdivision zu einer quadratischen (symmetrischen) Gleichung.

Beispiele:
- Die symmetrische Gleichung 3. Grades {\displaystyle f(x)=3\cdot x^{3}+13\cdot x^{2}+13\cdot x+3} hat eine Nullstelle bei –1. Division durch {\displaystyle (x+1)} führt zu {\displaystyle g(x)=3\cdot x^{2}+10\cdot x+3}, woraus sich die weiteren Nullstellen {\displaystyle \textstyle -{\frac {1}{3}}} und –3 berechnen lassen.
- Die antisymmetrische Gleichung 3. Grades {\displaystyle f(x)=6\cdot x^{3}+7\cdot x^{2}-7\cdot x-3} hat eine Nullstelle bei 1. Division durch {\displaystyle (x-1)} führt wieder zu {\displaystyle g(x)=3\cdot x^{2}+10\cdot x+3}, woraus sich die weiteren Nullstellen {\displaystyle \textstyle -{\frac {1}{3}}} und –3 berechnen lassen.
- Die symmetrische Gleichung 5. Grades {\displaystyle f(x)=6\cdot x^{5}+11\cdot x^{4}-33\cdot x^{3}-33\cdot x^{2}+11\cdot x+6} hat eine Nullstelle bei –1. Division durch {\displaystyle (x+1)} führt zu {\displaystyle g(x)=6\cdot x^{4}+5\cdot x^{3}-38\cdot x^{2}+5\cdot x+6}, woraus sich die weiteren Nullstellen –3, {\displaystyle \textstyle -{\frac {1}{3}}}, 2, {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}} berechnen lassen.

title: Symmetrische Gleichung

wikitext:
Eine '''symmetrische Gleichung''', [[symmetrisches Polynom]], reziproke Gleichung oder selbstreziprokes Polynom ist eine [[polynom]]iale (ganzrationale) [[Gleichung]], deren [[Koeffizient]]enfolge symmetrisch ist. [[Leonhard Euler]] hat diesen Gleichungstyp als reziproke Gleichung bezeichnet, da die Substitution von  <math>\textstyle x</math> durch <math>\textstyle \frac{1}{x}</math> nach einfachen Umformungen wieder auf dieselbe Gleichung führt. Daneben ist mit jeder Nullstelle <math>\textstyle x</math> auch <math>\textstyle \frac{1}{x}</math> eine Nullstelle der Gleichung. Sind die Koeffizienten dem [[Betragsfunktion|Betrag]] nach symmetrisch, unterscheiden sich aber nach dem [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]], spricht man von einer ''antisymmetrischen Gleichung.''

== Definition ==
Eine polynomiale Gleichung <math>n</math>-ten Grades
:<math>a_n  \cdot x^n + a_{n-1}  \cdot x^{n-1} + \dotsb +a_1  \cdot x + a_0 = 0</math>
heißt
* ''symmetrisch'', ''[[palindrom]]isch''<ref>Frank Celler: Konstruktive Erkennungsalgorithmen klassischer Gruppen in GAP (Dissertation) [http://www.celler.de/wp-content/uploads/2011/09/phd.ps.gz] ([[Gzip|GZIP]]; 233 kB)</ref> (''engl.: palindromic polynomial'' oder auch ''self-reciprocal''), wenn <math>a_k = a_{n-k}</math> für alle <math>k = 0,1,\dotsc,n</math> gilt,
* ''antisymmetrisch'' oder ''antipalindromisch'', wenn  <math>a_k = -a_{n-k}</math> für alle <math>k = 0,1,\dotsc,n</math> gilt.

Außerdem gilt im
* symmetrischen Fall <math>p(x) = x^n \cdot p\left(\frac{1}{x}\right) = a_0  \cdot x^n + a_1 \cdot x^{n-1} + \dotsb +a_1  \cdot x + a_0 </math>
* antisymmetrischen Fall <math>p(x) = -x^n \cdot p\left(\frac{1}{x}\right) = a_0  \cdot x^n + a_1 \cdot x^{n-1} + \dotsb - a_1  \cdot x - a_0</math>

== Eigenschaften ==
Betrachtet man das symmetrische Polynom
:<math>a_0 \cdot x^n + a_1 \cdot x^{n-1} + \dotsb +a_1 \cdot x + a_0 = 0 \qquad</math> (1)
und substituiert <math>\textstyle x:= \frac{1}{x}</math>
:<math>a_0 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^n + a_1 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^{n-1} + \dotsb +a_1 \cdot \left( \frac{1}{x} \right) + a_0 = 0 \qquad</math> (2)
so wird durch Multiplikation mit <math>\textstyle x^n</math> Gleichung (2) wieder die ursprüngliche Gleichung (1) überführt.<br />Aus dieser Äquivalenz folgt die von Euler erkannte reziproke Eigenschaft, dass mit <math>\textstyle x</math> auch <math>\textstyle \frac{1}{x}</math> eine Nullstelle einer symmetrischen Gleichung sein muss.

Weiterhin gilt mit <math>p(x)=a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \dotsb +a_1 \cdot x + a_0</math>, wobei <math>p(x)</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> mit reellen oder komplexen Koeffizienten ist:
* Wenn <math>p(x)</math> palindromisch oder antipalindromisch ist, ist <math>\textstyle a_0 \neq 0</math>
* Wegen <math>\textstyle a_0 \neq 0</math> kann <math>\textstyle x = 0</math> nie eine Nullstelle sein
* Wenn <math>p(x)</math> antipalindromisch und <math>n</math> gerade ist, gilt <math>a_{n/2}=0</math>.
* Wenn <math>p(x)</math> palindromisch und <math>n</math> ungerade ist, gilt <math>p(-1)=0</math>. Wenn <math>p(x)</math> antipalindromisch ist, gilt <math>p(1)=0</math>.
* Wenn <math>p(x)</math> palindromisch oder antipalindromisch und <math>p(x_0)=0</math> ist, so ist <math>x_0\neq0</math> und <math>\textstyle p(\frac {1}{x_0})=0</math>. <math>x_0</math> und <math>\textstyle \frac {1}{x_0}</math> sind dann Nullstellen derselben Vielfachheit der (anti-)symmetrischen Gleichung <math>p(x)=0</math>.
* Sind <math>p(x)</math> und <math>q(x)</math> palindromische Polynome, so ist auch das Produkt <math>p(x)\cdot q(x)</math> palindromisch. Sind beide Faktoren antipalindromisch, so ist das Produkt ebenfalls palindromisch. Ist ein Faktor palindromisch und der andere antipalindromisch, so ist das Produkt antipalindromisch.
* Sind <math>p(x)</math> und <math>p(x)\cdot q(x)</math> palindromische oder antipalindromische Polynome, so ist auch <math>q(x)</math> palindromisch oder antipalindromisch.
* Ist mit jeder Nullstelle <math>x_0</math> der Gleichung <math>p(x)=0</math> auch der Reziprokwert <math>\textstyle \frac {1}{x_0}</math> eine Nullstelle der Gleichung mit derselben Vielfachheit wie <math>x_0</math>, dann ist die Gleichung symmetrisch oder antisymmetrisch.
* Ist <math>r(x)</math> ein Polynom vom Grad <math>m</math>, so ist <math>x^m\cdot r\left(x+\tfrac 1x\right)</math> ein palindromisches und <math>x^m\cdot r\left(x-\tfrac 1x\right)</math> ein antipalindromisches Polynom vom Grad <math>\textstyle 2 \cdot m</math>.
* Ist <math>p(x)</math> ein palindromisches (bzw. antipalindromisches) Polynom vom Grad <math>\textstyle n=2 \cdot m</math>, so existiert genau ein Polynom <math>r(x)</math> vom Grad <math>m</math> mit <math>p(x)=x^m\cdot r\left(x+\tfrac 1x\right)</math> (bzw. <math>p(x)=x^m\cdot r\left(x-\tfrac 1x\right)</math>).
* Wenn alle Koeffizienten <math>a_i</math> reell sind und alle komplexen Nullstellen von <math>p(x)</math> den Betrag 1 haben, dann ist <math>p(x)</math> palindromisch oder antipalindromisch.<ref>The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials[http://www.mathpages.com/home/kmath294/kmath294.htm]</ref>

=== Anwendungsgebiete (Beispiele) ===
* Die [[Kreisteilungspolynom]]e sind symmetrisch.
* Alexanderpolynome von Knoten (siehe [[Knotentheorie]]) sind symmetrisch. Für ein [[Alexander-Polynom]] der Form <math>c_0+c_1 \cdot t + \cdots + c_0 \cdot t^n</math> führt (nach Skalierung mit <math>t^{-n/2}</math>) die Substitution <math> \textstyle z^2:= t+\frac{1}{t}-2</math> auf das Conway-Polynom, ein spezielles Alexander-Polynom.

== Allgemeine Lösungsstrategien ==
Für allgemeine Gleichungen ab dem 5. Grad existiert keine allgemeine Lösungsformel zur Bestimmung der Nullstellen mehr. Symmetrische und antisymmetrische Gleichungen können dagegen aufgrund ihrer speziellen Eigenschaften bis zum 9. Grade auf Gleichungen bis 4. Grades zurückgeführt werden.
{{Hauptartikel|Lösen von Gleichungen}}

=== Symmetrische Gleichungen ===
Aus dem verallgemeinerten [[Satz von Vieta|Wurzelsatz von Vieta]] lässt sich allgemein ableiten, dass bei einem Polynom <math>\textstyle a_0 = (-1)^n \cdot a_n \cdot x_1 \cdot x_2 \dotsm x_n</math> ist, also dass in <math>\textstyle a_0</math> das Produkt aller Nullstellen steckt. Bei einer symmetrischen Gleichung vom Grad <math>\textstyle n</math> ist der Koeffizient <math>\textstyle a_n \neq 0</math> und aus der Symmetrie der Koeffizienten folgt auch, dass <math>\textstyle a_0 \neq 0</math>. Daher kann <math>\textstyle x = 0</math> nie Nullstelle einer symmetrischen Gleichung sein kann, weil sonst <math>\textstyle a_0 = 0 \neq a_n</math> sein müsste.

==== Symmetrischen Gleichungen ungeraden Grades ====
Bringt man die symmetrische Gleichung auf [[Normalform]], d. h. ist der Koeffizient der höchsten Potenz <math>\textstyle a_n = 1</math>, so folgt daraus, dass auch der Koeffizient des absoluten Gliedes <math>\textstyle a_0 = 1</math> ist. Aus der oben gegebenen Darstellung von <math>\textstyle a_0</math> nach Vieta folgt, dass die Nullstellen paarweise reziprok zueinander sind und das Produkt dieser Paare jeweils mit dem Faktor 1 zu <math>\textstyle a_0</math> beiträgt. Die verbliebene Nullstelle muss bei ungeradem Grad und reellen Koeffizienten stets <math>\textstyle -\frac{a_0}{a_n} = -1</math> sein. Der entsprechende Linearfaktor <math>\textstyle (x+1)</math> wird mit Hilfe der [[Polynomdivision]] abdividiert, so dass eine symmetrische Gleichung mit einem um eins erniedrigten, geraden Grad entsteht.

==== Symmetrischen Gleichungen geraden Grades ====
Die allgemeine Lösungsstrategie für symmetrische Gleichungen mit ''geradem'' Grad <math>n</math> und reellen Koeffizienten beruht auf folgenden Schritten<ref>{{Literatur |Hrsg=Bibliographisches Institut |Titel=MEYERS Großer Rechenduden |Verlag=Bibliographisches Institut AG |Ort=Mannheim |Datum=1961 |Kapitel=Stichwort ‘Gleichungen’ |Fundstelle=S. 215 ff |Sprache=de |DNB=453937608}}</ref>:
# Division aller Glieder des Polynoms durch <math>\textstyle x^\frac{n}{2}</math>
# Zusammenfassen der Glieder mit gleichem Koeffizienten und Ausklammern des Koeffizienten <math>a_i = a_{n-i}</math>
# Substitution <math>\textstyle (x^i + \frac{1}{x^i})</math> anwenden, siehe Abschnitt Substitutionen
# Ausmultiplizieren führt zu einem Polynom in <math>u</math> vom Grad <math>\textstyle \frac{n}{2}</math>
# Nullstellen für <math>u</math> berechnen
# Einsetzen jeder Nullstelle von <math>u</math> in die Substitutionsgleichung <math>\textstyle (x + \frac{1}{x}) = u</math> und Auflösung nach <math>x</math>, so dass mit jedem <math>u</math> zwei Nullstellen <math>x</math> aus der Gleichung <math>x^2 - u \cdot x + 1 = 0</math> bestimmt werden können.

==== Substitutionen ====
Für die Berechnung werden folgende Substitutionen verwendet:
: <math> \begin{align}
x \; + \ \frac{1}{x} \ & = u\\
x^2 + \frac{1}{x^2} & = u^2 - 2\\
x^3 + \frac{1}{x^3} & = u^3 - 3 \cdot u\\
x^4 + \frac{1}{x^4} & = u^4 - 4 \cdot u^2 + 2\\
\end{align}</math>

Weitere [[Substitution (Mathematik)|Substitutionen]] für Potenzen ab <math> \textstyle n \ge 2</math> lassen sich mit der folgenden Rekursionsformel aus bereits bekannten Substitutionen ermitteln:

: <math>x^n + \frac{1}{x^n} = \left( x + \frac{1}{x} \right) \cdot \left( x^{n-1} + \frac{1}{x^{n-1}} \right) - \left( x^{n-2} + \frac{1}{x^{n-2}}\right)</math>

==== Resubstitution zur Berechnung der Nullstellen ====
Sobald man eine Nullstelle <math>u_i</math> gefunden hat, löst man die einfachste Substitutionsgleichung <math>\textstyle (x + \frac{1}{x}) = u</math> nach <math>\textstyle x</math>  auf. Dadurch ergeben sich für jedes <math>\textstyle u_i</math> zwei Nullstellen für <math>\textstyle x</math> aus der quadratischen Gleichung:

: <math>x^2 - u_i \cdot x + 1 = 0</math>

Aus der Symmetrie dieser Gleichung und weil das absolute Glied dieser quadratischen Gleichung in Normalform 1 ist, folgt aus dem Vietaschen Wurzelsatz, dass die beiden Nullstellen dieser quadratischen Gleichung zueinander reziprok sein müssen. Die Nullstellen ergeben sich nach der [[Quadratische Gleichung#p-q-Formel|p-q-Formel]] zu:

: <math>x_{1/2} = \frac{1}{2} \cdot \left( u_i \pm \sqrt{u_i^2-4} \right)</math> mit  <math> x_1 = \frac{1}{x_2}</math>.

=== Antisymmetrische Gleichungen ===
Bei antisymmetrischen Gleichungen vom Grade <math> \textstyle n</math> gibt es bei ungeradem  <math> \textstyle n</math> zu jedem Koeffizienten das negative Gegenstück, so dass <math> \textstyle a_i + a_{n-i} = 0</math> gilt. Bei antisymmetrischen Gleichungen geraden Grades gibt es jedoch nur einen mittleren Koeffizienten, der für den folgenden Lösungsweg Null sein muss (<math> \textstyle a_{n/2} = 0</math>), siehe auch Abschnitt ‘Eigenschaften’.

==== Antisymmetrische Gleichungen ungeraden Grades ====
Aus dem Vietaschen Wurzelsatz lässt sich ableiten, dass asymmetrische Gleichungen bei ungeradem Grad <math> \textstyle n</math> und reellen Koeffizienten stets <math>\textstyle -\frac{a_0}{a_n} = +1</math> sein muss. Der entsprechende Linearfaktor <math>\textstyle (x-1)</math> wird mit Hilfe der Polynomdivision abdividiert, so dass eine Gleichung von geraden Grade <math> \textstyle n-1</math>  entsteht.

==== Antisymmetrische Gleichungen geraden Grades ====
Betrachtet man den Lösungsweg am Beispiel einer Gleichung 8. Grades, so ist die Ausgangsgleichung folgendermaßen aufgebaut:
: <math> a \cdot x^8 + b \cdot x^7 + c \cdot x^6 + d \cdot x^5 + 0 \cdot x^4 - d \cdot x^3 - c \cdot x^2 - b \cdot x - a = 0</math>

Nun werden die zusammengehörigen Koeffizienten ausgeklammert, so dass nach Division durch <math>\textstyle \frac{1}{x^4}</math> und umordnen die folgende Darstellung ergibt

: <math> a \cdot \left( x^4 - \frac{1}{x^4} \right) + b \cdot \left( x^3 - \frac{1}{x^3} \right) + c \cdot \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right) + d \cdot \left( x - \frac{1}{x} \right) = 0</math>

Hier lässt sich sofort der Faktor <math> \textstyle x - \frac{1}{x}</math> ausklammern und die Gleichung faktorisieren:

: <math> \left( x - \frac{1}{x} \right) \cdot \Bigg( a \cdot \left( x^3 + x +  \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} \right) + b \cdot \left( x^2 + 1 + \frac{1}{x^2} \right) + c \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + d \Bigg)  = 0</math>

Der Faktor <math> \textstyle x - \frac{1}{x}</math> offenbart bereits zwei Nullstellen der antisymmetrischen Gleichung geraden Grades, nämlich –1 und +1.

Der andere Faktor wird zunächst auf die Form einer kubischen Gleichung gebracht und so wie bei der symmetrischen Gleichung zusammengefasst:

: <math>  a \cdot \left( x^3 + \frac{1}{x^3} \right) + a \cdot \left( x +  \frac{1}{x} \right)  + b \cdot \left( x^2  + \frac{1}{x^2} \right) + b + c \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + d  = 0 \qquad \Leftrightarrow</math>

: <math>  a \cdot \left( x^3 + \frac{1}{x^3} \right) +  b \cdot \left( x^2  + \frac{1}{x^2} \right)  + (a + c) \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + (b + d)  = 0</math>

Wendet man die von der symmetrischen Gleichung bekannten Substitutionen mit <math> \textstyle u</math> an, ergibt sich:
: <math> a \cdot \left(u^3- 3 \cdot u \right) + b \cdot \left(u^2 -2 \right) + (a + c) \cdot u + b + d  = 0</math>

Der weitere Lösungsweg entspricht dem der symmetrischen Gleichung.

=== Andere reziproke Gleichungen ===
Für reziproke Gleichungen, bei denen neben jedem <math> \textstyle x_i</math> auch immer <math>\textstyle - \frac{1}{x_i}</math> eine Nullstelle ist, lassen sich Substitutionen konstruieren und damit Nullstellen berechnen.
Dazu eignet sich die Substitution
: <math>x - \frac{1}{x} = u</math>

Mit den bereits beschriebenen Methoden können Substitutionen von höheren Potenzen ermittelt werden:
: <math>x^2 + \frac{1}{x^2} = u^2 + 2;  \qquad x^3 - \frac{1}{x^3} = u^3 + 3 \cdot u; \qquad x^4 + \frac{1}{x^4} = u^4 + 4 \cdot u^2 + 2</math>
Wie sich hier zeigt, ist <math> \textstyle x^{2 \cdot n} + \frac{1}{x^{2 \cdot n}}</math> für die geraden Potenzen von <math>x</math> eine Summe, keine Differenz.

Damit lassen sich beispielsweise folgende spezielle Gleichungstypen lösen:
: <math>x^4 \pm a \cdot x^3 + b \cdot x^2 \mp a \cdot x + 1 = 0</math>

: <math>x^6 \pm a \cdot x^5 + b \cdot x^4 + c \cdot x^3 + b \cdot x^2 \mp a \cdot x + 1 = 0</math>

: <math>x^8 \pm a \cdot x^7 + b \cdot x^6 \pm c \cdot x^5 + d \cdot x^4 \mp c \cdot x^3 + b \cdot x^2 \mp a \cdot x + 1 = 0</math>

Wie an den Beispielen leicht zu erkennen ist, haben diese Gleichungen nicht die Struktur einer antisymmetrischen Gleichung im Sinne der oben gegebenen Definition. Die Lösung durch Substitution ist nur möglich, wenn ungleiche Vorzeichen stets und nur bei den Koeffizienten von ungeraden Potenzen auftreten.

== Lösungsformeln für spezielle Gleichungen ==
Die folgenden Beispiele zeigen, wie die Substitution auf eine Gleichung in <math>\textstyle u</math> führt.

=== Symmetrische Gleichung 4. Grades ===
Für eine [[quartische Gleichung]]
: <math>a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + b \cdot x + a = 0</math>

ergibt sich nach Division durch <math>x^2</math> und Zusammenfassung der Glieder:

: <math>a \cdot \left( x^2+ \frac{1}{x^2} \right) + b \cdot \left( x + \frac{1}{x}\right) + c = 0</math>

Nach der Substitution mit <math>\textstyle (x + \frac{1}{x}) = u</math> und <math>\textstyle (x^2 + \frac{1}{x^2}) = u^2-2</math> ergibt sich die quadratische Gleichung in <math>u</math>:

: <math>a \cdot u^2 + b \cdot u + c - 2 \cdot a = 0</math>

Daraus ermittelt man die beiden Nullstellen <math>u_1</math> und <math>u_2</math>. Im nächsten Schritt wird die Substitution rückgängig gemacht und alle vier Nullstellen <math> \textstyle x_i </math> der quartischen Gleichung durch Auflösung von  <math>\textstyle (x_i + \frac{1}{x_i}) = u</math> für jedes der beiden <math> \textstyle u </math> berechnet.

''Beispiel'': Die Gleichung <math> \textstyle 6x^4 - 5x^3 - 38x^2 - 5x + 6 = 0</math> wird durch die gezeigte Substitution zur quadratischen Gleichung <math> \textstyle 6u^2 - 5u - 50 = 0</math>. Daraus ergeben sich die Nullstellen <math> \textstyle u_1 = \frac{10}{3}</math> und <math> \textstyle u_2 = -\frac{5}{2}</math>.

Für die Resubstitution sucht man sich die einfachste Gleichung aus, nämlich <math>\textstyle (x + \frac{1}{x}) = u</math>, formt sie zur quadratischen Gleichung  <math> \textstyle x^2 - u \cdot x + 1 = 0</math> um und setzt <math> \textstyle u_1 </math> und <math> \textstyle u_2</math> ein:
* Mit <math> \textstyle u_1</math> ergibt sich <math> \textstyle x^2 - \frac{10}{3} \cdot x + 1 = 0</math> und die Nullstellen 3 und <math> \textstyle \frac{1}{3}</math>
* Mit <math> \textstyle u_2</math> ergibt sich <math>\textstyle  x^2 + \frac{5}{2} \cdot x + 1 = 0</math> und die Nullstellen −2, <math> \textstyle -\frac{1}{2}</math>

Dies sind auch die Nullstellen der quartischen Ausgangsgleichung.

=== Symmetrische Gleichung 6. Grades ===

Für eine Gleichung 6. Grades in Normalform
: <math>x^6 + a \cdot x^5 + b \cdot x^4 + c \cdot x^3 + b \cdot x^2 + a \cdot x + 1 = 0</math>

ergibt sich nach Division durch <math>x^2</math> und Zusammenfassung der Glieder:

: <math>\left( x^3+ \frac{1}{x^3} \right) + a \cdot \left( x^2+ \frac{1}{x^2} \right) + b \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + c = 0</math>

Nach der Substitution mit <math>\textstyle (x + \frac{1}{x}) = u</math> und <math>\textstyle (x^2 + \frac{1}{x^2}) = u^2-2</math> und <math>\textstyle (x^3 + \frac{1}{x^3}) = u^3 - 3 \cdot u</math> ergibt sich die kubische Gleichung in <math>u</math>:

: <math>u^3 +a \cdot u^2 + (b - 3) \cdot u - 2 \cdot a + c = 0</math>

Daraus ermittelt man die Nullstellen <math>u_1</math>, <math>u_2</math> und <math>u_3</math> mit Hilfe der Lösungsformeln für die [[Kubische Gleichung|kubischen Gleichung]].

=== Symmetrische Gleichung 8. Grades ===

Für eine Gleichung 8. Grades in Normalform
: <math>x^8 + a \cdot x^7 + b \cdot x^6 + c \cdot x^5 + d \cdot x^4 + c \cdot x^3 + b \cdot x^2 + a \cdot x + 1 = 0</math>

ergibt sich nach Division durch <math>x^2</math> und Zusammenfassung der Glieder:

: <math>\left( x^4+ \frac{1}{x^4} \right) + a \cdot \left( x^3+ \frac{1}{x^3} \right) + b \cdot \left( x^2+ \frac{1}{x^2} \right) + c \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + d = 0</math>

Nach der Substitution mit <math>\textstyle (x + \frac{1}{x}) = u</math> und <math>\textstyle (x^2 + \frac{1}{x^2}) = u^2-2</math>, <math>\textstyle (x^3 + \frac{1}{x^3}) = u^3 - 3 \cdot u</math> und <math>\textstyle (x^4 + \frac{1}{x^4}) = u^4 - 4 \cdot u^2 + 2</math> ergibt sich die quartische Gleichung in <math>u</math>:

: <math>u^4 +a \cdot u^3 + (b - 4) \cdot u^2 + (c -3\cdot a) \cdot u - 2 \cdot b + d + 2 = 0</math>

Daraus ermittelt man die Nullstellen <math>u_1</math>, <math>u_2</math>, <math>u_3</math> und <math>u_4</math> mit Hilfe der Lösungsformeln für die quartische Gleichung.

=== Weitere Beispiele ===

* Die Nullstellen der [[Quadratische Gleichung|quadratischen Gleichung]] lassen sich mit den bekannten [[Quadratische Gleichung#Allgemeine Lösungsformeln|Lösungsformeln]] am schnellsten bestimmen.
* Bei symmetrischen kubischen Gleichungen  mit reellen Koeffizienten ist −1 eine Nullstelle. Danach führt eine [[Polynomdivision]] zu einer quadratischen (symmetrischen) Gleichung.
: Beispiele:
:* Die symmetrische Gleichung 3. Grades <math>f(x) = 3 \cdot x^3 + 13 \cdot x^2 + 13 \cdot x + 3</math> hat eine Nullstelle bei –1. Division durch <math>(x + 1)</math> führt zu <math>g(x) = 3 \cdot x^2 + 10 \cdot x +3 </math>, woraus sich die weiteren Nullstellen <math> \textstyle -\frac{1}{3}</math> und –3 berechnen lassen.
:* Die antisymmetrische Gleichung 3. Grades <math>f(x) = 6 \cdot x^3 + 7 \cdot x^2 - 7 \cdot x - 3</math> hat eine Nullstelle bei 1. Division durch <math>(x - 1)</math> führt wieder zu <math>g(x) = 3 \cdot x^2 + 10 \cdot x +3</math>, woraus sich die weiteren Nullstellen <math> \textstyle -\frac{1}{3}</math> und –3 berechnen lassen.
:* Die symmetrische Gleichung 5. Grades <math>f(x) = 6  \cdot x^5 + 11 \cdot x^4 - 33 \cdot x^3 - 33 \cdot x^2 + 11 \cdot x + 6</math> hat eine Nullstelle bei –1. Division durch <math>(x + 1)</math> führt zu <math>g(x) = 6 \cdot x^4 + 5 \cdot x^3 - 38 \cdot x^2 + 5 \cdot x + 6</math>, woraus sich die weiteren Nullstellen –3, <math> \textstyle -\frac{1}{3}</math>, 2, <math> \textstyle \frac{1}{2}</math> berechnen lassen.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Franz Lemmermeyer |Titel=Mathematik à la Carte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2016 |ISBN=978-3-662-50340-9 |Kapitel=3.3 Wurzelgleichungen |Fundstelle=Reziproke Gleichungen, S. 59 ff. |Sprache=de}}
* {{Internetquelle |autor=Helmut Meyn, Werner Götz |url=https://www.mat.univie.ac.at/~slc/opapers/s21meyn.pdf |titel=Self-reciprocal Polynomials Over Finite Fields |hrsg=Universität Wien |abruf=2022-01-30 |format=PDF |sprache=en}}
* {{Internetquelle |autor=David Joyner |url=https://wdjoyner.files.wordpress.com/2016/07/polynomials-survey2c-springer.pdf |titel=Zeros of some self-reciprocal polynomials |abruf=2022-01-30 |format=PDF |sprache=en}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Theorie der Polynome]]
[[Kategorie:Polynom]]


text:
# Kennedy Igboananike
Kennedy Igboananike (* 26. Februar 1989) ist ein nigerianischer Fußballspieler. Der Stürmer bestritt seine bisherige Karriere im Erwachsenenbereich in Schweden, den Vereinigten Staaten, Griechenland und Saudi-Arabien.

## Werdegang
Igboananike spielte in seinem Heimatland bei der Dynamos Football Academy in Lagos. Im Frühjahr 2007 schloss er sich dem Stockholmer Klub Djurgårdens IF an, bei dem er zunächst in der Nachwuchsmannschaft eingesetzt wurde. Im Verlauf der Spielzeit 2007 kam er schließlich zu zwei Kurzeinsätzen in der Allsvenskan. Zu Beginn des folgenden Jahres wurde er an den Nachbarklub Vasalunds IF für zwei Spielzeiten in die drittklassige Division 1 verliehen. Mit 18 Saisontoren trug er zum Aufstieg des Klubs in die zweitklassige Superettan bei, dort war er in der Zweitliga-Spielzeit 2009 mit zwölf Toren ähnlich erfolgreich. Anschließend kehrte er zu Djurgårdens IF zurück, wo er zwischen Startelf und Ersatzbank schwankte. Dennoch war er auch hier mit neun Saisontoren einer der erfolgreichsten Schützen in der Liga, in der Spielzeit 2011 erzielte er sechs Tore.
Nach einem Konflikt mit der sportlichen Leitung um Magnus Pehrsson war Igboananike zeitweise in die Reservemannschaft verbannt worden, nach Auslaufen seines Vertrages Ende 2012 schloss er sich dem Erzrivalen AIK an. Bei seinem neuen Klub unterzeichnete er einen Drei-Jahres-Vertrag. Unter Trainer Andreas Alm gehörte er auf Anhieb zu den Stammspielern, mit 14 Saisontoren platzierte er sich unter den besten drei Torschützen in der Spielzeit 2013 und führte den Klub damit zur Vizemeisterschaft hinter Malmö FF. In der folgenden Spielzeit konnte er nicht an den Erfolg anknüpfen, letztlich erzielte er im gesamten Saisonverlauf fünf Tore. Dennoch qualifizierte sich der Verein als Tabellendritter erneut für die Qualifikationsrunden zur UEFA Europa League.
Im Dezember 2014 verließ Igboananike AIK und Schweden, er schloss sich dem US-amerikanischen MLS-Franchise Chicago Fire an.

title: Kennedy Igboananike

wikitext:
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'''Kennedy Igboananike''' (* [[26. Februar]] [[1989]]) ist ein [[Nigeria|nigerianischer]] [[Fußball]]spieler. Der [[Stürmer (Fußball)|Stürmer]] bestritt seine bisherige Karriere im Erwachsenenbereich in [[Schweden]], den [[Vereinigte Staaten|Vereinigten Staaten]], [[Griechenland]] und [[Saudi-Arabien]].

== Werdegang ==
Igboananike spielte in seinem Heimatland bei der ''Dynamos Football Academy'' in [[Lagos]]. Im Frühjahr 2007 schloss er sich dem Stockholmer Klub [[Djurgårdens IF Fotbollsförening|Djurgårdens IF]] an, bei dem er zunächst in der Nachwuchsmannschaft eingesetzt wurde. Im Verlauf der [[Fotbollsallsvenskan 2007|Spielzeit 2007]] kam er schließlich zu zwei Kurzeinsätzen in der [[Fotbollsallsvenskan|Allsvenskan]]. Zu Beginn des folgenden Jahres wurde er an den Nachbarklub [[Vasalunds IF]] für zwei Spielzeiten in die drittklassige [[Division 1 (Schweden)|Division 1]] verliehen. Mit 18 Saisontoren trug er zum Aufstieg des Klubs in die zweitklassige [[Superettan]] bei, dort war er in der [[Superettan 2009|Zweitliga-Spielzeit 2009]] mit zwölf Toren ähnlich erfolgreich. Anschließend kehrte er zu Djurgårdens IF zurück, wo er zwischen Startelf und Ersatzbank schwankte. Dennoch war er auch hier mit neun Saisontoren einer der erfolgreichsten Schützen in der Liga, in der [[Fotbollsallsvenskan 2011|Spielzeit 2011]] erzielte er sechs Tore.

Nach einem Konflikt mit der sportlichen Leitung um [[Magnus Pehrsson]] war Igboananike zeitweise in die Reservemannschaft verbannt worden, nach Auslaufen seines Vertrages Ende 2012 schloss er sich dem Erzrivalen [[AIK Solna|AIK]] an.<ref>[http://www.svenskafans.com/fotboll/Kennedy-Igboananike-klar-for-AIK-461276.aspx svenskafans.com: „Kennedy Igboananike klar för AIK“] (abgerufen am 9. Juli 2013)</ref> Bei seinem neuen Klub unterzeichnete er einen Drei-Jahres-Vertrag.<ref>{{Webarchiv|url=http://www.aikfotboll.se/Article.aspx?contentID=6373 |wayback=20150109022509 |text=aikfotboll.se: „Kennedy Igboananike till AIK“ |archiv-bot=2019-04-22 19:16:29 InternetArchiveBot }} (abgerufen am 9. Juli 2013)</ref> Unter Trainer [[Andreas Alm]] gehörte er auf Anhieb zu den Stammspielern, mit 14 Saisontoren platzierte er sich unter den besten drei Torschützen in der [[Fotbollsallsvenskan 2013|Spielzeit 2013]] und führte den Klub damit zur Vizemeisterschaft hinter [[Malmö FF]]. In der folgenden Spielzeit konnte er nicht an den Erfolg anknüpfen, letztlich erzielte er im gesamten Saisonverlauf fünf Tore. Dennoch qualifizierte sich der Verein als Tabellendritter erneut für die Qualifikationsrunden zur [[UEFA Europa League]].

Im Dezember 2014 verließ Igboananike AIK und Schweden, er schloss sich dem US-amerikanischen MLS-Franchise [[Chicago Fire (MLS)|Chicago Fire]] an.<ref>{{Webarchiv|url=http://www.aikfotboll.se/Article.aspx?contentID=8955 |wayback=20141206030339 |text=aikfotboll.se: „AIK säljer Igboananike till Chicago“ |archiv-bot=2019-04-22 19:16:29 InternetArchiveBot }} (abgerufen am 13. Januar 2015)</ref>

== Weblinks ==
* [http://www.aik.se/fotboll/statistik/player.php?id=828 Kennedy Igboananike] in der Datenbank von aikfotboll.se
* [http://svenskfotboll.se/allsvenskan/person/?playerid=6208 Kennedy Igboananike] in der Datenbank von svenskfotboll.se
* [http://www.eliteprospects.com/football/player.php?player=427 Kennedy Igboananike] in der Datenbank von eliteprospects.com

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Igboananike, Kennedy}}
[[Kategorie:Fußballspieler (Djurgårdens IF Fotbollsförening)]]
[[Kategorie:Fußballspieler (Vasalunds IF)]]
[[Kategorie:Fußballspieler (AIK Solna)]]
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[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Igboananike, Kennedy
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|KURZBESCHREIBUNG=nigerianischer Fußballspieler
|GEBURTSDATUM=26. Februar 1989
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}}

title: Personalia

Geburtstag: 26. Februar 1989

Geburtsort: Nigeria

Position: Stürmer

title: Junioren

Jahre: Station

bis 2006: Dynamo Football Academy Lagos

Djurgårdens IF

title: Herren

Jahre: Station · Spiele (Tore)1

Djurgårdens IF · 62 (15)

→ Vasalunds IF (Leihe) · 51 (29)

Chicago Fire · 49 (11)

D.C. United · 7 (1)

Veria FC · 0 (0)

Örebro SK · 47 (18)

al-Hazem · 13 (4)

Herren: 1 Angegeben sind nur Ligaspiele. · Stand: Anfang 2020