text:
# Лемніскатна еліптична функція
У математиці лемніскатна еліптична функція — це еліптична функція, що пов'язана з довжиною дуги лемніскати Бернуллі.
Вперше вона була досліджена Джуліо Карло де Тоскі ді Фаньяно у 1718 році, та пізніше Леонардом Ейлером, Карлом Фрідріхом Гаусом та іншими.
Лемніскатні функції синуса та косинуса, для позначення яких зазвичай використовують символи {\displaystyle \operatorname {sl} } й {\displaystyle \operatorname {cl} } (іноді {\displaystyle \operatorname {sinlem} }, {\displaystyle \operatorname {coslem} } або {\displaystyle \operatorname {sinlemn} } та {\displaystyle \operatorname {coslemn} }), є аналогами тригонометричних функцій синуса та косинуса.
У той час як тригонометричний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди в колі одиничного діаметра {\displaystyle x^{2}+y^{2}=x}, лемніскатний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди лемніскати {\displaystyle {\big (}x^{2}+y^{2}{\big )}^{2}=x^{2}-y^{2}}.
Періоди лемніскатних функції пов'язані з числом {\displaystyle \varpi =2{,}622057\dots }, яке називають лемніскатною константою, що є відношенням лемніскатного периметра до його діаметра.
Функції {\displaystyle \operatorname {sl} } та {\displaystyle \operatorname {cl} } мають квадратну періодичну ґратку (кратну гауссовим цілим числам) з фундаментальними періодами {\displaystyle {\big \{}(1+{\rm {i}})\varpi ,(1-{\rm {i}})\varpi {\big \}}}, і є окремим випадком двох еліптичних функцій Якобі на цій ґратці, {\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;{\rm {i}})}, {\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;{\rm {i}})}.
Аналогічно, гіперболічні лемніскатичні функції {\displaystyle \operatorname {slh} } та {\displaystyle \operatorname {clh} } мають квадратну періодичну ґратку з фундаментальними періодами {\displaystyle {\big \{}{\sqrt {2}}\varpi ,{\sqrt {2}}\varpi {\rm {i}}{\big \}}}.
Лемніскатні функції та гіперболічні функції пов'язані з еліптичною функцією Веєрштраса {\displaystyle \wp (z;a,0)}.

## Лемніскатні функції синуса та косинуса

### Означення
Лемніскатні функції {\displaystyle \operatorname {sl} } та {\displaystyle \operatorname {cl} } можна визначити відповідно як розв'язки задач Коші:
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {sl} z={\big (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\big )}\operatorname {cl} z,\quad \operatorname {sl} (0)=0,\\&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {cl} z=-{\big (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\big )}\operatorname {sl} z,\quad \operatorname {cl} (0)=1,\end{aligned}}}
або, еквівалентно, визначити як обернені функції для еліптичного інтеграла, тобто як відображення Шварца–Крістофеля з одиничного круга комплексної площини у квадрат з кутами {\displaystyle {\big \{}{\tfrac {1}{2}}\varpi ,{\tfrac {1}{2}}\varpi {\rm {i}},-{\tfrac {1}{2}}\varpi ,-{\tfrac {1}{2}}\varpi {\rm {i}}{\big \}}}:
{\displaystyle z=\int _{0}^{\operatorname {sl} z}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{\operatorname {cl} z}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.}
Поза цим квадратом функції можуть бути аналітично продовжені на всю комплексну площину за допомогою серій віддзеркалень.
Для порівняння, функції синуса і косинуса на колі можна визначити, відповідно, як розв'язки задач Коші:
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\sin z=\cos z,\quad \sin(0)=0,\\&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\cos z=-\sin z,\quad \cos(0)=1,\end{aligned}}}
або як обернені функції для відображення з верхньої півплощини в напівнескінченну смугу з дійсними частинами між {\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi } та {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }, і додатною уявною частиною:
{\displaystyle z=\int _{0}^{\sin z}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int _{\cos z}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{2}}}}.}

### Довжина кривої лемніскати Бернулі
Лемніската Бернулі з напівшириною 1 є геометричним місцем точок на площині таких, що добуток відстані від яких до двох фокусних точок {\displaystyle F_{1}={\big (}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0{\big )}} та {\displaystyle F_{2}={\big (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0{\big )}} є константа {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}.
Це є плоска крива четвертого порядку, що задовольняє рівняння {\displaystyle r^{2}=\cos 2\theta } в полярних координатах або рівняння {\displaystyle {\big (}x^{2}+y^{2}{\big )}^{2}=x^{2}-y^{2}} в декартових координатах.
Точки на лемніскаті на відстані {\displaystyle r} від початку координат є перетинами кола {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} та гіперболи {\displaystyle x^{2}-y^{2}=r^{4}}.
Точка перетину у першій чверті має наступні декартові координати:
{\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\bigg (}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\big (}1+r^{2}{\big )}}},{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\big (}1-r^{2}{\big )}}}{\bigg )}.}
Використовуючи параметризацію з {\displaystyle r\in [0,1]} для чверті лемніскати, довжину кривої від початку координат до точки {\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}} дорівнює:
{\displaystyle \int _{0}^{r}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,{\rm {d}}t=\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2t^{2})^{2}}{2(1+t^{2})}}+{\frac {(1-2t^{2})^{2}}{2(1-t^{2})}}}}\,{\rm {d}}t=\int _{0}^{r}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\operatorname {arcsl} r.}
Аналогічно, довжина кривої від точки {\displaystyle (1,0)} до точки {\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}} дорівнює:
{\displaystyle \int _{r}^{1}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}{\rm {d}}t=\int _{r}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\operatorname {arccl} r={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} r.}
Або у зворотньому порядку, за допомогою лемніскатних функцій синуса та косинуса визначають відстань від початку координат як функції довжини кривої, відповідно від початку координат до точки {\displaystyle (1,0)}.
Аналогічно, функції синуса та косинуса пов'язують довжину хорди з довжиною кривої в колі одиничного діаметра, яке задається рівнянням {\displaystyle r=\cos \theta } в полярних координатах, або рівнянням {\displaystyle x^{2}+y^{2}=x} в декартових координатах, використовуючи вищезгадані аргументи, але з параметризацією:
{\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}r^{2},{\sqrt {r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}{\biggr )}.}
Лемніскатний інтеграл та лемніскатні функції задовольняють тотожності подвійного аргументу, яку запропонував Фаньяно у 1718 році:
{\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2\int _{0}^{u}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}},}
якщо
{\displaystyle z={\frac {2u{\sqrt {1-u^{4}}}}{1+u^{4}}}\quad {\text{та}}\quad 0\leq u\leq {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}.}
Пізніше математики узагальнили цей результат.
За аналогією з конструктивними багатокутниками на колі лемніскату можна розділити на {\displaystyle n} сегментів однакової довжини дуг, використовуючи тільки циркуль та лінійку тоді й лише тоді, коли {\displaystyle n} має вигляд {\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}}, де {\displaystyle k} — натуральне число, а всі {\displaystyle p_{j}} (якщо є) — різні числа Ферма.
«Необхідність» в теоремі була доведена Нільсом Абелем в 1827—1828 роках, а «достатність» була доведена Майклом Розеном в 1981 році.
Еквівалентно, лемніскату можна розділити на {\displaystyle n} сегментів рівної довжини дуг, використовуючи тільки циркуль та лінійку, тоді й лише тоді, коли {\displaystyle \log _{2}\varphi (n)} є натуральним числом (де {\displaystyle \varphi (n)} є функцією Ейлера).
Лемніската не вважається намальованою, а теорема відноситься лише до побудови точок поділу.
Нехай {\displaystyle r_{j}=\operatorname {sl} {\tfrac {2j\varpi }{n}}}, тоді {\displaystyle n} точками поділу для лемніскати {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}} є
{\displaystyle \left(r_{j}{\sqrt {\frac {1+r_{j}^{2}}{2}}},(-1)^{\left\lfloor {\frac {1}{2}}-{\frac {2j}{n}}\right\rfloor }r_{j}{\sqrt {\frac {1-r_{j}^{2}}{2}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots ,n\},}
де {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor } — функція підлоги.
Нижче наведені деякі частинні значення для {\displaystyle \operatorname {sl} {\tfrac {2\varpi }{n}}}.

### Довжина дуги кривої пружного деформування
Обернена функція лемніскати синуса описує довжину {\displaystyle s} дуги відносно координати {\displaystyle x} кривої пружного деформування.
Ця крива має координату {\displaystyle y} і довжину дуги:
{\displaystyle y=\int _{x}^{1}{\frac {t^{2}\,{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad s=\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.}
Крива пружного деформування є розв'язком задачі, яку запропонував Якоб Бернуллі в 1691 для опису форм ідеалізованого гнучкого стержня, зафіксованого у вертикальному положенні у нижньому кінці і який відтягується від верхнього кінця до горизонтально положення.
Запропонований Бернуллі розв'язок став основою теорії балки Ейлера--Бернуллі, яка була розроблена Ейлером в 18 столітті.

### Лемніскатна константа
Лемніскатні функції мають мінімальний період {\displaystyle 2\varpi } і фундаментальні комплексні періоди {\displaystyle (1+{\rm {i}})\varpi } та {\displaystyle (1-{\rm {i}})\varpi } для константи {\displaystyle \varpi } (у позначеннях Гауса), яку називають лемніскатною константою,
{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=2\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {t-t^{3}}}}\\&=4\int _{0}^{\infty }\left({\sqrt[{4}]{1+t^{4}}}-t\right)\,{\rm {d}}t=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{1}{\sqrt[{4}]{1-t^{4}}}\mathop {{\rm {d}}t} =3\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{4}}}\,{\rm {d}}t\\&=2K({\rm {i}})={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {2\pi }}}}={\sqrt {\pi }}{\rm {e}}^{\beta '(0)}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{4}}{\frac {\zeta (3/4)^{2}}{\zeta (1/4)^{2}}}\\&=2{,}62205\;75542\;92119\;81046\;48395\;89891\;11941\ldots ,\end{aligned}}}
де {\displaystyle K} — повний еліптичний інтеграл першого роду з модулем {\displaystyle k}, {\displaystyle {\rm {B}}} —— бета-функція, {\displaystyle \gamma } — гамма-функція, {\displaystyle \beta '} — похідна бета-функції Діріхле, {\displaystyle \varsigma } — дзета-функція Рімана. Однак іноді величину {\displaystyle 2\varpi } називають лемніскатною константою, і одна з «лемніскатних констант» Джона Тодда — це величина {\displaystyle \varpi /2}.
Тут використовується лише позначення Гауса для опису лемніскатної константи.
Геометрично, {\displaystyle \varpi } є відношенням периметра лемніскати Бернуллі до її діаметра.
Трансцендентність лемніскатної константи була доведена Теодором Шнайдером в 1937 році.
У 1975 році Григорій Чудновський довів, що {\displaystyle \pi } і {\displaystyle \varpi } є алгебраїчно незалежними над полем {\displaystyle \mathbb {Q} }.
Пов'язана константа {\displaystyle G=\varpi /\pi =0{,}8346\ldots } є константою Гаусса.
Лемніскатні функції задовольняють основне співвідношення{\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}.}
Крім того, константа {\displaystyle \varpi } пов'язана з площею під кривою {\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}.
Нехай {\displaystyle \pi _{n}:={\rm {B}}{\bigl (}{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}}, тоді подвійна площа в першій чверті під кривою {\displaystyle x^{n}+y^{n}=1} дорівнює {\displaystyle 2\int _{0}^{1}{\sqrt[{n}]{1-x^{n}}}\,{\rm {d}}x={\tfrac {1}{n}}\pi _{n}.}
У випадку рівняння четвертого порядку: {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi _{4}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\varpi }.
У 1738 році Ейлер відкрив, що для кривої пружного деформування:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arc} \operatorname {length} \cdot \operatorname {height} =\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{4}}}}\cdot \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{4}}}}={\frac {\varpi }{2}}\cdot {\frac {\pi }{2\varpi }}={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}
Формула Вієта для числа {\displaystyle \pi } може бути записана як
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots .\end{aligned}}}
Аналогічна формула для {\displaystyle \varpi }:
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}/{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots .\end{aligned}}}
Формула Валіса для {\displaystyle \pi }:
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{(-1)^{n+1}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\biggr )}\cdots .\end{aligned}}}
Аналогічна формула для {\displaystyle \varpi }:
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\varpi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n-2}}\cdot {\frac {4n}{4n+1}}\right)=\\&={\biggl (}{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {7}{6}}\cdot {\frac {8}{9}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {11}{10}}\cdot {\frac {12}{13}}{\biggr )}\cdots .\end{aligned}}}
Пов'язаною з цим результатом є формула:
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\varpi }{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n}}\cdot {\frac {4n+2}{4n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {3}{4}}\cdot {\frac {6}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {7}{8}}\cdot {\frac {10}{9}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {11}{12}}\cdot {\frac {14}{13}}{\biggr )}\cdots .\end{aligned}}}
Нескінченний ряд для {\displaystyle \varpi /\pi } отриманий Гауссом має вигляд:
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\varpi }{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k-1)^{2}}{(2k)^{2}}}=1-{\frac {1^{2}}{2^{2}}}+{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}}}-{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}\cdot 6^{2}}}+\cdots .\end{aligned}}}
Формула Мачіна для {\displaystyle \pi } має вигляд {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{5}}-\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{239}}}, і декілька аналогічних формул для {\displaystyle \pi } можна отримати з використанням тригонометричних формул для суми кутів, наприклад, формула Ейлера {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{3}}.}
Аналогічні формули можна записати і для {\displaystyle \varpi }, включаючи ті, що знайшов Гаусс:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}.}
Лемніскатну константу можна швидко обчислити за допомогою ряду:
{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi =2^{-1/2}\pi \left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm {e}}^{-\pi n^{2}}\right)^{2}=2^{1/4}\pi {\rm {e}}^{-\pi /12}\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-\pi p_{n}}\right)^{2},\end{aligned}}}
де {\displaystyle p_{n}=(3n^{2}-n)/2} (для {\displaystyle n\geq 1}, це п'ятикутне число), або з використанням середнього арифметико-геометричного {\displaystyle \operatorname {M} }:
{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi ={\frac {\pi }{\operatorname {M} {\big (}1,{\sqrt {2}}{\big )}}}.\end{aligned}}}
У дусі аналогічному до базельської задачі можна записати наступну формулу:
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{z\in \mathbb {Z} [{\rm {i}}]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}({\rm {i}})={\frac {\varpi ^{4}}{15}},\end{aligned}}}
де {\displaystyle \mathbb {Z} [{\rm {i}}]} — гауссові числа, {\displaystyle G_{4}(\tau )} — ряд Ейзенштейна з вагою 4.

### Нулі, полюси і симетрії
При зсуві на {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi } лемніскатні функції {\displaystyle \operatorname {cl} } і {\displaystyle \operatorname {sl} } переходять одна в одну, а при зсуві на {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\rm {i}}\varpi } функції є додатково повернутими та взаємооберненими:
{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&\operatorname {cl} {\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}=\mp \operatorname {sl} z,\quad &&\operatorname {cl} {\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}{\rm {i}}\varpi {\bigr )}={\frac {\mp {\rm {i}}}{\operatorname {sl} z}},\\&\operatorname {sl} {\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}=\pm \operatorname {cl} z,\quad &&\operatorname {sl} {\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}{\rm {i}}\varpi {\bigr )}={\frac {\pm {\rm {i}}}{\operatorname {cl} z}}.\end{alignedat}}}
Подвоєння цих зсувів одиничними елементами гауссових цілих чисел кратних {\displaystyle \varpi } (тобто {\displaystyle \pm \varpi } або {\displaystyle \pm {\rm {i}}\varpi }) приводить до зміни знаку функцій (інволюції):
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (z+\varpi )=\operatorname {cl} (z+{\rm {i}}\varpi )=-\operatorname {cl} z,\\\operatorname {sl} (z+\varpi )=\operatorname {sl} (z+{\rm {i}}\varpi )=-\operatorname {sl} z.\end{aligned}}}
Як наслідок, обидві функції інваріантні відносно зсуву на парне гаусове ціле число кратне {\displaystyle \varpi }. Тобто, перестановка {\displaystyle (a+b{\rm {i}})\varpi } {\displaystyle a+b=2k} для цілих чисел {\displaystyle a}, {\displaystyle b}, {\displaystyle k}:
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} {\bigl (}z+(1+{\rm {i}})\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl} {\bigl (}z+(1-{\rm {i}})\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl} z,\\&\operatorname {sl} {\bigl (}z+(1+{\rm {i}})\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl} {\bigl (}z+(1-{\rm {i}})\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl} z.\end{aligned}}}
Це робить їх еліптичними функціями (двічі періодичні мероморфні функції в комплексній площині) з діагонально-квадратною періодичною ґраткою фундаментальних періодів {\displaystyle (1+{\rm {i}})\varpi } та {\displaystyle (1-{\rm {i}})\varpi }.
Еліптичні функції з періодичною квадратною ґраткою більш симетричні, ніж довільні еліптичні функції, що слідують симетрії ґратки.
Віддзеркалення і повороти на чверть обороту аргументів лемніскатної функції мають прості вирази:
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} {\bar {z}}={\overline {\operatorname {cl} z}},\\&\operatorname {sl} {\bar {z}}={\overline {\operatorname {sl} z}},\\&\operatorname {cl} {\rm {i}}z={\frac {1}{\operatorname {cl} z}},\\&\operatorname {sl} {\rm {i}}z={\rm {i}}\operatorname {sl} z.\end{aligned}}}
Функція {\displaystyle \operatorname {sl} } має прості нулі в гаусових цілих числах кратних {\displaystyle \varpi }, комплексних числах вигляду {\displaystyle a\varpi +b\varpi {\rm {i}}} для цілих чисел {\displaystyle a} і {\displaystyle b}.
Вона має прості полюси у гаусових напівцілих числах кратних {\displaystyle \varpi }, комплексних числах вигляду {\displaystyle {\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi {\rm {i}}} з лишком {\displaystyle (-1)^{a-b+1}{\rm {i}}}.
Функція {\displaystyle \operatorname {cl} } віддзеркалюється і зміщується від функції {\displaystyle \operatorname {sl} }, {\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}}.
Вона має нулі при аргументах {\displaystyle {\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +b\varpi {\rm {i}}} і полюси при аргументах {\displaystyle a\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi {\rm {i}}} з лишками {\displaystyle (-1)^{a-b}{\rm {i}}}.
Оскільки лемніскатний синус є мероморфною функцією, то його можна записати як відношення голоморфних функцій.
Гаусс показав, що функція {\displaystyle \operatorname {sl} } має наступний розклад через добутки, який відображає розподіл його нулів і полюсів:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} z={\frac {M(z)}{N(z)}},\end{aligned}}}
де
{\displaystyle {\begin{aligned}M(z)=z\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-{\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}}\right).\end{aligned}}}
Тут, {\displaystyle \alpha } і {\displaystyle \beta } — відповідно нулі та полюси функції {\displaystyle \operatorname {sl} }, які знаходяться у першій чверті {\displaystyle \operatorname {Re} z>0}, {\displaystyle \operatorname {Im} z\geq 0}.
Гаусс висунув гіпотезу, що {\displaystyle \ln N(\varpi )=\pi /2} (пізніше це було доведено), і зауважив, що це «чудова властивість і її доведення обіцяє серйозний прогрес в аналізі».
Існують також нескінченні ряди, що відображають розподіл нулів і полюсів функції {\displaystyle \operatorname {sl} }:
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi {\rm {i}}}},\\&\operatorname {sl} z=-{\rm {i}}\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi {\rm {i}}}}.\end{aligned}}}

### Тотожність піфагорійського типу
Лемніскатні функції задовольняють тотожність піфагорійського типу:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} ^{2}z+\operatorname {sl} ^{2}z+\operatorname {cl} ^{2}z\operatorname {sl} ^{2}z=1.\end{aligned}}}
Як результат, {\displaystyle (x,y)=(\operatorname {cl} t,\operatorname {sl} t)} — параметричне рівняння для кривої четвертого порядку {\displaystyle x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=1}.
Цю тотожність можна також представити як
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\bigr )}{\bigl (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\bigr )}=2,\\&\operatorname {cl} ^{2}z={\frac {1-\operatorname {sl} ^{2}z}{1+\operatorname {sl} ^{2}z}},\quad \operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1-\operatorname {cl} ^{2}z}{1+\operatorname {cl} ^{2}z}}.\end{aligned}}}
Позначивши оператор тангенса суми як {\displaystyle a\oplus b:=\operatorname {tg} (\operatorname {arctg} a+\operatorname {arctg} b)}, отримуємо
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} ^{2}z\oplus \operatorname {sl} ^{2}z=1.\end{aligned}}}

### Похідні та інтеграли
Похідні:
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=\operatorname {cl} 'z=-{\bigl (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {sl} z=-{\frac {2\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} ^{2}z+1}},\\&\operatorname {cl} '^{2}z=1-\operatorname {cl^{4}} z,\\&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {sl} z=\operatorname {sl} 'z={\bigl (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {cl} z={\frac {2\operatorname {cl} z}{\operatorname {cl} ^{2}z+1}},\\&\operatorname {sl} '^{2}z=1-\operatorname {sl} ^{4}z.\end{aligned}}}
Другі похідні лемніскатних функцій синуса і косинуса є їх від'ємними подвійними кубами:
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}z^{2}}}\operatorname {cl} z=-2\operatorname {cl} ^{3}z,\\{\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}z^{2}}}\operatorname {sl} z=-2\operatorname {sl} ^{3}z.\end{aligned}}}
Інтеграли від лемніскатні функції виражаються через функцію арктангенс:
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \operatorname {cl} z\,{\rm {d}}z=\operatorname {arctg} \operatorname {sl} z+C,\\&\int \operatorname {sl} z\,{\rm {d}}z=-\operatorname {arctg} \operatorname {cl} z+C.\end{aligned}}}

### Сума аргументів і деякі тотожності
Як і тригонометричні функції, леменіскатні функції задовольняють тотожності для суми і різниці аргументів.
Оригінальна тотожність, яку використовував Фаньяно для поділу навпіл лемніскати, має наступний вигляд:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} (u+v)={\frac {\operatorname {sl} u\operatorname {sl} 'v+\operatorname {sl} v\operatorname {sl} 'u}{1+\operatorname {sl} ^{2}u\operatorname {sl} ^{2}v}}.\end{aligned}}}
З використанням похідних і тотожності піфагорійського типу можна записати тотожність Фаньяно в термінах функцій {\displaystyle \operatorname {sl} } і {\displaystyle \operatorname {cl} }.
Визначаючи оператор тангенса суми {\displaystyle a\oplus b:=\operatorname {tg} (\operatorname {arctg} a+\operatorname {arctg} b)} і оператор тангенса різниці {\displaystyle a\ominus b:=a\oplus (-b)}, формули для суми і різниці аргументів можуть бути представлені як
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} (u+v)=\operatorname {cl} u\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {sl} u\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {cl} u\operatorname {cl} v-\operatorname {sl} u\operatorname {sl} v}{1+\operatorname {sl} u\operatorname {cl} u\operatorname {sl} v\operatorname {cl} v}},\\&\operatorname {cl} (u-v)=\operatorname {cl} u\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {sl} u\ \operatorname {sl} v,\\&\operatorname {sl} (u+v)=\operatorname {sl} u\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {cl} u\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {sl} u\operatorname {cl} v+\operatorname {cl} u\operatorname {sl} v}{1-\operatorname {sl} u\operatorname {cl} u\operatorname {sl} v\operatorname {cl} v}},\\&\operatorname {sl} (u-v)=\operatorname {sl} u\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {cl} u\operatorname {sl} v.\end{aligned}}}
Вони нагадують відповідні тригонометричні аналоги:
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp \sin u\sin v,\\\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm \cos u\sin v.\end{aligned}}}
Формули половинного аргументу:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1+\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}},\\\operatorname {sl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1-\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}}.\end{aligned}}}
Формули подвійного аргументу:
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} 2x={\frac {-1+2\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{4}x}{1+2\operatorname {cl} ^{2}x-\operatorname {cl} ^{4}x}},\\&\operatorname {sl} 2x=2\operatorname {sl} x\operatorname {cl} x{\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x}{1+\operatorname {sl} ^{4}x}}.\end{aligned}}}
Формули потрійного аргументу:
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} 3x={\frac {-3\operatorname {cl} x+6\operatorname {cl} ^{5}x+\operatorname {cl} ^{9}x}{1+6\operatorname {cl} ^{4}x-3\operatorname {cl} ^{8}x}},\\&\operatorname {sl} 3x={\frac {3\operatorname {sl} x-6\operatorname {sl} ^{5}x-\operatorname {sl} ^{9}x}{1+6\operatorname {sl} ^{4}x-3\operatorname {sl} ^{8}x}}.\end{aligned}}}

### Лемнатомні многочлени
Нехай {\displaystyle L} — ґратка вигляду:
{\displaystyle {\begin{aligned}L=\mathbb {Z} (1+{\rm {i}})\varpi +\mathbb {Z} (1-{\rm {i}})\varpi .\end{aligned}}}
Крім того, нехай {\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\rm {i}})}, {\displaystyle {\mathcal {O}}=\mathbb {Z} [{\rm {i}}]}, {\displaystyle z\in \mathbb {C} }, {\displaystyle \beta =m+{\rm {i}}n}, {\displaystyle {\gamma }=m'+{\rm {i}}n'} (де {\displaystyle m,n,m',n'\in \mathbb {Z} }), {\displaystyle m+n} та {\displaystyle m'+n'} — непарні, {\displaystyle {\gamma }\equiv 1\ {\rm {mod}}\ 2(1+{\rm {i}})} і {\displaystyle \operatorname {sl} \beta z=M_{\beta }(\operatorname {sl} z)}. Тоді
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{\beta }(x)={\rm {i}}^{\varepsilon }x{\frac {P_{\beta }(x^{4})}{Q_{\beta }(x^{4})}}\end{aligned}}}
для деяких взаємно простих многочленів {\displaystyle P_{\beta }(x),Q_{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]} та деяких {\displaystyle \varepsilon \in \{0,1,2,3\}}, де
{\displaystyle {\begin{aligned}xP_{\beta }(x^{4})=\prod _{\gamma |\beta }\Lambda _{\gamma }(x),\end{aligned}}}
та
{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in ({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }}(x-\operatorname {sl} \alpha \delta _{\beta }),\end{aligned}}}
де {\displaystyle \delta _{\beta }} — будь-який генератор {\displaystyle \beta }-скруту (тобто {\displaystyle [\delta _{\beta }]\in (1/\beta )L}, і {\displaystyle [\delta _{\beta }]\in (1/\beta )L/L} породжує {\displaystyle (1/\beta )L/L} як {\displaystyle {\mathcal {O}}}-модуль).
Прикладами генераторів {\displaystyle \beta }-скруту є {\displaystyle 2\varpi /\beta } та {\displaystyle (1+{\rm {i}})\varpi /\beta }.
Многочлен {\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]} називається {\displaystyle \beta }-лемнатомним многочленом.
Це мономорфізм, має степінь {\displaystyle \left|({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }\right|}, і є незвідним над полем {\displaystyle \mathbb {K} }.
Лемнатомний многочлен є «лемніскатним аналогом» многочлену поділу кола,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{n}(x)=\prod _{[a]\in (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}\left(x-{\rm {e}}^{2a\pi {\rm {i}}/n}\right).\end{aligned}}}
{\displaystyle \beta }-лемнатомний многочлен {\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)} є мінімальним многочленом для {\displaystyle \operatorname {sl} \delta _{\beta }} в {\displaystyle \mathbb {K} [x]}.
Наприклад, мінімальним многочленом для {\displaystyle \operatorname {sl} (2\varpi /5)} (а також для {\displaystyle \operatorname {sl} ((1+{\rm {i}})\varpi /5))} в {\displaystyle \mathbb {K} [x]} є
{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{5}(x)=x^{16}+52x^{12}-26x^{8}-12x^{4}+1,\end{aligned}}}
та
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} {\frac {2\varpi }{5}}={\sqrt[{4}]{-13+6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85-38{\sqrt {5}}}}}}\end{aligned}}}
(еквівалентний вираз наведено в таблиці нижче). Іншим прикладом є
{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{-1+2{\rm {i}}}(x)=x^{4}-1+2{\rm {i}},\end{aligned}}}
що є мінімальним многочленом для {\displaystyle \operatorname {sl} (2\varpi /(-1+2{\rm {i}}))} (а також для {\displaystyle \operatorname {sl} ((1+{\rm {i}})\varpi /(-1+2{\rm {i}}))=\operatorname {sl} ((1-3{\rm {i}})\varpi /5)} в {\displaystyle \mathbb {K} [x]}.

### Частинні значення
Так само, як і для тригонометричних функцій, значення лемніскатних функцій можна обчислити для поділів лемніскати на {\displaystyle n} частин однакової довжини, використовуючи лише елементарну арифметику і квадратні корені, тоді й лише тоді, коли {\displaystyle n} має вигляд {\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}}, де {\displaystyle k} — невід'ємне ціле число, і кожне {\displaystyle p_{\rm {i}}} (якщо є) — це різні прості числа Ферма.
Співвідношення стають громіздким по мірі зростання {\displaystyle n}.
Нижче наведено вирази для ділення лемніскати {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}} на {\displaystyle n} частин рівної довжини для деяких {\displaystyle n\leq 20}.
| {\displaystyle n}  | {\displaystyle \operatorname {cl} {\tfrac {2\varpi }{n}}}                                                                            | {\displaystyle \operatorname {sl} {\tfrac {2\varpi }{n}}}                                                                            |
| ------------------ | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ |
| {\displaystyle 2}  | {\displaystyle -1}                                                                                | {\displaystyle 0}                                                                                |
| {\displaystyle 4}  | {\displaystyle 0}                                                                                | {\displaystyle 1}                                                                                |
| {\displaystyle 5}  | {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}({\sqrt[{4}]{5}}-1)\left({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}-1\right)}                                             | {\displaystyle {\tfrac {1}{2{\sqrt[{4}]{2}}}}({\sqrt {5}}-1){\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}}                      |
| {\displaystyle 6}  | {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}}                                                      | {\displaystyle {\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}}                                                                                |
| {\displaystyle 8}  | {\displaystyle {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}                                                                                | {\displaystyle {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}                                                                                |
| {\displaystyle 10} | {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt[{4}]{5}}-1{\bigr )}{\Bigl (}{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+1{\Bigr )}}                        | {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {{\sqrt {2{\bigl (}5-{\sqrt {5}}{\bigr )}}}+1-{\sqrt {5}}}}} |
| {\displaystyle 12} | {\displaystyle {\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}}                                                                                | {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}}                                                      |
| {\displaystyle 16} | {\displaystyle {\sqrt {{\bigl (}{\sqrt[{4}]{2}}-1{\bigr )}{\Bigl (}{\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\Bigr )}}}}                 | {\displaystyle {\sqrt {{\bigl (}{\sqrt[{4}]{2}}-1{\bigr )}{\Bigl (}{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\Bigr )}}}}                 |
| {\displaystyle 20} | {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}{\sqrt {{\sqrt {2{\bigl (}5-{\sqrt {5}}{\bigr )}}}-1+{\sqrt {5}}}}} | {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt[{4}]{5}}-1{\bigr )}{\Bigl (}{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}-1{\Bigr )}}                        |

### Степеневий ряд
Розклад в степеневий ряд функції лемніскати синуса у початку координат має вигляд:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z-{\tfrac {1}{10}}z^{5}+{\tfrac {1}{120}}z^{9}-{\tfrac {11}{15600}}z^{13}+\cdots ,\quad z\in \mathbb {C} ,\quad |z|<{\tfrac {\varpi }{\sqrt {2}}},\end{aligned}}}
де коефіцієнти {\displaystyle a_{n}}визначаються як
{\displaystyle {\begin{aligned}&n\not \equiv 1\ ({\rm {mod}}\ {4})\implies a_{n}=0,\\&a_{1}=1,\ \forall n\in \mathbb {N} _{0}\colon \ a_{n+2}=-{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}\sum _{i+j+k=n}a_{i}a_{j}a_{k},\end{aligned}}}
де {\displaystyle i+j+k=n} позначає всі тричленні композиції для числа {\displaystyle n}.
Наприклад, для обчислення {\displaystyle a_{13}} можна побачити, що існує лише шість композицій для {\displaystyle 13-2=11}, які дають ненульовий внесок у суму:
{\displaystyle 11=9+1+1=1+9+1=1+1+9} та {\displaystyle 11=5+5+1=5+1+5=1+5+5}, тому
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{13}&=-{\tfrac {2}{12\cdot 13}}(a_{9}a_{1}a_{1}+a_{1}a_{9}a_{1}+a_{1}a_{1}a_{9}+a_{5}a_{5}a_{1}+a_{5}a_{1}a_{5}+a_{1}a_{5}a_{5})=-{\tfrac {11}{15600}}.\end{aligned}}}

### Зв'язок з еліптичними функціями Веєрштрасса і Якобі
Лемніскатні функції тісно пов'язані з еліптичними функціями Веєрштрасса {\displaystyle \wp (z;1,0)} («лемніскатний випадок») з інваріантами {\displaystyle g_{2}=1} та {\displaystyle g_{3}=0}.
Ця ґратка має фундаментальні періоди {\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {2}}\varpi } та {\displaystyle \omega _{2}={\rm {i}}\omega _{1}}.
Відповідні константи функції Вейєрштрасса мають вигляд: {\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}}, {\displaystyle e_{2}=0}, {\displaystyle e_{3}=-{\tfrac {1}{2}}}.
Пов'язаний випадок еліптичної функції Веєрштрасса з інваріантами {\displaystyle g_{2}=a} та {\displaystyle g_{3}=0} можна отримати за допомогою масштабного перетворення.
Однак, цей випадок може включати комплексні числа.
Якщо потрібно залишатися в межах дійсних чисел, то розглядають два випадки: {\displaystyle a>0} та {\displaystyle a<0}.
Періодичний паралелограм є квадратом або ромбом.
Еліптичну функцію Вейєрштрасса {\displaystyle \wp (z;-1,0)} називають «псевдолемніскатним випадком».
Квадрат лемніскати синуса можна представити як
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\wp (z;4,0)}}={\frac {\rm {i}}{2\wp ((1-{\rm {i}})z;-1,0)}}=-2\wp \left({\sqrt {2}}z+({\rm {i}}-1){\frac {\varpi }{\sqrt {2}}};1,0\right),\end{aligned}}}
де другий і третій аргументи еліптичної функції Веєрштрасса {\displaystyle \wp } — інваріанти ґратки {\displaystyle g_{2}} і {\displaystyle g_{3}}.
Іншим представленням є
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} ^{2}z={\frac {\varpi ^{2}}{\wp (z/\varpi ,{\rm {i}})}},\end{aligned}}}
де другий аргумент еліптичної функції Веєрштрасса {\displaystyle \wp } — відношення періодів {\displaystyle \tau }.
Функція лемніскати синуса є раціональною функцією еліптичної функції Веєрштрасса та її похідної
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} z=-2{\frac {\wp ((1+{\rm {i}})z;1/4,0)}{\wp '((1+{\rm {i}})z;1/4,0)}},\end{aligned}}}
де другий і третій аргументи еліптичної функції Веєрштрасса {\displaystyle \wp } інваріанти ґратки {\displaystyle g_{2}} і {\displaystyle g_{3}}.
У термінах відношення періодів {\displaystyle \tau } отримуємо
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} z=-2{\frac {\wp ((1+{\rm {i}})z/(2\varpi ),{\rm {i}})}{\wp '((1+{\rm {i}})z/(2\varpi ),{\rm {i}})}}.\end{aligned}}}
Лемніскатні функції також можуть бути записані в термінах еліптичних функцій Якобі.
Еліптичні функції Якобі {\displaystyle \operatorname {sn} } та {\displaystyle \operatorname {cd} } з додатним дійсним еліптичним модулем мають «вертикальну» прямокутну ґратку, що зорієнтована з дійсною та уявною осями.
Крім того, функції {\displaystyle \operatorname {sn} } та {\displaystyle \operatorname {cd} } з модулем {\displaystyle {\rm {i}}} (функції {\displaystyle \operatorname {sd} } та {\displaystyle \operatorname {cn} } з модулем {\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}) мають квадратну періодичну ґратку, повернуту на 1/8 оберту:
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;{\rm {i}})={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {sd} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),\\&\operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;{\rm {i}})=\operatorname {cn} \left({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),\end{aligned}}}
де другі аргументи — еліптичний модуль {\displaystyle k}.
Ще одне представлення лемніскатної функції {\displaystyle \operatorname {cl} } у термінах еліптичної функції Якобі {\displaystyle \operatorname {dn} } має вигляд
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} z=\operatorname {dn} (z;{\sqrt {2}}),\end{aligned}}}
де другий аргумент еліптичної функції Якобі {\displaystyle \operatorname {dn} } — еліптичний модуль {\displaystyle k}.

### Зв'язок з модулярною лямбда-функцією
Лемніскатну функцію синуса можна використовувати для обчислення значень модулярної лямбда-функції:
{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\operatorname {sl} \left({\frac {2k-1}{2n+1}}{\frac {\varpi }{2}}\right)={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda ((2n+1){\rm {i}})}{1-\lambda ((2n+1){\rm {i}})}}}.\end{aligned}}}
Наприклад,
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{14}}\varpi {\bigr )},\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {3}{14}}\varpi {\bigr )}\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {5}{14}}\varpi {\bigr )}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (7{\rm {i}})}{1-\lambda (7{\rm {i}})}}}=\operatorname {tg} {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccsc} {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {8{\sqrt {7}}+21}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {7}}+1{\Bigr )}{\Bigr )},\\&\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{18}}\varpi {\bigr )},\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {3}{18}}\varpi {\bigr )},\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {5}{18}}\varpi {\bigr )},\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {7}{18}}\varpi {\bigr )}={\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (9{\rm {i}})}{1-\lambda (9{\rm {i}})}}}=\operatorname {tg} {\Biggl (}{\frac {\pi }{4}}-\operatorname {arctg} {\Biggl (}{\frac {2{\sqrt[{3}]{2{\sqrt {3}}-2}}-2{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {3}}-1}{\sqrt[{4}]{12}}}{\Biggr )}{\Biggr )}.\end{aligned}}}

### Методи обчислення
полягає в наступному:
- {\displaystyle a_{0}\leftarrow 1;} {\displaystyle b_{0}\leftarrow {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}
- for each {\displaystyle n\geq 1} do
  - {\displaystyle a_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+b_{n-1});} {\displaystyle b_{n}\leftarrow {\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}};} {\displaystyle c_{n}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}-b_{n-1})}
  - if {\displaystyle c_{n}<{\textrm {tolerance}}} then
    - {\displaystyle N\leftarrow n;} break
- {\displaystyle \phi _{N}\leftarrow 2^{N}a_{N}{\sqrt {2}}x}
- for each n from N to 0 do
  - {\displaystyle \phi _{n-1}\leftarrow {\tfrac {1}{2}}\left(\phi _{n}+{\arcsin }{\left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \phi _{n}\right)}\right)}
- return {\displaystyle {\frac {\sin \phi _{0}}{\sqrt {2-\sin ^{2}\phi _{0}}}}}

Цей алгоритм ефективно використовує арифметично-геометричне середнє значення і

Декілька методів обчислення функції {\displaystyle \operatorname {sl} x} передбачають спочатку заміну змінних {\displaystyle \pi x=\varpi {\tilde {x}}}, а потім обчислення {\displaystyle \operatorname {sl} (\varpi {\tilde {x}}/\pi )}.
Метод гіперболічних рядів:
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\operatorname {ch} (x-(n+1/2)\pi )}},\\&{\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\operatorname {sh} \left(x-n\pi \right)}}={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{\sin(x-n\pi {\rm {i}})}}.\end{aligned}}}
Метод рядів Фур'є:
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\sin((2n+1)x)}{\operatorname {ch} ((n+1/2)\pi )}},\ \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}},\\&{\frac {1}{\operatorname {sl} (\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi }{\varpi }}\left({\frac {1}{\sin x}}-4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{{\rm {e}}^{(2n+1)\pi }+1}}\right),\ \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi .\end{aligned}}}
Лемніскатні функції можуть бути обчислені більш швидше за допомогою формул
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}={\frac {\theta _{1}\left(x,{\rm {e}}^{-\pi }\right)}{\theta _{3}\left(x,{\rm {e}}^{-\pi }\right)}},\\&\operatorname {cl} {\Bigl (}{\frac {\varpi }{\pi }}x{\Bigr )}={\frac {\theta _{2}\left(x,{\rm {e}}^{-\pi }\right)}{\theta _{4}\left(x,{\rm {e}}^{-\pi }\right)}},\end{aligned}}}
де
{\displaystyle {\begin{aligned}&\theta _{1}(x,{\rm {e}}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n+1}{\rm {e}}^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-\pi (n+1/2)^{2}}\sin((2n+1)x),\\&\theta _{2}(x,{\rm {e}}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm {e}}^{-\pi (n+1/2)^{2}}\cos((2n+1)x),\\&\theta _{3}(x,{\rm {e}}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm {e}}^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm {e}}^{-\pi n^{2}}\cos 2nx,\\&\theta _{4}(x,{\rm {e}}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm {e}}^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-\pi n^{2}}\cos 2nx&\end{aligned}}}
— тета-функції Якобі.
Два інші методи швидкого обчислення використовують наступні формули сум і добутків рядів:
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=f\left({\frac {4\pi }{\varpi }}\sin x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {ch} [(2n-1)\pi ]}{\operatorname {ch} ^{2}[(2n-1)\pi ]-\cos ^{2}x}}\right),\\&\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=f\left({\frac {4\pi }{\varpi }}\cos x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {ch} [(2n-1)\pi ]}{\operatorname {ch} ^{2}[(2n-1)\pi ]-\sin ^{2}x}}\right),\\&\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=2{\rm {e}}^{-\pi /4}\sin x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2{\rm {e}}^{-2n\pi }\cos 2x+{\rm {e}}^{-4n\pi }}{1+2{\rm {e}}^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+{\rm {e}}^{-(4n-2)\pi }}},\\&\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=2{\rm {e}}^{-\pi /4}\cos x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2{\rm {e}}^{-2n\pi }\cos 2x+{\rm {e}}^{-4n\pi }}{1-2{\rm {e}}^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+{\rm {e}}^{-(4n-2)\pi }}},\end{aligned}}}
де {\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} (2\operatorname {arctg} x)=2x/(1-x^{2})}.
Ряд Фур'є для логарифма лемнікатного синуса має вигляд:
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=\ln 2-{\frac {\pi }{4}}+\ln \sin x+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cos 2nx}{n({\rm {e}}^{n\pi }+(-1)^{n})}},\ \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}
Рамануджан відкрив наступні співвідношення для рядів:
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}\operatorname {sl} ^{2}(\varpi x/\pi )}}={\frac {1}{\sin ^{2}x}}-{\frac {1}{\pi }}-8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cos 2nx}{{\rm {e}}^{2n\pi }-1}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi ,\\&\operatorname {arctg} \operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{\pi }}x\right)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{(2n+1)\operatorname {ch} ((n+1/2)\pi )}},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}

## Обернені функції
Оберненою функцією для лемніскатного синуса є лемніскатний арксинус визначений як:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.\end{aligned}}}
Її також можна представити за допомогою гіпергеометричної функції:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x={x}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}};{\tfrac {5}{4}};x^{4}\right).\end{aligned}}}
Оберненою функцією для лемніскатного косинуса є лемніскатний арккосинус.
Ця функція визначається наступним чином:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccl} x=\int _{x}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} x.\end{aligned}}}
Для {\displaystyle x} з інтервалу {\displaystyle -1\leq x\leq 1} отримуємо {\displaystyle \operatorname {sl} (\operatorname {arcsl} x)=x} та {\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {arccl} x)=x}.
Для половини довжини лемніскатної дуги справедливі формули:
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}=\sin {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\arcsin x{\bigr )}\operatorname {sech} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} x{\bigr )},\\&\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr )}^{2}=\operatorname {tg} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\arcsin x^{2}{\bigr )}.\end{aligned}}}

### Співвідношення з використанням еліптичних інтегралів
Лемініскатний арксинус і лемніскатний арккосинус також можна представити за допомогою форми Лежандра.
Ці функції можна представити безпосередньо, використовуючи неповний еліптичний інтеграл першого роду:
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {arcsl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arcsin {\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),\\&\operatorname {arcsl} x=2{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}F\left(\arcsin {\frac {{\big (}{\sqrt {2}}+1{\big )}x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};{\big (}{\sqrt {2}}-1{\big )}^{2}\right).\end{aligned}}}
Довжини дуг лемніскати також можна виразити лише за допомогою довжин дуг еліпсів (обчислених за допомогою еліптичних інтегралів другого роду):
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x={}&{\frac {2+{\sqrt {2}}}{2}}E\left({\arcsin }{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}};({\sqrt {2}}-1)^{2}\right)\\[5mu]&\ \ -E\left({\arcsin }{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{{\sqrt {2}}(1+x^{2}+{\sqrt {1+x^{2}}})}}\end{aligned}}}
Лемніскатний арккосинус має наступне співвідношення:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccl} x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arccos x;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right).\end{aligned}}}

### Використання при інтегруванні
Лемніскатну функцію можна використовувати для інтегрування багатьох функцій.
Ось список важливих інтегралів (константи інтегрування опущені):
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\rm {d}}x=\operatorname {arcsl} x,\\&\int {\frac {1}{\sqrt {{\big (}x^{2}+1{\big )}{\big (}2x^{2}+1{\big )}}}}{\rm {d}}x=\operatorname {arcsl} {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}}{\rm {d}}x=\operatorname {arcsl} {\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}+x^{2}+1}}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}{\rm {d}}x={\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} {\frac {x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{{\big (}1-x^{4}{\big )}^{3}}}}{\rm {d}}x={\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} {\frac {x}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{{\big (}x^{4}+1{\big )}^{3}}}}{\rm {d}}x=\operatorname {arcsl} {\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{{\big (}1-x^{2}{\big )}^{3}}}}{\rm {d}}x=2\operatorname {arcsl} {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{{\big (}x^{2}+1{\big )}^{3}}}}{\rm {d}}x=2\operatorname {arcsl} {\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}},\\&\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{{\big (}ax^{2}+bx+c{\big )}^{3}}}}{\rm {d}}x={\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}}\operatorname {arcsl} {\frac {2ax+b}{{\sqrt {4a{\big (}ax^{2}+bx+c{\big )}}}+{\sqrt {4ac-b^{2}}}}},\\&\int {\sqrt {\operatorname {sech} x}}{\rm {d}}x=2\operatorname {arcsl} {\big (}\operatorname {th} {\tfrac {1}{2}}x{\big )},\\&\int {\sqrt {\sec x}}{\rm {d}}x=2\operatorname {arcsl} {\big (}\operatorname {tg} {\tfrac {1}{2}}x{\big )}.\end{aligned}}}

## Гіперболічні лемніскатні функції
Гіперболічну лемніскату синуса {\displaystyle (\operatorname {slh} )} і косинуса {\displaystyle (\operatorname {clh} )} можна визначити за допомогою їх обернених функцій наступним чином:
{\displaystyle {\begin{aligned}z=\int _{0}^{\operatorname {slh} z}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{\operatorname {clh} z}^{\infty }{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1+t^{4}}}}.\end{aligned}}}
Повний інтеграл набуває значення:
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {t^{4}+1}}}={\tfrac {1}{4}}{\rm {B}}{\big (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}}{\big )}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\varpi =1{,}85407\;46773\;01371\dots .\end{aligned}}}
Тому дві визначені функції допускають наступне співвідношення:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slh} z=\operatorname {clh} {\bigl (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\varpi -z{\bigr )}.\end{aligned}}}
Добуток гіперболічного лемніскатного синуса і гіперболічного лемніскатного косинуса дорівнює одиниці:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slh} z\,\operatorname {clh} z=1.\end{aligned}}}
Гіперболічні лемніскатні функції можуть бути представлені через лемніскатний синус і лемніскатний косинус:
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {slh} {\bigl (}{\sqrt {2}}x{\bigr )}={\frac {{\big (}1+\operatorname {cl} ^{2}x{\big )}\operatorname {sl} x}{{\sqrt {2}}\operatorname {cl} x}},\\&\operatorname {clh} {\bigl (}{\sqrt {2}}x{\bigr )}={\frac {{\big (}1+\operatorname {sl} ^{2}x{\big )}\operatorname {cl} x}{{\sqrt {2}}\operatorname {sl} x}}.\end{aligned}}}
Але також існує зв'язок із еліптичними функціямі Якобі з еліптичним модулем {\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slh} x={\frac {\operatorname {sn} {\big (}x;1/{\sqrt {2}}{\big )}}{\operatorname {cd} {\big (}x;1/{\sqrt {2}}{\big )}}},\\\operatorname {clh} x={\frac {\operatorname {cd} {\big (}x;1/{\sqrt {2}}{\big )}}{\operatorname {sn} {\big (}x;1/{\sqrt {2}}{\big )}}}.\end{aligned}}}
Гіперболічний лемніскатний синус допускає наступне уявне співвідношення із лемніскатним синусом:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slh} z={\frac {1-{\rm {i}}}{\sqrt {2}}}\operatorname {sl} \left({\frac {1+{\rm {i}}}{\sqrt {2}}}z\right)={\frac {\operatorname {sl} \left({\sqrt[{4}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{4}]{-1}}}.\end{aligned}}}
Аналогічний зв'язок існує і між гіперболічним і тригонометричним синусом:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinh} z=-{\rm {i}}\sin({\rm {i}}z)={\frac {\sin \left({\sqrt[{2}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{2}]{-1}}}.\end{aligned}}}
Крива Ферма {\displaystyle x^{4}+y^{4}=1} (іноді називається квадратним колом) для гіперболічних лемніскатних синуса і косинуса є аналогом функцій тангенса й котангенса на одиничному колі {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} (квадратична крива Ферма).
Якщо початок координат і точка на кривій пов'язані між собою прямою {\displaystyle L}, то гіперболічний лемніскатний синус від подвоєнної площі обмеженої цією прямою і віссю {\displaystyle x} є {\displaystyle y}-координатою перетину прямої {\displaystyle L} із прямою {\displaystyle x=1}.
Гіперболічний лемніскатний синус задовольняє тотожність додавання аргументів:
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slh} (a+b)={\frac {\operatorname {slh} a{\sqrt {1+\operatorname {slh} ^{4}b}}+\operatorname {slh} b{\sqrt {1+\operatorname {slh} ^{4}a}}}{1-\operatorname {slh} ^{2}a\operatorname {slh} ^{2}b}}.\end{aligned}}}
Похідна може бути виражена наступним чином:
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\operatorname {slh} x={\sqrt {1+\operatorname {slh} ^{4}x}}.\end{aligned}}}

## Теорія чисел
В алгебричній теорії чисел, будь-яке скінченне абелеве розширення гаусових раціональних чисел {\displaystyle {\rm {Q}}({\rm {i}})} є підполем поля {\displaystyle {\rm {Q}}({\rm {i}},\operatorname {sl} (2\varpi /n))} для деякого натурального числа {\displaystyle n}.
Це аналог теореми Кронекера-Вебера для раціональних чисел {\displaystyle {\rm {Q}}}, яка базується на поділі кола — зокрема, будь-яке скінченне абелеве розширення поля {\displaystyle {\rm {Q}}} є підполем поля {\displaystyle {\rm {Q}}(\exp(2\pi {\rm {i}}/n))} для деякого натурального числа {\displaystyle n}.
Обидва випадки є частинними випадками проблеми Jugendtraum Кронекера, яка відома як дванадцята проблема Гільберта.
Поле {\displaystyle {\rm {Q}}({\rm {i}},\operatorname {sl} (\varpi /n))} (для додатних непарних {\displaystyle n}) є розширенням поля {\displaystyle {\rm {Q}}({\rm {i}})} породженого за допомогою {\displaystyle x}- та {\displaystyle y}-координат точок {\displaystyle (1+{\rm {i}})n}-скруту на еліптичній кривій {\displaystyle y^{2}=4x^{3}+x}.

## Проєкція карти світу
Квінкунціальна проєкція Пірса, розроблена Чарльзом Сандерсом Пірсом із Національної геодезичної служби США в 1870-х роках, є проєкцією карти світу, що базується на оберненій лемніскаті синуса стереграфічно спроєктованих точок (що розглядаються як комплексні числа).
Якщо прямі постійної дійсної або уявної частини проєктувати на комплексну площину за допомогою гіперболічного лемніскатного синусу, а звідки їх стереографічно проєктувати на сферу (див. Сферу Рімана), то отримані криві є сферичними коніками, сферичний аналог еліпсів і гіпербол на площині. Таким чином, лемніскати функцій (і, у загальному випадку, еліптичні функції Якобі) забезпечують параметризацію для сферичних конік.
Конформну картографічну проєкцію земної кулі на 6 квадратних граней куба також можна визначити за допомогою лемніскатних функцій.
Оскільки багато диференціальних рівнянь з частинними похідними можна ефективно розв'язати за допомогою конформного відображення, то перетворення сфери в куб зручне для моделювання атмосфери.

## Зовнішні лінки
- Parker, Matt (2021). What is the area of a Squircle?. Stand-up Maths. YouTube. Архів оригіналу за 19 грудня 2021.

wikiname: ukwiki

title: Лемніскатна еліптична функція

in_language: uk

wikitext:
[[Файл:The lemniscate sine and lemniscate cosine functions of a real variable.png|thumb|upright=2.0|Лемніскатна функція синуса (червона) та лемніскатна функція косинуса (фіолетова) дійсного аргументу <math>x</math> у порівнянні з тригонометричною функцією синус <math>y=\sin(\pi x\omega)</math> (блідно-червона пунктирна лінія).]]

У [[Математика|математиці]] '''лемніскатна еліптична функція''' — це [[еліптична функція]], що пов'язана з довжиною дуги [[Лемніската Бернуллі|лемніскати Бернуллі]].

Вперше вона була досліджена {{нп|Джуліо Карло де Тоскі ді Фаньяно|Джуліо Карло де Тоскі ді Фаньяно||Giulio Carlo de' Toschi di Fagnano}} у 1718 році, та пізніше [[Леонард Ейлер|Леонардом Ейлером]], [[Карл Фрідріх Гаусс|Карлом Фрідріхом Гаусом]] та іншими.

Лемніскатні функції синуса та косинуса, для позначення яких зазвичай використовують символи <math>\operatorname{sl}</math> й <math>\operatorname{cl}</math> (іноді <math>\operatorname{sinlem}</math>, <math>\operatorname{coslem}</math> або <math>\operatorname{sin lemn}</math> та <math>\operatorname{cos lemn}</math>)<ref>Гаус використовував символи <math>\operatorname{sl}</math> і <math>\operatorname{cl}</math> для лемніскат <math>\operatorname{sine}</math> і <math>\operatorname{cosine}</math>. Вітекер і Ватсон (1920) використовували <math>\operatorname{sin lemn}</math> і <math>\operatorname{cos lemn}</math>. У деяких джерелах використовуються початкові букви <math>\operatorname{s}</math> і <math>\operatorname{c}</math>. Прасолов і Соловйов (1997) використовували букву <math>\phi</math> для лемніскати <math>\operatorname{sine}</math> і <math>\phi'</math> для її похідної.</ref>, є аналогами [[Тригонометричні функції|тригонометричних функцій]] синуса та косинуса.
У той час як тригонометричний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди в [[Коло|колі]] одиничного [[діаметр]]а <math>x^{2}+y^{2}=x</math>, лемніскатний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди лемніскати <math>\big(x^{2}+y^{2}\big)^{2}=x^{2}-y^{2}</math>.

Періоди лемніскатних функції пов'язані з числом <math>\varpi = 2{,}622057\dots</math>, яке називають [[Лемніскатна еліптична функція#Лемніскатна константа|лемніскатною константою]], що є відношенням лемніскатного периметра до його діаметра.

Функції <math>\operatorname{sl}</math> та <math>\operatorname{cl}</math> мають [[Квадратна ґратка|квадратну]] {{нп|Fundamental pair of periods|періодичну ґратку}} (кратну [[Гауссові числа|гауссовим цілим числам]]) з {{нп|Фундаментальні періоди|фундаментальними періодами||Fundamental pair of periods}} <math>\big\{(1+{\rm i})\varpi ,(1-{\rm i})\varpi \big\}</math>,<ref>Фундаментальні періоди <math>(1+{\rm i})\varpi</math> і <math>(1-{\rm i})\varpi</math> є «мінімальними» в сенсі, що це найменше абсолютне значення серед періодів, дійсні частини яких є невід'ємними.</ref> і є окремим випадком двох [[Еліптичні функції Якобі|еліптичних функцій Якобі]] на цій ґратці, <math>\operatorname{sl} z=\operatorname{sn} (z;{\rm i})</math>, <math>\operatorname{cl} z=\operatorname{cd} (z;{\rm i})</math>.

Аналогічно, гіперболічні лемніскатичні функції <math>\operatorname{slh}</math> та <math>\operatorname{clh}</math> мають квадратну періодичну ґратку з фундаментальними періодами <math>\big\{\sqrt{2}\varpi ,\sqrt{2}\varpi {\rm i}\big\}</math>.

Лемніскатні функції та гіперболічні функції пов'язані з [[Еліптичні функції Веєрштрасса|еліптичною функцією Веєрштраса]] <math>\wp (z;a,0)</math>.

== Лемніскатні функції синуса та косинуса ==

=== Означення ===
Лемніскатні функції <math>\operatorname{sl}</math> та <math>\operatorname{cl}</math> можна визначити відповідно як розв'язки [[Задача Коші|задач Коші]]:<ref>Робінсон (2019a) стартував з цього означення і далі отримував інші властивості лемніскатних функцій.</ref>
: <math>
\begin{align}& \frac{{\rm d}}{{\rm d} z}\operatorname{sl} z=\big( 1+\operatorname{sl} ^{2}z \big )\operatorname{cl} z, \quad \operatorname{sl}(0)=0,\\ & \frac {{\rm d}}{{\rm d} z}\operatorname{cl} z=-\big (1+\operatorname{cl} ^{2}z\big) \operatorname{sl} z,\quad \operatorname{cl}(0)=1,\end{align}
</math>
або, еквівалентно, визначити як [[Обернена функція|обернені функції]] для [[Еліптичні інтеграли|еліптичного інтеграла]], тобто як {{нп|Відображення Шварца–Крістофеля|відображення Шварца–Крістофеля||Schwarz–Christoffel mapping}} з [[Одиничний круг|одиничного круга]] комплексної площини у квадрат з кутами <math>\big\{\tfrac {1}{2} \varpi ,\tfrac {1}{2}\varpi {\rm i},-\tfrac {1}{2}\varpi ,-\tfrac {1}{2}\varpi {\rm i} \big\}</math>:<ref>Це відображення було першою ілюстрацією для відображення Шварца—Крістофелля, див. Шварц (1869).</ref>
: <math>z=\int _{0}^{\operatorname{sl} z}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=\int _{\operatorname{cl} z}^{1}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}.</math>

Поза цим квадратом функції можуть бути аналітично продовжені на всю [[Комплексна площина|комплексну площину]] за допомогою серій [[Принцип симетрії Шварца|віддзеркалень]].

Для порівняння, функції синуса і косинуса на колі можна визначити, відповідно, як розв'язки задач Коші:
: <math>
\begin{align}
& \frac {{\rm d}}{{\rm d} z}\sin z=\cos z,\quad  \sin (0)=0,\\
& \frac {{\rm d}}{{\rm d} z}\cos z=-\sin z,\quad \cos (0)=1,
\end{align}
</math>
або як обернені функції для відображення з [[Верхня півплощина|верхньої півплощини]] в напівнескінченну смугу з дійсними частинами між <math>-\tfrac{1}{2} \pi</math> та <math>\tfrac {1}{2} \pi </math>, і додатною уявною частиною:
: <math>z=\int _{0}^{\sin z}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}=\int _{\cos z}^{1}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}.</math>

=== Довжина кривої лемніскати Бернулі ===
[[Файл:The lemniscate sine and cosine related to the arclength of the lemniscate of Bernoulli.png|thumb|upright=1.8|Лемніскатні функції синуса та косинуса пов'язують довжину кривої лемніскати з відстанню від кінцевої точки до початку координат.]]
[[Файл:The sine and cosine related to the arclength of the unit-diameter circle.png|thumb|upright=1.1|Тригонометричні функції синуса та косинуса аналогічно пов'язують довжину дуги кола одиничного діаметра з відстанню від кінцевої точки до початку координат.]]
[[Лемніската Бернуллі|Лемніската Бернулі]] з напівшириною 1 є [[Геометричне місце точок|геометричним місцем точок]] на площині таких, що добуток відстані від яких до двох фокусних точок <math>F_{1}= \big( -\tfrac{1}{\sqrt {2}},0 \big)</math> та <math>F_{2}=\big( \tfrac {1}{\sqrt {2}},0 \big)</math> є константа <math>\tfrac {1}{2}</math>.
Це є {{нп|плоска крива четвертого порядку|плоска крива четвертого порядку||Quartic plane curve}}, що задовольняє рівняння <math>r^{2}=\cos 2\theta</math> в [[Полярна система координат|полярних координатах]] або рівняння <math>\big( x^{2}+y^{2}\big)^{2}=x^{2}-y^{2}</math> в [[Декартова система координат|декартових координатах]].
Точки на лемніскаті на відстані <math>r</math> від [[Початок координат|початку координат]] є перетинами кола <math>x^{2}+y^{2}=r^{2}</math> та [[Гіпербола (математика)|гіперболи]] <math>x^{2}-y^{2}=r^{4}</math>.
Точка перетину у першій чверті має наступні декартові координати:
: <math>\big(x(r),y(r)\big)=\bigg( \sqrt{\tfrac{1}{2}r^{2}\big(1+r^{2}\big)},\sqrt {\tfrac {1}{2}r^{2}\big( 1-r^{2}\big)}\bigg).</math>
Використовуючи [[Параметричне рівняння|параметризацію]] з <math>r \in [0,1]</math> для чверті лемніскати, [[Довжина кривої|довжину кривої]] від початку координат до точки <math>\big(x(r),y(r)\big)</math> дорівнює:<ref>Ейлер (1761), Сігел, (1969), Прасолов і Соловйов (1997) для лемніскати використовували представлення у полярних координатах, щоб визначити диференціал довжини дуги кривої, але результат буде той же.</ref>
: <math>\int _{0}^{r}\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}\,{\rm d} t=\int _{0}^{r}\sqrt {\frac {(1+2t^{2})^{2}}{2(1+t^{2})}+\frac {(1-2t^{2})^{2}}{2(1-t^{2})}}\,{\rm d} t=\int _{0}^{r}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=\operatorname{arcsl} r.</math>
Аналогічно, довжина кривої від точки <math>(1,0)</math> до точки <math>\big(x(r),y(r)\big)</math> дорівнює:
: <math>\int _{r}^{1} \sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}{\rm d} t=\int _{r}^{1}\frac{{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=\operatorname{arccl} r=\tfrac {1}{2}\varpi-\operatorname{arcsl} r.</math>
Або у зворотньому порядку, за допомогою лемніскатних функцій синуса та косинуса визначають відстань від початку координат як функції довжини кривої, відповідно від початку координат до точки <math>(1,0)</math>.
Аналогічно, функції синуса та косинуса пов'язують довжину хорди з довжиною кривої в колі одиничного діаметра, яке задається рівнянням <math>r= \cos\theta</math> в полярних координатах, або рівнянням <math>x^{2}+y^{2}=x</math> в декартових координатах, використовуючи вищезгадані аргументи, але з параметризацією:
: <math>\big(x(r),y(r)\big)=\biggl(r^{2},\sqrt {r^{2}\bigl(1-r^{2}\bigr)}\biggr).</math>
Лемніскатний інтеграл та лемніскатні функції задовольняють тотожності подвійного аргументу, яку запропонував Фаньяно у 1718 році:<ref>Siegel (1969), Schappacher (1997).</ref>
: <math> \int _{0}^{z}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=2\int _{0}^{u}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}},</math>
якщо
: <math>z=\frac {2u\sqrt {1-u^{4}}}{1+u^{4}} \quad \text{та} \quad 0\leq u\leq \sqrt {\sqrt {2}-1}.</math>
Пізніше математики узагальнили цей результат.
За аналогією з {{нп|Конструктивні багатокутники|конструктивними багатокутниками||Constructible polygon}} на колі лемніскату можна розділити на <math>n</math> сегментів однакової довжини дуг, використовуючи тільки [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|циркуль та лінійку]] тоді й лише тоді, коли <math>n</math> має вигляд <math>n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}</math>, де <math>k</math> — натуральне число, а всі <math>p_{j}</math> (якщо є) — різні [[числа Ферма]].<ref>Числа A003401 в OEIS.</ref>
«Необхідність» в теоремі була доведена [[Нільс Генрік Абель|Нільсом Абелем]] в 1827—1828 роках, а «достатність» була доведена {{нп|Майкл Розен (математик)|Майклом Розеном||Michael Rosen (mathematician)}} в 1981 році.<ref>Abel (1827—1828), Rosen (1981), Prasolov & Solovyev (1997).</ref>
Еквівалентно, лемніскату можна розділити на <math>n</math> сегментів рівної довжини дуг, використовуючи тільки циркуль та лінійку, тоді й лише тоді, коли <math>\log _{2}\varphi (n)</math> є натуральним числом (де <math>\varphi(n)</math> є [[Леонард Ейлер|функцією Ейлера]]).
Лемніската не вважається намальованою, а теорема відноситься лише до побудови точок поділу.
Нехай <math>r_{j}=\operatorname{sl}\tfrac {2j\varpi }{n}</math>, тоді <math>n</math> точками поділу для лемніскати <math>(x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}</math> є
: <math>\left(r_{j}\sqrt {\frac {1+r_{j}^{2}}{2}},(-1)^{\left\lfloor {\frac {1}{2}}-{\frac {2j}{n}}\right\rfloor }r_{j}{\sqrt {\frac {1-r_{j}^{2}}{2}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots ,n\},</math>
де <math>\lfloor \cdot \rfloor</math> — [[Ціла частина числа|функція підлоги]].
Нижче наведені деякі частинні значення для <math>\operatorname{sl}\tfrac {2\varpi }{n}</math>.

=== Довжина дуги кривої пружного деформування ===
[[Файл:Rectangular elastica and lemniscatic sine.png|thumb|upright=1.3|Лемніскатна функція синуса пов'язує довжину дуги з координатою <math>x</math> кривої пружного деформування.]]
Обернена функція лемніскати синуса описує довжину <math>s</math> дуги відносно координати <math>x</math> {{нп|Крива пружного деформування|кривої пружного деформування||Elastica theory}}.<ref>Euler (1786), Sridharan (2004), Levien (2008).</ref>
Ця крива має координату <math>y</math> і довжину дуги:
: <math>  y=\int _{x}^{1}\frac {t^{2}\, {\rm d} t}{\sqrt{1-t^{4}}},\quad s=\operatorname{arcsl} x=\int _{0}^{x}\frac {{\rm d} t}{\sqrt{1-t^{4}}}.</math>
Крива пружного деформування є розв'язком задачі, яку запропонував [[Якоб Бернуллі]] в 1691 для опису форм ідеалізованого гнучкого стержня, зафіксованого у вертикальному положенні у нижньому кінці і який відтягується від верхнього кінця до горизонтально положення.
Запропонований Бернуллі розв'язок став основою [[Теорія балки Ейлера-Бернуллі|теорії балки Ейлера--Бернуллі]], яка була розроблена Ейлером в 18 столітті.

=== Лемніскатна константа ===
[[Файл:Lemniscate sine in the complex plane.svg|thumb|Функція <math>\operatorname{sl} z</math> на комплексній площині.<ref>Темні області представляють нулі, а яскраві області — полюси. Оскільки аргумент функції <math>\operatorname{sl} z</math> змінюється від <math>-\pi</math> (виключаючи <math>-\pi</math>) до <math>\pi</math>, то кольори проходять через блакитний, синій <math>(\operatorname{Arg} \approx -\pi /2)</math>, <math>(\operatorname{Arg} \approx -\pi /2)</math>, фіолетовий, червоний <math>(\operatorname{ARG} \approx 0)</math>, помаранчевий, жовтий <math>(\operatorname{ARG} \approx \pi /2)</math>, зелений і назад до блакитного <math>(\operatorname{ARG} \approx \pi )</math>.</ref> На рисунку видно, що фундаментальні періоди <math>(1+{\rm i})\varpi</math> та <math>(1-{\rm i})\varpi</math> є «мінімальними», тобто мають найменше абсолютне значення з всіх періодів, дійсна частина яких невід'ємна.]]

Лемніскатні функції мають мінімальний період <math>2\varpi</math> і фундаментальні комплексні періоди <math>(1+{\rm i})\varpi</math> та <math>(1-{\rm i})\varpi</math> для константи <math>\varpi</math> (у позначеннях Гауса), яку називають ''лемніскатною константою'',<ref>Schappacher (1997). Послідовність OEIS A062539 містить десяткові цифри лемніскатної константи.</ref><ref>Як правило константа <math>\varpi</math> визначається першою рівністю нижче.</ref>
: <math>
\begin{align}
\varpi& =2\int _{0}^{1}\frac{{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=\sqrt {2}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}
=\int _{0}^{1}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {t-t^{3}}} \\
& =4\int _{0}^{\infty }\left(\sqrt[4]{1+t^{4}}-t \right)\,{\rm d} t=2\sqrt {2}\int _{0}^{1}\sqrt[{4}]{1-t^{4}}\mathop {{\rm d} t} =3\int _{0}^{1}\sqrt {1-t^{4}}\,{\rm d} t \\
& =2K({\rm i})=\tfrac {1}{2}\mathrm {B} \bigl (\tfrac {1}{4},\tfrac {1}{2}\bigr )=\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {2\pi }}}=\sqrt {\pi }{\rm e}^{\beta '(0)}=\frac {2-\sqrt {2}}{4}\frac {\zeta (3/4)^{2}}{\zeta (1/4)^{2}} \\
& =2{,}62205\;75542\;92119\;81046\;48395\;89891\;11941\ldots,
  \end{align}
</math>
де <math>K</math> — [[Еліптичні інтеграли|повний еліптичний інтеграл першого роду]] з модулем <math>k</math>, <math>{\rm B}</math> —— [[бета-функція]], <math>\gamma</math> — [[гамма-функція]], <math>\beta'</math> — похідна бета-функції Діріхле, <math>\varsigma</math> — [[дзета-функція Рімана]]. Однак іноді величину <math>2\varpi</math> називають лемніскатною константою, і одна з «лемніскатних констант» Джона Тодда — це величина <math>\varpi/2</math>.<ref>{{Cite web |url=http://oeis.org/A064853 |title=Архівована копія |accessdate=23 травня 2022 |archive-date=30 січня 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220130042154/http://oeis.org/A064853 }}</ref><ref>«Lemniscate Constant».</ref><ref name=":0">Todd (1975).</ref><ref>«A085565 — Oeis».</ref><ref>Carlson, B. C. (2010), «Elliptic Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.</ref>
Тут використовується лише позначення Гауса для опису лемніскатної константи.
Геометрично, <math>\varpi</math> є відношенням [[периметр]]а [[Лемніската Бернуллі|лемніскати Бернуллі]] до її [[діаметр]]а.
[[Трансцендентне число|Трансцендентність]] лемніскатної константи була доведена {{нп|Теодор Шнайдер|Теодором Шнайдером||Theodor Schneider}} в 1937 році.<ref>Schneider (1937).</ref>
У 1975 році [[Григорій Чудновський]] довів, що <math>\pi</math> і <math>\varpi</math> є [[Алгебраїчна незалежність|алгебраїчно незалежними]] над полем <math>\mathbb{Q}</math>.<ref>G.V.Choodnovsky: Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis, Notices of the AMS 22, 1975, p.A-486.</ref><ref>G.V.Chudnovsky: Contributions to The Theory of Transcendental Numbers, American Mathematical Society, 1984, p.6.</ref>
Пов'язана константа <math>G=\varpi /\pi=0{,}8346\ldots</math> є [[Стала Гаусса|константою Гаусса]].

[[Файл:Lemniscate constant as an integral.png|thumb|upright=1.3|Геометричне зображення констант <math>\varpi/2</math> та <math>\varpi/\sqrt{2}</math>.]]
Лемніскатні функції задовольняють основне співвідношення<math>\operatorname{cl} z=\operatorname{sl}\bigl(\tfrac {1}{2}\varpi -z\bigr).</math>

Крім того, константа <math>\varpi</math> пов'язана з площею під кривою <math>x^{4}+y^{4}=1</math>.
Нехай <math>\pi _{n} :=  {\rm B} \bigl (\tfrac {1}{n},\tfrac {1}{n}\bigr )</math>, тоді подвійна площа в першій чверті під кривою <math>x^{n}+y^{n}=1</math> дорівнює <math>2\int _{0}^{1}\sqrt[{n}]{1-x^{n}}\, {\rm d} x =\tfrac {1}{n}\pi _{n}.</math>
У випадку рівняння четвертого порядку: <math>\tfrac {1}{4}\pi _{4}=\tfrac {1}{\sqrt {2}}\varpi</math>.

У 1738 році Ейлер відкрив, що для кривої пружного деформування:<ref>Левін (2008). Тод (1975) називав ці два множники <math>A=\varpi /2</math> і <math>B=\pi /2\varpi</math> лемніскатними константами і обговорив методи їх обчислення.</ref>
: <math>
\begin{align}
\operatorname{arc} \operatorname{length}\cdot \operatorname{height}
 =\int _{0}^{1}\frac {{\rm d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}\cdot \int _{0}^{1}\frac {x^{2}\,{\rm d} x }{\sqrt {1-x^{4}}}=\frac {\varpi }{2}\cdot \frac{\pi}{2\varpi }=\frac {\pi}{4}.
\end{align}
</math>
[[Теорема Вієта|Формула Вієта]] для числа <math>\pi</math> може бути записана як
: <math>
\begin{align}
\frac{2}{\pi }=\sqrt{\frac {1}{2}}\cdot \sqrt {\frac {1}{2}+\frac {1}{2}\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot \sqrt{\frac {1}{2}+\frac {1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}\sqrt{\frac {1}{2}}}}\cdots.
\end{align}
</math>
Аналогічна формула для <math>\varpi</math>:<ref>Левін (2006).</ref>
: <math>
\begin{align}
\frac {2}{\varpi}=\sqrt{\frac {1}{2}}\cdot \sqrt {\frac {1}{2}+\frac {1}{2}\bigg /\sqrt{\frac {1}{2}}}\cdot
\sqrt{\frac {1}{2}+\frac {1}{2}\Bigg /\sqrt{\frac {1}{2}+\frac {1}{2}/\sqrt{\frac{1}{2}}}}\cdots.
\end{align}
</math>
[[Формула Валліса|Формула Валіса]] для <math>\pi</math>:
: <math>
\begin{align}
\frac{\pi}{2}& =\prod _{n=1}^{\infty}\left(1+\frac {1}{n}\right)^{(-1)^{n+1}}\\
& =\prod _{n=1}^{\infty}\left(\frac {2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1}\right)=\biggl (\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\biggr)\biggl (\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\biggr)\biggl(\frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\biggr)\cdots.
\end{align}
</math>
Аналогічна формула для <math>\varpi</math>:<ref>Хайд у 2014 довів справедливість більш загальної формули типу Валіса для кривих конюшини; тут спеціальний випадок лемніскати трохи модифіковано для наочності.</ref>
: <math>
\begin{align}
{\frac {\varpi }{2}}& =\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac {1}{2n}\right)^{(-1)^{n+1}}
  =\prod _{n=1}^{\infty }\left(\frac {4n-1}{4n-2}\cdot \frac {4n}{4n+1}\right)=\\
  & =\biggl (\frac {3}{2}\cdot \frac {4}{5}\biggr )\biggl (\frac {7}{6}\cdot \frac {8}{9}\biggr )\biggl (\frac {11}{10}\cdot \frac {12}{13}\biggr )\cdots.
\end{align}
</math>
Пов'язаною з цим результатом є формула:
: <math>
\begin{align}
\frac {\varpi}{\pi}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(\frac {4n-1}{4n}\cdot \frac {4n+2}{4n+1}\right)=
\biggl (\frac {3}{4}\cdot {\frac {6}{5}}\biggr )\biggl(\frac{7}{8}\cdot \frac{10}{9}\biggr )\biggl(\frac{11}{12}\cdot \frac {14}{13}\biggr)\cdots.
\end{align}
</math>
Нескінченний ряд для <math>\varpi/\pi</math> отриманий Гауссом має вигляд:<ref>Bottazzini Gray (2013), p.60.</ref>
: <math>
\begin{align}
\frac{\varpi }{\pi}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\prod _{k=1}^{n}\frac{(2k-1)^{2}}{(2k)^{2}}
=1-\frac{1^{2}}{2^{2}}+\frac{1^{2}\cdot 3^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}}-\frac{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}\cdot 6^{2}}+\cdots.
\end{align}
</math>
{{нп|Формула Мачіна|Формула Мачіна||Machin-like formula}} для <math>\pi</math> має вигляд <math>\tfrac {1}{4}\pi =4\operatorname{arctg} \tfrac {1}{5}-\operatorname{arctg} \tfrac {1}{239}</math>, і декілька аналогічних формул для <math>\pi</math> можна отримати з використанням тригонометричних формул для суми кутів, наприклад, формула Ейлера <math>\tfrac {1}{4}\pi =\operatorname{arctg} \tfrac {1}{2}+\operatorname{arctg} \tfrac {1}{3}.</math>
Аналогічні формули можна записати і для <math>\varpi</math>, включаючи ті, що знайшов Гаусс:<ref name=":0"/><math>\tfrac {1}{2}\varpi =2\operatorname{arcsl} \tfrac {1}{2}+\operatorname{arcsl}\tfrac {7}{23}.</math>
Лемніскатну константу можна швидко обчислити за допомогою ряду:<ref>Cox, David (January 1984). «The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss». L'Enseignement Matematique. 30(2): 275—330. See p.307, eq.2.21 для першої рівності.</ref>
: <math>
\begin{align}
\varpi =2^{-1/2}\pi \left(\sum _{n\in \mathbb {Z}}{\rm e}^{-\pi n^{2}}\right)^{2}
=2^{1/4}\pi {\rm e}^{-\pi /12}\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm e}^{-\pi p_{n}}\right)^{2},
\end{align}
</math>
де <math>p_{n}=(3n^{2}-n)/2</math> (для <math>n\geq 1</math>, це [[п'ятикутне число]]), або з використанням [[Середнє арифметико-геометричне|середнього арифметико-геометричного]] <math>\operatorname{M}</math>:
: <math>
\begin{align}
\varpi =\frac{\pi}{\operatorname{M}\big(1,{\sqrt {2}}\big)}.
\end{align}
</math>
У дусі аналогічному до [[Ряд обернених квадратів|базельської задачі]] можна записати наступну формулу:
: <math>
\begin{align}
\sum _{z\in \mathbb {Z} [{\rm i}]\setminus \{0\}}\frac{1}{z^{4}}=G_{4}({\rm i})=\frac{\varpi ^{4}}{15},
\end{align}
</math>
де <math>\mathbb {Z} [{\rm i}]</math> — [[гауссові числа]], <math>G_{4}(\tau )</math> — [[Ряди Ейзенштейна|ряд Ейзенштейна]] з вагою 4.<ref>Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (французькою). HERMANN. ISBN 2705614435. p.224.</ref>

=== Нулі, полюси і симетрії ===

При зсуві на <math>\tfrac {1}{2}\varpi</math> лемніскатні функції <math>\operatorname{cl}</math> і <math>\operatorname{sl}</math> переходять одна в одну, а при зсуві на <math>\tfrac {1}{2}{\rm i}\varpi</math> функції є додатково повернутими та [[Обернене число|взаємооберненими]]:<ref>Комбінація першої і четвертої тотожності дає <math>\operatorname{sl} z=-{\rm i}/\operatorname{sl} (z-(1+{\rm i})\varpi /2)</math>. Ця тотожність (неправильно) дана в Eymard's and Lafon's Autour du nombre Pi (p.218) без мінуса у правій частині.</ref>
: <math>
\begin{alignat}{3}
& \operatorname{cl} \bigl(z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi \bigr)=\mp \operatorname{sl} z, \quad && \operatorname{cl} \bigl(z\pm {\tfrac {1}{2}}{\rm i}\varpi \bigr )=\frac {\mp {\rm i}}{\operatorname{sl} z}, \\
& \operatorname{sl}\bigl(z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi \bigr )=\pm \operatorname{cl} z, \quad && \operatorname{sl} \bigl(z\pm {\tfrac {1}{2}}{\rm i}\varpi \bigr)=\frac {\pm {\rm i}}{\operatorname{cl} z}.
 \end{alignat}
</math>
Подвоєння цих зсувів [[Оборотний елемент|одиничними елементами гауссових цілих чисел]] кратних <math>\varpi</math> (тобто <math>\pm \varpi</math> або <math>\pm {\rm i}\varpi</math>) приводить до зміни знаку функцій ([[Інволюція (математика)|інволюції]]):
: <math>
\begin{align}
 \operatorname{cl} (z+\varpi )=\operatorname{cl} (z+{\rm i}\varpi )=-\operatorname{cl} z,\\
 \operatorname{sl} (z+\varpi )=\operatorname{sl} (z+{\rm i}\varpi )=-\operatorname{sl} z.
\end{align}
</math>
Як наслідок, обидві функції інваріантні відносно зсуву на [[Гауссові числа|парне гаусове ціле число]] кратне <math>\varpi</math>.<ref>Цілі числа Гаусса — це клас лишків 0 за модулем <math>1+{\rm i}</math>, чорні квадрати на шаховій дошці.</ref> Тобто, перестановка <math>(a+b{\rm i})\varpi</math> <math>a+b=2k</math> для цілих чисел <math>a</math>, <math>b</math>, <math>k</math>:
: <math>
\begin{align}
& \operatorname{cl}\bigl(z+(1+{\rm i})\varpi \bigr)=\operatorname{cl}\bigl(z+(1-{\rm i})\varpi \bigr)=\operatorname{cl} z,\\
& \operatorname{sl}\bigl(z+(1+{\rm i})\varpi \bigr)=\operatorname{sl}\bigl(z+(1-{\rm i})\varpi \bigr)=\operatorname{sl} z.
\end{align}
</math>
Це робить їх [[Еліптична функція|еліптичними функціями]] (двічі періодичні [[Мероморфна функція|мероморфні функції]] в комплексній площині) з [[Квадратна ґратка|діагонально-квадратною]] {{нп|Фундаментальна періодична ґратка|періодичною ґраткою||Fundamental pair of periods}} фундаментальних періодів <math>(1+{\rm i})\varpi</math> та <math>(1-{\rm i})\varpi</math>.<ref>Prasolov Solovyev (1997), Robinson (2019a).</ref>

Еліптичні функції з періодичною квадратною ґраткою більш симетричні, ніж довільні еліптичні функції, що слідують симетрії ґратки.

Віддзеркалення і повороти на чверть обороту аргументів лемніскатної функції мають прості вирази:
: <math>
\begin{align}
&\operatorname{cl} \bar {z}=\overline {\operatorname{cl} z},\\
&\operatorname{sl} \bar {z}=\overline {\operatorname{sl} z},\\
&\operatorname{cl} {\rm i}z=\frac {1}{\operatorname{cl} z},\\
&\operatorname{sl} {\rm i}z={\rm i}\operatorname{sl} z.
\end{align}
</math>
Функція <math>\operatorname {sl}</math> має прості [[Полюс (комплексний аналіз)|нулі]] в гаусових цілих числах кратних <math>\varpi</math>, комплексних числах вигляду <math>a\varpi +b\varpi{\rm i}</math> для цілих чисел <math>a</math> і <math>b</math>.
Вона має прості [[Полюс (комплексний аналіз)|полюси]] у гаусових [[Напівціле число|напівцілих числах]] кратних <math>\varpi</math>, комплексних числах вигляду <math>\bigl(a+\tfrac {1}{2}\bigr)\varpi +\bigl(b+\tfrac {1}{2}\bigr)\varpi {\rm i}</math> з [[Лишок|лишком]] <math>(-1)^{a-b+1}{\rm i}</math>.
Функція <math>\operatorname{cl}</math> віддзеркалюється і зміщується від функції <math>\operatorname{sl}</math>, <math>\operatorname{cl} z=\operatorname{sl}\bigl(\tfrac {1}{2}\varpi -z\bigr)</math>.
Вона має нулі при аргументах <math>\bigl(a+\tfrac {1}{2}\bigr)\varpi +b\varpi{\rm i}</math> і полюси при аргументах <math>a\varpi +\bigl(b+\tfrac {1}{2}\bigr)\varpi{\rm i}</math> з лишками <math>(-1)^{a-b}{\rm i}</math>.

Оскільки лемніскатний синус є мероморфною функцією, то його можна записати як відношення голоморфних функцій.
Гаусс показав, що функція <math>\operatorname{sl}</math> має наступний розклад через добутки, який відображає розподіл його нулів і полюсів:<ref>Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (in French). HERMANN. ISBN 2705614435. p.218.</ref>
: <math>
\begin{align}
\operatorname{sl} z=\frac{M(z)}{N(z)},
\end{align}
</math>
де
: <math>
\begin{align}
  M(z)=z\prod _{\alpha }\left(1-\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}\right).
\end{align}
</math>
Тут, <math>\alpha</math> і <math>\beta</math> — відповідно нулі та полюси функції <math>\operatorname{sl}</math>, які знаходяться у першій чверті <math>\operatorname {Re} z>0</math>, <math>\operatorname {Im} z\geq 0</math>.
Гаусс висунув гіпотезу, що <math>\ln N(\varpi )=\pi /2</math> (пізніше це було доведено), і зауважив, що це «чудова властивість і її доведення обіцяє серйозний прогрес в аналізі».<ref>Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013). Hidden Harmony—Geometric Fantasies. Springer. ISBN 978-1-4614-5724-4. p.58</ref><ref>Гаусс записав добутки для <math>M</math> і <math>N</math> у вигляді нескінченних рядів. Він також запропонував декілька тотожностей, що включають функції <math>M</math> та <math>N</math>, наприклад, <math>N(2z)=M^{4}(z)+N^{4}(z)</math>.</ref>

Існують також нескінченні ряди, що відображають розподіл нулів і полюсів функції <math>\operatorname{sl}</math>:<ref name=":1">Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), «Jacobian Elliptic Functions», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248</ref><ref name=":1"/><ref>Аналогічно,<math>\displaystyle\frac{1}{\sin z}=\sum\limits_{n\in \mathbb {Z}}\frac {(-1)^{n}}{z+n\pi}</math>.</ref>
: <math>
\begin{align}
& \frac{1}{\operatorname{sl} z}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}\frac{(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi {\rm i}}, \\
& \operatorname{sl} z=-{\rm i}\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}\frac{(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi {\rm i}}.
  \end{align}
</math>

=== Тотожність піфагорійського типу ===
[[Файл:Algebraic curves (x² + y²) = a(1 - x²y²) for various values of a.png|thumb|upright=1.3|Криві <math>x^{2}\bigoplus y^{2}=a</math> при різних значеннях <math>a</math>: для від'ємних <math>a</math> — зелені, для додатних <math>a</math> — сині, <math>a=\pm</math> — червоні, <math>a=\infty</math> — чорні.]]
Лемніскатні функції задовольняють тотожність [[Тригонометрична тотожність Піфагора|піфагорійського]] типу:
: <math>
\begin{align}
\operatorname{cl}^{2} z+\operatorname{sl}^{2} z+\operatorname{cl}^{2} z\operatorname{sl}^{2} z=1.
 \end{align}
</math>
Як результат, <math>(x,y)=(\operatorname{cl} t,\operatorname{sl} t)</math> — параметричне рівняння для {{нп|Крива четвертого порядку|кривої четвертого порядку||Quartic plane curve}} <math>x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=1</math>.

Цю тотожність можна також представити як<ref>Lindqvist Peetre (2001) узагальнює першу з цих форм.</ref>
: <math>
\begin{align}
& \bigl(1+\operatorname{cl}^{2} z\bigr)\bigl(1+\operatorname{sl}^{2}z\bigr)=2,\\
& \operatorname{cl}^{2} z=\frac {1-\operatorname{sl}^{2} z}{1+\operatorname{sl}^{2} z},\quad \operatorname{sl}^{2} z=\frac {1-\operatorname{cl}^{2} z}{1+\operatorname{cl}^{2} z}.
 \end{align}
</math>
Позначивши оператор [[Список тригонометричних тотожностей|тангенса суми]] як <math>a\oplus b := \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} a+\operatorname{arctg}b)</math>, отримуємо
: <math>
\begin{align}
\operatorname{cl}^{2} z\oplus \operatorname{sl}^{2} z=1.
\end{align}
</math>

=== Похідні та інтеграли ===
Похідні:
: <math>
\begin{align}
& \frac{\mathrm {d}}{\mathrm {d}z}\operatorname{cl} z=\operatorname{cl}' z=-\bigl(1+\operatorname{cl}^{2} z\bigr)\operatorname{sl} z=-\frac{2\operatorname{sl} z}{\operatorname{sl}^{2}z+1},\\
& \operatorname{cl}'^{2} z=1-\operatorname{cl^{4}} z,\\
& \frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\operatorname{sl} z=\operatorname{sl}' z=\bigl(1+\operatorname{sl}^{2} z\bigr)\operatorname{cl} z=\frac{2\operatorname{cl} z}{\operatorname{cl} ^{2}z+1},\\
& \operatorname {sl}'^{2} z=1-\operatorname{sl}^{4} z.
 \end{align}
</math>
Другі похідні лемніскатних функцій синуса і косинуса є їх від'ємними подвійними кубами:
: <math>
\begin{align}
\frac{{\rm d}^{2}}{{\rm d}z^{2}}\operatorname{cl} z=-2\operatorname{cl}^{3} z, \\
\frac{{\rm d}^{2}}{{\rm d}z^{2}}\operatorname{sl} z=-2\operatorname{sl}^{3} z.
 \end{align}
</math>
Інтеграли від лемніскатні функції виражаються через функцію арктангенс:
: <math>
\begin{align}
& \int \operatorname{cl} z\, {\rm d}z  =\operatorname{arctg} \operatorname{sl} z+C,\\
& \int \operatorname{sl} z\,{\rm d}z =-\operatorname{arctg}\operatorname{cl} z+C.
 \end{align}
</math>

=== Сума аргументів і деякі тотожності ===
Як і тригонометричні функції, леменіскатні функції задовольняють тотожності для суми і різниці аргументів.
Оригінальна тотожність, яку використовував Фаньяно для поділу навпіл лемніскати, має наступний вигляд:<ref>Ayoub (1984), Prasolov Solovyev (1997).</ref>
: <math>
\begin{align}
 \operatorname{sl}(u+v)=\frac{\operatorname{sl} u \operatorname{sl}' v+\operatorname{sl} v \operatorname{sl}' u}{1+\operatorname{sl}^{2} u \operatorname{sl}^{2} v}.
  \end{align}
</math>
З використанням похідних і тотожності піфагорійського типу можна записати тотожність Фаньяно в термінах функцій <math>\operatorname{sl}</math> і <math>\operatorname{cl}</math>.
Визначаючи оператор [[Список тригонометричних тотожностей|тангенса суми]] <math>a\oplus b :=  \operatorname{tg}(\operatorname{arctg}a+\operatorname{arctg} b)</math> і оператор тангенса різниці <math>a\ominus b :=  a\oplus (-b)</math>, формули для суми і різниці аргументів можуть бути представлені як<ref>Euler (1761), [https://archive.org/details/novicommentariia06impe/page/79/ § 44 p. 79], § 47 pp. 80–81</ref>
: <math>
\begin{align}
& \operatorname{cl} (u+v)=\operatorname{cl} u \operatorname{cl} v\ominus \operatorname{sl} u \operatorname{sl} v=\frac{\operatorname{cl} u \operatorname{cl} v-\operatorname{sl} u \operatorname{sl} v}{1+\operatorname{sl} u \operatorname{cl} u \operatorname{sl} v \operatorname{cl} v},\\
& \operatorname{cl} (u-v)=\operatorname{cl} u \operatorname{cl} v\oplus \operatorname{sl} u\ \operatorname{sl} v,\\
& \operatorname{sl} (u+v)=\operatorname{sl} u \operatorname{cl} v\oplus \operatorname{cl} u \operatorname{sl} v=\frac {\operatorname{sl}  u \operatorname{cl} v+\operatorname{cl} u \operatorname{sl} v}{1-\operatorname{sl} u \operatorname{cl} u \operatorname{sl} v \operatorname{cl} v},\\
& \operatorname{sl} (u-v)=\operatorname{sl} u \operatorname{cl} v\ominus \operatorname{cl} u \operatorname{sl} v.
\end{align}
</math>
Вони нагадують відповідні [[Список тригонометричних тотожностей|тригонометричні аналоги]]:
: <math>
\begin{align}
 \cos(u\pm v)=\cos u \cos v\mp \sin u \sin v,\\
 \sin(u\pm v)=\sin u \cos v\pm \cos u \sin v.
 \end{align}
</math>
Формули половинного аргументу:
: <math>
\begin{align}
\operatorname{cl}^{2}\tfrac{1}{2}x=\frac{1+\operatorname{cl} x\sqrt{1+\operatorname{sl} ^{2}x}}{\sqrt {1+\operatorname{sl}^{2}x}+1}, \\
\operatorname{sl}^{2}{\tfrac{1}{2}}x=\frac{1-\operatorname{cl} x\sqrt{1+\operatorname{sl}^{2}x}}{\sqrt {1+\operatorname{sl}^{2}x}+1}.
 \end{align}
</math>
Формули подвійного аргументу:<ref name="euler1761-46">Euler (1761) [https://archive.org/details/novicommentariia06impe/page/80 § 46 p. 80]</ref>
: <math>
\begin{align}
& \operatorname{cl} 2x=\frac {-1+2 \operatorname{cl}^{2}x+\operatorname{cl} ^{4}x}{1+2 \operatorname{cl}^{2}x-\operatorname{cl}^{4}x},\\
& \operatorname{sl} 2x=2 \operatorname{sl} x \operatorname{cl} x\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x}{1+\operatorname{sl}^{4}x}.
 \end{align}
</math>
Формули потрійного аргументу:<ref name="euler1761-46"/>
: <math>
\begin{align}
& \operatorname{cl} 3x=\frac{-3 \operatorname{cl} x+6 \operatorname{cl}^{5}x+\operatorname{cl}^{9}x}{1+6 \operatorname{cl}^{4}x-3 \operatorname{cl}^{8}x}, \\
& \operatorname{sl} 3x=\frac {3\operatorname{sl} x-6 \operatorname{sl}^{5}x-\operatorname{sl}^{9}x}{1+6 \operatorname{sl}^{4}x-3 \operatorname{sl}^{8}x}.
 \end{align}
</math>

=== Лемнатомні многочлени ===
Нехай <math>L</math> — [[Ґратка (геометрія)|ґратка]] вигляду:
: <math>
 \begin{align}
L=\mathbb {Z}(1+{\rm i})\varpi +\mathbb {Z} (1-{\rm i})\varpi.
 \end{align}
</math>
Крім того, нехай <math>K=\mathbb{Q}({\rm i})</math>, <math>\mathcal {O}=\mathbb {Z} [{\rm i}]</math>, <math>z\in \mathbb {C}</math>, <math>\beta =m+{\rm i}n</math>, <math> {\gamma }=m'+{\rm i}n'</math> (де <math>m,n,m',n' \in \mathbb {Z}</math>), <math>m+n</math> та <math>m'+n'</math> — непарні, <math>{\gamma }\equiv 1\ {\rm mod}\  2(1+{\rm i})</math> і <math>\operatorname{sl} \beta z=M_{\beta}(\operatorname{sl} z)</math>. Тоді
: <math>
\begin{align}
M_{\beta }(x)={\rm i}^{\varepsilon }x\frac {P_{\beta }(x^{4})}{Q_{\beta }(x^{4})}
  \end{align}
</math>
для деяких взаємно простих многочленів <math>P_{\beta }(x),Q_{\beta }(x)\in \mathcal {O}[x]</math> та деяких <math>\varepsilon \in \{0,1,2,3\}</math>,<ref>Фактично, <math>{\rm i}^{\varepsilon }=\operatorname{sl}\tfrac{\beta \varpi }{2}</math>.</ref> де
: <math>
\begin{align}
 xP_{\beta }(x^{4})=\prod _{\gamma |\beta }\Lambda _{\gamma }(x),
   \end{align}
</math>
та
: <math>
\begin{align}
\Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in (\mathcal {O}/\beta \mathcal {O})^{\times}}(x-\operatorname{sl}\alpha \delta _{\beta }),
\end{align}
</math>
де <math>\delta _{\beta }</math> — будь-який генератор <math>\beta</math>-[[Скрут (алгебра)|скруту]] (тобто <math>[\delta_{\beta}]\in (1/\beta )L</math>, і <math>[\delta_{\beta}]\in (1/\beta)L/L</math> породжує <math>(1/\beta )L/L</math> як <math>\mathcal {O}</math>-[[Модуль над кільцем|модуль]]).
Прикладами генераторів <math>\beta</math>-скруту є <math>2\varpi /\beta</math> та <math>(1+{\rm i})\varpi /\beta</math>.
Многочлен <math>\Lambda _{\beta }(x)\in \mathcal {O}[x]</math> називається ''<math>\beta</math>-лемнатомним многочленом''.
Це мономорфізм, має степінь <math>\left|(\mathcal {O}/\beta \mathcal {O})^{\times }\right|</math>, і є незвідним над полем <math>\mathbb{K}</math>.
Лемнатомний многочлен є «лемніскатним аналогом» [[Многочлен поділу кола|многочлену поділу кола]],<ref name=":2">Cox and Hyde (2014).</ref>
: <math>
\begin{align}
\Phi _{n}(x)=\prod _{[a]\in (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}\left(x-{\rm e}^{2a\pi {\rm i}/n}\right).
\end{align}
</math>
<math>\beta</math>-лемнатомний многочлен <math>\Lambda _{\beta }(x)</math> є [[Мінімальний многочлен (теорія полів)|мінімальним многочленом]] для <math>\operatorname{sl}\delta _{\beta}</math> в <math>\mathbb{K}[x]</math>.
Наприклад, мінімальним многочленом для <math>\operatorname{sl} (2\varpi /5)</math> (а також для <math>\operatorname{sl} ((1+{\rm i})\varpi /5))</math> в <math>\mathbb{K}[x]</math> є
: <math>
\begin{align}
\Lambda _{5}(x)=x^{16}+52x^{12}-26x^{8}-12x^{4}+1,
  \end{align}
</math>
та<ref>{{cite journal |last1=Gómez-Molleda |first1=M. A. |last2=Lario |first2=Joan-C. |date=25 квітня 2019 |title=Ruler and Compass Constructions of the Equilateral Triangle and Pentagon in the Lemniscate Curve |url=https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-019-09892-w |journal=The Mathematical Intelligencer |volume=41 |issue=4 |pages=17–21 |doi=10.1007/s00283-019-09892-w |s2cid=149727564 |accessdate=26 травня 2022 |archive-date=23 березня 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220323163652/https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-019-09892-w }}</ref>
: <math>
\begin{align}
\operatorname{sl} \frac {2\varpi }{5}=\sqrt[4]{-13+6\sqrt {5}+2\sqrt {85-38\sqrt {5}}}
 \end{align}
</math>
(еквівалентний вираз наведено в таблиці нижче). Іншим прикладом є<ref name=":2"/>
: <math>
\begin{align}
\Lambda _{-1+2{\rm i}}(x)=x^{4}-1+2{\rm i},
 \end{align}
</math>
що є мінімальним многочленом для <math>\operatorname{sl} (2\varpi /(-1+2{\rm i}))</math> (а також для <math>\operatorname{sl} ((1+{\rm i})\varpi /(-1+2{\rm i}))=\operatorname{sl} ((1-3{\rm i})\varpi /5)</math> в <math>\mathbb{K}[x]</math>.

=== Частинні значення ===
Так само, як і для тригонометричних функцій, значення лемніскатних функцій можна обчислити для поділів лемніскати на <math>n</math> частин однакової довжини, використовуючи лише елементарну арифметику і квадратні корені, тоді й лише тоді, коли <math>n</math> має вигляд <math>n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}</math>, де <math>k</math> — невід'ємне [[Цілі числа|ціле число]], і кожне <math>p_{{\rm i}}</math> (якщо є) — це різні [[Числа Ферма|прості числа Ферма]].<ref>Rosen (1981).</ref>
Співвідношення стають громіздким по мірі зростання <math>n</math>.
Нижче наведено вирази для ділення лемніскати <math>(x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}</math> на <math>n</math> частин рівної довжини для деяких <math>n\leq20</math>.

{| class="wikitable"
|-
! <math>n</math> !! <math>\operatorname{cl}\tfrac{2\varpi}{n}</math> !! <math>\operatorname{sl}\tfrac{2\varpi}{n}</math>
|-
| <math>2</math>
| <math>-1</math>
| <math>0</math>
|-
| <math>4</math>
| <math>0</math>
| <math>1</math>
|-
| <math>5</math>
| <math>\tfrac{1}{2}(\sqrt[4]{5}-1)\left(\sqrt{\sqrt{5}+2}-1\right)</math>
| <math>\tfrac{1}{2\sqrt[4]{2}}(\sqrt{5}-1)\sqrt{\sqrt[4]{20}+\sqrt{\sqrt{5}-1}}</math>
|-
| <math>6</math>
| <math>\tfrac12\bigl(\sqrt{3}+1-\sqrt[4]{12}\bigr)</math>
| <math>\sqrt[4]{2\sqrt{3}-3}</math>
|-
| <math>8</math>
| <math>\sqrt{\sqrt2-1}</math>
| <math>\sqrt{\sqrt2-1}</math>
|-
| <math>10</math>
| <math>\tfrac12\bigl(\sqrt[4]{5}-1\bigr)\Bigl(\sqrt{\sqrt{5}+2}+1\Bigr)</math>
| <math>\tfrac1\sqrt2 \sqrt[4]{\sqrt5 - 2} \sqrt{\sqrt{2 \bigl(5 - \sqrt5 \bigr)} + 1 - \sqrt5}</math>
|-
| <math>12</math>
| <math>\sqrt[4]{2\sqrt{3}-3}</math>
| <math>\tfrac12\bigl(\sqrt{3}+1-\sqrt[4]{12}\bigr)</math>
|-
| <math>16</math>
| <math>\sqrt{\bigl(\sqrt[4]{2}-1\bigr)\Bigl(\sqrt2+1+\sqrt{2+\sqrt2}\Bigr)}</math>
| <math>\sqrt{\bigl(\sqrt[4]{2}-1\bigr)\Bigl(\sqrt2+1-\sqrt{2+\sqrt2}\Bigr)}</math>
|-
| <math>20</math>
| <math>\tfrac1\sqrt2 \sqrt[4]{\sqrt5 - 2} \sqrt{\sqrt{2 \bigl(5 - \sqrt5 \bigr)} - 1 + \sqrt5}</math>
| <math>\tfrac12\bigl(\sqrt[4]{5}-1\bigr)\Bigl(\sqrt{\sqrt{5}+2}-1\Bigr)</math>
|}

=== Степеневий ряд ===
Розклад в [[степеневий ряд]] функції лемніскати синуса у початку координат має вигляд:<ref>«A104203». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.</ref>
: <math>
 \begin{align}
\operatorname{sl} z=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z-\tfrac {1}{10}z^{5}+\tfrac {1}{120}z^{9}-\tfrac {11}{15600}z^{13}+\cdots ,\quad z\in \mathbb{C} ,\quad |z|<\tfrac {\varpi }{\sqrt {2}},
\end{align}
</math>
де коефіцієнти <math>a_{n}</math>визначаються як
: <math>
 \begin{align}
& n\not \equiv 1 \ ({\rm mod}\ {4}) \implies a_{n}=0, \\
& a_{1}=1,\ \forall n\in \mathbb {N} _{0}\colon \ a_{n+2}=-\frac {2}{(n+1)(n+2)}\sum _{i+j+k=n}a_{i}a_{j}a_{k},
\end{align}
</math>
де <math>i+j+k=n</math> позначає всі тричленні [[Композиція (комбінаторика)|композиції]] для числа <math>n</math>.
Наприклад, для обчислення <math>a_{13}</math> можна побачити, що існує лише шість композицій для <math>13-2=11</math>, які дають ненульовий внесок у суму:
<math>11=9+1+1=1+9+1=1+1+9</math> та <math>11=5+5+1=5+1+5=1+5+5</math>, тому
: <math>
 \begin{align}
a_{13}& =-\tfrac {2}{12\cdot13}(a_{9}a_{1}a_{1}+a_{1}a_{9}a_{1}+a_{1}a_{1}a_{9}+a_{5}a_{5}a_{1}+a_{5}a_{1}a_{5}+a_{1}a_{5}a_{5})=-\tfrac {11}{15600}.
\end{align}
</math>

=== Зв'язок з еліптичними функціями Веєрштрасса і Якобі ===
Лемніскатні функції тісно пов'язані з [[Еліптичні функції Веєрштрасса|еліптичними функціями Веєрштрасса]] <math>\wp (z;1,0)</math> («лемніскатний випадок») з інваріантами <math>g_{2}=1</math> та <math>g_{3}=0</math>.
Ця ґратка має фундаментальні періоди <math>\omega _{1}=\sqrt {2}\varpi</math> та <math>\omega _{2}={\rm i}\omega _{1}</math>.
Відповідні константи функції Вейєрштрасса мають вигляд: <math>e_{1}=\tfrac {1}{2}</math>, <math>e_{2}=0</math>, <math>e_{3}=-\tfrac {1}{2}</math>.

Пов'язаний випадок еліптичної функції Веєрштрасса з інваріантами <math>g_{2}=a</math> та <math>g_{3}=0</math> можна отримати за допомогою масштабного перетворення.
Однак, цей випадок може включати комплексні числа.
Якщо потрібно залишатися в межах дійсних чисел, то розглядають два випадки: <math>a>0</math> та <math>a<0</math>.
Періодичний [[паралелограм]] є [[квадрат]]ом або [[ромб]]ом.
Еліптичну функцію Вейєрштрасса <math>\wp(z;-1,0)</math> називають «псевдолемніскатним випадком».<ref>Robinson (2019a).</ref>

Квадрат лемніскати синуса можна представити як
:<math>
\begin{align}
\operatorname{sl}^{2}z=\frac{1}{\wp(z;4,0)}=\frac{\rm i}{2\wp ((1-{\rm i})z;-1,0)}=-2\wp \left(\sqrt {2}z+({\rm i}-1)\frac {\varpi }{\sqrt {2}};1,0\right),
\end{align}
</math>
де другий і третій аргументи еліптичної функції Веєрштрасса <math>\wp</math> — інваріанти ґратки <math>g_{2}</math> і <math>g_{3}</math>.
Іншим представленням є
: <math>
 \begin{align}
 \operatorname{sl}^{2}z=\frac {\varpi ^{2}}{\wp (z/\varpi ,{\rm i})},
\end{align}
</math>
де другий аргумент еліптичної функції Веєрштрасса <math>\wp</math> — відношення періодів <math>\tau</math>.<ref><math>\wp(z,\tau )</math> — еліптична функція Веєрштрасса з періодами 1 і <math>\omega _{2}/\omega _{1}=\tau</math>.</ref>
Функція лемніскати синуса є [[Раціональна функція|раціональною функцією]] еліптичної функції Веєрштрасса та її похідної<ref>Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (in French). HERMANN. ISBN2705614435. p.226.</ref>
: <math>
  \begin{align}
 \operatorname{sl} z=-2\frac {\wp ((1+{\rm i})z;1/4,0)}{\wp '((1+{\rm i})z;1/4,0)},
 \end{align}
</math>
де другий і третій аргументи еліптичної функції Веєрштрасса <math>\wp</math> інваріанти ґратки <math>g_{2}</math> і <math>g_{3}</math>.
У термінах відношення періодів <math>\tau</math> отримуємо
: <math>
 \begin{align}
\operatorname{sl} z=-2\frac{\wp((1+{\rm i})z/(2\varpi ),{\rm i})}{\wp'((1+{\rm i})z/(2\varpi ),{\rm i})}.
  \end{align}
</math>

Лемніскатні функції також можуть бути записані в термінах [[Еліптичні функції Якобі|еліптичних функцій Якобі]].
Еліптичні функції Якобі <math>\operatorname{sn}</math> та <math>\operatorname{cd}</math> з додатним дійсним еліптичним модулем мають «вертикальну» прямокутну ґратку, що зорієнтована з дійсною та уявною осями.
Крім того, функції <math>\operatorname{sn}</math> та <math>\operatorname{cd}</math> з модулем <math>{\rm i}</math> (функції <math>\operatorname{sd}</math> та <math>\operatorname{cn}</math> з модулем <math>1/\sqrt {2}</math>) мають квадратну періодичну ґратку, повернуту на 1/8 оберту:<ref>Тотожність <math>\operatorname{cl} z=\operatorname{cn}\left(\sqrt {2}z;\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right)</math> можна знайти в Greenhill (1892).</ref>
: <math>
\begin{align}
&\operatorname{sl} z=\operatorname{sn} (z;{\rm i})=\tfrac {1}{\sqrt {2}}\operatorname{sd}\left(\sqrt{2}z;\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right), \\
&\operatorname{cl} z=\operatorname{cd} (z;{\rm i})=\operatorname{cn}\left(\sqrt {2}z;\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right),
  \end{align}
</math>
де другі аргументи — еліптичний модуль <math>k</math>.

Ще одне представлення лемніскатної функції <math>\operatorname{cl}</math> у термінах еліптичної функції Якобі <math>\operatorname{dn}</math> має вигляд
: <math>
  \begin{align}
\operatorname{cl} z=\operatorname{dn}(z;\sqrt {2}),
   \end{align}
</math>
де другий аргумент еліптичної функції Якобі <math>\operatorname{dn}</math> — еліптичний модуль <math>k</math>.

=== Зв'язок з модулярною лямбда-функцією ===
Лемніскатну функцію синуса можна використовувати для обчислення значень [[Модулярна лямбда-функція|модулярної лямбда-функції]]:
:<math>
\begin{align}
   \prod _{k=1}^{n} \operatorname{sl}\left(\frac {2k-1}{2n+1}\frac {\varpi }{2}\right)=\sqrt[{8}]{\frac {\lambda ((2n+1){\rm i})}{1-\lambda ((2n+1){\rm i})}}.
  \end{align}
</math>
Наприклад,
:<math>
  \begin{align}
&\operatorname{sl}\bigl(\tfrac {1}{14}\varpi \bigr), \operatorname{sl}\bigl(\tfrac {3}{14}\varpi\bigr) \operatorname{sl}\bigl(\tfrac {5}{14}\varpi \bigr)
=\sqrt[{8}]{\frac {\lambda (7{\rm i})}{1-\lambda (7{\rm i})}}=\operatorname{tg}\Bigl(\tfrac {1}{2}\operatorname {arccsc}\Bigl(\tfrac{1}{2}\sqrt{8\sqrt {7}+21}+\tfrac{1}{2}\sqrt{7}+1\Bigr)\Bigr), \\
&\operatorname{sl}\bigl(\tfrac {1}{18}\varpi \bigr),\operatorname{sl}\bigl(\tfrac{3}{18}\varpi\bigr) ,\operatorname{sl}\bigl(\tfrac{5}{18}\varpi \bigr),\operatorname{sl}\bigl(\tfrac {7}{18}\varpi\bigr)=\sqrt[{8}]{\frac{\lambda (9{\rm i})}{1-\lambda (9{\rm i})}}=\operatorname{tg}\Biggl(\frac{\pi}{4}-\operatorname{arctg}\Biggl(\frac {2\sqrt[{3}]{2\sqrt{3}-2}-2\sqrt[{3}]{2-\sqrt {3}}+\sqrt{3}-1}{\sqrt[{4}]{12}}\Biggr)\Biggr).
     \end{align}
</math>

=== Методи обчислення ===
{{quote box|quote=
Швидкий алгоритм для наближення для <math>\operatorname {sl} x</math> (які наближаються до <math>\operatorname {sl} x</math> зі збільшенням <math>N</math>),
полягає в наступному:<ref>Reinhardt  Walker (2010), 22.20.</ref>

{{ubl |item_style=padding:0.2em 0 0 1.6em;
  | <math>a_0 \leftarrow 1;</math> <math>b_0 \leftarrow \tfrac{1}{\sqrt2}</math>
  | '''for each''' <math>n\ge 1</math> '''do'''
  {{ubl |item_style=padding:0.2em 0 0 1.6em;
    | <math>a_n \leftarrow \tfrac12(a_{n-1}+b_{n-1});</math> <math>b_n \leftarrow \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}};</math> <math>c_n \leftarrow \tfrac12(a_{n-1}-b_{n-1})</math>
    | '''if''' <math>c_n < \textrm{tolerance}</math> '''then'''
    {{ubl |item_style=padding:0.2em 0 0 1.6em;
      | <math>N \leftarrow n;</math> [[Control flow#Early exit from loops|'''break''']]
    }}
  }}
  | <math>\phi_N \leftarrow 2^N a_N \sqrt2x</math>
  | '''for each''' {{math|''n''}} from {{math|''N''}} to {{math|0}} '''do'''
  {{ubl |item_style=padding:0.2em 0 0 1.6em;
    | <math>\phi_{n-1} \leftarrow \tfrac12\left(\phi_n + {\arcsin}{\left(\frac{c_n}{a_n}\sin \phi_n\right)}\right)</math>
  }}
  | '''return''' <math>\frac{\sin \phi_0}{\sqrt{2-\sin^2\phi_0}}</math>
}}

Цей алгоритм ефективно використовує арифметично-геометричне середнє значення і
 базується на {{нп|Перетворення Ландена|перетвореннях Ландена||Landen's transformation}}.<ref>Carlson (2010), [https://dlmf.nist.gov/19.8 §19.8]</ref>
|fontsize=90%|qalign=left}}

Декілька методів обчислення функції <math>\operatorname{sl} x</math> передбачають спочатку заміну змінних <math>\pi x=\varpi{\tilde {x}}</math>, а потім обчислення <math>\operatorname{sl} (\varpi {\tilde {x}}/\pi )</math>.

Метод [[Гіперболічні функції|гіперболічних рядів]]:<ref>Dieckmann, Andreas. "Collection of Infinite Products and Series".</ref><ref>Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), "Jacobian Elliptic Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.</ref><ref>Vigren  Dieckmann (2020), p.7.</ref><ref>У загальному випадку <math>\operatorname{sh}(x-n\pi )</math> та <math>\sin(x-n\pi {\rm i})=-{\rm i}\operatorname{sh}({\rm i}x+n\pi )</math> не еквівалентні, але отримана нескінченна сума однакова.</ref>
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{sl} \left(\frac{\varpi }{\pi }x\right)=\frac {\pi}{\varpi}\sum_{n\in \mathbb{Z}}\frac{(-1)^{n}}{\operatorname{ch}(x-(n+1/2)\pi)},\\
&\frac{1}{\operatorname{sl}(\varpi x/\pi)}=\frac{\pi}{\varpi}\sum_{n\in \mathbb{Z}}\frac{(-1)^{n}}{\operatorname{sh}\left(x-n\pi \right)}=\frac {\pi }{\varpi }\sum_{n\in \mathbb{Z}}\frac{(-1)^{n}}{\sin(x-n\pi {\rm i})}.
   \end{align}
</math>
Метод [[Ряд Фур'є|рядів Фур'є]]:<ref>Reinhardt Walker (2010), 22.11.</ref>
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{sl}\Bigl(\frac{\varpi}{\pi }x\Bigr)=\frac{2\pi }{\varpi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac {(-1)^{n}\sin((2n+1)x)}{\operatorname{ch}((n+1/2)\pi)}, \ \left|\operatorname {Im} x\right|<\frac {\pi }{2},\\
&\frac {1}{\operatorname{sl}(\varpi x/\pi)}=\frac {\pi }{\varpi }\left(\frac {1}{\sin x}-4\sum_{n=0}^{\infty }\frac {\sin((2n+1)x)}{{\rm e}^{(2n+1)\pi }+1}\right), \ \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi.
  \end{align}
</math>
Лемніскатні функції можуть бути обчислені більш швидше за допомогою формул
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{sl}\Bigl(\frac {\varpi }{\pi }x\Bigr)=\frac{\theta _{1}\left(x,{\rm e}^{-\pi }\right)}{\theta _{3}\left(x,{\rm e}^{-\pi }\right)},\\
&\operatorname{cl}\Bigl(\frac {\varpi }{\pi }x\Bigr)=\frac{\theta _{2}\left(x,{\rm e}^{-\pi }\right)}{\theta _{4}\left(x,{\rm e}^{-\pi }\right)},
\end{align}
</math>
де
:<math>
\begin{align}
&\theta _{1}(x,{\rm e}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n+1}{\rm e}^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z}}(-1)^{n}{\rm e}^{-\pi (n+1/2)^{2}}\sin((2n+1)x),\\
&\theta _{2}(x,{\rm e}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm e}^{-\pi (n+x/\pi)^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm e}^{-\pi (n+1/2)^{2}}\cos((2n+1)x),\\
&\theta _{3}(x,{\rm e}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm e}^{-\pi (n+x/\pi)^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm e}^{-\pi n^{2}}\cos 2nx,\\
&\theta _{4}(x,{\rm e}^{-\pi })=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm e}^{-\pi (n+1/2+x/\pi)^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm e}^{-\pi n^{2}}\cos 2nx&
  \end{align}
</math>
— [[Тета-функція|тета-функції Якобі]].<ref>Reinhardt Walker (2010), 22.2.E7</ref>

Два інші методи швидкого обчислення використовують наступні формули сум і добутків рядів:
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{sl}\left(\frac{\varpi }{\pi }x\right)=f\left(\frac {4\pi }{\varpi }\sin x\sum _{n=1}^{\infty }\frac {\operatorname{ch}[(2n-1)\pi ]}{\operatorname{ch}^{2}[(2n-1)\pi ]-\cos ^{2}x}\right),\\
&\operatorname{cl}\left(\frac{\varpi }{\pi }x\right)=f\left(\frac {4\pi }{\varpi }\cos x\sum _{n=1}^{\infty }\frac {\operatorname{ch}[(2n-1)\pi ]}{\operatorname{ch}^{2}[(2n-1)\pi ]-\sin ^{2}x}\right),\\
&\operatorname{sl}\left(\frac{\varpi }{\pi }x\right)=2{\rm e}^{-\pi /4}\sin x\prod _{n=1}^{\infty }\frac {1-2{\rm e}^{-2n\pi }\cos 2x+{\rm e}^{-4n\pi }}{1+2{\rm e}^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+{\rm e}^{-(4n-2)\pi }},\\
&\operatorname{cl}\left(\frac{\varpi }{\pi }x\right)=2{\rm e}^{-\pi /4}\cos x\prod _{n=1}^{\infty }\frac {1+2{\rm e}^{-2n\pi }\cos 2x+{\rm e}^{-4n\pi }}{1-2{\rm e}^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+{\rm e}^{-(4n-2)\pi }},
\end{align}
</math>
де <math>f(x)=\operatorname{tg}(2\operatorname{arctg} x)=2x/(1-x^{2})</math>.

Ряд Фур'є для логарифма лемнікатного синуса має вигляд:
:<math>
\begin{align}
\ln \operatorname{sl}\left(\frac {\varpi }{\pi }x\right)=\ln 2-\frac {\pi }{4}+\ln \sin x+2\sum _{n=1}^{\infty }\frac {(-1)^{n}\cos 2nx}{n({\rm e}^{n\pi }+(-1)^{n})}, \ \left|\operatorname{Im} x\right|<\frac {\pi }{2}.
\end{align}
</math>
[[Срініваса Рамануджан|Рамануджан]] відкрив наступні співвідношення для рядів:<ref>Berndt, Bruce C. (1994). Ramanujan's Notebooks Part IV (First ed.). Springer Science+Business Media New York. ISBN 978-1-4612-6932-8. p.247,248,253.</ref>
:<math>
\begin{align}
&\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}\operatorname{sl}^{2}(\varpi x/\pi)}=\frac {1}{\sin ^{2}x}-\frac {1}{\pi }-8\sum _{n=1}^{\infty }\frac {n\cos 2nx}{{\rm e}^{2n\pi }-1},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\pi, \\
&\operatorname{arctg} \operatorname{sl}\left(\frac{\varpi }{\pi }x\right)=2\sum _{n=0}^{\infty }\frac {\sin((2n+1)x)}{(2n+1)\operatorname{ch}((n+1/2)\pi)},\quad \left|\operatorname {Im} x\right|<\frac {\pi }{2}.
\end{align}
</math>

==Обернені функції==
Оберненою функцією для лемніскатного синуса є лемніскатний арксинус визначений як:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{arcsl} x=\int _{0}^{x}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}.
\end{align}
</math>
Її також можна представити за допомогою [[Гіпергеометрична функція|гіпергеометричної функції]]:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{arcsl} x={x}_{2}F_{1}\left(\tfrac {1}{2},\tfrac {1}{4};\tfrac {5}{4};x^{4}\right).
\end{align}
</math>
Оберненою функцією для лемніскатного косинуса є лемніскатний арккосинус.
Ця функція визначається наступним чином:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{arccl} x=\int _{x}^{1}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=\tfrac {1}{2}\varpi -\operatorname{arcsl} x.
\end{align}
</math>
Для <math>x</math> з інтервалу <math>-1\leq x\leq 1</math> отримуємо <math>\operatorname{sl} (\operatorname{arcsl} x)=x</math> та <math>\operatorname{cl} (\operatorname{arccl} x)=x</math>.

Для половини довжини лемніскатної дуги справедливі формули:
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{sl}\bigl(\tfrac {1}{2}\operatorname{arcsl} x\bigr)=\sin\bigl(\tfrac {1}{2}\arcsin x\bigr)\operatorname{sech}\bigl(\tfrac {1}{2}\operatorname{arsinh} x\bigr ),\\
&\operatorname{sl}\bigl(\tfrac{1}{2}\operatorname{arcsl}x\bigr )^{2}=\operatorname{tg}\bigl (\tfrac {1}{4}\arcsin x^{2}\bigr).
\end{align}
</math>

===Співвідношення з використанням еліптичних інтегралів===
Лемініскатний арксинус і лемніскатний арккосинус також можна представити за допомогою форми Лежандра.

Ці функції можна представити безпосередньо, використовуючи неповний [[Еліптичні інтеграли|еліптичний інтеграл]] першого роду:
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{arcsl} x=\frac {1}{\sqrt {2}}F\left(\arcsin\frac{\sqrt {2}x}{\sqrt {1+x^{2}}};\frac {1}{\sqrt {2}}\right),\\
&\operatorname{arcsl} x=2\big(\sqrt {2}-1\big)F\left(\arcsin\frac{\big(\sqrt {2}+1\big)x}{\sqrt {1+x^{2}}+1};\big(\sqrt {2}-1\big)^{2}\right).
\end{align}
</math>
Довжини дуг лемніскати також можна виразити лише за допомогою довжин дуг [[еліпс]]ів (обчислених за допомогою еліптичних інтегралів другого роду):
:<math>
\begin{align}
\operatorname{arcsl} x = {}&\frac{2+\sqrt2}{2}E\left({\arcsin}{\frac{(\sqrt2+1)x}{\sqrt{1+x^2}+1}};(\sqrt2-1)^2\right) \\[5mu]
&\ \ - E\left({\arcsin}{\frac{\sqrt2x}{\sqrt{1+x^2}}};\frac{1}{\sqrt2}\right) + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{\sqrt2(1+x^2+\sqrt{1+x^2})}
\end{align}
</math>
Лемніскатний арккосинус має наступне співвідношення:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{arccl} x=\tfrac{1}{\sqrt {2}}F\left(\arccos x;\tfrac{1}{\sqrt {2}}\right).
\end{align}
</math>

===Використання при інтегруванні===
Лемніскатну функцію можна використовувати для інтегрування багатьох функцій.
Ось список важливих інтегралів (константи інтегрування опущені):
:<math>
\begin{align}
&\int{\frac {1}{\sqrt{1-x^{4}}}}{\rm d} x=\operatorname{arcsl} x, \\
&\int{\frac {1}{\sqrt{\big(x^{2}+1\big)\big(2x^{2}+1\big)}}}{\rm d} x=\operatorname{arcsl}\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}},\\
&\int{\frac {1}{\sqrt{x^{4}+6x^{2}+1}}}{\rm d} x=\operatorname{arcsl}\frac{\sqrt {2}x}{\sqrt {\sqrt{x^{4}+6x^{2}+1}+x^{2}+1}},\\
&\int{\frac {1}{\sqrt{x^{4}+1}}}{\rm d} x=\sqrt {2}\operatorname{arcsl}\frac {x}{\sqrt {\sqrt {x^{4}+1}+1}},\\
&\int{\frac{1}{\sqrt[{4}]{\big(1-x^{4}\big)^{3}}}}{\rm d} x=\sqrt {2}\operatorname{arcsl} \frac {x}{\sqrt {1+\sqrt {1-x^{4}}}},\\
&\int{\frac {1}{\sqrt[{4}]{\big(x^{4}+1\big)^{3}}}}{\rm d} x=\operatorname{arcsl}\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}},\\
&\int{\frac {1}{\sqrt[{4}]{\big(1-x^{2}\big)^{3}}}}{\rm d} x=2\operatorname{arcsl}\frac {x}{1+\sqrt {1-x^{2}}},\\
&\int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{\big(x^{2}+1\big)^{3}}}}{\rm d} x=2\operatorname{arcsl}\frac {x}{\sqrt {{x^{2}+1}}+1},\\
&\int{\frac {1}{\sqrt[{4}]{\big(ax^{2}+bx+c\big)^{3}}}}{\rm d} x=\frac {2\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}\operatorname{arcsl}\frac{2ax+b}{\sqrt {4a\big(ax^{2}+bx+c\big)}+\sqrt {4ac-b^{2}}},\\
&\int{\sqrt{\operatorname{sech} x}}{\rm d} x=2\operatorname{arcsl}\big(\operatorname{th}\tfrac {1}{2}x\big), \\
&\int{\sqrt{\sec x}}{\rm d} x=2\operatorname{arcsl}\big(\operatorname{tg}\tfrac {1}{2}x\big).
\end{align}
</math>

==Гіперболічні лемніскатні функції==

[[File:The hyperbolic lemniscate sine and cosine functions of a real variable.png|thumb|upright=1.3|Функції гіперболічний лемніскатний синус (червоні лінії) і гіперболічний лемніскатний косинус (пурпурові лінії) дійсного аргументу в порівнянні з тригонометричним тангенсом (шриховані блідо-червоні лінії).]]
Гіперболічну лемніскату синуса <math>(\operatorname{slh})</math> і косинуса <math>(\operatorname{clh})</math> можна визначити за допомогою їх обернених функцій наступним чином:
:<math>
\begin{align}
z=\int _{0}^{\operatorname{slh} z}\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}=\int _{\operatorname{clh} z}^{\infty }{\frac {{\rm d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}.
\end{align}
</math>
Повний інтеграл набуває значення:
:<math>
\begin{align}
\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}}=\tfrac {1}{4}{\rm B}\big(\tfrac {1}{4},\tfrac {1}{4}\big)=\tfrac{1}{\sqrt {2}}\varpi =1{,}85407\;46773\;01371\dots.
\end{align}
</math>
Тому дві визначені функції допускають наступне співвідношення:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{slh} z=\operatorname{clh}\bigl(\tfrac {1}{\sqrt {2}}\varpi -z\bigr).
\end{align}
</math>
Добуток гіперболічного лемніскатного синуса і гіперболічного лемніскатного косинуса дорівнює одиниці:
:<math>
\begin{align}
\operatorname {slh} z\,\operatorname {clh} z=1.
\end{align}
</math>
Гіперболічні лемніскатні функції можуть бути представлені через лемніскатний синус і лемніскатний косинус:
:<math>
\begin{align}
&\operatorname{slh}\bigl(\sqrt{2}x\bigr)=\frac {\big(1+\operatorname{cl}^{2}x\big)\operatorname{sl} x}{\sqrt {2}\operatorname {cl} x},\\
&\operatorname{clh}\bigl(\sqrt{2}x\bigr)=\frac {\big(1+\operatorname{sl}^{2}x\big)\operatorname{cl} x}{\sqrt {2}\operatorname {sl} x}.
\end{align}
</math>
Але також існує зв'язок із [[Еліптичні функції Якобі|еліптичними функціямі Якобі]] з еліптичним модулем <math>1/\sqrt {2}</math>:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{slh} x=\frac {\operatorname{sn} \big(x;1/\sqrt {2}\big)}{\operatorname{cd} \big(x;1/\sqrt {2}\big)},\\
\operatorname{clh} x=\frac {\operatorname{cd} \big(x;1/\sqrt {2}\big)}{\operatorname {sn} \big(x;1/\sqrt {2}\big)}.
\end{align}
</math>
Гіперболічний лемніскатний синус допускає наступне уявне співвідношення із лемніскатним синусом:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{slh} z=\frac {1-{\rm i}}{\sqrt{2}}\operatorname{sl}\left(\frac {1+{\rm i}}{\sqrt {2}}z\right)=\frac{\operatorname{sl} \left(\sqrt[{4}]{-1}z\right)}{\sqrt[{4}]{-1}}.
\end{align}
</math>
Аналогічний зв'язок існує і між гіперболічним і тригонометричним синусом:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{sinh} z=-{\rm i}\sin({\rm i}z)=\frac {\sin \left(\sqrt[{2}]{-1}z\right)}{\sqrt[{2}]{-1}}.
\end{align}
</math>

[[File:Quartic Fermat curve.png|thumb|upright=1.3|Відносно [[Крива Ферма|кривої Ферма]] четвертого порядку <math>x^{4}+y^{4}=1</math> гіперболічний лемніскатний синус є аналогогом тригонометричній функції тангенс.]]
[[Крива Ферма]] <math>x^{4}+y^{4}=1</math> (іноді називається {{нп|Квадратне коло|квадратним колом||Squircle}}) для гіперболічних лемніскатних синуса і косинуса є аналогом функцій тангенса й котангенса на одиничному колі <math>x^{2}+y^{2}=1</math> (квадратична крива Ферма).
Якщо початок координат і точка на кривій пов'язані між собою прямою <math>L</math>, то гіперболічний лемніскатний синус від подвоєнної площі обмеженої цією прямою і віссю <math>x</math> є <math>y</math>-координатою перетину прямої <math>L</math> із прямою <math>x=1</math>.<ref>Levin (2006), Robinson (2019b)</ref>

Гіперболічний лемніскатний синус задовольняє тотожність додавання аргументів:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{slh} (a+b)=\frac {\operatorname{slh} a\sqrt {1+\operatorname {slh}^{4}b}+\operatorname {slh} b{\sqrt {1+\operatorname {slh} ^{4}a}}}{1-\operatorname {slh}^{2}a\operatorname {slh}^{2}b}.
\end{align}
</math>
Похідна може бути виражена наступним чином:
:<math>
\begin{align}
\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\operatorname{slh} x =\sqrt{1+\operatorname{slh}^{4}x}.
\end{align}
</math>

==Теорія чисел==
В [[Алгебраїчна теорія чисел|алгебричній теорії чисел]], будь-яке скінченне [[абелеве розширення]] {{нп|Гаусові раціональні числа|гаусових раціональних чисел||Gaussian rational}} <math>{\rm Q}({\rm i})</math> є [[Розширення поля|підполем]] поля <math>{\rm Q} ({\rm i},\operatorname {sl} (2\varpi /n))</math> для деякого натурального числа <math>n</math>.<ref>Cox and Hyde (2014)</ref><ref>Cox, David A. (2012). Galois Theory (Second ed.). Wiley. ISBN 978-1-118-07205-9. p. 508,509</ref>
Це аналог [[Теорема Кронекера — Вебера|теореми Кронекера-Вебера]] для раціональних чисел <math>{\rm Q}</math>, яка базується на поділі кола — зокрема, будь-яке скінченне абелеве розширення поля <math>{\rm Q}</math> є підполем поля <math>{\rm Q} (\exp(2\pi {\rm i}/n))</math> для деякого натурального числа <math>n</math>.
Обидва випадки є частинними випадками проблеми Jugendtraum Кронекера, яка відома як {{нп|Дванадцята проблема Гільберта|дванадцята проблема Гільберта||Hilbert's twelfth problem}}.

[[Поле (алгебра)|Поле]] <math>{\rm Q} ({\rm i},\operatorname{sl} (\varpi /n))</math> (для додатних непарних <math>n</math>) є розширенням поля <math>{\rm Q}({\rm i})</math> породженого за допомогою <math>x</math>- та <math>y</math>-координат точок <math>(1+{\rm i})n</math>-[[Скрут (алгебра)|скруту]] на [[Еліптична крива|еліптичній кривій]] <math>y^{2}=4x^{3}+x</math>.<ref>Cox, David A. (2012). Galois Theory (Second ed.). Wiley. ISBN 978-1-118-07205-9. p.508-509.</ref>

==Проєкція карти світу==
[[File:Peirce Quincuncial Projection 1879.jpg|thumb|upright=1.3|«Світ при квінкунціальній проєкції», Чарлз Сандерс Пірс (1879).]]
{{нп|Квінкунціальна проєкція Пірса|Квінкунціальна проєкція Пірса||Peirce quincuncial projection}}, розроблена [[Чарлз Сандерс Пірс|Чарльзом Сандерсом Пірсом]] із {{нп|Національна геодезична служба США|Національної геодезичної служби США||U.S. National Geodetic Survey}} в 1870-х роках, є [[Картографічна проєкція|проєкцією карти світу]], що базується на оберненій лемніскаті синуса [[Стереографічна проєкція|стереграфічно спроєктованих]] точок (що розглядаються як комплексні числа).<ref>Гут (1887) і Адамс (1925) ввели відповідно поперечні і скісні аспекти тієї ж проєкції, відповідно. Також дивись Лі (1976). Ці автори записали свої проєкційні формули в термінах еліптичних функцій Якобі з квадратною ґраткою.</ref>

Якщо прямі постійної дійсної або уявної частини проєктувати на комплексну площину за допомогою гіперболічного лемніскатного синусу, а звідки їх стереографічно проєктувати на сферу (див. [[Сфера Рімана|Сферу Рімана]]), то отримані криві є {{нп|Сферичні коніки|сферичними коніками||Spherical conic}}, сферичний аналог еліпсів і гіпербол на площині.<ref>Adams (1925)</ref> Таким чином, лемніскати функцій (і, у загальному випадку, [[еліптичні функції Якобі]]) забезпечують параметризацію для сферичних конік.

Конформну картографічну проєкцію земної кулі на 6 квадратних граней [[куб]]а також можна визначити за допомогою лемніскатних функцій.<ref>Adams (1925), Lee (1976).</ref>
Оскільки багато [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціальних рівнянь з частинними похідними]] можна ефективно розв'язати за допомогою конформного відображення, то перетворення сфери в куб зручне для {{нп|Моделювання атмосфери|моделювання атмосфери||Atmospheric model}}.<ref>Rančić, Purser, Mesinger (1996); McGregor (2005).</ref>
==Див. також==
* [[Еліптична функція]]
** [[Еліптична функція Абеля]]
** {{нп|Еліптична функція Діксона|Еліптична функція Діксона||Dixon elliptic functions}}
** [[Еліптичні функції Якобі|Еліптична функція Якобі]]
** [[Еліптичні функції Веєрштрасса|Еліптична функція Веєрштрасса]]
* {{нп|Еліптична сума Гаусса|Еліптична сума Гаусса||Elliptic Gauss sum}}
* [[Стала Гаусса]]
* {{нп|Квінкунціальна проєкція Пірса|Квінкунціальна проєкція Пірса||Peirce quincuncial projection}}
* {{нп|Відображення Крістофеля-Шварца|Відображення Крістофеля-Шварца||Schwarz–Christoffel mapping}}

== Примітки ==
{{примітки}}

==Зовнішні лінки==
* {{Cite episode |last1=Parker |first1=Matt |author-link1=Matt Parker |title=What is the area of a Squircle?|url=https://www.youtube.com/watch?v=gjtTcyWL0NA  |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211219/gjtTcyWL0NA |archive-date=2021-12-19 |url-status=live|series=Stand-up Maths |date=2021 |network=YouTube }}{{cbignore}}

==Література==
{{refbegin|30em}}
* {{cite journal |last1=Abel |first1=Niels Henrik | authorlink1= Niels Henrik Abel| date=1827–1828 |title=Recherches sur les fonctions elliptiques |trans-title=Research on elliptical functions |language=fr |journal=Crelle's Journal |volume=1827 |issue=2 |pages=101–181 |url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0002?tify={%22pages%22:[113]} |doi=10.1515/crll.1827.2.101 |s2cid=126159170 }} {{cite journal |last1=Abel |first1=Niels Henrik | display-authors=0 |title=Recherches sur les fonctions elliptiques|journal=Crelle's Journal |volume=1828 |issue=3 |pages=160–190 |url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0003?tify={%22pages%22:[166]} |doi=10.1515/crll.1828.3.160 |s2cid=123647093 }}
* {{cite book |last1=Adams |first1=Oscar Sherman |date=1925 |title=Elliptic functions applied to conformal world maps |publisher=US Government Printing Office |issue=297 |url=ftp://ftp.library.noaa.gov/docs.lib/htdocs/rescue/cgs_specpubs/QB275U35no1121925.pdf }}
* {{cite journal |last1=Ayoub |first1=Raymond |date=1984 |title=The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals |url=https://archive.org/details/sim_archive-for-history-of-exact-sciences_1984_29_2/page/131 |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=29 |issue=2 |pages=131–149 |jstor=41133708 }}
* {{cite book |last1=Bottazzini |first1=Umberto |last2=Gray |first2=Jeremy |date=2013 |title=Hidden Harmony – Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-4614-5725-1 |isbn=978-1-4614-5724-4 }}
* Carlson, Billie C. (2010), "Elliptic Integrals", in Olver, Frank W. J.; et al. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
* {{cite book |last1=Cox |first1=David Archibald |year=2012 |chapter=The Lemniscate |pages=[https://archive.org/details/galoistheoryseco00coxd/page/n492 463]–514 |title=Galois Theory |url=https://archive.org/details/galoistheoryseco00coxd |publisher=Wiley |isbn=978-1-118-21845-7 |doi=10.1002/9781118218457.ch15 }}
* {{cite journal |last1=Cox |first1=David Archibald |first2=Trevor |last2=Hyde |year=2014 |title=The Galois theory of the lemniscate |journal=Journal of Number Theory |volume=135 |pages=43–59 |url=http://www-personal.umich.edu/~tghyde/Cox,%20Hyde%20--%20Galois%20theory%20on%20the%20lemniscate.pdf |doi=10.1016/j.jnt.2013.08.006 |arxiv=1208.2653 |s2cid=119176369 }}
* {{cite book |last1=Enneper |first1=Alfred |date=1890  ed. 1876 |chapter=Note III: Historische Notizen über geometrische Anwendungen elliptischer Integrale. |trans-chapter=Historical notes on geometric applications of elliptic integrals |pages=524–547 |title=Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte |language=de |publisher=Nebert |chapter-url=https://archive.org/details/elliptischefunct00enneuoft/page/524/ }}
* {{cite journal |last1=Euler |first1=Leonhard |year=1761 |title=Observationes de comparatione arcuum curvarum irrectificibilium |trans-title=Observations on the comparison of arcs of irrectifiable curves |journal=Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae |volume=6 |pages=58–84 |language=la|url=https://archive.org/details/novicommentariia06impe/page/58/ }} [[Leonhard Euler#Selected bibliography|E]][https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/252/ 252]. ([https://archive.org/details/novicommentariia06impe/page/n617/ Figures])
* {{cite journal |last1=Euler |first1=Leonhard |year=1786 |title=De miris proprietatibus curvae elasticae sub aequatione <math display=inline>y = \int xx\mathop{\mathrm{d}x} \big/ \sqrt{1-x^4}</math> contentae |trans-title=On the amazing properties of elastic curves contained in equation <math display=inline>y = \int xx\mathop{\mathrm{d}x} \big/ \sqrt{1-x^4}</math> |journal=Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae |volume=1782 |issue=2 |pages=34–61 |language=la|url=https://archive.org/details/actaacademiae82impe/page/34/ }} E [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/605/ 605].
* {{cite journal |last1=Fagnano |first1=Giulio Carlo |date=1718–1723  |title=Metodo per misurare la lemniscata |trans-title=Method for measuring the lemniscate |journal= Giornale de' letterati d'Italia |language=it |volume=29 |pages=258–269 |url=https://archive.org/details/giornaledeletter1718roya/page/258/ }} {{cite journal |last1=Fagnano |first1=Giulio Carlo |display-authors=0 |title=Giunte al primo schediasma sopra la Lemniscata |journal= Giornale de' letterati d'Italia |year=1710 |volume=34 |pages=197–207 |url=https://archive.org/details/giornaledeletter1723roya/page/197 }} {{cite journal |last1=Fagnano |first1=Giulio Carlo |display-authors=0 |title=Metodo per misurare la lemniscata, schediasma II |journal= Giornale de' letterati d'Italia |year=1710 |volume=30 |pages=87–111 |url=https://archive.org/details/giornaledelette1718roya_0/page/87 }} Reprinted in {{cite book |last1=Fagnano |date=1911 1850 |title=Opere Matematiche, vol. 2 |at=papers 32, 33, and 34, pp. 293–313 |publisher=Allerighi e Segati |url=https://archive.org/details/operematfagnano02itws0006/page/n322/ }} ([https://archive.org/details/operematfagnano02itws0006/page/n498/ Figures])
* {{cite book |last1=Greenhill |first1=Alfred George |year=1892 |title=The Applications of Elliptic Functions| publisher= MacMillan |url=https://archive.org/details/applicationselli00greerich/page/n5/ }}
* {{cite journal| last1=Guyou |first1=Émile |date=1887 |title=Nouveau système de projection de la sphère: Généralisation de la projection de Mercator |trans-title=New system of projection of the sphere |journal=Annales Hydrographiques |series=Série 2 |volume=9 |pages=16–35 |language=fr |url=https://www.retronews.fr/journal/annales-hydrographiques/1-janvier-1887/1877/4868382/23 }}
* {{cite book |last1= Houzel |first1=Christian |date=1978 |chapter=Fonctions elliptiques et intégrales abéliennes |trans-chapter=Elliptic functions and Abelian integrals |editor-last=Dieudonné |editor-first= Jean |title= Abrégé d'histoire des mathématiques, 1700–1900. II |publisher=Hermann |pages=1–113 |language=fr}}
* {{cite journal |last1=Hyde |first1=Trevor |year=2014 |title=A Wallis product on clovers |journal=The American Mathematical Monthly |volume=121 |issue=3 |pages=237–243 |url=https://math.uchicago.edu/~tghyde/Hyde%20--%20A%20Wallis%20product%20on%20clovers.pdf |doi=10.4169/amer.math.monthly.121.03.237 |s2cid=34819500 }}
* {{cite journal |last1=Kubota |first1=Tomio  |date=1964 |title=Some arithmetical applications of an elliptic function |journal=Crelle's Journal |volume=1964 |issue=214/215 |pages=141–145 |doi=10.1515/crll.1964.214-215.141 |s2cid=115823187 }}
* {{cite journal |last1=Langer |first1=Joel C. |first2=David A. |last2=Singer |year=2010 |title=Reflections on the Lemniscate of Bernoulli: The Forty-Eight Faces of a Mathematical Gem |journal=Milan Journal of Mathematics |volume=78 |issue=2 |pages=643–682 |url=https://case.edu/artsci/math/langer/jlpreprints/fortyeight2010.pdf |doi=10.1007/s00032-010-0124-5 |s2cid=1448521 }}
* {{cite journal |last1=Langer |first1=Joel C. |first2=David A. |last2=Singer |year=2011 |title=The lemniscatic chessboard |journal=Forum Geometricorum |volume=11 |pages=183–199 |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201119index.html }}
* {{cite book |last1=Lawden |first1=Derek Frank |title=Elliptic Functions and Applications |series=Applied Mathematical Sciences |date=1989 |volume=80 |publisher=Springer-Verlag |doi=10.1007/978-1-4757-3980-0 |isbn=978-1-4419-3090-3 }}
* {{cite book |last1=Lee |first1=Laurence Patrick |date=1976 |title=Conformal Projections Based on Elliptic Functions |publisher=University of Toronto Press |series=''Cartographica'' Monograph |volume=16 |isbn=9780919870161 |url=https://archive.org/details/conformalproject0000leel |url-access=limited}}
* {{cite techreport |last1=Levien |first1=Raph |year=2008 |title=The elastica: a mathematical history |number=UCB/EECS-2008-103 University of California at Berkeley |url=https://www2.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2008/EECS-2008-103.pdf}}
* {{cite journal |last1=Levin |first1=Aaron |title=A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant |journal=The American Mathematical Monthly |date=2006 |volume=113 |issue=6 |pages=510–520 |doi=10.2307/27641976 |jstor=27641976 }}
* {{cite journal |last1=Lindqvist |first1=Peter |last2=Peetre |first2=Jaak |title=Two Remarkable Identities, Called Twos, for Inverses to Some Abelian Integrals |journal=The American Mathematical Monthly |date=2001 |volume=108 |issue=5 |pages=403–410 |doi=10.1080/00029890.2001.11919766 |url=https://people.math.osu.edu/lang.162/book/LiPe3.pdf |jstor=2695794 |s2cid=43677974 }}
* {{cite book |last1=Markushevich |first1=Aleksei Ivanovich |title=The Remarkable Sine Functions |date= 1966 |publisher=Elsevier |url=https://archive.org/details/markushevich-the-remarkable-sine-functions/ }}
* {{cite book |last1=Markushevich |first1=Aleksei Ivanovich |title=Introduction to the Classical Theory of Abelian Functions |series=Translations of Mathematical Monographs |date=1992 |volume=96 |publisher=American Mathematical Society |doi=10.1090/mmono/096 |isbn=9780821841648 }}
*{{cite techreport | last1=McGregor |first1= John L. |date=2005 |title=C-CAM: Geometric Aspects and Dynamical Formulation CSIRO Oceans and Atmosphere|number=70}}
* {{cite book |last1=McKean |first1=Henry |last2=Moll |first2=Victor |date=1999 |title=Elliptic Curves: Function Theory, Geometry, Arithmetic |publisher=Cambridge |isbn=9780521582285}}
* {{cite book |last1=Milne-Thomson |first1=Louis Melville |date=1964 |contribution=16. Jacobian Elliptic Functions and Theta Functions |pages=567–585 |contribution-url=https://archive.org/details/handbookofmathem00abra/page/567/ |editor1-first=Milton |editor1-last=Abramowitz |editor2-first=Irene Ann |editor2-last=Stegun |title=Handbook of Mathematical Functions |title-link=Abramowitz and Stegun |publisher=National Bureau of Standards }}
* {{cite journal |last1=Neuman |first1=Edward |year=2007 |title=On Gauss lemniscate functions and lemniscatic mean |journal=Mathematica Pannonica |volume=18 |issue=1 |pages=77–94 |url=http://mathematica-pannonica.ttk.pte.hu/articles/mp18-1/MP18-1(2007)pp077-094.pdf }}
* {{cite journal |last1=Nishimura |first1=Ryo |title=New properties of the lemniscate function and its transformation |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications |date=2015 |volume=427 |issue=1 |pages=460–468 |doi=10.1016/j.jmaa.2015.02.066 |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X15001870 }}
* {{cite journal |last1=Ogawa |first1=Takuma |title=Similarities between the trigonometric function and the lemniscate function from arithmetic view point |journal=Tsukuba Journal of Mathematics |date=2005 |volume=29 |issue=1 |doi=10.21099/tkbjm/1496164894 |url=https://projecteuclid.org/journals/tsukuba-journal-of-mathematics/volume-29/issue-1/Similarities-between-the-trigonometric-function-and-the-lemniscate-function-from/10.21099/tkbjm/1496164894.full }}
* {{cite journal |last1=Peirce |first1=Charles Sanders |date=1879 |title=A Quincuncial Projection of the Sphere |journal=American Journal of Mathematics |volume=2 |issue=4 |pages=394–397 |doi=10.2307/2369491 |jstor=2369491 |url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1879_2/page/n403/mode/2up}}
* {{cite book |last=Popescu-Pampu |first=Patrick |date=2016 |title=What is the Genus? |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=2162 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-3-319-42312-8|isbn=978-3-319-42311-1 }}
* {{cite book |last1=Prasolov |first1=Viktor |last2=Solovyev |first2=Yuri |date=1997 |chapter=4. Abel's Theorem on Division of Lemniscate |title=Elliptic functions and elliptic integrals |series=Translations of Mathematical Monographs |volume=170 |publisher=American Mathematical Society. |doi=10.1090/mmono/170 |isbn=9780821805879 }}
* {{cite journal| last1=Rančić |first1=Miodrag |last2=Purser |first2=R. James | last3=Mesinger |first3=Fedor |date=1996 |title=A global shallow-water model using an expanded spherical cube: Gnomonic versus conformal coordinates |journal=Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society |volume=122 |issue=532 |pages=959–982 |doi=10.1002/qj.49712253209 |bibcode=1996QJRMS.122..959R }}
* William P.; Walker, Peter L. (2010), "22. Jacobian Elliptic Functions", in Olver, Frank W. J.; et al. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
* William P.; Walker, Peter L. (2010), "23. Weierstrass Elliptic and Modular Functions", in Olver, Frank W. J.; et al. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
* {{cite journal |last1=Robinson |first1=Paul L. |title=The Lemniscatic Functions |date=2019a |arxiv=1902.08614 }}
* {{cite journal |last1=Robinson |first1=Paul L. |title= The Elliptic Functions in a First-Order System |date=2019b |arxiv=1903.07147 }}
* {{cite journal |last1=Rosen |first1=Michael |title=Abel's Theorem on the Lemniscate |journal=The American Mathematical Monthly |date=1981 |volume=88 |issue=6 |pages=387–395 |doi=10.2307/2321821 |jstor=2321821 }}
* {{cite book  |chapter=Some milestones of lemniscatomy  |last1=Schappacher |first1=Norbert |date= 1997 |editor1-last=Sertöz |editor1-first=S. |title=Algebraic Geometry |type=Proceedings of Bilkent Summer School, August 7–19, 1995, Ankara, Turkey |publisher=Marcel Dekker |pages=257–290 | chapter-url=http://irma.math.unistra.fr/~schappa/NSch/Publications_files/1997_LemniscProvis.pdf}}
* {{cite journal |last1=Schneider |first1=Theodor |date=1937 |title=Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale |trans-title=Arithmetic investigations of elliptic integrals |language=de |journal=Mathematische Annalen |volume=113 |issue=1 |pages=1–13|doi=10.1007/BF01571618 |s2cid=121073687 |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002278537 }}
* {{cite journal |last1=Schwarz |first1= Hermann Amandus | date=1869 |title=Ueber einige Abbildungsaufgaben |trans-title=About some mapping problems |language=de |journal=Crelle's Journal |volume= 1869 |issue= 70 |pages= 105–120 |url=https://archive.org/details/sim_journal-fuer-die-reine-und-angewandte-mathematik_1869_70/page/105 |doi=10.1515/crll.1869.70.105 |s2cid= 121291546 }}
* {{cite book |mr=0257326 |last1=Siegel |first1=Carl Ludwig |title=Topics in Complex Function Theory, Vol. I |chapter=1. Elliptic Functions |pages=1–89 |publisher=Wiley-Interscience |date=1969 |isbn=0-471-60844-0}}
* {{cite thesis |last1=Snape |first1=Jamie |year=2004 |chapter=Bernoulli's Lemniscate |pages=50–56 |title=Applications of Elliptic Functions in Classical and Algebraic Geometry |chapter-url=https://www.jamiesnape.io/publications/mmath/ |publisher=University of Durham}}
* {{cite book |last1=Southard |first1=Thomas H. |date=1964 |contribution=18. Weierstrass Elliptic and Related Functions |pages=627–683 |contribution-url=https://archive.org/details/handbookofmathem00abra/page/627/ |editor1-first=Milton |editor1-last=Abramowitz |editor2-first=Irene Ann |editor2-last=Stegun |title=Handbook of Mathematical Functions |title-link=Abramowitz and Stegun |publisher=National Bureau of Standards }}
* {{cite journal| first1=Ramaiyengar |last1=Sridharan |date=2004| title=Physics to mathematics: from lintearia to lemniscate – I| journal=Resonance |volume=9 |issue=4 |pages=21–29 |doi=10.1007/BF02834853 |s2cid=122132138 |url=https://www.ias.ac.in/public/Volumes/reso/009/04/0021-0029.pdf }} {{cite journal |first1=Ramaiyengar |last1=Sridharan |display-authors=0 |title=From lintearia to lemniscate II: Gauss and Landen's Work |journal=Resonance |year=2004 |volume=9 |issue=6 |pages=11–20 |doi=10.1007/BF02839214 |s2cid=121521515 |url=https://www.ias.ac.in/public/Volumes/reso/009/06/0011-0020.pdf }}
* {{cite journal |last1=Todd |first1=John |title=The lemniscate constants |journal=Communications of the ACM |date=1975 |volume=18 |issue=1 |pages=14–19 |doi=10.1145/360569.360580 |s2cid=85873 }}
* {{cite journal |last1=Vigren |first1=Erik |last2=Dieckmann |first2=Andreas |title=Simple Solutions of Lattice Sums for Electric Fields Due to Infinitely Many Parallel Line Charges |journal=Symmetry |date=21 червня 2020 |volume=12 |issue=6 |pages=1040 |doi=10.3390/sym12061040 |bibcode=2020Symm...12.1040V |doi-access=free }}
* {{cite book |last1=Whittaker |first1=Edmund Taylor |last2=Watson |first2=George Neville |date= 1920  ed. 1902 |chapter=22.8 The lemniscate functions |pages=524–528 |chapter-url=https://archive.org/details/courseofmodernan00whit/page/524/ |edition=3rd |title=A Course of Modern Analysis |title-link=A Course of Modern Analysis |publisher= Cambridge }}
{{refend}}

[[Категорія:Спеціальні функції]]
[[Категорія:1718 у науці]]